Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini cebirsel formda yapmak daha uygunken, karmaşık sayıların trigonometrik formunu kullanarak çarpma ve bölme işlemlerini yapmak daha kolaydır.
Trigonometrik formda verilen iki rastgele karmaşık sayıyı ele alalım:
Bu sayıları çarparak şunu elde ederiz:
Ancak trigonometri formüllerine göre
Böylece karmaşık sayılar çarpılırken modülleri çarpılır ve argümanlar
katlayın. Bu durumda modüller ayrı ayrı dönüştürüldüğü ve argümanlar ayrı ayrı dönüştürüldüğü için, trigonometrik biçimde çarpma işlemi yapmak cebirsel biçimde olduğundan daha kolaydır.
Eşitlik (1)'den aşağıdaki ilişkiler çıkar:
Bölme çarpma işleminin tersi olduğu için şunu elde ederiz:
Başka bir deyişle, bir bölümün modülü, bölenin ve bölenin modüllerinin oranına eşittir ve bölümün argümanı, bölünenin ve bölenin argümanları arasındaki farktır.
Şimdi karmaşık sayıların çarpımının geometrik anlamı üzerinde duralım. Formüller (1) - (3), çarpımı bulmak için önce argümanını değiştirmeden kat sayısının modülünü artırmanız, ardından ortaya çıkan sayının modülünü değiştirmeden argümanını artırmanız gerektiğini gösterir. Bu işlemlerden ilki geometrik olarak O noktasına göre bir katsayı ile homojenlik anlamına gelir, ikincisi ise O noktasına göre eşit bir açıyla dönme anlamına gelir. Burada bir faktörün sabit, diğerinin değişken olduğunu düşünürsek sonucu formüle edebiliriz. aşağıdaki gibi: formül
Karmaşık sayı, gerçek sayılar olarak adlandırılan formdaki bir sayıdır. hayali birim. Numara aranır gerçek kısım() karmaşık sayıya sayı denir sanal kısım () karmaşık sayı.
Karmaşık sayılar şu şekilde temsil edilir: karmaşık düzlem:
Yukarıda belirtildiği gibi, bir harf genellikle gerçek sayılar kümesini belirtir. Birçok veya karmaşık sayılar genellikle "kalın" veya kalınlaştırılmış bir harfle gösterilir. Bu nedenle, karmaşık bir düzleme sahip olduğumuzu gösteren mektubun çizime yerleştirilmesi gerekir.
Karmaşık bir sayının cebirsel formu. Karmaşık sayılarda toplama, çıkarma, çarpma ve bölme
Karmaşık sayıların eklenmesi
İki karmaşık sayıyı toplamak için bunların gerçek ve sanal kısımlarını eklemeniz gerekir:
z 1 + z 2 = (a 1 + a 2) + i*(b 1 + b 2).
Karmaşık sayılar için birinci sınıfın kuralı geçerlidir: z 1 + z 2 = z 2 + z 1 – terimlerin yeniden düzenlenmesiyle toplam değişmez.
Karmaşık Sayılarda Çıkarma
Eylem toplama işlemine benzer, tek özellik, çıkarılanın parantez içine alınmasının gerekli olmasıdır ve daha sonra parantezlerin işaret değişikliği ile standart şekilde açılması gerekir:
z 1 + z 2 = (a 1 – a 2) + i*(b 1 – b 2)
Karmaşık sayıları çarpma
Karmaşık sayıların temel eşitliği:
Karmaşık sayıların çarpımı:
z 1 * z 2 = (a 1 + i*b 1)*(a 2 + i*b 2) = a 1 *a 2 + a 1 *i*b 2 + a 2 *i*b 1 + i 2 *b 1 *b 2 = a 1 *a 2 - b 1 *b 2 +i*(a 1 *b 2 +a 2 *b 1).
Toplam gibi, karmaşık sayıların çarpımı da değiştirilebilir, yani eşitlik doğrudur: .
Karmaşık sayıların bölünmesi
Sayıların bölünmesi gerçekleştirilir payda ve payı paydanın eşlenik ifadesi ile çarparak.
2 Soru. Karmaşık düzlem. Karmaşık sayıların modülü ve bağımsız değişkenleri
Her z = a + i*b karmaşık sayısı, koordinatları (a;b) olan bir noktayla ilişkilendirilebilir ve bunun tersi durumda, koordinatları (c;d) olan her nokta, bir w = c + i* karmaşık sayısıyla ilişkilendirilebilir. D. Böylece düzlemin noktaları ile karmaşık sayılar kümesi arasında bire bir yazışma kurulur. Bu nedenle karmaşık sayılar bir düzlem üzerindeki noktalar olarak temsil edilebilir. Karmaşık sayıların gösterildiği düzleme genellikle denir karmaşık düzlem.
Bununla birlikte, daha sıklıkla karmaşık sayılar O noktasında başlayan bir vektör olarak gösterilir, yani z = a + i*b karmaşık sayısı (a;b) koordinatlarına sahip bir noktanın yarıçap vektörü olarak gösterilir. Bu durumda önceki örnekteki karmaşık sayıların görüntüsü şu şekilde olacaktır: 
İki karmaşık sayının toplamının görüntüsü, ve sayılarını temsil eden vektörlerin toplamına eşit bir vektördür. Yani karmaşık sayılar toplandığında onları temsil eden vektörler de eklenir.
Z = a + i*b karmaşık sayısının bir yarıçap vektörüyle temsil edilmesine izin verin. O zaman bu vektörün uzunluğu denir modül z sayısı ve |z| ile gösterilir .
|
|
Bir sayının yarıçap vektörünün eksenle oluşturduğu açıya denir. argüman sayılardır ve arg z ile gösterilir. Sayı argümanı benzersiz bir şekilde değil, 'nin katları dahilinde belirlenir. Bununla birlikte, genellikle argüman 0 aralığında veya - ila aralığında belirtilir. Ayrıca sayının tanımsız bir argümanı vardır.
Bu ilişkiyi kullanarak karmaşık bir sayının argümanını bulabilirsiniz:
Ayrıca sayının görüntüsü birinci veya dördüncü çeyrekte ise ilk formül, ikinci veya üçüncü çeyrekte ise ikinci formül geçerlidir. Eğer ise, karmaşık sayı Oy eksenindeki bir vektörle temsil edilir ve argümanı /2 veya 3*/2'ye eşittir.
Başka bir yararlı formül bulalım. z = a + i*b olsun. Daha sonra ,
Karmaşık sayılarda toplama ve çıkarma işlemlerini cebirsel formda yapmak daha uygunken, karmaşık sayıların trigonometrik formunu kullanarak çarpma ve bölme işlemlerini yapmak daha kolaydır.
Trigonometrik formda verilen iki rastgele karmaşık sayıyı ele alalım:
Bu sayıları çarparak şunu elde ederiz:
Ancak trigonometri formüllerine göre
Böylece karmaşık sayılar çarpılırken modülleri çarpılır ve argümanlar
katlayın. Bu durumda modüller ayrı ayrı dönüştürüldüğü ve argümanlar ayrı ayrı dönüştürüldüğü için, trigonometrik biçimde çarpma işlemi yapmak cebirsel biçimde olduğundan daha kolaydır.
Eşitlik (1)'den aşağıdaki ilişkiler çıkar:
Bölme çarpma işleminin tersi olduğu için şunu elde ederiz:
Başka bir deyişle, bir bölümün modülü, bölenin ve bölenin modüllerinin oranına eşittir ve bölümün argümanı, bölünenin ve bölenin argümanları arasındaki farktır.
Şimdi karmaşık sayıların çarpımının geometrik anlamı üzerinde duralım. Formüller (1) - (3), çarpımı bulmak için önce argümanını değiştirmeden kat sayısının modülünü artırmanız, ardından ortaya çıkan sayının modülünü değiştirmeden argümanını artırmanız gerektiğini gösterir. Bu işlemlerden ilki geometrik olarak O noktasına göre bir katsayı ile homojenlik anlamına gelir, ikincisi ise O noktasına göre eşit bir açıyla dönme anlamına gelir. Burada bir faktörün sabit, diğerinin değişken olduğunu düşünürsek sonucu formüle edebiliriz. aşağıdaki gibi: formül
İki karmaşık sayının çarpımını gerçek sayıların çarpımına benzer şekilde tanımlarız: Çarpmanın bir birimden oluşması gibi, çarpım da bir çarpandan oluşan bir sayı olarak kabul edilir.
Modülü ve bağımsız değişkeni olan bir karmaşık sayıya karşılık gelen vektör, uzunluğu bire eşit ve yönü OX ekseninin pozitif yönüne denk gelen bir birim vektörden, bir faktör kadar uzatılıp döndürülerek elde edilebilir. bir açıyla pozitif yönde
Belirli bir vektörün bir vektörle çarpımı, vektörün yardımıyla bir birim vektörden elde edilen yukarıda bahsedilen uzatma ve döndürme vektöre uygulanırsa elde edilecek vektördür ve ikincisi açıkça şuna karşılık gelir: gerçek bir birim.
Modüller ve argümanlar vektörlere karşılık gelen karmaşık sayılar ise, o zaman bu vektörlerin çarpımı açıkça modülü ve argümanı olan bir karmaşık sayıya karşılık gelecektir. Böylece karmaşık sayıların çarpımının aşağıdaki tanımına ulaşıyoruz:
İki karmaşık sayının çarpımı, modülü faktörlerin modüllerinin çarpımına eşit olan ve argümanı faktörlerin argümanlarının toplamına eşit olan karmaşık bir sayıdır.
Dolayısıyla karmaşık sayıların trigonometrik formda yazılması durumunda,
Şimdi karmaşık sayıların trigonometrik biçimde verilmediği durum için çarpım oluşturma kuralını türetelim:
Faktörlerin modülleri ve argümanları için yukarıdaki gösterimi kullanarak şunu yazabiliriz:
çarpma tanımına göre (6):
ve sonunda elde ettik
Faktörlerin reel sayılar olması ve çarpımın bu sayıların çarpımına indirgenmesi durumunda. Eşitlik durumunda (7) verir
yani sanal birimin karesi eşittir
Pozitif tam sayının kuvvetlerini sırayla hesaplayarak şunu elde ederiz:
ve genel olarak, herhangi bir genel olumlu
Eşitlik (7) ile ifade edilen çarpma kuralı şu şekilde formüle edilebilir: Karmaşık sayılar, harf polinomları gibi çarpılmalı, sayılmalıdır.
Eğer a bir karmaşık sayı ise bu karmaşık sayının a ile eşlenik olduğu söylenir ve a ile gösterilir. Eşitlik (7)'den elde ettiğimiz formüllere (3) göre şu şekildedir:
ve bu nedenle
yani eşlenik karmaşık sayıların çarpımı, her birinin modülünün karesine eşittir.
Açık formüllere de dikkat edelim
Formül (4) ve (7)'den, karmaşık sayıların toplanması ve çarpılmasının değişme kanununa uyduğu, yani toplamın terimlerin sırasına bağlı olmadığı ve çarpımın da terimlerin sırasına bağlı olmadığı sonucu hemen çıkar. faktörler. Aşağıdaki kimliklerle ifade edilen birleşimsel ve dağılımsal yasaların geçerliliğini doğrulamak zor değildir:
Bunu yapmayı okuyucuya bırakıyoruz.
Son olarak, birkaç faktörün çarpımının, faktörlerin modüllerinin çarpımına eşit bir modüle ve faktörlerin argümanlarının toplamına eşit bir argümana sahip olacağını unutmayın. Dolayısıyla, karmaşık sayıların çarpımı ancak ve ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşit olacaktır.
İki karmaşık sayının çarpımı, iki gerçek sayının çarpımına benzer; yani, çarpanın bir birimden oluşması gibi, çarpım da bir çarpandan oluşan bir sayı olarak kabul edilir. Modülü r ve argümanı j olan bir karmaşık sayıya karşılık gelen vektör, uzunluğu bire eşit ve yönü OX ekseninin pozitif yönü ile çakışan bir birim vektörden, r katı kadar uzatılıp döndürülerek elde edilebilir. j açısıyla pozitif yönde. Belirli bir vektör a 1'in bir vektör a 2 ile çarpımı, a 1 vektörüne uzatma ve döndürme uygulanırsa elde edilen vektördür, bunun yardımıyla a 2 vektörü bir birim vektörden elde edilir ve ikincisi açıkça gerçek bir birime karşılık gelir. Eğer (r 1 , ? 1), (r 2 , ? 2) karmaşık sayıların modülleri ve argümanları a 1 ve a 2 vektörlerine karşılık geliyorsa, o zaman bu vektörlerin çarpımı açıkça modülü olan bir karmaşık sayıya karşılık gelecektir. r 1 r 2 ve argüman (j 1 + j 2). Dolayısıyla iki karmaşık sayının çarpımı, modülü faktörlerin modüllerinin çarpımına eşit olan ve argümanı faktörlerin argümanlarının toplamına eşit olan bir karmaşık sayıdır.
Karmaşık sayıların trigonometrik formda yazılması durumunda,
r 1 (çünkü 1 + i günah? 1) * r 2 (çünkü 2 + i günah? 2) = r 1 r 2.
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = x + yi durumunda, modüllerin gösterimini ve faktörlerin argümanlarını kullanarak şunu yazabiliriz:
a 1 = r 1 çünkü? 1; b 1 = r 1 günah? 1; a 2 = r 2 çünkü? 2; b 2 = r 2 günah? 2;
çarpmanın tanımına göre:
x = r 1 r 2 çünkü(? 1 + ? 2); y = r 1 r 2 günah(? 1 + ? 2),
x = r 1 r 2 (çünkü? 1 çünkü? 2 - günah? 1 günah? 2) = = r 1 çünkü? 1 r 2 çünkü? 2 - r 1 günah? 1 r 2 günah? 2 = a 1 a 2 - b 1 b 2
y = r 1 r 2 (günah? 1 çünkü? 2 + çünkü? 1 günah? 2) = = r 1 günah? 1 r 2 çünkü? 2 + r 1 çünkü? 1 r 2 günah? 2 = b 1 a 2 + a 1 b 2,
ve sonunda şunu elde ederiz:
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)i.
b 1 = b 2 = 0 durumunda çarpanlar a 1 ve a 2 reel sayılarıdır ve çarpım bu sayıların a 1 a 2 çarpımına indirgenir. Durumunda
a 1 = a 2 = 0 ve b 1 = b 2 = 1,
eşitlik (a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I şunu verir: i???i = i 2 = -1, yani. sanal birimin karesi -1'dir. Pozitif tamsayı kuvvetleri i'yi sırayla hesaplayarak şunu elde ederiz:
ben2 = -1; ben 3 = -i; ben 4 = 1; ben 5 = ben; ben 6 = -1; ...
ve genel olarak herhangi bir pozitif k için:
ben 4k = 1; ben 4k+1 = ben; ben 4k+2 = -1; ben 4k+3 = -i
(a 1 + b 1 i)(a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (b 1 a 2 + a 1 b 2)I eşitliği ile ifade edilen çarpma kuralı, şu şekilde formüle edilir: karmaşık sayılar, i 2 = -1 sayılarak alfabetik polinomlar gibi çarpılmalıdır.
Yukarıdaki formüllerden, karmaşık sayıların toplanması ve çarpılmasının değişme yasasına uyduğu hemen anlaşılmaktadır; toplam, terimlerin sırasına bağlı değildir ve ürün, faktörlerin sırasına bağlı değildir. Aşağıdaki kimliklerle ifade edilen birleşimsel ve dağılımsal yasaların geçerliliğini doğrulamak zor değildir:
(? 1 + ? 2) + ? 3 = ? 1 + (? 2 + ? 3); (? 1 ? 2)? 3 = ? 1 (? 2 ? 3); (? 1 + ? 2)? = ? 1 ? + ? 2 ? .
Birkaç faktörün çarpımı, faktörlerin modüllerinin çarpımına eşit bir modüle ve faktörlerin argümanlarının toplamına eşit bir argümana sahip olacaktır. Dolayısıyla, karmaşık sayıların çarpımı ancak ve ancak faktörlerden en az birinin sıfıra eşit olması durumunda sıfıra eşit olacaktır.
Örnek: verilen karmaşık sayılar z 1 = 2 + 3i, z 2 = 5 - 7i. Bulmak:
a) z1 + z2; b) z1 - z2; c) z 1 z 2 .
a) z 1 + z 2 = (2 + 3i) + (5 - 7i) = 2 + 3i + 5 - 7i = (2 + 5) + (3i - 7i) = 7 - 4i; b) z 1 - z 2 = (2 + 3i) - (5 - 7i) = 2 + 3i - 5 + 7i = (2 - 5) + (3i + 7i) = - 3 + 10i; c) z 1 z 2 = (2 + 3i)(5 - 7i) = 10 - 17i + 15i - 21i 2 = 10 - 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (- 14i + 15i) = 31 + ben (burada i 2 = - 1 olduğu dikkate alınır).
Örnek: şu adımları izleyin:
a) (2 + 3i)2; b) (3 - 5i)2; c) (5 + 3i)3 .
a) (2 + 3i) 2 = 4 + 2Х2Ч3i + 9i 2 = 4 + 12i - 9 = - 5 + 12i; b) (3 - 5i) 2 = 9 - 2Х3Ч5i + 25i 2 = 9 - 30i - 25 = - 16 - 30i; c) (5 + 3i) 3 = 125 + 3Х25Ч3i + 3Ч5Ч9i 2 + 27i 3 ; i 2 = - 1 ve i 3 = - i olduğundan, (5 + 3i) 3 = 125 + 225i - 135 - - 27i = - 10 + 198i elde ederiz.
Örnek: eylemleri gerçekleştirin
a) (5 + 3i)(5 - 3i); b) (2 + 5i)(2 - 5i); c) (1 + i)(1 - i).
a) (5 + 3i)(5 - 3i) = 5 2 - (3i) 2 = 25 - 9i 2 = 25 + 9 = 34; b) (2 + 5i)(2 - 5i) = 2 2 - (5i) 2 = 4 + 25 = 29; c) (1 + i)(1 - i) = 1 2 - ben 2 = 1 + 1 = 2.