Dışbükey n üçgeninin tanımı. İspat: AC köşegenini çizelim

Bir düzlem üzerinde dışbükey noktalar kümesi.

Bir düzlemde veya içinde birçok nokta üç boyutlu uzay isminde dışbükey, eğer bu kümenin herhangi iki noktası tamamen bu kümenin içinde yer alan bir doğru parçasıyla bağlanabiliyorsa.

Teorem 1. Kavşak sonlu sayı dışbükey kümelerin sayısı bir dışbükey kümedir.

Sonuçlar. Sonlu sayıda dışbükey kümenin kesişimi bir dışbükey kümedir.

Köşe noktaları.

Sınır noktası dışbükey küme isminde açısal, eğer tüm noktaları verilen kümeye ait olmayan bir doğru parçası çizmek mümkünse.

Farklı şekillerden oluşan kümeler sonlu veya sonsuz sayı köşe noktaları.

Dışbükey çokgen.

Çokgen isminde dışbükey, eğer komşu köşelerinden ikisinden geçen her çizginin bir tarafında yer alıyorsa.

Teorem: Dışbükey bir n-gon'un açılarının toplamı 180˚ *(n-2)'dir.

6) Sistemlerin çözümü m doğrusal eşitsizlikler iki değişkenli

İki değişkenli doğrusal eşitsizlikler sistemi verildiğinde

Eşitsizliklerin bir kısmının veya tamamının işareti ≥ olabilir.

X1OX2 koordinat sistemindeki ilk eşitsizliği ele alalım. Düz bir çizgi oluşturalım

bu sınır çizgisidir.

Bu düz çizgi, düzlemi 1 ve 2 numaralı iki yarım düzleme ayırır (Şekil 19.4).

Yarım düzlem 1 orijini içerir, yarım düzlem 2 orijini içermez.

Belirli bir yarım düzlemin sınır çizgisinin hangi tarafında bulunduğunu belirlemek için şunları yapmanız gerekir: keyfi nokta düzlemde (tercihen başlangıç ​​noktası) bulun ve bu noktanın koordinatlarını eşitsizliğin yerine koyun. Eşitsizlik doğruysa, yarım düzlem bu noktaya doğru bakar; doğru değilse o zaman noktanın tersi yöndedir.

Şekillerde yarım düzlemin yönü okla gösterilmiştir.

Tanım 15. Sistemin her bir eşitsizliğinin çözümü, sınır çizgisini içeren ve onun bir tarafında yer alan bir yarım düzlemdir.

Tanım 16. Her biri sistemin karşılık gelen eşitsizliği tarafından belirlenen yarım düzlemlerin kesişimine sistemin çözüm alanı (SO) denir.

Tanım 17. Negatif olmama koşullarını (xj ≥ 0, j =) karşılayan bir sistemin çözüm bölgesine, negatif olmayan veya kabul edilebilir çözümlerin bölgesi (ADS) adı verilir.

Eşitsizlik sistemi tutarlıysa, OR ve ODR bir çokyüzlü, sınırsız bir çokyüzlü bölge veya tek bir nokta olabilir.

Eşitsizlik sistemi tutarsızsa OR ve ODR boş bir kümedir.

Örnek 1. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun ve ODE'nin köşe noktalarının koordinatlarını belirleyin.

Çözüm. İlk eşitsizliğin OR'sini bulalım: x1 + 3x2 ≥ 3. x1 + 3x2 – 3 = 0 sınır çizgisini oluşturalım (Şekil 19.5). (0,0) noktasının koordinatlarını eşitsizliğin yerine koyalım: 1∙0 + 3∙0 > 3; (0,0) noktasının koordinatları bunu sağlamadığından, (19.1) eşitsizliğinin çözümü (0,0) noktasını içermeyen bir yarım düzlemdir.

Sistemin geri kalan eşitsizliklerine de benzer şekilde çözümler bulalım. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sinin şöyle olduğunu elde ederiz: dışbükey çokyüzlü ABCD.

bulacağız köşe noktalarıçokyüzlü. A noktasını çizgilerin kesişme noktası olarak tanımlarız

Sistemi çözerek A(3/7, 6/7) elde ederiz.

Doğruların kesişme noktası olarak B noktasını buluyoruz

Sistemden B(5/3, 10/3) elde ediyoruz. Benzer şekilde C ve D noktalarının koordinatlarını da buluyoruz: C(11/4; 9/14), D(3/10; 21/10).

Örnek 2. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun

Çözüm. Düz doğrular çizelim ve (19.5)-(19.7) eşitsizliklerinin çözümlerini belirleyelim. OR ve ODR, sırasıyla ACFM ve ABDEKM sınırsız çokyüzlü bölgelerdir (Şekil 19.6).

Örnek 3. Eşitsizlik sisteminin OR ve ODE'sini bulun

Çözüm. (19.8)-(19.10) eşitsizliklerinin çözümlerini bulalım (Şekil 19.7). OR, sınırsız çokyüzlü ABC bölgesini temsil eder; ODR - B noktası.

Örnek 4. Eşitsizlik sisteminin OP ve ODP'sini bulun

Çözüm. Düz çizgiler çizerek sistemdeki eşitsizliklere çözüm bulacağız. OR ve ODR uyumsuzdur (Şekil 19.8).

EGZERSİZLER

Eşitsizlik sistemlerinin OR ve ODE'sini bulun

Teorem. Eğer xn ® a ise .

Kanıt. xn®a'dan şu sonuç çıkıyor. Aynı zamanda:

, yani , yani . Teorem kanıtlandı.

Teorem. Eğer xn ® a ise (xn) dizisi sınırlıdır.

Bunun tersinin doğru olmadığı unutulmamalıdır; Bir dizinin sınırlı olması onun yakınsaması anlamına gelmez.

Örneğin, dizi yine de sınırı yok

Fonksiyonların kuvvet serilerine genişletilmesi.

Fonksiyonların genişletilmesi güç serisi sahip olmak büyük değerçözmek çeşitli görevler fonksiyonların araştırılması, farklılaşma, entegrasyon, çözümler diferansiyel denklemler, limitlerin hesaplanması, bir fonksiyonun yaklaşık değerlerinin hesaplanması.

Bu derste başlayacağız yeni konu ve bize yeni bir kavram kazandırıyor: “çokgen”. Çokgenlerle ilgili temel kavramlara bakacağız: kenarlar, köşe açıları, dışbükeylik ve dışbükey olmama. O zaman kanıtlayacağız en önemli gerçekler toplam teoremi gibi iç köşelerçokgen, toplam teoremi dış köşelerçokgen. Sonuç olarak, ilerideki derslerde ele alınacak olan çokgenlerin özel durumlarını incelemeye yaklaşacağız.

Konu: Dörtgenler

Ders: Çokgenler

Geometri dersinde özellikleri inceliyoruz geometrik şekiller ve bunların en basitlerini zaten inceledik: üçgenler ve daireler. Aynı zamanda bu şekillerin dikdörtgen, ikizkenar ve ikizkenar gibi özel durumlarını da ele aldık. düzgün üçgenler. Şimdi daha genel şeylerden bahsetmenin zamanı geldi ve karmaşık figürler - çokgenler.

Özel bir durumla çokgenler zaten aşinayız - bu bir üçgen (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1. Üçgen

İsmin kendisi zaten bunun üç açılı bir figür olduğunu vurguluyor. Bu nedenle, çokgen birçoğu olabilir, yani. üçten fazla. Örneğin bir beşgen çizelim (bkz. Şekil 2), yani. beş köşeli şekil.

Pirinç. 2. Pentagon. Dışbükey çokgen

Tanım.Çokgen- birkaç noktadan (ikiden fazla) ve bunları sırayla bağlayan karşılık gelen sayıda bölümden oluşan bir şekil. Bu noktalara denir zirvelerçokgen ve bölümler partiler. Bu durumda, iki bitişik kenar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz ve bitişik olmayan iki kenar kesişmez.

Tanım.Düzenli çokgen tüm kenarları ve açıları eşit olan dışbükey bir çokgendir.

Herhangi çokgen Düzlemi iki alana ayırır: iç ve dış. İç alan da denir çokgen.

Yani örneğin beşgen denildiğinde hem iç bölgesinin tamamı, hem de sınırı kastediliyor. Ve iç bölge çokgenin içinde yer alan tüm noktaları içerir, yani. bu nokta aynı zamanda beşgeni de ifade etmektedir (bkz. Şekil 2).

Çokgenlere bazen neyin dikkate alındığını vurgulamak için n-gonlar da denir. genel durum bilinmeyen sayıda açının (n adet) varlığı.

Tanım. Poligon çevresi- çokgenin kenarlarının uzunluklarının toplamı.

Şimdi çokgen türlerini tanımamız gerekiyor. Bunlar bölünmüştür dışbükey Ve dışbükey olmayan. Örneğin, Şekil 2'de gösterilen çokgen. 2 dışbükeydir ve Şekil 2'de. 3 dışbükey olmayan.

Pirinç. 3. Dışbükey olmayan çokgen

Tanım 1. Çokgen isminde dışbükey, eğer kenarlarından herhangi biri boyunca düz bir çizgi çizerken, tamamı çokgen bu düz çizginin yalnızca bir tarafında yer alır. Dışbükey olmayan diğer herkes mi çokgenler.

Şekil 2'deki beşgenin herhangi bir kenarını uzatırken bunu hayal etmek kolaydır. 2 hepsi bu düz çizginin bir tarafında olacak, yani. dışbükeydir. Ancak Şekil 2'deki bir dörtgen boyunca düz bir çizgi çizerken. 3'te onu iki parçaya böldüğünü zaten görüyoruz, yani. dışbükey değildir.

Ancak çokgenin dışbükeyliğinin başka bir tanımı daha var.

Tanım 2. Çokgen isminde dışbükey, eğer iç noktalarından herhangi ikisini seçip bunları bir doğru parçasına bağlarken, doğru parçasının tüm noktaları aynı zamanda çokgenin iç noktalarıysa.

Bu tanımın kullanımının bir gösterimi, Şekil 2'deki segmentlerin oluşturulması örneğinde görülebilir. 2 ve 3.

Tanım. Diyagonal Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren herhangi bir bölümdür.

Çokgenlerin özelliklerini açıklamak için iki tane vardır. en önemli teoremler açıları hakkında: iç açı toplamı teoremi dışbükey çokgen Ve dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı ile ilgili teorem. Şimdi onlara bakalım.

Teorem. Bir dışbükey çokgenin iç açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede?

Kanıt 1. Şekil 2'de tasvir edelim. 4 dışbükey n-gon.

Pirinç. 4. Dışbükey n-gon

Tepe noktasından mümkün olan tüm köşegenleri çiziyoruz. N-gon'u üçgenlere bölüyorlar çünkü çokgenin kenarlarının her biri, tepe noktasına bitişik kenarlar dışında bir üçgen oluşturur. Tüm bu üçgenlerin açılarının toplamının, n-gon'un iç açılarının toplamına tam olarak eşit olacağını şekilden görmek kolaydır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı olduğuna göre, bir n-gon'un iç açılarının toplamı şöyle olur:

Q.E.D.

İspat 2. Bu teoremin başka bir ispatı da mümkündür. Şekil 2'de benzer bir n-gon çizelim. 5 ve iç noktalarından herhangi birini tüm köşelere bağlayın.

Pirinç. 5.

N-gon'un n üçgene (üçgen sayısı kadar kenar) bölünmesini elde ettik. Bütün açılarının toplamı, çokgenin iç açılarının toplamına ve çokgenin iç açılarının toplamına eşittir. iç nokta ve bu açıdır. Sahibiz:

Q.E.D.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoreme göre, bir n-gon'un açılarının toplamının, kenar sayısına (n'ye) bağlı olduğu açıktır. Örneğin bir üçgende açıların toplamı dır. Bir dörtgende açıların toplamı vb.

Teorem. Dışbükey bir çokgenin dış açılarının toplamı hakkında (N-gon).

Açılarının (kenarlarının) sayısı nerede ve , …, dış açılardır.

Kanıt. Şekil 2'de dışbükey bir n-gon'u tasvir edelim. 6 ve iç ve dış açılarını belirtin.

Pirinç. 6. Belirlenmiş dış açılara sahip dışbükey n-gon

Çünkü Dış köşe iç köşeye bitişik olarak bağlanır, daha sonra ve geri kalan dış köşeler için de benzer şekilde. Daha sonra:

Dönüşümler sırasında, bir n-gon'un iç açılarının toplamına ilişkin zaten kanıtlanmış teoremi kullandık.

Kanıtlanmış.

Kanıtlanmış teoremden şu sonuç çıkıyor ilginç gerçek dışbükey bir n-gon'un dış açılarının toplamı şuna eşittir: açılarının (kenarlarının) sayısına göre. Bu arada, iç açıların toplamının aksine.

Referanslar

1. Alexandrov M.S. ve diğerleri Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2006.
2. Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Prasolov V.V. Geometri, 8. sınıf. - M.: Eğitim, 2011.
3. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir S.M. Geometri, 8. sınıf. - M.: VENTANA-GRAF, 2009.

1. Profmeter.com.ua ().
2. Narod.ru ().
3. Xvatit.com ().

Ev ödevi

Çokgen kavramı

Tanım 1

Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz.

Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların uçları - çokgenin köşeleri.

Tanım 2

$n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir.

Çokgen türleri

Tanım 3

Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1).

Şekil 1. Dışbükey çokgen

Tanım 4

Çokgen uzanıyorsa farklı taraflar kenarlarından en az bir düz çizgi geçiyorsa, çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2).

Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen

Bir çokgenin açılarının toplamı

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım.

Teorem 1

Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Kanıt.

Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini diğer tüm köşelere bağlayalım verilen çokgen(Şekil 3).

Şekil 3.

Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Dörtgen kavramı

$2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır.

Tanım 5

Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4).

Şekil 4. Dörtgen

Bir dörtgen için kavramlar dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan bir dörtgen. Klasik örnekler dışbükey dörtgenler kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5).

Şekil 5. Dışbükey dörtgenler

Teorem 2

Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır

Kanıt.

$1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz:

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir:

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Çokgen kavramı

Tanım 1

Çokgençiftler halinde birbirine bağlanan bölümlerden oluşan bir düzlemdeki geometrik bir şekildir, bitişik olanlar aynı düz çizgi üzerinde yer almaz.

Bu durumda segmentlere denir. çokgenin kenarları, ve onların uçları - çokgenin köşeleri.

Tanım 2

$n$-gon, $n$ köşeleri olan bir çokgendir.

Çokgen türleri

Tanım 3

Bir çokgen kenarlarından geçen herhangi bir doğrunun her zaman aynı tarafında yer alıyorsa bu çokgene denir. dışbükey(Şekil 1).

Şekil 1. Dışbükey çokgen

Tanım 4

Bir çokgen, kenarlarından geçen en az bir düz çizginin karşıt taraflarında yer alıyorsa, bu çokgene dışbükey olmayan denir (Şekil 2).

Şekil 2. Dışbükey olmayan çokgen

Bir çokgenin açılarının toplamı

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin bir teorem sunalım.

Teorem 1

Dışbükey bir üçgenin açılarının toplamı aşağıdaki şekilde belirlenir

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Kanıt.

Bize $A_1A_2A_3A_4A_5\dots A_n$ dışbükey çokgen verilsin. $A_1$ köşesini bu çokgenin diğer tüm köşelerine bağlayalım (Şekil 3).

Şekil 3.

Bu bağlantıyla $n-2$ üçgeni elde ederiz. Açılarını toplayarak belirli bir -gon'un açılarının toplamını elde ederiz. Bir üçgenin açılarının toplamı $(180)^0,$'a eşit olduğundan, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının formülle belirlendiğini elde ederiz.

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Dörtgen kavramı

$2$ tanımını kullanarak dörtgen tanımını tanıtmak kolaydır.

Tanım 5

Dörtgen, köşeleri $4$ olan bir çokgendir (Şekil 4).

Şekil 4. Dörtgen

Bir dörtgen için, dışbükey dörtgen ve dışbükey olmayan dörtgen kavramları benzer şekilde tanımlanır. Dışbükey dörtgenlerin klasik örnekleri kare, dikdörtgen, yamuk, eşkenar dörtgen, paralelkenardır (Şekil 5).

Şekil 5. Dışbükey dörtgenler

Teorem 2

Dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı $(360)^0$'dır

Kanıt.

$1$ Teoreminden, bir dışbükey -gon'un açılarının toplamının aşağıdaki formülle belirlendiğini biliyoruz:

\[(n-2)\cdot (180)^0\]

Bu nedenle, dışbükey bir dörtgenin açılarının toplamı şuna eşittir:

\[\left(4-2\right)\cdot (180)^0=(360)^0\]

Teorem kanıtlandı.

Tanım 1. Kırık çizgiye denir son sıra birinci bölümün uçlarından biri ikinci bölümün sonu olarak hizmet edecek şekilde, ikinci bölümün diğer ucu üçüncü bölümün sonu olarak hizmet edecek şekilde bölümler, vb.

Oluşturan segmentler kırık çizgi, bağlantılar olarak adlandırılır. Bitişik bölümler aynı düz çizgi üzerinde yer almaz. Kesikli bir çizginin uçları çakışıyorsa buna denir. kapalı. Bir sürekli çizgi kendisiyle kesişebilir, kendisine dokunabilir ve kendi üzerinde durabilir. Kırık bir çizginin bu özellikleri yoksa buna denir. basit.

Tanım 2. Düzlemin sınırladığı kısmıyla birlikte basit, kapalı, kesikli bir çizgiye çokgen denir.

Kesikli çizginin kendisine çokgenin sınırı denir, kesikli çizginin bağlantıları denir partilerçokgen, bağlantıların uçları çokgenin köşeleridir. Bir çokgenin bitişik iki tarafı bir açı oluşturur. Bir çokgenin açı sayısı kenar sayısına eşittir. Her çokgenin açıları 180°'den küçüktür. Çokgenin kenarlarına ve açılarına denir elemanlarçokgen.

Bir çokgenin bitişik olmayan iki köşesini birleştiren doğru parçasına köşegen denir. Herhangi bir n-gon'un n-2 köşegeni olabilir.

Tanım 3.Çokgen denir dışbükey, eğer kendi tarafını içeren her satırın bir tarafında yer alıyorsa. Bu koşulu sağlamayan çokgenlere dışbükey olmayan denir.

Dışbükey çokgenlerin özellikleri.

Mülk 1. Dışbükey bir çokgenin tüm açıları 180°'den küçüktür.

İspat: P dışbükey çokgeninin herhangi bir A açısını ve A köşesinden gelen a kenarını alın. L, a kenarını içeren düz bir çizgi olsun. P çokgeni dışbükey olduğundan l çizgisinin bir tarafında yer alır. Bu nedenle A açısı l düz çizgisinin bir tarafında yer alır. Sonuç olarak, A açısı açılmış olandan daha küçüktür, yani ÐA< 180°.

Mülk 2. Bir dışbükey çokgenin herhangi iki noktasını birleştiren bir doğru parçası bu çokgenin içinde bulunur.

İspat: Bir dışbükey P çokgeninin herhangi iki M ve N noktasını alın. P çokgeni birkaç yarım düzlemin kesişimidir. MN segmenti bu yarım düzlemlerin her birinde yer alır. Bu nedenle R poligonunda da bulunur.

Mülk 3. Dışbükey bir çokgenin açılarının toplamı (n – 2)∙180°'dir.

İspat: Dışbükey P çokgeninin içinde rastgele bir O noktası alın ve onu çokgenin tüm köşelerine bağlayın. Her birinin açılarının toplamı 180° olan n adet üçgen oluşuyor. O köşesindeki açıların toplamı 360° = 2∙180° olur. Dolayısıyla bir çokgenin açılarının toplamı n∙180° - 2∙180° = (n – 2)∙180°'dir.

Paralelkenar kavramı. Paralelkenarın özellikleri.

Tanım 1. dörtgen, zıt taraflar ikili paralel olanlara paralelkenar denir.

Her paralelkenarın dört köşesi, dört kenarı ve dört köşesi vardır. İki taraf sahip ortak amaçlar, denir bitişik. Her paralelkenarın iki köşegeni vardır - birbirine bağlanan bölümler zıt köşeler paralelkenar. Paralelkenarın açılarının toplamı 360°'dir.

Paralelkenarın özellikleri.

Mülk 1. Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit ve zıt açılar ikili olarak eşittir.

İspat: AC köşegenini çizelim. AC – genel;

РВАС = РАСD (AB II BC'de ve AC sekantında dahili çapraz uzanan);

РВСА = РСАD (MS II BC'de ve AC sekantında iç çapraz uzanan);

Þ DABC = DADC (2 özelliğe göre).

AB = CD; MÖ = MS; РВ = РD.

RA = РВАС + РСAD; РС = РАСB + РАСD; Ş РА = РС.

Mülk 2. Paralelkenarda bir kenara bitişik açıların toplamı 180°'dir.

Kanıt:

РВ + РА =180° (BC II AD ve sekant AB ile dahili tek taraflı).

ÐB + ÐС =180° (AB II CD ve sekant BC ile iç tek taraflı).

ÐD + ÐC =180° (BC II AD ve sekant CD ile iç tek taraflı).

ÐA + ÐD =180° (AB II CD ve sekant AD ile dahili tek taraflı).

Mülk 3. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktasına göre ikiye bölünür.

İspat: O noktasında kesişen AC ve BD köşegenlerini çizelim.

AB = CD (birinci paralelkenara göre);

-ABO = -ODC (AB II CD ve sekant BD'de iç çapraz uzanan);

РБАО = РОСD (AB II CD ve sekant AC'de dahili çapraz uzanan);

Þ DABO = DODC (2 özelliğe dayalı).

BO = OD; AO = OC.

Paralelkenarın işaretleri.

İmza 1. Bir dörtgenin iki kenarı eşit ve paralel ise bu dörtgen bir paralelkenardır.

Verilenler: ABCD – dörtgen; MS II M.Ö.