Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri

Bir fonksiyonun en büyük değeri, değerlerinin en büyüğü, en küçük değeri ise en küçüğüdür.

Bir fonksiyonun yalnızca bir en büyük ve yalnızca bir en küçük değeri olabilir ya da hiç değeri olmayabilir. Sürekli fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerinin bulunması, bu fonksiyonların aşağıdaki özelliklerine dayanmaktadır:

1) Belirli bir aralıkta (sonlu veya sonsuz) y=f(x) fonksiyonu sürekli ise ve yalnızca bir ekstremuma sahipse ve bu bir maksimum (minimum) ise, fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri olacaktır. bu aralıkta.

2) Eğer f(x) fonksiyonu belirli bir doğru parçası üzerinde sürekli ise bu durumda zorunlu olarak bu parça üzerinde en büyük ve en küçük değerlere sahip olur. Bu değerlere ya segmentin içindeki uç noktalarda ya da bu segmentin sınırlarında ulaşılır.

Bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri bulmak için aşağıdaki şemanın kullanılması önerilir:

1. Türevi bulun.

2. Fonksiyonun =0 veya bulunmayan kritik noktalarını bulun.

3. Fonksiyonun kritik noktalardaki ve segmentin uçlarındaki değerlerini bulun ve bunlardan en büyük f max ve en küçük f max'ı seçin.

Karar verirken uygulamalı problemlerözellikle optimizasyon, önemli X aralığında bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini (küresel maksimum ve küresel minimum) bulma görevleri vardır. Bu tür problemleri çözmek için, koşula bağlı olarak bağımsız bir değişken seçilmeli ve incelenen değer şu şekilde ifade edilmelidir: bu değişken. Daha sonra elde edilen fonksiyonun istenen en büyük veya en küçük değerini bulun. Bu durumda sonlu veya sonsuz olabilen bağımsız değişkenin değişim aralığı da problemin koşullarından belirlenir.

Örnek.Üstü açık bir rezervuar dikdörtgen paralel yüzlü kare tabanlı, içini kalaylamanız gerekir. Kapasitesi 108 litre ise tankın boyutları ne olmalıdır? kalaylama maliyeti minimum olacak şekilde su?

Çözüm. Belirli bir kapasite için yüzey alanı minimum düzeydeyse, bir tankı kalayla kaplamanın maliyeti minimum düzeyde olacaktır. Tabanın kenarını a dm ile, tankın yüksekliğini b dm ile gösterelim. O zaman yüzeyinin alanı S eşittir

VE

Ortaya çıkan ilişki, rezervuar S'nin yüzey alanı (fonksiyon) ile taban a tarafı (argüman) arasındaki ilişkiyi kurar. Bir ekstremum için S fonksiyonunu inceleyelim. Birinci türevi bulalım, sıfıra eşitleyelim ve elde edilen denklemi çözelim:

Dolayısıyla a = 6. a > 6 için (a) > 0, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.

Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma aralıkta.

Çözüm: Belirtilen işlev sayı doğrusu boyunca süreklidir. Bir fonksiyonun türevi

için ve için türev. Bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayalım:

.

Verilen aralığın uçlarındaki fonksiyonun değerleri eşittir. Dolayısıyla fonksiyonun en büyük değeri at'a, en küçük değeri ise at'ye eşittir.

Kendi kendine test soruları

1. Formdaki belirsizlikleri ortaya çıkarmak için L'Hopital kuralını formüle edin. Liste Çeşitli türler L'Hopital kuralının kullanılabileceği belirsizlikler.

2. Artan ve azalan fonksiyonun işaretlerini formüle edin.

3. Bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu tanımlayın.

4. Formüle edin gerekli kondisyon bir ekstremumun varlığı.

5. Argümanın hangi değerlerine (hangi noktalara) kritik denir? Bu noktalar nasıl bulunur?

6. Bir fonksiyonun ekstremumunun varlığının yeterli işaretleri nelerdir? Birinci türevi kullanarak bir ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

7. İkinci türevi kullanarak ekstremumdaki bir fonksiyonu incelemek için bir şemanın ana hatlarını çizin.

8. Bir eğrinin dışbükeyliğini ve içbükeyliğini tanımlayın.

9. Bir fonksiyonun grafiğinin dönüm noktasına ne denir? Bu noktaları bulmak için bir yöntem belirtin.

10. Bir eğrinin dışbükeylik ve içbükeyliğinin gerekli ve yeterli işaretlerini formüle edin arka bu bölüm.

11. Bir eğrinin asimptotunu tanımlayın. Dikey, yatay ve nasıl bulunur? eğik asimptotlar fonksiyon grafikleri?

12. Taslak genel şema Bir fonksiyonu araştırmak ve grafiğini çizmek.

13. Belirli bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için bir kural oluşturun.

Ve bunu çözmek için konu hakkında minimum bilgiye ihtiyacınız olacak. Bir sonraki biter akademik yıl, herkes tatile gitmek istiyor ve bu anı yakınlaştırmak için hemen asıl konuya geçeceğim:

Bölgeyle başlayalım. Koşulda belirtilen alan sınırlı kapalı bir düzlem üzerindeki noktalar kümesi. Örneğin, TAM üçgen de dahil olmak üzere bir üçgenin sınırladığı noktalar kümesi (Eğer itibaren sınırlar en az bir noktayı "dikerseniz" bölge artık kapatılmayacaktır). Uygulamada dikdörtgen, dairesel ve biraz daha büyük alanlar da bulunmaktadır. karmaşık şekiller. Şunu da belirtmek gerekir ki, teoride matematiksel analiz kesin tanımlar verilmiştir sınırlamalar, izolasyon, sınırlar vb., ancak herkesin bu kavramların sezgisel düzeyde farkında olduğunu düşünüyorum ve artık daha fazlasına gerek yok.

Düz bir alan standart olarak harfle gösterilir ve kural olarak analitik olarak birkaç denklemle belirtilir. (mutlaka doğrusal olması gerekmez); daha az sıklıkla eşitsizlikler. Tipik laf kalabalığı: “kapalı alan, çizgilerle sınırlı ».

Ayrılmaz bir parça Söz konusu görev çizimde bir alan oluşturmaktır. Nasıl yapılır? Listelenen tüm çizgileri çizmeniz gerekir (içinde bu durumda 3 dümdüz) ve olanları analiz edin. Aranan alan genellikle hafif gölgelidir ve sınırları kalın bir çizgiyle işaretlenir:


Aynı alan da ayarlanabilir doğrusal eşitsizlikler: , bazı nedenlerden dolayı genellikle numaralandırılmış bir liste olarak yazılır. sistem.
Sınır bölgeye ait olduğundan tüm eşitsizlikler elbette gevşek.

Ve şimdi görevin özü. Eksenin orijinden doğrudan size doğru çıktığını hayal edin. Şöyle bir fonksiyon düşünün sürekli her birinde alan noktası. Bu fonksiyonun grafiği bazı yüzey Ve küçük mutluluk, günümüzün sorununu çözmek için bu yüzeyin neye benzediğini bilmemize gerek olmamasıdır. Daha yükseğe, daha aşağıya yerleştirilebilir, düzlemle kesişebilir - bunların hepsi önemli değil. Ve aşağıdakiler önemlidir: göre Weierstrass'ın teoremleri, sürekli V sınırlı kapalı fonksiyonun en büyük değerine ulaştığı alan (en yüksek") ve en az (en düşük") bulunması gereken değerler. Bu değerlere ulaşıldı veya V sabit noktalar, bölgeye aitD , veya bu alanın sınırında kalan noktalarda. Bu, basit ve şeffaf bir çözüm algoritmasına yol açar:

örnek 1

Sınırlı olarak kapalı alan

Çözüm: Öncelikle çizimdeki alanı tasvir etmeniz gerekiyor. Maalesef sorunun etkileşimli bir modelini yapmak benim için teknik olarak zor ve bu nedenle araştırma sırasında bulunan tüm "şüpheli" noktaları gösteren son çizimi hemen sunacağım. Genellikle keşfedildiklerinde birbiri ardına listelenirler:

Giriş kısmına dayanarak kararı iki noktaya ayırmak uygun olacaktır:

I) Durağan noktaları bulun. Bu, sınıfta tekrar tekrar uyguladığımız standart bir eylemdir. birkaç değişkenin ekstremumları hakkında:

Bulunan sabit nokta ait alanlar: (çizim üzerinde işaretleyin) Bu, fonksiyonun değerini belirli bir noktada hesaplamamız gerektiği anlamına gelir:

- makalede olduğu gibi Bir fonksiyonun bir segmentteki en büyük ve en küçük değerleri, önemli sonuçlar vurgulayacağım kalın harflerle. Bunları bir defterde kalemle takip etmek uygundur.

İkinci mutluluğumuza dikkat edin - kontrol etmenin bir anlamı yok bir ekstremum için yeterli koşul. Neden? Fonksiyonun ulaştığı bir noktada bile, örneğin, yerel minimum, o zaman bu, elde edilen değerin şu şekilde olacağı anlamına gelmez: en az bölge genelinde (bkz: dersin başlangıcı koşulsuz aşırılıklar hakkında) .

Sabit nokta bölgeye ait DEĞİLSE ne yapmalı? Hemen hemen hiçbir şey! Bunu not edip bir sonraki noktaya geçmek gerekiyor.

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz.

Kenarlık bir üçgenin kenarlarından oluştuğu için çalışmayı 3 alt bölüme ayırmak uygun olacaktır. Ama yine de bunu yapmamak daha iyidir. Benim açımdan öncelikle segmentleri paralel düşünmek daha avantajlı koordinat eksenleri ve her şeyden önce baltaların üzerinde yatanların kendileri. Eylemlerin tüm sırasını ve mantığını kavramak için, "tek nefeste" sonunu incelemeye çalışın:

1) Üçgenin alt tarafını ele alalım. Bunu yapmak için doğrudan işlevin yerine şunu yazın:

Alternatif olarak bunu şu şekilde de yapabilirsiniz:

Geometrik olarak bu şu anlama gelir: koordinat uçağı (bu aynı zamanda denklemde de verilmektedir)"oymak" yüzeyler Tepesi hemen şüphe konusu olan "uzaysal" bir parabol. Hadi bulalım o nerede:

– ortaya çıkan değer alana “düştü” ve bu noktada pekala ortaya çıkabilir (çizimde işaretlenmiştir) fonksiyon maksimuma ulaşır veya en düşük değer tüm bölgede. Öyle ya da böyle, hesaplamaları yapalım:

Diğer “adaylar” ise elbette segmentin sonları. Fonksiyonun değerlerini noktalarda hesaplayalım (çizimde işaretlenmiştir):

Bu arada burada, "sadeleştirilmiş" bir versiyonu kullanarak sözlü bir mini kontrol yapabilirsiniz:

2) Araştırma için Sağ Tarafüçgeni fonksiyonun yerine koyarız ve "işleri düzene koyarız":

Burada, segmentin önceden işlenmiş ucunu "çaldırarak" hemen kaba bir kontrol gerçekleştireceğiz:
, Harika.

Geometrik durum ilişkilidir önceki nokta:

– ortaya çıkan değer aynı zamanda “çıkar alanlarımıza da girdi”, yani ortaya çıkan noktadaki fonksiyonun neye eşit olduğunu hesaplamamız gerekiyor:

Segmentin ikinci ucunu inceleyelim:

Fonksiyonun kullanılması , bir kontrol kontrolü gerçekleştirelim:

3) Muhtemelen herkes geri kalan tarafı nasıl keşfedeceğini tahmin edebilir. Bunu fonksiyona yerleştiriyoruz ve basitleştirmeler yapıyoruz:

Segmentin sonları zaten araştırıldı, ancak taslakta hala işlevi doğru bulup bulmadığımızı kontrol ediyoruz :
– 1. alt paragrafın sonucuyla çakıştı;
– 2. alt paragrafın sonucuyla çakıştı.

Segmentte ilginç bir şey olup olmadığını öğrenmek için kalıyor:

- Orada! Düz çizgiyi denklemde yerine koyarsak, bu "ilginçliğin" ordinatını elde ederiz:

Çizimde bir noktayı işaretliyoruz ve fonksiyonun karşılık gelen değerini buluyoruz:

Hesaplamaları “bütçe” versiyonunu kullanarak kontrol edelim :
, emir.

Ve son adım: Tüm "cesur" sayıları DİKKATLİCE inceliyoruz, hatta yeni başlayanlara tek bir liste yapmalarını öneririm:

buradan en büyük ve en küçük değerleri seçiyoruz. Cevap Bulma problemi tarzında yazalım bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri:

Her ihtimale karşı tekrar yorum yapacağım geometrik anlamı sonuç:
- işte en fazlası yüksek nokta Bölgedeki yüzeyler;
- işte en fazlası düşük nokta Bölgedeki yüzeyler.

Analiz edilen görevde 7 "şüpheli" nokta belirledik ancak bunların sayısı görevden göreve değişiyor. Üçgen bir bölge için minimum "araştırma seti" aşağıdakilerden oluşur: üç nokta. Bu, örneğin fonksiyon şunu belirttiğinde meydana gelir: uçak– hiçbir durağan noktanın olmadığı ve fonksiyonun maksimum/en küçük değerlerine yalnızca üçgenin köşelerinde ulaşabileceği tamamen açıktır. Ancak yalnızca bir veya iki benzer örnek var; genellikle bir tür şeyle uğraşmanız gerekir. 2. dereceden yüzey.

Bu tür görevleri biraz çözmeye çalışırsanız üçgenler başınızı döndürebilir, bu yüzden sizin için hazırladım sıradışı örnekler böylece kare olur :))

Örnek 2

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma çizgilerle sınırlanmış kapalı bir alanda

Örnek 3

Sınırlı kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun.

Özel dikkat Hesaplama hatalarını neredeyse tamamen önleyecek olan ara kontrol zincirinin yanı sıra, bölgenin sınırını incelemenin rasyonel düzenine ve tekniğine dikkat edin. Genel olarak konuşursak, bunu istediğiniz şekilde çözebilirsiniz, ancak bazı problemlerde, örneğin Örnek 2'de, hayatınızı çok daha zorlaştırma şansı her şekilde vardır. Yaklaşık örnek Dersin sonunda ödevleri bitirmek.

Çözüm algoritmasını sistematize edelim, aksi halde benim bir örümcek olarak gösterdiğim titizlik nedeniyle, 1. örneğin uzun yorum dizisinde bir şekilde kaybolup gitti:

– İlk adımda bir alan oluşturuyoruz, onu gölgelemeniz ve sınırı kalın bir çizgiyle vurgulamanız tavsiye edilir. Çözüm sırasında çizimde işaretlenmesi gereken noktalar ortaya çıkacaktır.

– Durağan noktaları bulun ve fonksiyonun değerlerini hesaplayın sadece onlardan bölgeye aittir. Ortaya çıkan değerleri metinde vurgularız (örneğin, bunları bir kalemle daire içine alın). Eğer sabit bir nokta bölgeye ait DEĞİLSE bu durumu bir ikonla veya sözlü olarak işaretliyoruz. Eğer sabit noktalar hiç de değil, o zaman onların bulunmadığına dair yazılı bir sonuca varırız. Ne olursa olsun bu nokta atlanamaz!

– Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Öncelikle koordinat eksenlerine paralel olan düz çizgileri anlamakta fayda var. (eğer varsa). Ayrıca “şüpheli” noktalarda hesaplanan fonksiyon değerlerini de ön plana çıkarıyoruz. Yukarıda çözüm tekniği hakkında çok şey söylendi ve aşağıda başka bir şey daha söylenecek - okuyun, yeniden okuyun, derinlemesine araştırın!

– Seçilen sayılardan en büyük ve en küçük değerleri seçin ve cevabı verin. Bazen bir fonksiyonun bu tür değerlere aynı anda birkaç noktada ulaşması mümkündür - bu durumda tüm bu noktaların cevaba yansıtılması gerekir. Örneğin, ve bunun en küçük değer olduğu ortaya çıktı. Sonra bunu yazıyoruz

Son örnekler başkalarına ithaf edilmiştir faydalı fikirler pratikte faydalı olacaktır:

Örnek 4

Kapalı bir bölgedeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulun .

Alanın çifte eşitsizlik biçiminde verildiği yazarın formülasyonunu korudum. Bu koşul, eşdeğer bir sistemle veya bu problem için daha geleneksel bir biçimde yazılabilir:

şunu hatırlatırım doğrusal olmayanüzerinde eşitsizliklerle karşılaştık ve eğer gösterimin geometrik anlamını anlamıyorsanız, lütfen gecikmeyin ve durumu hemen açıklığa kavuşturmayın;-)

Çözüm, her zaman olduğu gibi, bir tür "taban"ı temsil eden bir alan inşa etmekle başlar:

Hmm, bazen sadece bilimin granitini çiğnemek zorunda kalmazsın...

I) Durağan noktaları bulun:

Sistem bir aptalın hayalidir :)

Sabit bir nokta bölgeye aittir, yani sınırında yer alır.

Ve böylece sorun yok... ders iyi geçti - doğru çayı içmenin anlamı budur =)

II) Bölgenin sınırlarını araştırıyoruz. Daha fazla uzatmadan x ekseniyle başlayalım:

1) Eğer öyleyse

Parabolün tepe noktasının nerede olduğunu bulalım:
– böyle anların kıymetini bilin – her şeyin zaten net olduğu noktaya kadar “vurdunuz”. Ancak yine de kontrol etmeyi unutmuyoruz:

Segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayalım:

2) C alt"Altları" "tek oturuşta" bulalım - herhangi bir karmaşıklık olmadan bunları fonksiyonun yerine koyarız ve yalnızca segmentle ilgileniriz:

Kontrol:

Bu zaten tırtıklı pistteki monoton sürüşe biraz heyecan katıyor. Kritik noktaları bulalım:

Haydi karar verelim ikinci dereceden denklem, bununla ilgili başka bir şey hatırlıyor musun? ...Ancak, elbette unutmayın, aksi takdirde bu satırları okumazdınız =) Önceki iki örnekte hesaplamalar olsaydı ondalık sayılar(ki bu arada nadirdir), o zaman burada olağan olanlar bizi bekliyor ortak kesirler. "X" köklerini buluyoruz ve "aday" noktaların karşılık gelen "oyun" koordinatlarını belirlemek için denklemi kullanıyoruz:


Fonksiyonun değerlerini bulunan noktalarda hesaplayalım:

İşlevi kendiniz kontrol edin.

Şimdi kazanılan kupaları dikkatlice inceliyoruz ve yazıyoruz cevap:

Bunlar “aday”, bunlar “aday”!

Kendiniz çözmek için:

Örnek 5

En küçüğü bulun ve en yüksek değer işlevler kapalı bir alanda

Kıvrımlı parantezlerin olduğu bir giriş şu şekilde okunur: "şöyle bir nokta kümesi."

Bazen benzer örnekler kullanmak Lagrange çarpanı yöntemi, ancak onu kullanmaya gerçek bir ihtiyaç olması pek olası değildir. Yani, örneğin, aynı alana sahip bir "de" fonksiyonu verilirse, o zaman onun yerine başka bir şey koyduktan sonra türevi hiçbir zorluk olmadan; Üstelik üst ve alt yarım daireleri ayrı ayrı dikkate almaya gerek kalmadan her şey “tek satırda” (işaretlerle) çizilmiştir. Ama elbette daha fazlası da var karmaşık vakalar Lagrange fonksiyonu olmadan (örneğin bir dairenin denkleminin aynı olduğu yer) Geçinmek zor - tıpkı iyice dinlenmeden idare etmenin zor olduğu gibi!

Herkese iyi eğlenceler, gelecek sezon görüşmek üzere!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2: Çözüm: Çizimdeki alanı gösterelim:

Bir segment üzerinde bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerinin aranması süreci, helikopterde bir nesnenin (bir fonksiyonun grafiğinin) etrafında büyüleyici bir uçuşu, uzun menzilli bir topla belirli noktalara ateş edilmesini ve çok fazla seçim yapılmasını anımsatır. Kontrol atışları için bu noktalardan özel noktalar. Noktalar belirli bir şekilde ve buna göre seçilir. belirli kurallar. Hangi kurallara göre? Bunun hakkında daha fazla konuşacağız.

Eğer fonksiyon sen = F(X) aralıkta süreklidir [ A, B] , ardından bu segmente ulaşır en az Ve en yüksek değerler . Bu şu durumlarda gerçekleşebilir: ekstrem noktalar veya segmentin sonlarında. Bu nedenle bulmak için en az Ve fonksiyonun en büyük değerleri , aralıkta sürekli [ A, B] , değerlerini tümünde hesaplamanız gerekir kritik noktalar ve segmentin uçlarında, ardından bunlardan en küçüğünü ve en büyüğünü seçin.

Örneğin fonksiyonun en büyük değerini belirlemek istiyorsunuz. F(X) segmentte [ A, B] . Bunu yapmak için, tüm kritik noktalarını [ A, B] .

Kritik nokta hangi nokta denir fonksiyon tanımlanmış, ve onun türev ya sıfıra eşittir ya da yoktur. Daha sonra fonksiyonun kritik noktalardaki değerleri hesaplanmalıdır. Ve son olarak, fonksiyonun değerleri kritik noktalarda ve segmentin uçlarında karşılaştırılmalıdır ( F(A) Ve F(B)). Bu sayıların en büyüğü olacak fonksiyonun segmentteki en büyük değeri [A, B] .

Bulma sorunları en küçük fonksiyon değerleri .

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte arıyoruz

Örnek 1. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 2] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bulun. Türevi sıfıra () eşitleyelim ve iki kritik nokta alalım: ve. Belirli bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için, nokta segmente ait olmadığı için segmentin uçlarındaki ve noktadaki değerlerini hesaplamak yeterlidir [-1, 2]. Bu fonksiyon değerleri şunlardır: , , . Şunu takip ediyor en küçük fonksiyon değeri(aşağıdaki grafikte kırmızıyla gösterilmiştir), -7'ye eşit, parçanın sağ ucunda - noktasında elde edilir ve En büyük(grafikte de kırmızı), kritik noktada 9'a eşittir.

Bir fonksiyon belirli bir aralıkta sürekliyse ve bu aralık bir doğru parçası değil (ancak örneğin bir aralıksa; aralık ile parça arasındaki fark: aralığın sınır noktaları aralığa dahil edilmez, ancak Segmentin sınır noktaları segmente dahil edilirse, fonksiyonun değerleri arasında en küçük ve en büyük olmayabilir. Yani örneğin aşağıdaki şekilde gösterilen fonksiyon ]-∞, +∞[ üzerinde süreklidir ve en büyük değere sahip değildir.

Ancak herhangi bir aralık için (kapalı, açık veya sonsuz), sürekli fonksiyonların aşağıdaki özelliği doğrudur.

Örnek 4. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte [-1, 3] .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bölümün türevi olarak buluyoruz:

.

Türevi sıfıra eşitliyoruz, bu da bize bir kritik nokta veriyor: . [-1, 3] segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluyoruz:

Bu değerleri karşılaştıralım. Sonuç: noktada -5/13'e eşit ve en yüksek değer noktasında 1'e eşittir.

Fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini birlikte aramaya devam ediyoruz

Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulma konusunda, öğrencilere az önce tartışılanlardan daha karmaşık, yani fonksiyonun bir polinom veya bir polinom olduğu çözüm örnekleri vermeyen öğretmenler var. payı ve paydası polinom olan kesir. Ancak kendimizi bu tür örneklerle sınırlamayacağız çünkü öğretmenler arasında öğrencileri tam olarak düşünmeye zorlamaktan hoşlananlar (türev tablosu) var. Bu nedenle logaritma ve trigonometrik fonksiyon kullanılacaktır.

Örnek 6. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini şu şekilde buluyoruz: ürünün türevi :

Türevi sıfıra eşitliyoruz, bu da bir kritik nokta veriyor: . Segmentine aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluyoruz:

Tüm eylemlerin sonucu: fonksiyon minimum değerine ulaşır, 0'a eşit, noktada ve noktada ve en yüksek değer, eşit e², bu noktada.

Örnek 7. Bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulun segmentte .

Çözüm. Bu fonksiyonun türevini bulun:

Türevi sıfıra eşitliyoruz:

Tek kritik nokta segmente aittir. Belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerlerini bulmak için değerlerini segmentin uçlarında ve bulunan kritik noktada buluyoruz:

Çözüm: fonksiyon minimum değerine ulaşır, eşit , noktada ve en yüksek değer, eşit , noktada .

Uygulamalı ekstremum problemlerde, bir fonksiyonun en küçük (maksimum) değerlerini bulmak, kural olarak, minimum (maksimum) bulmaktan ibarettir. Ancak pratik açıdan daha fazla ilgi çeken minimumlar veya maksimumların kendisi değil, bunların elde edildiği argümanın değerleridir. Uygulamalı problemleri çözerken ortaya çıkar ek zorluk- söz konusu olguyu veya süreci tanımlayan işlevlerin derlenmesi.

Örnek 8. 4 kapasiteli, paralel boru şeklinde bir rezervuar kare taban ve üst kısmı açın, kalaylamanız gerekir. Tankın boyutları ne kadar olmalı ki en az miktar malzeme?

Çözüm. İzin vermek X- taban tarafı, H- tank yüksekliği, S- örtüsüz yüzey alanı, V- hacmi. Tankın yüzey alanı formülle ifade edilir, yani. iki değişkenin bir fonksiyonudur. İfade etmek S bir değişkenin fonksiyonu olarak, nereden olduğu gerçeğini kullanırız. Bulunan ifadeyi değiştirme H formülüne S:

Bu fonksiyonu en uç noktasına kadar inceleyelim. ]0, +∞[ ve her yerde tanımlanır ve türevlenebilir.

.

Türevi sıfıra () eşitliyoruz ve kritik noktayı buluyoruz. Ayrıca türevin bulunmadığı ancak bu değerin tanım kümesine dahil olmadığı ve bu nedenle ekstrem nokta olamayacağı durumlarda. Yani tek kritik nokta burası. İkinci yeterli işaretini kullanarak ekstremum varlığını kontrol edelim. İkinci türevi bulalım. İkinci türev sıfırdan büyük olduğunda (). Bu, fonksiyonun minimuma ulaştığı anlamına gelir. . Bundan beri minimum bu fonksiyonun tek ekstremudur, en küçük değeridir. Yani tank tabanının yan tarafı 2 m, yüksekliği ise 0,2 m olmalıdır.

Örnek 9. noktadan A demiryolu hattı üzerinde bulunan noktaya İLE, ondan uzakta bulunan ben, kargo taşınmalıdır. Bir ağırlık birimini birim mesafe başına demiryolu ile taşımanın maliyeti eşittir, karayolu ile eşittir. Hangi noktaya kadar Mçizgiler demiryolu yük taşımak için bir otoyol inşa edilmelidir A V İLE en ekonomik olanıydı (bölüm AB demiryolunun düz olduğu varsayılmaktadır)?

Bu tür problemleri çözmek için standart algoritma, fonksiyonun sıfırlarını bulduktan sonra aralıklardaki türevin işaretlerini belirlemeyi içerir. Daha sonra, hangi sorunun koşulda olduğuna bağlı olarak, bulunan maksimum (veya minimum) noktalarda ve aralığın sınırında değerlerin hesaplanması.

Size işleri biraz farklı yapmanızı tavsiye ederim. Neden? Bunun hakkında yazdım.

Bu tür sorunları çözmenizi öneririm Aşağıdaki şekilde:

1. Türevi bulun.
2. Türevin sıfırlarını bulun.
3. Hangisine ait olduğunu belirleyin bu aralık.
4. Fonksiyonun değerlerini aralığın sınırlarında ve 3. adımdaki noktalarda hesaplıyoruz.
5. Bir sonuca varıyoruz (sorulan soruyu cevaplayın).

Sunulan örnekleri çözerken çözüm ayrıntılı olarak ele alınmadı ikinci dereceden denklemler, bunu yapabilmeniz gerekir. Onların da bilmesi gerekiyor.

Örneklere bakalım:

77422. y=x fonksiyonunun en büyük değerini bulun[–2;0] segmentinde 3 –3x+4.

Türevin sıfırlarını bulalım:

Koşulda belirtilen aralık x = –1 noktasını içerir.

Fonksiyonun değerlerini –2, –1 ve 0 noktalarında hesaplıyoruz:

Fonksiyonun en büyük değeri 6'dır.

Cevap: 6

77425. y = x 3 – 3x 2 + 2 fonksiyonunun doğru parçası üzerindeki en küçük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

Koşulda belirtilen aralık x = 2 noktasını içerir.

Fonksiyonun değerlerini 1, 2 ve 4 noktalarında hesaplıyoruz:

Fonksiyonun en küçük değeri –2'dir.

Cevap: –2

77426. [–3;3] segmentinde y = x 3 – 6x 2 fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım:

X = 0 noktası koşulda belirtilen aralığa aittir.

Fonksiyonun değerlerini –3, 0 ve 3 noktalarında hesaplıyoruz:

Fonksiyonun en küçük değeri 0'dır.

Cevap: 0

77429. Parça üzerinde y = x 3 – 2x 2 + x +3 fonksiyonunun en küçük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

3x2 – 4x + 1 = 0

Kökleri alıyoruz: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Koşulda belirtilen aralık yalnızca x = 1'i içerir.

Fonksiyonun değerlerini 1 ve 4 noktalarında bulalım:

Fonksiyonun en küçük değerinin 3 olduğunu bulduk.

Cevap: 3

77430. y = x 3 + 2x 2 + x + 3 fonksiyonunun [– 4; -1].

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

3x2 + 4x + 1 = 0

Köklerini alalım:

Koşulda belirtilen aralık x = –1 kökünü içerir.

Fonksiyonun değerlerini –4, –1, –1/3 ve 1 noktalarında buluyoruz:

Fonksiyonun en büyük değerinin 3 olduğunu bulduk.

Cevap: 3

77433. y = x 3 – x 2 – 40x +3 fonksiyonunun doğru parçası üzerindeki en küçük değerini bulun.

Verilen fonksiyonun türevini bulalım:

Türevin sıfırlarını bulalım ve ikinci dereceden denklemi çözelim:

3x2 – 2x – 40 = 0

Köklerini alalım:

Koşulda belirtilen aralık x = 4 kökünü içerir.

0 ve 4 noktalarındaki fonksiyon değerlerini bulun:

Fonksiyonun en küçük değerinin –109 olduğunu bulduk.

Cevap: –109

Türevi olmayan fonksiyonların en büyük ve en küçük değerlerini belirlemenin bir yolunu düşünelim. Bu yaklaşım aşağıdaki durumlarda kullanılabilir: büyük problemler. Prensip basittir - aralıktaki tüm tamsayı değerlerini fonksiyona değiştiririz (gerçek şu ki, bu tür tüm prototiplerde cevap bir tamsayıdır).

77437. [–2;2] segmentinde y=7+12x–x 3 fonksiyonunun en küçük değerini bulun.

–2'den 2'ye kadar puanları değiştirin: Çözümü görüntüle

77434. [–2;0] segmentinde y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 fonksiyonunun en büyük değerini bulun.

Bu kadar. Sana iyi şanslar!

Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.

Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.

Çoğu zaman fizik ve matematikte bir fonksiyonun en küçük değerinin bulunması gerekir. Şimdi size bunu nasıl yapacağınızı anlatacağız.

Bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur: talimatlar

1. En küçük değeri hesaplamak için sürekli fonksiyon belirli bir segmentte aşağıdaki algoritmayı izlemeniz gerekir:
2. Fonksiyonun türevini bulun.
3. Belirli bir parça üzerinde türevin sıfıra eşit olduğu noktaları ve tüm kritik noktaları bulun. Daha sonra fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini bulun, yani x'in sıfıra eşit olduğu denklemi çözün. Hangi değerin en küçük olduğunu bulun.
4. Fonksiyonun hangi değere sahip olduğunu belirleyin uç noktalar. Bu noktalardaki fonksiyonun en küçük değerini belirleyin.
5. Elde edilen verileri en düşük değerle karşılaştırın. Ortaya çıkan sayılardan küçük olanı fonksiyonun en küçük değeri olacaktır.

Bir segmentteki bir fonksiyonun bulunmadığını unutmayın. en küçük noktalar Bu, belirli bir segmentte arttığı veya azaldığı anlamına gelir. Bu nedenle fonksiyonun sonlu bölütlerinde en küçük değer hesaplanmalıdır.

Diğer tüm durumlarda fonksiyonun değeri belirtilen algoritmaya göre hesaplanır. Algoritmanın her noktasında basit bir soruyu çözmeniz gerekecek Doğrusal Denklem tek kök ile. Hatalardan kaçınmak için denklemi bir resim kullanarak çözün.

Yarı açık bir segmentte bir fonksiyonun en küçük değeri nasıl bulunur? Fonksiyonun yarı açık veya açık periyodunda en küçük değer aşağıdaki gibi bulunmalıdır. Fonksiyon değerinin uç noktalarında fonksiyonun tek taraflı limitini hesaplayın. Başka bir deyişle, eğilim noktalarının a+0 ve b+0 değerleri ile verildiği, a ve b'nin isimler olduğu bir denklemi çözün. kritik noktalar.

Artık bir fonksiyonun en küçük değerini nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Önemli olan tüm hesaplamaları doğru, doğru ve hatasız yapmaktır.