Bir piramidin kenarının uzunluğu nasıl bulunur?

Piramidin köşelerinin koordinatları $A_1A_2A_3A_4$ olarak verilmiştir. Nokta koordinatları: A1(4;-1;3) A2(-2;1;0) A3(0;-5;1) A4(3;2;-6)
1) Kenarların uzunluklarını bulun $A_1A_2;A_1A_3;A_1A_4$.
Bir piramidin (herhangi bir şeklin) kenarlarının uzunluğunu noktalar arasındaki mesafe olarak ele alacağız. Noktalar arasındaki mesafe, noktaların koordinatlarını yerine koyan $$d = \sqrt((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2)$$ formülü kullanılarak bulunur. formül ve kenarların uzunluklarını alın
$$A_1A_2 = \sqrt((-2-4)^2+(1+1)^2+(0-3)^2) = 7$$
$$A_1A_3 = \sqrt((0-4)^2+(-5+1)^2+(1-3)^2) = 6$$
$$A_1A_4 = \sqrt((3-4)^2+(2+1)^2+(-6-3)^2) = \sqrt(91)$$
2) $A_1A_2$ ve $A_1A_4$ kenarları arasındaki açı.
Kenarlar arasındaki açıyı bulmak için önce bu kenarların doğrularının denklemlerini, sonra da çizgiler arasındaki açıyı buluyoruz. Doğru denklemlerini iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi olarak arayacağız. verilen puanlar$$ \frac(x-x_1)(x_2-x_1) = \frac(y-y_1)(y_2-y_1) = \frac(z-z_1)(z_2-z_1)$$ Noktaların koordinatlarını yerine koyun ve şunu elde edin: doğruların denklemleri \ (A_1A_2 = \frac(x-4)(-2-4) = \frac(y+1)(1+1) = \frac(z-3)(0-3) => \) $$ A_1A_2 = \frac(x-4)(-6) = \frac(y+1)(2) = \frac(z-3)(-3) $$
$A_1A_4 = \frac(x-4)(3-4) = \frac(y+1)(2+1) = \frac(z-3)(-6-3) =>$ $$ A_1A_4 = \frac(x-4)(-1) = \frac(y+1)(3) = \frac(z-3)(-9)$$
Düz çizgiler arasındaki açı $$ \cos\phi = \frac(l_1l_2+m_1m_2+n_1n_2)( \sqrt(l_1^2+m_1^2+n_1^2) \sqrt(l_2^2+m_2) formülüyle bulunur ^2+n_2 ^2))$$ burada $S_1(l_1;m_1;n_1)$ birinci çizginin yön vektörüdür $S_2(l_2;m_2;n_2)$ ikinci çizgidir. Yön vektörlerinin koordinatlarını sağlıyoruz $$ \cos \widehat(A_4A_1A_2) = \frac((-6)(-1) + 2*3+(-3)(-9))( \sqrt((-6) )^2+ 2^2+(-3)^2) \sqrt((-1)^2+3^2+(-9)^2)) = \frac(6+6+27)(\sqrt (36+4 +9) * \sqrt(1+9+81)) = \frac(39)(7*\sqrt(91)) => \widehat(A_4A_1A_2) \approx 34^0$$
3) Yüz alanı $A_1A_2A_3$.
Tabanda kenarları $A_1A_2 = 7$ ve $A_1A_3 = 6$ olan bir üçgen bulunur, tüm noktaların koordinatları zaten bilinmektedir, yani. üçüncü kenarın uzunluğunu bulabilir ve alanı bulmak için Heron formülünü kullanabilirsiniz, tabanın uzunluğunu $A_1A_2$ ve doğrunun denklemini $A_1A_2$ bilebilirsiniz, noktadan uzaklığı bulacağız $A_3$ bu doğruya kadar bu üçgenin yüksekliği olacak ve alanı $S = \frac(1)(2)ah$ formülüyle bulacaksınız.
Üçüncü tarafı bulalım ve Heron formülünü kullanalım $$S = \sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), \quad p = \frac(a+b+c)(2)$$ $$A_2A_3 = \sqrt ((0+2)^2+(-5-1)^2+(1-0)^2) = \sqrt(41)$$ ise yarı çevre şuna eşittir: $p = \frac (6+7+\sqrt (41))(2) = \frac(13+\sqrt(41))(2)$ $$S = \sqrt( \frac(13+\sqrt(41))( 2)* \frac(13 +\sqrt(41)-12)(2)* \frac(13+\sqrt(41)-14)(2)* \frac(13+\sqrt(41)-2\ sqrt(41))(2 )) = $$$$ = \sqrt( \frac(13+\sqrt(41))(2)* \frac(1+\sqrt(41))(2)* \frac (\sqrt(41)- 1)(2)* \frac(13-\sqrt(41))(2)) = $$ kısaltılmış çarpma formülünü kullanacağız - kareler farkı formülü $a^2- b^2 = (a-b)(a+b) $ $$ = \frac(1)(4)\sqrt( (13^2-41)(41-1)) = \frac(32)(4) \sqrt(5) = 8 \sqrt(5) $$
4) Düz çizginin denklemi $A1A2$.
Doğrunun denklemi 2. paragrafta bulundu
$$ A_1A_2 = \frac(x-4)(-6) = \frac(y+1)(2) = \frac(z-3)(-3) $$
5) $A_1A_2A_3$ düzleminin denklemi.
Noktaların koordinatları bilinmektedir $A_1(4;-1;3), A_2(-2;1;0), A_3(0;-5;1)$
Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemini $$\left|\begin(array)(c) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1\\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & şeklinde yazalım. z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(array)\right| = 0$$ $$\left|\begin(array)(c) x-4 & y+1 & z-3\\ -2-4 & 1+1 & 0-3 \\ noktalarının koordinatlarını değiştirin 0-4 & -5+1 & 1-3 \end(array)\right| = \left|\begin(array)(c) x-4 & y+1 & z-3\\ -6 & 2 & -3 \\ -4 & -4 & -2 \end(array)\right| = $$$$ = (x-4)*2*(-2)+(y+1)(-3)(-4)+(-6)(-4)(z-3)-(-4 )2(z-3)-(-4)(-3)(x-4)-(-2)(-6)(y+1)=$$$$ =-4(x-4)+12 (y+1)+24(z-3)+8(z-3)-12(x-4)-12(y+1) = -16(x-4)+32(z-3)= $ $$$ =-16x+64+32z-96=-16x+32z-32 = 0$$ Düzlem denklemi $$-16x+32z-32 = 0 => -x+2z-2=0$$
6) Tepe noktasından $A_4$ yüze $A_1A_2A_3$ indirilen yüksekliğin denklemi.
$A_4(3;2;-6)$ noktasının koordinatları biliniyor, yüzün buradan bulunduğu düzlemin denklemi $A_1A_2A_3$ $-x+2z-2=0$ denklemiyle $\vec(N)=(-1;0;2)$ düzlemine normal vektörün koordinatlarını elde ederiz. Bu vektör düz çizginin yönlendirici vektörüdür, vektörün koordinatlarını yerine koyalım kanonik denklem düz çizgi ve $A_4$ $\frac(x-3)(-1) = \frac(y-2)(0) = \frac(z+6)(2) $ noktasının koordinatları Oy eksenine dik olan doğrunun denklemi şu şekilde de yazılabilir: $$\frac(x-3)(-1) = \frac(z+6)(2), \quad x=1 $$
7) Kenar $A_1A_4$ ile yüz $A_1A_2A_3$ arasındaki açı.
Kenarın üzerinde bulunduğu düz bir çizgi vardır, denklemi $A_1A_4 = \frac(x-4)(-1) = \frac(y+1)(3) = \frac(z-3)(- 9)$ .
$A_1A_2A_3$ $-x+2z-2=0$ yüzünün ait olduğu bir düzlem var.
$\frac(x-x_0)(m) = \frac(y-y_0)(n) = \frac(z-z_0)(p)\ doğrusunun kanonik denklemini yazalım. düzlemi \(Ax+By+ Cz+D=0$, o zaman düz çizgi ile düzlem arasındaki açı şu formülle hesaplanacaktır: $$ \sin \phi = \frac(|Am + Bn + Cp|)( \ sqrt(A^2+B^2+C^ 2) \sqrt(m^2+n^2+p^2))$$Problemdeki verileri $$\sin \phi = \frac formülünde değiştirin (|(-1)(-1) + 0*3 + 2(-9)|)( \sqrt((-1)^2+0^2+2^2) \sqrt((-1)^2 +3^2+(-9)^2)) = \ frac(17)( \sqrt(455)) => \arcsin (\frac(17)( \sqrt(455))) \yaklaşık 52,84^0$ $

8) Piramidin hacmi.
Piramidin hacmi $$V_(pir) = \frac(1)(3)Sh$$'a eşittir; burada $S = 8 \sqrt(5)$ tabanın alanıdır. Bu tabana indirilen yüksekliği bulmamız gerekiyor ve bu, noktadan düzleme olan mesafedir ve $$d = |\frac(Ax_0+By_0+Cz_0+D)(\sqrt(A) formülüyle hesaplanır. ^2+B^2+ C^2))|$$ burada $(x_0;y_0;z_0)$, $A_4(3,2,-6)$ ve $ noktasının koordinatlarıdır Ax+By+Cz+D=0\ ), \(-x+2z-2=0$'a eşit olan düzlemin denklemidir. Koordinatları yerine koyarız ve şunu elde ederiz: $$h = |\frac(-3+2*(-6)-2)(\sqrt((-1)^2+2^2))| = \frac(17)(\sqrt(5)) $$ Hacim formülünde yerine koyun $$V_(pir) = \frac(1)(3) 8 \sqrt(5)*\frac(17)(\sqrt ( 5)) = \frac(136)(3)$$

Piramit, tabanı çokgen şeklinde olan ve yan yüzler zirveler tepede birleşiyor. Yan yüzlerin sınırlarına kenarlar denir. Piramidin kenarının uzunluğu nasıl bulunur?

İlan sponsoru P&G "Bir piramidin kenarının uzunluğu nasıl bulunur" konulu makaleler Karekökler nasıl eklenir Bir karenin köşegeni nasıl bulunur Bir parabolün tepe noktasının koordinatları nasıl bulunur

Talimatlar

Uzunluğunu aradığınız kenarın sınır noktalarını bulun. Bunlar A ve B noktaları olsun.

A ve B noktalarının koordinatlarını belirtin. Üç boyutlu olarak belirtilmeleri gerekir çünkü piramit üç boyutlu bir figürdür. A(x1, y1, z1) ve B(x2, y2, z2)'yi alın.

Kullanarak gerekli uzunluğu hesaplayın genel formül: Piramidin kenarının uzunluğu, sınır noktalarının karşılık gelen koordinatlarının kare farklarının toplamının köküne eşittir. Koordinatlarınızın rakamlarını formülde yerine koyun ve piramidin kenarının uzunluğunu bulun. Aynı şekilde sadece kenarların uzunluğunu değil düzenli piramit, ama aynı zamanda dikdörtgen, kesik ve keyfi.

Tüm kenarların eşit olduğu, şeklin taban kenarlarının verildiği ve yüksekliğin bilindiği bir piramidin kenar uzunluğunu bulun. Yüksekliğin tabanının konumunu belirleyin, yani. en düşük noktası. Kenarlar eşit olduğundan, merkezi tabanın köşegenlerinin kesişme noktası olacak bir daire çizebileceğimiz anlamına gelir.

Birleştiren düz çizgiler çizin Zıt açılar piramidin tabanı. Kesiştikleri noktayı işaretleyin. Aynı nokta olacak alt sınır piramidin yüksekliği.

Bacakların karelerinin toplamının Pisagor teoremini kullanarak bir dikdörtgenin köşegeninin uzunluğunu bulun. dik üçgen hipotenüsün karesine eşittir. a2+b2=c2 olsun, burada a ve b kenarlardır ve c hipotenüstür. Bu durumda hipotenüs, bacakların karelerinin toplamının köküne eşit olacaktır.

Piramidin kenarının uzunluğunu bulun. İlk önce köşegenin uzunluğunu ikiye bölün. Elde edilen tüm verileri yukarıda açıklanan Pisagor formülüyle değiştirin. Önceki örneğe benzer şekilde, piramidin yüksekliğinin kareleri ile köşegenin yarısının karelerinin toplamının kökünü bulun.

Ne kadar basit

Konuyla ilgili diğer haberler:

Piramit, tabanı çokgen olan ve yüzleri tek bir ortak tepe noktasına bağlanan üçgenler olan çokyüzlülerin çeşitlerinden biri anlamına gelir. Piramidin tepesinden tabanına bir dik açı indirirseniz, ortaya çıkan parçaya yükseklik adı verilir.

Tabanında üçgen bulunan piramitlere üçgen piramit denir. Böyle bir piramidin yüksekliği, yukarıdan taban düzlemine kadar inen dik olacaktır. Doğru yüksekliği bulmak için üçgen piramit yani tüm yüzleri eşkenar olan böyle bir piramit

Piramit, her bir yan yüzü üçgen şeklinde olan üç boyutlu bir şekildir. Tabanda ayrıca bir üçgen varsa ve tüm kenarlar aynı uzunluk, o zaman bu düzenli bir üçgen piramittir. Bu hacimsel şekil dört yüz, bu yüzden genellikle "dört yüzlü" olarak anılır -

Bir piramitteki bir öz, eğer bölüm bu tabana dik ise, üst kısmından yan yüzlerden birinin tabanına çizilen bir bölümdür. Böyle hacimsel bir şeklin yan yüzü her zaman üçgen şekli. Bu nedenle, kısa çizginin uzunluğunu hesaplamak gerekiyorsa, özelliklerin kullanılmasına izin verilir.

Volumetrik geometrik şekil Tüm yan yüzleri üçgen şeklinde olan ve en az bir ortak tepe noktasına sahip olanlara piramit denir. Geri kalanı için ortak olan tepe noktasına bitişik olmayan yüze piramidin tabanı denir. Eğer çokgeni oluşturan çokgenin tüm kenarları ve açıları aynı ise,

Belirli bir düzlemin her iki yanında üç boyutlu bir şekle (örneğin çokyüzlüye) ait noktalar varsa, bu düzleme kesen düzlem denilebilir. İki boyutlu bir şekil oluştu ortak noktalar düzlem ve çokyüzlü, bu durumda bölüm olarak adlandırılır. Böyle bir bölüm çapraz olacaktır,

Bir piramit, aşağıdakilerden oluşan bir çokyüzlüdür belli bir sayı düz yan yüzeylerden oluşan ortak bir tepe noktasına ve bir tabana sahip olan. Tabanın ise her bir yan yüzle ortak bir kenarı vardır ve bu nedenle şekli belirlenir. toplam sayışeklin kenarları. Sağda

Piramit - karmaşık geometrik gövde. Düz bir çokgen (piramidin tabanı), bu çokgenin düzleminde yer almayan bir nokta (piramidin tepesi) ve piramidin tabanının noktalarını piramidin tabanına bağlayan tüm bölümlerden oluşur. tepe. Piramidin alanı nasıl bulunur? Bir cetvele ihtiyacın olacak,

Piramit, çokgen şeklinde bir tabanı ve tepe noktalarında birleşen yan yüzleri olan bir şekildir. Yan yüzlerin sınırlarına denir kaburga. Nasıl bulunur? uzunluk kaburga piramitler?

Talimatlar

Kenarın sınır noktalarını bulun, uzunluk aradığınız şey. Bunlar A ve B noktaları olsun.

A ve B noktalarının koordinatlarını belirtin. Üç boyutlu olarak belirtilmeleri gerekir çünkü piramit üç boyutlu bir figürdür. A(x1, y1, z1) ve B(x2, y2, z2)'yi alın.

Gerekli olanı hesaplayın uzunluk genel formülü kullanarak: kenar uzunluğu piramitler sınır noktalarının karşılık gelen koordinatlarının kare farklarının toplamının köküne eşittir. Koordinatlarınızın sayılarını formülde yerine koyun ve bulun uzunluk kaburga piramitler. Aynı şekilde bulun uzunluk kaburgalar sadece doğru değil piramitler, ama aynı zamanda dikdörtgen, kesik ve keyfi.

Bulmak uzunluk kaburga piramitler Tüm kenarların eşit olduğu, şeklin taban kenarlarının verildiği ve yüksekliğin bilindiği şekil. Yüksekliğin tabanının konumunu belirleyin, yani. en düşük noktası. Kenarlar eşit olduğundan, merkezi tabanın köşegenlerinin kesişme noktası olacak bir daire çizebileceğimiz anlamına gelir.

Tabanın karşıt köşelerini birleştiren düz çizgiler çizin piramitler. Kesiştikleri noktayı işaretleyin. Aynı nokta yüksekliğin alt sınırı olacaktır piramitler.

Bulmak uzunluk Bir dik üçgenin bacaklarının karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğu Pisagor teoremini kullanan bir dikdörtgenin köşegenleri. a2+b2=c2 olsun, burada a ve b kenarlardır ve c hipotenüstür. Bu durumda hipotenüs, bacakların karelerinin toplamının köküne eşit olacaktır.

Bulmak uzunluk kaburga piramitler. İlk bölme uzunlukçapraz olarak ikiye bölünür. Elde edilen tüm verileri yukarıda açıklanan Pisagor formülüyle değiştirin. Önceki örneğe benzer şekilde, yüksekliğin kareleri toplamının kökünü bulun. piramitler ve yarım diyagonal.

Dikkat, yalnızca BUGÜN!

İlginç olan her şey

Bir piramidin tabanının kenarını hesaplamaya ilişkin problemler, geometri problem kitabının oldukça büyük bir bölümünü oluşturur. Çoğu, temelde hangi hemometrik rakamın olduğuna ve problem koşullarında neyin verildiğine bağlıdır. sana…

Bir piramit, tabanında bir çokgen ve ortak bir tepe noktasına sahip yanal üçgen yüzleri olan geometrik bir gövdedir. Piramidin yan yüzlerinin sayısı tabanın kenar sayısına eşittir. Talimat 1B dikdörtgen piramit yan kaburgalardan biri...

Dörtgen bir piramit, dörtgen bir tabana ve dört üçgen yüze sahip bir yan yüzeye sahip bir pentahedrondur. Çokyüzlünün yan kenarları bir noktada kesişir - piramidin tepe noktası. Talimatlar 1Dörtgen piramit...

Şeklin tabanı çokgen ise, koninin özel bir durumuna piramit adı verilir. Bu çokgen dışbükeyse, tüm kenarları aynı uzunluktaysa ve çokyüzlünün tepe noktası tabanın merkezine doğru çıkıntı yapıyorsa piramit denir.

Tüm yan yüzleri üçgen şeklinde olan ve en az bir ortak tepe noktasına sahip olan üç boyutlu geometrik şekle piramit denir. Geri kalanı için ortak olan tepe noktasına bitişik olmayan yüze piramidin tabanı denir. Eğer tüm partiler ve...

Bir piramit, bir ortak tepe noktası ve bir tabana sahip belirli sayıda düz yan yüzeyden oluşan bir çokyüzlüdür. Tabanın ise her bir yan yüzle ortak bir kenarı vardır ve bu nedenle şekli...

Belirli bir düzlemin her iki yanında üç boyutlu bir şekle (örneğin çokyüzlüye) ait noktalar varsa, bu düzleme kesen düzlem denilebilir. Ve bir düzlemin ve bir çokyüzlünün ortak noktalarının oluşturduğu iki boyutlu bir şekle bu durumda denir...

Bir piramit, yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür. Hesaplama yan kaburga okulda okuduysanız, pratikte çoğu zaman yarı unutulmuş bir formülü hatırlamanız gerekir. Talimatlar 1Tabanın türüne göre...

Piramit, her bir yan yüzü üçgen şeklinde olan üç boyutlu bir şekildir. Tabanda da bir üçgen varsa ve tüm kenarlar aynı uzunluğa sahipse, bu normal bir üçgen piramittir. Bu üç boyutlu şeklin dört tarafı var,…

Düzenli çokyüzlü kesik piramidin gelişimi şu şekilde yapılabilir: özel algoritma. Tabanında iki benzer eşkenar yer alan, tetrahedral kesik bir piramidin gelişiminin inşası örneğini kullanarak bunu düşünmek yeterlidir...

Dört yüzün oluşturduğu üç boyutlu geometrik şekle tetrahedron denir. Böyle bir şeklin yüzlerinin her biri yalnızca üçgen şeklinde olabilir. Bir çokyüzlünün dört köşesinden herhangi biri üç kenardan oluşur ve toplam kenar sayısı...

Pek çok insan piramitler de dahil olmak üzere çokyüzlülerin şekline sahiptir. gerçek nesnelerörneğin Mısır'ın ünlü piramitleri. Bu geometrik şeklin çeşitli parametreleri vardır; bunlardan en önemlisi yüksekliktir. Talimatlar 1... olup olmadığını belirleyin...

Bir piramit, tabanı bir çokgen olan ve yüzleri ortak bir tepe noktasına sahip üçgenler olan bir çokyüzlüdür. Düzenli bir piramit için de aynı tanım doğrudur, ancak tabanında doğru olan yatıyor...

Tabanında üçgen bulunan piramitlere üçgen piramit denir. Böyle bir piramidin yüksekliği, yukarıdan taban düzlemine kadar inen dik olacaktır. Düzgün üçgen piramidin yani böyle bir piramidin yüksekliğini bulmak için...

Piramit, tabanında bir çokgen bulunan bir çokyüzlüdür. Tüm yüzler sırayla bir tepe noktasında birleşen üçgenler oluşturur. Piramitler üçgen, dörtgen vb. şeklindedir. Hangisinin olduğunu belirlemek için...