Düz bir parabolün formülleri. Kanonik parabol denklemi

Formun çağrıldığı bir fonksiyon ikinci dereceden fonksiyon.

İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği – parabol.

Durumları ele alalım:

DURUMDA, KLASİK PARABOL

yani ,

Oluşturmak için x değerlerini formülde değiştirerek tabloyu doldurun:

Noktaları işaretleyin (0;0); (1;1); (-1;1), vb. koordinat düzleminde (x değerlerini aldığımız adım ne kadar küçükse (bu durumda 1. adım) ve ne kadar çok x değeri alırsak eğri o kadar düzgün olur), bir parabol elde ederiz:

Durumunu alırsak, yani eksene göre simetrik (oh) bir parabol elde ettiğimizi görmek kolaydır. Benzer bir tabloyu doldurarak bunu doğrulamak kolaydır:

II DURUMU, “a” BİRİMDEN FARKLIDIR

, , alırsak ne olur? Parabolün davranışı nasıl değişecek? Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}

İlk resimde (yukarıya bakın), parabol tablosundaki (1;1), (-1;1) noktalarının (1;4), (1;-4) noktalarına dönüştürüldüğü açıkça görülmektedir. yani aynı değerlerle her noktanın ordinatı 4 ile çarpılır. Bu, orijinal tablonun tüm anahtar noktalarında geçerli olacaktır. Resim 2 ve 3'te de benzer şekilde mantık yürütüyoruz.

Ve parabol parabolden "genişlediğinde":

Özetleyelim:

1)Katsayının işareti dalların yönünü belirler. Title =Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Mutlak değer katsayısı (modülü) parabolün “genişlemesinden” ve “sıkışmasından” sorumludur. Parabol ne kadar büyük olursa, parabol o kadar dar olur; |a| ne kadar küçükse, parabol o kadar geniş olur.

III DURUM, “C” GÖRÜNÜYOR

Şimdi oyuna girelim (yani durumu düşünün), formun parabollerini ele alacağız. İşarete bağlı olarak parabolün eksen boyunca yukarı veya aşağı kayacağını tahmin etmek zor değildir (her zaman tabloya başvurabilirsiniz):

IV DURUM, “b” GÖRÜNÜYOR

Parabol ne zaman eksenden "kopacak" ve sonunda tüm koordinat düzlemi boyunca "yürüyecek"? Ne zaman eşit olmaktan vazgeçecek?

Burada bir parabol oluşturmak için ihtiyacımız olan şey Tepe noktasını hesaplamak için formül: , .

Yani bu noktada (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) zaten yapabileceğimiz bir parabol oluşturacağız. Eğer durumla ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, bir yukarıya koyarız - ortaya çıkan nokta bizimdir (benzer şekilde sola bir adım, bir adım yukarı bizim noktamızdır); örneğin ilgileniyorsak, o zaman tepe noktasından bir birim segmenti sağa, iki yukarıya vb. koyarız.

Örneğin bir parabolün tepe noktası:

Şimdi anlaşılması gereken asıl şey, bu tepe noktasında parabol düzenine göre bir parabol oluşturacağımızdır, çünkü bizim durumumuzda.

Bir parabol oluştururken tepe noktasının koordinatlarını bulduktan sonraAşağıdaki noktaları dikkate almak uygundur:

1) parabol kesinlikle noktadan geçecektir . Gerçekten de formülde x=0 yerine şunu elde ederiz. Yani parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasının ordinatı . Örneğimizde (yukarıda), parabol ordinatla noktasında kesişiyor, çünkü .

2) simetri ekseni paraboller düz bir çizgi olduğundan parabolün tüm noktaları onun etrafında simetrik olacaktır. Örneğimizde hemen (0; -2) noktasını alıp parabolün simetri eksenine göre simetrik oluşturuyoruz, parabolün geçeceği (4; -2) noktasını elde ediyoruz.

3) Eşitleyerek parabolün eksenle (oh) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz. Ayırt ediciye bağlı olarak bir (, ), iki ( title="Rendered by QuickLaTeX.com) elde ederiz." height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Bir önceki örnekte diskriminantın kökü tam sayı değil; oluştururken kökleri bulmamız pek mantıklı değil ama eksenle iki kesişim noktamızın olacağını açıkça görüyoruz (oh) (title="Rendered by QuickLaTeX.com'dan beri)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Öyleyse hadi çözelim

Formda verilmişse bir parabol oluşturma algoritması

1) dalların yönünü belirleyin (a>0 – yukarı, a<0 – вниз)

2) formülünü kullanarak parabolün tepe noktasının koordinatlarını buluruz.

3) serbest terimi kullanarak parabolün eksen (oy) ile kesişme noktasını buluruz, parabolün simetri eksenine göre bu noktaya simetrik bir nokta oluştururuz (bunu işaretlemenin kârsız olduğu unutulmamalıdır) nokta, örneğin değer büyük olduğu için... bu noktayı atlıyoruz...)

4) Bulunan noktada - parabolün tepe noktasında (yeni koordinat sisteminin (0;0) noktasında olduğu gibi) bir parabol inşa ediyoruz. If title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Parabolün eksenle (oy) kesişme noktalarını (henüz “yüzeye çıkmamışlarsa”) denklemi çözerek buluruz.

Örnek 1

Örnek 2

Not 1. Parabol başlangıçta bize bazı sayıların bulunduğu formda verilmişse (örneğin,), o zaman onu oluşturmak daha da kolay olacaktır, çünkü bize zaten tepe noktasının koordinatları verilmiştir. Neden?

İkinci dereceden bir üç terimliyi alalım ve tam kareyi onun içinde yalnız bırakalım: Bakın, şunu anladık , . Sen ve ben daha önce bir parabolün tepe noktasına, yani şimdi adını vermiştik.

Örneğin, . Parabolün tepe noktasını düzlemde işaretliyoruz, dalların aşağıya doğru yönlendirildiğini, parabolün genişlediğini ('ye göre) anlıyoruz. Yani 1. noktayı uyguluyoruz; 3; 4; Bir parabol oluşturma algoritmasından 5 (yukarıya bakın).

Not 2. Parabol buna benzer bir biçimde verilirse (yani iki doğrusal faktörün çarpımı olarak sunulursa), o zaman parabolün eksen (öküz) ile kesişme noktalarını hemen görürüz. Bu durumda – (0;0) ve (4;0). Geri kalanı için parantezleri açarak algoritmaya göre hareket ediyoruz.

Sınıf 10 . İkinci dereceden eğriler.

10.1. Elips. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, grafik.

10.2. Hiperbol. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, asimptotlar, grafik.

10.3. Parabol. Kanonik denklem. Parabol parametresi, grafik.

Bir düzlemdeki ikinci dereceden eğriler, örtülü tanımı şu şekilde olan çizgilerdir:

Nerede
- gerçek sayılar verildiğinde,
- eğri noktalarının koordinatları. İkinci dereceden eğriler arasında en önemli çizgiler elips, hiperbol ve paraboldür.

10.1. Elips. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, grafik.

Bir elipsin tanımı.Elips, iki sabit noktaya olan uzaklıklarının toplamı olan bir düzlem eğridir.
herhangi bir noktaya düzlem

(onlar.). Puanlar
elipsin odak noktaları denir.

Kanonik elips denklemi:
. (2)

(veya eksen
) hilelerden geçer
ve köken noktadır - segmentin merkezinde yer alır
(Şekil 1). Elips (2), koordinat eksenlerine ve orijine (elipsin merkezi) göre simetriktir. Kalıcı
,
denir elipsin yarı eksenleri.

Elips denklem (2) ile verilirse elipsin odakları şu şekilde bulunur.

1) İlk önce odakların nerede olduğunu belirleriz: odaklar, ana yarı eksenlerin bulunduğu koordinat ekseninde bulunur.

2) Daha sonra odak uzaklığı hesaplanır (odaklardan orijine olan mesafe).

Şu tarihte:
odaklar eksen üzerinde yer alır
;
;
.

Eksantriklik elipse miktar denir: (saatte
);(saatte
).

Her zaman bir elips
.

Eksantriklik, elipsin sıkıştırılmasının bir özelliği olarak hizmet eder.

,
Elips (2), elipsin merkezi noktaya çarpacak şekilde hareket ettirilirse

, o zaman ortaya çıkan elipsin denklemi şu şekle sahiptir:

10.2. Hiperbol. Kanonik denklem. Yarı eksenler, dışmerkezlik, asimptotlar, grafik.Abartılılığın tanımı.
herhangi bir noktaya düzlem
Bir hiperbol, iki sabit noktaya olan uzaklıkların farkının mutlak değerinin olduğu bir düzlem eğrisidir.
(onlar.). bu eğri noktadan bağımsız olarak sabit bir değere sahiptir
hiperbolün odak noktaları denir.

Kanonik hiperbol denklemi:
veya
. (3)

Bu denklem, koordinat ekseninin
(veya eksen
) hilelerden geçer
ve köken noktadır - segmentin merkezinde yer alır
.
,
denir Hiperboller (3) koordinat eksenlerine ve orijine göre simetriktir. Kalıcı.

hiperbolün yarı eksenleri

Bir abartının odakları bu şekilde bulunur.
odaklar eksen üzerinde yer alır
:
Abartılı bir şekilde

Bir abartının odakları bu şekilde bulunur.
odaklar eksen üzerinde yer alır
:
(Şekil 2.a).

(Şekil 2.b) Burada
.

Eksantriklik- odak uzaklığı (odaklardan orijine olan mesafe). Aşağıdaki formülle hesaplanır:

hiperbol miktardır:
);hiperbol miktardır:
).

(İçin
.

Abartı her zaman vardır Hiperbollerin asimptotları
(3) iki düz çizgidir: .

. Hiperbolün her iki dalı da asimptotlara artan oranlarda sınırsız olarak yaklaşır.
Bir hiperbol grafiğinin oluşturulması şu şekilde yapılmalıdır: önce yarı eksenler boyunca kenarları koordinat eksenlerine paralel olan yardımcı bir dikdörtgen oluşturuyoruz; daha sonra bu dikdörtgenin zıt köşelerinden düz çizgiler çizin, bunlar hiperbolün asimptotlarıdır; son olarak hiperbolün dallarını tasvir ediyoruz, yardımcı dikdörtgenin karşılık gelen kenarlarının orta noktalarına dokunuyorlar ve büyümeyle yaklaşıyorlar

asimptotlara (Şekil 2).
Eğer hiperboller (3), merkezleri noktaya çarpacak şekilde hareket ettirilirse
,
ve yarı eksenler eksenlere paralel kalacaktır

,
.

, daha sonra ortaya çıkan hiperbollerin denklemi şu şekilde yazılacaktır:

10.3. Parabol. Kanonik denklem. Parabol parametresi, grafik.Bir parabolün tanımı.
Parabol, herhangi bir nokta için bir düzlem eğrisidir.
bu eğri uzaklıktır sabit bir noktaya
düzlem (parabolün odağı olarak adlandırılır) uzaklığa eşittir düzlemde sabit bir düz çizgiye .

(parabolün doğrultmanı denir):
, (4)

Nerede Kanonik parabol denklemi - adı verilen bir sabit parametre

paraboller.
Nokta
parabol (4)'e parabolün tepe noktası denir. Eksen
simetri eksenidir. Parabolün (4) odağı şu noktadadır
, doğrultman denklemi
.
Anlamlarıyla birlikte parabol grafikleri (4)

Ve
Şekil 2'de gösterilmektedir. Sırasıyla 3.a ve 3.b.
Denklem
,
aynı zamanda düzlemde bir parabol tanımlar

eksenleri parabol (4) ile karşılaştırıldığında,
yerlerini değiştirdik.
Parabol (4), tepe noktası noktaya çarpacak şekilde hareket ettirilirse

ve simetri ekseni eksene paralel kalacaktır

, o zaman ortaya çıkan parabolün denklemi şu şekle sahiptir:Örneklere geçelim.
Örnek 1
.

. İkinci dereceden eğri denklemle verilir
. Bu eğriye bir isim verin. Odaklarını ve eksantrikliğini bulun. Bir düzlemde bir eğri ve odak noktalarını çizin
Çözüm. Bu eğri, bu noktada merkezli bir elipstir.
ve aks milleri
. Bu, değiştirilerek kolayca doğrulanabilir
. Bu dönüşüm, belirli bir Kartezyen koordinat sisteminden geçiş anlamına gelir
yeni bir Kartezyen koordinat sistemine
,
.
Bu koordinat dönüşümüne sistem kayması denir asıl noktaya
. Yeni koordinat sisteminde
eğrinin denklemi elipsin kanonik denklemine dönüştürülür

grafiği Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.
Püf noktaları bulalım.
yani hileler
eksen üzerinde bulunan elips
:
.. Koordinat sisteminde
.
Çünkü

, eski koordinat sisteminde Odakların koordinatları vardır.

Örnek 2 . .

. İkinci dereceden eğrinin adını verin ve grafiğini sağlayın.

Çözüm. Değişken içeren terimlere göre tam kareleri seçelim
. Bu eğriye bir isim verin. Odaklarını ve eksantrikliğini bulun. Bir düzlemde bir eğri ve odak noktalarını çizin
Şimdi eğrinin denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir:

Bu nedenle verilen eğri, bu noktada merkezli bir elipstir.. Elde edilen bilgiler grafiğini çizmemizi sağlar.
.

Örnek 3
. Bu eğriye bir isim verin. Odaklarını ve eksantrikliğini bulun. Bir düzlemde bir eğri ve odak noktalarını çizin
.

. Çizginin adını ve grafiğini verin
Çözüm. .
Bu, merkezli bir elipsin kanonik denklemidir.

O zamandan beri,şu sonuca varıyoruz: verilen denklem düzlemde belirlenir
elipsin alt yarısı (Şek. 5).

Örnek 4
.

. İkinci dereceden eğrinin adını verin

. Odaklarını, eksantrikliğini bulun. Bu eğrinin grafiğini verin. Püf noktaları bulalım.
- yarı eksenli bir hiperbolün kanonik denklemi
Odak uzaklığı.
.

Eksi işareti terimden önce gelir

hiperboller eksen üzerinde yer alır

Hiperbolün dalları eksenin üstünde ve altında bulunur- hiperbolün dışmerkezliği.
Bir hiperbolün asimptotları: .

Bu hiperbolün grafiğinin oluşturulması yukarıda belirtilen prosedüre uygun olarak gerçekleştirilir: yardımcı bir dikdörtgen oluştururuz, hiperbolün asimptotlarını çizeriz, hiperbolün dallarını çizeriz (bkz. Şekil 2.b).
Örnek 5

. Denklemde verilen eğri tipini bulun
ve planlayın.
- merkezi bir noktada olan hiperbol
ve aks milleri.
Çünkü , şu sonuca varıyoruz: verilen denklem hiperbolün düz çizginin sağında kalan kısmını belirler

. Yardımcı koordinat sisteminde hiperbol çizmek daha iyidir

koordinat sisteminden elde edilen :

vardiya

ve ardından hiperbolün istenen kısmını kalın bir çizgiyle vurgulayın
Örnek 6
. Eğrinin türünü bulun ve grafiğini çizin. Çözüm. Değişkenin terimlerine göre tam bir kare seçelim
Eğrinin denklemini yeniden yazalım.
Bu, tepe noktası noktada olan bir parabolün denklemidir.
.

Bir kaydırma dönüşümü kullanılarak parabol denklemi kanonik forma getirilir.

Buradan bunun bir parabol parametresi olduğu açıktır. Odak
sistemdeki paraboller

koordinatları var
Yarı eksenlerini, odak uzunluklarını, dışmerkezliklerini bulun ve hiperbol grafikleri üzerinde odaklarının yerlerini belirtin. Verilen hiperbollerin asimptotları için denklemler yazın.

3. Denklemlerin verdiği parabolleri çizin:
. Parametrelerini, odak uzaklığını bulun ve parabol grafiklerinde odağın konumunu belirtin.

4. Denklem
eğrinin 2. dereceden kısmını tanımlar. Bu eğrinin kanonik denklemini bulun, adını yazın, grafiğini çizin ve eğrinin orijinal denkleme karşılık gelen kısmını vurgulayın.

Parabol, düzlemde belirli bir F noktasına ve bu noktadan geçmeyen belirli bir d düz çizgisine eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir. Bu geometrik tanım ifade eder bir parabolün yönsel özelliği.

Bir parabolün yönsel özelliği

F noktasına parabolün odağı denir, d çizgisi parabolün doğrultmanıdır, odak noktasından doğrultuya indirilen dikin orta noktası O parabolün tepe noktasıdır, p odaktan doğrultuya olan mesafedir parabolün parametresidir ve parabolün tepe noktasından odağına olan uzaklık \frac(p)(2) odak uzaklığıdır (Şekil 3.45a). Doğrultmana dik olan ve odak noktasından geçen çizgiye parabolün ekseni (parabolün odak ekseni) denir. Parabolün rastgele bir M noktasını odağına bağlayan FM segmentine M noktasının odak yarıçapı denir. Bir parabolün iki noktasını birleştiren doğru parçasına parabolün kirişi denir.

Bir parabolün rastgele bir noktası için, odağa olan mesafenin doğrultmana olan mesafeye oranı bire eşittir. , ve parabollerin yönsel özelliklerini karşılaştırarak şu sonuca varırız: parabolün dışmerkezliği tanım gereği bire eşittir (e=1).

Bir parabolün geometrik tanımı Yönsel özelliğini ifade eden analitik tanımına eşdeğerdir - bir parabolün kanonik denklemi tarafından verilen çizgi:

Aslında dikdörtgen bir koordinat sistemi sunalım (Şekil 3.45, b). Koordinat sisteminin orijini olarak parabolün O köşesini alıyoruz; apsis ekseni olarak odak noktasından direktrise dik olarak geçen düz çizgiyi alıyoruz (üzerindeki pozitif yön O noktasından F noktasına kadardır); Apsis eksenine dik olan ve parabolün tepe noktasından geçen düz çizgiyi ordinat ekseni olarak alalım (ordinat eksenindeki yön, dikdörtgen koordinat sistemi Oxy doğru olacak şekilde seçilmiştir).

Bir parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımını kullanarak bir parabol için bir denklem oluşturalım. Seçilen koordinat sisteminde odağın koordinatlarını belirliyoruz F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right) ve doğrultman denklemi x=-\frac(p)(2) . Bir parabole ait keyfi bir M(x,y) noktası için elimizde:

FM=MM_d,

Nerede M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right)- M(x,y) noktasının doğrultmana dik izdüşümü. Bu denklemi koordinat biçiminde yazıyoruz:

\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}

Denklemin her iki tarafının karesini alırız: (\sol(x-\frac(p)(2)\sağ)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Benzer terimleri getirdiğimizde şunu elde ederiz: kanonik parabol denklemi

y^2=2\cdot p\cdot x, onlar. seçilen koordinat sistemi kanoniktir.

Akıl yürütmeyi ters sırayla yürüterek, koordinatları denklemi (3.51) karşılayan tüm noktaların ve yalnızca bunların parabol adı verilen noktaların konumuna ait olduğunu gösterebiliriz. Dolayısıyla bir parabolün analitik tanımı, parabolün yönsel özelliğini ifade eden geometrik tanımına eşdeğerdir.

Kutupsal koordinat sisteminde parabol denklemi

Fr\varphi kutupsal koordinat sistemindeki bir parabolün denklemi (Şekil 3.45, c) şu şekildedir:

r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi), burada p parabolün parametresidir ve e=1 onun dışmerkezliğidir.

Aslında, kutupsal koordinat sisteminin kutbu olarak parabolün F odağını ve kutupsal eksen olarak - F noktasında başlayan, doğrultuya dik ve onunla kesişmeyen bir ışın seçiyoruz (Şekil 3.45, c). . O zaman bir parabolün geometrik tanımına (yön özelliği) göre, bir parabole ait rastgele bir M(r,\varphi) noktası için MM_d=r elde ederiz. Çünkü MM_d=p+r\cos\varphi, parabol denklemini koordinat biçiminde elde ederiz:

p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),

Q.E.D. Kutupsal koordinatlarda elips, hiperbol ve parabol denklemlerinin çakıştığını, ancak dışmerkezlikleri farklı olduğundan farklı çizgileri tanımladıklarını unutmayın (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 için).

Parabol denklemindeki parametrenin geometrik anlamı

Hadi açıklayalım parametrenin geometrik anlamı kanonik parabol denkleminde p. Denklem (3.51)'de x=\frac(p)(2)'yi yerine koyarsak, y^2=p^2 elde ederiz, yani. y=\pm p . Bu nedenle, p parametresi, parabolün eksenine dik olarak odağından geçen parabolün kirişinin uzunluğunun yarısı kadardır.

Parabolün odak parametresi bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi, odak eksenine dik olarak odağından geçen akorun uzunluğunun yarısı denir (bkz. Şekil 3.45, c). Kutupsal koordinatlarda bir parabol denkleminden \varphi=\frac(\pi)(2) r=p elde ederiz, yani. parabolün parametresi odak parametresiyle çakışır.

Notlar 3.11.

1. Bir parabolün p parametresi onun şeklini karakterize eder. P ne kadar büyük olursa, parabolün dalları o kadar geniş olur, p sıfıra o kadar yakın olur, parabolün dalları o kadar dar olur (Şekil 3.46).

2. y^2=-2px denklemi (p>0 için), ordinat ekseninin solunda yer alan bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47,a). Bu denklem, x ekseninin (3.37) yönü değiştirilerek kanonik hale getirilir. Şek. Şekil 3.47,a, verilen Oxy koordinat sistemini ve kanonik Ox"y"yi göstermektedir.

3. Denklem (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0 ekseni apsis eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabol tanımlar (Şekil 3.47,6). Bu denklem paralel öteleme (3.36) kullanılarak kanonik olana indirgenir.

Denklem (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, ayrıca ekseni ordinat eksenine paralel olan O"(x_0,y_0) tepe noktasına sahip bir parabolü tanımlar (Şekil 3.47, c). Bu denklem, paralel çeviri (3.36) kullanılarak ve yeniden adlandırılarak kanonik olana indirgenir. koordinat eksenleri (3.38). Şekil 3.47,b,c'de verilen Oxy koordinat sistemleri ve Ox"y" kanonik koordinat sistemleri gösterilmektedir.

4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0 tepe noktası noktası olan bir paraboldür O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right) Ekseni ordinat eksenine paralel olan parabolün dalları yukarıya (a>0 için) veya aşağıya (a için) yönlendirilir.<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение

y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\sağ)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,

bu, (y")^2=2px" kanonik biçimine indirgenir; burada p=\sol|\frac(1)(2a)\sağ|, değiştirmeyi kullanarak y"=x+\frac(b)(2a) Ve x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).

İşaret, baş katsayı a'nın işaretiyle çakışacak şekilde seçilir. Bu değiştirme şu bileşime karşılık gelir: paralel transfer (3.36) ile x_0=-\frac(b)(2a) Ve y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), koordinat eksenlerinin (3.38) yeniden adlandırılması ve<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 ve bir<0 соответственно.

5. Kanonik koordinat sisteminin x ekseni parabolün simetri ekseni y değişkeninin -y ile değiştirilmesi denklemi (3.51) değiştirmediğinden. Başka bir deyişle, parabole ait M(x,y) noktasının koordinatları ile M noktasına göre x eksenine göre simetrik olan M"(x,-y) noktasının koordinatları denklemi sağlar. (3.S1) kanonik koordinat sisteminin eksenleri denir. parabolün ana eksenleri.

Örnek 3.22.

Oxy kanonik koordinat sisteminde y^2=2x parabolünü çizin. Odak parametresini, odak koordinatlarını ve doğrultman denklemini bulun. Apsis eksenine göre simetrisini dikkate alarak bir parabol inşa ediyoruz (Şekil 3.49). Gerekirse parabolün bazı noktalarının koordinatlarını belirleyin. Örneğin, parabol denkleminde x=2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz: y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Sonuç olarak koordinatları (2;2),\,(2;-2) olan noktalar parabole aittir.

Verilen denklemi kanonik denklemle (3.S1) karşılaştırarak odak parametresini belirleriz: p=1. Odak koordinatları x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0 yani F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). x=-\frac(p)(2) direktrisinin denklemini oluşturuyoruz, yani. x=-\frac(1)(2) .

Elips, hiperbol ve parabolün genel özellikleri

1. Yön özelliği bir elipsin, hiperbolün, parabolün tek bir tanımı olarak kullanılabilir (bkz. Şekil 3.50): düzlemdeki noktaların geometrik yeri; her biri için belirli bir F noktasına olan mesafenin (odak), belirli bir noktadan geçmeyen belirli bir düz çizgiye olan mesafeye d (doğrultman) oranı sabittir ve dışmerkezliğe eşittir e denir:

a) eğer 0\leqslant e ise<1 ;

b) e>1 ise;

c) e=1 ise parabol.

2. Bir elips, hiperbol ve parabol, dairesel bir koninin kesitlerindeki düzlemler olarak elde edilir ve bu nedenle bunlara denir. konik bölümler. Bu özellik aynı zamanda bir elipsin, hiperbolün ve parabolün geometrik tanımı olarak da kullanılabilir.

3. Elips, hiperbol ve parabolün ortak özellikleri şunlardır: iki sektörlü mülk onların teğetleri. Altında teğet Bir noktada bir çizgiye K, söz konusu çizgi üzerinde kalan M noktası K noktasına doğru yöneldiğinde KM sekantının sınırlayıcı konumu olarak anlaşılmaktadır. Bir doğruya teğet olan noktaya dik olan ve teğet noktasından geçen doğruya denir normal bu satıra.

Bir elips, hiperbol ve parabolün teğetlerinin (ve normallerinin) bisektörel özelliği aşağıdaki şekilde formüle edilir: Bir elips veya hiperbolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, a, b); parabolün teğeti (normal), teğet noktasının odak yarıçapı ve ondan doğrultmana bırakılan dik ile eşit açılar oluşturur(Şekil 3.51, c). Başka bir deyişle, elipsin K noktasındaki teğeti, F_1KF_2 üçgeninin dış açısının ortasıdır (ve normal, üçgenin F_1KF_2 iç açısının ortasıdır); hiperbolün teğeti, F_1KF_2 üçgeninin iç açısının ortayıdır (ve normal, dış açının ortasıdır); parabolün teğeti FKK_d üçgeninin iç açısının ortasıdır (ve normal, dış açının ortasıdır). Bir parabolün bisektörel özelliği, parabolün sonsuzda bir noktada ikinci bir odağa sahip olduğunu varsayarsak, bir elips ve bir hiperbol için olduğu gibi aynı şekilde formüle edilebilir.

4. Bisektörel özelliklerden şu sonuç çıkıyor elips, hiperbol ve parabolün optik özellikleri"odaklanma" teriminin fiziksel anlamını açıklıyor. Bir elips, hiperbol veya parabolün odak ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan yüzeyleri hayal edelim. Bu yüzeylere yansıtıcı kaplama uygulandığı takdirde eliptik, hiperbolik ve parabolik aynalar elde edilir. Optik yasasına göre, bir ışık ışınının aynaya gelme açısı yansıma açısına eşittir; Gelen ve yansıyan ışınlar yüzeye normalle eşit açılar oluşturur ve hem ışınlar hem de dönme ekseni aynı düzlemdedir. Buradan aşağıdaki özellikleri elde ederiz:

– ışık kaynağı eliptik bir aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları başka bir odakta toplanır (Şekil 3.52, a);

– ışık kaynağı hiperbolik aynanın odak noktalarından birinde bulunuyorsa, aynadan yansıyan ışık ışınları sanki başka bir odaktan geliyormuş gibi uzaklaşır (Şekil 3.52, b);

– ışık kaynağı parabolik bir aynanın odağındaysa, aynadan yansıyan ışık ışınları odak eksenine paralel gider (Şekil 3.52, c).

5. Çap özelliği elips, hiperbol ve parabol şu şekilde formüle edilebilir:

– Bir elipsin (hiperbol) paralel kirişlerinin orta noktaları, elipsin merkezinden (hiperbol) geçen bir düz çizgi üzerinde yer alır.;

– Bir parabolün paralel kirişlerinin orta noktaları, parabolün düz, eşdoğrusal simetri ekseni üzerinde yer alır.

Bir elipsin (hiperbol, parabol) tüm paralel kirişlerinin orta noktalarının geometrik odağına denir. elipsin çapı (hiperbol, parabol), bu akorlarla eşlenik.

Bu, çapın dar anlamda tanımıdır (bkz. örnek 2.8). Daha önce, bir elipsin, hiperbolün, parabolün ve diğer ikinci dereceden çizgilerin çapının, tüm paralel kirişlerin orta noktalarını içeren düz bir çizgi olduğu geniş anlamda bir çap tanımı verilmişti. Dar anlamda bir elipsin çapı, merkezinden geçen herhangi bir kiriştir (Şekil 3.53, a); bir hiperbolün çapı, hiperbolün merkezinden geçen herhangi bir düz çizgidir (asimptotlar hariç) veya böyle bir düz çizginin parçasıdır (Şekil 3.53,6); Bir parabolün çapı, parabolün belirli bir noktasından simetri eksenine doğru uzanan herhangi bir ışındır (Şekil 3.53, c).

Her biri diğer çapa paralel olarak tüm kirişleri ikiye bölen iki çapa eşlenik denir. Şekil 3.53'te kalın çizgiler bir elipsin, hiperbolün ve parabolün eşlenik çaplarını göstermektedir.

K noktasında elipse (hiperbol, parabol) teğet, M_1M_2 paralel kesenlerinin sınır konumu olarak tanımlanabilir; söz konusu çizgi üzerinde kalan M_1 ve M_2 noktaları K noktasına doğru eğilim gösterir. Bu tanımdan, akorlara paralel bir teğetin, bu akorlara eşlenik çapın ucundan geçtiği sonucu çıkar.

6. Elips, hiperbol ve parabolün yukarıda verilenlere ek olarak çok sayıda geometrik özelliği ve fiziksel uygulaması vardır. Örneğin, Şekil 3.50, F ağırlık merkezinin yakınında bulunan uzay nesnelerinin yörüngelerinin bir gösterimi olarak hizmet edebilir.

- (Yunanca parabol, parabollonun birbirine yaklaşmasından). 1) alegori, benzetme. 2) bir koninin bir bölümünden, onu oluşturan düzlemlerden bazılarına paralel bir düzlemle başlayan eğri bir çizgi. 3) Bir bombanın, top güllesinin vb. uçuşu sırasında oluşan eğri bir çizgi. Sözlük... ... Rus dilinin yabancı kelimeler sözlüğü

Alegori, benzetme (Dahl) Örneğe bakınız... Eşanlamlılar sözlüğü

- (Yunan parabolü) düz eğri (2. dereceden). Bir parabol, belirli bir F noktasına (odak) ve belirli bir D1D2 düz çizgisine (doğrultman) uzaklıkları eşit olan bir M noktaları kümesidir. Uygun koordinat sisteminde parabolün denklemi şu şekildedir: y2=2px, burada p=2OF.… … Büyük Ansiklopedik Sözlük

PARABOLA, matematiksel eğri, bir noktanın sabit bir noktaya yani odağa olan mesafesi, sabit bir düz çizgiye olan doğrultmana olan mesafesine eşit olacak şekilde hareket etmesiyle oluşan KONİK KESİT. Koni kesildiğinde parabol oluşur... Bilimsel ve teknik ansiklopedik sözlük

Kadın, Yunanca alegori, benzetme. | mat. konik bölümler arasından kavisli çizgi; Şeker somununu karşı tarafa paralel olarak eğik olarak kesin. Parabolik hesaplamalar. Parabolik konuşma, heterolog, yabancı konuşma, mecazi... ... Dahl'ın Açıklayıcı Sözlüğü

parabol- y, w. parabol f. gr. parabol. 1. modası geçmiş Benzetme, alegori. BAS 1. Rus'un Paris'e gelmesine gülmek isteyen Fransız, sordu: Parabol, faribol ve obol ne anlama geliyor? Ama çok geçmeden ona cevap verdi: Parabolus, anlamadığın bir şey var;... ... Rus Dilinin Galyacılığın Tarihsel Sözlüğü

PARABOL- (1) düzlem üzerinde 2. dereceden açık eğri bir çizgi, bu y2 = 2px fonksiyonunun grafiğidir, burada p parametredir. Dairesel bir düzlem (bkz.), tepe noktasından geçmeyen ve jeneratörlerinden birine paralel olan bir düzlemle kesiştiğinde bir parabol elde edilir.... ... Büyük Politeknik Ansiklopedisi

- (Yunan parabolünden), herhangi bir M noktasının belirli bir F noktasına (odak) ve belirli bir D 1D1 düz çizgisine (doğrultman) uzaklıkları eşit olan düz bir eğri (MD=MF) ... Modern ansiklopedi

PARABOLA, paraboller, kadınlar. (Yunanca: parabol). 1. Generatrislerden birine (mat.) paralel bir düzlem tarafından sağ dairesel bir koninin konik bir bölümünü temsil eden ikinci dereceden bir eğri. || Altına atılan ağır bir cismin (örneğin bir kurşunun) çizdiği yol... ... Ushakov'un Açıklayıcı Sözlüğü

PARABOLA, s, dişi. Matematikte: Bir düzlem konik bir yüzeyle kesiştiğinde oluşan, bir daldan oluşan açık bir eğri. | sıfat parabolik, ah, ah. Ozhegov'un açıklayıcı sözlüğü. Sİ. Ozhegov, N.Yu. Shvedova. 1949 1992… Ozhegov'un Açıklayıcı Sözlüğü

- “PARABOLA”, Rusya, 1992, renkli, 30 dk. Belgesel yazısı. Volga bölgesindeki küçük bir halk olan Udmurtların masallarının mistik özünü anlama çabası. Yönetmen: Svetlana Stasenko (bkz. Svetlana STASENKO). Senarist: Svetlana Stasenko (bkz. STASENKO... ... Sinema Ansiklopedisi

Kitaplar

Rüya iş arama planının parabolü. İK yöneticilerinin arketipleri..., Marina Zorina. Marina Zorina'nın “Rüyadaki İş Arama Planının Parabolü” adlı kitabı, yazarın gerçek deneyimine dayanmaktadır ve şirket içi işe alım sürecinin kalıplarına ilişkin faydalı bilgilerle doludur…
Hayatımın parabolü Titta Ruffo. Kitabın yazarı, dünyanın önde gelen opera binalarının solisti olan en ünlü İtalyan şarkıcıdır. Titta Ruffo'nun canlı ve doğrudan yazılmış anıları, ilk dönemin tiyatro yaşamının eskizlerini içeriyor...

Muhtemelen herkes parabolün ne olduğunu biliyor. Ancak aşağıda çeşitli pratik sorunları çözerken bunu nasıl doğru ve yetkin bir şekilde kullanacağımıza bakacağız.

Öncelikle cebir ve geometrinin bu terime kazandırdığı temel kavramları özetleyelim. Bu grafiğin tüm olası türlerini ele alalım.

Bu fonksiyonun tüm temel özelliklerini bulalım. Eğri yapısının (geometri) temellerini anlayalım. Bu tür bir grafiğin üst ve diğer temel değerlerini nasıl bulacağımızı öğrenelim.

Hadi öğrenelim: Denklemi kullanarak istenen eğriyi doğru bir şekilde nasıl oluşturacağınızı, nelere dikkat etmeniz gerektiğini. Bu eşsiz değerin insan yaşamındaki ana pratik uygulamasına bakalım.

Parabol nedir ve neye benziyor?

Cebir: Bu terim ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiğini ifade eder.

Geometri: Bu, bir takım belirli özelliklere sahip olan ikinci dereceden bir eğridir:

Kanonik parabol denklemi

Şekilde dikdörtgen bir koordinat sistemi (XOY), bir ekstremum, apsis ekseni boyunca fonksiyonun dallarının yönü gösterilmektedir.

Kanonik denklem:

y 2 = 2 * p * x,

burada p katsayısı parabolün (AF) odak parametresidir.

Cebirde farklı şekilde yazılacaktır:

y = a x 2 + b x + c (tanınabilir model: y = x 2).

İkinci dereceden bir fonksiyonun özellikleri ve grafiği

Fonksiyonun bir simetri ekseni ve bir merkezi (ekstremum) vardır. Tanım alanı apsis ekseninin tüm değerleridir.

– (-∞, M) veya (M, +∞) fonksiyonunun değer aralığı, eğrinin dallarının yönüne bağlıdır. Buradaki M parametresi satırın üst kısmındaki fonksiyonun değeri anlamına gelir.

Bir parabolün dallarının nereye yönlendirildiği nasıl belirlenir

Bu tür bir eğrinin yönünü bir ifadeden bulmak için cebirsel ifadenin ilk parametresinden önceki işareti belirlemeniz gerekir. Eğer a˃ 0 ise yukarı doğru yönlendirilirler. Tam tersi olursa aşağı.

Formülü kullanarak bir parabolün tepe noktası nasıl bulunur?

Ekstremumun bulunması birçok pratik problemin çözümünde temel adımdır. Elbette özel çevrimiçi hesap makinelerini açabilirsiniz, ancak bunu kendiniz yapabilmek daha iyidir.

Nasıl belirlenir? Özel bir formül var. b 0'a eşit olmadığında bu noktanın koordinatlarını aramamız gerekir.

Köşeyi bulma formülleri:

x 0 = -b / (2 * a);
y 0 = y (x 0).

Örnek.

y = 4 * x 2 + 16 * x – 25 şeklinde bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun köşelerini bulalım.

Bunun gibi bir satır için:

x = -16 / (2 * 4) = -2;
y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Tepe noktasının koordinatlarını alıyoruz (-2, -41).

Parabol yer değiştirmesi

Klasik durum, ikinci dereceden bir fonksiyonda y = a x 2 + b x + c, ikinci ve üçüncü parametrelerin 0'a eşit olması ve = 1 - tepe noktasının (0; 0) noktasında olmasıdır.

Apsis veya ordinat eksenleri boyunca hareket, sırasıyla b ve c parametrelerindeki değişikliklerden kaynaklanmaktadır. Düzlemdeki çizgi, parametrenin değerine eşit birim sayısı kadar kaydırılacaktır.

Örnek.

Elimizde: b = 2, c = 3.

Bu, eğrinin klasik formunun apsis ekseni boyunca 2 birim parça ve ordinat ekseni boyunca 3 birim kaydırılacağı anlamına gelir.

İkinci dereceden denklem kullanarak parabol nasıl oluşturulur

Okul çocuklarının verilen parametreleri kullanarak bir parabolün nasıl doğru şekilde çizileceğini öğrenmesi önemlidir.

İfadeleri ve denklemleri analiz ederek aşağıdakileri görebilirsiniz:

İstenilen çizginin ordinat vektörü ile kesişme noktası c'ye eşit bir değere sahip olacaktır.
Grafiğin tüm noktaları (x ekseni boyunca) fonksiyonun ana uç noktasına göre simetrik olacaktır.

Ayrıca böyle bir fonksiyonun diskriminantı (D) bilinerek OX ile kesişim noktaları bulunabilir:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Bunu yapmak için ifadeyi sıfıra eşitlemeniz gerekir.

Bir parabolün köklerinin varlığı sonuca bağlıdır:

D ˃ 0, o zaman x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
D = 0 ise x 1, 2 = -b / (2*a);
D ˂ 0 ise OX vektörüyle kesişme noktası yoktur.

Bir parabol oluşturmak için algoritmayı alıyoruz:

dalların yönünü belirlemek;
tepe noktasının koordinatlarını bulun;
ordinat ekseniyle kesişimi bulun;
x ekseniyle kesişimi bulun.

Örnek 1.

y = x 2 - 5 * x + 4 fonksiyonu göz önüne alındığında. Bir parabol oluşturmak gereklidir. Algoritmayı takip ediyoruz:

a = 1, bu nedenle dallar yukarı doğru yönlendirilir;
ekstrem koordinatlar: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
ordinat ekseni ile y = 4 değerinde kesişir;
diskriminantı bulalım: D = 25 - 16 = 9;
kök arıyorum:

X1 = (5 + 3) / 2 = 4; (4, 0);
X2 = (5 - 3) / 2 = 1; (1, 0).

Örnek 2.

y = 3 * x 2 - 2 * x - 1 fonksiyonu için bir parabol oluşturmanız gerekir. Verilen algoritmaya göre hareket ediyoruz:

a = 3, bu nedenle dallar yukarı doğru yönlendirilir;
ekstrem koordinatlar: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
y ekseni ile y = -1 değerinde kesişecektir;
diskriminantı bulalım: D = 4 + 12 = 16. Yani kökler:

X1 = (2 + 4) / 6 = 1; (1;0);
X2 = (2 - 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

Elde edilen noktaları kullanarak bir parabol oluşturabilirsiniz.

Directrix, eksantriklik, bir parabolün odağı

Kanonik denkleme göre F'nin odağının koordinatları vardır (p/2, 0).

AB düz çizgisi bir direktriktir (belirli bir uzunluktaki bir parabolün bir tür akoru). Denklemi x = -p/2'dir.

Eksantriklik (sabit) = 1.

Çözüm

Öğrencilerin lisede okudukları bir konuya baktık. Artık bir parabolün ikinci dereceden fonksiyonuna bakarak tepe noktasını nasıl bulacağınızı, dalların hangi yöne yönlendirileceğini, eksenler boyunca bir yer değiştirme olup olmadığını ve bir inşaat algoritmasına sahip olarak grafiğini çizebileceğinizi biliyorsunuz.