Bir doğrunun bir düzleme dik olduğu nasıl kanıtlanır? Bir çizginin ve bir düzlemin diklik işareti: teori ve pratik

Ders araştırması

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.

Dersin amacı: Teoremi kanıtlamaya yönelik yaklaşımların çeşitliliğini gösterin; öğrencilerin araştırma becerilerini geliştirmek.

Derse hazırlanıyor: evdeki öğrenci danışmanlar, ek literatür kullanarak bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretinin yedi kanıtını hazırlıyor.

Ders ilerlemesi: I

Öğretmenin açılış konuşması:

Bugünkü dersimiz araştırma dersidir. Sorunları çözme ve sorunlu soruları yanıtlama sürecinde, herkesin en uygun olanı seçmek ve iyice motive etmek için bir çizginin ve bir düzlemin diklik teoreminin formülasyonuna yaklaşması ve bu teoremi kanıtlamak için yedi seçenek hakkında bilgi sahibi olması gerekecektir. onların görüşü.

1. Teoremin formülasyonuna hazırlık:

Bir düzleme dik tanımının tekrarı, problem çözerek bu kavramın pratik uygulamasının analizi.

Görev 1.

Verilenler: Düzlem, bu düzlemdeki A ve B noktaları; AM bu düzleme dik bir çizgidir. AMB üçgeninin tipini belirleyin.

Seçeneklere göre sorunlar.

ABCD düzlemsel bir dörtgen veriliyor. AM ABCD düzlemine diktir. ABC, ACD, ABD, BCD, ADM, ABM, CAM üçgenlerinden hangileri dik açılıdır?

ABCD bir karedir. BK düz çizgisi karenin düzlemine diktir. ABD, BCD, ABK, BDK, BCK üçgenlerinden hangileri dik açılıdır?

Danışmanlar kağıt parçalarını toplar ve çözümleri kontrol eder ve öğretmen öğrencileri şu sonuca yönlendirir:

1. Bir düzleme dik olan düz bir çizginin olduğu doğru mudur?

Bu düzlemde uzanan herhangi bir çizgiye dik mi?

2. Düz bir çizgi ne zaman bir düzleme dik olur?

3. Uçakta kaç çizgi var? Bunları saymak mümkün mü?

Öğrenci - danışmanÖrgü iğnelerinden yapılmış bir modelde çeşitli seçenekler gösterilmektedir: Bir düzlemde bir düzlemde iki düz çizgi vardır, düz bir çizgi bunlardan birine diktir.Çözüm: doğru düzleme dik değildir. Modelin bir sonraki versiyonu: düz bir çizgi, bir düzlemde uzanan iki düz çizgiye diktir ve görünüşe göre düzleme diktir. Daha sonra, onu sabitlemek için üç düz çizgiden vb. oluşan bir model alabilirsiniz.

Modellerle çalışmayı tamamladıktan sonra öğrencilere bir sonraki problemli soru sorulur: Düzlemde, doğrunun düzleme dik olduğunu söylemek için kaç tane çizgi yeterlidir?

Düz bir çizgiye ve düzleme diklik durumunu inceledikten sonra çizimlerde, modellerde ve pratikte düz bir çizgiye ve düzleme dikliğin belirlenmesini mümkün kılacak bir teoreme yaklaştık. Teoremi formüle etmeye çalışalım.

Adamlar teorem formülasyonunun kendi versiyonlarını sunuyorlar. Öğretmen en rasyonel olanı seçer ve öğrencinin evde önerilen literatürde bulduğu söz konusu teoremin formülasyonunun ve ispatının çeşitli versiyonlarını dinlemeyi teklif eder.

2. Teoremin kanıtı:

Teorem: Bir düzlemi kesen bir çizgi, bu doğru ile düzlemin kesişme noktasından bu düzlem üzerinde çizilen herhangi iki çizgiye dik ise, o zaman bu düzlemde aynı kesişme noktasından çizilen herhangi bir üçüncü çizgiye de diktir.

Kanıt: Hadi bunu çevrimiçi hale getirelim AA 1 isteğe bağlı uzunluk, ancak eşit OA ve OA bölümleri 1 ve O noktasından çıkan üç doğruyu C, D ve B noktalarında kesecek düzlem üzerinde bir çizgi çizin. Bu noktaları A ve A noktalarına bağlayın 1 ; birkaç üçgen elde edeceğiz.∆ACB= ∆A 1 CB, BC'ye sahip oldukları için - ortak, AC=A 1 C - AA düz çizgisine eğimli olarak 1 , dikey işletim sisteminin O tabanından eşit uzaklıkta. Aynı sebepten dolayı AB=A 1 B. Bu üçgenlerin eşitliğinden ∟ABC=∟A sonucu çıkar. MÖ 1.

∆ABD=∆A 1 Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretine göre BD: BD - genel, AB=A 1 Kanıtlandığı gibi B, ∟ABC= ∟A 1 BC .Bu üçgenlerin eşitliğinden AD=A sonucu çıkar. 1 D.

Üçgenlerin eşitliğine ilişkin üçüncü kritere göre ∆АОD=∆A1OD. Bu üçgenlerin eşitliğinden AOD= A1OD; ve bu açılar bitişik olduğundan AA1 OD'ye diktir.

Teorem: Bir düzleme ait kesişen iki doğruya dik olan doğru, düzleme diktir.

İlk vaka tüm a, b, c çizgileri O noktasından geçtiğinde - çizginin α düzlemiyle kesişme noktası. OP vektörünü p doğrusu üzerinde ve OC vektörünü c doğrusu üzerinde işaretleyelim ve OP ile OC vektörlerinin çarpımının 0'a eşit olduğunu kanıtlayalım.

OC vektörünü sırasıyla a ve b çizgilerinde bulunan OA ve OB vektörlerine ayıralım; sonra (vektörlerden bahsediyoruz) OC=OA+OB. Araç:

OP∙OC=OP (OA+OB)=OP∙OA+OP∙OB

Fakat OP ┴ OA, OP ┴ OB; dolayısıyla OP∙OA=0, OP∙OB=0. Dolayısıyla OP∙OC=0; OP ┴ OC ve p ┴ s anlamına gelir. Ancak c düzlemin herhangi bir düz çizgisidir; bu şu anlama gelir: p ┴ α

İkinci durum a, b, c düz çizgileri O noktasından geçmediğinde. O noktasından geçen a1||a düz çizgilerini çizelim. b1||b; c1||c. Koşula göre, p ┴ a, p ┴ b, yani p ┴ a1, p ┴ b1 ve yukarıda kanıtlanmış olana göre p ┴ c1 ve dolayısıyla p ┴ c. с çizgisi – α düzleminin herhangi bir çizgisi; Bu, p düz çizgisinin α düzleminde yer alan tüm düz çizgilere dik olduğu ve dolayısıyla p ┴ α olduğu anlamına gelir.

Teorem: Bir çizgi, bir düzlemde bulunan kesişen iki çizgiye dikse, o zaman verilen düzleme diktir.

Kanıt A.V.'nin ders kitabından alınabilir. Pogorelov "Geometri 7-11"

α A X B

bir 2

IV versiyon E.E. efsane

Teorem: Bir düzlem üzerinde uzanan iki çizgiye dik olan bir çizgi, düzlemin kendisine diktir. O

Verilen: SO  OA, SO  OB, OA C  .,OB C 

Kanıt: SO  

Kanıt:

1. Bir üçgenin ortancası kenarlar cinsinden ifade edilebilir

4AM 2 =2(AB 2 +AC 2)-BC 2

2 AOB açısının kenarları arasında kalan AB doğru parçası bu noktada ikiye bölünecek, yani AC = BC olacak şekilde C noktasından geçen düz bir çizgi çiziyoruz. SC – ASB üçgeninin medyanı: 4SC 2 =2(SA 2 +SB 2)-AB 2 . OS – AOB üçgeninin medyanı: 4OB 2 =2(AO2 +OB2)-AB2 . Bu eşitlikleri terim terim çıkararak şunu elde ederiz: 4(SC 2 -OS 2 )=2((SA 2 -AO 2 )+(SB 2 -OV 2 )). Eşitliğin sağ tarafındaki parantez içindeki ifade Pisagor'a göre değiştirilebilir. AOS üçgeni için: SO 2 =SA 2 -OA 2 . BOS üçgeni için: SO 2 =SB 2 -OV 2.

Dolayısıyla: 4(SC 2 -OS 2 )=2(SO 2 +SO 2 ), 4(SC 2 -OS 2 )=4SO 2 , SC 2 -OS 2 =SO 2 , buradan SC 2 =SO 2 +OS 2 . Ters Pisagor teoremine göre SO İşletim sistemi. OS – uçağa ait rastgele bir düz çizgi SO  anlamına gelir.

Teorem: Bir doğru, bir düzlemde yer alan iki kesişen çizginin her birine dik ise, o zaman bu doğru düzleme diktir.

l çizgisinin düzlemdeki herhangi bir üçüncü çizgiye dik olduğunu kanıtlayalım.

Yapılışı: m, n, g doğrularını O noktasına paralel olarak hareket ettiriyoruz; OA=OS=OD=OB, dolayısıyla ABCD bir dikdörtgendir; A, B, C, D'yi bir M noktasına bağlayın.
AMD üçgeninin üç tarafı da BMC'ye eşittir, dolayısıyla açı1, açı2'ye eşittir. MDL üçgeni, iki taraftaki MKV üçgenine ve aralarındaki açıya eşittir. MD=MB, LD=BK – merkezi simetrik; dolayısıyla MK=LM.
MLK üçgeni ikizkenardır, OM ortancadır ve dolayısıyla yüksekliktir. OM aldım g, dolayısıyla l  g, dolayısıyla l 

Teorem: Bir doğru bir düzlemde kesişen iki doğruya dik ise o zaman düzlemin kendisine de diktir.

Kanıt düzlemin eksenine göre simetriye dayanmaktadır.

İnşaat: l  l 1, m. O  l 1, m  n = O, OP=OP’ .
P ve P' noktaları m eksenine göre simetriktir ve P ve P' noktaları da n eksenine göre simetriktir. Daha sonra ((m  n)  ) – P ve P’ noktalarının simetri düzlemi, dolayısıyla, ben 

3. Teoremin kanıtlanması için çeşitli seçeneklerin tartışılması. Öğrenciler kendilerine göre hangi kanıtın optimal olduğu ve neden olduğu konusunda görüşlerini ifade ederler. Öğretmen kendiniz için herhangi bir seçeneği seçmenize izin verir ve teoremi hayattan örneklerle ilişkilendirir: Teknolojide sıklıkla düzleme dik bir yönle karşılaşılır. Sütunlar, eksenleri temel düzlemine dik olacak şekilde monte edilir; çiviler tahtanın düzlemine dik olacak şekilde tahtaya çakılır; Bir buhar motoru silindirinde çubuk, piston vb. düzlemine diktir. Dikey yön özellikle önemlidir, yani yerçekimi yönü yatay düzleme diktir.

Problem: ABCD bir eşkenar dörtgendir ve OK doğrusu eşkenar dörtgenin köşegenlerine diktir.

Kanıtlayın: OK eşkenar dörtgen düzlemine diktir.

Ders özeti.

Ödev: s.17, sayı 120, sayı 129.

Uzayda diklik şunlara sahip olabilir:

1. İki düz çizgi

3. İki uçak

Şimdi sırasıyla bu üç duruma bakalım: bunlarla ilgili tüm tanım ve teorem ifadeleri. Daha sonra üç dikle ilgili çok önemli teoremi tartışacağız.

İki doğrunun dikliği.

Tanım:

Şöyle diyebilirsiniz: Amerika'yı benim için de keşfettiler! Ancak uzayda her şeyin uçaktakiyle tamamen aynı olmadığını unutmayın.

Bir düzlemde yalnızca aşağıdaki çizgiler (kesişen) dik olabilir:

Ancak iki düz çizgi kesişmeseler bile uzayda birbirine dik olabilir. Bakmak:

düz bir çizgi, düz bir çizgiyle kesişmese de ona diktir. Nasıl yani? Düz çizgiler arasındaki açının tanımını hatırlayalım: Kesişen çizgiler arasındaki açıyı bulmak için a doğrusu üzerinde rastgele bir noktadan düz bir çizgi çizmeniz gerekir. Ve sonra ve arasındaki açı (tanım gereği!) ve arasındaki açıya eşit olacaktır.

Hatırlıyor musun? Bizim durumumuzda, eğer düz çizgiler dikse, o zaman düz çizgileri de dik olarak düşünmeliyiz.

Tam bir netlik için şuna bakalım örnek. Bir küp olsun. Ve sizden ve çizgileri arasındaki açıyı bulmanız isteniyor. Bu çizgiler kesişmiyor, kesişiyor. Ve arasındaki açıyı bulmak için çizelim.

Bunun bir paralelkenar (ve hatta bir dikdörtgen!) olması nedeniyle öyle olduğu ortaya çıktı. Ve kare olduğu için öyle çıkıyor. Bu şu anlama geliyor.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.

Tanım:

İşte bir resim:

Düz bir çizgi, eğer bu düzlemdeki tüm düz çizgilere dikse, bir düzleme diktir: ve, ve, ve, ve hatta! Ve bir milyar doğrudan olan daha!

Evet, ama o zaman düz bir çizgide ve bir düzlemde dikliği genel olarak nasıl kontrol edebilirsiniz? Yani hayat yeterli değil! Ama ne mutlu ki, matematikçiler bizi sonsuzluk kabusundan kurtardılar. bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işareti.

Formüle ediyoruz:

Ne kadar harika olduğunu değerlendirin:

düz çizginin dik olduğu düzlemde yalnızca iki düz çizgi (ve) varsa, o zaman bu düz çizgi hemen düzleme, yani bu düzlemdeki tüm düz çizgilere (bazı düz çizgiler dahil) dik olacaktır. yanda duran çizgi). Bu çok önemli bir teoremdir, dolayısıyla anlamını da diyagram şeklinde çizeceğiz.

Ve tekrar bakalım örnek.

Bize düzgün bir tetrahedron verilsin.

Görev: bunu kanıtla. Diyeceksiniz ki: bunlar iki düz çizgi! Düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliğinin bununla ne alakası var?

Ama bakın:

kenarın ortasını işaretleyip çizelim ve. Bunlar ve'deki medyanlardır. Üçgenler düzenli ve...

İşte bir mucize: ve'den beri ortaya çıktı. Ve ayrıca düzlemdeki tüm düz çizgilere, yani ve. Bunu kanıtladılar. Ve en önemli nokta tam olarak bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretinin kullanılmasıydı.

Düzlemler dik olduğunda

Tanım:

Yani (daha fazla ayrıntı için "dihedral açı" konusuna bakın) iki düzlem (ve), bu düzlemlerin kesişme çizgisine iki dik (ve) arasındaki açının eşit olduğu ortaya çıkarsa diktir. Ve dik düzlemler kavramını bir çizgi ve düzlem uzayındaki diklik kavramıyla birleştiren bir teorem var.

Bu teorem denir

Düzlemlerin dikliği için kriter.

Formüle edelim:

Her zaman olduğu gibi, "o zaman ve ancak o zaman" kelimelerinin kodu şu şekilde çözülür:

Eğer, o zaman dik olarak geçer.

Eğer dik olarak geçerse o zaman.

(doğal olarak burada uçaklarız).

Bu teorem stereometrideki en önemli teoremlerden biridir ancak ne yazık ki uygulaması en zor olanlardan biridir.

Bu yüzden çok dikkatli olmanız gerekiyor!

Yani, ifadeler:

Ve yine "o zaman ve ancak o zaman" kelimelerinin şifresini çözüyorum. Teorem aynı anda iki şeyi ifade eder (resme bakın):

Sorunu çözmek için bu teoremi uygulamaya çalışalım.

Görev: Düzenli bir altıgen piramit verilmiştir. Çizgiler arasındaki açıyı bulun ve.

Çözüm:

Düzenli bir piramitte tepe noktasının yansıtıldığında tabanın merkezine düşmesi nedeniyle, düz çizginin düz çizginin bir izdüşümü olduğu ortaya çıkar.

Ancak bunun düzgün bir altıgen içinde olduğunu biliyoruz. Üç dik teoremini uyguluyoruz:

Ve cevabı yazıyoruz: .

UZAYDA DÜZ DOĞRULARIN DİKLİKLERİ. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

İki doğrunun dikliği.

Uzayda iki doğru aralarında bir açı varsa birbirine diktir.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği.

Bir doğru, bir düzlemdeki tüm doğrulara dik ise o düzleme diktir.

Düzlemlerin dikliği.

Aralarındaki dihedral açı eşitse düzlemler diktir.

Düzlemlerin dikliği için kriter.

İki düzlem ancak ve ancak biri diğer düzleme dik olan noktadan geçerse dik olur.

Üç Dik Teorem:

Neyse konu bitti. Eğer bu satırları okuyorsanız çok havalısınız demektir.

Çünkü insanların yalnızca %5'i bir konuda kendi başına ustalaşabiliyor. Ve eğer sonuna kadar okursanız, o zaman siz de bu %5'in içindesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu gerçekten süper! Zaten akranlarınızın büyük çoğunluğundan daha iyisiniz.

Sorun şu ki bu yeterli olmayabilir...

Ne için?

Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmek, üniversiteye kısıtlı bir bütçeyle girmek ve EN ÖNEMLİSİ ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece tek bir şey söyleyeceğim...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanıyorlar. Bu istatistik.

Ancak asıl mesele bu değil.

Önemli olan DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerine çok daha fazla fırsat çıktığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmiyorum...

Ama kendin düşün...

Birleşik Devlet Sınavında diğerlerinden daha iyi olmak ve sonuçta... daha mutlu olmak için ne gerekir?

BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZEREK ELİNİZİ KAZANIN.

Sınav sırasında sizden teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak zamana karşı problemleri çözmek.

Ve eğer bunları çözmediyseniz (ÇOK!), kesinlikle bir yerlerde aptalca bir hata yapacaksınız veya zamanınız olmayacak.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için bunu birçok kez tekrarlamanız gerekir.

Koleksiyonu dilediğiniz yerde bulun, mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (isteğe bağlı) ve elbette bunları öneririz.

Görevlerimizi daha iyi kullanmak için şu anda okuduğunuz YouClever ders kitabının ömrünün uzatılmasına yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

Bu makaledeki tüm gizli görevlerin kilidini açın -
Ders kitabının 99 makalesinin tamamındaki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 RUR

Evet, ders kitabımızda bu tür 99 makale var ve tüm görevlere ve bunların içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Sitenin TÜM ömrü boyunca tüm gizli görevlere erişim sağlanır.

Ve sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız başkalarını bulun. Sadece teoride durmayın.

“Anlamak” ve “çözebilirim” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Tanım. Belirli bir düzlemde yer alan ve kesişme noktasından geçen herhangi bir düz çizgiye dik ise, bu düzleme dik kesişen düz bir düzleme denir.
İmza bir doğru ile bir düzlemin dikliği. Bir doğru, bir düzlemin kesişen iki doğrusuna dik ise o düzleme diktir.
Kanıt. İzin vermek A– düz çizgilere dik olan düz çizgi B Ve İle uçağa ait A. A, doğruların kesişme noktasıdır. Düzlemde A A noktasından geçen düz bir çizgi çizin D, düz çizgilerle çakışmayan B Ve İle. Şimdi uçakta A hadi doğrudan yapalım k, çizgilerle kesişen D Ve İle ve A noktasından geçmiyor. Kesişme noktaları sırasıyla D, B ve C'yi düz bir çizgi üzerine çizelim. A A noktasından farklı yönlerde eşit AA 1 ve AA 2 bölümleri vardır. A 1 CA 2 üçgeni ikizkenardır, çünkü AC yüksekliği aynı zamanda medyandır (özellik 1), yani. A 1 C=CA 2. Benzer şekilde A 1 BA 2 üçgeninde A 1 B ve BA 2 kenarları eşittir. Dolayısıyla üçüncü kritere göre A 1 BC ve A 2 BC üçgenleri eşittir. Dolayısıyla A 1 BC ve A 2 BC açıları eşittir. Bu, A 1 BD ve A 2 BD üçgenlerinin birinci kritere göre eşit olduğu anlamına gelir. Bu nedenle, A 1 D ve A 2 D. Dolayısıyla A 1 DA 2 üçgeni tanımı gereği ikizkenardır. Bir ikizkenar üçgende A 1 D A 2 A D A ortancadır (yapısal olarak) ve bu nedenle yükseklik, yani A 1 AD açısı düzdür ve dolayısıyla düz bir çizgidir düz bir çizgiye dik A D. A Böylece düz çizginin olduğu kanıtlanabilir A A noktasından geçen ve düzleme ait herhangi bir doğruya dik A.

. Tanımdan şu sonuç çıkıyor: düz çizgi düzleme dik
Yapı A belirli bir düzlemin dışından alınan bir noktadan bu düzleme dik olan düz çizgi. Aİzin vermek A- düzlem, A – dikeyin indirilmesi gereken nokta. Düzlemde düz bir çizgi çizelim B. A noktasından ve düz çizgiden B hadi bir uçak çizelim A(düz bir çizgi ve bir nokta bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tanesi). Düzlemde A A noktasından düz bir çizgiye iniyoruz İle AB'ye dik. B noktasından uçağa İle- düzlem, A – dikeyin indirilmesi gereken nokta. Düzlemde düz bir çizgi çizelim Dikliği yeniden oluşturalım ve bu dikmenin ötesinde bulunduğu düz çizgiyi gösterelim.. AB segmenti ve çizgi boyunca Dikliği yeniden oluşturalım ve bu dikmenin ötesinde bulunduğu düz çizgiyi gösterelim. G İle(kesişen iki çizgi bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tanesi). Düzlemde B A noktasından düz bir çizgiye iniyoruz A AC'ye dik. AC doğru parçasının düzleme dik olduğunu kanıtlayalım. İle ve AB (yapısal olarak), yani düzlemin kendisine dik olduğu anlamına gelir Dikliği yeniden oluşturalım ve bu dikmenin ötesinde bulunduğu düz çizgiyi gösterelim., bu iki kesişen çizginin bulunduğu yer (çizginin ve düzlemin dikliğine bağlı olarak). Ve bu düzleme dik olduğu için bu düzlemdeki herhangi bir doğruya da diktir, bu da onun düz bir çizgi olduğu anlamına gelir A AC'ye dik. AC çizgisi, α düzleminde yer alan iki çizgiye diktir: İle(inşaat yoluyla) ve A(kanıtlanmış olana göre), α düzlemine dik olduğu anlamına gelir (doğrunun ve düzlemin dikliğine göre)

Teorem 1 . Kesişen iki çizgi iki dik çizgiye paralelse, bunlar da diktir.
Kanıt. İzin vermek A Ve B- dik çizgiler, A 1 ve B 1 - onlara paralel kesişen çizgiler. Düz çizgilerin olduğunu kanıtlayalım A 1 ve B 1 diktir.
Düz ise A, B, A 1 ve B 1 aynı düzlemde bulunuyorsa planimetriden bilindiği gibi teoremde belirtilen özelliğe sahiptirler.
Şimdi çizgilerimizin aynı düzlemde olmadığını varsayalım. Sonra düz A Ve B bir α düzleminde yer alır ve düz çizgiler A 1 ve B 1 - bazı β düzlemlerinde. Düzlemlerin paralelliğine göre α ve β düzlemleri paraleldir. Doğruların kesişme noktası C olsun A Ve B ve C 1 - çizgilerin kesişimleri A 1 ve B 1. Paralel doğruların düzlemini çizelim A Ve A A Ve A A ve A 1 noktalarında 1. Paralel doğrular düzleminde B Ve B CC 1 düz çizgisine paralel 1 çizgi. Çizgileri aşacak B Ve B B ve B 1 noktalarında 1.
CAA 1 C 1 ve SVV 1 C 1 dörtgenleri, karşıt kenarları paralel olduğundan paralelkenarlardır. ABC 1 A 1 dörtgeni de bir paralelkenardır. AA 1 ve BB 1 kenarları paraleldir çünkü her biri CC 1 çizgisine paraleldir. Dolayısıyla dörtgen, AA 1 ve BB 1 paralel çizgilerinden geçen düzlemde yer alır. Ve AB ve A 1 B 1 paralel düz çizgileri boyunca paralel α ve β düzlemleriyle kesişir.
Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan AB = A 1 B 1, AC = A 1 C 1, BC = B 1 C 1. Üçüncü eşitlik işaretine göre ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenleri eşittir. Yani, ACB açısına eşit olan A 1 C 1 B 1 açısı düzdür, yani. dümdüz A 1 ve B 1 diktir. Vesaire.

Özellikler bir doğruya ve bir düzleme diktir.
Teorem 2 . Bir düzlem iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir.
Kanıt. İzin vermek A 1 ve A 2 - iki paralel çizgi ve α - çizgiye dik bir düzlem A 1. Bu düzlemin düz çizgiye dik olduğunu kanıtlayalım. A 2 .
A noktasından geçen bir doğrunun 2 kesişim noktasını çizelim. A 2 düzlemi α ile keyfi bir düz çizgi İleα düzleminde 2. α düzleminde A1 noktasından geçen doğrunun kesişimini çizelim. A 1 düzlemi α düz olan İle 1, çizgiye paralel İle 2. Düz olduğundan A 1, α düzlemine dik, ardından düz çizgilerdir A 1 ve İle 1 diktir. Ve Teorem 1'e göre, onlara paralel kesişen doğrular A 2 ve İle 2'si de diktir. Böylece düz A 2 herhangi bir doğruya diktir İleα düzleminde 2. Ve bu şu anlama geliyor: düz A 2, α düzlemine diktir. Teorem kanıtlandı.

Teorem 3 . Aynı düzleme dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Bir α düzlemimiz ve ona dik iki çizgimiz var A Ve B. Hadi bunu kanıtlayalım A || B.
Düzlemin düz çizgilerinin kesişme noktalarından düz bir çizgi çizin İle. Aldığımız özelliğe göre A ^ C Ve B ^ C. Düz çizgiler boyunca A Ve B Bir düzlem çizelim (iki paralel çizgi bir düzlemi tanımlar ve yalnızca bir tanesi). Bu düzlemde iki paralel çizgimiz var A Ve B ve sekant İle. Tek taraflı iç açıların toplamı 180° ise doğrular paraleldir. Tam da böyle bir durumumuz var - iki dik açı. Bu yüzden A || B.

Bu yazıda bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinden bahsedeceğiz. Öncelikle düzleme dik doğrunun tanımı verilmiş, grafiksel gösterimi ve örneği verilmiş, düzleme dik doğrunun tanımı gösterilmiştir. Bundan sonra düz bir çizginin ve bir düzlemin diklik işareti formüle edilir. Daha sonra, üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sisteminde düz bir çizgi ve düzlem belirli denklemlerle belirtildiğinde, bir düz çizginin ve bir düzlemin dikliğini kanıtlamaya izin veren koşullar elde edilir. Sonuç olarak tipik örneklere ve sorunlara ayrıntılı çözümler gösterilmektedir.

Sayfada gezinme.

Dik düz çizgi ve düzlem - temel bilgiler.

Bir düzleme dik olan bir doğrunun tanımı, doğruların dikliği üzerinden verildiği için, öncelikle dik doğruların tanımını tekrarlamanızı öneririz.

Tanım.

Bunu söylüyorlar doğru düzleme diktir, eğer bu düzlemde yer alan herhangi bir çizgiye dik ise.

Ayrıca bir düzlemin bir çizgiye dik olduğunu veya bir doğru ile bir düzlemin dik olduğunu da söyleyebiliriz.

Dikliği belirtmek için “” gibi bir simge kullanın. Yani c doğrusu düzleme dik ise kısaca yazabiliriz.

Bir düzleme dik bir çizgiye örnek olarak, bir odanın iki bitişik duvarının kesiştiği çizgi verilebilir. Bu çizgi düzleme ve tavan düzlemine diktir. Spor salonundaki bir ip, zemin düzlemine dik bir düz çizgi parçası olarak da düşünülebilir.

Makalenin bu paragrafının sonucunda, düz bir çizginin bir düzleme dik olması durumunda, düz çizgi ile düzlem arasındaki açının doksan dereceye eşit kabul edildiğini not ediyoruz.

Düz bir çizginin ve bir düzlemin dikliği - dikliğin işareti ve koşulları.

Uygulamada sıklıkla şu soru ortaya çıkıyor: "Verilen düz çizgi ve düzlem dik mi?" Buna cevap vermek için var Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için yeterli koşul yani yerine getirilmesi çizginin ve düzlemin dikliğini garanti eden bir koşul. Bu yeterli koşula bir doğrunun ve bir düzlemin dikliğinin işareti denir. Bunu bir teorem şeklinde formüle edelim.

Teorem.

Belirli bir doğru ve düzlemin dik olması için, doğrunun bu düzlemde kesişen iki doğruya dik olması yeterlidir.

10-11. Sınıflar için geometri ders kitabında bir doğrunun ve bir düzlemin diklik işaretinin kanıtına bakabilirsiniz.

Bir çizginin ve bir düzlemin dikliğini oluşturma problemlerini çözerken, aşağıdaki teorem de sıklıkla kullanılır.

Teorem.

İki paralel çizgiden biri bir düzleme dik ise, ikinci doğru da düzleme diktir.

Okulda, çözümü için bir çizginin ve bir düzlemin diklik işaretinin ve son teoremin kullanıldığı birçok problem göz önünde bulundurulur. Biz burada bunların üzerinde durmayacağız. Makalenin bu bölümünde bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için aşağıdaki gerekli ve yeterli koşulun uygulanmasına odaklanacağız.

Bu koşul aşağıdaki biçimde yeniden yazılabilir.

İzin vermek a çizgisinin yön vektörüdür ve düzlemin normal vektörüdür. A doğrusunun ve düzlemin birbirine dik olması için gerekli ve yeterlidir. Ve : burada t bir reel sayıdır.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için bu gerekli ve yeterli koşulun kanıtı, bir doğrunun yön vektörü ve bir düzlemin normal vektörünün tanımlarına dayanmaktadır.

Açıkçası, bu koşulun, sabit bir üç boyutlu uzayda çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları ve düzlemin normal vektörünün koordinatları kolayca bulunabildiğinde, bir çizginin ve bir düzlemin dikliğini kanıtlamak için kullanılması uygundur. . Bu, düzlemin ve doğrunun geçtiği noktaların koordinatlarının verildiği durumlar için olduğu kadar, çizginin uzaydaki bir doğrunun bazı denklemleriyle belirlendiği ve düzlemin bir denklemle verildiği durumlar için de geçerlidir. bir tür uçak.

Birkaç örneğin çözümlerine bakalım.

Örnek.

Doğrunun dikliğini kanıtlayın ve uçaklar.

Çözüm.

Uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemlerinin paydalarındaki sayıların, bu doğrunun yön vektörünün karşılık gelen koordinatları olduğunu biliyoruz. Böylece, - doğrudan vektör .

Bir düzlemin genel denklemindeki x, y ve z değişkenlerinin katsayıları bu düzlemin normal vektörünün koordinatlarıdır, yani, düzlemin normal vektörüdür.

Bir doğrunun ve bir düzlemin dikliği için gerekli ve yeterli koşulun yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim.

Çünkü , sonra vektörler ve ilişkiyle ilişkilidir yani eşdoğrusaldırlar. Bu nedenle düz düzleme dik.

Örnek.

Çizgiler dik mi? ve uçak.

Çözüm.

Doğrunun düzleme dikliği için gerekli ve yeterli koşulun sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek için verilen bir doğrunun yön vektörünü ve düzlemin normal vektörünü bulalım.

Yönlendirici vektör düzdür öyle