Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Sizden bilgilerinizi vermeniz istenebilir kişisel bilgiler bizimle iletişime geçtiğinizde.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye başvuru yaptığınızda adınız, telefon numaranız, adresiniz gibi çeşitli bilgileri toplayabiliriz. e-posta vesaire.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler sizinle iletişime geçmemize ve sizi benzersiz teklifler, promosyonlar ve diğer etkinlikler ve yaklaşan etkinlikler.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri ayrıca denetim, veri analizi ve çeşitli çalışmalar sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak için.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerektiğinde kanuna uygun olarak, adli prosedür, V duruşma ve/veya genel taleplere veya taleplere dayalı olarak devlet kurumları Rusya Federasyonu topraklarında - kişisel bilgilerinizi ifşa edin. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
İki çizginin paralellik işaretleri
Teorem 1. İki doğru bir sekantla kesişirse:
çapraz açılar eşittir veya
karşılık gelen açılar eşittir veya
tek taraflı açıların toplamı 180° ise
çizgiler paraleldir(Şekil 1).
Kanıt. Kendimizi durum 1'i kanıtlamakla sınırlıyoruz.
Kesişen a ve b çizgileri çapraz olsun ve AB açıları eşit olsun. Örneğin, ∠ 4 = ∠ 6. a || olduğunu kanıtlayalım. B.
a ve b doğrularının paralel olmadığını varsayalım. Daha sonra bir M noktasında kesişirler ve dolayısıyla 4 veya 6 açılarından biri ABM üçgeninin dış açısı olacaktır. Kesinlik sağlamak için, ABM üçgeninin dış açısı ∠ 4 ve iç açısı ∠ 6 olsun. Hakkındaki teoremden dış açıÜçgende ∠ 4'ün ∠ 6'dan büyük olduğu sonucu çıkar ve bu koşulla çelişir, bu da a ve 6 doğrularının kesişemeyeceği, dolayısıyla paralel oldukları anlamına gelir.
Sonuç 1. Aynı doğruya dik olan bir düzlemde iki farklı doğru paraleldir(Şekil 2).
Yorum. Teorem 1'in 1. durumunu kanıtlama şeklimize çelişki yoluyla veya saçmalığa indirgeme yoluyla kanıtlama yöntemi denir. Bu yöntem ilk adını almıştır çünkü tartışmanın başında kanıtlanması gerekenin tersi (zıt) bir varsayımda bulunulmaktadır. Yapılan varsayıma dayanarak akıl yürüterek saçma bir sonuca (saçma) varmamız nedeniyle buna saçmalığa yol açma denir. Böyle bir sonuca varmak bizi başlangıçtaki varsayımı reddetmeye ve kanıtlanması gereken varsayımı kabul etmeye zorlar.
Görev 1.İçinden geçen bir çizgi oluşturun bu nokta M ve belirli bir a çizgisine paralel, M noktasından geçmeyen.
Çözüm. M noktasından a düz çizgisine dik bir p düz çizgisi çiziyoruz (Şekil 3).
Daha sonra M noktasından p doğrusuna dik bir b doğrusu çiziyoruz. Teorem 1'in sonucuna göre b doğrusu a doğrusuna paraleldir.
Ele alınan problemden önemli bir sonuç çıkmaktadır:
Verilen bir doğru üzerinde olmayan bir noktadan verilen doğruya paralel bir doğru çizmek her zaman mümkündür..
Paralel doğruların temel özelliği aşağıdaki gibidir.
Paralel doğrular aksiyomu. Belirli bir doğru üzerinde yer almayan belirli bir noktadan, verilen doğruya paralel yalnızca bir doğru geçer.
Bu aksiyomdan çıkan paralel doğruların bazı özelliklerini ele alalım.
1) Bir doğru iki paralel çizgiden biriyle kesişiyorsa diğeriyle de kesişir (Şekil 4).
2) Eğer iki farklı doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler (Şekil 5).
Aşağıdaki teorem de doğrudur.
Teorem 2. İki paralel doğru bir enine çizgiyle kesişirse:
çapraz açılar eşittir;
karşılık gelen açılar eşittir;
tek taraflı açıların toplamı 180°'dir.
Sonuç 2. Bir doğru iki paralel çizgiden birine dik ise diğerine de diktir(bkz. Şekil 2).
Yorum. Teorem 2, Teorem 1'in tersi olarak adlandırılır. Teorem 1'in sonucu, Teorem 2'nin koşuludur. Ve Teorem 1'in koşulu, Teorem 2'nin sonucudur. Her teoremin tersi yoktur, yani eğer bu teorem doğru ise ters teorem doğru olmayabilir.
Bunu teorem örneğini kullanarak açıklayalım. dikey köşeler. Bu teorem şu şekilde formüle edilebilir: eğer iki açı dikey ise, o zaman eşittirler. Tersi teorem şu şekilde olacaktır: eğer iki açı eşitse, o zaman bunlar dikeydir. Ve bu elbette doğru değil. İki eşit açılar kesinlikle dikey olmasına gerek yok.
Örnek 1.İki paralel çizgi üçte biri ile kesişiyor. Tek taraflı iki iç açı arasındaki farkın 30° olduğu bilinmektedir. Bu açıları bulun.
Çözüm. Şekil 6 koşulu karşılasın.
Bu yazımızda paralel doğrulardan bahsedeceğiz, tanımlarını vereceğiz ve paralelliğin işaretlerini ve koşullarını özetleyeceğiz. Netlik için teorik materyal Tipik örneklere ilişkin çizimleri ve çözümleri kullanacağız.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Tanım 1
Düzlemde paralel çizgiler– bir düzlem üzerinde ortak noktaları olmayan iki düz çizgi.
Tanım 2
Paralel çizgiler üç boyutlu uzay Üç boyutlu uzayda aynı düzlemde yer alan ve ortak noktaları olmayan iki düz çizgi.
Uzaydaki paralel çizgileri belirlemek için "aynı düzlemde yer alma" ifadesinin son derece önemli olduğunu belirtmek gerekir: üç boyutlu uzayda ortak noktaları olmayan ve aynı düzlemde yer almayan iki çizgi paralel değildir , ancak kesişiyor.
Paralel çizgileri belirtmek için ∥ sembolünün kullanılması yaygındır. Yani verilen a ve b doğruları paralel ise bu durum kısaca şu şekilde yazılmalıdır: a ‖ b. Çizgilerin sözlü paralelliği belirtilir aşağıdaki gibi: a ve b doğruları paraleldir veya a doğrusu b doğrusuna paraleldir veya b doğrusu a doğrusuna paraleldir.
Oynayan bir ifade formüle edelim önemli rol incelenmekte olan konuda.
Aksiyom
Belirli bir çizgiye ait olmayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel olan tek düz çizgi geçer. Bu ifade planimetrinin bilinen aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamaz.
Durumunda hakkında konuşuyoruz uzay hakkında teorem doğrudur:
Teorem 1
Uzayda belirli bir çizgiye ait olmayan herhangi bir noktadan geçen, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi olacaktır.
Bu teoremin yukarıdaki aksiyoma (10 - 11. Sınıflar için geometri programı) dayanarak kanıtlanması kolaydır.
Paralellik belirtisi var yeterli koşul, bu sırada çizgilerin paralelliği garanti edilir. Yani bu şartın gerçekleşmesi paralellik gerçeğinin teyit edilmesi için yeterlidir.
Özellikle düzlemde ve uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşullar vardır. Şöyle açıklayalım: Gerekli, paralel doğrular için yerine getirilmesi gereken koşul; yerine getirilmezse çizgiler paralel değildir.
Özetlemek gerekirse, doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul, doğruların birbirine paralel olması için uyulması gerekli ve yeterli olan bir durumdur. Bu bir yandan paralelliğin işaretidir, diğer yandan paralel doğruların doğasında olan bir özelliktir.
Gerekli ve yeterli koşulun tam formülasyonunu vermeden önce birkaç ek kavramı hatırlayalım.
Tanım 3
Sekant çizgisi– verilen çakışmayan iki düz çizginin her birini kesen düz bir çizgi.
İki düz çizgiyi kesen bir çapraz, sekiz gelişmemiş açı oluşturur. Gerekli ve yeterli koşulu formüle etmek için çapraz, karşılık gelen ve tek taraflı açı türlerini kullanacağız. Bunları çizimde gösterelim:
Teorem 2
Bir düzlemdeki iki doğru bir çaprazla kesişiyorsa, verilen doğruların paralel olması için kesişen açıların eşit olması veya karşılık gelen açıların eşit olması veya tek taraflı açıların toplamının eşit olması gerekli ve yeterlidir. 180 derece.
Düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulu grafiksel olarak gösterelim:
Bu koşulların ispatı 7-9.sınıf geometri programında mevcuttur.
Genel olarak bu koşullar, iki doğrunun ve bir kesenin aynı düzleme ait olması koşuluyla üç boyutlu uzay için de geçerlidir.
Doğruların paralel olduğu gerçeğini kanıtlamak için sıklıkla kullanılan birkaç teoremi daha belirtelim.
Teorem 3
Düzlemde üçüncüye paralel iki doğru birbirine paraleldir. Bu özellik yukarıda belirtilen paralellik aksiyomu temelinde kanıtlanmıştır.
Teorem 4
Üç boyutlu uzayda, üçüncüye paralel iki çizgi birbirine paraleldir.
Bir işaretin ispatı 10.sınıf geometri müfredatında işlenmektedir.
Bu teoremlerin bir örneğini verelim:
Doğruların paralelliğini kanıtlayan bir çift teorem daha verelim.
Teorem 5
Bir düzlemde üçte birine dik olan iki doğru birbirine paraleldir.
Benzer bir şeyi üç boyutlu uzay için formüle edelim.
Teorem 6
Üç boyutlu uzayda üçüncüye dik iki çizgi birbirine paraleldir.
Örnekleyelim:
Yukarıdaki teoremlerin, işaretlerin ve koşulların tümü, geometri yöntemlerini kullanarak çizgilerin paralelliğini rahatlıkla kanıtlamayı mümkün kılar. Yani, doğruların paralelliğini kanıtlamak için karşılık gelen açıların eşit olduğu gösterilebilir veya verilen iki çizginin üçüncüye dik olduğu vb. gösterilebilir. Ancak bir düzlemdeki veya üç boyutlu uzaydaki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için koordinat yöntemini kullanmanın genellikle daha uygun olduğunu unutmayın.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgilerin paralelliği
Belirli bir durumda dikdörtgen sistem Koordinatlardan bir tanesinin düzlemindeki bir doğrunun denklemi ile bir doğru belirlenir. olası türler. Benzer şekilde, üç boyutlu uzayda dikdörtgen koordinat sisteminde tanımlanan bir doğru, uzaydaki bir doğru için bazı denklemlere karşılık gelir.
Verilen doğruları tanımlayan denklem türüne göre dikdörtgen koordinat sistemindeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulları yazalım.
Düzlemdeki doğruların paralelliği koşuluyla başlayalım. Bir doğrunun yön vektörü ve bir düzlemdeki doğrunun normal vektörünün tanımlarına dayanmaktadır.
Teorem 7
Bir düzlemde çakışmayan iki doğrunun paralel olması için, verilen doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması veya verilen doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bir doğrunun yön vektörünün birbirine dik olması gerekli ve yeterlidir. diğer doğrunun normal vektörü.
Bir düzlem üzerindeki doğruların paralellik koşulunun, vektörlerin eşdoğrusallık koşuluna veya iki vektörün diklik koşuluna dayandığı açıkça ortaya çıkıyor. Yani, eğer a → = (a x , a y) ve b → = (b x , b y) a ve b doğrularının yön vektörleri ise;
ve n b → = (n b x , n b y) a ve b doğrularının normal vektörleriyse, yukarıdaki gerekli ve yeterli koşulu şu şekilde yazarız: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y veya n a → = t · n b → ⇔ n a x = t · n b x n a y = t · n b y veya a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , burada t bir gerçek sayıdır. Kılavuzların veya düz vektörlerin koordinatları, düz çizgilerin verilen denklemleriyle belirlenir. Ana örneklere bakalım.
- Dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgi a, çizginin genel denklemi ile belirlenir: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; düz çizgi b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. O zaman verilen doğruların normal vektörleri sırasıyla (A 1, B 1) ve (A 2, B 2) koordinatlarına sahip olacaktır. Paralellik koşulunu şu şekilde yazıyoruz:
bir 1 = t bir 2 B 1 = t B 2
- a çizgisi, eğimi y = k 1 x + b 1 biçiminde olan bir çizginin denklemiyle tanımlanır. Düz çizgi b - y = k 2 x + b 2. O halde verilen doğruların normal vektörleri sırasıyla (k 1, - 1) ve (k 2, - 1) koordinatlarına sahip olacak ve paralellik koşulunu şu şekilde yazacağız:
k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2
Dolayısıyla, dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemdeki paralel çizgiler açısal katsayılı denklemlerle verilirse, o zaman yamaçlar verilen çizgiler eşit olacaktır. Ve tam tersi ifade doğrudur: Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemdeki çakışmayan çizgiler, aynı açısal katsayılara sahip bir doğrunun denklemleriyle belirleniyorsa, o zaman bu verilen çizgiler paraleldir.
- Dikdörtgen koordinat sistemindeki a ve b çizgileri, düzlemdeki bir çizginin kanonik denklemleriyle belirtilir: x - x 1 a x = y - y 1 a y ve x - x 2 b x = y - y 2 b y veya parametrik denklemlerle: düzlem üzerinde bir çizgi: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y ve x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .
O halde verilen doğruların yön vektörleri sırasıyla a x, a y ve b x, b y olacak ve paralellik koşulunu şu şekilde yazacağız:
a x = t b x a y = t b y
Örneklere bakalım.
Örnek 1
İki doğru verilmiştir: 2 x - 3 y + 1 = 0 ve x 1 2 + y 5 = 1. Paralel olup olmadıklarını belirlemek gerekir.
Çözüm
Bir doğrunun denklemini doğru parçaları şeklinde yazalım. genel denklem:
x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0
n a → = (2, - 3)'ün 2 x - 3 y + 1 = 0 çizgisinin normal vektörü olduğunu ve n b → = 2, 1 5'in x 1 2 + y 5 çizgisinin normal vektörü olduğunu görüyoruz. = 1.
Ortaya çıkan vektörler eşdoğrusal değildir çünkü eşitliğin doğru olacağı bir tat değeri yoktur:
2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5
Dolayısıyla bir düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmamaktadır, yani verilen doğrular paralel değildir.
Cevap: Verilen doğrular paralel değildir.
Örnek 2
y = 2 x + 1 ve x 1 = y - 4 2 doğruları verilmiştir. Bunlar paralel mi?
Çözüm
Haydi dönüşelim kanonik denklem düz çizgi x 1 = y - 4 2'den eğimi olan bir düz çizginin denklemine:
x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4
y = 2 x + 1 ve y = 2 x + 4 doğrularının denklemlerinin aynı olmadığını (aksi olsaydı doğruların çakışık olacağını) ve doğruların açısal katsayılarının eşit olduğunu yani verilen doğrular paraleldir.
Sorunu farklı şekilde çözmeye çalışalım. Öncelikle verilen doğruların çakışıp çakışmadığını kontrol edelim. y = 2 x + 1 doğrusu üzerindeki herhangi bir noktayı kullanırız, örneğin (0, 1), bu noktanın koordinatları x 1 = y - 4 2 doğrusu denklemine karşılık gelmez, yani doğrular örtüşmüyor.
Bir sonraki adım verilen doğruların paralellik koşulunun sağlanıp sağlanmadığının belirlenmesidir.
y = 2 x + 1 çizgisinin normal vektörü n a → = (2 , - 1) vektörüdür ve verilen ikinci doğrunun yön vektörü b → = (1 , 2)'dir. Nokta çarpımı bu vektörlerin sayısı sıfıra eşittir:
n a → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0
Böylece vektörler diktir: Bu bize orijinal doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulun yerine geldiğini gösterir. Onlar. verilen doğrular paraleldir.
Cevap: bu çizgiler paraleldir.
Üç boyutlu uzayın dikdörtgen koordinat sistemindeki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için aşağıdaki gerekli ve yeterli koşul kullanılır.
Teorem 8
Üç boyutlu uzayda çakışmayan iki doğrunun paralel olması için bu doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması gerekli ve yeterlidir.
Onlar. en verilen denklemlerÜç boyutlu uzayda düz çizgilerin paralel olup olmadığı sorusunun cevabı, verilen düz çizgilerin yön vektörlerinin koordinatlarının belirlenmesi ve eşdoğrusallık durumlarının kontrol edilmesiyle bulunur. Başka bir deyişle, eğer a → = (a x , a y , a z) ve b → = (b x , b y , b z) sırasıyla a ve b düz çizgilerinin yön vektörleriyse, bunların paralel olması için, çok gerçek sayı Eşitliğin geçerli olması için:
a → = t b → ⇔ a x = t b x a y = t b y a z = t b z
Örnek 3
x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 ve x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ doğruları verilmiştir. Bu doğruların paralelliğini ispatlamak gerekir.
Çözüm
Problemin koşulları uzaydaki bir doğrunun kanonik denklemleri ile verilmiştir ve parametrik denklemler uzayda başka bir çizgi. Kılavuz vektörleri bir → ve b → verilen doğruların koordinatları vardır: (1, 0, - 3) ve (2, 0, - 6).
1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , bu durumda a → = 1 2 · b → .
Sonuç olarak uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmış olur.
Cevap: Verilen doğruların paralelliği kanıtlanmıştır.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu makale paralel çizgiler ve paralel çizgiler hakkındadır. Öncelikle düzlemde ve uzayda paralel doğruların tanımı verilmekte, notasyonlar verilmekte, paralel doğruların örnekleri ve grafik çizimleri verilmektedir. Daha sonra doğruların paralelliğinin işaretleri ve koşulları tartışılmaktadır. Sonuç olarak, bir düzlemde ve üç boyutlu uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir çizginin belirli denklemleri ile verilen çizgilerin paralelliğini kanıtlamaya yönelik tipik problemlerin çözümleri gösterilmektedir.
Sayfada gezinme.
Paralel çizgiler - temel bilgiler.
Tanım.
Düzlemdeki iki doğruya denir paralel ortak noktaları yoksa.
Tanım.
Üç boyutlu uzayda iki doğruya ne denir paralel, eğer aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve ortak noktaları yoksa.
Uzayda paralel doğruların tanımında yer alan “aynı düzlemde yer alıyorlarsa” ibaresinin çok önemli olduğunu unutmayın. Bu noktayı açıklığa kavuşturalım: Üç boyutlu uzayda ortak noktaları olmayan ve aynı düzlemde yer almayan iki doğru paralel değil kesişir.
Aşağıda paralel doğrulara bazı örnekler verilmiştir. Defter sayfasının karşıt kenarları paralel çizgiler üzerinde uzanır. Evin duvar düzleminin tavan ve zemin düzlemleriyle kesiştiği düz çizgiler paraleldir. Düz zemindeki demiryolu rayları da paralel hatlar olarak değerlendirilebilir.
Paralel çizgileri belirtmek için “” sembolünü kullanın. Yani a ve b doğruları paralelse kısaca a b yazabiliriz.
Lütfen dikkat: a ve b çizgileri paralelse, a çizgisinin b çizgisine paralel olduğunu ve ayrıca b çizgisinin a doğrusuna paralel olduğunu söyleyebiliriz.
Düzlemdeki paralel çizgilerin incelenmesinde önemli rol oynayan bir ifadeyi dile getirelim: Belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel olan tek düz çizgi geçer. Bu ifade bir gerçek olarak kabul edilir (bilinen planimetri aksiyomlarına dayanarak kanıtlanamaz) ve paralel doğrular aksiyomu olarak adlandırılır.
Uzaydaki durum için teorem geçerlidir: Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi geçer. Bu teorem, yukarıdaki paralel doğrular aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanabilir (bunun kanıtını, makalenin sonunda referanslar listesinde listelenen 10-11. sınıflar için geometri ders kitabında bulabilirsiniz).
Uzaydaki durum için teorem geçerlidir: Uzayda belirli bir çizgi üzerinde yer almayan herhangi bir noktadan, verilen çizgiye paralel tek bir düz çizgi geçer. Bu teorem yukarıdaki paralel çizgi aksiyomu kullanılarak kolayca kanıtlanabilir.
Çizgilerin paralelliği - paralelliğin işaretleri ve koşulları.
Çizgilerin paralelliğinin bir işareti doğruların paralel olması için yeterli bir koşuldur, yani yerine getirilmesi doğruların paralel olmasını garanti eden bir durumdur. Yani bu koşulun gerçekleşmesi doğruların paralel olduğunun ortaya çıkması için yeterlidir.
Düzlemde ve üç boyutlu uzayda doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşullar da vardır.
“Paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşul” ifadesinin anlamını açıklayalım.
Paralel doğruların yeterli koşulunu daha önce ele almıştık. Ve nedir? gerekli koşulçizgilerin paralelliği"? “Gerekli” isminden paralel çizgiler için bu koşulun sağlanmasının gerekli olduğu anlaşılmaktadır. Yani doğruların paralelliği için gerekli koşul sağlanmıyorsa doğrular paralel değildir. Böylece, Paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşul paralel doğrular için yerine getirilmesi hem gerekli hem de yeterli olan bir durumdur. Yani bu bir yandan doğruların paralelliğinin işareti, diğer yandan paralel çizgilerin sahip olduğu bir özelliktir.
Doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulu formüle etmeden önce birkaç yardımcı tanımın hatırlanması tavsiye edilir.
Sekant çizgisiçakışmayan iki çizginin her birini kesen bir çizgidir.
İki düz çizgi bir enine çizgiyle kesiştiğinde sekiz gelişmemiş çizgi oluşur. Doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulun formülasyonunda, sözde çapraz olarak uzanan, karşılık gelen Ve tek taraflı açılar. Bunları çizimde gösterelim.
Teorem.
Bir düzlemdeki iki çizgi bir enine çizgiyle kesişiyorsa, bunların paralel olması için kesişen açıların eşit olması veya karşılık gelen açıların eşit olması veya tek taraflı açıların toplamının 180 dereceye eşit olması gerekli ve yeterlidir. .
Düzlemdeki doğruların paralelliği için bu gerekli ve yeterli koşulu grafiksel olarak gösterelim.
Doğruların paralelliği için bu koşulların kanıtlarını 7-9. sınıf geometri ders kitaplarında bulabilirsiniz.
Bu koşulların üç boyutlu uzayda da kullanılabileceğini unutmayın; asıl önemli olan, iki düz çizginin ve kesenin aynı düzlemde olmasıdır.
Doğruların paralelliğini kanıtlamak için sıklıkla kullanılan birkaç teorem daha var.
Teorem.
Bir düzlemdeki iki doğru üçüncü bir doğruya paralelse paraleldirler. Bu kriterin kanıtı paralel doğrular aksiyomundan kaynaklanmaktadır.
Var benzer durumÜç boyutlu uzayda çizgilerin paralelliği.
Teorem.
Uzaydaki iki çizgi üçüncü bir çizgiye paralelse paraleldirler. Bu kriterin ispatı 10.sınıf geometri derslerinde tartışılmaktadır.
Belirtilen teoremleri örnekleyelim.
Düzlemdeki doğruların paralelliğini kanıtlamamızı sağlayan başka bir teorem sunalım.
Teorem.
Bir düzlemdeki iki doğru üçüncü bir doğruya dikse paraleldirler.
Uzaydaki çizgiler için de benzer bir teorem vardır.
Teorem.
Üç boyutlu uzayda iki doğru aynı düzleme dikse paraleldirler.
Bu teoremlere karşılık gelen resimleri çizelim.
Yukarıda formüle edilen tüm teoremler, kriterler ve gerekli ve yeterli koşullar, geometri yöntemlerini kullanarak doğruların paralelliğini kanıtlamak için mükemmeldir. Yani, verilen iki doğrunun paralelliğini kanıtlamak için bunların üçüncü bir doğruya paralel olduğunu göstermeniz veya çapraz uzanma açılarının eşitliğini vb. göstermeniz gerekir. Birçok benzer görevler geometri derslerinde çözüldü lise. Bununla birlikte, çoğu durumda, bir düzlemdeki veya üç boyutlu uzaydaki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için koordinat yöntemini kullanmanın uygun olduğu unutulmamalıdır. Dikdörtgen koordinat sisteminde belirtilen doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşulları formüle edelim.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki doğruların paralelliği.
Makalenin bu paragrafında formüle edeceğiz paralel doğrular için gerekli ve yeterli koşullar Bu düz çizgileri tanımlayan denklemlerin türüne bağlı olarak dikdörtgen bir koordinat sisteminde detaylı çözümler karakteristik görevler.
Oxy dikdörtgen koordinat sisteminde bir düzlem üzerindeki iki düz çizginin paralelliği koşuluyla başlayalım. Onun kanıtı, bir doğrunun yön vektörünün tanımına ve bir doğrunun düzlem üzerindeki normal vektörünün tanımına dayanmaktadır.
Teorem.
Bir düzlemde çakışmayan iki doğrunun paralel olması için, bu doğruların yön vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bu doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bir doğrunun yön vektörünün normale dik olması gerekli ve yeterlidir. ikinci satırın vektörü.
Açıkçası, bir düzlem üzerindeki iki doğrunun paralellik koşulu (doğruların yön vektörleri veya doğruların normal vektörleri) veya (bir doğrunun yön vektörü ve ikinci doğrunun normal vektörü)'ye indirgenir. Dolayısıyla, eğer ve a ve b doğrularının yön vektörleridir ve 
Ve 
sırasıyla a ve b doğrularının normal vektörleri ise, a ve b doğrularının paralelliği için gerekli ve yeterli koşul şu şekilde yazılacaktır: 
, veya 
, veya t'nin bir reel sayı olduğu yer. Buna karşılık, kılavuzların koordinatları ve (veya) a ve b çizgilerinin normal vektörleri, bilinen çizgi denklemleri kullanılarak bulunur.
Özellikle, düzlemdeki Oxy dikdörtgen koordinat sistemindeki düz bir çizgi, formun genel bir düz çizgi denklemini tanımlarsa 
ve düz çizgi b - 
ise bu doğruların normal vektörleri koordinatlara sahip olur ve sırasıyla a ve b doğrularının paralellik şartı şu şekilde yazılır.
a çizgisi, açısal katsayılı bir çizginin denklemine ve b - çizgisine karşılık geliyorsa, bu çizgilerin normal vektörleri koordinatlara sahiptir ve ve bu çizgilerin paralellik koşulu şu şekli alır: 
. Sonuç olarak, dikdörtgen koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki çizgiler paralelse ve açısal katsayılı doğru denklemleriyle belirlenebiliyorsa, o zaman çizgilerin açısal katsayıları eşit olacaktır. Ve bunun tersi: Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlem üzerindeki çakışmayan çizgiler, eşit açısal katsayılara sahip bir çizginin denklemleriyle belirlenebiliyorsa, o zaman bu tür çizgiler paraleldir.
Dikdörtgen koordinat sistemindeki bir a doğrusu ve bir b doğrusu, formun bir düzlemindeki bir doğrunun kanonik denklemleriyle belirlenirse 
Ve 
veya formun bir düzlemindeki düz bir çizginin parametrik denklemleri 
Ve 
buna göre bu doğruların yön vektörleri ve koordinatlarına sahiptir ve a ve b doğrularının paralellik şartı şu şekilde yazılır.
Birkaç örneğin çözümlerine bakalım.
Örnek.
Çizgiler paralel mi? 
Ve ?
Çözüm.
Parçalar halinde bir doğrunun denklemini, bir doğrunun genel denklemi biçiminde yeniden yazalım: 
. Şimdi bunun doğrunun normal vektörü olduğunu görebiliyoruz. , a doğrunun normal vektörüdür. Bu vektörler doğrusal değildir, çünkü eşitliği sağlayan bir t gerçek sayısı yoktur ( 
). Sonuç olarak bir düzlemdeki doğruların paralelliği için gerekli ve yeterli koşul sağlanmadığından verilen doğrular paralel değildir.
Cevap:
Hayır çizgiler paralel değil.
Örnek.
Doğrular düz ve paralel midir?
Çözüm.
Düz bir çizginin kanonik denklemini açısal katsayılı bir düz çizginin denklemine indirgeyelim: . Açıkçası, ve çizgilerinin denklemleri aynı değildir (bu durumda verilen çizgiler aynı olacaktır) ve çizgilerin açısal katsayıları eşittir, dolayısıyla orijinal çizgiler paraleldir.
1. soruya. Paralel doğruların tanımını verin. Hangi iki bölüme paralel denir? yazar tarafından verilmiştir Sasha Nijevyasov en iyi cevap bir düzlemde asla kesişmeyecek olan
Yanıtlayan: Uyarlanabilirlik[guru]
Paralel doğrular aynı düzlemde bulunan ve çakışan ya da kesişmeyen çizgilerdir.
Yanıtlayan: Naumenko[guru]
segmentler. paralel çizgilere aittir. paraleldir.
düzlemdeki düz çizgilere denir paralel. kesişmiyorlarsa veya çakışmıyorlarsa.
Yanıtlayan: Nöropatolog[acemi]
Aynı düzlemde yer alan ve aralarında hiçbir fark olmayan iki doğru ortak nokta, paralel denir
Yanıtlayan: Eklemek[usta]
Yanıtlayan: Varvara Lamekina[acemi]
bir düzlemdeki iki doğru kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır)
Yanıtlayan: Maksim İvanov[acemi]
Hangisi uçakta kesişmeyecek.
Yanıtlayan: Sem2805[aktif]
Bir düzlemdeki iki doğru kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır (7. sınıf)
Yanıtlayan: Sasha Klyuchnikov[acemi]
Öklid geometrisindeki paralel çizgiler aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen çizgilerdir. Mutlak geometride, belirli bir çizgi üzerinde yer almayan bir noktadan, verilen çizgiyle kesişmeyen en az bir çizgi geçer. Öklid geometrisinde böyle tek bir doğru vardır. Bu gerçek Öklid'in V önermesine (paralellikler üzerine) eşdeğerdir. Lobaçevski geometrisinde (bkz. Lobaçevski geometrisi), C noktasından geçen düzlemde (şekle bakın) belirli bir AB düz çizgisinin dışından geçer sonsuz küme AB'yi kesmeyen düz çizgiler. Bunlardan sadece ikisine AB'ye paralel denir. Aşağıdaki durumlarda CE çizgisi AB çizgisine A'dan B'ye paralel olarak adlandırılır: 1) B ve E noktaları AC çizgisinin aynı tarafında yer alır; 2) CE çizgisi ACE açısının içinden geçen herhangi bir ışın AB çizgisiyle kesişmez; AB ışını. B'den A'ya doğru AB'ye paralel olan CF düz çizgisi de benzer şekilde tanımlanır.
Yanıtlayan: Anatoly Mişin[acemi]
Uzaydaki iki doğru aynı düzlemde bulunuyorsa ve kesişmiyorsa paralel olarak adlandırılır.
Yanıtlayan: Oliya[aktif]
Paralel doğrular kesişmeyen doğrulardır
Yanıtlayan: Said Charakov[acemi]
Paralel doğrular aynı düzlemde bulunan ve ortak noktaları olmayan iki doğrudur.
Bir noktadan belirli bir düzleme paralel yalnızca bir düz çizgi çizebilirsiniz.
Yanıtlayan: Oliya Nemtyreva[acemi]
Paralel doğrular aynı düzlemde bulunan ve çakışan ya da kesişmeyen çizgilerdir. ..Lobaçevski geometrisi) belirli bir AB çizgisinin dışındaki C noktasından (şekle bakınız) geçen düzlemde, AB ile kesişmeyen sonsuz sayıda düz çizgi geçer. Bunlardan sadece ikisine AB'ye paralel denir
Yanıtlayan: Oksana Tişçenko[acemi]
Paralel çizgiler, bir düzlemde kesişmeyen iki doğrudur. Paralel doğrular üzerinde yer alan iki doğru parçasına paralel denir.