Parametrik eşitsizliklerin çözümü. Ders kitabı "parametreli denklemler ve eşitsizlikler"

Önizleme:

MOSKOVA BÖLGESİ EĞİTİM BAKANLIĞI

Devlet Eğitim Kurumu NPO 37 Nolu Meslek Yüksekokulu

PROJE:

DÖRTLÜ DENKLEMLER VE PARAMETRELERLE EŞİTSİZLİKLER"

Tamamlanmış -

Matsuk Galina Nikolaevna,

Matematik öğretmeni, Devlet Eğitim Kurumu NPO

37 MO numaralı meslek okulu.

G.Noginsk, 2011

1. Giriş

4. İkinci dereceden denklemleri başlangıç koşulları altında çözme metodolojisi.

6. İkinci dereceden eşitsizlikleri genel formdaki parametrelerle çözme metodolojisi.

7. İkinci dereceden eşitsizlikleri başlangıç koşulları altında çözme metodolojisi.

8. Sonuç.

9.Edebiyat.

Giriiş.

Bir meslek okulunda matematik öğretmenin temel görevi, öğrencilerin günlük yaşamda ve işte gerekli olan, ilgili disiplinleri incelemek ve sürekli eğitimin yanı sıra mesleki faaliyetlerde yeterli olan matematiksel bilgi ve beceriler sistemine güçlü ve bilinçli bir şekilde hakim olmalarını sağlamaktır. yeterince yüksek bir matematik kültürü gerektirir.

Profilli matematik eğitimi, metal işleme, elektrik tesisatı işleri ve ahşap işleme meslekleriyle ilgili uygulamalı problemlerin çözülmesi yoluyla gerçekleştirilir. Modern toplumdaki yaşam için, belirli zihinsel becerilerde kendini gösteren matematiksel bir iletişim tarzının geliştirilmesi önemlidir. Parametrelerle ilgili sorunların tanısal ve prognostik değeri vardır. Onların yardımıyla, ilköğretim matematiğin ana bölümlerine, mantıksal düşünme düzeyine ve ilk araştırma becerilerine ilişkin bilginizi test edebilirsiniz.

Parametreli görevlerin öğretilmesi, öğrencilerin büyük zihinsel ve istemli çaba göstermelerini, dikkatlerini geliştirmelerini ve etkinlik, yaratıcı inisiyatif ve kolektif bilişsel çalışma gibi niteliklerin geliştirilmesini gerektirir. Parametrelerle ilgili problemler, nihai durum sertifikasyonuna hazırlık için 2. yılda genel tekrar sırasında ve Birleşik Devlet Sınavı şeklinde final sınavlarına girme isteğini ifade eden öğrencilere hazırlık için 3. yılda ek derslerde çalışmaya yöneliktir. .

Matematik eğitiminin modernizasyonunun ana yönü, Birleşik Devlet Sınavının başlatılması yoluyla nihai sertifikasyon mekanizmalarının geliştirilmesidir. Son yıllarda matematik ödevlerinde parametrelerle ilgili problemler ortaya çıkmıştır. Bu tür görevler üniversiteye giriş sınavları için zorunludur. Bu tür problemlerin ortaya çıkması çok önemlidir, çünkü onların yardımıyla başvuranın temel matematik formülleri konusundaki ustalığını, denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yöntemlerini, mantıksal bir akıl yürütme zinciri oluşturma yeteneğini ve başvuranın mantıksal düşünme düzeyini test ederler. . Önceki birkaç yıldaki Birleşik Devlet Sınavı sonuçlarının bir analizi, mezunların bu tür görevleri çözmede büyük zorluk yaşadıklarını ve birçoğunun bunlara başlamadığını bile gösteriyor. Çoğu ya bu tür görevlerle hiç baş edemiyor ya da hantal hesaplamalar yapamıyor. Bunun nedeni ise okul ders kitaplarında bu konuyla ilgili bir ödev sisteminin bulunmamasıdır. Bu bağlamda, mesleki yönelim ile ilgili parametrelerle ilgili problemlerin ve uygulamalı nitelikteki problemlerin çözümüne yönelik sınavlara hazırlık için lisansüstü gruplarında özel konuların yürütülmesine ihtiyaç vardı.

Bu konuların incelenmesi, cebirde karmaşıklık düzeyi artan problemlerin nasıl çözüleceğini ve analizin başlangıcını öğrenmek isteyen 3. sınıf öğrencilerine yöneliktir. Bu tür sorunları çözmek onlara önemli zorluklar yaşatıyor. Bunun nedeni, parametreli her denklem veya eşitsizliğin, her biri için bir çözüm elde edilmesi gereken sıradan denklemler ve eşitsizliklerin tamamını temsil etmesidir.

Parametrelerle ilgili problemleri çözme sürecinde, insan düşüncesinin teknik ve yöntemlerinin cephaneliği doğal olarak tümevarım ve tümdengelim, genelleme ve spesifikasyon, analiz, sınıflandırma ve sistemleştirme ve analojiyi içerir. Meslek yüksekokullarındaki müfredat, ders programında yer alan matematik danışmanlığını sağladığından, yeterli matematik eğitimi olan, çalışılan konuya ilgi gösteren ve üniversiteye girme hedefi olan öğrencilere tavsiye edilir. olimpiyatlara, matematik yarışmalarına, çeşitli sınavlara, özellikle Birleşik Devlet Sınavına hazırlık için parametrelerle ilgili problemleri çözmek için belirtilen saatleri kullanmak. Bu tür sorunların çözümü, özellikle çeşitli çalışmaların yürütülmesine yardımcı olacak uygulamalı ve pratik amaçlarla ilgilidir.

2. Hedefler, ana görevler, yöntemler, teknolojiler, bilgi gereksinimleri.

Proje hedefleri:

İkinci dereceden denklemler ve eşitsizliklerin incelenmesine indirgenen parametrelerle problem çözmede yetenek ve becerilerin oluşturulması.
Konuya ilgi oluşturmak, matematiksel yetenekleri geliştirmek, Birleşik Devlet Sınavına hazırlanmak.
Denklemleri ve eşitsizlikleri çözmeye yönelik teknik ve yöntemlerin matematiksel anlayışının genişletilmesi.
Mantıksal düşünme ve araştırma becerilerinin geliştirilmesi.
Yaratıcı, araştırma ve eğitim faaliyetlerine katılım.
Bağımsız yaratıcı çalışma için koşullar sağlamak.
Öğrencilerin zihinsel ve istemli çabalarını teşvik etmek, dikkati, aktiviteyi, yaratıcı inisiyatifi ve kolektif bilişsel çalışma becerilerini geliştirmek.

Projenin ana hedefleri:

Öğrencilere matematiğe olan ilgilerini gerçekleştirme fırsatı ve matematiğin gelişimi için bireysel fırsatlar sağlamak.
Gerçek bilgi ve becerilerin edinilmesini teşvik edin.
Uygulamalı araştırma alanındaki parametrelerle ilgili problemlerin pratik önemini gösterin.
Standart ve standart dışı denklemleri ve eşitsizlikleri çözme yöntemlerini öğretin.
Matematikte bilgiyi derinleştirmek, konuya sürdürülebilir ilginin oluşmasını sağlamak.
Öğrencilerin matematiksel yeteneklerini belirleyin ve geliştirin.
Üniversitelere giriş için hazırlık sağlayın.
Yüksek matematik kültürü gerektiren mesleki faaliyetlere hazırlık sağlayın.
Entelektüel ve iletişim becerilerinin geliştirilmesine katkı sağlayacak araştırma ve proje faaliyetleri düzenler.

Derslerde kullanılan yöntemler:

Anlatım – öğrencilerle yapılan bir konuşma eşliğinde teorik materyalin aktarılması.
Seminerler - teorinin tartışılmasına ilişkin materyali pekiştirmek için.
Atölye çalışmaları – matematik problemlerini çözmek için.
Tartışmalar – çözümleriniz için argümanlar sağlamak.
Çeşitli grup ve bireysel aktivite biçimleri.
Şu şekilde düzenlenen araştırma faaliyetleri: didaktik materyalle çalışma, mesajların hazırlanması, özetlerin ve yaratıcı çalışmaların savunulması.
Dersler – bilgisayar ve projektör kullanılarak yapılan sunumlar.

Kullanılan teknolojiler:

Ders-seminer eğitim sistemi.
Bilgi ve iletişim teknolojileri.
Öğretimde düşünme becerilerini geliştirmeyi amaçlayan bir araştırma yöntemi.
Bir problem ortaya koyarak, probleme yönelik çeşitli seçenekleri tartışarak araştırmaya yönelik motivasyon sağlayan probleme dayalı öğrenme.
Öğrencilerin bilişsel ilgi alanlarını geliştirmeye yardımcı olan etkinlik yöntemi teknolojisi.

Öğrencilerin bilgi gereksinimleri.

İkinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri parametrelerle çözmenin çeşitli yollarını incelemenin bir sonucu olarak, öğrenciler aşağıdaki becerileri kazanmalıdır:

İkinci dereceden denklem ve ikinci dereceden eşitsizlikte parametre kavramını iyice kavramak;
İkinci dereceden denklemleri parametrelerle çözebilme.
İkinci dereceden eşitsizlikleri parametrelerle çözebilir.
İkinci dereceden bir fonksiyonun köklerini bulun.
İkinci dereceden fonksiyonların grafiklerini oluşturun.
İkinci dereceden trinomial'i keşfedin.
Kimlik dönüşümlerinde rasyonel yöntemleri uygular.
En sık kullanılan buluşsal teknikleri kullanın.
Edinilen bilgileri kişisel bilgisayarda çalışırken uygulayabilme.

Kontrol biçimleri.

Dersler – öz değerlendirmeler ve yoldaşların değerlendirmeleri.
Eğitim projelerinin sunumu.
Test.
Derecelendirme – tablo.
Önceki yılların Birleşik Devlet Sınavı koleksiyonlarından ev ödevi sorunları.
Testler.

3. Genel formdaki parametrelerle ikinci dereceden denklemleri çözme metodolojisi.

Parametrelerle ilgili sorunlardan korkmayın. Öncelikle denklem ve eşitsizlikleri parametrelerle çözerken, herhangi bir denklem ve eşitsizliği çözerken yapılması gerekenleri yapmanız gerekir - verilen denklemleri veya eşitsizlikleri mümkünse daha basit bir forma indirin: rasyonel ifadeyi çarpanlara ayırın, azaltın, parantezlerin dışındaki faktörler vb. d. İki büyük sınıfa ayrılabilecek sorunlar var.

Birinci sınıf, bir parametrenin tüm olası değerleri için bir denklemi veya eşitsizliği çözmenin gerekli olduğu örnekleri içerir.

İkinci sınıf, tüm olası çözümlerin değil, yalnızca bazı ek koşulları sağlayanların bulunmasının gerekli olduğu örnekleri içerir. Bu tür sorunların sınıfı tükenmez.

Öğrenciler için bu tür problemleri çözmenin en anlaşılır yolu önce tüm çözümleri bulmak, daha sonra ek koşulları sağlayanları seçmektir.

Parametrelerle ilgili problemleri çözerken, bazen normal düzlemde (x, y) grafikler oluşturmak uygun olur ve bazen de x'in bağımsız değişken ve "a" olduğu düzlemdeki (x, a) grafikleri dikkate almak daha iyidir. parametredir. Bu öncelikle tanıdık temel grafikler oluşturmanız gereken bir problemde mümkündür: düz çizgiler, paraboller, daireler vb. Ek olarak, grafik çizimleri bazen çözümün "ilerlemesini" net bir şekilde görmeye yardımcı olur.

F (x,a) = 0 denklemlerini ve f (x,a) › 0 eşitsizliklerini çözerken, öncelikle katsayının en yüksek olduğu parametre değerleri için çözümün dikkate alındığını hatırlamalıyız. kare trinomial f(x,a)'nın kuvveti x, böylece dereceyi azaltır. İkinci dereceden denklem A(a) x 2 A(a) = 0'da + B(a) x + C(a) = 0, eğer B(a) ≠ 0 ise doğrusala dönüşür ve ikinci dereceden ve doğrusal denklemleri çözme yöntemleri farklıdır.

İkinci dereceden denklemlerle çalışmanın temel formüllerini hatırlayalım.

Ah formunun denklemi 2 + in + c = 0, burada x  R bilinmeyenlerdir, a, b, c yalnızca parametrelere bağlı ifadelerdir ve a ≠ 0 ikinci dereceden denklem olarak adlandırılır ve D = b 2 – 4ac’a ikinci dereceden bir trinomiyalin diskriminantı denir.

Eğer D

D > 0 ise denklemin iki farklı kökü vardır

x 1 = , x 2 = ve sonra ax 2 + in + c = a (x – x 1) (x – x 2).

Bu kökler Vieta formülleriyle denklemin katsayıları aracılığıyla ilişkilendirilir.

Eğer D = 0 ise denklemin çakışan iki kökü vardır x 1 = x 2 = ve sonra ax 2 + in + c = a (x – x 1) 2 . Bu durumda denklemin tek çözümü olduğu söylenir.

Ne zaman, yani = 2k, ikinci dereceden denklemin kökleri x formülüyle belirlenir 1,2 = ,

İndirgenmiş ikinci dereceden denklem x'i çözmek için 2 + piksel + q = 0

Kullanılan formül x'tir 1,2 = - Vieta'nın formüllerinin yanı sıra

Örnekler. Denklemleri çözün:

Örnek 1. + =

Çözüm:

a ≠ - 1, x ≠ 2 için x elde ederiz 2 + 2ax – 3b + 4 = 0 ve kökler

x 1 = - bir - , x 2 = -a + , mevcut

A 2 + 2a – 4  0, yani. en

Şimdi herhangi bir x'in olup olmadığını kontrol edelim. 1 veya x 2 2'ye eşittir. İkinci dereceden denklemde x = 2'yi yerine koyarsak = - 8 elde ederiz.

Bu durumda ikinci kök eşittir(Vieta teoremine göre) ve a = - 8 için 14'e eşittir.

Yanıt: a = - 8 için tek çözüm x = 14'tür;

Eğer a  (- ∞; - 8)  (- 8; - 4)  (1; + ∞) – iki kök x 1 ve x2;

Eğer bir = - tek çözüm x =sırasıyla;

a  (- 4; 1) ise x   .

Bazen kesirli terimleri olan denklemler ikinci dereceden terimlere indirgenir. Aşağıdaki denklemi göz önünde bulundurun.

Örnek 2. - =

Çözüm: a = 0 olduğunda mantıklı değildir, x değeri şu koşulları karşılamalıdır: x -1, x  -2. Denklemin tüm terimlerinin a (x + 1) (x +2) ile çarpılması 0,

x 2 – 2(a – 1)x + a 2 elde ederiz – 2a – 3 = 0, buna eşdeğerdir. Kökleri:

x 1 = a + 1, x 2 = - 3. Bu köklerden yabancı kökleri seçelim, yani. -1 ve -2'ye eşit olanlar:

X 1 = a + 1 = - 1, a = - 2, ancak a = - 2 x ile 2 = - 5;

X 1 = a + 1 = - 2, a = - 3, ancak a = - 3 x ile 2 = - 6;

X 2 = a - 3 = - 1, a = 2, ancak a = 2 x ile 1 = 3;

X 2 = a - 3 = - 2, a = 1, ancak a = 1 x ile 1 = 2.

Cevap: a ≠ 0 için a ≠ 2, a ≠ - 3, a ≠ 1 x 1 = a + 1, x 2 = a – 3;

a = - 2 x = - 5 olduğunda; a = - 3 x = - 6 olduğunda.

4. İkinci dereceden denklemleri başlangıç koşulları altında çözme metodolojisi.

Parametrik ikinci dereceden denklemlerin koşulları çeşitlidir. Örneğin, kökleri pozitif, negatif, farklı işaretlere sahip, belirli bir sayıdan büyük veya küçük vb. olan bir parametrenin değerini bulmanız gerekir. Bunları çözmek için ikinci dereceden denklem ax'in köklerinin özelliklerini kullanmalısınız. 2 + inç + c = 0.

D > 0, a > 0 ise denklemin iki gerçek farklı kökü vardır; c > 0 için işaretleri aynı ve b katsayısının işaretiyle zıttır ve c için

D = 0, a > 0 ise denklemin gerçek ve eşit kökleri vardır ve bunun işareti b katsayısının işaretinin tersidir.

Eğer D 0 ise denklemin reel kökleri yoktur.

Benzer şekilde, ikinci dereceden denklemin köklerinin özelliklerini bir

İkinci dereceden bir denklemde a ve c katsayılarını değiştirirsek, kökleri verilen denklemin köklerinin tersi olan bir denklem elde ederiz.
İkinci dereceden bir denklemde b katsayısının işaretini değiştirirsek, kökleri verilenin köklerinin tersi olan bir denklem elde ederiz.
İkinci dereceden bir denklemde a ve c katsayıları farklı işaretlere sahipse, bu denklemin gerçek kökleri vardır.
a > 0 ve D = 0 ise, ikinci dereceden denklemin sol tarafı tam karedir ve tam tersi, denklemin sol tarafı tam kare ise a > 0 ve D = 0'dır.
Denklemin tüm katsayıları rasyonel ise ve diskriminant tam kareyi ifade ediyorsa denklemin kökleri rasyoneldir.
Köklerin sıfıra göre konumunu dikkate alırsak Vieta teoremini uygularız.

İkinci dereceden bir üç terimlinin köklerinin, ikinci dereceden bir fonksiyonun sayı doğrusu üzerindeki sıfırlarının koşullarına ve konumuna göre seçimi.

f (x) = ax 2 + in + c, a  0, kökler x 1 ˂ x 2,  ˂  olsun.

	Köklerin sayı doğrusu üzerindeki konumu.	Gerekli ve yeterli koşul.
	x 1, x 2 	ve f ( ) > 0, D  0, x 0 
	x 1, x 2 > 	ve f ( ) > 0, D  0, x 0 > 
	x 1  2	ve f ( )
	 1,x2  .	ve f ( ) > 0, D  0 ve f ( ) > 0  0  .
	 1  2	ve f ( ) > 0 ve f ( )
	x 1  2 	ve f ( )  ) > 0
	x 1   2	ve f ( )  )

Örnek 3. Bir denklemin hangi değerlerinde olduğunu belirleyin

x 2 – 2 (a – 1) x + 2a + 1 = 0

kökleri yoktur:

gerekli ve yeterli koşul D

D = (a – 1) 2 – 2a – 1 = a 2 – 4a

kökleri vardır:

D  0, D = (a – 1) 2 – 2a – 1  0, a 

bir kökü vardır:

iki kökü vardır:

D > 0, yani. bir 

pozitif kökleri vardır:

2(a – 1) > 0   a  4

Soru "iki pozitif kökü var" ise sistem değiştirilmelidir D > 0;

negatif kökleri vardır:

2(a – 1)  

farklı işaretlerin kökleri vardır, yani. biri olumlu, diğeri olumsuz:

  bir ;

Durum Kullanmaya gerek yok x yeterli 1 x 2

Köklerden biri 0'a eşit:

gerekli yeterli koşul, denklemin serbest teriminin sıfıra eşit olmasıdır; 2a + 1 = 0, a = -1/2.

İkinci kökün işareti ya orijinal denklemde a = -1/2 yerine koyularak ya da daha basit bir şekilde Vieta'nın x teoremi ile belirlenir. 1 + x 2 = 2 (a – 1) ve a = -1/2'yi değiştirdikten sonra x elde ederiz 2 = - 3, yani a = -1/2 için iki kök: x 1 = 0, x 2 = - 3.

Örnek 4 . Denklem a parametresinin hangi değerlerinde yapılır?

(a – 2) x 2 – 4ax +3 -2a = 0'ın x eşitsizliğini sağlayan tek bir çözümü vardır

Çözüm.

Ayırıcı 2 – (a – 2)(3 – 2a)

4a 2 – 3a + 6 + 2a 2 – 4a = 6a 2 – 7a + 6

49 – 144 = - 95 olduğundan ve ilk katsayı 6 sonra tüm x  R için 6a 2 – 7a + 6.

O halde x 1,2 = .

Problemin koşullarına göre x2, o zaman eşitsizliği elde ederiz

Sahibiz:

tüm a  R için doğrudur.

6a 2 – 7a + 6 6a 2 – 7a - 10 2

A 1,2 = 1/12 (7  17) ve 1 = 2 ve 2 = - 5/6.

Bu nedenle -5/6

Cevap: -

5. Eşit değişken olarak parametre.

Analiz edilen tüm görevlerdeparametre sabit ancak bilinmeyen bir sayı olarak değerlendirildi. Bu arada, resmi bir bakış açısından, bir parametre bir değişkendir ve örnekte mevcut olan diğer parametrelere "eşittir". Örneğin, f(x;a) form parametresinin bu görünümüyle, fonksiyonlar (daha önce olduğu gibi) bir değişkenle değil, iki değişkenle tanımlanır. Böyle bir yorum doğal olarak parametrelerle ilgili problemlerin başka bir türünü (veya daha doğrusu bu türü tanımlayan bir çözüm yöntemini) oluşturur. Bu tipte analitik bir çözüm gösterelim.

Örnek 5. xy düzleminde, y = x ailesi eğrilerinden hiçbirinin geçmediği tüm noktaları belirtin 2 – 4рх + 2р 2 – 3, burada p bir parametredir.

Çözüm: Eğer (x 0;y 0 ) belirli bir ailenin eğrilerinden hiçbirinin geçmediği bir nokta ise bu noktanın koordinatları orijinal denklemi sağlamaz. Sonuç olarak sorun, x ile y arasında, koşulda verilen denklemin hiçbir çözümü olmayacak şekilde bir ilişki bulmaktan ibaretti. İstenilen bağımlılığı x ve y değişkenlerine değil p parametresine odaklanarak elde etmek kolaydır. Bu durumda verimli bir fikir ortaya çıkıyor: Bu denklemi p'ye göre ikinci dereceden olarak düşünün. Sahibiz

2р 2 – 4рх+ x 2 – y – 3 = 0. Diskriminant= 8x2 + 8y + 24 negatif olmalı. Buradan y ˂ - x'i elde ederiz 2 – 3, dolayısıyla gerekli küme, koordinat düzleminin y = - x parabolünün “altında” bulunan tüm noktalarıdır. 2 – 3.

Cevap: y 2 – 3

6. İkinci dereceden eşitsizlikleri parametrelerle çözme metodolojisi

Genel anlamda.

Formun ikinci dereceden (katı ve katı olmayan) eşitsizlikleri

Kabul edilebilir değerler a, b, c'nin geçerli olduğu parametre değerleridir. İkinci dereceden eşitsizlikleri analitik veya grafiksel olarak çözmek uygundur. İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği bir parabol olduğundan, a > 0 için parabolün dalları yukarıya doğru yönlendirilir.

f(x) = ax parabolünün farklı konumları 2 + inç + s, a  a > 0 için 0 Şekil 1'de gösterilmektedir.

A) b) c)

a) f(x) > 0 ve D R ise;

b) Eğer f(x) > 0 ve D = 0 ise x ;

c) Eğer f(x) > 0 ve D > 0 ise x (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ).

Parabolün konumları benzer şekilde kabul edilir.

Örneğin, üç durumdan biri

a 0 ve f(x) > 0 x  (x 1; x 2) için;

a 0 ve f (x)  (-  ; x 1 )  (x 2 ; +  ) için.

Örnek olarak bir eşitsizliği çözmeyi düşünün.

Örnek 6. Eşitsizliği çöz x 2 + 2x + a > 0.

D üçlü x'in diskriminantı olsun 2 + 2x + a > 0. D = 0 için, a = 1 için eşitsizlik şu formu alır:

(x + 1) 2 > 0

Bu, x = - 1 dışında x'in tüm gerçek değerleri için doğrudur.

D > 0 için, yani. x'te, üç terimli x 2 + 2x + a'nın iki kökü vardır: - 1 – Ve

1 + ve eşitsizliğin çözümü aralıktır

(-  ; - 1 – )  (- 1 + ; +  )

Bu eşitsizliği grafiksel olarak çözmek kolaydır. Bunu yapmak için formda temsil edelim.

X 2 + 2x > - a

ve y = x fonksiyonunun grafiğini oluşturun 2 + 2x

Bu grafiğin y = - a düz çizgisiyle kesiştiği noktaların apsisleri x denkleminin kökleridir 2 + 2x = - a.

Cevap:

–a > - 1 için, yani. bir, x  (-  ; x 1 )  (x 2 ;+  );

– a = - 1'de, yani a = 1 için x, -1 dışında herhangi bir gerçek sayıdır;

en – bir yani a > 1 için x herhangi bir reel sayıdır.

Örnek 7 . Eşitsizliği çözün cx 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2)

c = 0 olduğunda şu formu alır: 2x + 2çözüm x olacak

f(x) = cx gösterimini tanıtalım 2 – 2 (s – 1)x + (s + 2) burada c ≠ 0.

Bu durumda f(x) eşitsizliği

f(x)'in diskriminantı D olsun. 0,25 D = 1 – 4s.

Eğer D > 0 ise, yani. eğer ile> 0,25, o zaman f (x) işareti, x'in herhangi bir gerçek değeri için c işaretiyle çakışır, yani. f(x) Herhangi bir x  R için > 0, yani c > 0,25 eşitsizliği f(x)

Eğer D = 0 ise, yani. c = 0,25, sonra f (x) = (0,25 x + 1,5) 2, yani f(x)  0 herhangi biri için

X  R. Dolayısıyla c = 0,25 için f(x) eşitsizliği

D  durumunu düşünün 0). x'in iki gerçek değeri için f(x) = 0:

x 1 = (c – 1 – ) ve x 2 = (c – 1 + ).

Burada iki durum ortaya çıkabilir:

f(x) eşitsizliğini çözün

f(x) c'nin işaretiyle örtüşmektedir. Bu soruyu yanıtlamak için şunu unutmayın: , yani s – 1 – ˂ s – 1 + , ancak s (s – 1 – ) olduğundan (s – 1 + ) ve dolayısıyla eşitsizliğin çözümü şöyle olacaktır:

(-  ; (s – 1 – ))  ( (s – 1 + ); +  ).

Şimdi eşitsizliği çözmek için, f (x) işaretinin c işaretinin karşısında olduğu c değerlerini belirtmek yeterlidir. 0 1'den beri 2, sonra x  (x 1; x 2).

Cevap: c = 0 x R olduğunda;

İle  (-  ; x 2 )  (x 1 ; +  );

0'da  (x 1; x 2);

c  0,25 için çözüm yoktur.

Bir parametrenin eşit bir değişken olarak görülmesi, ikinci dereceden eşitsizliklerin çözümüne yönelik grafiksel yöntemlere yansıtılır. Aslında parametrenin değişkene “hakları eşit” olduğundan, kendi koordinat eksenine “tahsis edilebilmesi” doğaldır. Böylece bir (x; a) koordinat düzlemi ortaya çıkar. Eksenleri belirtmek için geleneksel x ve y harfleri seçiminin terk edilmesi gibi küçük bir ayrıntı, parametrelerle ilgili problemlerin çözümünde en etkili yöntemlerden birini belirler.

Sorunun bir a parametresi ve bir x değişkeni içermesi uygundur. Çözüm sürecinin kendisi şematik olarak buna benziyor. İlk önce bir grafik görüntü oluşturulur, daha sonra ortaya çıkan grafiği parametrik eksene dik düz çizgilerle keserek gerekli bilgileri "kaldırırız".

Eksenleri belirlemek için x ve y harflerinin geleneksel seçiminin reddedilmesi, parametrelerle ilgili problemlerin çözümünde en etkili yöntemlerden birini belirler - "etki alanı yöntemi"

Başlangıç koşulları altında ikinci dereceden eşitsizlikleri çözme metodolojisi.

Sonuçları sayı doğrusunda dikkate alınan parametrelerle ikinci dereceden bir eşitsizliğin analitik bir çözümünü ele alalım.

Örnek 8.

Eşitsizliğin her biri için x'in tüm değerlerini bulun

(2x)a 2 +(x 2 -2x+3)a-3x≥0

[-3;0] aralığına ait herhangi bir değer için sağlanır.

Çözüm. Bu eşitsizliğin sol tarafını şu şekilde dönüştürelim:

(2-x)a 2 + (x 2 -2x+3)a-3x=ax 2 - a 2 x - 2ax + 2a 2 + 3a - 3x =

Ax (x - a)-2a(x - a)- 3(x-a) = (x - a)(ax- 2a - 3).

Bu eşitsizlik şu şekilde olacaktır: (x - a) (ax - 2a - 3) ≥ 0.

a = 0 ise - Zx ≥ 0 x ≤ 0 elde ederiz.

a ≠ 0 ise -3 a

Çünkü A 0 ise bu eşitsizliğin çözümü, eşitsizliğe karşılık gelen denklemin kökleri arasında bulunan sayısal eksenin aralığı olacaktır.

Sayıların göreceli konumunu bulalım bir ve , koşulu dikkate alarak - 3 ≤ a

3 ≤a

bir = -1.

Ele alınan tüm durumlarda, parametre değerlerine bağlı olarak bu eşitsizliğin çözümlerini sunalım:

a parametresinin herhangi bir değeri için bu eşitsizliğe yalnızca x = -1'in çözüm olduğunu bulduk. .

Cevap: -1

Çözüm.

Neden “İkinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri parametrelerle çözmek için metodolojik önerilerin geliştirilmesi” konulu bir projeyi seçtim? Herhangi bir trigonometrik, üstel, logaritmik denklemleri, eşitsizlikleri, sistemleri çözerken, çoğu zaman bazen doğrusal ve çoğunlukla ikinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri dikkate alırız. Parametrelerle karmaşık problemleri çözerken, çoğu görev, eşdeğer dönüşümler kullanılarak aşağıdaki türdeki çözümlerin seçimine indirgenir: a (x – a) (x – c) > 0 (

İkinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri parametrelerle çözmenin teorik temelini inceledik. Gerekli formülleri ve dönüşümleri hatırladık, diskriminantın değerine, baş katsayının işaretine, köklerin konumuna ve parabolün köşelerine bağlı olarak ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiklerinin farklı düzenlemelerini inceledik. Sonuçları çözmek ve seçmek için bir şema belirledik ve bir tablo derledik.

Proje ikinci dereceden denklemleri ve eşitsizlikleri çözmek için analitik ve grafiksel yöntemler göstermektedir. Bir meslek okulundaki öğrencilerin materyali daha iyi özümsemeleri için materyalin görsel algısına ihtiyaçları vardır. X değişkeninin nasıl değiştirilebileceği ve parametrenin eşit değer olarak nasıl kabul edilebileceği gösterilir.

Bu konunun net bir şekilde anlaşılması için, her bölüm için 1 – 2 parametreli 8 problemin çözümü ele alınmıştır. 1 numaralı örnekte, parametrenin farklı değerleri için çözüm sayısı dikkate alınır; 3 numaralı örnekte, ikinci dereceden bir denklemin çözümü çeşitli başlangıç koşulları altında analiz edilir. İkinci dereceden eşitsizliklerin çözümü için bir grafik çizimi yapılmıştır. 5 numaralı örnekte bir parametrenin eşit değer olarak değiştirilmesi yöntemi kullanılmıştır. Proje, Birleşik Devlet Sınavını geçmeye yönelik yoğun hazırlık için C bölümünde yer alan görevlerden 8 numaralı örneğin dikkate alınmasını içermektedir.

Öğrencilerin parametrelerle ilgili problemleri çözme konusunda yüksek kaliteli eğitimi için, multimedya teknolojilerinin tam olarak kullanılması tavsiye edilir, yani: dersler için sunumlar, elektronik ders kitapları ve kitaplar ve medya kütüphanesinden kendi geliştirmelerinizi kullanın. Matematik + bilgisayar bilimlerindeki ikili dersler çok etkilidir. İnternet öğretmenler ve öğrenciler için vazgeçilmez bir yardımcıdır. Sunum, mevcut eğitim kaynaklarından içe aktarılmış nesneler gerektirir. En uygun ve kabul edilebilir çalışma etkinliği “Okulda Microsoft Office Kullanımı” merkezidir.

Bu konuyla ilgili metodolojik önerilerin geliştirilmesi, okula çalışmaya gelen genç öğretmenlerin işini kolaylaştıracak, öğretmen portföyüne eklenecek, özel konularda model oluşturacak ve örnek çözümler, öğrencilerin karmaşık görevlerle baş etmelerine yardımcı olacaktır.

Edebiyat.

1. Gornshtein P.I., Polonsky V.B., Yakir M.S. Parametrelerle ilgili sorunlar. “Ilexa”, “Spor Salonu”, Moskova - Kharkov, 2002.

2. Balayan E.N. Birleşik Devlet Sınavı ve Olimpiyatlara hazırlanmak için matematikte bir problemler koleksiyonu. 9-11 sınıflar. "Phoenix", Rostov-na-Donu, 2010.

3. Yastrebinetsky G.A. Parametrelerle ilgili sorunlar. M., "Aydınlanma", 1986.

4. Kolesnikova S.I. Matematik. Birleşik Devlet Sınavının karmaşık problemlerini çözme. M. "IRIS - basın", 2005.

5. Rodionov E.M., Sinyakova S.L. Matematik. Üniversitelere başvuranlar için rehber. Eğitim merkezi "Orientir" MSTU adını almıştır. N.E. Bauman, M., 2004.

6. Skanavi M.I. Üniversitelere girenler için matematik problemlerinin derlemesi: 2 kitapta. Kitap 1, M., 2009.

İş türü: 18

Durum

A parametresinin hangi değerleri için eşitsizlik

\log_(5)(4+a+(1+5a^(2)-\cos^(2)x) \cdot\sin x - a \cos 2x) \leq 1 x'in tüm değerleri karşılanıyor mu?

Çözümü göster

Çözüm

Bu eşitsizlik çift eşitsizliğe eşdeğerdir 0 < 4+a+(5a^{2}+\sin^{2}x) \sin x+ a(2 \sin^(2)x-1) \leq 5 .

\sin x=t olsun, o zaman eşitsizliği elde ederiz:

4 < t^{3}+2at^{2}+5a^{2}t \leq 1 \: (*) -1 \leq t \leq 1'in tüm değerleri için yürütülmesi gereken. Eğer a=0 ise eşitsizlik (*), [-1;1] içindeki herhangi bir t\ için geçerlidir.

\neq 0 olsun. f(t)=t^(3)+2at^(2)+5a^(2)t fonksiyonu [-1;1] aralığında artar, çünkü f"(t)=3t^(2) türevi +4at +5a^(2) > 0 tüm t \in \mathbb(R) değerleri ve a \neq 0 (ayırt edici D)< 0 и старший коэффициент больше нуля).

Eşitsizlik (*), şu koşullar altında [-1;1]'de t \ için sağlanacaktır

\begin(cases) f(-1) > -4, \\ f(1) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(case)\: \Leftrightarrow \begin(cases) -1+2a-5a^(2) > -4, \\ 1+2a+5a^(2) \leq 1, \\ a \neq 0; \end(case)\: \Leftrightarrow \begin(case) 5a^(2)-2a-3< 0, \\ 5a^{2}+2a \leq 0, \\ a \neq 0; \end{cases}\: \Leftrightarrow -\frac(2)(5)\leq a< 0 .

Yani -\frac(2)(5) \leq a \leq 0 olduğunda koşul sağlanır.

Cevap

\left [ -\frac(2)(5); 0\sağ ]

Kaynak: “Matematik. Birleşik Devlet Sınavı 2016'ya hazırlık. Profil seviyesi." Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

İş türü: 18
Konu: Parametreli eşitsizlikler

Durum

Her biri için eşitsizliğin olduğu a parametresinin tüm değerlerini bulun

x^2+3|x-a|-7x\leqslant -2a

benzersiz bir çözümü var.

Çözümü göster

Çözüm

Eşitsizlik bir dizi eşitsizlik sistemine eşdeğerdir

\left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2+3x-3a-7x+2a\leqslant0; \end(case) \\ \begin(case)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) x \geqslant a, \\ x^2-4x-a\leqslant0; \end(case) \\ \begin(case)x \left[\!\!\begin(array)(l) \begin(cases) a \leqslant x, \\ a\geqslant x^2-4x; \end(cases) \\ \begin(cases)a>x, \\ a\leqslant -\frac(x^2)(5)+2x. \end(case)\end(array)\right.

Oxa koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturacağız a=x, a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x.

Ortaya çıkan küme, fonksiyonların grafikleri arasında yer alan noktalarla sağlanır. a=x^2-4x, a=-\frac(x^2)(5)+2x x\in (gölgeli alan) aralığında.

Grafikten şunu belirliyoruz: Orijinal eşitsizliğin a=-4 ve a=5 için benzersiz bir çözümü vardır, çünkü gölgeli alanda koordinatı -4 ve 5 olan tek bir nokta olacaktır.

eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi çözüm hemen hemen her eşitsizlik çevrimiçi. Matematiksel çevrimiçi eşitsizlikler matematik çözmek için. Hızlıca bulun eşitsizlik çözümü modunda çevrimiçi. www.site web sitesi bulmanızı sağlar çözüm neredeyse verilen her şey cebirsel, trigonometrik veya aşkın eşitsizlik çevrimiçi. Matematiğin hemen hemen her dalını farklı aşamalarda çalışırken, çevrimiçi eşitsizlikler. Hemen yanıt almak ve en önemlisi doğru yanıt almak için bunu yapmanıza olanak tanıyan bir kaynağa ihtiyacınız var. www.site sitesi sayesinde çevrimiçi eşitsizliği çöz birkaç dakika sürecektir. Matematik çözerken www.sitenin temel avantajı çevrimiçi eşitsizlikler- bu, sağlanan yanıtın hızı ve doğruluğudur. Site her türlü sorunu çözebilir cebirsel eşitsizlikler çevrimiçi, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi, aşkın eşitsizlikler çevrimiçi ve ayrıca eşitsizlikler modunda bilinmeyen parametrelerle çevrimiçi. Eşitsizlikler güçlü bir matematiksel aygıt olarak hizmet eder çözümler pratik problemler. yardımıyla matematiksel eşitsizliklerİlk bakışta kafa karıştırıcı ve karmaşık görünebilecek olguları ve ilişkileri ifade etmek mümkündür. Bilinmeyen miktarlar eşitsizlikler problemi formüle ederek bulunabilir. matematiksel formdaki dil eşitsizlikler Ve karar vermek modunda alınan görev çevrimiçi www.site web sitesinde. Herhangi cebirsel eşitsizlik, trigonometrik eşitsizlik veya eşitsizlikler içeren transandantal kolayca yapabileceğiniz özellikler karar vermekçevrimiçi olun ve kesin cevabı alın. Doğa bilimleri okurken kaçınılmaz olarak bir ihtiyaçla karşılaşırsınız. eşitsizliklere çözümler. Bu durumda cevabın doğru olması ve modda hemen alınması gerekir. çevrimiçi. Bu nedenle matematiksel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme için vazgeçilmez hesap makineniz olacak www.site sitesini öneriyoruz. cebirsel eşitsizlikleri çevrimiçi çözme, trigonometrik eşitsizlikler çevrimiçi ve ayrıca aşkın eşitsizlikler çevrimiçi veya eşitsizlikler bilinmeyen parametrelerle Çeşitli sorunlara çevrimiçi çözümler bulmanın pratik sorunları için matematiksel eşitsizlikler kaynak www.. Çözme çevrimiçi eşitsizlikler kendiniz, alınan cevabı kullanarak kontrol etmeniz yararlı olacaktır. eşitsizliklerin çevrimiçi çözümü www.site web sitesinde. Eşitsizliği doğru yazmanız ve anında elde etmeniz gerekir. çevrimiçi çözüm Bundan sonra geriye kalan tek şey cevabı eşitsizliğin çözümüyle karşılaştırmaktır. Cevabı kontrol etmek bir dakikadan fazla sürmeyecek, bu yeterli çevrimiçi eşitsizliği çöz ve cevapları karşılaştırın. Bu, hatalardan kaçınmanıza yardımcı olacaktır karar ve cevabı zamanında düzeltin çevrimiçi eşitsizlikleri çözmeöyle olsun cebirsel, trigonometrik, transandantal veya eşitsizlik bilinmeyen parametrelerle

Başvuru

Öğrencilerin ve okul çocuklarının ele aldıkları materyali pekiştirmeleri için Math24.biz'de eşitsizlikleri çevrimiçi çözme. Ve pratik becerilerinizi geliştirin. Matematikte eşitsizlik, iki nesnenin göreceli boyutu veya sırası (bir nesne diğerinden daha küçük veya daha büyük değil) veya iki nesnenin aynı olmadığı (eşitliğin reddi) ile ilgili bir ifadedir. İlköğretim matematikte sayısal eşitsizlikler incelenir; genel cebir, analiz ve geometride sayısal olmayan nitelikteki nesneler arasındaki eşitsizlikler de dikkate alınır. Bir eşitsizliği çözmek için her iki parçanın da aralarındaki eşitsizlik işaretlerinden biriyle belirlenmesi gerekir. Katı eşitsizlikler iki nesne arasındaki eşitsizliği ima eder. Katı olmayan eşitsizlikler, katı eşitsizliklerden farklı olarak, içinde yer alan nesnelerin eşitliğine izin verir. Doğrusal eşitsizlikler başlangıçta en basit ifadelerdir ve bu tür eşitsizlikleri çözmek için en basit teknikler kullanılır. Öğrencilerin çevrimiçi eşitsizlikleri çözerken yaptıkları temel hata, sınır değerlerinin nihai cevaba dahil edilip edilmeyeceğini belirleyen katı ve katı olmayan eşitsizliklerin özelliklerini ayırt etmemeleridir. Birçok bilinmeyenle birbirine bağlanan çeşitli eşitsizliklere eşitsizlik sistemi denir. Sistemdeki eşitsizliklerin çözümü, düzlem üzerinde belirli bir alan veya üç boyutlu uzayda üç boyutlu bir şekildir. Bununla birlikte, n boyutlu uzaylar tarafından soyutlanırlar, ancak bu tür eşitsizlikleri çözerken özel bilgisayarlar olmadan yapmak çoğu zaman imkansızdır. Her eşitsizlik için ayrı ayrı çözüm alanının sınırlarında bilinmeyenin değerlerini bulmanız gerekir. Eşitsizliğin tüm çözümlerinin kümesi onun cevabıdır. Bir eşitsizliğin, ona eşdeğer başka bir eşitsizlikle değiştirilmesine, bir eşitsizlikten diğerine eşdeğer geçiş denir. Benzer bir yaklaşım diğer disiplinlerde de bulunur çünkü ifadelerin standart bir forma getirilmesine yardımcı olur. Web sitemizde eşitsizlikleri çevrimiçi çözmenin tüm faydalarını takdir edeceksiniz. Eşitsizlik => işaretlerinden birini içeren bir ifadedir. Aslında bu mantıksal bir ifadedir. Bu eşitsizliğin sağında ve solunda ne olduğuna bağlı olarak doğru ya da yanlış olabilir. Eşitsizliklerin anlamının açıklanması ve eşitsizlikleri çözmeye yönelik temel teknikler okulda olduğu gibi çeşitli derslerde de incelenmektedir. Tüm eşitsizlikleri çevrimiçi çözme - modüllü, cebirsel, trigonometrik, aşkın eşitsizliklerle ilgili eşitsizlikler çevrimiçi. Katı ve katı olmayan eşitsizlikler gibi özdeş eşitsizlikler, nihai sonuca ulaşma sürecini basitleştirir ve sorunun çözümünde yardımcı bir araçtır. Logaritmik, üstel, trigonometrik veya ikinci dereceden eşitsizlikler olsun, her türlü eşitsizliğin ve eşitsizlik sistemlerinin çözümü, bu önemli sürece başlangıçta doğru bir yaklaşım kullanılarak sağlanır. Sitede eşitsizliklerin çevrimiçi çözümü her zaman tüm kullanıcılara açıktır ve tamamen ücretsizdir. Bir değişkendeki eşitsizliğin çözümü, değişkenin onu doğru bir sayısal ifadeye dönüştüren değerleridir. Modüllü denklemler ve eşitsizlikler: Bir reel sayının modülü o sayının mutlak değeridir. Bu eşitsizlikleri çözmenin standart yöntemi, eşitsizliğin her iki tarafını da istenilen güce yükseltmektir. Eşitsizlikler sayılar arasındaki karşılaştırmaları belirten ifadelerdir, dolayısıyla eşitsizliklerin doğru çözülmesi bu tür karşılaştırmaların doğruluğunu sağlar. Kesin (büyük, küçük) ve katı olmayan (büyük veya eşit, küçük veya eşit) olabilirler. Bir eşitsizliği çözmek, orijinal ifadeye yerleştirildiğinde onu doğru sayısal temsile dönüştüren değişkenlerin tüm değerlerini bulmak anlamına gelir. Eşitsizlik kavramı, özü ve özellikleri, sınıflandırılması ve çeşitleri - bu, eşitsizliği belirleyen şeydir. Bu matematiksel bölümün özellikleri. Bu sınıfın tüm nesnelerine uygulanabilen sayısal eşitsizliklerin temel özellikleri, bu konuya aşinalığın ilk aşamasında öğrenciler tarafından incelenmelidir. Çevrimiçi eşitsizliklerin çözümü söz konusu olduğunda eşitsizlikler ve sayı doğrusu aralıkları çok yakından ilişkilidir. Eşitsizliğin çözümünün grafiksel gösterimi, böyle bir ifadenin özünü açıkça göstermektedir; herhangi bir sorunu çözerken neyin çabalanması gerektiği açıkça ortaya çıkar. Eşitsizlik kavramı iki veya daha fazla nesnenin karşılaştırılmasını içerir. Değişken içeren eşitsizlikler benzer şekilde oluşturulmuş denklemler halinde çözülür ve ardından cevap olarak alınacak aralıklar seçilir. Ücretsiz hizmetimizi kullanarak her türlü cebirsel eşitsizliği, trigonometrik eşitsizliği veya aşkın fonksiyonlar içeren eşitsizlikleri kolayca ve anında çözebilirsiniz. Bir sayı, bir değişken yerine bu sayıyı değiştirdiğimizde doğru ifadeyi elde edersek, yani eşitsizlik işareti gerçek kavramı gösteriyorsa, eşitsizliğin çözümüdür. Öğrencilerin tam olarak çalışabilmeleri için her gün sitedeki eşitsizlikleri çevrimiçi olarak çözme kapsanan materyal ve pratik becerilerini pekiştirmek. Genellikle matematikte çevrimiçi eşitsizlik konusu, denklemler bölümünü tamamladıktan sonra okul çocukları tarafından incelenir. Beklendiği gibi çözüm aralıklarının belirlenmesinde tüm çözüm ilkeleri uygulanmıştır. Analitik biçimde bir cevap bulmak, aynı şeyi sayısal biçimde yapmaktan daha zor olabilir. Ancak bu yaklaşım eşitsizliğin çözümünün bütünlüğünün daha net ve eksiksiz bir resmini verir. Benzer bir denklem için apsis çizgisinin oluşturulması ve çözüm noktalarının çizilmesi aşamasında zorluk yaşanabilir. Bundan sonra eşitsizliklerin çözümü, fonksiyonun artışını veya azalışını belirlemek için tanımlanan her aralıkta fonksiyonun işaretinin belirlenmesine indirgenir. Bunu yapmak için, her aralıkta yer alan değerleri dönüşümlü olarak orijinal fonksiyona yerleştirmeniz ve değerini pozitiflik veya negatiflik açısından kontrol etmeniz gerekir. Çözüm aralıkları dahil tüm çözümleri bulmanın özü budur. Eşitsizliği kendiniz çözdüğünüzde ve tüm aralıkları çözümleriyle birlikte gördüğünüzde, bu yaklaşımın sonraki eylemler için ne kadar uygulanabilir olduğunu anlayacaksınız. Web sitesi sizi bu sayfadaki güçlü ve modern bir hesap makinesini kullanarak hesaplama sonuçlarınızı tekrar kontrol etmeye davet ediyor. Benzersiz bir eşitsizlik çözücü kullanarak hesaplamalarınızdaki yanlışlıkları ve eksiklikleri kolayca tespit edebilirsiniz. Öğrenciler sıklıkla bu kadar yararlı bir kaynağı nerede bulacaklarını merak ediyorlar. Mühendislerin ihtiyaçlarını belirleme becerisine yönelik yenilikçi yaklaşım sayesinde hesap makinesi, yalnızca yeni teknolojilerin kullanıldığı güçlü bilgi işlem sunucuları temelinde oluşturulmuştur. Temel olarak eşitsizlikleri çevrimiçi çözmek, bir denklem çözmeyi ve olası tüm kökleri hesaplamayı içerir. Ortaya çıkan çözümler çizgi üzerinde işaretlenir ve ardından her aralıkta fonksiyonun değerini belirlemek için standart bir işlem gerçekleştirilir. Ancak denklemin kökleri karmaşık çıkarsa ne yapmalısınız, bu durumda sonucu yazmak için tüm kuralları karşılayacak eşitsizliği tam olarak nasıl çözebilirsiniz? Bunun ve diğer birçok sorunun yanıtı, çevrimiçi matematik problemlerini çözmede hiçbir şeyin imkansız olmadığı hizmet web sitemiz tarafından kolayca yanıtlanabilir. Yukarıdakilerin lehine şunu ekliyoruz: Matematik gibi bir disiplini ciddi şekilde incelemekle ilgilenen herkes eşitsizlikler konusunu incelemekle yükümlüdür. Farklı eşitsizlik türleri vardır ve eşitsizlikleri çevrimiçi olarak çözmek bazen kolay değildir çünkü her birine yönelik yaklaşım ilkelerini bilmeniz gerekir. Başarının ve istikrarın temeli budur. Örneğin logaritmik eşitsizlikler veya aşkın eşitsizlikler gibi türleri ele alabiliriz. Bu genellikle öğrenciler için, özellikle de okul çocukları için, ilk bakışta zor görevlerin özel bir türüdür. Enstitü öğretmenleri, stajyerlerin işlerinde mesleki beceriler kazanmalarını sağlamak için eğitime çok fazla zaman ayırmaktadır. Trigonometrik eşitsizlikleri aynı türler arasına dahil ediyoruz ve ortaya atılan bir problemden birçok pratik örneği çözmeye yönelik genel bir yaklaşımı ifade ediyoruz. Bazı durumlarda öncelikle her şeyi bir denkleme indirgemek, basitleştirmek, farklı faktörlere ayrıştırmak, kısacası tamamen net bir forma getirmek gerekiyor. İnsanlık her zaman her türlü çabasında en uygun yaklaşımı bulmaya çalışmıştır. Modern teknolojiler sayesinde insanlık gelecekteki gelişimi için büyük bir atılım gerçekleştirdi. Gün geçtikçe hayatımıza yenilikler daha sık giriyor. Bilgisayar teknolojisinin temeli elbette kendi ilkeleri ve iş dünyasına katı yaklaşımıyla matematikti. site, gelişmiş bir eşitsizlik hesaplayıcısı ve diğer birçok yararlı hizmeti içeren genel bir matematik kaynağıdır. Sitemizi kullanın ve çözülen sorunların doğruluğuna güveneceksiniz. Teoriden sayısal olmayan nesnelerin de çevrimiçi eşitsizlikler kullanılarak çalışıldığı bilinmektedir, ancak bu yaklaşım cebir, geometri ve matematiğin diğer alanlarında bu bölümü çalışmanın özel bir yoludur. Eşitsizlikler farklı şekillerde çözülebilir; çözümlerin nihai doğrulaması değişmeden kalır ve bu en iyi şekilde, değerleri doğrudan eşitsizliğin yerine koyarak yapılır. Çoğu durumda verilen cevap açıktır ve zihinsel olarak kontrol edilmesi kolaydır. Kesirli ifadelerin paydalarında istenen değişkenlerin bulunduğu kesirli bir eşitsizliği çözmemizin istendiğini varsayalım. Daha sonra eşitsizliklerin çözümü, önce her şeyi eşitsizliğin sol ve sağ taraflarına taşıyarak tüm terimleri ortak bir paydaya getirmeye indirgenecektir. Daha sonra kesrin paydasında elde edilen homojen denklemi çözmeniz gerekir. Bu sayısal kökler, eşitsizliğin genel çözümünün aralıklarına dahil olmayan noktalar olacaktır veya bunlara fonksiyonun sonsuza gittiği, yani fonksiyonun tanımlı olmadığı ancak sadece limitini elde edebileceğiniz nokta noktaları da denir. Belirli bir noktadaki değer. Payda elde edilen denklemi çözdükten sonra tüm noktaları sayı eksenine çiziyoruz. Kesrin payının sıfıra döndüğü noktaları gölgelendirelim. Buna göre diğer tüm noktaları boş veya delikli bırakıyoruz. Her aralıktaki kesir işaretini bulalım ve ardından son cevabı yazalım. Aralığın sınırlarında gölgeli noktalar varsa bu değerleri çözüme dahil ederiz. Aralığın sınırlarında delinmiş noktalar varsa bu değerleri çözüme dahil etmiyoruz. Eşitsizliği çözdükten sonra sonucunuzu kontrol etmeniz gerekecektir. Bunu manuel olarak yapabilir, yanıt aralıklarındaki her değeri tek tek ilk ifadeye yerleştirebilir ve hataları tanımlayabilirsiniz. Site size eşitsizliğin tüm çözümlerini kolayca verecek ve aldığınız cevapları anında hesap makinesiyle karşılaştıracaksınız. Yine de bir hata ortaya çıkarsa, kaynağımızdaki eşitsizlikleri çevrimiçi olarak çözmek sizin için çok yararlı olacaktır. Tüm öğrencilerin ilk olarak eşitsizliği doğrudan çözmeye başlamamalarını, önce sonucu web sitesinden almalarını öneririz, çünkü gelecekte doğru hesaplamayı kendi başınıza yapmak çok daha kolay olacaktır. Sözlü problemlerde çözüm neredeyse her zaman birden fazla bilinmeyene sahip bir eşitsizlikler sistemi oluşturmaktan geçer. Kaynağımız çevrimiçi eşitsizliği birkaç saniye içinde çözmenize yardımcı olacaktır. Bu durumda çözüm, güçlü bir hesaplama programı tarafından yüksek doğrulukla ve nihai cevapta hata olmadan üretilecektir. Böylece, bu hesap makinesiyle örnekleri çözerken büyük miktarda zaman tasarrufu sağlayabilirsiniz. Bazı durumlarda, okul çocukları pratikte veya laboratuvar çalışmalarında logaritmik eşitsizliklerle karşılaştıklarında zorluklarla karşılaşırlar ve sinüsler, kosinüsler ve hatta ters trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık kesirli ifadeler içeren trigonometrik eşitsizlikler gördüklerinde daha da kötüsü. Ne derse desin, bir eşitsizlik hesaplayıcısının yardımı olmadan başa çıkmak çok zor olacaktır ve problemin çözümünün herhangi bir aşamasında hatalar mümkündür. Site kaynağını tamamen ücretsiz kullanın, her gün her kullanıcıya açıktır. Asistan hizmetimizi kullanmaya başlamak çok iyi bir fikir çünkü çok sayıda analog var, ancak gerçekten yüksek kaliteli hizmetlerden yalnızca birkaçı var. Bir cevap aramak birkaç saniye sürdüğünde hesaplamaların doğruluğunu garanti ederiz. Tek yapmanız gereken eşitsizlikleri çevrimiçi olarak yazmaktır; biz de eşitsizliği çözmenin kesin sonucunu size anında sunacağız. Böyle bir kaynağı aramak anlamsız olabilir çünkü bizimkiyle aynı yüksek kalitede hizmeti bulmanız pek mümkün değildir. Çevrimiçi eşitsizlikleri çözme konusunda teori olmadan yapabilirsiniz, ancak yüksek kaliteli ve hızlı bir hesap makinesi olmadan yapamazsınız. Çalışmalarınızda başarılar dileriz! Çevrimiçi bir eşitsizliğe gerçekten en uygun çözümü seçmek, genellikle rastgele bir değişkene mantıksal bir yaklaşım gerektirir. Kapalı alanın küçük sapmasını ihmal edersek, artan değerin vektörü, azalan ordinat çizgisi aralığındaki en küçük değerle orantılıdır. Değişmez, sıfırdan farklı vektörle birlikte eşlenen fonksiyonların iki katıyla orantılıdır. En iyi cevap her zaman hesaplamanın doğruluğunu içerir. Eşitsizliklere çözümümüz, ana yönün art arda eşlenik sayısal alt kümelerinden oluşan homojen bir fonksiyon biçimini alacaktır. İlk aralık için, değişken temsilimizin tam olarak en kötü doğruluk değerini alacağız. Maksimum sapma için önceki ifadeyi hesaplayalım. Hizmeti, gerektiğinde önerilen seçeneklerin takdirine bağlı olarak kullanacağız. Eşitsizliklere çözümün çevrimiçi olarak sınıfında iyi bir hesap makinesi kullanılarak bulunup bulunmayacağı retorik bir sorudur; elbette öğrenciler böyle bir araçtan yalnızca faydalanacak ve matematikte büyük başarı getirecektir. Gerilim darbelerinin algılanmasıyla elemanlara indirgeyeceğimiz bir set ile alana bir kısıtlama getirelim. Bu tür ekstremumların fiziksel değerleri, parçalı sürekli fonksiyonların artışını ve azalmasını matematiksel olarak tanımlar. Bu arada bilim insanları, farklı çalışma düzeylerinde elementlerin varlığına dair kanıtlar buldular. Bir karmaşık uzayın ardışık tüm alt kümelerini top, küp veya silindir gibi nesnelerle tek bir satırda düzenleyelim. Sonuçtan net bir sonuca varabiliriz ve eşitsizliği çözdüğünüzde, çıktı kesinlikle yöntemin uygulamaya entegrasyonuyla ilgili belirtilen matematiksel varsayıma ışık tutacaktır. Mevcut durumda gerekli koşul aynı zamanda yeterli koşul olacaktır. Belirsizlik kriterleri genellikle güvenilir olmayan veriler nedeniyle öğrenciler arasında anlaşmazlığa neden olur. Üniversite öğretmenlerinin yanı sıra okul öğretmenleri de bu ihmalin sorumluluğunu üstlenmelidir, çünkü eğitimin ilk aşamasında bunun da dikkate alınması gerekir. Yukarıdaki sonuçtan, deneyimli kişilerin görüşüne göre, farklı veri türlerinin bilinmeyenlerinin eşitsizliğine girerken çevrimiçi bir eşitsizliği çözmenin çok zor bir iş olduğu sonucuna varabiliriz. Bu, matematik ve fizik alanlarındaki bilimsel keşiflerin yanı sıra biyolojik olarak oluşturulmuş sistemlerin moleküler analizine ilişkin çeşitli gerekçelerin öne sürüldüğü batı bölgesindeki bilimsel bir konferansta belirtildi. Optimum çözümün bulunmasında mutlaka tüm logaritmik eşitsizlikler tüm insanlık için bilimsel değere sahiptir. Mevcut bir nesneyle ilgili en üst düzeydeki kavramlardaki bir dizi tutarsızlığa ilişkin mantıksal sonuçlar için bu yaklaşımı inceleyelim. Mantık, deneyimsiz bir öğrenciye ilk bakışta görünenden farklı bir şeyi dikte eder. Büyük ölçekli analojilerin ortaya çıkması nedeniyle, öncelikle ilişkileri incelenen alandaki nesneler arasındaki farkla eşitlemek ve ardından ortak bir analitik sonucun varlığını pratikte göstermek rasyonel olacaktır. Eşitsizliklerin çözümü kesinlikle teorinin uygulanmasına bağlıdır ve daha ileri araştırmalar için gerekli olan matematiğin bu dalını incelemek herkes için önemli olacaktır. Bununla birlikte, eşitsizlikleri çözerken, derlenmiş denklemin tüm köklerini bulmanız ve ancak bundan sonra tüm noktaları ordinat eksenine çizmeniz gerekir. Bazı noktalar delinecek, geri kalanlar ise genel bir çözümle aralıklarla dahil edilecek. Okul müfredatının en önemli disiplininin temelleri ile matematik bölümünü incelemeye başlayalım. Trigonometrik eşitsizlikler sözlü problemin ayrılmaz bir parçasıysa, cevabı hesaplamak için kaynağı kullanmak basitçe gereklidir. Eşitsizliğin sol ve sağ taraflarını doğru girin, butona basın ve birkaç saniye içinde sonucu alın. Bilinmeyenlerin önünde sayısal veya sembolik katsayılarla hızlı ve doğru matematiksel hesaplamalar yapmak için, her zaman olduğu gibi, sorununuza saniyeler içinde cevap verebilecek evrensel bir eşitsizlikler ve denklemler hesaplayıcısına ihtiyacınız olacak. Bir dizi yazılı alıştırma yazmaya vaktiniz yoksa, hizmetin geçerliliği çıplak gözle bile inkar edilemez. Öğrenciler için bu yaklaşım, maddi kaynaklardan ve zamandan tasarruf açısından daha optimal ve haklıdır. Bacağın karşısında bir açı var ve bunu ölçmek için bir pusulaya ihtiyacınız var, ancak ipuçlarını istediğiniz zaman kullanabilir ve eşitsizliği herhangi bir indirgeme formülü kullanmadan çözebilirsiniz. Bu, başlatılan eylemin başarıyla tamamlandığı anlamına mı geliyor? Cevap kesinlikle olumlu olacaktır.

Eşitsizlikleri bir parametreyle çözme.

ax > b, ax biçimindeki eşitsizlikler< b, ax ≥ b, ax ≤ b, где a и b – действительные числа или выражения, зависящие от параметров, а x – неизвестная величина, называются doğrusal eşitsizlikler.

Doğrusal eşitsizlikleri bir parametreyle çözme ilkeleri, doğrusal denklemleri bir parametreyle çözme ilkelerine çok benzer.

Örnek 1.

5x – a > ax + 3 eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

İlk önce orijinal eşitsizliği dönüştürelim:

5x – ax > a + 3, eşitsizliğin sol tarafındaki parantezlerden x'i çıkaralım:

(5 – a)x > a + 3. Şimdi a parametresi için olası durumları düşünün:

a > 5 ise x< (а + 3) / (5 – а).

a = 5 ise çözüm yoktur.

Eğer bir< 5, то x >(a + 3) / (5 – a).

Bu çözüm eşitsizliğin cevabı olacaktır.

Örnek 2.

a ≠ 1 için x(a – 2) / (a – 1) – 2a/3 ≤ 2x – a eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

Orijinal eşitsizliği dönüştürelim:

x(a – 2) / (a – 1) – 2x ≤ 2a/3 – a;

Ах/(а – 1) ≤ -а/3. Eşitsizliğin her iki tarafını (-1) ile çarparsak şunu elde ederiz:

ax/(a – 1) ≥ a/3. a parametresi için olası durumları inceleyelim:

1 vaka.

a/(a – 1) > 0 veya a € (-∞; 0)ᴗ(1; +∞) olsun. O halde x ≥ (a – 1)/3.

Durum 2.< 0 или а € (0; 1). Тогда x ≤ (а – 1)/3.

a/(a – 1) = 0 olsun, yani. a = 0. O halde x herhangi bir gerçek sayıdır.
Durum 3.
a/(a – 1) olsun

Örnek 3.

Cevap: x € [(a – 1)/3; +∞) bir € için (-∞; 0)ᴗ(1; +∞);

Çözüm.

x € [-∞; (a – 1)/3] (0; 1) € karşılığında;

a = 0 için x € R.

|1 + x| eşitsizliğini çözün ≤ x'e göre balta.
Eşitsizlik ekseninin sağ tarafının negatif olmaması koşulundan çıkar; ax ≥ 0. |1 + x| eşitsizliğinden modülü açığa çıkarma kuralına göre ≤ balta çift eşitsizliğimiz var

Balta ≤ 1 + x ≤ balta. Sonucu bir sistem biçiminde yeniden yazalım:

(ax ≥ 1 + x;
(-ax ≤ 1 + x.

Bunu şuna dönüştürelim: ((a – 1)x ≥ 1;:

((a + 1)x ≥ -1.

Ortaya çıkan sistemi aralıklarla ve noktalarda inceliyoruz< а < 0 x € [-1/(а – 1); 1/(а – 1)].

(Şekil 1)

≤ -1 x € (-∞; 1/(a – 1)] için.< а ≤ 1 решений нет.

-1'de

Grafiklerin çizilmesi, bir parametre içeren denklemlerin çözümünü büyük ölçüde basitleştirir. Eşitsizlikleri bir parametreyle çözerken grafik yöntemini kullanmak daha net ve daha uygundur.

f(x) ≥ g(x) formundaki eşitsizliklerin grafiksel olarak çözülmesi, f(x) fonksiyonunun grafiğinin g(x) fonksiyonunun grafiğinin üzerinde yer aldığı x değişkeninin değerlerini bulmak anlamına gelir. Bunu yapmak için her zaman grafiklerin kesişme noktalarını (varsa) bulmak gerekir.

Örnek 1.

|x + 5| eşitsizliğini çözün< bx.

Çözüm.

y = |x + 5| fonksiyonlarının grafiklerini oluşturuyoruz ve y = bx (Şekil 2). Eşitsizliğin çözümü, y = |x + 5| fonksiyonunun grafiği olan x değişkeninin değerleri olacaktır. y = bx fonksiyonunun grafiğinin altında olacaktır.

Resim şunu gösterir:

1) b > 1 için doğrular kesişir. Bu fonksiyonların grafiklerinin kesişme noktasının apsisi x + 5 = bx denkleminin çözümüdür, dolayısıyla x = 5/(b – 1). Y = bx grafiği yukarıda x noktasında (5/(b – 1); +∞) aralığında yer alır, bu da bu kümenin eşitsizliğin çözümü olduğu anlamına gelir.

2) Benzer şekilde bunu -1'de buluyoruz.< b < 0 решением является х из интервала (-5/(b + 1); 5/(b – 1)).

3) b ≤ -1 x € (-∞; 5/(b – 1)) için.

4) 0 ≤ b ≤ 1 için grafikler kesişmez, bu da eşitsizliğin çözümü olmadığı anlamına gelir.

Cevap: b ≤ -1 için x € (-∞; 5/(b – 1));
x € (-5/(b + 1); 5/(b – 1)) -1'de< b < 0;
0 ≤ b ≤ 1 için çözüm yoktur; b > 1 için x € (5/(b – 1); +∞).

Örnek 2.

a(a + 1)x > (a + 1)(a + 4) eşitsizliğini çözün.

Çözüm.

1) a parametresi için “kontrol” değerlerini bulalım: a 1 = 0 ve 2 = -1.

2) Bu eşitsizliği reel sayıların her bir alt kümesi üzerinde çözelim: (-∞; -1); (-1); (-1; 0); (0); (0; +∞).

a)a< -1, из данного неравенства следует, что х >(a + 4)/a;

b) a = -1 ise bu eşitsizlik 0 x > 0 formunu alacaktır – çözüm yoktur;

c) -1< a < 0, из данного неравенства следует, что х < (a + 4)/a;

d) a = 0 ise bu eşitsizlik 0 x > 4 şeklinde olur – çözüm yoktur;

e) a > 0, bu eşitsizlikten x > (a + 4)/a sonucu çıkar.

Örnek 3.

|2 – |x|| eşitsizliğini çözün< a – x.

Çözüm.

y = |2 – |x|| fonksiyonunun grafiğini oluşturuyoruz (Şekil 3) ve y = -x + a düz çizgisinin konumuna ilişkin tüm olası durumları göz önünde bulundurun.

Yanıt: ≤ -2 için eşitsizliğin çözümü yoktur;
x € (-∞; (a – 2)/2) için a € (-2; 2];
a > 2 için x € (-∞; (a + 2)/2).

Çeşitli problemleri, denklemleri ve eşitsizlikleri parametrelerle çözerken, matematiğin diğer dallarında başarıyla uygulanabilecek önemli sayıda sezgisel teknik keşfedilir.

Parametrelerle ilgili problemler mantıksal düşünmenin ve matematik kültürünün oluşmasında önemli rol oynar. Bu nedenle parametrelerle problem çözme yöntemlerine hakim olarak diğer problemlerle başarılı bir şekilde başa çıkacaksınız.

Hala sorularınız mı var? Eşitsizlikleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.