Vektör koordinatları nasıl belirlenir? §3

Vektör koordinatları

Miktar denir vektörün apsisi ve numara onun koordine etmek

Bir düzlemde temel nasıl oluşturulur?

Uzayda temel nasıl oluşur?

Bir vektör uzayının temeli, bu uzaydan doğrusal olarak bağımsız, sıralı bir maksimum vektör sistemidir.

Tanım a1, a2, vektör sistemi. . . V vektör uzayındaki bir V'ye ait herhangi bir vektör, a1, a2, vektörleri aracılığıyla doğrusal olarak ifade ediliyorsa, bu uzayın oluşturucu sistemi denir. . . , BİR.

Sıralı bir vektör sistemi, bir V vektör uzayının temelidir ancak ve ancak bu uzayın doğrusal olarak bağımsız bir üreteçleri sistemiyse

Kartezyen temel nedir?

Eğer e1, e2, e3 vektörleri karşılıklı olarak dik ve modulo bire eşitse, bunlara dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin ortları denir ve tabanın kendisi de ortonormal Kartezyen tabandır.

Vektörlerin koordinatlarının özelliklerini Kartezyen temelde formüle edin

Bir noktanın koordinatları nelerdir?

Bir noktanın koordinat düzlemlerine olan uzaklığına nokta koordinatları denir.
AA 1 noktasının P 1 düzleminden uzaklığı, noktanın uygulama noktası olarak adlandırılır ve y A ile gösterilir, AA 2 noktalarının P 2 düzleminden uzaklığı, noktanın ordinatıdır ve y A ile gösterilir, AA 3 nokta mesafesi P3 düzleminden noktanın apsisidir ve x A ile gösterilir.
Açıkçası, z A uygulama noktasının koordinatı AA 1 yüksekliğidir, y A ordinat noktasının koordinatı AA 2 derinliğidir, apsis noktası x A'nın koordinatı AA 3 enlemidir.

Bir vektörün bitiş ve başlangıç koordinatları biliniyorsa koordinatları nasıl hesaplanır?

Koordinatları biliniyorsa iki nokta arasındaki mesafe nasıl hesaplanır

AB (x1-x2;y1-y2) olduğunu kendiniz biliyorsunuz.
Noktalar arasındaki mesafe AB vektörünün uzunluğudur.

Yön kosinüsleri nelerdir

Bir vektörün yön kosinüsleri vektörün koordinatların pozitif yarı eksenleriyle oluşturduğu açıların kosinüsleridir.

Yön kosinüsleri vektörün yönünü benzersiz bir şekilde belirtir.

Bir vektörün bir eksene izdüşümü adı verilen şey, izdüşümlerin özelliklerini kanıtlar.

Vektör projeksiyonu eksen başına ben() eksen başına bileşeninin uzunluğudur ben bileşenin yönü eksen yönüyle çakışıyorsa artı işaretiyle alınır ben, ve bileşenin yönü eksen yönünün tersi ise eksi işaretiyle.

Eğer = , sonra inanırlar = .

Teorem I Bir vektörün l eksenine izdüşümü, modülünün çarpımına ve bu vektör ile l ekseni arasındaki açının kosinüsüne eşittir.

Kanıt. Vektör = serbest olduğundan, O orjininin l ekseninde olduğunu varsayabiliriz.(Şek. 34).

Eğer açı keskinse = bileşeninin yönü, vektör eksen yönü ile çakışır ben(Şekil 34,a).

Bu durumda elimizde = + = . Eğer açı (Şekil 34, b) , daha sonra bileşenin yönü = eksen yönüne zıt vektör l. O zaman = = elde ederiz çünkü(-) = çünkü

Aynı şey vektör için de geçerli.

Vektörlerin skaler çarpımı nedir

Nokta çarpımı sıfır olmayan iki vektörler a ve b bunların uzunluklarının çarpımına eşit bir sayıdır vektörler aralarındaki açının kosinüsü ile.

Vektörlerin diklik koşulunu formüle edin

İki vektörün diklik koşulu. a ve b ortogonal (dik), eğer skaler çarpımları sıfıra eşitse.

Vektörlerin skaler çarpımının özelliklerini kanıtlayın

Vektörlerin skaler çarpımının özellikleri

Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir:

Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı ancak ve ancak vektör sıfır vektörüne eşitse sıfıra eşittir:

a · a = 0<=>bir = 0

Bir vektörün kendisiyle skaler çarpımı, modülünün karesine eşittir:

Skaler çarpma işlemi iletişimseldir:

Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımı sıfıra eşitse, bu vektörler diktir:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴b

(αa) b = α(a b)
Skaler çarpımın işlemi dağılımlıdır:

(a + b) c = a c + b c

Skaler çarpım ifadesini koordinat cinsinden türetin

Bir vektör ürününün özelliklerini formüle edin

SADECE 1 FORMÜL

Yukarıdan bakıldığında bu bir belirleyicidir.

Analitik geometri

1. Düzlemdeki bir doğrunun genel denklemiyle ilgili teoremleri kanıtlayın

2. Düzlemdeki bir çizginin genel denklemi üzerine bir çalışma yapın

3. Açısal katsayılı bir düzlem üzerindeki düz bir çizginin denklemini ve eksenlerdeki parçalar halinde bir düz çizginin denklemini türetin

4. Düzlemdeki bir doğrunun kanonik denklemini türetin, parametrik denklemler yazın, verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemini türetin

5. Düzlemdeki düz çizgiler arasındaki açı, kanonik denklemlerle veya açısal katsayılı denklemlerle veriliyorsa nasıl belirlenir?

6. Düzlemdeki doğruların paralelliği, çakışması ve dikliği için koşulları türetin

7. Düzlemdeki bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafeyi hesaplamak için bir formül edinin

8. Düzlemin genel denklemiyle ilgili teoremleri kanıtlayın

9. Bir çift düzlemin göreceli konumu hakkında bir teorem formüle edin ve kanıtlayın

10. Düzlemin genel denklemi üzerine bir çalışma yapın

11. Parçalar halinde bir düzlemin denklemini ve verilen iki noktadan geçen bir düzlemin denklemini elde edin

12. Bir noktadan düzleme olan mesafeyi hesaplamak için bir formül edinin

13. Düzlemler arasındaki açı nasıl hesaplanır?

14.İki düzlemin paralellik ve diklik koşullarını türetin

15. Uzayda bir çizginin denklemlerinin genel formunu yazın, uzayda bir çizginin denklemlerinin kanonik formunu elde edin

16. Uzaydaki bir çizginin yanı sıra uzaydaki iki noktadan geçen bir çizginin parametrik denklemlerini türetin.

17. Uzayda iki düz çizgi arasındaki açı nasıl belirlenir? Uzaydaki doğruların paralellik ve diklik koşullarını yazınız

18. Düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı nasıl belirlenir? Bir doğrunun ve bir düzlemin diklik ve paralellik koşullarını yazınız

19. İki düz çizginin aynı düzleme ait olması koşulunu bulun

Matematiksel analiz

1. Fonksiyon nedir, onu tanımlamanın yolları nelerdir?

2. Çift ve tek fonksiyonlar nelerdir, grafikleri nasıl oluşturulur?

3. Periyodik ve ters fonksiyonlar nelerdir, grafikleri nasıl oluşturulur?

4. a>1, a için üstel ve logaritmik fonksiyonları grafiklerde çizin<1.

5. Harmonik bağımlılık nedir, grafiğinin türü nedir?

6. y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx grafiklerini çizin

7. Temel fonksiyon nedir? Temel temel fonksiyonların grafikleri

8. y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c) gibi grafikler nasıl oluşturulur?

9. Sayı dizisi nedir, tanımlama yöntemleri nelerdir?

10. Monoton ve sınırlı dizi nedir?

11. Bir dizinin limitine ne denir? Belirli bir sayının belirli bir dizinin limiti olmadığının tanımını yazın

12. Dizi limitlerinin özelliklerini formüle edin

13. Yakınsak dizilerin iki ana özelliğini kanıtlayın

14. Bunlardan hangisi yakınsama için gerekli koşulu sağlar?

15. Dizinin yakınsaklığı için yeterli koşulu veren bir teorem formüle edin

16. Dizi limitlerinin özelliklerinden herhangi birini kanıtlayın

17. Sonsuz küçük (büyük) dizi nedir?

18. Sonsuz küçük dizilerin özelliklerini formüle edin

19. Bir fonksiyonun limitine ne denir?

20. Fonksiyon limitlerinin özelliklerini formüle edin

21. Tek taraflı limite ne denir?

22. Dikkate değer ilk limiti yazın ve sonucunu çıkarın

23. İkinci dikkate değer limiti yazınız ve sonuçlarını çıkarınız.

24. Hangi fonksiyonlara sonsuz küçük, sınırlı, sonsuz büyük denir?

25. Sonsuz küçük fonksiyonların özelliklerini formüle edin, bunlardan herhangi birini kanıtlayın

26. Sonsuz küçük fonksiyonları karşılaştırmak için hangi kavramlar tanıtılır, tanımları verilir

27. Belirli bir noktada hangi fonksiyona sürekli denir?

28. Bir süreklilik kriteri formüle edin ve süreksizlik türlerini karakterize edin

29. Bir fonksiyonun sabit bir noktadaki türevi nedir?

30. Tek taraflı türevler nelerdir?

31. Bir fonksiyonun diferansiyeli nedir ve bir fonksiyonun artışıyla nasıl ilişkilidir?

32. Birinci ve ikinci türevlerin fiziksel anlamı

33. Bir fonksiyonun türevi nedir?

34. Türevlerin özelliklerini listeleyiniz ve bunlardan ikisini (u+v)" ve (uv)" ispatlayınız.

35. Bir türev tablosu yazın, herhangi iki formülü kanıtlayın

36. Türev ve diferansiyelin geometrik anlamı nedir?

37. Fonksiyonun grafiğine teğet ve normal denklemini türetin

38. Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin teoremi kanıtlayın

39. Ters fonksiyonun türevini türetin (bulunmasına bir örnek verin)

40. Türev hesabına ilişkin teoremin gerekçelendirilmesi

41. Türevlenebilir fonksiyonlar için tüm ortalama değer teoremlerini kanıtlayın

42. L'Hopital kuralını formüle edin ve kanıtlayın

43. Bir aralıkta artan ve azalan fonksiyonlara hangi fonksiyonlar denir?

44. Türev ile fonksiyonun artması arasındaki bağlantıya ilişkin teoremleri kanıtlayın

45. Ekstrem noktalar nelerdir?

46. Bir ekstremum için gerekli koşulu gerekçelendirin

47. Bir ekstremum için iki tür yeterli koşulu türetin

48. Bir fonksiyonun bir segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerleri nasıl bulunur?

49. Dışbükey ve içbükey fonksiyonlara ne denir?

50. Bir fonksiyonun dışbükeylik ve içbükeylik açısından nasıl incelenir? Bükülme noktaları nelerdir?

51. Asimptotlar - tanımlarını verin, bulma yöntemlerini açıklayın

52. Parametrik olarak belirlenmiş bir fonksiyonun türevini (birinci ve ikinci) bulmak için bir formül türetin

53. Vektör fonksiyonu, hodografı ve mekanik anlamı nedir?

54. Bir daire içinde düzgün hareket eden maddi bir noktanın hızını ve ivmesini büyüklük ve yön açısından karakterize edin

55. Bir daire içinde eşit olmayan hareketle maddi bir noktanın hızını ve ivmesini büyüklük ve yön açısından karakterize edin

56. y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx fonksiyonunun türevlerini elde edin

Vektör koordinatları nedir?

Vektör koordinatları sırasıyla ve eksen üzerindeki belirli bir vektörün projeksiyonları denir:

Miktar denir vektörün apsisi ve numara onun koordine etmek. Vektörün koordinatlara sahip olması ve şu şekilde yazılması: .

Dikdörtgen koordinat sistemi

Noktaların koordinatları kavramını tanımlamak için koordinatlarını belirleyeceğimiz bir koordinat sistemi tanıtmamız gerekiyor. Farklı koordinat sistemlerinde aynı noktanın farklı koordinatları olabilir. Burada uzayda dikdörtgen bir koordinat sistemini ele alacağız.

Uzayda bir $O$ noktası alalım ve bunun için $(0,0,0)$ koordinatlarını tanıtalım. Buna koordinat sisteminin orijini diyelim. Şekil 1'deki gibi birbirine dik üç eksen $Ox$, $Oy$ ve $Oz$ çizelim. Bu eksenlere sırasıyla apsis, ordinat ve uygulama eksenleri adı verilecektir. Geriye kalan tek şey eksenlerdeki (birim segment) ölçeğe girmek - uzaydaki dikdörtgen koordinat sistemi hazır (Şekil 1)

Şekil 1. Uzayda dikdörtgen koordinat sistemi. Author24 - öğrenci çalışmalarının çevrimiçi değişimi

Nokta koordinatları

Şimdi böyle bir sistemde herhangi bir noktanın koordinatlarının nasıl belirlendiğine bakalım. Rastgele bir $M$ noktasını alalım (Şekil 2).

Koordinat eksenleri üzerinde dikdörtgen bir paralelyüz oluşturalım, böylece $O$ ve $M$ noktaları köşelerinin karşısında olur (Şekil 3).

Şekil 3. Dikdörtgen bir paralel borunun yapısı. Author24 - öğrenci çalışmalarının çevrimiçi değişimi

O zaman $M$ noktası $(X,Y,Z)$ koordinatlarına sahip olacaktır; burada $X$, $Ox$ sayı eksenindeki değerdir, $Y$, $Oy$ sayı eksenindeki değerdir ve $Z $, $Oz$ sayı eksenindeki değerdir.

Örnek 1

Aşağıdaki soruna bir çözüm bulmak gerekir: Şekil 4'te gösterilen paralel borunun köşelerinin koordinatlarını yazın.

Çözüm.

$O$ noktası koordinatların başlangıç noktasıdır, dolayısıyla $O=(0,0,0)$.

$Q$, $N$ ve $R$ noktaları sırasıyla $Ox$, $Oz$ ve $Oy$ eksenlerinde yer alır; bu şu anlama gelir:

$Q=(2,0,0)$, $N=(0,0,1.5)$, $R=(0,2.5,0)$

$S$, $L$ ve $M$ noktaları sırasıyla $Oxz$, $Oxy$ ve $Oyz$ düzlemlerinde yer alır; bu şu anlama gelir:

$S=(2,0,1.5)$, $L=(2,2.5,0)$, $R=(0,2.5,1.5)$

$P$ noktasının koordinatları $P=(2,2.5,1.5)$'dır

İki noktaya dayalı vektör koordinatları ve bulma formülü

İki noktanın koordinatlarından bir vektörün nasıl bulunacağını öğrenmek için daha önce tanıttığımız koordinat sistemini dikkate almanız gerekir. İçinde, $O$ noktasından $Ox$ ekseni yönünde $\overline(i)$ birim vektörünü $Oy$ ekseni yönünde - $\overline(j) birim vektörünü çizeriz. $ ve $\overline(k) $ birim vektörü $Oz$ ekseni boyunca yönlendirilmelidir.

Vektör koordinatları kavramını tanıtmak için aşağıdaki teoremi tanıtıyoruz (burada onun kanıtını ele almayacağız).

Teorem 1

Uzaydaki rastgele bir vektör, aynı düzlemde yer almayan herhangi üç vektöre genişletilebilir ve böyle bir genişlemenin katsayıları benzersiz bir şekilde belirlenecektir.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

$\overline(δ)=m\overline(α)+n\overline(β)+l\overline(γ)$

$\overline(i)$, $\overline(j)$ ve $\overline(k)$ vektörleri dikdörtgen bir koordinat sisteminin koordinat eksenleri üzerinde oluşturulduğundan, aynı düzleme ait olmayacakları açıktır. Bu, Teorem 1'e göre bu koordinat sistemindeki herhangi bir $\overline(δ)$ vektörünün aşağıdaki formu alabileceği anlamına gelir

$\overline(δ)=m\overline(i)+n\overline(j)+l\overline(k)$ (1)

burada $n,m,l∈R$.

Tanım 1

Üç $\overline(i)$, $\overline(j)$ ve $\overline(k)$ vektörüne koordinat vektörleri adı verilecektir.

Tanım 2

(1) açılımındaki $\overline(i)$, $\overline(j)$ ve $\overline(k)$ vektörlerinin önündeki katsayılara, bu vektörün tarafımızdan verilen koordinat sistemindeki koordinatları adı verilecektir. yani

$\overline(δ)=(m,n,l)$

Vektörler üzerinde doğrusal işlemler

Teorem 2

Toplam Teoremi: Herhangi bir sayıda vektörün toplamının koordinatları, bunlara karşılık gelen koordinatların toplamı ile belirlenir.

Kanıt.

Bu teoremi 2 vektör için kanıtlayacağız. 3 veya daha fazla vektör için ispat benzer şekilde oluşturulur. $\overline(α)=(α_1,α_2,α_3)$, $\overline(β)=(β_1,β_2 ,β_3)$ olsun.

Bu vektörler aşağıdaki gibi yazılabilir.

$\overline(α)=α_1\overline(i)+ α_2\overline(j)+α_3\overline(k)$, $\overline(β)=β_1\overline(i)+ β_2\overline(j)+ β_3\overline(k)$

Bir vektörün koordinatlarını bulmak matematikteki birçok problem için oldukça yaygın bir durumdur. Vektör koordinatlarını bulma yeteneği, benzer konulardaki daha karmaşık problemlerde size yardımcı olacaktır. Bu yazıda vektör koordinatlarını bulma formülüne ve çeşitli problemlere bakacağız.

Düzlemdeki bir vektörün koordinatlarını bulma

Uçak nedir? Düzlem, iki boyutlu bir uzay, iki boyutlu (x boyutu ve y boyutu) bir uzay olarak kabul edilir. Örneğin kağıt düzdür. Masanın yüzeyi düzdür. Hacimsel olmayan herhangi bir şekil (kare, üçgen, yamuk) aynı zamanda bir düzlemdir. Bu nedenle, problem ifadesinde bir düzlem üzerinde bulunan bir vektörün koordinatlarını bulmanız gerekiyorsa, x ve y'yi hemen hatırlarız. Böyle bir vektörün koordinatlarını şu şekilde bulabilirsiniz: Vektörün AB koordinatları = (xB – xA; yB – xA). Formül, başlangıç noktasının koordinatlarını bitiş noktasının koordinatlarından çıkarmanız gerektiğini gösterir.

Örnek:

Vektör CD'sinin başlangıç (5; 6) ve son (7; 8) koordinatları vardır.
Vektörün kendisinin koordinatlarını bulun.
Yukarıdaki formülü kullanarak şu ifadeyi elde ederiz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Böylece CD vektörünün koordinatları = (2; 2).
Buna göre x koordinatı ikiye eşit, y koordinatı da ikidir.

Uzaydaki bir vektörün koordinatlarını bulma

Uzay nedir? Uzay zaten üç koordinatın verildiği üç boyutlu bir boyuttur: x, y, z. Uzayda bulunan bir vektör bulmanız gerekiyorsa formül pratikte değişmez. Yalnızca bir koordinat eklenir. Bir vektör bulmak için başlangıç koordinatlarını bitiş koordinatlarından çıkarmanız gerekir. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Örnek:

DF vektörünün başlangıcı (2; 3; 1) ve sonu (1; 5; 2) vardır.
Yukarıdaki formülü uygulayarak şunu elde ederiz: Vektör koordinatları DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Unutmayın koordinat değeri negatif olabilir, sorun olmaz.

Vektör koordinatları çevrimiçi olarak nasıl bulunur?

Herhangi bir nedenle koordinatları kendiniz bulmak istemiyorsanız çevrimiçi hesap makinesini kullanabilirsiniz. Başlamak için vektör boyutunu seçin. Bir vektörün boyutu onun boyutlarından sorumludur. Boyut 3, vektörün uzayda olduğu, boyut 2 ise düzlemde olduğu anlamına gelir. Daha sonra, noktaların koordinatlarını uygun alanlara girin; program sizin için vektörün koordinatlarını belirleyecektir. Çok basit.

Butona tıkladığınızda sayfa otomatik olarak aşağıya doğru kaydırılacak ve çözüm adımlarıyla birlikte size doğru cevabı verecektir.

Bu konunun iyi incelenmesi önerilir çünkü vektör kavramı sadece matematikte değil fizikte de bulunur. Bilişim Teknolojileri Fakültesi öğrencileri de vektörler konusunu inceliyorlar, ancak daha karmaşık bir düzeyde.

Sonunda çok büyük ve uzun zamandır beklenen bir konuyu ele aldım analitik geometri. Öncelikle yüksek matematiğin bu bölümü hakkında biraz bilgi verelim... Artık sayısız teorem, bunların kanıtları, çizimleri vb. ile okul geometri dersini hatırlıyorsunuzdur. Öğrencilerin önemli bir kısmı için sevilmeyen ve çoğunlukla anlaşılması güç bir konu olan ne saklanmalı? Garip bir şekilde analitik geometri daha ilginç ve erişilebilir görünebilir. “Analitik” sıfatı ne anlama geliyor? Hemen aklıma iki klişe matematik tabiri geliyor: “grafiksel çözüm yöntemi” ve “analitik çözüm yöntemi.” Grafik yöntemi elbette grafiklerin ve çizimlerin yapımıyla ilişkilidir. Analitik Aynı yöntem sorunları çözmeyi içerir daha çok cebirsel işlemler yoluyla. Bu bağlamda, analitik geometrinin hemen hemen tüm problemlerini çözmeye yönelik algoritma basit ve şeffaftır; çoğu zaman gerekli formülleri dikkatlice uygulamak yeterlidir - ve cevap hazır! Hayır elbette çizim olmadan bunu yapamayacağız, ayrıca malzemenin daha iyi anlaşılması için gereksiz yere alıntı yapmaya çalışacağım.

Yeni açılan geometri dersleri teorik olarak tamamlanmış gibi görünmüyor; pratik problemlerin çözümüne odaklanıyor. Derslerime yalnızca benim bakış açıma göre pratik açıdan önemli olan şeyleri dahil edeceğim. Herhangi bir alt bölüm hakkında daha kapsamlı yardıma ihtiyacınız varsa, aşağıdaki oldukça erişilebilir literatürü öneririm:

1) Şaka değil, birkaç neslin aşina olduğu bir şey: Geometri üzerine okul ders kitabı, yazarlar – L.S. Atanasyan ve Şirketi. Bu okul soyunma odası askısı zaten 20 (!) yeniden basımdan geçti ve bu elbette sınır değil.

2) 2 ciltte geometri. Yazarlar L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Bu lise için edebiyat, ihtiyacın olacak ilk cilt. Nadiren karşılaşılan görevler görüş alanımdan çıkabilir ve eğitim paha biçilmez yardım sağlayacaktır.

Her iki kitap da çevrimiçi olarak ücretsiz olarak indirilebilir. Ayrıca sayfada bulabileceğiniz hazır çözümlerle arşivimi kullanabilirsiniz. Yüksek matematikteki örnekleri indirin.

Araçlar arasında yine kendi gelişimimi öneriyorum - yazılım paketi Analitik geometride hayatı büyük ölçüde kolaylaştıracak ve çok zaman kazandıracak.

Okuyucunun temel geometrik kavram ve şekillere aşina olduğu varsayılmaktadır: nokta, doğru, düzlem, üçgen, paralelkenar, paralelyüz, küp vb. Bazı teoremleri, en azından Pisagor teoremini hatırlamanız tavsiye edilir, tekrarlayıcılara merhaba)

Şimdi sırasıyla ele alacağız: vektör kavramı, vektörlerle eylemler, vektör koordinatları. Devamını okumanızı tavsiye ederim en önemli makale Vektörlerin nokta çarpımı ve ayrıca Vektör ve vektörlerin karışık çarpımı. Yerel bir görev - bu bağlamda bir segmentin bölünmesi - de gereksiz olmayacaktır. Yukarıdaki bilgilere dayanarak ustalaşabilirsiniz. düzlemdeki bir doğrunun denklemiİle en basit çözüm örnekleri, izin verecek geometri problemlerini çözmeyi öğrenin. Aşağıdaki makaleler de faydalıdır: Uzaydaki bir düzlemin denklemi, Uzayda bir çizginin denklemleri, Düz bir çizgi ve düzlemde temel problemler, analitik geometrinin diğer bölümleri. Doğal olarak yol boyunca standart görevler dikkate alınacaktır.

Vektör kavramı. Ücretsiz vektör

Öncelikle bir vektörün okuldaki tanımını tekrarlayalım. Vektör isminde yönlendirilmiş başlangıcı ve bitişinin belirtildiği bir bölüm:

Bu durumda parçanın başı nokta, parçanın sonu ise noktadır. Vektörün kendisi ile gösterilir. Yönçok önemli, eğer oku parçanın diğer ucuna hareket ettirirseniz bir vektör elde edersiniz ve bu zaten tamamen farklı vektör. Vektör kavramını fiziksel bir bedenin hareketiyle özdeşleştirmek uygundur: Kabul etmelisiniz ki bir enstitünün kapısından girmek veya bir enstitünün kapısından çıkmak tamamen farklı şeylerdir.

Bir düzlemin veya uzayın bireysel noktalarını sözde olarak düşünmek uygundur. sıfır vektör. Böyle bir vektör için son ve başlangıç çakışır.

!!! Not: Burada ve ayrıca vektörlerin aynı düzlemde bulunduğunu veya uzayda yer aldıklarını varsayabilirsiniz - sunulan malzemenin özü hem düzlem hem de uzay için geçerlidir.

Tanımlar: Birçoğu, adında ok bulunmayan çubuğu hemen fark etti ve üstte de bir ok olduğunu söyledi! Doğru, bunu bir okla yazabilirsiniz: , ancak bu da mümkündür gelecekte kullanacağım giriş. Neden? Görünüşe göre bu alışkanlık pratik nedenlerden dolayı gelişti; okuldaki ve üniversitedeki atıcılarımın çok farklı boyutlarda ve tüylü olduğu ortaya çıktı. Eğitim literatüründe bazen çivi yazısıyla hiç uğraşmazlar, ancak harfleri kalın harflerle vurgularlar: , böylece bunun bir vektör olduğunu ima ederler.

Bu stilistikti ve şimdi vektör yazmanın yolları hakkında:

1) Vektörler iki büyük Latin harfiyle yazılabilir:
ve benzeri. Bu durumda ilk harf mutlaka vektörün başlangıç noktasını, ikinci harf ise vektörün bitiş noktasını belirtir.

2) Vektörler ayrıca küçük Latin harfleriyle de yazılır:
Özellikle, vektörümüz kısa olması açısından küçük bir Latin harfiyle yeniden tasarlanabilir.

Uzunluk veya modül sıfır olmayan bir vektöre parçanın uzunluğu denir. Sıfır vektörünün uzunluğu sıfırdır. Mantıksal.

Vektörün uzunluğu modül işaretiyle gösterilir: ,

Biraz sonra bir vektörün uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz (ya da kime bağlı olarak tekrarlayacağız).

Bu, tüm okul çocuklarının aşina olduğu, vektörler hakkında temel bilgilerdi. Analitik geometride, sözde bedava vektör.

Basitçe söylemek gerekirse - vektör herhangi bir noktadan çizilebilir:

Bu tür vektörleri eşit olarak adlandırmaya alışkınız (eşit vektörlerin tanımı aşağıda verilecektir), ancak tamamen matematiksel bir bakış açısına göre bunlar AYNI VEKTÖR veya bedava vektör. Neden ücretsiz? Çünkü problemleri çözerken, şu veya bu "okul" vektörünü ihtiyacınız olan uçağın veya uzayın HERHANGİ bir noktasına "bağlayabilirsiniz". Bu çok harika bir özellik! Rasgele uzunlukta ve yönde yönlendirilmiş bir parça hayal edin; sonsuz sayıda "klonlanabilir" ve uzayın herhangi bir noktasında, aslında HER YERDE mevcuttur. Şöyle bir öğrenci söylüyor: Her hoca vektöre önem verir. Sonuçta, bu sadece esprili bir kafiye değil, her şey neredeyse doğru - oraya yönlendirilmiş bir bölüm de eklenebilir. Ama sevinmek için acele etmeyin, çoğu zaman acı çekenler öğrencilerin kendisidir =)

Bu yüzden, bedava vektör- Bu birçok aynı yönlendirilmiş bölümler. Paragrafın başında verilen bir vektörün okul tanımı: "Yönlendirilmiş bir parçaya vektör denir..." özel belirli bir kümeden alınan ve düzlem veya uzaydaki belirli bir noktaya bağlanan yönlendirilmiş bir bölüm.

Fizik açısından bakıldığında serbest vektör kavramının genel olarak yanlış olduğu ve uygulama noktasının önemli olduğu unutulmamalıdır. Aslında, benim aptal örneğimi geliştirmeye yetecek kadar aynı kuvvetin buruna veya alnına doğrudan darbesi farklı sonuçlara yol açar. Fakat, özgür olmayan vektörler ayrıca vyshmat sürecinde de bulunur (oraya gitmeyin :)).

Vektörlerle yapılan eylemler. Vektörlerin doğrusallığı

Bir okul geometri kursu, vektörlerle birlikte bir dizi eylemi ve kuralı kapsar: Üçgen kuralına göre toplama, paralelkenar kuralına göre toplama, vektör farkı kuralı, bir vektörün bir sayı ile çarpılması, vektörlerin skaler çarpımı vb. Başlangıç noktası olarak analitik geometri problemlerinin çözümüyle özellikle ilgili olan iki kuralı tekrarlayalım.

Üçgen kuralını kullanarak vektörleri ekleme kuralı

Sıfır olmayan iki rastgele vektörü düşünün ve:

Bu vektörlerin toplamını bulmanız gerekiyor. Tüm vektörlerin serbest kabul edilmesi nedeniyle, vektörü bir kenara koyacağız. son vektör:

Vektörlerin toplamı vektördür. Kuralın daha iyi anlaşılması için, buna fiziksel bir anlam verilmesi tavsiye edilir: Bir cismin önce vektör boyunca, sonra da vektör boyunca ilerlemesine izin verin. O halde vektörlerin toplamı, başlangıcı kalkış noktasında ve sonu varış noktasında olmak üzere ortaya çıkan yolun vektörüdür. Herhangi bir sayıda vektörün toplamı için benzer bir kural formüle edilmiştir. Dedikleri gibi, vücut, toplamın ortaya çıkan vektörü boyunca bir zikzak boyunca veya belki de otopilotta çok eğilerek yoluna gidebilir.

Bu arada, eğer vektör ertelenirse başladı vektör, o zaman eşdeğerini elde ederiz paralelkenar kuralı vektörlerin eklenmesi.

İlk olarak vektörlerin eşdoğrusallığı hakkında. İki vektör denir eşdoğrusal, eğer aynı doğru üzerinde veya paralel doğrular üzerinde yer alıyorlarsa. Kabaca söylemek gerekirse paralel vektörlerden bahsediyoruz. Ancak bunlarla ilgili olarak her zaman "doğrusal" sıfatı kullanılır.

İki eşdoğrusal vektör düşünün. Bu vektörlerin okları aynı yöne yönlendirilirse, bu tür vektörlere denir. ortak yönetmen. Oklar farklı yönleri gösteriyorsa vektörler zıt yönler.

Tanımlar: Vektörlerin doğrusallığı olağan paralellik sembolüyle yazılır: , detaylandırma mümkündür: (vektörler birlikte yönlendirilir) veya (vektörler zıt yönlendirilir).

iş bir sayı üzerindeki sıfır olmayan bir vektör, uzunluğu eşit olan bir vektördür ve ve vektörleri, ile birlikte ve zıt olarak yönlendirilir.

Bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını bir resim yardımıyla anlamak daha kolaydır:

Daha ayrıntılı olarak bakalım:

1) Yön. Çarpan negatifse, vektör yön değiştirir tam tersine.

2) Uzunluk. Çarpan veya içinde yer alıyorsa, vektörün uzunluğu azalır. Yani vektörün uzunluğu, vektörün uzunluğunun yarısı kadardır. Çarpanın modülü birden büyükse vektörün uzunluğu artar bazen.

3) Lütfen şunu unutmayın tüm vektörler eşdoğrusaldır, bir vektör diğeri aracılığıyla ifade edilirken, örneğin . Bunun tersi de doğrudur: Eğer bir vektör bir diğeri aracılığıyla ifade edilebiliyorsa, bu tür vektörler zorunlu olarak eşdoğrusaldır. Böylece: bir vektörü bir sayıyla çarparsak eşdoğrusal hale geliriz(orijinaline göre) vektör.

4) Vektörler birlikte yönlendirilir. Vektörler ve ayrıca birlikte yönlendirilirler. Birinci grubun herhangi bir vektörü, ikinci grubun herhangi bir vektörüne göre zıt yönlüdür.

Hangi vektörler eşittir?

İki vektör aynı yöndeyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir. Eş yönlülüğün, vektörlerin eşdoğrusallığını ima ettiğini unutmayın. Eğer şöyle dersek tanım hatalı (gereksiz) olacaktır: "İki vektör eğer aynı doğru üzerindeyse, eş yönlüyse ve aynı uzunluğa sahipse eşittir."

Serbest vektör kavramı açısından bakıldığında, önceki paragrafta tartışıldığı gibi eşit vektörler aynı vektördür.

Düzlemde ve uzayda vektör koordinatları

İlk nokta düzlemdeki vektörleri dikkate almaktır. Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini gösterelim ve koordinatların başlangıç noktasından başlayarak çizelim. Bekar vektörler ve:

Vektörler ve ortogonal. Ortogonal = Dik. Terimlere yavaş yavaş alışmanızı öneririm: paralellik ve diklik yerine sırasıyla kelimeleri kullanıyoruz eşdoğrusallık Ve diklik.

Tanım: Vektörlerin ortogonalliği olağan diklik sembolüyle yazılır, örneğin: .

Göz önünde bulundurulan vektörlere denir koordinat vektörleri veya ort. Bu vektörler oluşur temel bir uçakta. Çoğu kişi için temelin ne olduğu sezgisel olarak açıktır; daha ayrıntılı bilgi makalede bulunabilir; Vektörlerin doğrusal (bağımsız) bağımlılığı. Vektörlerin temeli Basit bir deyişle, koordinatların temeli ve kökeni tüm sistemi tanımlar - bu, üzerinde tam ve zengin bir geometrik yaşamın kaynadığı bir tür temeldir.

Bazen inşa edilmiş temel denir ortonormal düzlemin temeli: "orto" - koordinat vektörleri dik olduğundan, "normalleştirilmiş" sıfatı birim anlamına gelir, yani. temel vektörlerin uzunlukları bire eşittir.

Tanım: temel genellikle parantez içinde yazılır; kesin sırayla temel vektörler listelenmiştir, örneğin: . Koordinat vektörleri yasak yeniden düzenleyin.

Herhangi düzlem vektör tek yolşu şekilde ifade edilir:
, Nerede - sayılar bunlara denir vektör koordinatları bu temelde. Ve ifadenin kendisi isminde vektör ayrışmasıtemelde .

Servis edilen akşam yemeği:

Alfabenin ilk harfiyle başlayalım: . Çizim, bir vektörü tabana ayrıştırırken az önce tartışılanların kullanıldığını açıkça göstermektedir:
1) bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralı: ve;
2) Üçgen kuralına göre vektörlerin toplanması: .

Şimdi düzlemdeki herhangi bir noktadan vektörü zihinsel olarak çizin. Çürümesinin “amansızca onu takip edeceği” çok açık. İşte, vektörün özgürlüğü - vektör "her şeyi kendisiyle birlikte taşır." Bu özellik elbette her vektör için geçerlidir. Temel (serbest) vektörlerin başlangıç noktasından itibaren çizilmesine gerek olmaması komiktir; örneğin biri sol altta, diğeri sağ üstte çizilebilir ve hiçbir şey değişmez! Doğru, bunu yapmanıza gerek yok, çünkü öğretmen de özgünlük gösterecek ve beklenmedik bir yerde size bir "kredi" çekecektir.

Vektörler, bir vektörü bir sayıyla çarpma kuralını tam olarak gösterir; vektör, temel vektörle eş yönlüdür, vektör, temel vektörün tersi yöndedir. Bu vektörler için koordinatlardan biri sıfıra eşitse bunu şu şekilde titizlikle yazabilirsiniz:

Ve bu arada temel vektörler şöyle: (aslında kendileri aracılığıyla ifade ediliyorlar).

Ve son olarak: , . Bu arada, vektör çıkarma nedir ve neden çıkarma kuralından bahsetmedim? Lineer cebirde bir yerde, nerede olduğunu hatırlamıyorum, çıkarmanın toplamanın özel bir durumu olduğunu belirtmiştim. Böylece “de” ve “e” vektörlerinin açılımları kolaylıkla toplam olarak yazılabilir: , . Bu durumlarda üçgen kuralına göre vektörlerin eski güzel toplamının ne kadar net çalıştığını görmek için çizimi takip edin.

Formun dikkate alınan ayrıştırması bazen vektör ayrıştırması denir ort sisteminde(yani birim vektörlerden oluşan bir sistemde). Ancak bir vektör yazmanın tek yolu bu değildir; aşağıdaki seçenek yaygındır:

Veya eşittir işaretiyle:

Temel vektörlerin kendisi şu şekilde yazılır: ve

Yani vektörün koordinatları parantez içinde gösterilmiştir. Pratik problemlerde her üç gösterim seçeneği de kullanılır.

Konuşup konuşmamak konusunda kararsızdım ama yine de söyleyeyim: vektör koordinatları yeniden düzenlenemez. Kesinlikle ilk sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz, kesinlikle ikinci sırada birim vektöre karşılık gelen koordinatı yazıyoruz. Aslında ve iki farklı vektördür.

Uçağın koordinatlarını bulduk. Şimdi üç boyutlu uzaydaki vektörlere bakalım, burada hemen hemen her şey aynı! Sadece bir koordinat daha ekleyecek. Üç boyutlu çizimler yapmak zordur, bu yüzden kendimi bir vektörle sınırlayacağım ve basitlik açısından onu orijinden ayıracağım:

Herhangi 3 boyutlu uzay vektörü tek yol ortonormal bir temele göre genişletin:
, bu temelde vektörün (sayı) koordinatları nerededir.

Resimden örnek: . Burada vektör kurallarının nasıl çalıştığını görelim. Öncelikle vektörü şu sayıyla çarpın: (kırmızı ok), (yeşil ok) ve (ahududu oku). İkinci olarak, burada birkaç, bu durumda üç vektörün eklenmesine ilişkin bir örnek verilmiştir: . Toplam vektör başlangıç noktasından (vektörün başlangıcı) başlar ve son varış noktasında (vektörün sonu) biter.

Üç boyutlu uzayın tüm vektörleri de doğal olarak özgürdür; vektörü zihinsel olarak başka herhangi bir noktadan ayırmaya çalışın ve onun ayrışmasının "onunla kalacağını" anlayacaksınız.

Düz kasaya benzer, yazıya ek olarak parantezli versiyonlar yaygın olarak kullanılmaktadır: ya .

Genişletmede bir (veya iki) koordinat vektörü eksikse, onların yerine sıfırlar konur. Örnekler:
vektör (titizlikle ) – hadi yazalım;
vektör (titizlikle ) – hadi yazalım;
vektör (titizlikle ) – hadi yazalım.

Temel vektörler şu şekilde yazılır:

Belki de analitik geometri problemlerini çözmek için gereken minimum teorik bilginin tamamı budur. Çok fazla terim ve tanım olabilir o yüzden çaydanlık yapanların bu bilgileri tekrar okuyup anlamalarını öneririm. Ve herhangi bir okuyucunun, materyali daha iyi özümsemesi için zaman zaman temel derse başvurması yararlı olacaktır. Eşdoğrusallık, ortogonallik, ortonormal temel, vektör ayrıştırması - bunlar ve diğer kavramlar gelecekte sıklıkla kullanılacaktır. Tüm teoremleri dikkatlice (ve kanıt olmadan) şifrelediğim için site materyallerinin teorik bir testi veya geometri alanında bir konferansı geçmek için yeterli olmadığını belirtmek isterim - bilimsel sunum tarzının zararına, ancak sizin için bir artı konunun anlaşılması. Detaylı teorik bilgi almak için lütfen Profesör Atanasyan'ın önünde eğilin.

Ve pratik kısma geçiyoruz:

Analitik geometrinin en basit problemleri.
Koordinatlardaki vektörlerle yapılan işlemler

Tamamen otomatik olarak değerlendirilecek görevlerin ve formüllerin nasıl çözüleceğini öğrenmeniz önemle tavsiye edilir. ezberlemek, bunu bilerek hatırlamanıza bile gerek yok, kendileri hatırlayacaklardır =) Bu çok önemlidir, çünkü analitik geometrinin diğer problemleri en basit temel örneklere dayanmaktadır ve piyon yemeye fazladan zaman harcamak can sıkıcı olacaktır. . Gömleğinizin üst düğmelerini iliklemenize gerek yok; okuldan aşina olduğunuz birçok şey var.

Materyalin sunumu hem uçak hem de uzay açısından paralel bir seyir izleyecek. Çünkü tüm formülleri... kendiniz göreceksiniz.

İki noktadan bir vektör nasıl bulunur?

Düzlemin iki noktası verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Uzayda iki nokta verilirse, vektör aşağıdaki koordinatlara sahiptir:

Yani, vektörün sonunun koordinatlarından karşılık gelen koordinatları çıkarmanız gerekir vektörün başlangıcı.

Egzersiz yapmak: Aynı noktalar için vektörün koordinatlarını bulma formüllerini yazın. Dersin sonunda formüller.

Örnek 1

Düzlemin iki noktası verildiğinde ve . Vektör koordinatlarını bulun

Çözüm: ilgili formüle göre:

Alternatif olarak aşağıdaki giriş kullanılabilir:

Buna estetik karar verecek:

Şahsen ben kaydın ilk versiyonuna alışkınım.

Cevap:

Koşula göre, bir çizim oluşturmak gerekli değildi (ki bu analitik geometri problemleri için tipiktir), ancak kuklalar için bazı noktaları açıklığa kavuşturmak için tembel olmayacağım:

Kesinlikle anlamalısın nokta koordinatları ve vektör koordinatları arasındaki fark:

Nokta koordinatları– bunlar dikdörtgen koordinat sistemindeki sıradan koordinatlardır. Sanırım herkes 5-6. sınıftan itibaren koordinat düzleminde noktaların nasıl çizileceğini biliyor. Her noktanın düzlemde kesin bir yeri vardır ve hiçbir yere taşınamazlar.

Vektörün koordinatları– bu, bu durumda temele göre genişlemesidir. Herhangi bir vektör serbesttir, yani istenirse veya gerekliyse onu düzlemdeki başka bir noktadan kolaylıkla uzaklaştırabiliriz. İlginçtir ki vektörler için eksen veya dikdörtgen koordinat sistemi oluşturmanıza gerek yoktur; sadece bir tabana, bu durumda düzlemin ortonormal tabanına ihtiyacınız vardır.

Noktaların koordinatları ile vektörlerin koordinatlarının kayıtları benzer görünmektedir: , ve koordinatların anlamı kesinlikle farklı ve bu farkın çok iyi farkında olmalısınız. Bu fark elbette uzay için de geçerli.

Bayanlar ve baylar, ellerimizi dolduralım:

Örnek 2

a) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
b) Puan verilir Ve . Vektörleri bulun ve .
c) Puan ve verilir. Vektörleri bulun ve .
d) Puan verilir. Vektörleri bulun .

Belki bu yeterlidir. Bunlar kendi başınıza karar vermeniz için örneklerdir, ihmal etmemeye çalışın, karşılığını alacaktır ;-). Çizim yapmaya gerek yoktur. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.

Analitik geometri problemlerini çözerken önemli olan nedir? Ustaca yapılan “iki artı iki eşittir sıfır” hatasını yapmamak için SON DERECE DİKKATLİ olmak önemlidir. Bir yerde hata yaptıysam hemen özür dilerim =)

Bir segmentin uzunluğu nasıl bulunur?

Uzunluk, daha önce belirtildiği gibi modül işaretiyle gösterilir.

Düzlemin iki noktası verilirse ve o zaman parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.

Uzayda iki nokta verilirse, parçanın uzunluğu formül kullanılarak hesaplanabilir.

Not: Karşılık gelen koordinatlar değiştirilirse formüller doğru kalacaktır: ve , ancak ilk seçenek daha standarttır

Örnek 3

Çözüm: ilgili formüle göre:

Cevap:

Netlik sağlamak için bir çizim yapacağım

Segment – bu bir vektör değil ve tabii ki onu hiçbir yere taşıyamazsınız. Ayrıca ölçekli çizim yaparsanız: 1 birim. = 1 cm (iki dizüstü bilgisayar hücresi), o zaman ortaya çıkan cevap, parçanın uzunluğu doğrudan ölçülerek normal bir cetvelle kontrol edilebilir.

Evet çözüm kısa ama burada açıklığa kavuşturmak istediğim birkaç önemli nokta daha var:

Öncelikle cevaba boyutu koyuyoruz: “birimler”. Koşul ne olduğunu söylemiyor; milimetre, santimetre, metre veya kilometre. Bu nedenle, matematiksel olarak doğru bir çözüm, genel formülasyon olacaktır: "birimler" - "birimler" olarak kısaltılır.

İkinci olarak, yalnızca ele alınan görev için yararlı olmayan okul materyalini tekrarlayalım:

lütfen aklınızda bulundurun önemli teknik – çarpanı kökün altından kaldırmak. Hesaplamalar sonucunda bir sonuç elde ediyoruz ve iyi bir matematik tarzı, faktörün (mümkünse) kökün altından çıkarılmasını içerir. Daha ayrıntılı olarak süreç şöyle görünür: . Elbette cevabı olduğu gibi bırakmak bir hata olmayacaktır - ancak bu kesinlikle bir eksiklik ve öğretmen açısından saçma sapan bir argüman olacaktır.

İşte diğer yaygın durumlar:

Genellikle kök oldukça büyük bir sayı üretir; örneğin . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hesap makinesini kullanarak sayının 4'e bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: . Evet, tamamen bölünmüştü, dolayısıyla: . Ya da belki sayı tekrar 4'e bölünebilir? . Böylece: . Sayının son rakamı tek olduğundan üçüncü kez 4'e bölmek elbette işe yaramayacaktır. Dokuza bölmeye çalışalım: . Sonuç olarak:
Hazır.

Çözüm: kökün altında bir bütün olarak çıkarılamayan bir sayı alırsak, o zaman faktörü kökün altından kaldırmaya çalışırız - bir hesap makinesi kullanarak sayının şu şekilde bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz: 4, 9, 16, 25, 36, 49 vb.

Çeşitli problemleri çözerken sıklıkla köklerle karşılaşılır; öğretmenin yorumlarına göre çözümlerinizi sonuçlandırırken daha düşük not almaktan ve gereksiz sorunlardan kaçınmak için her zaman faktörleri kökün altından çıkarmaya çalışın.

Köklerin karesini almayı ve diğer kuvvetleri de tekrarlayalım:

Genel biçimde kuvvetlerle çalışmanın kuralları bir okul cebir ders kitabında bulunabilir, ancak verilen örneklerden her şeyin veya neredeyse her şeyin zaten açık olduğunu düşünüyorum.

Uzayda bir segmentle bağımsız çözüm görevi:

Örnek 4

Puanlar ve verilir. Segmentin uzunluğunu bulun.

Çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Bir vektörün uzunluğu nasıl bulunur?

Bir düzlem vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır.

Bir uzay vektörü verilirse uzunluğu formülle hesaplanır. .

Şimdiye kadar vektörlerin uzayda dikkate alındığına inanılıyordu. Bu andan itibaren düzlemde tüm vektörlerin dikkate alındığını varsayacağız. Ayrıca düzlem üzerinde karşılıklı olarak dik iki sayısal ekseni (yatay eksen ve dikey eksen) temsil eden bir Kartezyen koordinat sisteminin belirtildiğini (bu belirtilmemiş olsa bile) varsayacağız. . Daha sonra her nokta
düzlemde bir çift sayı atanmıştır
, onun koordinatları. Tersine, her sayı çifti
düzlemde bir sayı çifti olacak şekilde bir noktaya karşılık gelir
onun koordinatlarıdır.

Temel geometriden, eğer bir düzlemde iki nokta varsa,
Ve
, ardından mesafe
bu noktalar arası aşağıdaki formüle göre koordinatları ile ifade edilir

Düzlemde Kartezyen koordinat sistemi belirtilsin. Orth ekseni sembolüyle göstereceğiz ve eksenin birim vektörü sembol . Keyfi bir projeksiyon vektör sembolüyle göstereceğiz
eksen başına sembol
.

ve eksene projeksiyon İzin vermek

- düzlemde rastgele bir vektör. Aşağıdaki teorem geçerlidir.

Teorem 22. Herhangi bir vektör için

uçakta bir çift sayı var
,
.

Aynı zamanda

Kanıt. Bir vektör verilsin . Vektörü bir kenara bırakalım kökeninden. ile belirtelim vektör vektör-projeksiyon vektörü kökeninden. ile belirtelim vektör ve aracılığıyla

. O halde Şekil 21'den de görülebileceği gibi eşitlik sağlanır.

Teorem 9'a göre,
,
Haydi belirtelim

. Sonra alırız Yani herhangi bir vektör için kanıtlanmıştır.
bir çift sayı var

eşitlik doğru olacak şekilde Farklı bir vektör konumuyla

Kanıt eksenlere göre benzerdir.

Tanım. Ve Sayı çifti
Öyle ki , vektör koordinatları olarak adlandırılır . Sayı x koordinatı denir ve sayı

Kanıt eksenlere göre benzerdir.

oyun koordinatı
Koordinat eksenlerinin bir çift birim vektörü düzlemde ortonormal taban denir. Herhangi bir vektörün temsili
formda vektör ayrışımı denir
.

temelde

Doğrudan vektör koordinatlarının tanımından, eğer vektörlerin koordinatları eşitse, vektörlerin de eşit olduğu sonucu çıkar. Bunun tersi de doğrudur.

Teorem.

Aynı zamanda

Eşit vektörlerin koordinatları eşittir.
Ve
,
.

. Hadi bunu kanıtlayalım

Vektörlerin eşitliğinden şu sonuç çıkar:
Diyelim ki
.

, A
Daha sonra
ve bu şu anlama geliyor
ki bu doğru değil. Aynı şekilde eğer
, Ancak
, O
.
Ve
Buradan

ki bu doğru değil. Son olarak şunu varsayarsak Ve , o zaman bunu anlıyoruz
,
Bu, vektörlerin

eşdoğrusallar. Ancak bunlar dik olduğundan bu doğru değildir. Bu nedenle, öyle kalıyor Ve Keyfi bir projeksiyon Kanıtlanması gereken şey buydu. Böylece vektörün koordinatları tamamen vektörün kendisini belirler. Koordinatları bilmek
Ve
vektörün kendisini oluşturabilirsiniz , vektörleri oluşturarak
ve onları katlıyorum. Bu nedenle sıklıkla vektörün kendisi
.

koordinat çifti olarak gösterilir ve yazılır

Doğrudan vektör koordinatlarının tanımından, eğer vektörlerin koordinatları eşitse, vektörlerin de eşit olduğu sonucu çıkar. Bunun tersi de doğrudur.

. Bu giriş şu anlama gelir:

Aynı zamanda

Doğrudan vektör koordinatlarının tanımından, eğer vektörlerin koordinatları eşitse, vektörlerin de eşit olduğu sonucu çıkar. Bunun tersi de doğrudur.

ve eksene projeksiyon
Aşağıdaki teorem doğrudan vektör koordinatlarının tanımından kaynaklanmaktadır. Vektörleri eklerken koordinatları toplanır ve bir vektör bir sayıyla çarpıldığında koordinatları bu sayıyla çarpılır. Bu ifadeler formda yazılmıştır.
ve vektörün başlangıcı noktadır
koordinatları var

Aynı zamanda

ve eksene projeksiyon
ve vektörün sonu bir noktadır vektör . Daha sonra vektörün koordinatları, aşağıdaki ilişkilerle uçlarının koordinatlarıyla ilişkilendirilir. ve vektör, vektörün izdüşümü olsun

eksenle hizalanmış (bkz. Şekil 22). Daha sonra T

sayı doğrusunda bir parçanın uzunluğu olarak sağ ucun koordinatı eksi sol ucun koordinatına eşittir. Eğer vektör

eksenin tersi

(Şekil 23'teki gibi), o zaman
Pirinç. 23.
Eğer

, o zaman bu durumda
ve sonra elde ederiz Böylece vektörün herhangi bir konumu için

koordinat eksenlerine göre koordinatı

eşit

Vektörün uçlarının koordinatları verilmiştir
:
. Vektör koordinatlarını bulun
.

Çözüm.

Aşağıdaki teorem, bir vektörün uzunluğunun koordinatları cinsinden bir ifadesini sağlar.

Teorem 15.

ve eksene projeksiyon
.Daha sonra

Aynı zamanda

ve eksene projeksiyon Ve - vektör projeksiyon vektörü eksende Ve , sırasıyla. O halde Teorem 9'un ispatında gösterildiği gibi eşitlik geçerlidir.

Aynı zamanda vektörler Ve karşılıklı olarak dik. Bu vektörleri üçgen kuralına göre topladığımızda bir dik üçgen elde ederiz (bkz. Şekil 24).

Pisagor teoremine göre elimizde

Buradan

eşit

.Bulmak .

Bir vektörün yön kosinüsleri kavramını tanıtalım.

Kanıt eksenlere göre benzerdir.

vektör olsun
eksenle birlikte köşe ve eksen ile köşe (Bkz. Şekil 25).

Buradan,

Herhangi bir vektör için eşitlik var

Nerede - birim vektör yani birim uzunluktaki vektörle eş yönlü bir vektör , Ancak

Vektör vektörün yönünü belirler .
Ve
Koordinatları vektörün yön kosinüsleri denir

. Bir vektörün yön kosinüsleri, aşağıdaki formüller kullanılarak koordinatları aracılığıyla ifade edilebilir:

Bir ilişki var

Bu bölümde şimdiye kadar tüm vektörlerin aynı düzlemde yer aldığı varsayılmıştı. Şimdi uzaydaki vektörler için genelleme yapalım. ,Ve .

Uzayda eksenleri olan bir Kartezyen koordinat sisteminin verildiğini varsayacağız. ,Ve Eksen birim vektörleri ,Ve sembollerle göstereceğiz

sırasıyla (Şekil 26).

Düzlemdeki vektörler için elde edilen tüm kavram ve formüllerin genelleştirildiği gösterilebilir.

Pirinç. 26.
Uzaydaki vektörler. Vektörlerin üçlüsü

ve eksene projeksiyon ,Ve - vektör projeksiyon vektörü uzayda ortonormal taban denir. ,Ve eksende

, sırasıyla. Daha sonra

Sırayla

Eğer belirlersek

O zaman eşitliği elde ederiz ,Ve Temel vektörlerden önceki katsayılar vektör koordinatları denir . Böylece herhangi bir vektör için ,,uzayda üçlü sayı var vektör koordinatları denir

Vektör öyle ki bu vektör için aşağıdaki gösterim geçerlidir:
bu durumda aynı zamanda formda da belirtilir

. Bu durumda vektörün koordinatları, bu vektörün koordinat eksenlerine izdüşümlerine eşittir. Nerede - vektör arasındaki açı ,ve eksen - vektör arasındaki açı ,- vektör arasındaki açı - vektör arasındaki açı .

- vektör arasındaki açı Vektör uzunluğu

formül kullanılarak koordinatları aracılığıyla ifade edilir
,
Ve
Eşit vektörlerin eşit koordinatlara sahip olduğu yönündeki ifadeler doğrudur; vektörler toplanırken koordinatları toplanır ve bir vektör bir sayıyla çarpıldığında koordinatları bu sayıyla çarpılır. vektörün yön kosinüsleri denir