Eşitsizlik sistemi Bilinmeyen bir miktar içeren iki veya daha fazla eşitsizliğin herhangi bir kümesini çağırmak gelenekseldir.
Bu formülasyon örneğin aşağıdaki şekilde açıkça gösterilmektedir. eşitsizlik sistemleri:
Eşitsizlik sistemini çözün - sistemdeki her bir eşitsizliğin gerçekleştiği bilinmeyen bir değişkenin tüm değerlerini bulmak veya böyle bir şeyin olmadığını doğrulamak anlamına gelir .
Bu, her bir birey için şu anlama gelir: sistem eşitsizlikleri Bilinmeyen değişkeni hesaplıyoruz. Daha sonra, ortaya çıkan değerlerden yalnızca hem birinci hem de ikinci eşitsizlikler için doğru olanları seçer. Dolayısıyla seçilen değer yerine konulduğunda sistemin her iki eşitsizliği de doğru olur.
Çeşitli eşitsizliklerin çözümüne bakalım:
Bir çift sayı doğrusunu alt alta yerleştirelim; değeri en üste koy X, bunun için ilk eşitsizlik ( X> 1) doğru olur ve altta değer bulunur X ikinci eşitsizliğin çözümü olan ( X> 4).
Verileri karşılaştırarak sayı satırları, her ikisinin de çözüm olduğuna dikkat edin eşitsizlikler irade X> 4. Cevap, X> 4.
Örnek 2.
İlk hesaplama eşitsizlik-3 alıyoruz X< -6, или X> 2, ikinci - X> -8 veya X < 8. Затем делаем по аналогии с предыдущим примером. На верхнюю числовую прямую наносим все те значения X ilkinin gerçekleştiği yer sistem eşitsizliği ve alt sayı doğrusuna kadar tüm bu değerler X sistemin ikinci eşitsizliğinin gerçekleştiği yer.
Verileri karşılaştırdığımızda her ikisinin de olduğunu görüyoruz. eşitsizlikler tüm değerler için uygulanacak X, 2'den 8'e kadar yerleştirilir. Değerler kümesi X belirtmek çifte eşitsizlik 2 < X< 8.
Örnek 3. bulacağız
Eşitsizlik sistemi.
Örnek 1. Bir ifadenin alanını bulun
Çözüm. Karekök işaretinin altında negatif olmayan bir sayı bulunmalıdır; bu, iki eşitsizliğin aynı anda karşılanması gerektiği anlamına gelir: 
Böyle durumlarda sorunun bir eşitsizlikler sisteminin çözümüne indirgendiğini söylüyorlar
Ancak henüz böyle bir matematiksel modelle (eşitsizlikler sistemi) karşılaşmadık. Bu, örneğin çözümünü henüz tamamlayamadığımız anlamına gelir.
Bir sistemi oluşturan eşitsizlikler küme paranteziyle birleştirilir (aynı şey denklem sistemlerinde de geçerlidir). Örneğin, kayıt
2x - 1 > 3 ve 3x - 2 eşitsizliklerinin olduğu anlamına gelir< 11 образуют систему неравенств.
Bazen bir eşitsizlik sistemi çift eşitsizlik şeklinde yazılır. Örneğin bir eşitsizlik sistemi
çift eşitsizlik 3 olarak yazılabilir<2х-1<11.
9.sınıf cebir dersinde sadece iki eşitsizlik sistemini ele alacağız.
Eşitsizlik sistemini düşünün
Belirli çözümlerinden birkaçını seçebilirsiniz, örneğin x = 3, x = 4, x = 3,5. Aslında x = 3 için ilk eşitsizlik 5 > 3, ikincisi ise 7 formunu alır.< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.
Aynı zamanda x = 5 değeri eşitsizlik sisteminin çözümü değildir. X = 5 olduğunda, ilk eşitsizlik 9 > 3 formunu alır - doğru bir sayısal eşitsizlik, ikincisi ise 13 formunu alır< 11- неверное числовое неравенство .
Bir eşitsizlik sistemini çözmek, onun tüm özel çözümlerini bulmak anlamına gelir. Yukarıda gösterilen tahminin bir eşitsizlik sistemini çözmeye yönelik bir yöntem olmadığı açıktır. Aşağıdaki örnekte insanların bir eşitsizlik sistemini çözerken genellikle nasıl akıl yürüttüklerini göstereceğiz.
Örnek 3. Eşitsizlik sistemini çözün:
Çözüm.
A) Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek 2x > 4, x > 2'yi buluruz; sistemin ikinci eşitsizliğini çözersek 3x'i buluruz< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
B) Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek x > 2'yi buluruz; Sistemin ikinci eşitsizliğini çözerek şunu buluruz: 
Bu aralıkları, ilk aralık için üst taramayı, ikinci aralık için alt taramayı kullanarak tek bir koordinat çizgisi üzerinde işaretleyelim (Şekil 23). Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistem eşitsizliklerinin çözümlerinin kesişimi olacaktır, yani. her iki taramanın çakıştığı aralık. Söz konusu örnekte bir ışın elde ediyoruz
V) Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek x'i buluruz< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.
Ele alınan örnekte yürütülen akıl yürütmeyi genelleştirelim. Eşitsizlik sistemini çözmemiz gerektiğini varsayalım
Örneğin, (a, b) aralığının fx 2 > g(x) eşitsizliğinin bir çözümü olduğunu ve (c, d) aralığının da f 2 (x) > s 2 (x) eşitsizliğinin bir çözümü olduğunu varsayalım. ). İlk aralık için üst taramayı, ikinci aralık için alt taramayı kullanarak bu aralıkları tek bir koordinat çizgisi üzerinde işaretleyelim (Şekil 25). Bir eşitsizlik sisteminin çözümü, sistemdeki eşitsizliklerin çözümlerinin kesişimidir; her iki taramanın çakıştığı aralık. Şek. 25 (c, b) aralığıdır.
Şimdi yukarıda Örnek 1'de elde ettiğimiz eşitsizlik sistemini kolaylıkla çözebiliriz:
Sistemin ilk eşitsizliğini çözerek x > 2'yi buluruz; sistemin ikinci eşitsizliğini çözerken x'i buluruz< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.
Elbette eşitsizlikler sisteminin şimdiye kadar olduğu gibi mutlaka doğrusal eşitsizliklerden oluşması gerekmiyor; Herhangi bir rasyonel (ve sadece rasyonel değil) eşitsizlikler ortaya çıkabilir. Teknik olarak, rasyonel, doğrusal olmayan eşitsizlikler sistemiyle çalışmak elbette daha karmaşıktır, ancak burada (doğrusal eşitsizlik sistemleriyle karşılaştırıldığında) temelde yeni hiçbir şey yoktur.
Örnek 4. Eşitsizlik sistemini çözün
Çözüm.
1) Elimizdeki eşitsizliği çözün 
Sayı doğrusu üzerinde -3 ve 3 noktalarını işaretleyelim (Şekil 27). Çizgiyi üç aralığa bölerler ve her aralıkta p(x) = (x- 3)(x + 3) ifadesi sabit bir işareti korur - bu işaretler Şekil 2'de gösterilmiştir. 27. p(x) > 0 eşitsizliğinin geçerli olduğu aralıklarla (bunlar Şekil 27'de gölgelendirilmiştir) ve p(x) = 0 eşitliğinin geçerli olduğu noktalarla, yani; noktalar x = -3, x = 3 (bunlar Şekil 27'de koyu dairelerle işaretlenmiştir). Böylece, Şekil 2'de. Şekil 27'de birinci eşitsizliğin çözümüne yönelik geometrik bir model sunulmaktadır.
2) Elimizdeki eşitsizliği çözün
Sayı doğrusu üzerinde 0 ve 5 noktalarını işaretleyelim (Şekil 28). Çizgiyi üç aralığa bölerler ve her aralıkta ifade<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (Şekil 28'de gölgeli) ve g (x) - O eşitliğinin sağlandığı noktalar, yani. noktalar x = 0, x = 5 (bunlar Şekil 28'de koyu dairelerle işaretlenmiştir). Böylece, Şekil 2'de. Şekil 28 sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümü için geometrik bir model sunmaktadır.
3)
Sistemin birinci ve ikinci eşitsizliklerinin bulunan çözümlerini aynı koordinat çizgisi üzerinde, birinci eşitsizliğin çözümleri için üst taramayı, ikinci eşitsizliğin çözümleri için alt taramayı kullanarak işaretleyelim (Şekil 29). Eşitsizlik sisteminin çözümü, sistem eşitsizliklerinin çözümlerinin kesişimi olacaktır, yani. her iki taramanın çakıştığı aralık. Böyle bir aralık bir segmenttir.
Örnek 5. Eşitsizlik sistemini çözün:
Çözüm:
A)İlk eşitsizlikten x >2'yi buluyoruz. İkinci eşitsizliği ele alalım. Kare üçlü x 2 + x + 2'nin gerçek kökleri yoktur ve baş katsayısı (x 2'nin katsayısı) pozitiftir. Bu, tüm x'ler için x 2 + x + 2>0 eşitsizliğinin geçerli olduğu ve dolayısıyla sistemin ikinci eşitsizliğinin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir. Bu eşitsizlik sistemi açısından ne anlama geliyor? Bu, sistemin hiçbir çözümü olmadığı anlamına gelir.
B)İlk eşitsizlikten x > 2'yi buluyoruz ve ikinci eşitsizlik x'in herhangi bir değeri için karşılanıyor. Bu eşitsizlik sistemi açısından ne anlama geliyor? Bu, çözümünün x>2 formuna sahip olduğu anlamına gelir, yani. birinci eşitsizliğin çözümüyle örtüşmektedir.
Cevap:
a) çözüm yok; B) x >2.
Bu örnek aşağıdaki yararlı öğelerin bir örneğidir
1. Tek değişkenli birden fazla eşitsizliğin olduğu bir sistemde tek bir eşitsizliğin çözümü yoksa, sistemin çözümü de yoktur.
2. Tek değişkenli iki eşitsizlik sisteminde, değişkenin herhangi bir değeri için bir eşitsizlik sağlanıyorsa, sistemin çözümü sistemin ikinci eşitsizliğinin çözümüdür.
Bu bölümü bitirirken, başta verilen sayı sorununa dönelim ve bunu dedikleri gibi tüm kurallara göre çözelim.
Örnek 2(bkz. s. 29). Doğal bir sayı amaçlanmaktadır. İstenilen sayının karesine 13 eklenirse toplamın, amaçlanan sayı ile 14 sayısının çarpımından büyük olacağı bilinmektedir. İstenilen sayının karesine 45 eklenirse toplamın şu şekilde olacağı bilinmektedir: amaçlanan sayı ile 18 sayısının çarpımından küçük olmalıdır. Hangi sayı amaçlanmaktadır?
Çözüm.
İlk aşama. Matematiksel bir modelin hazırlanması.
Yukarıda gördüğümüz gibi amaçlanan x sayısı eşitsizlik sistemini karşılamalıdır.
İkinci aşama. Derlenmiş matematiksel model ile çalışarak sistemin ilk eşitsizliğini forma dönüştürelim.
x2- 14x+ 13 > 0.
Üç terimli x 2 - 14x + 13'ün köklerini bulalım: x 2 = 1, x 2 = 13. y = x 2 - 14x + 13 parabolünü kullanarak (Şekil 30), ilgilendiğimiz eşitsizliğin şu olduğu sonucuna varırız: x'te memnun kaldım< 1 или x > 13.
Sistemin ikinci eşitsizliğini x2 - 18 2 + 45 formuna dönüştürelim.< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.
Doğrusal eşitsizlikler sisteminin nasıl çözüleceğine dair örneklere bakalım.
4x + 29 \end(array) \right.\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com">!}
Bir sistemi çözmek için onu oluşturan eşitsizliklerin her birine ihtiyacınız vardır. Yalnızca ayrı ayrı değil, birlikte yazmaya ve bunları küme paranteziyle birleştirmeye karar verildi.
Sistemin her bir eşitsizliğinde bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri ise ters işaretle diğer tarafa taşıyoruz:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Sadeleştirmeden sonra eşitsizliğin her iki tarafı da X'in önündeki sayıya bölünmelidir. İlk eşitsizliği pozitif bir sayıya bölersek eşitsizliğin işareti değişmez. İkinci eşitsizliği negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizlik işaretinin ters çevrilmesi gerekir:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Eşitsizliklerin çözümünü sayı doğrusunda işaretliyoruz:
Cevap olarak çözümlerin kesişimini yani her iki çizgide gölgelemenin olduğu kısmı yazıyoruz.
Cevap: x∈[-2;1).
İlk eşitsizlikte kesirden kurtulalım. Bunu yapmak için her iki parçayı da terim terimle en küçük ortak payda 2 ile çarpıyoruz. Pozitif bir sayı ile çarpıldığında eşitsizlik işareti değişmiyor.
İkinci eşitsizlikte parantezleri açıyoruz. İki ifadenin toplamı ile farkının çarpımı, bu ifadelerin karelerinin farkına eşittir. Sağ tarafta iki ifade arasındaki farkın karesi var.
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Bilinmeyenleri bir tarafa, bilinenleri ise ters işaretle diğer tarafa taşıyıp basitleştiriyoruz:
Eşitsizliğin her iki tarafını da X'in önündeki sayıya bölüyoruz. İlk eşitsizlikte negatif bir sayıya böldüğümüz için eşitsizliğin işareti ters çevrilir. İkincisinde pozitif bir sayıya bölüyoruz, eşitsizlik işareti değişmiyor:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Her iki eşitsizliğin de “küçüktür” işareti vardır (bir işaretin kesin olarak “küçüktür” olması, diğerinin gevşek, “küçüktür veya eşittir” olması önemli değildir). Her iki çözümü de işaretleyemeyiz ancak “ “ kuralını kullanabilirsiniz. Küçük olan 1 olduğundan sistem eşitsizliğe indirgenir
Çözümünü sayı doğrusunda işaretliyoruz:
Cevap: x∈(-∞;1).
Parantezleri açıyoruz. İlk eşitsizlikte - . Bu ifadelerin küplerinin toplamına eşittir.
İkincisinde ise iki ifadenin toplamı ve farkının çarpımı, yani kareler farkına eşittir. Burada parantezlerin önünde bir eksi işareti olduğundan, bunları iki aşamada açmak daha iyidir: önce formülü kullanın ve ancak daha sonra parantezleri açın, her terimin işaretini tersine değiştirin.
Bilinmeyenleri bir yönde, bilinenleri ise diğer yönde ters işaretle hareket ettiriyoruz:
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Her ikisi de işaretlerden daha büyüktür. "Daha fazlası" kuralını kullanarak eşitsizlikler sistemini tek bir eşitsizliğe indirgeyebiliriz. Bu iki sayıdan büyük olanı 5 olduğundan
Title="QuickLaTeX.com tarafından oluşturulmuştur">!}
Eşitsizliğin çözümünü sayı doğrusunda işaretleyip cevabı yazıyoruz: 
Cevap: x∈(5;∞).
Cebirde doğrusal eşitsizlik sistemleri yalnızca bağımsız görevler olarak değil, aynı zamanda çeşitli denklemlerin, eşitsizliklerin vb. çözümü sırasında da ortaya çıktığından, bu konuya zamanında hakim olmak önemlidir.
Bir dahaki sefere, eşitsizliklerden birinin çözümü olmadığı veya çözümünün herhangi bir sayı olduğu özel durumlarda doğrusal eşitsizlik sistemlerinin çözüm örneklerine bakacağız.
Kategori: |aynı bilinmeyen miktarı içeren iki veya daha fazla doğrusal eşitsizlikten oluşan herhangi bir kümedir
İşte bu tür sistemlerin örnekleri:
İki ışının kesişme aralığı bizim çözümümüzdür. Dolayısıyla bu eşitsizliğin çözümü X iki ile sekiz arasında yer alır.
Cevap: X
Bir eşitsizlik sistemini çözmek için bu tür haritalamanın kullanılmasına bazen denir. çatı yöntemi.
Tanım:İki kümenin kesişimi A Ve İÇİNDE içerdiği tüm elemanları içeren üçüncü kümeye denir A ve içinde İÇİNDE. Keyfi nitelikteki kümelerin kesişiminin anlamı budur. Şimdi sayısal kümeleri ayrıntılı olarak ele alıyoruz, bu nedenle doğrusal eşitsizlikleri bulurken bu tür kümeler ışınlardır - eş yönlü, ters yönlü vb.
Gerçekte öğrenelim örnekler doğrusal eşitsizlik sistemlerinin bulunması, sistemdeki bireysel eşitsizliklerin çözüm kümelerinin kesişimlerinin nasıl belirleneceği.
Haydi hesaplayalım eşitsizlik sistemi:
Birbirinin altına iki kuvvet çizgisi yerleştirelim. Üstte bu değerleri çizeceğiz X, birinci eşitsizliği sağlayan X>7 ve altta - ikinci eşitsizliğin çözümü görevi gören X>10 Sayı doğrularının sonuçlarını karşılaştıralım ve her iki eşitsizliğin de sağlanacağını bulalım. X>10.
Cevap: (10;+∞).
Bunu ilk örneğe benzeterek yapıyoruz. Belirli bir sayı ekseninde tüm bu değerleri çiziyoruz X bunun için ilk var sistem eşitsizliği ve birincinin altında bulunan ikinci sayısal eksende tüm bu değerler X, sistemin ikinci eşitsizliğinin karşılandığı yer. Bu iki sonucu karşılaştıralım ve her iki eşitsizliğin de tüm değerler için aynı anda sağlanacağını belirleyelim. X 7 ile 10 arasında yer alan işaretleri dikkate alarak 7 elde ederiz<x≤10
Cevap: (7; 10).
Aşağıdaki problemler benzer şekilde çözülür. eşitsizlik sistemleri.