Ortalama seviye

Sağ üçgen. Tam Resimli Kılavuz (2019)

SAĞ ÜÇGEN. İLK SEVİYE.

Sorunlarda dik açı hiç gerekli değildir - sol alt, bu nedenle bu formdaki dik üçgeni tanımayı öğrenmeniz gerekir,

ve bunda

ve bunda

Dik üçgenin iyi yanı nedir? Şey... her şeyden önce, özel şeyler var güzel isimler onun tarafları için.

Çizime dikkat!

Unutmayın ve karıştırmayın: iki bacak var ve sadece bir hipotenüs var(bir ve tek, benzersiz ve en uzun)!

İsimleri tartıştık, şimdi en önemli şey: Pisagor Teoremi.

Pisagor teoremi.

Bu teorem dik üçgenle ilgili birçok problemin çözümünün anahtarıdır. Pisagor bunu tamamen kanıtladı çok eski zamanlardan beri ve o zamandan beri onu tanıyanlara pek çok fayda sağladı. Ve bunun en iyi yanı basit olmasıdır.

Bu yüzden, Pisagor teoremi:

Şakayı hatırlıyor musunuz: "Pisagor pantolonu her tarafta eşittir!"?

Aynı Pisagor pantolonunu çizelim ve onlara bakalım.

Bir çeşit şorta benzemiyor mu? Peki hangi taraflarda ve nerede eşitler? Şaka neden ve nereden geldi? Ve bu şaka tam olarak Pisagor teoremiyle veya daha kesin olarak Pisagor'un teoremini formüle etme şekliyle bağlantılıdır. Ve bunu şu şekilde formüle etti:

"Toplam karelerin alanları bacaklar üzerine inşa edilmiş, eşittir kare alan, hipotenüs üzerine inşa edilmiştir."

Gerçekten biraz farklı mı geliyor kulağa? Ve böylece Pisagor teoreminin ifadesini çizdiğinde ortaya çıkan resim tam olarak bu oldu.

Bu resimde küçük karelerin alanlarının toplamı büyük karenin alanına eşittir. Ve çocukların bacakların kareleri toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu daha iyi hatırlaması için, esprili biri Pisagor pantolonuyla ilgili bu şakayı ortaya attı.

Neden şimdi Pisagor teoremini formüle ediyoruz?

Pisagor acı çekip karelerden mi bahsetti?

Görüyorsunuz, eski zamanlarda cebir diye bir şey yoktu! Herhangi bir işaret vs. yoktu. Hiçbir yazıt yoktu. Zavallı eski öğrencilerin her şeyi kelimelerle hatırlamasının ne kadar korkunç olduğunu hayal edebiliyor musunuz??! Ve Pisagor teoreminin basit bir formülasyonuna sahip olduğumuz için sevinebiliriz. Daha iyi hatırlamak için bir kez daha tekrarlayalım:

Artık kolay olmalı:

Hipotenüsün karesi toplamına eşit bacak kareleri.

Dik üçgenlerle ilgili en önemli teorem tartışıldı. Bunun nasıl kanıtlandığıyla ilgileniyorsanız, aşağıdaki teori seviyelerini okuyun ve şimdi devam edelim... karanlık orman... trigonometri! Korkunç kelimeler sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant.

Aslında her şey o kadar da korkutucu değil. Elbette yazıda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın “gerçek” tanımına da bakmak gerekir. Ama gerçekten istemiyorum, değil mi? Sevinebiliriz: Bir dik üçgenle ilgili problemleri çözmek için aşağıdaki basit şeyleri doldurmanız yeterlidir:

Neden her şey hemen köşede? Köşe nerede? Bunu anlayabilmek için 1'den 4'e kadar olan ifadelerin kelimelerle nasıl yazıldığını bilmeniz gerekir. Bakın, anlayın ve hatırlayın!

1.
Aslında kulağa şöyle geliyor:

Peki ya açı? Köşenin karşısında bir bacak var mı, yani karşıt (bir açı için) bacak var mı? Elbette var! Bu bir bacak!

Peki ya açı? Dikkatli bak. Hangi bacak köşeye bitişik? Tabii ki bacak. Bu, bacağın bitişik olduğu açı için ve

Şimdi dikkat edin! Bakın elimizde ne var:

Ne kadar havalı olduğunu görün:

Şimdi teğet ve kotanjanta geçelim.

Şimdi bunu kelimelerle nasıl yazabilirim? Açıya göre bacak nedir? Elbette karşısında - köşenin karşısında "yalan söylüyor". Peki ya bacak? Köşeye bitişik. Peki elimizde ne var?

Pay ve paydanın nasıl yer değiştirdiğini gördünüz mü?

Ve şimdi yine kornerler ve takas yapıldı:

Özet

Öğrendiğimiz her şeyi kısaca yazalım.

Pisagor teoremi:

Dik üçgenlerle ilgili ana teorem Pisagor teoremidir.

Pisagor teoremi

Bu arada, bacakların ve hipotenüsün ne olduğunu iyi hatırlıyor musun? Çok iyi değilse resme bakın - bilginizi tazeleyin

Pisagor teoremini birçok kez kullanmış olmanız oldukça olası, ancak böyle bir teoremin neden doğru olduğunu hiç merak ettiniz mi? Bunu nasıl kanıtlayabilirim? Antik Yunanlılar gibi yapalım. Kenarı olan bir kare çizelim.

Kenarlarını ne kadar akıllıca uzunluklara ayırdığımızı görün ve!

Şimdi işaretli noktaları birleştirelim

Ancak burada başka bir şeye dikkat çektik, ancak siz çizime bakıp bunun neden böyle olduğunu düşünüyorsunuz.

Büyük karenin alanı nedir? Sağ, . Daha küçük bir alana ne dersiniz? Kesinlikle, . Dört köşenin toplam alanı kalır. Bunları ikişer ikişer alıp hipotenüsleriyle birbirlerine yasladığımızı hayal edin. Ne oldu? İki dikdörtgen. Bu, "kesiklerin" alanının eşit olduğu anlamına gelir.

Şimdi hepsini bir araya getirelim.

Hadi dönüştürelim:

Böylece Pisagor'u ziyaret ettik; onun teoremini eski bir yöntemle kanıtladık.

Dik üçgen ve trigonometri

Bir dik üçgen için aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Dar açının sinüsü orana eşit ters taraf hipotenüse

Dar bir açının kosinüsü şu orana eşittir: bitişik bacak hipotenüse.

Bir dar açının tanjantı karşı kenarın komşu kenara oranına eşittir.

Bir dar açının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranına eşittir.

Ve bir kez daha tüm bunlar bir tablet biçiminde:

Çok rahat!

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri

I. İki tarafta

II. Bacak ve hipotenüse göre

III. Hipotenüs ve dar açıya göre

IV. Bacak boyunca ve dar açı

A)

B)

Dikkat! Burada bacakların “uygun” olması çok önemlidir. Örneğin, eğer şu şekilde giderse:

O halde ÜÇGENLER EŞİT DEĞİLDİR aynı dar açıya sahip olmalarına rağmen.

Gerekiyor her iki üçgende de bacak bitişikti veya her ikisinde de zıttı.

Dik üçgenlerin eşitlik işaretlerinin, üçgenlerin eşitlik işaretlerinden ne kadar farklı olduğunu fark ettiniz mi? Konuya bakın ve "sıradan" üçgenlerin eşitliği için elemanlarından üçünün eşit olması gerektiğine dikkat edin: iki kenar ve aralarındaki açı, iki açı ve aralarındaki kenar veya üç kenar. Ancak dik üçgenlerin eşitliği için yalnızca karşılık gelen iki öğe yeterlidir. Harika, değil mi?

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri ile durum yaklaşık olarak aynıdır.

Dik üçgenlerin benzerlik belirtileri

I. Dar bir açı boyunca

II. İki tarafta

III. Bacak ve hipotenüse göre

Dik üçgende medyan

Bu neden böyle?

Dik üçgen yerine tam bir dikdörtgen düşünün.

Bir köşegen çizelim ve bir nokta düşünelim; köşegenlerin kesişme noktası. Dikdörtgenin köşegenleri hakkında ne biliyorsunuz?

Peki bundan ne sonuç çıkıyor?

Böylece ortaya çıktı

1. - medyan:

Bu gerçeği unutmayın! Çok yardımcı oluyor!

Daha da şaşırtıcı olan ise bunun tam tersinin de geçerli olmasıdır.

Hipotenüse çizilen medyanın hipotenüsün yarısına eşit olmasından ne gibi bir fayda elde edilebilir? Hadi resme bakalım

Dikkatli bak. Elimizde: , yani noktadan üçgenin üç köşesine olan mesafelerin eşit olduğu ortaya çıktı. Ancak üçgende üçgenin üç köşesine de mesafeleri eşit olan tek bir nokta vardır ve bu da ÇEMBERİN MERKEZİdir. Peki ne oldu?

O halde şu "ayrıca..." ile başlayalım.

Şimdi ve'ye bakalım.

Ancak benzer üçgenler tüm açılar eşittir!

Aynı şey hakkında da söylenebilir ve

Şimdi birlikte çizelim:

Bu “üçlü” benzerlikten ne gibi faydalar elde edilebilir?

Mesela - Dik üçgenin yüksekliği için iki formül.

İlgili tarafların ilişkilerini yazalım:

Yüksekliği bulmak için orantıyı çözeriz ve şunu elde ederiz: ilk formül "Dik üçgende yükseklik":

O halde benzerliği uygulayalım: .

Ne olacak şimdi?

Yine orantıyı çözüyoruz ve ikinci formülü elde ediyoruz:

Bu formüllerin ikisini de çok iyi hatırlamanız ve size hangisi daha uygunsa onu kullanmanız gerekiyor. Tekrar yazalım

Pisagor teoremi:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi, dik kenarların karelerinin toplamına eşittir: .

Dik üçgenlerin eşitliğinin işaretleri:

• iki tarafta:
• bacak ve hipotenüse göre: veya
• bacak boyunca ve bitişik dar açı boyunca: veya
• bacak boyunca ve karşıt dar açıda: veya
• hipotenüs ve dar açıya göre: veya.

Dik üçgenlerin benzerlik işaretleri:

• bir akut köşe: veya
• iki bacağın orantılılığından:
• bacağın ve hipotenüsün orantılılığından: veya.

Bir dik üçgende sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant

• Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı tarafın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının tanjantı, karşı tarafın bitişik kenara oranıdır:
• Bir dik üçgenin dar açısının kotanjantı, komşu kenarın karşı kenara oranıdır: .

Bir dik üçgenin yüksekliği: veya.

Bir dik üçgende tepe noktasından çizilen kenarortay dik açı, hipotenüsün yarısına eşittir: .

Dik üçgenin alanı:

• bacaklar yoluyla:

Pisagor teoremi: Bacaklara dayanan karelerin alanlarının toplamı ( A Ve B), hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanına eşit ( C).

Geometrik formülasyon:

Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:

Cebirsel formülasyon:

Yani üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu ifade ederek C ve bacakların uzunlukları A Ve B :

A 2 + B 2 = C 2

Teoremin her iki formülasyonu da eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir; alan kavramını gerektirmez. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve bir dik üçgenin yalnızca kenar uzunlukları ölçülerek doğrulanabilir.

Converse Pisagor teoremi:

Kanıt

Açık şu an V Bilimsel edebiyat Bu teoremin 367 kanıtı kaydedildi. Muhtemelen Pisagor teoremi bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Bu çeşitlilik ancak teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.

Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin, kullanılarak) diferansiyel denklemler).

Benzer üçgenler sayesinde

Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan kanıtların en basitidir. Özellikle şeklin alanı kavramını kullanmaz.

İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve tabanını şu şekilde belirtin: H. Üçgen ACHüçgene benzer ABC iki köşede. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC. Gösterimi tanıtarak

aldık

Eşdeğer nedir

Bunu topladığımızda şunu elde ederiz

Alan yöntemini kullanan ispatlar

Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi alanın özelliklerini kullanıyor, bunun kanıtları daha zor kanıt Pisagor teoreminin kendisi.

Eştamamlama yoluyla kanıt

1. Dört eşit sıralayalım dik üçgenŞekil 1'de gösterildiği gibi.
2. Kenarları olan dörtgen C ikisinin toplamı bir kare olduğundan keskin köşeler 90° ve açılma açısı 180°'dir.
3. Tüm şeklin alanı, bir yandan (a + b) kenarlı bir karenin alanına, diğer yandan toplamın toplamına eşittir. dört kareüçgenler ve iki iç kare.

Q.E.D.

Denklik yoluyla ispatlar

Permütasyon kullanarak zarif kanıt

Böyle bir kanıtın bir örneği sağdaki çizimde gösterilmektedir; burada hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir kare, yanlarda inşa edilmiş iki kareye yeniden düzenlenmektedir.

Öklid'in kanıtı

Öklid'in kanıtı için çizim

Öklid'in kanıtı için örnek

Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir.

Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı.

DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım.Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Aynı yüksekliğe ve tabana sahip bir üçgenin alanı verilen dikdörtgen, verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.

Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Bu eşitlik açıktır, üçgenlerin her iki tarafı ve aralarındaki açı eşittir. Yani - AB=AK,AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle).

BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir.

Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtladık. Bu kanıtın arkasındaki fikir yukarıdaki animasyonla daha da açıklanmaktadır.

Leonardo da Vinci'nin Kanıtı

Leonardo da Vinci'nin Kanıtı

İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.

Simetriden görülebileceği gibi çizimi bir parça olarak düşünelim. CBEN kareyi keser ABHJ iki özdeş parçaya bölünür (çünkü üçgenler ABC Ve JHBEN inşaatta eşittir). Saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli şekillerin eşitliğini görüyoruz CAJBEN Ve GDAB . Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatın son adımı okuyucuya bırakılmıştır.

Sonsuz küçük yöntemle kanıt

Diferansiyel denklemleri kullanan aşağıdaki ispat, genellikle 20. yüzyılın ilk yarısında yaşayan ünlü İngiliz matematikçi Hardy'ye atfedilir.

Şekilde gösterilen çizime bakıp taraftaki değişimi gözlemlemek A sonsuz küçük yan artışlar için aşağıdaki ilişkiyi yazabiliriz İle Ve A(üçgen benzerliğini kullanarak):

Sonsuz küçük yöntemle kanıt

Değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanarak şunu buluruz:

Daha genel ifade her iki bacağın artması durumunda hipotenüsü değiştirmek için

Entegrasyon verilen denklem ve kullanarak başlangıç ​​koşulları, alıyoruz

C 2 = A 2 + B 2 + sabit.

Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz

C 2 = A 2 + B 2 .

Görmek ne kadar kolay ikinci dereceden bağımlılık sayesinde son formülde görünür doğrusal orantılılıkÜçgenin kenarları arasındaki artışlar, toplam ise farklı bacakların artışlarından bağımsız katkılarla ilişkilidir.

Bacaklardan birinde bir artış olmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir ( bu durumda bacak B). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:

Varyasyonlar ve genellemeler

• Kenarlarda kareler yerine benzer şekiller oluşturursak, Pisagor teoreminin aşağıdaki genellemesi doğrudur: Bir dik üçgende alanların toplamı benzer rakamlar bacaklar üzerine inşa edilen rakam, hipotenüs üzerine inşa edilen şeklin alanına eşittir.Özellikle:
  • Kenarlarına kurulan düzgün üçgenlerin alanlarının toplamı alana eşittir düzgün üçgen, hipotenüs üzerine inşa edilmiştir.
  • Bacaklar üzerine inşa edilen yarım dairelerin alanlarının toplamı (çapta olduğu gibi), hipotenüs üzerine inşa edilen yarım dairenin alanına eşittir. Bu örnek, Hipokrat lunulası adı verilen, iki daire yayıyla sınırlanan şekillerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılır.

Hikaye

Chu-pei MÖ 500–200. Solda şu yazı var: Yükseklik ve taban uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesidir.

Antik Çin kitabı Chu-pei'nin bahsettiği Pisagor üçgeni kenarları 3, 4 ve 5 ile: Aynı kitapta, Başara'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden biriyle örtüşen bir çizim önerilmektedir.

Cantor (en büyük Alman matematik tarihçisi), 3² + 4² = 5² eşitliğinin Mısırlılar tarafından MÖ 2300 civarında zaten bilindiğine inanıyor. örneğin, Kral I. Amenemhat döneminde (Berlin Müzesi papirüsü 6619'a göre). Cantor'a göre harpedonapteler veya "halat çekiciler" kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgenleri kullanarak dik açılar inşa ediyorlardı.

Yapım yöntemlerini çoğaltmak çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alalım ve ona 3 m mesafede renkli bir şerit bağlayalım. bir uçtan ve diğer uçtan 4 metre. Dik açı, 3 ila 4 metre uzunluğundaki kenarlar arasında çevrelenecektir. Harpedonaptiyanlara, örneğin tüm marangozların kullandığı ahşap bir kare kullanıldığında, inşaat yöntemlerinin gereksiz hale geldiği yönünde itiraz edilebilir. Gerçekten de, böyle bir aletin bulunduğu Mısır çizimleri, örneğin bir marangoz atölyesini gösteren çizimler bilinmektedir.

Babilliler arasında Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey biliniyor. Hammurabi dönemine, yani M.Ö. 2000 yılına kadar uzanan bir metinde. örneğin, bir dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplaması verilmiştir. Buradan Mezopotamya'da en azından bazı durumlarda dik üçgenlerle hesaplamalar yapabildikleri sonucuna varabiliriz. Van der Waerden (Hollandalı matematikçi), bir yandan Mısır ve Babil matematiği hakkındaki mevcut bilgi düzeyine, diğer yandan da Yunan kaynaklarının eleştirel bir çalışmasına dayanarak şu sonuca vardı:

Edebiyat

Rusça

• Skopets Z.A. Geometrik minyatürler. M., 1990
• Elensky Shch. Pisagor'un izinde. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Uyanış Bilimi. Matematik Antik Mısır, Babil ve Yunanistan. M., 1959
• Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi. M., 1982
• W. Litzman, “Pisagor Teoremi” M., 1960.
  • Pisagor teoremi hakkında çok sayıda kanıt içeren bir site, V. Litzmann'ın kitabından alınan materyal, çok sayıda çizim ayrı grafik dosyaları şeklinde sunulmaktadır.
• Pisagor teoremi ve Pisagor üçe katlamalar D. V. Anosov'un kitabından bölüm “Matematiğe bir bakış ve ondan bir şeyler”
• Pisagor teoremi ve bunu kanıtlama yöntemleri hakkında G. Glaser, Rusya Eğitim Akademisi akademisyeni, Moskova

İngilizce

• WolframMathWorld'de Pisagor Teoremi
• Cut-The-Knot, Pisagor teoremi bölümü, yaklaşık 70 kanıt ve kapsamlı ek bilgi (İngilizce)

Wikimedia Vakfı. 2010.

Pisagor Teoremi yalnızca dik üçgenler için geçerli olduğundan, size verilen üçgenin dik üçgen olduğundan emin olun. Dik üçgenlerde üç açıdan biri her zaman 90 derecedir.

• Dik üçgendeki dik açı, eğik açıları temsil eden eğri yerine kare simgeyle gösterilir.

Üçgenin kenarlarını etiketleyin. Bacakları “a” ve “b” (bacaklar dik açıyla kesişen kenarlardır) ve hipotenüsü “c” (hipotenüs en fazla olan) olarak etiketleyin. büyük taraf dik üçgen, dik açının karşısında yer alır).

Üçgenin hangi tarafını bulmak istediğinizi belirleyin. Pisagor teoremi bir dik üçgenin herhangi bir kenarını bulmanızı sağlar (eğer diğer iki kenar biliniyorsa). Hangi tarafı (a, b, c) bulmanız gerektiğini belirleyin.

• Örneğin, 5'e eşit bir hipotenüs verildiğinde ve 3'e eşit bir kenar verildiğinde. Bu durumda ikinci ayağı bulmak gerekir. Bu örneğe daha sonra tekrar döneceğiz.
• Diğer iki kenar bilinmiyorsa Pisagor teoremini uygulayabilmek için bilinmeyen kenarlardan birinin uzunluğunu bulmanız gerekir. Bunu yapmak için temel kullanın trigonometrik fonksiyonlar(eğer eğik açılardan birinin değeri verilmişse).

Size verilen değerleri (veya bulduğunuz değerleri) a 2 + b 2 = c 2 formülüne yazın. A ve b'nin bacaklar olduğunu ve c'nin hipotenüs olduğunu unutmayın.

• Örneğimizde şunu yazın: 3² + b² = 5².

Bilinen her tarafın karesini alın. Veya güçleri bırakın; sayıların karesini daha sonra alabilirsiniz.

• Örneğimizde şunu yazın: 9 + b² = 25.

Bilinmeyen tarafı denklemin bir tarafına ayırın. Bunu yapmak için hareket edin bilinen değerler denklemin diğer tarafına. Hipotenüsü bulursanız, Pisagor teoreminde zaten denklemin bir tarafında izole edilmiştir (bu nedenle hiçbir şey yapmanıza gerek yoktur).

• Örneğimizde 9'u şuraya taşıyın: Sağ Taraf bilinmeyen b²'yi izole etmek için denklemler. B² = 16 elde edersiniz.

Kaldırmak Kare kök Denklemin her iki tarafından da bilinmeyen (karelenmiş) denklemin bir tarafında, serbest terim (sayı) diğer tarafında yer aldıktan sonra.

• Örneğimizde b² = 16. Denklemin her iki tarafının karekökünü alın ve b = 4 elde edin. Böylece ikinci bacak 4 olur.

Pisagor teoremini kullanın Gündelik Yaşam kullanılabilecek olduğundan çok sayıda pratik durumlar. Bunu yapmak için, günlük yaşamda dik üçgenleri tanımayı öğrenin - iki nesnenin (veya çizginin) dik açıyla kesiştiği ve üçüncü bir nesnenin (veya çizginin) ilk iki nesnenin (veya çizginin) üst kısımlarını (çapraz olarak) bağladığı herhangi bir durumda. çizgileri), bilinmeyen tarafı bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz (eğer diğer iki taraf biliniyorsa).

• Örnek: Bir binaya yaslanan bir merdiven verilmiştir. Alt kısım Merdivenler duvarın tabanından 5 metre uzaktadır. Üst kısmı Merdivenler yerden 20 metre yükseklikte (duvarın yukarısında) bulunmaktadır. Merdivenlerin uzunluğu ne kadar?
  • “Duvarın tabanından 5 metre uzakta” ​​demek a = 5; “Yerden 20 metre yüksekte yer alan”, b = 20 anlamına gelir (yani, binanın duvarı ile Dünya yüzeyi dik açılarda kesiştiği için size bir dik üçgenin iki ayağı verilir). Merdivenin uzunluğu bilinmeyen hipotenüsün uzunluğudur.
    • a² + b² = c²
    • (5)² + (20)² = c²
    • 25 + 400 = c²
    • 425 = c²
    • c = √425
    • c = 20,6. Böylece merdivenlerin yaklaşık uzunluğu 20,6 metre oluyor.

GEOMETRİK ŞEKİLLERİN ALANININ ÖLÇÜLMESİ.

§ 58. Pisagor Teoremi 1.

__________
1 Pisagor, yaklaşık 2500 yıl önce (MÖ 564-473) yaşamış bir Yunan bilim adamıdır.
_________

Bize kenarları eşit olan bir dik üçgen verilsin. A, B Ve İle(Çizim 267).

Yanlarına kareler oluşturalım. Bu karelerin alanları sırasıyla eşittir A 2 , B 2 ve İle 2. Hadi bunu kanıtlayalım İle 2 = bir 2 + b 2 .

İki kare MKOR ve M"K"O"R" (çizim 268, 269) oluşturalım, her birinin tarafı olarak ABC dik üçgeninin bacaklarının toplamına eşit bir parça alalım.

Bu karelerde 268 ve 269 numaralı çizimlerde gösterilen inşaatları tamamladıktan sonra MCOR meydanının alanları olan iki kareye bölündüğünü göreceğiz. A 2 ve B Her biri ABC dik üçgenine eşit olan 2 ve dört eşit dik üçgen. M"K"O"R" karesi bir dörtgene (çizim 269'da gölgelendirilmiştir) ve her biri ABC üçgenine eşit olan dört dik üçgene bölünmüştür. Gölgeli bir dörtgen, kenarları eşit olduğu için bir karedir (her biri ABC üçgeninin hipotenüsüne eşittir, yani. İle) ve açılar doğru / 1 + / 2 = 90°, buradan / 3 = 90°).

Böylece, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının toplamı (çizim 268'de bu kareler gölgelendirilmiştir), dört eşit üçgenin alanlarının toplamı olmadan MCOR karesinin alanına ve ​​hipotenüs üzerine inşa edilen kare (çizim 269'da bu kare de gölgelendirilmiştir) M"K"O"R" karesinin alanına eşittir, MCOR'un karesine eşittir, alanların toplamı olmadan dört benzer üçgen. Bu nedenle bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.

Formülü alıyoruz İle 2 = bir 2 + b 2 nerede İle- hipotenüs, A Ve B- dik üçgenin bacakları.

Pisagor teoremi genellikle kısaca şu şekilde formüle edilir:

Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.

Formülden İle 2 = bir 2 + b 2 aşağıdaki formülleri alabilirsiniz:

A 2 = İle 2 - B 2 ;
B 2 = İle 2 - A 2 .

Bu formüller bulmak için kullanılabilir. bilinmeyen taraf verilen iki kenarı boyunca bir dik üçgen.
Örneğin:

a) eğer bacaklar verilirse A= 4cm, B=3 cm ise hipotenüsü bulabilirsiniz ( İle):
İle 2 = bir 2 + b 2, yani İle 2 = 4 2 + 3 2; 2 = 25 ile, dolayısıyla İle= √25 =5 (cm);

b) Hipotenüs verilirse İle= 17 cm ve bacak A= 8 cm, sonra başka bir bacak bulabilirsiniz ( B):

B 2 = İle 2 - A 2, yani B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, buradan B= √225 = 15 (cm).

Sonuçlar: ABC ve A dik üçgenlerinin 1 B 1 C 1 hipotenüsü varsa İle Ve İle 1 eşittir ve bacak B ABC üçgeni bacaktan daha uzundur B 1 üçgen A 1 B 1 C 1,
sonra bacak A ABC üçgeni daha az bacak A 1 üçgen A 1 B 1 C 1. (Bu sonucu gösteren bir çizim yapın.)

Aslında Pisagor teoremine dayanarak şunu elde ederiz:

A 2 = İle 2 - B 2 ,
A 1 2 = İle 1 2 - B 1 2

Yazılı formüllerde eksilenler eşittir ve birinci formüldeki çıkan ikinci formüldeki çıkandan büyük olduğundan birinci fark ikinciden küçüktür,
yani. A 2 < A 12. Nerede A< A 1 .

Egzersizler.

1. Çizim 270'i kullanarak ikizkenar dik üçgen için Pisagor teoremini kanıtlayın.

2. Bir dik üçgenin bir kenarı 12 cm, diğeri 5 cm'dir Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu hesaplayınız.

3. Bir dik üçgenin hipotenüsü 10 cm, kenarlarından biri 8 cm'dir Bu üçgenin diğer kenarının uzunluğunu hesaplayınız.

4. Bir dik üçgenin hipotenüsü 37 cm, bir dik kenarı 35 cm'dir Bu üçgenin diğer bacağının uzunluğunu hesaplayınız.

5. Alanı verilen karenin iki katı büyüklüğünde bir kare oluşturun.

6. Alanı verilen karenin yarısı kadar olan bir kare oluşturun. Not. Bu kareye köşegenler çizin. Bu köşegenlerin yarısına kurulan kareler aradığımız kareler olacaktır.

7. Bir dik üçgenin kenarları sırasıyla 12 cm ve 15 cm'dir Bu üçgenin hipotenüs uzunluğunu 0,1 cm doğrulukla hesaplayın.

8. Bir dik üçgenin hipotenüsü 20 cm, bir dik kenarının uzunluğu 15 cm'dir, diğer dik üçgenin uzunluğunu 0,1 cm hassasiyetle hesaplayınız.

9. Merdivenin alt ucunun binadan 2,5 m uzakta olması gerekiyorsa, merdiven 6 m yükseklikteki bir pencerenin yanına yerleştirilebilmesi için ne kadar uzun olmalıdır? (Grafik 271.)

Ev

Pisagor teoremini kanıtlama yöntemleri.

G. Glaser,
Rusya Eğitim Akademisi Akademisyeni, Moskova

Pisagor teoremi ve bunu kanıtlama yöntemleri hakkında

Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan karenin alanı, dik kenarları üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir...

Bu en ünlülerden biri geometrik teoremler eski zamanlarda buna Pisagor teoremi denirdi. Planimetri eğitimi almış hemen hemen herkes bunu şimdi bile biliyor. Bana öyle geliyor ki, eğer sana haber vermek istersek dünya dışı uygarlıklar Dünya'da akıllı yaşamın varlığı hakkında bilgi sahibi olmak için Pisagor figürünün bir görüntüsünün uzaya gönderilmesi gerekir. Düşünen varlıklar bu bilgiyi kabul edebilirlerse, karmaşık sinyal çözme işlemlerine gerek kalmadan Dünya'da oldukça gelişmiş bir medeniyetin olduğunu anlayacaklarını düşünüyorum.

Teoreme adını veren ünlü Yunan filozofu ve matematikçi Samoslu Pisagor, yaklaşık 2,5 bin yıl önce yaşamıştır. Bize ulaşanlar biyografik bilgi Pisagor hakkındaki bilgiler parçalıdır ve güvenilir olmaktan uzaktır. Birçok efsane onun adıyla ilişkilendirilir. Pisagor'un Doğu ülkelerinde çok seyahat ettiği, Mısır ve Babil'i ziyaret ettiği güvenilir bir şekilde biliniyor. Birinde Yunan kolonileri Güney italyaünlüyü kurdu " Pisagor okulu", kim oynadı önemli rol bilimsel ve siyasi hayat Antik Yunan. Ünlü geometrik teoremi kanıtlayan kişi Pisagor'dur. Yayılan efsanelere dayanarak ünlü matematikçiler(Proclus, Plutarch, vb.), uzun zaman Bu teoremin Pisagor'dan önce bilinmediğine, dolayısıyla Pisagor teoremi adı verildiğine inanılıyordu.

Ancak bu teoremin Pisagor'dan yıllar önce bilindiğine şüphe yoktur. Yani, Pisagor'dan 1500 yıl önce eski Mısırlılar, kenarları 3, 4 ve 5 olan bir üçgenin dik açılı olduğunu biliyorlardı ve planlama yaparken dik açıları oluşturmak için bu özelliği (yani Pisagor teoreminin tersi teoremi) kullandılar. arsalar ve bina yapıları. Bugün bile kırsal kesimdeki inşaatçılar ve marangozlar bir kulübenin temelini atarken ve parçalarını yaparken dik açı elde etmek için bu üçgeni çizerler. Aynı şey binlerce yıl önce Mısır'da, Babil'de, Çin'de ve muhtemelen Meksika'da muhteşem tapınakların inşasında da yapıldı. Pisagor'dan yaklaşık 600 yıl önce yazılmış, bize ulaşan en eski Çin matematik ve astronomi eseri Zhou Bi, dik üçgenle ilgili diğer önerilerin yanı sıra Pisagor teoremini de içerir. Bu teorem daha önce Hindular tarafından biliniyordu. Dolayısıyla Pisagor dik üçgenin bu özelliğini keşfetmedi; muhtemelen bunu genelleyen ve kanıtlayan ilk kişi oydu ve böylece onu uygulama alanından bilim alanına aktardı. Bunu nasıl yaptığını bilmiyoruz. Bazı matematik tarihçileri, Pisagor'un kanıtının temel olmadığını, yalnızca bir doğrulama olduğunu, bu özelliğin, Şekil 2'den açıkça anlaşıldığı ikizkenar dik üçgenle başlayan bir dizi belirli üçgen türü üzerinde bir test olduğunu varsayarlar. 1.

İLE Antik çağlardan beri matematikçiler Pisagor teoreminin giderek daha fazla yeni kanıtını ve onun kanıtı için giderek daha fazla yeni fikir buldular. Bu tür yüz elliden fazla kanıt - az ya da çok katı, az çok görsel - biliniyor, ancak sayılarını artırma arzusu devam ediyor. Pisagor teoreminin kanıtlarının bağımsız olarak "keşfedilmesinin" modern okul çocukları için faydalı olacağını düşünüyorum.

Bu tür aramaların yönünü önerebilecek bazı kanıt örneklerine bakalım.

Pisagor kanıtı

"Bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine kurulan kare, dik kenarları üzerine kurulan karelerin toplamına eşittir." Teoremin en basit kanıtı ikizkenar dik üçgenin en basit durumunda elde edilir. Muhtemelen teoremin başladığı yer burasıdır. Aslında teoremin geçerliliğine ikna olmak için ikizkenar dik üçgenler mozaiğine bakmak yeterlidir. Örneğin, DABC için: hipotenüs üzerine kurulmuş bir kare AC, 4 orijinal üçgen ve iki ayak üzerine inşa edilmiş kareler içerir. Teorem kanıtlandı.

Şekillerin eşit büyüklükte olması kavramının kullanımına dayalı ispatlar.

Bu durumda, belirli bir dik üçgenin hipotenüsü üzerine inşa edilen bir karenin, yan taraflara inşa edilen karelerle aynı şekillerden "oluştuğunu" kanıtlayabiliriz. Ayrıca rakamların toplamlarının yeniden düzenlenmesini kullanan ve bir takım yeni fikirleri hesaba katan kanıtları da değerlendirebiliriz.

İncirde. 2 ikiyi gösterir eşit kare. Her karenin kenar uzunluğu a + b'dir. Karelerin her biri kareler ve dik üçgenlerden oluşan parçalara bölünmüştür. Bacakları a, b olan bir dik üçgenin alanını karenin alanından dört kat çıkarırsak, o zaman elimizde kalacağı açıktır. eşit alanlar, yani c 2 = a 2 + b 2 . Ancak bu düşüncenin ait olduğu eski Hindular genellikle bunu yazmadılar ve çizime tek bir kelimeyle eşlik ettiler: "bak!" Pisagor'un da aynı kanıtı sunması oldukça olasıdır.

İlave kanıtlar.

Bu kanıtlar, bacaklar üzerine inşa edilmiş karelerin, hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir karenin eklenebileceği rakamlara ayrıştırılmasına dayanmaktadır.

Burada: ABC, dik açısı C olan bir dik üçgendir; CMN; CKMN; PO||MN; EF||MN.

Bacaklar ve hipotenüs üzerine inşa edilen karelerin bölünmesiyle elde edilen üçgenlerin ikili eşitliğini bağımsız olarak kanıtlayın.

Bu bölümü kullanarak teoremi kanıtlayın.

 El-Neyriziyah'ın deliline dayanarak, karelerin çiftlere ayrıştırılması daha gerçekleştirildi. eşit rakamlar(Şekil 5, burada ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgendir).

 “Bıçaklı tekerlek” adı verilen kareleri eşit parçalara ayırma yönteminin bir başka kanıtı Şekil 2'de gösterilmektedir. 6. Burada: ABC, C dik açısına sahip bir dik üçgendir; O geniş bir kenar üzerine kurulu karenin merkezidir; O noktasından geçen noktalı çizgiler hipotenüse dik veya paraleldir.

 Karelerin bu ayrışımı ilginçtir çünkü çift yönlüdür. eşit dörtgenler birbirlerine haritalanabilir paralel aktarım. Pisagor teoreminin diğer birçok kanıtı, karelerin rakamlara ayrıştırılması kullanılarak sunulabilir.

Tamamlama yöntemiyle kanıt.

Bu yöntemin özü, bacaklar üzerine kurulan karelere ve hipotenüs üzerine kurulan kareye eşit rakamların eklenmesiyle eşit rakamlar elde edilmesidir.

Pisagor teoreminin geçerliliği, AEDFPB ve ACBNMQ altıgenlerinin eşit büyüklükte olmasından kaynaklanmaktadır. Burada CEP, EP doğrusu AEDFPB altıgenini iki eşit dörtgene böler, CM çizgisi ACBNMQ altıgenini iki eşit dörtgene böler; Düzlemin A merkezi etrafında 90° döndürülmesi, dörtgen AEPB'yi dörtgen ACMQ'ya eşler.

İncirde. 8 Pisagor figürü, kenarları, yanlarda oluşturulan karelerin karşılık gelen kenarlarına paralel olan bir dikdörtgen şeklinde tamamlanmıştır. Bu dikdörtgeni üçgenlere ve dikdörtgenlere bölelim. Ortaya çıkan dikdörtgenden ilk önce tüm 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 çokgenlerini çıkarıyoruz ve hipotenüs üzerinde kurulu bir kare bırakıyoruz. Daha sonra aynı dikdörtgenden 5, 6, 7 numaralı dikdörtgenleri ve gölgeli dikdörtgenleri çıkarıyoruz, bacaklar üzerine kurulmuş kareler elde ediyoruz.

Şimdi birinci durumda çıkarılan rakamların ikinci durumda çıkarılan rakamlara eşit büyüklükte olduğunu kanıtlayalım.

KLOA = ACPF = ACED = a 2;

LGBO = CBMP = CBNQ = b2;

AKGB = AKLO + LGBO = c2;

dolayısıyla c 2 = a 2 + b 2 .

OCLP = ACLF = ACED = b2;

CBML = CBNQ = a 2;

OBMP = ABMF = c2;

OBMP = OCLP + CBML;

c2 = a2 + b2 .

Cebirsel ispat yöntemi.

	Pirinç. Şekil 12, büyük Hintli matematikçi Bhaskari'nin (ünlü yazar Lilavati, X) kanıtını göstermektedir. II. yüzyıl). Çizime tek bir kelime eşlik ediyordu: BAKIN! Pisagor teoreminin kanıtları arasında cebirsel yöntemİlk sırada (belki de en eskisi) benzerlik kullanılarak yapılan ispat yer almaktadır.
	Hadi getirelim modern sunum Böyle bir kanıt Pisagor'a aittir.

N ve incir. 13 ABC – dikdörtgen, C – dik açı, CMAB, b 1 – b bacağının hipotenüse izdüşümü, a 1 – a bacağının hipotenüse izdüşümü, h – üçgenin hipotenüse çizilen yüksekliği.

ABC'nin ACM'ye benzer olması gerçeğinden şu sonuç çıkar:

b2 = cb1; (1)

ABC'nin BCM'ye benzer olması gerçeğinden şu sonuç çıkar:

a 2 = yaklaşık 1. (2)

(1) ve (2) eşitliklerini terim terim toplayarak a 2 + b 2 = cb 1 + ca 1 = c(b 1 + a 1) = c 2 elde ederiz.

Eğer Pisagor gerçekten böyle bir kanıt önerdiyse, o zaman aynı zamanda bir takım önemli geometrik teoremlere de aşinaydı. modern tarihçiler matematikçiler bunu genellikle Öklid'e bağlarlar.

Moehlmann'ın kanıtı (Şekil 14). Belirli bir dik üçgenin alanı, bir yandan diğerine eşittir; burada p, üçgenin yarı çevresidir, r, içine yazılan dairenin yarıçapıdır. Sahibiz:

buradan c 2 =a 2 +b 2 sonucu çıkar.

saniyede

Bu ifadeleri eşitleyerek Pisagor teoremini elde ederiz.

Kombine yöntem

Üçgenlerin eşitliği

c2 = a2 + b2 . (3)

(3) ve (4) ilişkilerini karşılaştırarak şunu elde ederiz:

c 1 2 = c 2 veya c 1 = c.

Böylece verilen ve oluşturulan üçgenler eşittir, çünkü içlerinde sırasıyla üç tane vardır. eşit taraflar. C 1 açısı diktir, dolayısıyla C açısı verilen üçgen ayrıca düz.

Eski Hint kanıtları.

Matematik Antik Hindistan Pisagor teoremini kanıtlamak için eski bir Çin çiziminin iç kısmını kullanmanın yeterli olduğunu fark etti. 19. yüzyılın en büyük Hintli matematikçisinin palmiye yaprakları üzerine yazdığı “Siddhanta Shiromani” (“Bilginin Tacı”) adlı eserinde. Bha-skaralar bir çizime yerleştirilmiştir (Şekil 4)

Hint kanıtlarının özelliği "bak!" kelimesidir. Gördüğünüz gibi dik üçgenler buraya hipotenüs dışarı bakacak şekilde ve bir kare şeklinde döşeniyor. İle 2 “gelin sandalyesine” aktarıldı İle 2 -B 2 . Pisagor teoreminin özel durumlarına (örneğin, alanı iki kat daha büyük bir kare oluşturmak) dikkat edin. Şekil 4 alan verilen kare) eski Hint eseri "Sulva"da bulunur

Bir dik üçgeni ve onun ayakları üzerine kurulmuş kareleri, yani 16 adet eş ikizkenar dik üçgenden oluşan ve dolayısıyla kareye sığan şekilleri çözdük. Lily de böyle. Antik matematiğin incisi olan Pisagor teoreminde saklı zenginliğin küçük bir kısmı.

Eski Çin kanıtları.

Antik Çin'in matematik incelemeleri 2. yüzyılın baskısında bize geldi. M.Ö. Gerçek şu ki, MÖ 213'te. Önceki gelenekleri ortadan kaldırmaya çalışan Çin İmparatoru Shi Huang Di, tüm eski kitapların yakılmasını emretti. P yüzyılda M.Ö. Çin'de kağıt icat edildi ve aynı zamanda eski kitapların yeniden inşası başladı.Günümüze kalan astronomi eserlerinden en önemlisi, Pisagor teoremini kanıtlayan bir çizim (Şekil 2, a) içeren “Matematik” kitabıdır. Bu kanıtın anahtarını bulmak zor değil. Aslında eski Çin çiziminde kenarları a, b ve hipotenüsleri olan dört eşit dik açılı üçgen vardır. İle yığılmış G) böylece dış hatları Şekil 2'de kenarları olan bir kare oluşturacak şekilde a+b, içteki ise hipotenüs üzerine kurulmuş, kenarı c olan bir karedir (Şekil 2, b). Kenarı c olan bir kare kesilip kalan 4 gölgeli üçgen iki dikdörtgenin içine yerleştirilirse (Şekil 2, V), o zaman ortaya çıkan boşluğun bir yandan şuna eşit olduğu açıktır: İLE 2 , ve diğer tarafta - İle 2 +b 2 , onlar. c 2=  2 +b 2 . Teorem kanıtlandı. Bu ispatla, eski Çin çiziminde gördüğümüz (Şekil 2, a) hipotenüs üzerindeki karenin içindeki yapıların kullanılmadığına dikkat edin. Görünüşe göre eski Çinli matematikçilerin farklı bir kanıtı vardı. Kesinlikle kenarı olan bir kare ise İle iki gölgeli üçgen (Şekil 2, B) hipotenüsleri kesin ve diğer iki hipotenüse ekleyin (Şekil 2, G), o zaman bunu keşfetmek kolaydır

Bazen "gelin sandalyesi" olarak da adlandırılan ortaya çıkan figür, kenarları olan iki kareden oluşur. A Ve B, onlar. C 2 == A 2 +b 2 .

N ve Şekil 3'te "Zhou-bi..." incelemesinden bir çizim gösterilmektedir. Burada Pisagor teoremi dikkate alınır Mısır üçgeni bacaklar 3, 4 ve hipotenüs 5 birim ölçü ile. Hipotenüs üzerindeki kare 25 hücre içerir ve büyük kenardaki karede 16 hücre bulunur. Geriye kalan kısmın 9 hücreden oluştuğu açıktır. Bu küçük taraftaki kare olacak.