Tanımından yola çıkılır. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).
Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir a x =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun bir sayının kuvvetleri konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.
Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.
İki logaritmayı alalım aynı gerekçelerle: x'i günlüğe kaydet Ve bir y'yi günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
bir günlüğe kaydet(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + a x k'yi günlüğe kaydet.
İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0, dolayısıyla
kayıt A 1 /B=günlük A 1 - günlük bir b= - günlük bir b.
Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:
log a 1 / b = - log a b.
Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:
Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Bu makalenin odak noktası logaritma. Burada logaritmanın tanımını vereceğiz, gösteriniz kabul edilen atama Logaritma örnekleri vereceğiz, doğal ve ondalık logaritmalardan bahsedeceğiz. Bundan sonra temel logaritmik özdeşliği ele alacağız.
Sayfada gezinme.
logaritmanın tanımı
Logaritma kavramı bir problemi çözerken ortaya çıkar. belli bir anlamda tersi, üssü bulmanız gerektiğinde bilinen değer derece ve bilinen esas.
Ancak bu kadar önsöz yeter, artık "logaritma nedir" sorusunu yanıtlamanın zamanı geldi mi? İlgili tanımı verelim.
Tanım.
b'nin a tabanına göre logaritması burada a>0, a≠1 ve b>0, sonuç olarak b'yi elde etmek için a sayısını yükseltmeniz gereken üstür.
Bu aşamada, söylenen "logaritma" kelimesinin hemen iki takip sorusunu gündeme getirmesi gerektiğine dikkat çekiyoruz: "hangi sayı" ve "hangi temelde?" Başka bir deyişle, logaritma yoktur, yalnızca bir sayının bir tabana göre logaritması vardır.
Hemen giriş yapalım logaritma gösterimi: Bir b sayısının a tabanına göre logaritması genellikle log a b olarak gösterilir. B sayısının e tabanına göre logaritmasının ve 10 tabanına göre logaritmasının sırasıyla kendi özel isimleri lnb ve logb vardır, yani log e b değil lnb yazarlar ve log 10 b değil lgb yazarlar.
Şimdi şunu verebiliriz: .
Ve kayıtlar 
mantıklı değil çünkü birincisinde logaritma işaretinin altında negatif bir sayı, ikincisinde tabanda negatif bir sayı, üçüncüsünde ise logaritma işaretinin altında negatif bir sayı ve bir birim var. baz.
Şimdi konuşalım logaritma okuma kuralları. Log a b gösterimi "b'nin a tabanına göre logaritması" olarak okunur. Örneğin, log 2 3, üçün 2 tabanına göre logaritmasıdır ve iki virgül üçte ikinin 2 tabanına göre logaritmasıdır. Kare kök beş üzerinden. e tabanına göre logaritmaya denir doğal logaritma ve lnb gösterimi "b'nin doğal logaritması" olarak okunur. Örneğin ln7, yedinin doğal logaritması ve bunu pi'nin doğal logaritması olarak okuyacağız. 10 tabanındaki logaritmanın özel bir adı da vardır: ondalık logaritma ve lgb "b'nin ondalık logaritması" olarak okunur. Örneğin, lg1 birin ondalık logaritmasıdır ve lg2,75 iki virgül yedi beş yüzde birinin ondalık logaritmasıdır.
Logaritmanın tanımının verildiği a>0, a≠1 ve b>0 koşulları üzerinde ayrıca durmakta yarar var. Bu kısıtlamaların nereden geldiğini açıklayalım. Yukarıda verilen logaritmanın tanımından doğrudan çıkan, adı verilen formun eşitliği bunu yapmamıza yardımcı olacaktır.
a≠1 ile başlayalım. Bir üzeri herhangi bir kuvvet bire eşit olduğundan eşitlik yalnızca b=1 olduğunda doğru olabilir, ancak log 1 1 herhangi bir kuvvet olabilir gerçek Numara. Bu belirsizliği önlemek için a≠1 varsayılmaktadır.
a>0 koşulunun uygunluğunu gerekçelendirelim. Logaritmanın tanımı gereği a=0 olduğunda eşitliği elde ederiz ve bu da ancak b=0 ile mümkündür. Ancak log 0 0 sıfırdan farklı herhangi bir gerçek sayı olabilir, çünkü sıfırın sıfırdan farklı herhangi bir kuvveti sıfırdır. a≠0 koşulu bu belirsizlikten kaçınmamızı sağlar. Ve ne zaman bir<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и ирrasyonel gösterge yalnızca negatif olmayan bazlar için tanımlanır. Bu nedenle a>0 koşulu kabul edilir.
Son olarak, b>0 koşulu a>0 eşitsizliğinden kaynaklanır, çünkü a pozitif tabanlı bir kuvvetin değeri her zaman pozitiftir.
Bu noktayı sonuçlandırmak için diyelim ki, logaritmanın belirtilen tanımı, logaritma işaretinin altındaki sayının tabanın belirli bir kuvveti olduğunda logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanıyor. Aslında bir logaritmanın tanımı, eğer b=a p ise, b sayısının a tabanına göre logaritmasının p'ye eşit olduğunu belirtmemize olanak tanır. Yani loga a p =p eşitliği doğrudur. Örneğin, 2 3 =8 olduğunu, ardından log 2 8=3 olduğunu biliyoruz. Makalede bunun hakkında daha fazla konuşacağız.
Bildiğiniz gibi ifadeleri kuvvetlerle çarparken üsleri daima toplanır (a b *a c = a b+c). Bu matematik kanunu Arşimed tarafından türetildi ve daha sonra 8. yüzyılda matematikçi Virasen tamsayı üslerinden oluşan bir tablo oluşturdu. Hizmet eden onlar oldu daha fazla açılış logaritmalar. Bu işlevin kullanımına ilişkin örnekler, zahmetli çarpma işlemlerini basit toplama yoluyla basitleştirmeniz gereken hemen hemen her yerde bulunabilir. Bu makaleyi okumaya 10 dakikanızı ayırırsanız size logaritmanın ne olduğunu ve onlarla nasıl çalışılacağını açıklayacağız. Basit ve erişilebilir bir dille.
Matematikte tanım
Logaritma aşağıdaki formun bir ifadesidir: log a b=c, yani herhangi bir sayının logaritması negatif olmayan sayı(yani herhangi bir pozitif) “b”, “a” tabanına göre “c”nin kuvveti olarak kabul edilir ve sonuçta “b” değerini elde etmek için “a” tabanının yükseltilmesi gerekir. Logaritmayı örneklerle inceleyelim, diyelim ki log 2 8 ifadesi var. Cevap nasıl bulunur? Çok basit, öyle bir güç bulmanız gerekiyor ki 2'den gerekli güce 8 ulaşacaksınız. Kafanızda bazı hesaplamalar yaptıktan sonra 3 sayısını elde ediyoruz! Ve bu doğru çünkü 2 üssü 3 cevabı 8 olarak veriyor.
Logaritma türleri
Birçok öğrenci ve öğrenci için bu konu karmaşık ve anlaşılmaz görünüyor, ancak aslında logaritmalar o kadar da korkutucu değil, asıl önemli olan genel anlamlarını anlamak ve özelliklerini ve bazı kurallarını hatırlamaktır. Üç vardır bireysel türler logaritmik ifadeler:
- Doğal logaritma ln a, burada taban Euler sayısıdır (e = 2,7).
- Tabanı 10 olan ondalık a.
- Herhangi bir b sayısının a>1 tabanına göre logaritması.
Her birine karar verildi standart bir şekilde Logaritmik teoremleri kullanarak basitleştirmeyi, indirgemeyi ve ardından bir logaritmaya indirgemeyi içerir. Logaritmaların doğru değerlerini elde etmek için, bunları çözerken özelliklerini ve eylem sırasını hatırlamanız gerekir.
Kurallar ve bazı kısıtlamalar
Matematikte aksiyom olarak kabul edilen, yani tartışmaya konu olmayan ve gerçek olan birçok kural-kısıtlama vardır. Örneğin sayıları sıfıra bölmek mümkün olmadığı gibi, sayıların çift kökünü çıkarmak da imkansızdır. negatif sayılar. Logaritmaların da kendi kuralları vardır; bunları takip ederek uzun ve kapsamlı logaritmik ifadelerle bile çalışmayı kolayca öğrenebilirsiniz:
- "a" tabanı her zaman sıfırdan büyük olmalı ve 1'e eşit olmamalıdır, aksi takdirde ifade anlamını kaybeder, çünkü "1" ve "0" herhangi bir dereceye kadar her zaman değerlerine eşittir;
- a > 0 ise a b >0 ise "c"nin de sıfırdan büyük olması gerektiği ortaya çıkar.
Logaritmalar nasıl çözülür?
Örneğin 10 x = 100 denkleminin cevabını bulma görevi veriliyor. Bu çok kolay, on sayısını artırarak 100'e ulaşacağımız bir kuvvet seçmeniz gerekiyor. Bu elbette 10 2 = 100.
Şimdi bu ifadeyi logaritmik formda gösterelim. Log 10 100 = 2 elde ederiz. Logaritmaları çözerken, tüm eylemler pratik olarak birleşir ve elde etmek için logaritmanın tabanını tanıtmanın gerekli olduğu gücü bulur. verilen numara.
Değeri doğru bir şekilde belirlemek için bilinmeyen derece derece tablosuyla nasıl çalışılacağını öğrenmeniz gerekir. Şuna benziyor:
Gördüğünüz gibi, eğer teknik bir aklınız ve çarpım tablosu bilginiz varsa, bazı üsler sezgisel olarak tahmin edilebilir. Ancak için büyük değerler bir derece tablosuna ihtiyacınız olacak. Karmaşık konular hakkında hiçbir şey bilmeyenler tarafından bile kullanılabilir. matematik konuları. Sol sütun sayıları içerir (a tabanı), sayıların üst satırı a sayısının yükseltildiği c kuvvetinin değeridir. Kesişme noktasında hücreler cevap olan sayı değerlerini içerir (a c =b). Mesela 10 rakamının olduğu ilk hücreyi alıp karesini alalım, iki hücremizin kesişiminde gösterilen 100 değerini elde ederiz. Her şey o kadar basit ve kolaydır ki en gerçek hümanist bile anlayacaktır!
Denklemler ve eşitsizlikler
Belirli koşullar altında üssün logaritma olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle herhangi bir matematiksel sayısal ifadeler logaritmik denklem olarak yazılabilir. Örneğin 3 4 =81, 81'in 3 tabanlı logaritması dörde eşit (log 3 81 = 4) olarak yazılabilir. İçin negatif güçler kurallar aynı: 2 -5 = 1/32 logaritma olarak yazıyoruz, log 2 (1/32) = -5 elde ediyoruz. Matematiğin en büyüleyici bölümlerinden biri “logaritmalar” konusudur. Özelliklerini inceledikten hemen sonra aşağıdaki denklem örneklerine ve çözümlerine bakacağız. Şimdi eşitsizliklerin neye benzediğine ve onları denklemlerden nasıl ayıracağımıza bakalım.
Aşağıdaki biçimde bir ifade verildiğinde: log 2 (x-1) > 3 - bu logaritmik eşitsizlikÇünkü bilinmeyen değer "x" logaritmanın işareti altındadır. Ayrıca ifadede iki nicelik karşılaştırılır: İstenilen sayının iki tabanına göre logaritması üç sayısından büyüktür.
Logaritmik denklemler ve eşitsizlikler arasındaki en önemli fark, logaritmalı denklemlerin (örneğin logaritma 2 x = √9) bir veya daha fazla spesifik cevabı ima etmesidir. Sayısal değerler eşitsizlikleri çözerken bölge olarak tanımlanırken kabul edilebilir değerler ve bu fonksiyonun kesme noktaları. Sonuç olarak cevap, bir denklemin cevabında olduğu gibi basit bir bireysel sayılar kümesi değil, daha ziyade sürekli dizi veya bir dizi sayı.
Logaritmalarla ilgili temel teoremler
Logaritmanın değerlerini bulma gibi ilkel görevleri çözerken özellikleri bilinmeyebilir. Ancak konu logaritmik denklemler veya eşitsizlikler olduğunda öncelikle logaritmanın tüm temel özelliklerini net bir şekilde anlamak ve pratikte uygulamak gerekir. Daha sonra denklem örneklerine bakacağız; önce her özelliğe daha ayrıntılı olarak bakalım.
- Ana kimlik şuna benzer: a logaB =B. Bu yalnızca a'nın 0'dan büyük olması, bire eşit olmaması ve B'nin sıfırdan büyük olması durumunda geçerlidir.
- Ürünün logaritması şu şekilde temsil edilebilir: aşağıdaki formül: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. Bu durumda önkoşulşu şekildedir: d, s 1 ve s 2 > 0; a≠1. Bu logaritmik formülün ispatını örneklerle ve çözümle yapabilirsiniz. Log a s 1 = f 1 ve log a s 2 = f 2 olsun, sonra a f1 = s 1, a f2 = s 2 olsun. s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 sonucunu elde ederiz (özellikleri derece ) ve ardından tanım gereği: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
- Bölümün logaritması şuna benzer: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Formül formundaki teorem şu şekilde ele alınır: sonraki görünüm: log a q b n = n/q log a b.
Bu formüle “logaritma derecesinin özelliği” denir. Sıradan derecelerin özelliklerine benzer ve bu şaşırtıcı değildir çünkü tüm matematik doğal önermelere dayanmaktadır. Kanıta bakalım.
Log a b = t olsun, a t =b olur. Her iki parçayı da m kuvvetine çıkarırsak: a tn = b n ;
ancak a tn = (a q) nt/q = b n olduğundan, log a q b n = (n*t)/t olduğundan, log a q b n = n/q log a b olur. Teorem kanıtlandı.
Sorun ve eşitsizlik örnekleri
Logaritmalarla ilgili en yaygın problem türleri denklem ve eşitsizlik örnekleridir. Neredeyse tüm problem kitaplarında bulunurlar ve ayrıca zorunlu kısım matematik sınavları. Üniversiteye kabul veya geçme için giriş sınavları matematikte bu tür problemlerin nasıl doğru şekilde çözüleceğini bilmeniz gerekir.
Sorunu çözmeye ve belirlemeye yönelik tek bir plan veya şema maalesef mevcut değil. bilinmeyen değer Logaritma diye bir şey yoktur ama onu her matematiksel eşitsizliğe veya logaritmik denkleme uygulayabilirsiniz. belirli kurallar. Her şeyden önce, ifadenin basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini veya sonuçlanabileceğini öğrenmelisiniz. Genel görünüm. Uzun olanları basitleştirin logaritmik ifadelerözelliklerini doğru kullanırsanız mümkündür. Onları hızlıca tanıyalım.
Karar verirken logaritmik denklemler, ne tür bir logaritmaya sahip olduğumuzu belirlememiz gerekir: örnek bir ifade, doğal bir logaritma veya ondalık bir logaritma içerebilir.
İşte ln100, ln1026 örnekleri. Çözümleri, 10 tabanının sırasıyla 100 ve 1026'ya eşit olacağı gücü belirlemeleri gerektiği gerçeğine dayanıyor. Çözümler için doğal logaritmalar başvurulması gerekiyor logaritmik özdeşlikler veya bunların özellikleri. Çözüme örneklerle bakalım logaritmik problemler farklı şekiller.
Logaritma formülleri nasıl kullanılır: örnekler ve çözümlerle
Logaritmalarla ilgili temel teoremlerin kullanımına ilişkin örneklere bakalım.
- Bir ürünün logaritmasının özelliği, genişletilmesi gereken görevlerde kullanılabilir. büyük önem b sayılarını daha basit çarpanlara ayırın. Örneğin, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Cevap 9'dur.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - görebileceğiniz gibi, logaritmanın kuvvetinin dördüncü özelliğini kullanarak, görünüşte karmaşık ve çözülemez bir ifadeyi çözmeyi başardık. Tabanı çarpanlara ayırmanız ve ardından üslü değerleri logaritmanın işaretinden çıkarmanız yeterlidir.
Birleşik Devlet Sınavından Ödevler
Logaritmalar sıklıkla bulunur Giriş sınavları, özellikle Birleşik Devlet Sınavında birçok logaritmik problem ( Devlet sınavı tüm okuldan ayrılanlar için). Genellikle bu görevler yalnızca A kısmında (sınavın en kolay test kısmı) değil, aynı zamanda C kısmında da (en karmaşık ve hacimli görevler) mevcuttur. Sınav, “Doğal logaritmalar” konusunda doğru ve mükemmel bilgi gerektirir.
Sorunlara ilişkin örnekler ve çözümler resmi kaynaklardan alınmıştır. Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri. Bu tür görevlerin nasıl çözüldüğünü görelim.
Log 2 (2x-1) = 4 verildiğinde. Çözüm:
ifadeyi biraz basitleştirerek yeniden yazalım log 2 (2x-1) = 2 2, logaritmanın tanımından 2x-1 = 2 4, dolayısıyla 2x = 17 elde ederiz; x = 8,5.
- Çözümün hantal ve kafa karıştırıcı olmaması için tüm logaritmaların aynı tabana indirilmesi en iyisidir.
- Logaritmanın işaretinin altındaki tüm ifadeler pozitif olarak gösterilir, bu nedenle logaritmanın işaretinin altında olan bir ifadenin tabanı çarpan olarak üssü çıkarıldığında logaritmanın altında kalan ifadenin pozitif olması gerekir.
1.1. Tamsayılı bir üssün üssünü belirleme
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N kere
1.2. Sıfır derece.
Tanım gereği genel olarak kabul edilir ki sıfır derece herhangi bir sayı 1'e eşittir:1.3. Negatif derece.
X -N = 1/X N1.4. Kesirli kuvvet, kök.
X 1/N = X'in N kökü.Örneğin: X 1/2 = √X.
1.5. Güç ekleme formülü.
X (N+M) = X N *X M1.6.Kuvvetleri çıkarma formülü.
X (N-M) = X N /X M1.7. Kuvvetleri çarpma formülü.
X N*M = (X N) M1.8. Bir kesri bir kuvvete yükseltmek için formül.
(X/Y) N = X N /Y N2. Sayı e.
e sayısının değeri aşağıdaki limite eşittir:E = lim(1+1/N), çünkü N → ∞.
17 haneli doğrulukla e sayısı 2,71828182845904512'dir.
3. Euler eşitliği.
Bu eşitlik matematikte özel bir rol oynayan beş sayıyı birbirine bağlar: 0, 1, e, pi, sanal birim.E (i*pi) + 1 = 0
4. Üstel fonksiyon exp(x)
tecrübe(x) = e x5. Üstel fonksiyonun türevi
Üstel fonksiyon vardır dikkat çekici özellik: Bir fonksiyonun türevi üstel fonksiyonun kendisine eşittir:(ifade(x))" = tecrübe(x)
6. Logaritma.
6.1. Logaritma fonksiyonunun tanımı
Eğer x = b y ise logaritma fonksiyondurY = Günlük b(x).
Logaritma, belirli bir sayıyı (X) elde etmek için bir sayının (logaritmanın tabanı (b)) hangi güce yükseltilmesi gerektiğini gösterir. Logaritma fonksiyonu sıfırdan büyük X için tanımlanır.
Örneğin: Log 10 (100) = 2.
6.2. Ondalık logaritma
Bu 10 tabanının logaritmasıdır:Y = Log 10(x) .
Log(x) ile gösterilir: Log(x) = Log 10 (x).
Kullanım örneği ondalık logaritma- desibel.
6.3. Desibel
Öğe ayrı bir sayfada vurgulanmıştır Desibel6.4. İkili logaritma
Bu 2 tabanının logaritması:Y = Günlük 2 (x).
Lg(x) ile gösterilir: Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Doğal logaritma
Bu, e tabanının logaritmasıdır:Y = Log e(x) .
Ln(x) ile gösterilir: Ln(x) = Log e (X)
Doğal logaritma - ters fonksiyonüstel işlevler deneyimi(X).
6.6. Karakteristik noktalar
Loga(1) = 0Log a (a) = 1
6.7. Ürün logaritması formülü
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Bölümün logaritması formülü
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Güç formülünün logaritması
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Farklı bir tabana sahip logaritmaya dönüştürme formülü
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Örnek:
Günlük 2 (8) = Günlük 10 (8)/Günlük 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Hayatta faydalı formüller
Genellikle hacmi alana veya uzunluğa dönüştürmede sorunlar yaşanır ve ters problem-- Alanın hacme dönüştürülmesi. Örneğin levhalar küp (metreküp) halinde satılıyor ve içinde bulunan levhalarla ne kadar duvar alanının kaplanabileceğini hesaplamamız gerekiyor. belli bir hacim, tahtaların hesaplanmasına bakın, bir küpte kaç tane tahta var. Veya duvarın boyutları biliniyorsa tuğla sayısını hesaplamanız gerekir, bkz. tuğla hesaplaması.
Kaynağa aktif bir bağlantı kurulması koşuluyla site malzemelerinin kullanılmasına izin verilir.
İle ilgili olarak
Verilen diğer iki sayıdan üç sayıdan herhangi birini bulma görevi ayarlanabilir. Eğer a ve ardından N verilirse, üstel alma yoluyla bulunurlar. Eğer N ve sonra a, x derecesinin kökü alınarak (veya üssüne yükseltilerek) verilir. Şimdi a ve N verildiğinde x'i bulmamız gereken durumu düşünün.
N sayısı pozitif olsun: a sayısı pozitif olsun ve bire eşit olmasın: .
Tanım. N sayısının a tabanına göre logaritması, N sayısını elde etmek için a'nın yükseltilmesi gereken üssüdür; logaritma şu şekilde gösterilir:
Böylece, (26.1) eşitliğinde üs, N'nin a tabanına göre logaritması olarak bulunur. Gönderiler
sahip olmak Aynı anlam. Eşitlik (26.1) bazen logaritma teorisinin ana özdeşliği olarak adlandırılır; gerçekte logaritma kavramının tanımını ifade eder. İle bu tanım Logaritmanın tabanı a her zaman pozitiftir ve birlikten farklıdır; logaritmik sayı N pozitiftir. Negatif sayıların ve sıfırın logaritması yoktur. Belirli bir tabana sahip herhangi bir sayının iyi tanımlanmış bir logaritmaya sahip olduğu kanıtlanabilir. Bu nedenle eşitlik gerektirir. Buradaki temel koşulun şu olduğuna dikkat edin: aksi takdirde Eşitlik x ve y'nin herhangi bir değeri için geçerli olduğundan sonuç doğrulanmayacaktır.
Örnek 1. Bul
Çözüm. Bir sayı elde etmek için 2 tabanının üssünü yükseltmeniz gerekir.
Aşağıdaki formda bu tür örnekleri çözerken notlar alabilirsiniz:
Örnek 2. Bulun.
Çözüm. Sahibiz
Örnek 1 ve 2'de logaritma sayısını tabanın rasyonel üslü kuvveti olarak temsil ederek istenilen logaritmayı kolayca bulduk. İÇİNDE Genel davaörneğin, vb. için logaritma olduğundan bu yapılamaz. mantıksız anlam. Bu açıklamayla ilgili bir konuya dikkat çekelim. 12. paragrafta belirli bir şeyin herhangi bir gerçek derecesini belirleme olasılığı kavramını verdik. pozitif sayı. Bu, genel anlamda irrasyonel sayılar olabilen logaritmanın tanıtılması için gerekliydi.
Logaritmanın bazı özelliklerine bakalım.
Özellik 1. Sayı ve taban eşitse logaritma bire eşit ve tersine, logaritma bire eşitse sayı ve taban eşittir.
Kanıt. Logaritmanın tanımına göre elimizde ve nereden
Tersine, tanım gereği Then'e izin verin
Özellik 2. Birin herhangi bir tabana göre logaritması sıfıra eşittir.
Kanıt. Logaritmanın tanımı gereği (herhangi bir pozitif tabanın sıfır kuvveti bire eşittir, bkz. (10.1)). Buradan
Q.E.D.
Tersi ifade de doğrudur: eğer ise N = 1'dir. Aslında elimizde .
Logaritmanın bir sonraki özelliğini formüle etmeden önce, a ve b sayılarının her ikisi de c'den büyük veya c'den küçükse, üçüncü c sayısının aynı tarafında yer aldığını söyleyelim. Bu sayılardan biri c'den büyük, diğeri c'den küçükse bu sayıların birlikte uzandığını söyleyeceğiz. farklı taraflar köyden
Özellik 3. Eğer sayı ve taban birin aynı tarafında yer alıyorsa logaritma pozitiftir; Sayı ve taban birin zıt taraflarında yer alıyorsa logaritma negatiftir.
Özellik 3'ün kanıtı, taban birden büyükse ve üs pozitifse veya taban birden küçükse ve üssün negatif olması durumunda a'nın kuvvetinin birden büyük olması gerçeğine dayanmaktadır. Taban birden büyükse ve üs negatifse veya taban birden küçükse ve üs pozitifse kuvvet birden küçüktür.
Göz önünde bulundurulması gereken dört durum vardır:
Biz kendimizi bunlardan ilkini analiz etmekle sınırlayacağız; gerisini okuyucu kendisi değerlendirecektir.
O halde eşitlikte üs ne negatif ne de olabilir sıfıra eşit dolayısıyla pozitiftir, yani kanıtlanması gerektiği gibidir.
Örnek 3. Aşağıdaki logaritmalardan hangilerinin pozitif, hangilerinin negatif olduğunu bulun:
Çözüm: a) 15 sayısı ve 12 tabanı birin aynı tarafında bulunduğuna göre;
b) 1000 ve 2 ünitenin bir tarafında bulunduğundan; bu durumda tabanın logaritmik sayıdan büyük olması önemli değildir;
c) 3.1 ve 0.8 birliğin zıt taraflarında yer aldığından;
G) ; Neden?
D) ; Neden?
Aşağıdaki 4-6 özelliklerine genellikle logaritma kuralları denir: bazı sayıların logaritmasını bilerek, çarpımlarının logaritmasını, bölümünü ve her birinin derecesini bulmayı sağlarlar.
Özellik 4 (çarpım logaritması kuralı). Birkaç pozitif sayının çarpımının logaritması bu temel toplamına eşit bu sayıların aynı tabana göre logaritmaları.
Kanıt. Verilen sayılar pozitif olsun.
Çarpımlarının logaritması için logaritmayı tanımlayan eşitliği (26.1) yazıyoruz:
Buradan bulacağız
Birinci ve üslü sayıların karşılaştırılması son ifadeler gerekli eşitliği elde ederiz:
Durumun gerekli olduğunu unutmayın; iki negatif sayının çarpımının logaritması mantıklıdır, ancak bu durumda şunu elde ederiz:
Genel olarak, birkaç faktörün çarpımı pozitifse, logaritması bu faktörlerin mutlak değerlerinin logaritmasının toplamına eşittir.
Özellik 5 (bölümlerin logaritmasını alma kuralı). Pozitif sayıların bir bölümünün logaritması, aynı tabana göre bölünen ile bölenin logaritmaları arasındaki farka eşittir. Kanıt. Sürekli olarak buluyoruz
Q.E.D.
Özellik 6 (kuvvet logaritması kuralı). Bazı pozitif sayıların kuvvetinin logaritması logaritmaya eşit bu sayı üsle çarpılır.
Kanıt. Sayının asıl kimliğini (26.1) tekrar yazalım:
Q.E.D.
Sonuçlar. Pozitif bir sayının kökünün logaritması, radikalin logaritmasının kökün üssüne bölünmesine eşittir:
Bu sonucun geçerliliği, özellik 6'nın nasıl ve kullanıldığı hayal edilerek kanıtlanabilir.
Örnek 4. a tabanına göre logaritmayı alın:
a) (tüm b, c, d, e değerlerinin pozitif olduğu varsayılır);
b) (öyle olduğu varsayılır).
Çözüm, a) Gitmek uygundur bu ifade kesirli kuvvetlere:
(26.5)-(26.7) eşitliklerine dayanarak şimdi şunu yazabiliriz:
Sayıların logaritmaları üzerinde sayıların kendisinden daha basit işlemlerin gerçekleştirildiğini fark ettik: sayıları çarparken logaritmalar toplanır, bölünürken çıkarılır vb.
Logaritmaların hesaplama uygulamalarında kullanılmasının nedeni budur (bkz. paragraf 29).
Logaritmanın ters işlemine potansiyelleştirme denir, yani: potansiyelleştirme, bir sayının belirli bir logaritmasından sayının kendisinin bulunması işlemidir. Temel olarak, potansiyelleştirme herhangi bir özel eylem değildir: bir tabanın güce yükseltilmesiyle ilgilidir ( logaritmaya eşit sayılar). "Güçlendirme" terimi, "üstelleştirme" terimiyle eşanlamlı olarak kabul edilebilir.
Potansiyelleştirme sırasında, logaritma kurallarının tersi olan kuralları kullanmalısınız: logaritmaların toplamını çarpımın logaritmasıyla, logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştirin, vb. Özellikle, önünde bir faktör varsa Logaritmanın işareti, daha sonra kuvvetlendirme sırasında logaritmanın işareti altındaki üs derecelerine aktarılmalıdır.
Örnek 5. Eğer biliniyorsa N'yi bulun
Çözüm. Az önce belirttiğimiz potansiyel alma kuralına bağlı olarak, bu eşitliğin sağ tarafında logaritma işaretlerinin önünde duran 2/3 ve 1/3 çarpanlarını bu logaritmaların işaretleri altındaki üslere aktaracağız; aldık
Şimdi logaritma farkını bölümün logaritmasıyla değiştiriyoruz:
Bu eşitlik zincirindeki son kesri elde etmek için önceki kesri paydadaki irrasyonellikten kurtardık (madde 25).
Özellik 7. Taban birden büyükse, o zaman daha büyük sayı daha büyük bir logaritmaya sahiptir (ve daha küçük bir sayı daha küçüktür), eğer taban birden küçükse, daha büyük bir sayının daha küçük bir logaritması vardır (ve daha küçük bir sayının daha büyük bir logaritması vardır).
Bu özellik aynı zamanda her iki tarafı da pozitif olan eşitsizliklerin logaritmasını almak için bir kural olarak formüle edilmiştir:
Eşitsizliklerin logaritması tabana alınırken, birden büyük eşitsizliğin işareti korunur ve logaritma birden küçük bir tabana alındığında eşitsizliğin işareti ters yönde değişir (ayrıca bkz. paragraf 80).
İspat 5 ve 3 numaralı özelliklere dayanmaktadır. If'in logaritmasını alarak elde ettiğimiz durumu düşünün.
(a ve N/M birliğin aynı tarafındadır). Buradan
Aşağıdaki durumda okuyucu bunu kendi başına çözecektir.