Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafik, tanım kümesi, değerler kümesi, temel formüller, türev, integral, açılımı güç serisi ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak temsili.
Tanım
Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, tersi üstel, x = e y ve logaritma e sayısına göre: ln x = log e x.
Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.
dayalı tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = fonksiyonunun grafiği x olarak.
Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak)'den elde edilir üstel grafikler ayna görüntüsü y = x düz çizgisine göre.
Doğal logaritma şu şekilde tanımlanır: pozitif değerler değişken x.
Tanım alanında monoton bir şekilde artar. 0 x'te →
doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞). X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Herhangi güç fonksiyonu x a s olumlu gösterge
a derecesi logaritmadan daha hızlı büyür.
Doğal logaritmanın özellikleri
Tanım alanı, değerler kümesi, ekstremum, artış, azalma
Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.
lnx değerleri
1 = 0
Doğal logaritmalar için temel formüller
Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:
Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları
Baz değiştirme formülü Herhangi bir logaritma şu şekilde ifade edilebilir: doğal logaritmalar
baz değiştirme formülünü kullanarak: Bu formüllerin kanıtları bölümde sunulmuştur..
"Logaritma"
Ters fonksiyon Doğal logaritmanın tersi.
üs
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse.
Türev ln x
.
Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
Formüllerin türetilmesi > > >
İntegral İntegral hesaplanır :
.
parçalara göre entegrasyon
Bu yüzden,
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
.
Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün: Karmaşık değişkeni ifade edelim modül aracılığıyla R ve argüman φ
:
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.
Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.
Kuvvet serisi genişletmesi
Genişleme gerçekleştiğinde:
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Logaritmaları incelemeye devam ediyoruz. Bu yazıda bunun hakkında konuşacağız logaritmaların hesaplanması, bu işleme denir logaritma. Öncelikle logaritmanın hesaplanmasını tanım gereği anlayacağız. Daha sonra logaritma değerlerinin özellikleri kullanılarak nasıl bulunduğuna bakalım. Bundan sonra başlangıçta logaritmaları hesaplamaya odaklanacağız. değerleri belirle diğer logaritmalar. Son olarak logaritma tablolarının nasıl kullanılacağını öğrenelim. Teorinin tamamı ayrıntılı çözümlere sahip örneklerle sağlanmaktadır.
Sayfada gezinme.
Tanıma göre logaritmaları hesaplama
En basit durumlarda oldukça hızlı ve kolay bir şekilde gerçekleştirmek mümkündür tanım gereği logaritmayı bulma. Bu sürecin nasıl gerçekleştiğine daha yakından bakalım.
Bunun özü, b sayısını a c biçiminde temsil etmektir; buradan logaritmanın tanımına göre c sayısı logaritmanın değeridir. Yani, tanım gereği aşağıdaki eşitlik zinciri logaritmanın bulunmasına karşılık gelir: log a b=log a a c =c.
Dolayısıyla, tanım gereği bir logaritmanın hesaplanması, a c = b olacak şekilde bir c sayısının bulunmasına gelir ve c sayısının kendisi logaritmanın istenen değeridir.
Önceki paragraflardaki bilgileri dikkate alarak, logaritma işaretinin altındaki sayı, logaritma tabanının belirli bir kuvveti ile verildiğinde, logaritmanın neye eşit olduğunu hemen belirtebilirsiniz - bu göstergeye eşit derece. Çözümleri örneklerle gösterelim.
Örnek.
Log 2 2 −3'ü bulun ve e 5,3 sayısının doğal logaritmasını da hesaplayın.
Çözüm.
Logaritmanın tanımı hemen log 2 2 −3 =−3 olduğunu söylememizi sağlar. Aslında logaritma işaretinin altındaki sayı 2 tabanının -3 üssüne eşittir.
Benzer şekilde ikinci logaritmayı da buluyoruz: lne 5,3 =5,3.
Cevap:
log 2 2 −3 =−3 ve lne 5,3 =5,3.
Logaritma işaretinin altındaki b sayısı, logaritmanın tabanının kuvveti olarak belirtilmemişse, b sayısının a c biçiminde bir temsilini bulmanın mümkün olup olmadığını dikkatlice incelemeniz gerekir. Çoğu zaman bu gösterim oldukça açıktır, özellikle logaritma işaretinin altındaki sayı 1, 2 veya 3'ün üssüne eşit olduğunda...
Örnek.
Logaritma log 5 25 ve'yi hesaplayın.
Çözüm.
25=5 2 olduğunu görmek kolaydır, bu ilk logaritmayı hesaplamanıza olanak tanır: log 5 25=log 5 5 2 =2.
İkinci logaritmayı hesaplamaya geçelim. Sayı 7'nin kuvvetleri olarak temsil edilebilir: 
(gerekirse bakın). Buradan, 
.
Üçüncü logaritmayı yeniden yazalım. aşağıdaki form. Artık bunu görebilirsin 
bundan şu sonuca varıyoruz 
. Bu nedenle logaritmanın tanımı gereği 
.
Kısaca çözüm şu şekilde yazılabilir: .
Cevap:
günlük 5 25=2 , 
Ve .
Logaritmanın işareti altında yeterince büyük bir değer varken doğal sayı o zaman onu parçalara ayırmanın zararı olmaz asal faktörler. Çoğu zaman böyle bir sayıyı logaritmanın tabanının bir kuvveti olarak temsil etmeye ve dolayısıyla bu logaritmayı tanım gereği hesaplamaya yardımcı olur.
Örnek.
Logaritmanın değerini bulun.
Çözüm.
Logaritmanın bazı özellikleri, logaritmanın değerini hemen belirtmenize olanak tanır. Bu özellikler, bir birimin logaritmasının özelliğini ve bir sayının logaritmasının özelliğini içerir. tabana eşit: log 1 1=log a 0 =0 ve log a=log a 1 =1 . Yani, logaritma işaretinin altında 1 sayısı veya logaritmanın tabanına eşit bir sayı olduğunda, bu durumlarda logaritmalar sırasıyla 0 ve 1'e eşittir.
Örnek.
Logaritmalar ve log10 neye eşittir?
Çözüm.
O zamandan beri logaritmanın tanımından şu çıkıyor 
.
İkinci örnekte logaritma işaretinin altındaki 10 sayısı tabanına denk geldiğinden onluk logaritması ondalıktır. bire eşit yani log10=lg10 1 =1.
Cevap:
VE lg10=1 .
Logaritmaların tanım gereği hesaplanmasının (ki bunu daha önce tartışmıştık) unutmayın. önceki paragraf) logaritmanın özelliklerinden biri olan log a a p =p eşitliğinin kullanımını ima eder.
Pratikte logaritmanın işareti altındaki bir sayı ve logaritmanın tabanı belirli bir sayının kuvveti olarak kolayca temsil edildiğinde formülü kullanmak çok uygundur. 
logaritmanın özelliklerinden birine karşılık gelir. Bu formülün kullanımını gösteren bir logaritma bulma örneğine bakalım.
Örnek.
Logaritmayı hesaplayın.
Çözüm.
Cevap:
.
Logaritmanın yukarıda belirtilmeyen özellikleri de hesaplamalarda kullanılır ancak bundan sonraki paragraflarda bahsedeceğiz.
Bilinen diğer logaritmalar aracılığıyla logaritma bulma
Bu paragraftaki bilgiler logaritmanın özelliklerinin hesaplanmasında kullanılması konusunun devamıdır. Ancak buradaki temel fark, logaritmanın özelliklerinin, orijinal logaritmayı değeri bilinen başka bir logaritmaya göre ifade etmek için kullanılmasıdır. Açıklığa kavuşturmak için bir örnek verelim. Diyelim ki log 2 3≈1,584963'ü bildiğimizi varsayalım, o zaman logaritmanın özelliklerini kullanarak küçük bir dönüşüm yaparak örneğin log 2 6'yı bulabiliriz: günlük 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
Yukarıdaki örnekte bir çarpımın logaritması özelliğini kullanmamız yeterliydi. Bununla birlikte, orijinal logaritmayı verilenler aracılığıyla hesaplamak için çok daha sık olarak logaritmanın özelliklerinin daha geniş bir cephaneliğini kullanmak gerekir.
Örnek.
Log 60 2=a ve log 60 5=b olduğunu biliyorsanız, 27'nin 60 tabanına göre logaritmasını hesaplayın.
Çözüm.
Bu yüzden log 60 27'yi bulmamız gerekiyor. 27 = 3 3 olduğunu ve kuvvetin logaritmasının özelliği nedeniyle orijinal logaritmanın 3·log 60 3 olarak yeniden yazılabileceğini görmek kolaydır.
Şimdi log 60 3'ün bilinen logaritmalarla nasıl ifade edileceğini görelim. Tabana eşit bir sayının logaritması özelliği, log 60 60=1 eşitliğini yazmamızı sağlar. Öte yandan, log 60 60=log60(2 2 3 5)= günlük 60 2 2 +günlük 60 3+günlük 60 5= 2·log 60 2+log 60 3+log 60 5 . Böylece, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Buradan, log 60 3=1−2·log 60 2−log 60 5=1−2·a−b.
Son olarak orijinal logaritmayı hesaplıyoruz: log 60 27=3 log 60 3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Cevap:
log 60 27=3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b.
Ayrı olarak, formun logaritmasının yeni bir tabanına geçiş formülünün anlamından bahsetmeye değer. 
. Herhangi bir tabanlı logaritmalardan, değerleri bilinen veya bulunması mümkün olan belirli bir tabanlı logaritmalara geçmenizi sağlar. Genellikle, orijinal logaritmadan, geçiş formülünü kullanarak, 2, e veya 10 tabanlarından birinde logaritmalara geçerler, çünkü bu tabanlar için değerlerinin belirli bir dereceyle hesaplanmasına izin veren logaritma tabloları vardır. kesinlik. İÇİNDE sonraki nokta size bunun nasıl yapıldığını göstereceğiz.
Logaritma tabloları ve kullanımları
Logaritma değerlerinin yaklaşık hesaplanması için kullanılabilir logaritma tabloları. En sık kullanılan 2 tabanlı logaritma tablosu, doğal logaritma tablosu ve ondalık logaritmalar. Çalışırken ondalık sistem Matematik için on tabanına dayalı bir logaritma tablosu kullanmak uygundur. Onun yardımıyla logaritmanın değerlerini bulmayı öğreneceğiz.
Sunulan tablo, 1.000'den 9.999'a kadar (üç ondalık basamakla) sayıların ondalık logaritmasının değerlerini on binde bir doğrulukla bulmanızı sağlar. Ondalık logaritma tablosu kullanarak bir logaritmanın değerini bulma ilkesini analiz edeceğiz. spesifik örnek– böyle daha açık. Log1.256'yı bulalım.
Ondalık logaritma tablosunun sol sütununda 1,256 sayısının ilk iki rakamını buluyoruz, yani 1,2'yi buluyoruz (bu sayı netlik açısından mavi daire içine alınmıştır). 1.256'nın üçüncü basamağını (5. basamak) birinci veya son satırçift çizginin solunda (bu sayı kırmızı daire içine alınmıştır). Orijinal sayı olan 1.256'nın dördüncü rakamı (6 rakamı), çift satırın sağındaki ilk veya son satırda bulunur (bu sayı yeşil çizgiyle daire içine alınmıştır). Şimdi logaritma tablosunun hücrelerinde işaretli satır ve işaretli sütunların kesişimindeki sayıları buluyoruz (bu sayılar vurgulanmıştır) turuncu). İşaretlenen sayıların toplamı, dördüncü ondalık basamağa kadar doğru olan ondalık logaritmanın istenen değerini verir; log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Yukarıdaki tabloyu kullanarak, ondalık noktadan sonra üç basamaktan fazla olan sayıların yanı sıra 1 ile 9,999 aralığının ötesine geçen sayıların ondalık logaritma değerlerini bulmak mümkün müdür? Evet, yapabilirsin. Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.
lg102.76332'yi hesaplayalım. Öncelikle yazmanız gerekiyor sayı standart form : 102,76332=1,0276332·10 2. Bundan sonra mantis üçüncü ondalık basamağa yuvarlanmalıdır. 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2 orijinal ondalık logaritma yaklaşık olarak iken logaritmaya eşit ortaya çıkan sayı, yani log102.76332≈lg1.028·10 2'yi alıyoruz. Şimdi logaritmanın özelliklerini uyguluyoruz: lg1,028 10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Son olarak, lg1.028 logaritmasının değerini ondalık logaritmalar tablosundan lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 buluyoruz. Sonuç olarak, logaritmayı hesaplama sürecinin tamamı şöyle görünür: log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1,028+lg10 2 =log1,028+2≈0,012+2=2,012.
Sonuç olarak, ondalık logaritma tablosunu kullanarak herhangi bir logaritmanın yaklaşık değerini hesaplayabileceğinizi belirtmekte fayda var. Bunu yapmak için geçiş formülünü kullanarak ondalık logaritmalara gitmeniz, değerlerini tabloda bulmanız ve kalan hesaplamaları yapmanız yeterlidir.
Örneğin log 2 3'ü hesaplayalım. Logaritmanın yeni tabanına geçiş formülüne göre elimizde . Ondalık logaritma tablosundan log3≈0,4771 ve log2≈0,3010'u buluyoruz. Böylece, 
.
Referanslar.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).
Talimatlar
Verilenleri yazın logaritmik ifade. İfade 10'un logaritmasını kullanıyorsa gösterimi kısaltılır ve şu şekilde görünür: lg b ondalık logaritmadır. Logaritmanın temelinde e sayısı varsa, şu ifadeyi yazın: ln b – doğal logaritma. Herhangi birinin sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltilmesi gereken kuvvet olduğu anlaşılmaktadır.
İki fonksiyonun toplamını bulurken, tek tek türevlerini alıp sonuçları eklemeniz yeterlidir: (u+v)" = u"+v";
İki fonksiyonun çarpımının türevini bulurken, birinci fonksiyonun türevini ikinciyle çarpmak ve ikinci fonksiyonun türevinin birinci fonksiyonla çarpımını eklemek gerekir: (u*v)" = u"*v +v"*u;
İki fonksiyonun bölümünün türevini bulmak için, bölen fonksiyonu ile bölünen türevinin çarpımından bölen türevinin çarpımı ile bölünen fonksiyonun çarpımını çıkarmak ve bölmek gerekir. tüm bunlar bölen fonksiyonunun karesine göre. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;
Eğer verilirse karmaşık fonksiyon o zaman türevini çarpmak gerekir dahili fonksiyon ve dıştakinin türevi. y=u(v(x)) olsun, sonra y"(x)=y"(u)*v"(x) olsun.
Yukarıda elde edilen sonuçları kullanarak hemen hemen her işlevi ayırt edebilirsiniz. O halde birkaç örneğe bakalım:
y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;
y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) *X));
Bir noktadaki türevin hesaplanmasıyla ilgili problemler de vardır. y=e^(x^2+6x+5) fonksiyonu verilsin, x=1 noktasında fonksiyonun değerini bulmanız gerekiyor.
1) Fonksiyonun türevini bulun: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).
2) Fonksiyonun değerini hesaplayın verilen nokta y"(1)=8*e^0=8
Konuyla ilgili video
Temel türevler tablosunu öğrenin. Bu önemli ölçüde zaman tasarrufu sağlayacaktır.
Kaynaklar:
- bir sabitin türevi
Peki arasındaki fark nedir rasyonel denklem rasyonelden mi? Bilinmeyen değişken işaretin altındaysa karekök ise denklemin irrasyonel olduğu kabul edilir.
Talimatlar
Bu tür denklemleri çözmenin ana yöntemi her iki tarafı da oluşturma yöntemidir. denklemler bir kareye. Fakat. bu doğaldır, yapmanız gereken ilk şey tabeladan kurtulmaktır. Bu yöntem teknik olarak zor değildir ancak bazen sıkıntılara yol açabilmektedir. Örneğin denklem v(2x-5)=v(4x-7) şeklindedir. Her iki tarafın karesini alarak 2x-5=4x-7 elde edersiniz. Böyle bir denklemi çözmek zor değil; x=1. Ama 1 rakamı verilmeyecek denklemler. Neden? Denklemde x'in değeri yerine bir koyarsak sağ ve sol taraflarda anlamsız ifadeler yer alır. Bu değer karekök için geçerli değildir. Bu nedenle 1 yabancı bir köktür ve bu nedenle verilen denklem kökleri yoktur.
Bu yüzden, irrasyonel denklem her iki parçasının karesinin alınması yöntemi kullanılarak çözülür. Denklemi çözdükten sonra yabancı kökleri kesmek gerekir. Bunu yapmak için bulunan kökleri orijinal denklemde değiştirin.
Başka bir tane düşünün.
2х+vх-3=0
Elbette bu denklem bir önceki denklemin aynısı kullanılarak çözülebilir. Bileşikleri Taşı denklemler Karekökü olmayan , sağ tarafa ve ardından kare alma yöntemini kullanın. Ortaya çıkan rasyonel denklemi ve köklerini çözer. Ama aynı zamanda daha zarif bir tane daha. Yeni bir değişken girin; vх=y. Buna göre 2y2+y-3=0 formunda bir denklem elde edeceksiniz. Yani olağan ikinci dereceden denklem. Köklerini bulun; y1=1 ve y2=-3/2. Sonra iki tanesini çöz denklemler vх=1; vх=-3/2. İkinci denklemin kökleri yoktur; birinciden x=1 olduğunu buluruz. Kökleri kontrol etmeyi unutmayın.
Kimlikleri çözmek oldukça basittir. Bunu yapmak için yapmanız gerekenler kimlik dönüşümleri hedefe ulaşılıncaya kadar. Böylece, en basitinin yardımıyla aritmetik işlemler eldeki görev çözülecektir.
İhtiyacın olacak
- - kağıt;
- - dolma kalem.
Talimatlar
Bu tür dönüşümlerin en basiti cebirsel kısaltılmış çarpmalardır (toplamın karesi (fark), kareler farkı, toplam (fark), toplamın küpü (fark) gibi). Ayrıca çok sayıda var trigonometrik formüller Bunlar aslında aynı kimliklerdir.
Aslında iki terimin toplamının karesi kareye eşit birinci artı birincinin ikinciyle çarpımının iki katı ve artı ikincinin karesi, yani (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab +b^2.
Her ikisini de basitleştirin
Çözümün genel ilkeleri
Ders kitabına göre tekrarlayın matematiksel analiz veya yüksek matematik belirli bir integraldir. Bilindiği üzere çözüm belirli integral türevi bir integral veren bir fonksiyon var. Bu işlev antiderivatif denir. İle bu prensip ve ana integralleri oluşturur.İntegral formuna göre tablo integrallerinden hangisinin uyduğunu belirleyin bu durumda. Bunu hemen belirlemek her zaman mümkün olmuyor. Çoğu zaman tablo biçimi ancak integrandın basitleştirilmesi için yapılan birkaç dönüşümden sonra fark edilebilir hale gelir.
Değişken Değiştirme Yöntemi
İntegral fonksiyonu ise trigonometrik fonksiyon Argümanı bazı polinomlar içeren değişkeni değiştirme yöntemini kullanmayı deneyin. Bunu yapmak için integralin argümanındaki polinomu yeni bir değişkenle değiştirin. Yeni ve eski değişkenler arasındaki ilişkiye dayanarak entegrasyonun yeni sınırlarını belirleyin. Bu ifadenin türevini alarak yeni diferansiyeli bulun. Yani alacaksın yeni görünümönceki integralin herhangi bir tablodaki integrale yakın veya hatta karşılık gelen.İkinci Tür İntegrallerin Çözülmesi
İntegral ikinci türden bir integral ise, integralin vektör biçimi ise, o zaman bu integrallerden skaler olanlara geçiş için kuralları kullanmanız gerekecektir. Böyle bir kural Ostrogradsky-Gauss ilişkisidir. Bu yasa bir vektör fonksiyonunun rotor akısından, belirli bir vektör alanının diverjansı üzerinden üçlü integrale gitmenizi sağlar.Entegrasyon sınırlarının değiştirilmesi
Antiderivatifi bulduktan sonra integralin limitlerini yerine koymak gerekir. İlk önce değeri değiştirin üst sınır terstürev için bir ifadeye dönüştürün. Bir numara alacaksınız. Daha sonra, elde edilen sayıdan alt limitten elde edilen başka bir sayıyı antiderivatife çıkarın. İntegral limitlerinden biri sonsuzluk ise, bunu yerine koyarken antiderivatif fonksiyon sınıra gitmek ve ifadenin neyi hedeflediğini bulmak gerekiyor.İntegral iki boyutlu veya üç boyutlu ise, integralin nasıl değerlendirileceğini anlamak için integralin sınırlarını geometrik olarak temsil etmeniz gerekecektir. Aslında, örneğin üç boyutlu bir integral durumunda, integralin sınırları, entegre edilen hacmi sınırlayan tüm düzlemler olabilir.
274. Açıklamalar.
A) Değerlendirmek istediğiniz ifade şunları içeriyorsa toplam veya fark sayılar, o zaman tabloların yardımı olmadan bulunmaları gerekir sıradan ekleme veya çıkarma yoluyla. Örneğin:
log (35 +7,24) 5 = 5 log (35 + 7,24) = 5 log 42,24.
B)İfadelerin logaritmasının nasıl yapıldığını bilerek, tersini de yapabiliriz: bu sonuç bu sonucun elde edildiği ifadeyi bulmak için logaritmaların kullanılması; yani eğer
kayıt X=günlük A+günlük B- 3 günlük İle,
o zaman bunu anlamak kolaydır
V) Logaritmik tabloların yapısını incelemeye geçmeden önce, ondalık logaritmanın bazı özelliklerini belirteceğiz; 10 sayısının temel alındığı olanlar (hesaplamalar için yalnızca bu tür logaritmalar kullanılır).
İkinci bölüm.
Ondalık logaritmanın özellikleri.
275 . A) 10 1 = 10, 10 2 = 100, 10 3 = 1000, 10 4 = 10000 vb. olduğundan, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, log 10000 = 4, vb.
Araç, bir ve ardından sıfır gelen bir tam sayının logaritması bir tam sayıdır pozitif sayı, sayı görselinde sıfırlar kadar birler içeren.
Böylece: günlük 100.000 = 5, kayıt 1000 000 = 6 , vesaire.
B) Çünkü
log 0,1 = -l; günlük 0,01 = - 2; log 0,001 == -3; günlük 0,0001 = - 4, vesaire.
Araç, logaritma ondalıkÖnünde sıfır bulunan bir birim ile temsil edilen , 0 tam sayı da dahil olmak üzere kesirin temsilinde sıfırlar olduğu kadar çok sayıda negatif içeren negatif bir tamsayıdır.
Böylece: günlük 0,00001= - 5, günlük 0,000001 = -6, vesaire.
V)Örneğin bir ve sıfırlarla temsil edilmeyen bir tamsayıyı ele alalım. Örneğin 35 veya kesirli bir tam sayı. 10.7. Böyle bir sayının logaritması bir tam sayı olamaz, çünkü 10'u bir tamsayı üssüyle (pozitif veya negatif) bir üssüne yükselttiğimizde, sıfırlarla (1'den sonra veya ondan önce) 1 elde ederiz. Şimdi böyle bir sayının logaritmasının bir kesir olduğunu varsayalım. A / B . O zaman eşitliğimiz olurdu
Ancak bu eşitlikler imkansızdır, çünkü 10A sıfırlarla birlikte 1'ler var, oysa dereceler 35B Ve 10,7B herhangi bir önlemle B 1'in ardından sıfır verilemez. Bu, izin veremeyeceğimiz anlamına gelir günlük 35 Ve günlük 10.7 kesirlere eşitti. Ama özelliklerden logaritmik fonksiyon() her pozitif sayının bir logaritması olduğunu biliyoruz; dolayısıyla 35 ve 10,7 sayılarının her birinin kendine ait logaritması vardır ve ne tam sayı ne de kesirli sayı olamayacağı için irrasyonel bir sayıdır ve bu nedenle sayılarla tam olarak ifade edilemez. İrrasyonel logaritmalar genellikle yaklaşık olarak birkaç ondalık basamağa sahip bir ondalık kesir olarak ifade edilir. Bu kesrin tam sayısına (“0 tam sayı” olsa bile) denir. karakteristik, A kesirli kısım- logaritmanın mantisi. Örneğin logaritma varsa 1,5441 , o zaman karakteristiği eşittir 1 ve mantis 0,5441 .
G)Örneğin bir tamsayı veya karışık sayıyı ele alalım. 623 veya 623,57 . Böyle bir sayının logaritması bir karakteristik ve bir mantisten oluşur. Ondalık logaritmaların şu rahatlığa sahip olduğu ortaya çıktı: özelliklerini her zaman tek bir sayı türüne göre bulabiliriz . Bunu yapmak için, belirli bir tam sayının veya tam sayının bir kısmında kaç rakam olduğunu sayarız. karışık sayı, Bu sayılara ilişkin örneklerimizde 3 . Bu nedenle sayıların her biri 623 Ve 623,57 100'den fazla fakat 1000'den az; bu her birinin logaritmasının daha büyük olduğu anlamına gelir günlük 100 yani daha fazlası 2 , ancak daha az günlük 1000 yani daha az 3 (Daha büyük bir sayının aynı zamanda daha büyük bir logaritmaya sahip olduğunu unutmayın). Buradan, günlük 623 = 2,..., Ve günlük 623,57 = 2,... (noktalar bilinmeyen mantislerin yerini alır).
Bunun gibi şunu buluyoruz:
|
10 < 56,7 < 100 1 < log56,7 < 2 log 56,7 = 1,... |
1000 < 8634 < 10 000 3 < log8634 < 4 günlük 8634 = 3,... |
Genel olarak belirli bir tam sayının veya belirli bir karışık sayının tam sayı kısmının şunları içermesine izin verin: M sayılar içeren en küçük tam sayı olduğundan M sayılar evet 1 İle M - 1 sonunda sıfırlar, o zaman (bu sayıyı belirtir) N) eşitsizlikleri yazabiliriz:
ve bu nedenle,
M - 1 < log N < M ,
günlük N = ( M - 1) + pozitif kesir .
Yani karakteristik günlükN = M - 1 .
Bunu bu şekilde görüyoruz bir tam sayının veya karışık sayının logaritmasının özelliği, sayının eksi bir kısmındaki basamak sayısı kadar pozitif birim içerir.
Bunu fark ettikten sonra doğrudan şunu yazabiliriz:
günlük 7,205 = 0,...; log 83 = 1,...; log 720.4 = 2,... vesaire.
D) Birkaç ondalık kesri daha küçük alalım 1 (yani sahip olmak 0 tüm): 0,35; 0,07; 0,0056; 0,0008, vesaire.
Dolayısıyla bu logaritmaların her biri, aralarında bir birim fark olan iki negatif tamsayı arasında yer alır; dolayısıyla bunların her biri, bu negatif sayılardan bir miktar pozitif kesir artırılmış daha küçük olanına eşittir. Örneğin, log0.0056= -3 + pozitif kesir. Bu kesrin 0,7482 olduğunu varsayalım. O zaman şu anlama gelir:
log 0,0056 = - 3 + 0,7482 (= - 2,2518).
Gibi tutarlar - 3 + 0,7482 Negatif bir tam sayı ve pozitif bir ondalık kesirden oluşan, üzerinde anlaşmaya varıldı logaritmik hesaplamalar aşağıdaki gibi kısaltılmıştır: 3 ,7482 (Bu sayı şöyle okunur: 3 eksi, 7482 on binde biri.), yani, pozitif kalan mantisle değil, yalnızca bu karakteristikle ilgili olduğunu göstermek için karakteristiğin üzerine bir eksi işareti koydular. Yani yukarıdaki tablodan açıkça görülüyor ki
log 0,35 == 1 ,....; log 0,07 = 2,....; günlük 0,0008 = 4,....
Bırakın hiç 
. ilki olan bir ondalık kesir var önemli rakam α
maliyetler M
0 tam sayı da dahil olmak üzere sıfırlar. O zaman açıktır ki
- M < log A < - (M- 1).
İki tam sayıdan beri: - M Ve - (M- 1) daha az var - M , O
günlük A = - M+ pozitif kesir,
ve dolayısıyla karakteristik günlük A = - M (pozitif bir mantis ile).
Böylece, 1'den küçük bir ondalık kesirin logaritmasının özelliği, sıfır tam sayılar da dahil olmak üzere ilk anlamlı basamaktan önceki ondalık kesirin görüntüsünde sıfırlar olduğu kadar çok sayıda negatif içerir; Böyle bir logaritmanın mantisi pozitiftir.
e) Hadi bir sayıyı çarpalım N(tamsayı veya kesir - fark etmez) 10'a, 100'e 1000..., genel olarak 1'e sıfır. Bakalım bu nasıl değişecek günlük N. Ürünün logaritmasından beri toplamına eşit faktörlerin logaritmaları, o zaman
log(N 10) = log N + log 10 = log N + 1;
log(N 100) = log N + log 100 = log N + 2;
log(N 1000) = log N + log 1000 = log N + 3; vesaire.
Ne zaman günlük N bir tam sayı eklersek, bu sayıyı mantis yerine her zaman karakteristiğe ekleyebiliriz.
Yani log N = 2,7804 ise 2,7804 + 1 = 3,7804; 2,7804 + 2 = 4,7801, vb.;
veya log N = 3,5649 ise 3,5649 + 1 = 2,5649; 3,5649 + 2 = 1,5649, vb.
Bir sayı 10, 100, 1000,..., genellikle 1 ile sıfırlarla çarpıldığında logaritmanın mantisi değişmez ve faktördeki sıfır sayısı kadar karakteristik artar. .
Benzer şekilde, bölümün logaritmasının, bölenin logaritması olmadan bölenin logaritmasına eşit olduğu dikkate alındığında şunu elde ederiz:
log N / 10 = log N- log 10 = log N -1;
log N / 100 = log N- log 100 = log N -2;
log N / 1000 = log N- log 1000 = log N -3; vesaire.
Bir logaritmadan bir tamsayıyı çıkarırken, bu tamsayıyı her zaman karakteristikten çıkarmayı ve mantisi değiştirmeden bırakmayı kabul edersek, o zaman şunu söyleyebiliriz:
Bir sayıyı 1'e sıfırlarla bölmek logaritmanın mantisini değiştirmez, ancak bölende sıfırlar olduğu sürece karakteristik birim kadar azalır.
276. Sonuçlar. Mülkten ( e) aşağıdaki iki sonuç çıkarılabilir:
A) Ondalık sayının logaritmasının mantisi, ondalık basamağa taşındığında değişmez çünkü bir ondalık noktayı hareket ettirmek 10, 100, 1000 vb. ile çarpmaya veya bölmeye eşdeğerdir. Dolayısıyla sayıların logaritması:
0,00423, 0,0423, 4,23, 423
yalnızca özellikler bakımından farklılık gösterir, ancak mantislerde farklılık göstermez (tüm mantislerin pozitif olması şartıyla).
B) Aynı olan sayıların mantisleri önemli kısım, ancak yalnızca sonundaki sıfırlarla farklılık gösterenler aynıdır: Dolayısıyla sayıların logaritmaları: 23, 230, 2300, 23.000 yalnızca özellikler bakımından farklılık gösterir.
Yorum. İtibaren belirtilen özellikler ondalık logaritmalar, bir tam sayının ve ondalık kesirin logaritmasının özelliklerini tabloların yardımı olmadan bulabileceğimiz açıktır (bu, ondalık logaritmanın büyük rahatlığıdır); sonuç olarak logaritmik tablolara yalnızca bir mantis yerleştirilir; ek olarak, kesirlerin logaritmasını bulmak, tam sayıların logaritmasını bulmaya indirgendiğinden (bir kesrin logaritması = paydanın logaritması olmadan payın logaritması), tablolara yalnızca tam sayıların logaritmasının mantisleri yerleştirilir.
Üçüncü bölüm.
Dört basamaklı tabloların tasarımı ve kullanımı.
277. Logaritma sistemleri. Logaritma sistemi, aynı tabanı kullanan ardışık tam sayılar için hesaplanan bir logaritma kümesidir. İki sistem kullanılır: sayının temel alındığı sıradan veya ondalık logaritma sistemi 10 ve irrasyonel bir sayının temel alındığı doğal logaritma sistemi (matematiğin diğer dallarında açık olan bazı nedenlerden dolayı) 2,7182818 ... Hesaplamalar için, bu tür logaritmaların özelliklerini sıralarken belirttiğimiz kolaylık nedeniyle ondalık logaritmalar kullanılır.
Doğal logaritmalara, logaritmanın mucidi İskoç matematikçiden adını alan Neperov da denir. Nepera(1550-1617) ve ondalık logaritmalar - Briggs, profesörün adını almıştır Brigga(Napier'in çağdaşı ve arkadaşı), bu logaritmaların tablolarını ilk derleyen kişiydi.
278. Negatif bir logaritmayı mantisası pozitif olan bir logaritmaya dönüştürmek ve ters dönüşüm. 1'den küçük sayıların logaritmasının negatif olduğunu gördük. Bu onların olumsuz bir özellik ve olumsuz bir mantisten oluştuğu anlamına gelir. Bu tür logaritmalar her zaman mantisleri pozitif olacak şekilde dönüştürülebilir, ancak karakteristik negatif kalır. Bunu yapmak için mantis'e pozitif, özelliğe negatif eklemek yeterlidir (elbette logaritmanın değerini değiştirmez).
Örneğin logaritmamız varsa - 2,0873 , sonra şunu yazabilirsiniz:
- 2,0873 = - 2 - 1 + 1 - 0,0873 = - (2 + 1) + (1 - 0,0873) = - 3 + 0,9127,
veya kısaltılmış olarak:
Tersine, negatif karakteristiğe ve pozitif mantise sahip herhangi bir logaritma, negatif logaritmaya dönüştürülebilir. Bunu yapmak için, pozitif mantislere negatif, negatif karakteristiğe de pozitif eklemek yeterlidir: böylece şunu yazabilirsiniz:
279. Dört basamaklı tabloların açıklaması.Çoğunluk kararı için pratik problemler Kullanımı çok basit olan dört haneli tablolar oldukça yeterlidir. Bu tablolar (üst kısmında “logaritmalar” ibaresi bulunan) bu kitabın sonuna yerleştirilmiştir, en bunlar (konumu açıklamak için) bu sayfada basılmıştır. Mantis içerirler
Logaritmalar.
tüm tamsayıların logaritmaları 1 ile 9999 dahil, dört ondalık basamağa kadar hesaplanır, bu basamakların sonuncusu şu şekilde artırılır: 1 5'inci ondalık basamağın 5 veya 5'ten fazla olacağı tüm durumlarda; bu nedenle, 4 basamaklı tablolar yaklaşık mantisleri verir 1 / 2 onbinde biri (eksikliği veya fazlası ile).
Bir tam sayının veya ondalık kesrin logaritmasını, ondalık logaritmanın özelliklerine dayanarak doğrudan karakterize edebildiğimiz için, tablolardan yalnızca mantisleri almalıyız; Aynı zamanda virgülün konumunu da unutmamalıyız. ondalık sayı ve sayının sonundaki sıfırların sayısının mantisin değeri üzerinde hiçbir etkisi yoktur. Bu nedenle, mantis'i bulurken verilen numara bu sayıdaki virgülü ve varsa sonundaki sıfırları atıp bundan sonra oluşan tam sayının mantisini buluyoruz. Aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir.
1) Bir tamsayı 3 rakamdan oluşur.Örneğin 536 sayısının logaritmasının mantisini bulmamız gerektiğini varsayalım. Bu sayının ilk iki rakamı yani 53, tablolarda soldaki ilk dikey sütunda bulunur (bkz. tablo). 53 sayısını bulduktan sonra, bu çizgi en üste yerleştirilen 0, 1, 2, 3,... 9 sayılarından birinin içinden geçen dikey bir sütunla kesişene kadar yatay bir çizgi boyunca sağa doğru hareket ediyoruz (ve Tablonun alt kısmında) verilen bir sayının 3'üncü basamağı yani örneğimizde 6 sayısıdır. Kesişme noktasında 536 sayısının logaritmasına ait olan mantis 7292'yi (yani 0,7292) elde ederiz. Benzer şekilde 508 sayısı için mantis 0,7059'u, 500 sayısı için 0,6990'ı buluruz, vb.
2) Bir tamsayı 2 veya 1 rakamdan oluşur. Daha sonra bu sayıya zihinsel olarak bir veya iki sıfır atarız ve bu şekilde oluşan üç basamaklı sayının mantisini buluruz. Örneğin 510 sayısını elde ettiğimiz 51 sayısına bir sıfır ekliyoruz ve mantis 7070'i buluyoruz; 5 rakamına 2 sıfır atarız ve mantis 6990'ı vb. buluruz.
3) Bir tamsayı 4 rakamla ifade edilir.Örneğin log 5436'nın mantisini bulmanız gerekiyor. Daha sonra tablolarda önce az önce belirttiğimiz gibi bu sayının ilk 3 rakamının temsil ettiği sayının yani 543'ün mantisini buluyoruz (bu mantis 7348 olacak) ; daha sonra bulunan mantisten yatay çizgi boyunca sağa (kalın dikey çizginin arkasında bulunan tablonun sağ tarafına), 1, 2 3 sayılarından birinden geçen dikey sütunla kesişene kadar hareket ederiz. .. 9, tablonun bu bölümünün üstünde (ve altında) bulunur, bu, belirli bir sayının 4. basamağını temsil eder, yani örneğimizde 6 sayısını temsil eder. Kavşakta düzeltmeyi buluruz (sayı) 5), 5436 sayısının mantisini elde etmek için 7348 mantisine zihinsel olarak uygulanması gereken; Bu şekilde mantis 0.7353'ü elde ederiz.
4) Bir tamsayı 5 veya daha fazla rakamla ifade edilir. Daha sonra ilk 4 rakamı dışındaki tüm rakamları atıp yaklaşık dört basamaklı bir sayı alıyoruz ve bu sayının son rakamını o sayıda 1 artırıyoruz. sayının atılan 5. basamağının 5 veya 5'ten büyük olması durumu. Yani 57842 yerine 5784, 30257 yerine 3026, 583263 yerine 5833 alıyoruz vb. Bu yuvarlatılmış dört basamaklı sayı için, az önce açıklandığı gibi mantis'i buluyoruz.
Bu yönergelerin rehberliğinde örnek olarak logaritmaları bulalım. aşağıdaki sayılar:
36,5; 804,7; 0,26; 0,00345; 7,2634; 3456,06.
Öncelikle şimdilik tablolara geçmeden sadece özelliklerini sıralayıp, sonra yazacağımız mantislere yer bırakacağız:
log 36,5 = 1,.... log 0,00345 = 3,....
günlük 804,7 = 2,.... günlük 7,2634 = 0,....
günlük 0,26 = 1,.... günlük 3456,86 = 3,....
log 36,5 = 1,5623; log 0,00345 = 3,5378;
log 804,7 = 2,9057; log 7,2634 = 0,8611;
log 0,26 = 1,4150; günlük 3456,86 = 3,5387.
280. Not. Bazı dört basamaklı tablolarda (örneğin tablolarda) V. Lorchenko ve N. Ogloblina, S. Glazenap, N. Kamenshchikova) bu numaranın 4. hanesine yönelik düzeltmeler yapılmaz. Bu tür tablolarla uğraşırken bu düzeltmeleri kullanarak bulmanız gerekir. basit hesaplama Bu şu gerçeğe dayanarak gerçekleştirilebilir: eğer sayılar 100'ü aşarsa ve aralarındaki farklar 1'den küçükse, o zaman hassas bir hata olmadan kabul edilebilir: logaritmalar arasındaki farklar karşılık gelen sayılar arasındaki farklarla orantılıdır . Mesela 5367 sayısına karşılık gelen mantisi bulmamız gerekiyor. Bu mantis elbette 536,7 sayısıyla aynı. Tablolarda 536 numaralı mantis 7292'yi buluyoruz. Bu mantis, sağdaki mantis 7300 ile karşılaştırıldığında, sayıya karşılık gelen 537, 536 sayısının 1 artması durumunda mantisinin on binde 8 oranında artacağını fark ediyoruz (8, sözde masa farkı iki bitişik mantis arasında); 536 sayısı 0,7 artarsa, mantisleri on binde 8 oranında değil, bir miktar artacaktır. daha küçük sayıX varsayılan orantılılığa göre oranları karşılaması gereken on binde biri:
X :8 = 0,7:1; Neresi X = 8 07 = 5,6,
onbinde 6'ya yuvarlanır. Bu, 536,7 sayısının (ve dolayısıyla 5367 sayısının) mantisinin şu şekilde olacağı anlamına gelir: 7292 + 6 = 7298.
Tablolarda iki bitişik sayıyı kullanarak ara sayıyı bulmaya denir. enterpolasyon. Burada açıklanan enterpolasyona denir orantılıÇünkü logaritmadaki değişimin sayıdaki değişimle orantılı olduğu varsayımına dayanmaktadır. Logaritmik fonksiyondaki değişimin grafiksel olarak düz bir çizgiyle ifade edildiğini varsaydığından doğrusal olarak da adlandırılır.
281. Yaklaşık logaritmanın hata sınırı. Logaritması aranan sayı tam sayı ise 4 basamaklı tablolarda bulunan logaritmasının hata sınırı, dediğimiz gibi alınabilir. 1 / 2 on bininci kısım. Eğer bu sayı kesin değilse, o zaman bu hata sınırına, sayının yanlışlığından kaynaklanan başka bir hatanın sınırını da eklememiz gerekir. Böyle bir limitin çarpım olarak alınabileceği kanıtlanmıştır (bu kanıtı atlıyoruz)
A(D +1) on binde biri.,
hangisinde A en kesin olmayan sayı için hata payıdır, varsayılırsa tamsayı kısmı 3 rakamdan oluşuyor, A D Verilen kesin olmayan sayının aralarında yer aldığı iki ardışık üç basamaklı sayıya karşılık gelen mantislerin tablosal farkı. Böylece logaritmanın son hatasının limiti şu formülle ifade edilecektir:
1 / 2 + A(D +1) on binde biri
Örnek. Günlüğü bul π , almak π yaklaşık sayı 3,14, tam olarak 1 / 2 yüzüncü.
3,14 sayısının 3. rakamından sonra virgül hareket ettirilerek soldan sayılarak elde edilir: üç haneli sayı 314, tam olarak 1 / 2 birimler; Bu, yanlış bir sayı için, yani harfle belirttiğimiz hata payının olduğu anlamına gelir. A , orada 1 / 2 Bulduğumuz tablolardan:
log 3,14 = 0,4969.
Tablo farkı D 314 ve 315 sayılarının mantisleri arasında 14 bulunur, dolayısıyla bulunan logaritmanın hatası daha az olacaktır
1 / 2 + 1 / 2 (14 +1) = 8 on binde biri.
0,4969 logaritmasının eksik mi yoksa aşırı mı olduğunu bilmediğimiz için yalnızca logaritmanın tam olduğunu garanti edebiliriz. π 0,4969 - 0,0008 ile 0,4969 + 0,0008 arasındadır, yani 0,4961< log π < 0,4977.
282. Belirli bir logaritmayı kullanarak bir sayı bulun. Belirli bir logaritmayı kullanarak bir sayıyı bulmak için, verilen sayıların mantislerini bulmak için aynı tablolar kullanılabilir; ancak antilogaritma adı verilenleri, yani bu mantislere karşılık gelen sayıları içeren diğer tabloları kullanmak daha uygundur. Üst kısımda “antilogaritmalar” ibaresi ile gösterilen bu tablolar, logaritma tablolarından sonra bu kitabın sonunda yer almaktadır; bunların küçük bir kısmı bu sayfada yer almaktadır (açıklama amacıyla).
Size 4 basamaklı bir mantis 2863 verildiğini (özelliklere dikkat etmiyoruz) ve karşılık gelen tam sayıyı bulmanız gerektiğini varsayalım. Daha sonra antilogaritma tablolarına sahip olduğunuzda, bunları belirli bir sayının mantisini bulmak için daha önce açıklandığı gibi kullanmanız gerekir, yani: mantisin ilk 2 basamağını soldaki ilk sütunda buluruz. Daha sonra bu sayılardan, üst satırda (veya altta) aranması gereken mantisin 3. rakamından gelen dikey sütunla kesişene kadar yatay çizgi boyunca sağa doğru hareket ediyoruz. Kavşakta, mantis 286'ya karşılık gelen dört basamaklı 1932 sayısını buluyoruz. Daha sonra bu sayıdan, mantisin 4. basamağından gelen dikey sütunla kesişime kadar yatay çizgi boyunca sağa doğru ilerliyoruz. oraya yerleştirilen 1, 2, 3,... 9 sayıları arasında üstte (veya altta) bulunur. Kesişmede, daha önce bulunan 1032 sayısına sırayla uygulanması gereken (zihinsel olarak) düzeltme 1'i buluruz. mantis 2863'e karşılık gelen sayıyı elde etmek için.
Böylece sayı 1933 olacaktır. Bundan sonra özelliğine dikkat ederek 1933 sayısını uygun yere meşgul etmeniz gerekmektedir. Örneğin:
Eğer kayıt X = 3,2863 ise X = 1933,
„ kayıt x = 1,2863, „ X = 19,33,
, kayıt X = 0,2&63, „ X = 1,933,
„ kayıt X = 2 ,2863, „ X = 0,01933
İşte daha fazla örnek:
kayıt X = 0,2287, X = 1,693,
kayıt X = 1 ,7635, X = 0,5801,
kayıt X = 3,5029, X = 3184,
kayıt X = 2 ,0436, X = 0,01106.
Mantis 5 veya daha fazla rakam içeriyorsa, yalnızca ilk 4 rakamı alırız, geri kalanını atarız (ve 5. rakamda beş veya daha fazla rakam varsa 4. rakamı 1 artırırız). Örneğin mantis 35478 yerine 3548, 47562 yerine 4756 alıyoruz.
283. Not. Mantisin 4. ve sonraki rakamlarına yönelik düzeltme de enterpolasyon yoluyla bulunabilir. Yani, eğer mantis 84357 ise, o zaman mantis 843'e karşılık gelen 6966 sayısını bulduktan sonra şu şekilde akıl yürütebiliriz: eğer mantis 1 (binde bir) artarsa, yani 844 olursa o zaman sayı şu şekilde olur: Tablolardan görüleceği üzere 16 adet artacak; mantis 1 (bininci) değil, 0,57 (bininci) artarsa sayı artacaktır X birimler ve X oranları karşılamalıdır:
X : 16 = 0,57: 1, buradan x = 16 0,57 = 9,12.
Bu, gerekli sayının 6966+ 9,12 = 6975,12 veya (yalnızca dört rakamla sınırlı) 6975 olacağı anlamına gelir.
284. Bulunan sayının hata sınırı. Bulunan sayıda virgülün soldan 3. rakamdan sonra olması durumunda, yani logaritmanın karakteristiği 2 olduğunda, toplamın hata limiti olarak alınabileceği kanıtlanmıştır.
Nerede A sayının bulunduğu logaritmanın (on binde bir olarak ifade edilen) hata sınırıdır ve D - Bulunan sayının arasında yer aldığı iki ardışık üç basamaklı sayının mantisleri arasındaki fark (soldan 3. basamaktan sonra virgülle). Karakteristik 2 değil, başka bir şey olduğunda, bulunan sayıda virgülün sola veya sağa kaydırılması, yani sayının 10'un bazı kuvvetlerine bölünmesi veya çarpılması gerekecektir. Bu durumda hata sonucun değeri de 10'un aynı kuvvetine bölünecek veya çarpılacaktır.
Örneğin logaritmayı kullanarak bir sayı arıyoruz. 1,5950 on binde 3'e kadar doğru olduğu bilinen; o zaman demek A = 3 . Antilogaritmalar tablosundan bulunan bu logaritmaya karşılık gelen sayı, 39,36 . Soldan 3. rakamdan sonra virgülü hareket ettirerek sayıyı elde ederiz 393,6 arasında oluşan 393 Ve 394 . Logaritma tablolarından bu iki sayıya karşılık gelen mantisler arasındaki farkın şu şekilde olduğunu görüyoruz: 11 on binde biri; Araç D = 11 . 393.6 sayısının hatası daha az olacak
Bu, numaradaki hatanın olduğu anlamına gelir. 39,36 daha az olacak 0,05 .
285. Negatif özelliklere sahip logaritma işlemleri. Logaritmaların toplanması ve çıkarılması aşağıdaki örneklerden de görülebileceği gibi herhangi bir zorluk yaratmaz:
Logaritmayı pozitif bir sayıyla çarpmanın da hiçbir zorluğu yoktur, örneğin:
İÇİNDE son örnek pozitif mantisi ayrı ayrı 34 ile çarpın, ardından olumsuz karakteristik 34'te.
Negatif bir karakteristiğin ve pozitif bir mantisin logaritması negatif bir sayı ile çarpılırsa, o zaman iki şekilde ilerleyin: ya verilen logaritma önce negatife çevrilir ya da mantis ve karakteristik ayrı ayrı çarpılır ve sonuçlar birleştirilir; örneğin :
3 ,5632 (- 4) = - 2,4368 (- 4) = 9,7472;
3 ,5632 (- 4) = + 12 - 2,2528 = 9,7472.
Bölme sırasında iki durum ortaya çıkabilir: 1) olumsuz özellik bölünmüştür ve 2) bölene bölünemez. İlk durumda karakteristik ve mantis ayrı ayrı ayrılır:
10 ,3784: 5 = 2 ,0757.
İkinci durumda, karakteristiğe o kadar çok negatif birim eklenir ki, ortaya çıkan sayı bölene bölünür; mantis'e aynı sayıda pozitif birim eklenir:
3 ,7608: 8 = (- 8 + 5,7608) : 8 = 1 ,7201.
Bu dönüşümün zihinde yapılması gerekir, dolayısıyla eylem şu şekilde gerçekleşir:
286. Çıkarılan logaritmaların terimlerle değiştirilmesi. Bazılarını hesaplarken karmaşık ifade logaritma kullanarak bazı logaritmalar toplamanız, bazılarını çıkarmanız gerekir; bu durumda, olağan eylem gerçekleştirme yönteminde, eklenen logaritmaların toplamını, ardından çıkarılanların toplamını ayrı ayrı bulurlar ve ikinciyi ilk toplamdan çıkarırlar. Örneğin, eğer elimizde:
kayıt X = 2,7305 - 2 ,0740 + 3 ,5464 - 8,3589 ,
o zaman eylemlerin olağan yürütülmesi şu şekilde görünecektir:
Ancak çıkarma işleminin yerine toplama işlemi yapılması da mümkündür. Bu yüzden:
Artık hesaplamayı şu şekilde düzenleyebilirsiniz:
287. Hesaplama örnekleri.
Örnek 1. İfadeyi değerlendirin:
Eğer A = 0,8216, B = 0,04826, C = 0,005127 Ve D = 7.246.
Logaritmayı alalım bu ifade:
kayıt X= 1/3 log A + 4 log B - 3 log C - 1/3 log D
Şimdi gereksiz zaman kaybını önlemek ve hata olasılığını azaltmak için öncelikle tüm hesaplamaları şimdilik yürütmeden ve dolayısıyla tablolara başvurmadan düzenleyeceğiz:
Bundan sonra tabloları alıp kalanların logaritmasını koyuyoruz ücretsiz yerler:
Hata sınırı.Öncelikle sayının hata sınırını bulalım X 1 = 194,5 , şuna eşit:
Yani, her şeyden önce bulmanız gerekiyor A , yani yaklaşık logaritmanın on binde biri olarak ifade edilen hata sınırı. Diyelim ki bu sayılar A, B, C Ve D hepsi doğrudur. O zaman bireysel logaritmalardaki hatalar aşağıdaki gibi olacaktır (on binde bir):
V logA.......... 1 / 2
V 1/3 günlük A......... 1 / 6 + 1 / 2 = 2 / 3
( 1 / 2 eklendi çünkü 1,9146'nın 3 logaritmasına bölerken bölümün 5. basamağını atarak bölümü yuvarladık ve bu nedenle daha da küçük bir hata yaptık 1 / 2 on binde).
Şimdi logaritmanın hata limitini buluyoruz:
A = 2 / 3 + 2 + 3 / 2 + 1 / 6 = 4 1 / 3 (on binde biri).
Daha da tanımlayalım D . Çünkü X 1 = 194,5 , ardından 2 tam sayı ardışık sayılar, bunların arasında yatıyor X 1 irade 194 Ve 195 . Tablo farkı D bu sayılara karşılık gelen mantisler arasında eşittir 22 . Bu, sayının hata sınırının olduğu anlamına gelir X 1 Orada:
Çünkü X = X 1 : 10, ardından sayıdaki hata sınırı X eşittir 0,3:10 = 0,03 . Böylece bulduğumuz sayı 19,45 kesin sayıdan daha az farklılık gösterir 0,03 . Yaklaşımımızın eksiklikle mi yoksa fazlalıkla mı bulunduğunu bilmediğimiz için yalnızca şunu garanti edebiliriz:
19,45 + 0,03 > X > 19,45 - 0,03 yani
19,48 > X > 19,42 ,
ve bu nedenle eğer kabul edersek X =19,4 o zaman 0,1'e kadar doğrulukla dezavantajlı bir yaklaşıma sahip olacağız.
Örnek 2. Hesaplamak:
X = (- 2,31) 3 5 √72 = - (2,31) 3 5 √72 .
Çünkü negatif sayılar Logaritmamız yoksa önce şunu buluruz:
X" = (2,31) 3 5 √72
ayrışma yoluyla:
kayıt X"= 3 log 2,31 + 1/5 log72.
Hesaplamadan sonra ortaya çıkıyor:
X" = 28,99 ;
buradan,
X = - 28,99 .
Örnek 3. Hesaplamak:
Kökün işareti c u m m a olduğundan sürekli logaritma burada kullanılamaz. Bu gibi durumlarda formülü kısımlara göre hesaplayın.
İlk önce buluyoruz N = 5 √8 , Daha sonra N 1 = 4 √3 ; sonra basit bir toplama işlemiyle belirleriz N+ N 1 ve sonunda hesaplıyoruz 3 √N+ N 1 ; ortaya çıkıyor:
N=1.514, N 1 = 1,316 ; N+ N 1 = 2,830 .
kayıt X= log3 √ 2,830 = 1 / 3 günlük 2.830 = 0,1506 ;
X = 1,415 .
Dördüncü Bölüm.
Üstel ve logaritmik denklemler.
288. Üstel denklemler, bilinmeyenin üstelin içine dahil edildiği denklemlerdir ve logaritmik- bilinmeyenin işaretin altına girdiği yerler kayıt. Bu tür denklemler yalnızca özel durumlarda çözülebilir ve logaritmanın özelliklerine ve sayılar eşitse logaritmalarının da eşit olması ve tam tersine, logaritmalar eşitse karşılık gelenlerin eşit olması ilkesine güvenmek gerekir. sayılar eşittir.
Örnek 1. Denklemi çözün: 2 X = 1024 .
Denklemin her iki tarafının logaritmasını alalım:
Örnek 2. Denklemi çözün: A 2x - A X = 1 . Koyarak A X = en ikinci dereceden bir denklem elde ederiz:
sen 2 - en - 1 = 0 ,
Çünkü 1-√5 < 0 ise son denklem imkansızdır (fonksiyon A X her zaman pozitif bir sayı vardır) ve ilki şunu verir:
Örnek 3. Denklemi çözün:
kayıt( a + x) + günlük ( b + x) = günlük ( c + x) .
Denklem şu şekilde yazılabilir:
kayıt[( a + x) (b + x)] = günlük ( c + x) .
Logaritmaların eşitliğinden sayıların eşit olduğu sonucunu çıkarıyoruz:
(a + x) (b + x) = c + x .
Bu, çözümü zor olmayan ikinci dereceden bir denklemdir.
Beşinci bölüm.
Bileşik faiz, vadeli ödemeler ve vadeli ödemeler.
289. Bileşik faizle ilgili temel problem. Sermaye ne kadara dönüşecek? A büyümede verilen ruble R bileşik faiz, sonrasında T yıllar ( T - tamsayı)?
“Faiz faizi” denilen şey dikkate alınırsa, yani sermayeye ödenmesi gereken faiz parası her yılın sonunda sermayeye ilave edilerek artırılırsa, sermayenin bileşik faizle ödendiğini söylüyorlar. sonraki yıllarda da ilgiyle karşılanacaktır.
Verilen her sermaye rublesi R %, bir yıl içinde kar getirecek P / 100 ruble ve dolayısıyla 1 yıldaki her sermaye rublesi dönüşecek 1 + P / 100 ruble (örneğin, eğer sermaye şu şekilde verilirse: 5 %, o zaman bir yıldaki her ruble dönüşecek 1 + 5 / 100 , yani içinde 1,05 ruble).
Kısalık olması açısından kesri belirtmek P / 100 örneğin bir harfle, R Bir yılda sermayenin her rublesinin paraya dönüşeceğini söyleyebiliriz. 1 + R ruble; buradan, A Rubleler 1 yıl içinde iade edilecek A (1 + R ) ovalayın. Bir yıl sonra, yani büyümenin başlangıcından 2 yıl sonra, bunların her rublesi A (1 + R ) ovalayın. tekrar iletişime geçeceğim 1 + R ovmak.; Bu, tüm sermayenin dönüşeceği anlamına gelir A (1 + R ) 2 ovmak. Aynı şekilde üç yıl sonra sermayenin olacağını da görüyoruz. A (1 + R ) 3 dört yıl içinde olacak A (1 + R ) 4 ,... genellikle aracılığıyla T yıllar eğer T bir tam sayıdır, şuna dönüşecektir: A (1 + R ) T ovmak. Böylece, ile belirtmek A nihai sermayeye sahip olacağız aşağıdaki formül bileşik faiz:
A = A (1 + R ) T Nerede R = P / 100 .
Örnek.İzin vermek A =2.300 ovmak, P = 4, T=20 yıllar; o zaman formül şunu verir:
R = 4 / 100 = 0,04 ; A = 2.300 (1,04) 20.
Hesaplamak A, logaritma kullanıyoruz:
kayıt A = log 2 300 + 20 log 1,04 = 3,3617 + 20 0,0170 = 3,3617+0,3400 = 3,7017.
bir = 5031 ruble.
Yorum. Bu örnekte yapmamız gerekiyordu günlük 1.04 ile çarpmak 20 . Sayıdan beri 0,0170 yaklaşık bir değer var günlük 1.04 kadar 1 / 2 on binde bir kısmı ise bu sayının çarpımı 20 kesinlikle sadece şu ana kadar olacak 1 / 2 20, yani 10'a kadar on binde = binde 1. Bu nedenle toplamda 3,7017 Sadece on binde birlik sayıya değil, aynı zamanda binde birlik sayıya da kefil olamayız. Böylece bu gibi durumlarda elde etmek mümkündür. daha fazla doğruluk, sayı için daha iyi 1 + R 4 basamaklı değil, logaritmaları alın çok sayıda sayılar, örneğin. 7 haneli. Bu amaçla burada en yaygın değerler için 7 basamaklı logaritmaların yazıldığı küçük bir tablo sunuyoruz. R .
290. Asıl görev acil ödemelerdir. Birisi aldı A başına ruble R Borcunu faiziyle birlikte geri ödemek şartıyla yüzde T yıl sonunda aynı tutarı öder. Bu miktar ne kadar olmalıdır?
Toplam X Bu koşullar altında yıllık olarak ödenen tutara acil ödeme denir. Yine harfle belirtelim R 1 ruble'den yıllık faiz parası, yani. P / 100 . Daha sonra ilk yılın sonunda borç A artar A (1 + R ), temel ödeme X rubleye mal olacak A (1 + R )-X .
İkinci yılın sonunda bu miktarın her rublesi yeniden paraya dönüşecek. 1 + R ruble ve bu nedenle borç [ A (1 + R )-X ](1 + R ) = A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) ve ödeme için X ruble şöyle olacak: A (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X . Aynı şekilde 3. yılın sonunda da borcun ödenmesini sağlayacağız.
A (1 + R ) 3 - X (1 + R ) 2 - X (1 + R ) - X ,
ve genel olarak ve son T yıl şöyle olacak:
A (1 + R ) T - X (1 + R ) t-1 - X (1 + R ) t-2 ... - X (1 + R ) - X , veya
A (1 + R ) T - X [ 1 + (1 + R ) + (1 + R ) 2 + ...+ (1 + R ) t-2 + (1 + R ) t-1 ]
Parantez içindeki polinom terimlerin toplamını temsil eder geometrik ilerleme; ilk üyeye sahip olan 1 , son ( 1 + R ) t-1 ve payda ( 1 + R ). Geometrik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formülü kullanarak (Bölüm 10 Bölüm 3 § 249) şunları buluruz:
ve sonrasında borç miktarı T -inci ödeme şu şekilde olacaktır:
Sorunun şartlarına göre borç bitmiştir T -inci yıl şuna eşit olmalıdır: 0 ; Bu yüzden:
Neresi
Bunu hesaplarken acil ödeme formülleri logaritma kullanarak önce yardımcı sayıyı bulmalıyız N = (1 + R ) T logaritmayla: günlük N= T günlük(1+ R) ; bulduktan sonra N, bundan 1 çıkarın, ardından formülün paydasını elde ederiz X, bundan sonra ikincil logaritmayla şunu buluruz:
kayıt X=günlük A+ log N + log r - log (N - 1).
291. Dönem katkılarının ana görevi. Birisi her yılın başında aynı tutarı bankaya yatırıyor. A ovmak. Daha sonra bu katkılardan hangi sermayenin oluşacağını belirleyin. T bankanın ödemesi halinde yıllar R bileşik faiz.
Tarafından belirlenmiş R 1 ruble'den yıllık faiz parası, yani. P / 100 , biz şöyle mantık yürütüyoruz: ilk yılın sonunda sermaye A (1 + R );
2. yılın başında bu miktara ilave edilecektir. A ruble; bu, şu anda sermayenin olacağı anlamına gelir A (1 + R ) + A . 2. yılın sonunda olacak A (1 + R ) 2 + bir (1 + R );
3. yılın başında tekrar girilir A ruble; bu, şu anda sermaye olacağı anlamına gelir A (1 + R ) 2 + bir (1 + R ) + A ; 3. ayın sonunda olacak A (1 + R ) 3 + bir (1 + R ) 2 + bir (1 + R ) Bu argümanlara daha da devam edersek, sonunda şunu buluyoruz: T yıl gerekli sermaye A irade:
Bu, her yılın başında yapılan dönem katkılarının formülüdür.
Aynı formül aşağıdaki mantıkla elde edilebilir: peşinat A bankadayken ruble T Bileşik faiz formülüne göre yıllara dönüşecek A (1 + R ) T ovmak. İkinci taksit, bankada bir yıl daha az kalmak, yani. T - 1 yaşındayım, iletişim A (1 + R ) t-1 ovmak. Aynı şekilde üçüncü taksit de verilecek A (1 + R ) t-2 vb. ve son olarak bankada sadece 1 yıldır bekleyen son taksit, A (1 + R ) ovalayın. Bu nihai sermaye anlamına gelir A ovmak. irade:
A= A (1 + R ) T + A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ),
bu, basitleştirmeden sonra yukarıda bulunan formülü verir.
Bu formülün logaritmasını kullanarak hesaplama yaparken, acil ödemeler için formülü hesaplarken olduğu gibi ilerlemelisiniz, yani önce N = ( sayısını bulmalısınız. 1 + R ) T logaritmasına göre: günlük N= T kayıt(1 + R ), ardından sayı N-1 ve sonra formülün logaritmasını alın:
günlük A = günlük A+günlük(1+ R) + log (N - 1) - 1оgR
Yorum. Acil bir katkı varsa A ovmak. her yılın başında değil sonunda yapıldı (örneğin acil bir ödeme yapılması gibi) X borcunu ödemek için), o zaman bir öncekine benzer şekilde mantık yürüterek, sonunda şunu buluyoruz: T yıl gerekli sermaye A" ovmak. olacak (son taksit dahil) A ovmak, faiz getirmiyor):
A"= A (1 + R ) t-1 + A (1 + R ) t-2 + . . . + A (1 + R ) + A
bu şuna eşittir:
yani. A" biter ( 1 + R ) kat daha az A Bu beklenen bir şeydi, çünkü sermayenin her rublesi A" karşılık gelen sermaye rublesinden daha az bir yıl boyunca bankada yatıyor A.