Belirli integral örnekleri nasıl bulunur? Kesin integral

Belirli integralleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek için yapmanız gerekenler:

1) Yapabilmek bulmak belirsiz integraller.

2) Yapabilmek hesaplamak kesin integral.

Gördüğünüz gibi belirli bir integralde uzmanlaşmak için "sıradan" belirsiz integraller hakkında oldukça iyi bir anlayışa sahip olmanız gerekir. Bu nedenle, integral hesabına yeni dalmaya başlıyorsanız ve su ısıtıcısı henüz hiç kaynamamışsa, dersle başlamak daha iyidir. Belirsiz integral. Çözüm örnekleri.

Genel formda belirli integral şu şekilde yazılır:

Belirsiz integrale ne eklenir? Daha entegrasyonun sınırları.

Entegrasyonun alt sınırı
Entegrasyonun üst sınırı standart olarak harfle gösterilir.
Segment denir entegrasyon bölümü.

Pratik örneklere geçmeden önce belirli integral üzerinde biraz "lanetleşelim".

Belirli integral nedir? Size bir parçanın çapı, integral toplamlarının limiti vb. hakkında bilgi verebilirim, ancak ders pratik niteliktedir. Bu nedenle belirli bir integralin SAYI olduğunu söyleyeceğim. Evet evet en sıradan sayı.

Belirli integralin geometrik anlamı var mı? Yemek yemek. Ve çok iyi. En popüler görev belirli bir integral kullanarak alan hesaplama.

Belirli bir integrali çözmek ne anlama gelir? Belirli bir integrali çözmek, bir sayı bulmak anlamına gelir.

Belirli bir integral nasıl çözülür? Okuldan aşina olduğunuz Newton-Leibniz formülünü kullanarak:

Formülü ayrı bir kağıda yeniden yazmak daha iyidir; ders boyunca gözünüzün önünde olmalıdır.

Belirli bir integrali çözme adımları aşağıdaki gibidir:

1) İlk önce ters türev fonksiyonunu (belirsiz integral) buluyoruz. Belirli integraldeki sabitin hiç eklenmedi. Tanım tamamen tekniktir ve dikey çubuğun herhangi bir matematiksel anlamı yoktur, aslında sadece bir işarettir; Kaydın kendisine neden ihtiyaç duyuluyor? Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlık.

2) Üst limitin değerini ters türev fonksiyonunda değiştirin: .

3) Alt limitin değerini terstürev fonksiyonunda değiştirin: .

4) Farkı hesaplıyoruz (hatasız!), yani sayıyı buluyoruz.

Belirli bir integral her zaman var mıdır? Hayır her zaman değil.

Örneğin integral yoktur çünkü integralin parçası integralin alanına dahil değildir (karekökün altındaki değerler negatif olamaz). İşte daha az belirgin bir örnek: . Doğru parçasının noktalarında teğet olmadığından böyle bir integral de mevcut değildir. Bu arada, öğretim materyalini henüz kim okumadı? Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri– şimdi bunu yapmanın zamanı geldi. Yüksek matematik dersleri boyunca yardımcı olmak harika olacaktır.

Belirli bir integralin var olabilmesi için, integral fonksiyonunun integral aralığında sürekli olması gerekir.

Yukarıdakilerden ilk önemli öneri şu şekildedir: HERHANGİ bir belirli integrali çözmeye başlamadan önce, integral fonksiyonunun olduğundan emin olmanız gerekir. entegrasyon aralığında süreklidir. Öğrenciliğimde, zor bir antiderivatif bulmakta uzun süre uğraştığımda defalarca bir olay yaşadım ve sonunda bulduğumda başka bir soru üzerine kafamı karıştırdım: “Ne tür bir saçmalık olduğu ortaya çıktı” ?” Basitleştirilmiş bir versiyonda durum şuna benzer:

???!!!

Negatif sayıları kökün altına koyamazsınız!

Bir çözüm için (bir testte, testte, sınavda) size aşağıdaki gibi var olmayan bir integral teklif edilirse

o zaman integralin olmadığına dair bir cevap vermeniz ve nedenini gerekçelendirmeniz gerekir.

Belirli bir integral negatif bir sayıya eşit olabilir mi? Belki. Ve negatif bir sayı. Ve sıfır. Hatta sonsuzluğa bile dönüşebilir, ama zaten öyle olacak uygunsuz integral Bunlara ayrı bir ders verilmektedir.

Entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırından büyük olabilir mi? Belki de bu durum aslında pratikte ortaya çıkıyor.

– integral Newton-Leibniz formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir.

Yüksek matematik vazgeçilmez olan nedir? Tabii ki, her türlü özellik olmadan. Bu nedenle belirli integralin bazı özelliklerini ele alalım.

Belirli bir integralde, işareti değiştirerek üst ve alt limitleri yeniden düzenleyebilirsiniz:

Örneğin, belirli bir integralde, entegrasyondan önce, entegrasyon sınırlarının "olağan" sıraya göre değiştirilmesi tavsiye edilir:

– bu formda entegre edilmesi çok daha uygundur.

Belirsiz integralde olduğu gibi belirli integral de doğrusal özelliklere sahiptir:

– bu yalnızca iki işlev için değil aynı zamanda herhangi bir sayıda işlev için de geçerlidir.

Belirli bir integralde şu gerçekleştirilebilir: entegrasyon değişkeninin değiştirilmesi ancak belirsiz integralle karşılaştırıldığında bunun kendine has özellikleri vardır ve bunları daha sonra konuşacağız.

Belirli bir integral için aşağıdakiler doğrudur: parça formülüne göre entegrasyon:

örnek 1

Çözüm:

(1) İntegral işaretinden sabiti çıkarıyoruz.

(2) En popüler formülü kullanarak tablo üzerinden entegrasyon yapın . Ortaya çıkan sabitin braketten ayrılması ve dışına taşınması tavsiye edilir. Bunu yapmak gerekli değildir, ancak tavsiye edilir - neden ekstra hesaplamalar yapmalısınız?

(3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz

Önce üst limiti, sonra alt limiti değiştiriyoruz. Daha fazla hesaplama yapıyoruz ve nihai cevabı alıyoruz.

Örnek 2

Belirli integrali hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Görevi biraz karmaşıklaştıralım:

Örnek 3

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm:

(1) Belirli integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz.

(2) Tüm sabitleri çıkarırken tabloya göre integral alıyoruz - bunlar üst ve alt sınırların ikamesine katılmayacaklar.

– dikkatsizlikten kaynaklanan hataların sıralamasında ilk sırada yer alır, çoğu zaman otomatik olarak yazarlar

(özellikle üst ve alt sınırların değiştirilmesi sözlü olarak yapıldığında ve bu kadar ayrıntılı olarak yazılmadığında). Yukarıdaki örneği bir kez daha dikkatlice inceleyin.

Belirli bir integrali çözmek için dikkate alınan yöntemin tek yöntem olmadığı unutulmamalıdır. Biraz tecrübe ile çözüm önemli ölçüde azaltılabilir. Örneğin ben kendim bu tür integralleri çözmeye alışkınım:

Burada sözlü olarak doğrusallık kurallarını kullandım ve tabloyu kullanarak sözlü olarak bütünleştirdim. Sınırların işaretlendiği tek bir parantezle karşılaştım:

(ilk yöntemdeki üç parantezden farklı olarak). Ve “tam” terstürev fonksiyonuna önce 4'ü, sonra -2'yi koyarak yine aklımdaki tüm eylemleri gerçekleştirdim.

Kısa çözümün dezavantajları nelerdir? Hesaplamaların rasyonelliği açısından buradaki her şey pek iyi değil, ama şahsen umurumda değil - sıradan kesirleri bir hesap makinesinde hesaplıyorum.
Ayrıca hesaplamalarda hata yapma riski de yüksektir, bu nedenle çay öğrencisinin ilk yöntemi kullanması daha iyidir; "benim" çözme yöntemiyle işaret kesinlikle bir yerlerde kaybolacaktır.

İkinci yöntemin şüphesiz avantajları, çözüm hızı, notasyonun kompaktlığı ve ters türevinin olmasıdır.

bir parantez içindedir.

Matematik denilen bilimde integralleri çözme sürecine integral denir. Entegrasyonu kullanarak bazı fiziksel büyüklükleri bulabilirsiniz: alan, hacim, cisimlerin kütlesi ve çok daha fazlası.

İntegraller belirsiz veya belirli olabilir. Belirli integralin biçimini ele alalım ve fiziksel anlamını anlamaya çalışalım. Şu biçimde temsil edilir: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Belirli bir integrali belirsiz bir integralden yazmanın ayırt edici özelliği, a ve b integrallerinin limitlerinin olmasıdır. Şimdi bunlara neden ihtiyaç duyulduğunu ve belirli bir integralin gerçekte ne anlama geldiğini öğreneceğiz. Geometrik anlamda böyle bir integral, f(x) eğrisi, a ve b çizgileri ve Ox ekseni tarafından sınırlanan şeklin alanına eşittir.

Şekil 1'den belirli integralin gri renkle gösterilen alanla aynı olduğu açıktır. Bunu basit bir örnekle kontrol edelim. Aşağıdaki resimdeki şeklin alanını integral kullanarak bulalım ve sonra bunu her zamanki gibi uzunluk ile genişliği çarparak hesaplayalım.

Şekil 2'den $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ olduğu açıktır. Şimdi bunları integralin tanımına koyarsak, şunu elde ederiz: $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Kontrolü her zamanki gibi yapalım. Bizim durumumuzda uzunluk = 3, şeklin genişliği = 1. $$ S = \text(uzunluk) \cdot \text(genişlik) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Yapabildiğiniz gibi bakın her şey mükemmel bir şekilde eşleşiyor.

Soru ortaya çıkıyor: Belirsiz integraller nasıl çözülür ve anlamları nedir? Bu tür integralleri çözmek, antiderivatif fonksiyonları bulmaktır. Bu süreç türevi bulmanın tersidir. Ters türevi bulmak için, matematik problemlerini çözmede yardımımızı kullanabilir veya integrallerin özelliklerini ve en basit temel fonksiyonların entegrasyon tablosunu bağımsız olarak ezberlemeniz gerekir. Bulgu şuna benzer: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(burada) F(x) $, $ f(x)'in terstürevidir, C = const $.

İntegrali çözmek için $ f(x) $ fonksiyonunun bir değişken üzerinden integralini almanız gerekir. Fonksiyon tablo şeklinde ise cevap uygun biçimde yazılır. Değilse, süreç zorlu matematiksel dönüşümler yoluyla $ f(x) $ fonksiyonundan tablo şeklinde bir fonksiyon elde etmeye gelir. Bunun için daha sonra ele alacağımız çeşitli yöntemler ve özellikler vardır.

Şimdi kuklalar için integralleri çözecek bir algoritma oluşturalım mı?

İntegral hesaplama algoritması

Belirli integrali bulalım ya da bulamayalım.
Tanımsızsa, $ f(x) $ integralinin ters türev fonksiyonunu $ F(x) $ bulmanız gerekir. Bunu, $ f(x) $ fonksiyonunun tablosal biçimine yol açan matematiksel dönüşümleri kullanarak bulmanız gerekir.
Tanımlanmışsa, 2. adımı uygulamanız ve ardından $ a $ ve $ b $ limitlerini $ F(x) $ ters türev fonksiyonuna yerleştirmeniz gerekir. Bunu yapmak için hangi formülü kullanmanız gerektiğini “Newton-Leibniz Formülü” yazısında bulacaksınız.

Çözüm örnekleri

Böylece kuklalar için integrallerin nasıl çözüleceğini öğrendiniz, integral çözme örnekleri sıralandı. Fiziksel ve geometrik anlamlarını öğrendik. Çözüm yöntemleri diğer yazılarımızda anlatılacaktır.

Her bölümde, cevaplarını görebileceğiniz bağımsız çözüme yönelik görevler olacaktır.

Belirli integral kavramı ve Newton-Leibniz formülü

Belirli bir integralle sürekli bir fonksiyondan F(X) son segmentte [ A, B] (burada ) bir kısmının artışı olarak adlandırılır antiderivatif bu segmentte. (Genel olarak konuyu tekrarlarsanız anlayış gözle görülür şekilde daha kolay olacaktır. belirsiz integral) Bu durumda gösterim kullanılır

Aşağıdaki grafiklerde görülebileceği gibi (antiderivatif fonksiyonun artışı ile gösterilir), Belirli bir integral pozitif ya da negatif bir sayı olabilir(Anttürevin üst limitteki değeri ile alt limitteki değeri arasındaki fark olarak hesaplanır; F(B) - F(A)).

Sayılar A Ve B sırasıyla entegrasyonun alt ve üst sınırları olarak adlandırılır ve segment [ A, B] – entegrasyon segmenti.

Böylece eğer F(X) – bazı antiderivatif fonksiyonlar F(X), o zaman tanıma göre,

(38)

Eşitlik (38) denir Newton-Leibniz formülü . Fark F(B) – F(A) kısaca şu şekilde yazılır:

Bu nedenle Newton-Leibniz formülünü şu şekilde yazacağız:

(39)

Belirli integralin, hesaplanırken integralin hangi antitürevinin alındığına bağlı olmadığını kanıtlayalım. İzin vermek F(X) ve F( X) integralin keyfi antitürevleridir. Bunlar aynı fonksiyonun ters türevleri olduğundan sabit bir terimle farklılık gösterirler: Ф( X) = F(X) + C. Bu yüzden

Bu, segmentte şunu belirler: [ A, B] fonksiyonun tüm ters türevlerinin artışları F(X) eşleştir.

Bu nedenle, belirli bir integrali hesaplamak için integralin herhangi bir antitürevini bulmak gerekir; İlk önce belirsiz integrali bulmanız gerekir. Devamlı İLE sonraki hesaplamalara dahil edilmemiştir. Daha sonra Newton-Leibniz formülü uygulanır: üst limitin değeri ters türev fonksiyonuna yerleştirilir B , ayrıca - alt sınırın değeri A ve fark hesaplanır F(b) - F(a) . Ortaya çıkan sayı belirli bir integral olacaktır..

Şu tarihte: A = B tanım gereği kabul edildi

Örnek 1.

Çözüm. İlk önce belirsiz integrali bulalım:

Newton-Leibniz formülünün antiderivatife uygulanması

(saatte İLE= 0), şunu elde ederiz

Ancak belirli bir integral hesaplanırken antiderivatifi ayrı ayrı bulmak değil, integrali hemen (39) formuna yazmak daha iyidir.

Örnek 2. Belirli integrali hesaplayın

Çözüm. Formülü kullanma

Belirli integrali kendiniz bulun ve çözüme bakın

Belirli integralin özellikleri

Teorem 2.Belirli integralin değeri, integral değişkeninin tanımına bağlı değildir, yani

(40)

İzin vermek F(X) – için antiderivatif F(X). İçin F(T) antiderivatif aynı fonksiyondur F(T), burada bağımsız değişken yalnızca farklı şekilde belirtilir. Buradan,

Formül (39)'a göre son eşitlik, integrallerin eşitliği anlamına gelir.

Teorem 3.Sabit faktör belirli integralin işaretinden çıkarılabilir, yani

(41)

Teorem 4.Sonlu sayıda fonksiyonun cebirsel toplamının belirli integrali, bu fonksiyonların belirli integrallerinin cebirsel toplamına eşittir, yani

(42)

Teorem 5.Bir integral parçası parçalara ayrılırsa, parçanın tamamı üzerindeki belirli integral, parçaları üzerindeki belirli integrallerin toplamına eşittir, yani Eğer

(43)

Teorem 6.İntegral limitleri yeniden düzenlenirken belirli integralin mutlak değeri değişmez, yalnızca işareti değişir, yani

(44)

Teorem 7(ortalama değer teoremi). Belirli bir integral, integral parçasının uzunluğu ile integralin içindeki bir noktadaki değerinin çarpımına eşittir., yani

(45)

Teorem 8.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve integral negatif değilse (pozitif), o zaman belirli integral de negatif değildir (pozitif), yani. Eğer

Teorem 9.İntegralin üst sınırı alt sınırdan büyükse ve fonksiyonlar sürekli ise eşitsizlik

dönem dönem entegre edilebilir, yani

(46)

Belirli integralin özellikleri, integrallerin doğrudan hesaplanmasını basitleştirmeyi mümkün kılar.

Örnek 5. Belirli integrali hesaplayın

Teorem 4 ve 3'ü kullanarak ve antiderivatifleri bulurken - tablosal integraller(7) ve (6), şunu elde ederiz

Değişken üst limitli belirli integral

İzin vermek F(X) – segmentte sürekli [ A, B] işlevi ve F(X) onun terstürevidir. Belirli integrali düşünün

(47)

Ve aracılığıyla T entegrasyon değişkeni üst sınırla karıştırılmayacak şekilde belirlenir. Değiştiğinde X belirli integral (47) de değişir, yani. entegrasyonun üst sınırının bir fonksiyonudur X ile gösterdiğimiz F(X), yani.

(48)

Fonksiyonun olduğunu kanıtlayalım F(X) için bir ters türevdir F(X) = F(T). Aslında farklılaşan F(X), elde ederiz

Çünkü F(X) – için antiderivatif F(X), A F(A) sabit bir değerdir.

İşlev F(X) – sonsuz sayıda antiderivatiften biri F(X), yani X = A sıfıra gider. Bu ifade, (48) eşitliğini koyarsak elde edilir. X = A ve önceki paragraftaki Teorem 1'i kullanın.

Belirli integrallerin parçalara göre entegrasyon yöntemi ve değişken değişimi yöntemiyle hesaplanması

tanım gereği nerede, F(X) – için antiderivatif F(X). İntegraldeki değişkeni değiştirirsek

o zaman formül (16)'ya uygun olarak şunu yazabiliriz:

Bu ifadede

için antiderivatif fonksiyon

Aslında ona göre onun türevi karmaşık fonksiyonların farklılaşma kuralı, eşittir

α ve β değişkenin değerleri olsun T, bunun için fonksiyon

değerleri buna göre alır A Ve B, yani

Ancak Newton-Leibniz formülüne göre fark F(B) – F(A) Orada

Kesin integral. Çözüm örnekleri

Tekrar merhaba. Bu dersimizde belirli integral gibi harika bir şeyi detaylı olarak inceleyeceğiz. Bu sefer tanıtım kısa olacak. Tüm. Çünkü pencerenin dışında kar fırtınası var.

Belirli integralleri nasıl çözeceğinizi öğrenmek için yapmanız gerekenler:

1) Yapabilmek bulmak belirsiz integraller.

2) Yapabilmek hesaplamak kesin integral.

Genel formda belirli integral şu şekilde yazılır:

Belirsiz integrale ne eklenir? Daha entegrasyonun sınırları.

Entegrasyonun alt sınırı
Entegrasyonun üst sınırı standart olarak harfle gösterilir.
Segment denir entegrasyon bölümü.

Pratik örneklere geçmeden önce belirli integralle ilgili kısa bir SSS.

Belirli bir integrali çözmek ne anlama gelir? Belirli bir integrali çözmek, bir sayı bulmak anlamına gelir.

Belirli bir integral nasıl çözülür? Okuldan aşina olduğunuz Newton-Leibniz formülünü kullanarak:

Formülü ayrı bir kağıda yeniden yazmak daha iyidir; ders boyunca gözünüzün önünde olmalıdır.

Belirli bir integrali çözme adımları aşağıdaki gibidir:

1) İlk önce ters türev fonksiyonunu (belirsiz integral) buluyoruz. Belirli integraldeki sabitin eklenmez. Tanım tamamen tekniktir ve dikey çubuğun herhangi bir matematiksel anlamı yoktur, aslında sadece bir işarettir; Kaydın kendisine neden ihtiyaç duyuluyor? Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlık.

2) Üst limitin değerini ters türev fonksiyonunda değiştirin: .

3) Alt limitin değerini terstürev fonksiyonunda değiştirin: .

4) Farkı hesaplıyoruz (hatasız!), yani sayıyı buluyoruz.

Belirli bir integral her zaman var mıdır? Hayır her zaman değil.

Örneğin integral yoktur çünkü integralin parçası integralin alanına dahil değildir (karekökün altındaki değerler negatif olamaz). İşte daha az belirgin bir örnek: . Burada entegrasyon aralığında teğet dayanır sonsuz molalar, noktalarında ve dolayısıyla böyle bir belirli integral de mevcut değildir. Bu arada, öğretim materyalini henüz kim okumadı? Temel fonksiyonların grafikleri ve temel özellikleri– şimdi bunu yapmanın zamanı geldi. Yüksek matematik dersleri boyunca yardımcı olmak harika olacaktır.

Bunun için Belirli bir integralin var olması için, integralin integral aralığında sürekli olması yeterlidir..

???? Negatif sayıları kökün altına koyamazsınız! Bu da nedir böyle?! İlk dikkatsizlik.

Çözüm için (bir testte, testte, sınavda) size veya gibi bir integral teklif edilirse, o zaman bu belirli integralin bulunmadığına dair bir cevap vermeniz ve nedenini gerekçelendirmeniz gerekir.

! Not : ikinci durumda, “kesin” kelimesi atlanamaz çünkü nokta süreksizlikleri olan bir integral birkaç taneye, bu durumda 3 uygunsuz integrale bölünür ve "bu integral yoktur" formülasyonu yanlış olur.

Entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırından büyük olabilir mi? Belki de bu durum aslında pratikte ortaya çıkıyor.

– integral Newton-Leibniz formülü kullanılarak kolayca hesaplanabilir.

Yüksek matematik vazgeçilmez olan nedir? Tabii ki, her türlü özellik olmadan. Bu nedenle belirli integralin bazı özelliklerini ele alalım.

Belirli bir integralde işareti değiştirerek üst ve alt limitleri yeniden düzenleyebilirsiniz.:

Örneğin, belirli bir integralde, entegrasyondan önce, entegrasyon sınırlarının "olağan" sıraya göre değiştirilmesi tavsiye edilir:

– bu formda entegre edilmesi çok daha uygundur.

– bu yalnızca iki işlev için değil aynı zamanda herhangi bir sayıda işlev için de geçerlidir.

Belirli bir integral için aşağıdakiler doğrudur: parça formülüne göre entegrasyon:

örnek 1

Çözüm:

(1) İntegral işaretinden sabiti çıkarıyoruz.

. Önce üst limiti, sonra alt limiti değiştiriyoruz. Daha fazla hesaplama yapıyoruz ve nihai cevabı alıyoruz.

Örnek 2

Belirli integrali hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir, çözüm ve cevap dersin sonundadır.

Görevi biraz karmaşıklaştıralım:

Örnek 3

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm:

(1) Belirli integralin doğrusallık özelliklerini kullanıyoruz.

(2) Tüm sabitleri çıkarırken tabloya göre integral alıyoruz - bunlar üst ve alt sınırların ikamesine katılmayacaklar.

(3) Üç terimin her biri için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz:

Belirli integraldeki ZAYIF BAĞLANTI, hesaplama hataları ve İŞARETLERDE yaygın olarak görülen KARIŞIKLIKTIR. Dikkat olmak! Üçüncü döneme özellikle dikkat ediyorum: – dikkatsizlikten kaynaklanan hataların sıralamasında ilk sırada yer alır, çoğu zaman otomatik olarak yazarlar (özellikle üst ve alt sınırların değiştirilmesi sözlü olarak yapıldığında ve bu kadar ayrıntılı olarak yazılmadığında). Yukarıdaki örneği bir kez daha dikkatlice inceleyin.

Burada sözlü olarak doğrusallık kurallarını kullandım ve tabloyu kullanarak sözlü olarak bütünleştirdim. Sınırların işaretlendiği tek bir parantezle karşılaştım: (ilk yöntemdeki üç parantezden farklı olarak). Ve “tam” terstürev fonksiyonuna önce 4'ü, sonra -2'yi koyarak yine aklımdaki tüm eylemleri gerçekleştirdim.

Ancak ikinci yöntemin şüphesiz avantajları, çözüm hızı, notasyonun kompaktlığı ve antiderivatifin tek parantez içinde olmasıdır.

Tavsiye: Newton-Leibniz formülünü kullanmadan önce şunu kontrol etmekte fayda var: antiderivatifin kendisi doğru bulundu mu?

Dolayısıyla, ele alınan örnekle ilgili olarak: üst ve alt limitleri ters türev fonksiyonuna koymadan önce, taslakta belirsiz integralin doğru bulunup bulunmadığını kontrol etmeniz önerilir. Ayırt edelim:

Orijinal integral fonksiyonu elde edilmiştir, yani belirsiz integral doğru olarak bulunmuştur. Artık Newton-Leibniz formülünü uygulayabiliriz.

Belirli bir integral hesaplanırken böyle bir kontrol gereksiz olmayacaktır..

Örnek 4

Belirli integrali hesaplayın

Bu sizin kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Kısa ve detaylı bir şekilde çözmeye çalışın.

Belirli bir integraldeki değişkeni değiştirme

Belirli bir integral için, belirsiz integral için olduğu gibi her türlü ikame geçerlidir. Bu nedenle, oyuncu değişikliği konusunda pek iyi değilseniz dersi dikkatlice okumalısınız. Belirsiz integralde ikame yöntemi.

Bu paragrafta korkutucu veya zor hiçbir şey yok. Yenilik soruda yatıyor Değiştirirken entegrasyon sınırlarının nasıl değiştirileceği.

Örneklerde sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan yedek türlerini vermeye çalışacağım.

Örnek 5

Belirli integrali hesaplayın

Buradaki asıl soru belirli integral değil, değiştirmenin doğru şekilde nasıl gerçekleştirileceğidir. Şuna bakalım integral tablosu ve integrand fonksiyonumuzun en çok neye benzediğini bulalım mı? Açıkçası, uzun logaritma için: . Ancak kökün altındaki integral tablosunda ve bizimkilerde - "x" in dördüncü kuvveti arasında bir tutarsızlık var. Değiştirme fikri de akıl yürütmeden kaynaklanmaktadır - dördüncü gücümüzü bir şekilde kareye dönüştürmek güzel olurdu. Bu gerçek.

Öncelikle integralimizi değiştirmeye hazırlıyoruz:

Yukarıdaki değerlendirmelerden, oldukça doğal olarak bir değiştirme ortaya çıkar:
Böylece paydada her şey yolunda olacak: .
İntegralin geri kalan kısmının neye dönüşeceğini buluyoruz, bunun için diferansiyeli buluyoruz:

Belirsiz integralde yer değiştirmeyle karşılaştırıldığında ek bir adım ekliyoruz.

Entegrasyonun yeni sınırlarını bulma.

Oldukça basit. Yer değiştirmemize ve eski entegrasyon sınırlarına bakalım.

İlk olarak, yerine koyma ifadesinde integralin alt sınırını, yani sıfırı yerine koyarız:

Daha sonra integralin üst sınırını yerine koyma ifadesine, yani üçün köküne koyarız:

Hazır. Ve sadece...

Çözüme devam edelim.

(1) Değiştirmeye göre yeni integral limitleri olan yeni bir integral yazın.

(2) Bu en basit tablo integralidir, tablo üzerinden integral alıyoruz. Sabiti parantezlerin dışında bırakmak daha iyidir (bunu yapmak zorunda değilsiniz), böylece daha sonraki hesaplamalara engel olmaz. Sağda yeni entegrasyon sınırlarını gösteren bir çizgi çiziyoruz - bu Newton-Leibniz formülünü uygulamaya hazırlıktır.

(3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz .

Cevabı mümkün olan en kısa biçimde yazmaya çalışıyoruz; burada logaritmanın özelliklerini kullandım.

Belirsiz integralin diğer bir farkı da, ikameyi yaptıktan sonra, herhangi bir ters değişiklik yapılmasına gerek yoktur.

Ve şimdi kendiniz karar vermeniz için birkaç örnek. Hangi değişiklikleri yapmanız gerekir - kendi başınıza tahmin etmeye çalışın.

Örnek 6

Belirli integrali hesaplayın

Örnek 7

Belirli integrali hesaplayın

Bunlar kendi başınıza karar vermeniz için örneklerdir. Dersin sonunda çözümler ve cevaplar.

Ve paragrafın sonunda, analizi site ziyaretçileri sayesinde ortaya çıkan birkaç önemli nokta var. İlki endişe verici değiştirmenin yasallığı. Bazı durumlarda bu yapılamaz! Böylece, Örnek 6, öyle görünüyor ki, kullanılarak çözülebilir. evrensel trigonometrik ikame ancak entegrasyonun üst sınırı ("pi") dahil değil ihtisas bu teğet ve dolayısıyla bu ikame yasa dışıdır! Böylece, “değiştirme” işlevi sürekli olmalıdır tümünde entegrasyon segmentinin noktaları.

Başka bir e-postada şu soru geldi: "Bir fonksiyonu diferansiyel işaret altına aldığımızda integralin sınırlarını değiştirmemiz gerekiyor mu?" İlk başta "saçmalığı bir kenara bırakın" ve otomatik olarak "tabii ki hayır" cevabını vermek istedim ama sonra böyle bir sorunun nedenini düşündüm ve aniden hiçbir bilgi olmadığını keşfettim. yoksun. Ancak, her ne kadar açık olsa da, çok önemlidir:

Fonksiyonu diferansiyel işaretin altına alırsak, integralin sınırlarını değiştirmeye gerek yoktur.! Neden? Çünkü bu durumda yeni değişkene gerçek bir geçiş yok. Örneğin:

Ve burada özetleme, entegrasyonun yeni sınırlarının daha sonra "resmi" ile akademik olarak değiştirilmesinden çok daha uygundur. Böylece, Belirli integral çok karmaşık değilse, fonksiyonu her zaman diferansiyel işaretin altına koymaya çalışın.! Daha hızlıdır, daha kompakttır ve sıradandır; onlarca kez göreceğiniz gibi!

Mektuplarınız için çok teşekkür ederim!

Belirli bir integralde parçalara göre entegrasyon yöntemi

Burada daha da az yenilik var. Makalenin tüm hesaplamaları Belirsiz integralde parçalara göre entegrasyon belirli integral için tamamen geçerlidir.
Artı olan tek bir detay var; parçalı integral alma formülüne, integralin sınırları ekleniyor:

Newton-Leibniz formülünü burada iki kez uygulamak gerekir: çarpım için ve integrali aldıktan sonra.

Örnek olarak yine sitenin hiçbir yerinde henüz bulunmayan integral türünü seçtim. Örnek en basit değil ama çok ama çok bilgilendirici.

Örnek 8

Belirli integrali hesaplayın

Karar verelim.

Parçalara göre integral alalım:

İntegral konusunda zorluk yaşayanlar derse bir göz atsın Trigonometrik fonksiyonların integralleri orada ayrıntılı olarak tartışılıyor.

(1) Çözümü parçalı integral formülüne göre yazıyoruz.

(2) Ürün için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz. Geri kalan integral için onu iki integrale bölerek doğrusallık özelliklerini kullanırız. İşaretlere aldanmayın!

(4) Bulunan iki antiderivatif için Newton-Leibniz formülünü uyguluyoruz.

Dürüst olmak gerekirse formülü sevmiyorum. ve eğer mümkünse ... onsuz da yaparım! İkinci çözümü ele alalım; benim açımdan o daha mantıklı.

Belirli integrali hesaplayın

İlk aşamada belirsiz integrali buluyorum:

Parçalara göre integral alalım:

Antiderivatif fonksiyon bulunmuştur. Bu durumda sabit eklemenin bir anlamı yok.

Böyle bir yürüyüşün avantajı nedir? Entegrasyonun sınırlarını “taşımaya” gerek yok; aslında entegrasyonun sınırlarının küçük sembollerini onlarca kez yazmak yorucu olabilir;

İkinci aşamada kontrol ediyorum(genellikle taslakta).

Ayrıca mantıklı. Antiderivatif fonksiyonu yanlış bulursam belirli integrali de yanlış çözerim. Hemen öğrenmek daha iyi, cevabı farklılaştıralım:

Orijinal integrand fonksiyonu elde edilmiştir, yani antiderivatif fonksiyon doğru olarak bulunmuştur.

Üçüncü aşama Newton-Leibniz formülünün uygulanmasıdır.:

Ve burada önemli bir fayda var! "Benim" çözüm yönteminde, yerine koymalarda ve hesaplamalarda kafa karışıklığı riski çok daha düşüktür; Newton-Leibniz formülü yalnızca bir kez uygulanır. Çaydanlık benzer bir integrali aşağıdaki formülü kullanarak çözerse (ilk olarak), o zaman mutlaka bir yerde hata yapacaktır.

Ele alınan çözüm algoritması herhangi bir belirli integral için uygulanabilir..

Sevgili öğrenci, yazdırın ve kaydedin:

Size karmaşık görünen belirli bir integral verilirse veya bunun nasıl çözüleceği hemen belli değilse ne yapmalısınız?

1) İlk önce belirsiz integrali (antitürev fonksiyonu) buluyoruz. İlk aşamada bir serseri varsa, Newton ve Leibniz ile tekneyi daha fazla sallamanın bir anlamı yok. Tek bir yol var - çözme konusundaki bilgi ve becerilerinizi arttırmak belirsiz integraller.

2) Bulunan antiderivatif fonksiyonu türev alarak kontrol ederiz. Yanlış bulunursa üçüncü adım zaman kaybı olacaktır.

3) Newton-Leibniz formülünü kullanıyoruz. Tüm hesaplamaları SON DERECE DİKKATLİCE yapıyoruz - bu, görevin en zayıf halkasıdır.

Ve atıştırmalık olarak bağımsız çözüm için bir tamamlayıcı.

Örnek 9

Belirli integrali hesaplayın

Çözüm ve cevap yakınlarda bir yerde.

Konuyla ilgili bir sonraki önerilen ders Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanı nasıl hesaplanır?
Parçalara göre integral alalım:

Bunları çözdüğünüzden ve aynı yanıtları aldığınızdan emin misiniz? ;-) Ve yaşlı bir kadın için porno var.