İlkel düzey cebirin unsurlarından biri logaritmadır. İsmi Yunanca “sayı” veya “kuvvet” kelimesinden gelir ve son sayıyı bulmak için tabandaki sayının yükseltilmesi gereken kuvvet anlamına gelir.
Logaritma türleri
- log a b – b sayısının a tabanına göre logaritması (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- log b – ondalık logaritma (10 tabanına göre logaritma, a = 10);
- ln b – doğal logaritma (e tabanına göre logaritma, a = e).
Logaritmalar nasıl çözülür?
B'nin a tabanına göre logaritması, b'nin a tabanına yükseltilmesini gerektiren bir üstür. Elde edilen sonuç şu şekilde telaffuz edilir: "b'nin a tabanına göre logaritması." Logaritmik problemlerin çözümü, sayıların verilen kuvvetini belirtilen sayılardan belirlemeniz gerektiğidir. Logaritmayı belirlemek veya çözmek ve gösterimin kendisini dönüştürmek için bazı temel kurallar vardır. Bunları kullanarak logaritmik denklemler çözülür, türevler bulunur, integraller çözülür ve diğer birçok işlem gerçekleştirilir. Temel olarak logaritmanın çözümü onun basitleştirilmiş gösterimidir. Aşağıda temel formüller ve özellikler verilmiştir:
Herhangi bir a için; a > 0; a ≠ 1 ve herhangi bir x için; y > 0.
- a log a b = b – temel logaritmik özdeşlik
- 1 = 0'ı günlüğe kaydet
- log a = 1
- log a (x y) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k log a x , k ≠ 0 için
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – yeni bir tabana geçme formülü
- log a x = 1/log x a
Logaritmalar nasıl çözülür - çözmek için adım adım talimatlar
- İlk önce gerekli denklemi yazın.
Lütfen unutmayın: Taban logaritması 10 ise, giriş kısaltılır ve sonuçta ondalık logaritma elde edilir. Doğal bir e sayısı varsa, onu doğal logaritmaya indirgeyerek yazarız. Bu, tüm logaritmaların sonucunun, b sayısını elde etmek için temel sayının yükseltildiği kuvvet olduğu anlamına gelir.
Çözüm doğrudan bu derecenin hesaplanmasında yatmaktadır. Bir ifadeyi logaritmayla çözmeden önce kurala göre yani formüller kullanılarak sadeleştirilmesi gerekir. Yazıda biraz geriye giderek ana kimlikleri bulabilirsiniz.
İki farklı sayıya ancak aynı tabanlara sahip logaritmalar eklenirken ve çıkarılırken, sırasıyla b ve c sayılarının çarpımı veya bölümü olan bir logaritma ile değiştirin. Bu durumda başka bir üsse geçme formülünü uygulayabilirsiniz (yukarıya bakın).
Logaritmayı basitleştirmek için ifadeler kullanırsanız dikkate alınması gereken bazı sınırlamalar vardır. Ve bu şudur: a logaritmasının tabanı yalnızca pozitif bir sayıdır, ancak bire eşit değildir. a gibi b sayısı da sıfırdan büyük olmalıdır.
Bir ifadeyi basitleştirerek logaritmayı sayısal olarak hesaplayamayacağınız durumlar vardır. Böyle bir ifadenin mantıklı olmadığı görülür çünkü kuvvetlerin çoğu irrasyonel sayılardır. Bu durumda sayının kuvvetini logaritma olarak bırakın.
Tanımından çıkar. Ve böylece sayının logaritması B dayalı A bir sayının yükseltilmesi gereken üs olarak tanımlanır A numarayı almak için B(logaritma yalnızca pozitif sayılar için mevcuttur).
Bu formülasyondan, hesaplama şu şekildedir: x=log a b, denklemi çözmeye eşdeğerdir ax =b.Örneğin, günlük 2 8 = 3Çünkü 8 = 2 3 . Logaritmanın formülasyonu şunu doğrulamayı mümkün kılar: b=a c, sonra sayının logaritması B dayalı A eşittir İle. Logaritma konusunun bir sayının kuvvetleri konusuyla yakından ilgili olduğu da açıktır.
Herhangi bir sayıda olduğu gibi logaritmalarla da şunları yapabilirsiniz: toplama, çıkarma işlemleri ve mümkün olan her şekilde dönüştürün. Ancak logaritmalar tamamen sıradan sayılar olmadığı için burada kendi özel kuralları geçerlidir. ana özellikler.
Logaritmaların toplanması ve çıkarılması.
Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı alalım: x'i günlüğe kaydet Ve bir y'yi günlüğe kaydet. Daha sonra toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştirmek mümkündür:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
bir günlüğe kaydet(X 1 . X 2 . X 3 ... xk) = x'i günlüğe kaydet 1 + x'i günlüğe kaydet 2 + x'i günlüğe kaydet 3 + ... + a x k'yi günlüğe kaydet.
İtibaren logaritma bölüm teoremi Logaritmanın bir özelliği daha elde edilebilir. Günlüğe kaydetmenin yaygın bir bilgi olduğu A 1= 0, dolayısıyla
kayıt A 1 /B=günlük A 1 - günlük bir b= -günlük bir b.
Bu, bir eşitliğin olduğu anlamına gelir:
log a 1 / b = - log a b.
Karşılıklı iki sayının logaritması aynı nedenden ötürü birbirinden yalnızca işaret açısından farklılık gösterecektir. Bu yüzden:
Günlük 3 9= - günlük 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Problem B7 basitleştirilmesi gereken bazı ifadeler veriyor. Sonuç, cevap kağıdınıza yazılabilecek normal bir sayı olmalıdır. Tüm ifadeler geleneksel olarak üç türe ayrılır:
- Logaritmik,
- Gösterge niteliğinde,
- Kombine.
Saf haliyle üstel ve logaritmik ifadeler neredeyse hiç bulunmaz. Ancak bunların nasıl hesaplandığını bilmek kesinlikle gereklidir.
Genel olarak B7 sorunu oldukça basit bir şekilde çözülür ve ortalama bir mezunun yetenekleri dahilindedir. Açık algoritmaların eksikliği, standardizasyonu ve monotonluğu ile telafi edilmektedir. Bu tür sorunları basit bir şekilde birçok eğitimle çözmeyi öğrenebilirsiniz.
Logaritmik İfadeler
B7 problemlerinin büyük çoğunluğu şu veya bu şekilde logaritma içerir. Bu konu geleneksel olarak zor kabul edilir, çünkü çalışması genellikle final sınavlarına toplu hazırlık dönemi olan 11. sınıfta gerçekleşir. Sonuç olarak, pek çok mezun logaritma konusunda çok belirsiz bir anlayışa sahiptir.
Ancak bu görevde hiç kimse derin teorik bilgiye ihtiyaç duymaz. Yalnızca basit akıl yürütme gerektiren ve bağımsız olarak kolayca öğrenilebilecek en basit ifadelerle karşılaşacağız. Logaritmalarla baş etmek için bilmeniz gereken temel formüller aşağıda verilmiştir:
Ek olarak, kökleri ve kesirleri rasyonel bir üslü kuvvetlerle değiştirebilmeniz gerekir, aksi takdirde bazı ifadelerde logaritma işaretinin altından çıkarılacak hiçbir şey olmayacaktır. Değiştirme formülleri:
Görev. İfadelerin anlamını bulun:
günlük 6 270 – günlük 6 7,5
günlük 5 775 - günlük 5 6,2
İlk iki ifade logaritmanın farkı olarak dönüştürülür:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 - log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.
Üçüncü ifadeyi hesaplamak için hem temelde hem de argümanda güçleri ayırmanız gerekecek. İlk önce iç logaritmayı bulalım:
Sonra - harici:
Log a log b x formunun yapıları karmaşık görünüyor ve çoğu kişi tarafından yanlış anlaşılıyor. Bu arada, bu sadece logaritmanın logaritması, yani. log a (log b x ). İlk olarak, iç logaritma hesaplanır (log b x = c koyun) ve ardından harici olan: log a c.
Gösterici İfadeler
A ve k sayılarının keyfi sabitler olduğu ve a > 0 olduğu a k formundaki herhangi bir yapıya üstel ifade diyeceğiz. Bu tür ifadelerle çalışma yöntemleri oldukça basittir ve 8. sınıf cebir derslerinde tartışılmaktadır.
Aşağıda kesinlikle bilmeniz gereken temel formüller bulunmaktadır. Bu formüllerin pratikte uygulanması kural olarak sorun yaratmaz.
- bir n · bir m = bir n + m;
- bir n / bir m = bir n - m;
- (bir n ) m = bir n · m;
- (a · b ) n = a n · b n;
- (a : b ) n = bir n : b n.
Güçleri olan karmaşık bir ifadeyle karşılaşırsanız ve ona nasıl yaklaşacağınız net değilse, evrensel bir teknik kullanın: basit faktörlere ayrıştırma. Bunun sonucunda kuvvet tabanlarındaki büyük sayılar yerini basit ve anlaşılır unsurlara bırakmıştır. O zaman geriye kalan tek şey yukarıdaki formülleri uygulamaktır - ve sorun çözülecektir.
Görev. İfadelerin değerlerini bulun: 7 9 · 3 11: 21 8, 24 7: 3 6: 16 5, 30 6: 6 5: 25 2.
Çözüm. Gücün tüm temellerini basit faktörlere ayıralım:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .
Birleşik görevler
Formülleri biliyorsanız, tüm üstel ve logaritmik ifadeler tam anlamıyla tek bir satırda çözülebilir. Ancak B7 Probleminde kuvvetler ve logaritmalar oldukça güçlü kombinasyonlar oluşturacak şekilde birleştirilebilir.
Doğal logaritmanın temel özellikleri, grafiği, tanım bölgesi, değer kümesi, temel formüller, türev, integral, kuvvet serisi açılımı ve ln x fonksiyonunun karmaşık sayılar kullanılarak gösterimi verilmektedir.
Tanım
Doğal logaritma fonksiyon y = x olarak, üstel sayının tersi, x = e y ve e sayısının tabanının logaritmasıdır: ln x = log e x.
Doğal logaritma matematikte yaygın olarak kullanılır çünkü türevi en basit forma sahiptir: (ln x)' = 1/ x.
dayalı tanımlar doğal logaritmanın tabanı sayıdır e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
y = fonksiyonunun grafiği x olarak.
Doğal logaritmanın grafiği (fonksiyonlar y = x olarak), y = x düz çizgisine göre ayna yansımasıyla üstel grafikten elde edilir.
Doğal logaritma, x değişkeninin pozitif değerleri için tanımlanır.
Tanım alanında monoton bir şekilde artar. 0 x'te →
doğal logaritmanın sınırı eksi sonsuzdur (-∞).
X → + ∞ olduğundan doğal logaritmanın sınırı artı sonsuzdur (+ ∞). Büyük x için logaritma oldukça yavaş artar. Pozitif bir a üssüne sahip herhangi bir xa kuvvet fonksiyonu logaritmadan daha hızlı büyür.
Doğal logaritmanın özellikleri
Tanım alanı, değerler kümesi, ekstrema, artış, azalma
Doğal logaritma monotonik olarak artan bir fonksiyon olduğundan ekstremum değeri yoktur. Doğal logaritmanın temel özellikleri tabloda sunulmaktadır.
lnx değerleri
Doğal logaritmalar için temel formüller
Ters fonksiyonun tanımından aşağıdaki formüller:
Logaritmanın temel özelliği ve sonuçları
Baz değiştirme formülü
Herhangi bir logaritma, baz ikame formülü kullanılarak doğal logaritma cinsinden ifade edilebilir:
Bu formüllerin ispatları Logaritma bölümünde sunulmuştur.
Ters fonksiyon
Doğal logaritmanın tersi üstür.
Eğer öyleyse
Eğer öyleyse.
Türev ln x
Doğal logaritmanın türevi:
.
Modül x'in doğal logaritmasının türevi:
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
İntegral
İntegral, parçalara göre entegrasyonla hesaplanır:
.
Bu yüzden,
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
Karmaşık z değişkeninin fonksiyonunu düşünün:
.
Karmaşık değişkeni ifade edelim z modül aracılığıyla R ve argüman φ
:
.
Logaritmanın özelliklerini kullanarak şunu elde ederiz:
.
Veya
.
φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Eğer koyarsan
n bir tamsayı olmak üzere,
farklı n'ler için aynı sayı olacaktır.
Bu nedenle, karmaşık bir değişkenin fonksiyonu olarak doğal logaritma, tek değerli bir fonksiyon değildir.
Kuvvet serisi genişletmesi
Genişleme gerçekleştiğinde:
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Çözümü olan görevler logaritmik ifadeleri dönüştürme Birleşik Devlet Sınavında oldukça yaygındır.
Onlarla minimum sürede başarılı bir şekilde başa çıkabilmek için, temel logaritmik kimliklere ek olarak, daha fazla formülü bilmeniz ve doğru kullanmanız gerekir.
Bu: a log a b = b, burada a, b > 0, a ≠ 1 (Doğrudan logaritmanın tanımından çıkar).
log a b = log c b / log c a veya log a b = 1/log b a
burada a, b, c > 0; a, c ≠ 1.
log a m b n = (m/n) log |a| |b|
burada a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.
a log c b = b log c a
burada a, b, c > 0 ve a, b, c ≠ 1
Dördüncü eşitliğin geçerliliğini göstermek için sol ve sağ tarafların a tabanına göre logaritmasını alalım. Log a (a log with b) = log a (b log with a) veya log with b = log with a · log a b; log c b = log c a · (log c b / log ca); b ile giriş yapın = b ile giriş yapın.
Logaritmaların eşitliğini kanıtlamış olduk, yani logaritmaların altındaki ifadeler de eşittir. Formül 4 kanıtlandı.
Örnek 1.
81 log 27 5 log 5 4'ü hesaplayın.
Çözüm.
81 = 3 4 , 27 = 3 3 .
log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5. Dolayısıyla,
log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.
O halde 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz.
Hesaplayın (8 log 2 3 + 3 1/ log 2 3) - log 0,2 5.
Bir ipucu olarak, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,2 5 = -1.
Cevap: 5.
Örnek 2.
Hesapla (√11) kayıt √3 9- günlük 121 81 .
Çözüm.
İfadeleri değiştirelim: 9 = 3 2, √3 = 3 1/2, log √3 9 = 4,
121 = 11 2, 81 = 3 4, log 121 81 = 2 log 11 3 (formül 3 kullanıldı).
O zaman (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.
Örnek 3.
Günlük 2 24 / günlük 96 2 - günlük 2 192 / günlük 12 2'yi hesaplayın.
Çözüm.
Örnekte yer alan logaritmaları 2 tabanlı logaritmalarla değiştiriyoruz.
log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);
log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);
günlük 2 24 = günlük 2 (2 3 3) = (günlük 2 2 3 + günlük 2 3) = (3 + günlük 2 3);
log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).
Sonra log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =
= (3 + log 2 3) · (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3)(2 + log 2 3).
Parantezleri açıp benzer terimleri getirdikten sonra 3 sayısını elde ederiz. (İfadeyi sadeleştirirken log 2 3'ü n ile gösterip ifadeyi basitleştirebiliriz.)
(3 + n) · (5 + n) – (6 + n)(2 + n)).
Cevap: 3.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:
Hesapla (günlük 3 4 + günlük 4 3 + 2) günlük 3 16 günlük 2 144 3.
Burada 3 tabanlı logaritmaya geçiş yapmak ve büyük sayıları asal çarpanlara ayırmak gerekiyor.
Cevap:1/2
Örnek 4.
Verilen üç sayı A = 1/(log 3 0,5), B = 1/(log 0,5 3), C = log 0,5 12 – log 0,5 3. Bunları artan sırada düzenleyin.
Çözüm.
Sayıları A = 1/(log 3 0,5) = log 0,5 3'e dönüştürelim; C = log 0,5 12 – log 0,5 3 = log 0,5 12/3 = log 0,5 4 = -2.
Onları karşılaştıralım
log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 ve log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.
Veya -2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.
Cevap. Bu nedenle sayıların yerleştirilme sırası şu şekildedir: C; A; İÇİNDE.
Örnek 5.
Aralıkta kaç tam sayı var (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).
Çözüm.
1/16 sayısının 3 sayısının hangi kuvvetleri arasında yer aldığını belirleyelim. 1/27 alıyoruz< 1 / 16 < 1 / 9 .
y = log 3 x fonksiyonu arttığına göre log 3 (1/27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.
log 6 48 = log 6 (36 4/3) = log 6 36 + log 6 (4/3) = 2 + log 6 (4/3). Log 6 (4/3) ile 1/5'i karşılaştıralım. Bunun için 4/3 ve 6 1/5 sayılarını karşılaştırıyoruz. Her iki sayıyı da 5'inci kuvvete çıkaralım. (4/3) 5 = 1024/243 = 4 52/243 elde ederiz< 6. Следовательно,
günlük 6 (4 / 3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.
Bu nedenle aralık (log 3 1 / 16; log 6 48) [-2; 4] ve üzerine -2 tam sayıları yerleştirilir; -1; 0; 1; 2; 3; 4.
Cevap: 7 tam sayı.
Örnek 6.
3 lglg 2/ lg 3 - lg20'yi hesaplayın.
Çözüm.
3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lо g 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.
O halde 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 – lg 20 = lg 0,1 = -1.
Cevap: -1.
Örnek 7.
Log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 – 2) = A olduğu biliniyor. Log 2 (√3 –1) + log 2 (√6 + 2)'yi bulun.
Çözüm.
Sayılar (√3 + 1) ve (√3 – 1); (√6 – 2) ve (√6 + 2) eşleniktir.
Aşağıdaki ifade dönüşümünü gerçekleştirelim
√3 – 1 = (√3 – 1) · (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);
√6 + 2 = (√6 + 2) · (√6 – 2)) / (√6 – 2) = 2/(√6 – 2).
O halde log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =
Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =
2 – log 2 (√3 + 1) – log 2 (√6 – 2) = 2 – A.
Cevap: 2 – A.
Örnek 8.
İfadeyi basitleştirin ve yaklaşık değerini bulun (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.
Çözüm.
Tüm logaritmaları ortak 10 tabanına indirgeyelim.
(günlük 3 2 günlük 4 3 günlük 5 4 günlük 6 5 ... günlük 10 9 = (lg 2 / lg 3) (lg 3 / lg 4) (lg 4 / lg 5) (lg 5 / lg 6) · … · (lg 8 / lg 9) · lg 9 = lg 2 ≈ 0,3010 (lg 2'nin yaklaşık değeri bir tablo, hesap cetveli veya hesap makinesi kullanılarak bulunabilir).
Cevap: 0,3010.
Örnek 9.
Log √ a b 3 = 1 ise log a 2 b 3 √(a 11 b -3)'ü hesaplayın. (Bu örnekte a 2 b 3 logaritmanın tabanıdır).
Çözüm.
Log √ a b 3 = 1 ise 3/(0,5 log a b = 1. Ve log a b = 1/6.
O halde log a 2 b 3√(a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a 2 + log a b 3)) = (11 – 3log a b) / (2(2 + 3log a b)) log a b = 1/ olduğunu düşünürsek 6'dan (11 – 3 1 / 6) / (2(2 + 3 1 / 6)) = 10,5/5 = 2,1 elde ederiz.
Cevap: 2.1.
Aşağıdaki görevi kendiniz tamamlayabilirsiniz:
Log 0,7 27 = a ise log √3 6 √2,1'i hesaplayın.
Cevap: (3 + a) / (3a).
Örnek 10.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log125'i hesaplayın.
Çözüm.
6,5 4/ log 3 169 · 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 · 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = ( 3 2 /(2 log 13 3) 2) · (2 log 13 3) 2 + 6.
(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (formül 4))
9 + 6 = 15 elde ederiz.
Cevap: 15.
Hala sorularınız mı var? Logaritmik bir ifadenin değerini nasıl bulacağınızdan emin değil misiniz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.