Bir ifadeyi basitleştirme örnekleri. Cebirsel ifadeler nasıl basitleştirilir

§ 1 Gerçek bir ifadeyi basitleştirme kavramı

Bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanışacağız ve örnekler kullanarak benzer terimlerin indirgenmesini, böylece gerçek ifadelerin nasıl basitleştirileceğini öğreneceğiz.

“Basitleştirme” kavramının anlamını bulalım. “Basitleştirme” sözcüğü “basitleştirme” sözcüğünden türetilmiştir. Basitleştirmek, basitleştirmek, daha basit hale getirmek anlamına gelir. Bu nedenle, harfi harfine bir ifadeyi basitleştirmek, onu kısaltmak anlamına gelir; minimum miktar eylemler.

9x + 4x ifadesini düşünün. Bu bir toplam olan gerçek bir ifadedir. Buradaki terimler bir sayı ve bir harfin ürünleri olarak sunulmaktadır. Bu tür terimlerin sayısal faktörüne katsayı denir. Bu ifadede katsayılar 9 ve 4 sayıları olacaktır. Harfin temsil ettiği çarpanın bu toplamın her iki teriminde de aynı olduğuna dikkat ediniz.

Çarpmanın dağılım yasasını hatırlayalım:

Bir toplamı bir sayıyla çarpmak için her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen çarpımları ekleyebilirsiniz.

İÇİNDE genel görünümşu şekilde yazılır: (a + b) ∙ c = ac + bc.

Bu yasa her iki yönde de doğrudur ac + bc = (a + b) ∙ c

Bunu harfi harfine ifademize uygulayalım: 9x ile 4x'in çarpımlarının toplamı, birinci çarpanı olan çarpıma eşittir. toplamına eşit 9 ve 4, ikinci faktör x'tir.

9 + 4 = 13, yani 13x.

9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.

İfadede üç işlem yerine tek bir işlem kalıyor; çarpma. Bu, harfiyen ifademizi daha basit hale getirdiğimiz anlamına gelir; basitleştirdi.

§ 2 Benzer terimlerin azaltılması

9x ve 4x terimleri yalnızca katsayılarında farklılık gösterir - bu tür terimlere benzer denir. Benzer terimlerin harf kısımları aynıdır. Benzer terimler aynı zamanda sayıları ve eşit terimleri de içerir.

Örneğin, 9a + 12 - 15 ifadesinde benzer terimler 12 ve -15 sayıları olacak ve 12 ve 6a'nın çarpımının toplamında, 14 sayısı ve 12 ile 6a'nın çarpımı (12 ∙ 6a + 14) olacaktır. + 12 ∙ 6a) 12 ve 6a'nın çarpımı ile temsil edilen eşit terimler.

Katsayıları eşit ancak harf faktörleri farklı olan terimlerin benzer olmadığını belirtmek önemlidir; ancak bazen bunlara dağıtım çarpma yasasını uygulamak yararlı olabilir; örneğin, 5x ve 5y çarpımlarının toplamı şöyledir: 5 sayısının çarpımı ile x ve y'nin toplamına eşittir

5x + 5y = 5(x + y).

-9a + 15a - 4 + 10 ifadesini basitleştirelim.

Benzer terimler bu durumda-9a ve 15a terimleridir, çünkü bunlar yalnızca katsayıları bakımından farklılık gösterir. Harf çarpanları aynıdır ve sayı oldukları için -4 ve 10 terimleri de benzerdir. Benzer terimleri ekleyin:

9a + 15a - 4 + 10

9a + 15a = 6a;

Şunu elde ederiz: 6a + 6.

İfadeyi basitleştirerek benzer terimlerin toplamlarını bulduk; matematikte buna benzer terimlerin indirgenmesi denir.

Bu tür terimleri eklemek zorsa, onlar için kelimeler bulabilir ve nesneler ekleyebilirsiniz.

Örneğin şu ifadeyi düşünün:

Her harf için kendi nesnemizi alırız: b-elma, c-armut, sonra şunu elde ederiz: 2 elma eksi 5 armut artı 8 armut.

Armutları elmalardan çıkarabilir miyiz? Tabii ki değil. Ama eksi 5 armuta 8 armut ekleyebiliriz.

Benzer terimleri sunalım -5 armut + 8 armut. Benzer terimlerin harf kısmı aynı olduğundan benzer terimleri getirirken katsayıları toplayıp harf kısmını sonuca eklemek yeterlidir:

(-5 + 8) armut - 3 armut alırsınız.

Kelimenin tam anlamıyla ifademize dönersek -5 s + 8 s = 3 s elde ederiz. Böylece benzer terimler getirilerek 2b + 3c ifadesi elde edilir.

Yani bu derste "benzer terimler" kavramıyla tanıştınız ve benzer terimleri azaltarak harfli ifadeleri nasıl basitleştireceğinizi öğrendiniz.

Kullanılan literatürün listesi:

1. Matematik. 6. sınıf: ders planları ders kitabına I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // yazar-derleyici L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
2. Matematik. 6. sınıf: öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları. I.I.Zubareva, A.G. Mordkovich - M .: Mnemosyne, 2013.
3. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için ders kitabı/G.V. Dorofeev, I.F. Sharygin, S.B. Suvorov ve diğerleri/düzenleyen: G.V. Dorofeeva, I.F. Sharygina; Rusya Bilimler Akademisi, Rusya Eğitim Akademisi. M.: “Aydınlanma”, 2010.
4. Matematik. 6. sınıf: genel eğitim kurumları için çalışma/N.Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyne, 2013.
5. Matematik. 6. sınıf: ders kitabı/G.K. Muravin, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014.

Kullanılan görseller:

Çoğu zaman görevler basitleştirilmiş bir yanıt gerektirir. Hem basitleştirilmiş hem de basitleştirilmiş cevaplar doğru olsa da, cevabınızı basitleştirmezseniz eğitmeniniz notunuzu düşürebilir. Üstelik basitleştirilmiş matematiksel ifadeyle çalışmak çok daha kolaydır. Bu nedenle ifadeleri basitleştirmeyi öğrenmek çok önemlidir.

Adımlar

Matematiksel işlemlerin doğru sırası

1. Doğru yürütme sırasını hatırlayın matematiksel işlemler. Matematiksel bir ifadeyi basitleştirirken dikkat edilmesi gerekenler belli bir düzen bazı matematiksel işlemler diğerlerinden öncelikli olduğundan ve ilk önce yapılması gerektiğinden (aslında işlemleri doğru yapma sırasını takip etmemek sizi yanlış sonuca sürükleyecektir). Matematiksel işlemlerin şu sırasını hatırlayın: parantez içindeki ifade, üs alma, çarpma, bölme, toplama, çıkarma.

   • İşlemlerin doğru sırasını bilmenin çoğu basit ifadeyi basitleştirmenize olanak sağlayacağını, ancak bir polinomu (değişkenli bir ifade) basitleştirmek için özel hileler bilmeniz gerektiğini unutmayın (sonraki bölüme bakın).

2. Parantez içindeki ifadeyi çözerek başlayın. Matematikte parantezler öncelikle içlerindeki ifadenin değerlendirilmesi gerektiğini belirtir. Bu nedenle, herhangi bir matematiksel ifadeyi basitleştirirken, parantez içindeki ifadeyi çözerek başlayın (parantez içinde hangi işlemleri yapmanız gerektiği önemli değildir). Ancak parantez içine alınmış bir ifadeyle çalışırken işlem sırasını takip etmeniz gerektiğini, yani parantez içindeki terimlerin önce çarpıldığını, bölündüğünü, toplandığını, çıkarıldığını vb. unutmayın.

   • Örneğin ifadeyi basitleştirelim 2x + 4(5 + 2) + 3 2 - (3 + 4/2). Burada parantez içindeki ifadelerle başlıyoruz: 5 + 2 = 7 ve 3 + 4/2 = 3 + 2 =5.
     • İkinci parantez çiftindeki ifade 5'e sadeleştirilir çünkü önce 4/2'nin bölünmesi gerekir (doğru işlem sırasına göre). Bu sırayı takip etmezseniz yanlış cevabı alırsınız: 3 + 4 = 7 ve 7 ÷ 2 = 7/2.
   • Parantez içinde başka bir parantez çifti varsa, iç parantez içindeki ifadeyi çözerek basitleştirmeye başlayın ve ardından dış parantez içindeki ifadeyi çözmeye geçin.

3. Üsselleştirme. Parantez içindeki ifadeleri çözdükten sonra üs alma işlemine geçin (bir kuvvetin üssü ve tabanı olduğunu unutmayın). Karşılık gelen ifadeyi (veya sayıyı) bir kuvvete yükseltin ve sonucu size verilen ifadenin yerine koyun.

   • Örneğimizde üssü olan tek ifade (sayı) 3 2: 3 2 = 9'dur. Size verilen ifadede 3 2'yi 9 ile değiştirirseniz şunu elde edersiniz: 2x + 4(7) + 9 - 5.

4. Çarp.Çarpma işleminin şu sembollerle temsil edilebileceğini unutmayın: "x", "∙" veya "*". Ancak sayı ile değişken arasında (örneğin 2x) ya da sayı ile parantez içindeki sayı arasında (örneğin 4(7)) herhangi bir sembol yoksa bu da bir çarpma işlemidir.

   • Örneğimizde iki çarpma işlemi vardır: 2x (“x” değişkeniyle ikinin çarpımı) ve 4(7) (dörtün yediyle çarpımı). X'in değerini bilmediğimizden 2x ifadesini olduğu gibi bırakacağız. 4(7) = 4 x 7 = 28. Şimdi size verilen ifadeyi şu şekilde yeniden yazabilirsiniz: 2x + 28 + 9 - 5.

5. Bölmek. Bölme işleminin şu sembollerle temsil edilebileceğini unutmayın: “/”, “÷” veya “–” (kesirlerdeki son karakteri görebilirsiniz). Örneğin 3/4, üç bölü dörde eşittir.

   • Örneğimizde parantez içindeki ifadeyi çözerken zaten 4'e 2 (4/2) böldüğünüz için artık bölme işlemi yapılmamaktadır. Yani şuraya gidebilirsin: sonraki adım. Çoğu ifadenin matematiksel işlemlerin tamamını (yalnızca bazılarını) içermediğini unutmayın.

6. Katlamak. Bir ifadenin terimlerini eklerken en uzaktaki (soldaki) terimden başlayabilir veya en önce kolayca eklenen terimleri ekleyebilirsiniz. Örneğin 49 + 29 + 51 +71 ifadesinde önce 49 + 51 = 100, sonra 29 + 71 = 100 ve son olarak 100 + 100 = 200 eklemek daha kolaydır. Şu şekilde eklemek çok daha zordur: 49 + 29 = 78; 78 + 51 = 129; 129 + 71 = 200.

   • Örneğimizde 2x + 28 + 9 + 5'te iki toplama işlemi vardır. En dıştaki (soldaki) terimle başlayalım: 2x + 28; "x" değişkeninin değerini bilmediğiniz için 2x ve 28'i ekleyemezsiniz. Bu nedenle 28 + 9 = 37 ekleyin. Şimdi ifade şu şekilde yeniden yazılabilir: 2x + 37 - 5.

7. Çıkar. Bu son operasyon V doğru sırayla Matematiksel işlemleri gerçekleştirmek. Bu aşamada ayrıca ekleyebilirsiniz. negatif sayılar veya bunu üye ekleme aşamasında yapın - bu, nihai sonucu hiçbir şekilde etkilemeyecektir.

   • Örneğimizde 2x + 37 - 5 yalnızca bir çıkarma işlemi vardır: 37 - 5 = 32.

8. Bu aşamada tüm matematiksel işlemleri yaptıktan sonra basitleştirilmiş bir ifade elde etmelisiniz. Ancak size verilen ifade bir veya daha fazla değişken içeriyorsa değişken teriminin olduğu gibi kalacağını unutmayın. Bir ifadeyi değişkenle çözmek (basitleştirmek değil), o değişkenin değerini bulmayı içerir. Bazen değişken ifadeler kullanılarak basitleştirilebilir özel yöntemler(sonraki bölüme bakın).

   • Örneğimizde son cevap 2x + 32'dir. "x" değişkeninin değerini öğrenene kadar iki terimi ekleyemezsiniz. Değişkenin değerini öğrendikten sonra bu binom ifadesini kolaylıkla basitleştirebilirsiniz.

   Karmaşık ifadeleri basitleştirme

   1. Benzer terimlerin eklenmesi. Yalnızca benzer terimleri, yani aynı değişkene sahip terimleri çıkarıp çıkarabileceğinizi unutmayın. aynı gösterge derece. Örneğin 7x ve 5x'i toplayabilirsiniz ancak 7x ve 5x 2'yi ekleyemezsiniz (üsler farklı olduğundan).

      • Bu kural birden fazla değişkene sahip üyeler için de geçerlidir. Örneğin, 2xy 2 ve -3xy 2 ekleyebilirsiniz ancak 2xy 2 ve -3x 2 y veya 2xy 2 ve -3y 2 ekleyemezsiniz.
      • Bir örneğe bakalım: x 2 + 3x + 6 - 8x. Burada benzer terimler 3x ve 8x olduğundan bunlar toplanabilir. Basitleştirilmiş ifade şuna benzer: x 2 - 5x + 6.

   2. Sayı kesrini basitleştirin. Böyle bir kesirde hem pay hem de payda sayılar içerir (değişkensiz). Sayısal kesirçeşitli şekillerde basitleştirilmiştir. Öncelikle paydayı paya bölün. İkinci olarak, pay ve paydayı çarpanlara ayırın ve benzer çarpanları iptal edin (çünkü bir sayıyı kendisine bölmek size 1 değerini verecektir). Başka bir deyişle, hem pay hem de payda aynı çarpana sahipse, onu bırakıp basitleştirilmiş bir kesir elde edebilirsiniz.

      • Örneğin 36/60 kesrini ele alalım. Bir hesap makinesi kullanarak 0,6 değerini elde etmek için 36'yı 60'a bölün. Ancak pay ve paydayı çarpanlara ayırarak bu kesri başka bir şekilde basitleştirebilirsiniz: 36/60 = (6x6)/(6x10) = (6/6)*(6/10). 6/6 = 1 olduğundan sadeleştirilmiş kesir: 1 x 6/10 = 6/10. Ancak bu kesir de basitleştirilebilir: 6/10 = (2x3)/(2*5) = (2/2)*(3/5) = 3/5.

   3. Bir kesir bir değişken içeriyorsa, değişkenle benzer faktörleri iptal edebilirsiniz. Hem payı hem de paydayı çarpanlara ayırın ve değişkeni içerseler bile benzer faktörleri iptal edin (buradaki benzer faktörlerin değişkeni içerebileceğini veya içermeyebileceğini unutmayın).

      • Bir örneğe bakalım: (3x 2 + 3x)/(-3x 2 + 15x). Bu ifade şu şekilde yeniden yazılabilir (çarpanlarına ayrılabilir): (x + 1)(3x)/(3x)(5 - x). 3x terimi hem pay hem de paydada olduğundan, basitleştirilmiş bir ifade vermek için onu iptal edebilirsiniz: (x + 1)/(5 - x). Başka bir örneğe bakalım: (2x 2 + 4x + 6)/2 = (2(x 2 + 2x + 3))/2 = x 2 + 2x + 3.
      • Lütfen herhangi bir terimi iptal edemeyeceğinizi unutmayın; yalnızca hem pay hem de paydada bulunan aynı faktörler iptal edilir. Örneğin, (x(x + 2))/x ifadesinde, "x" değişkeni (faktör) hem payda hem de paydadadır, dolayısıyla basitleştirilmiş bir ifade elde etmek için "x" azaltılabilir: (x + 2)/1 = x + 2. Ancak (x + 2)/x ifadesinde “x” değişkeni azaltılamaz (“x” payda bir faktör olmadığı için).

   4. Parantezleri açın. Bunu yapmak için parantez dışındaki terimi parantez içindeki her terimle çarpın. Bazen bu karmaşık bir ifadeyi basitleştirmeye yardımcı olur. Bu her iki üye için de geçerlidir. asal sayılar ve değişkeni içeren üyelere.

      • Örneğin, 3(x 2 + 8) = 3x 2 + 24 ve 3x(x 2 + 8) = 3x 3 + 24x.
      • Lütfen şunu unutmayın: kesirli ifadeler Hem payda hem de paydada aynı faktör mevcutsa parantez açmaya gerek yoktur. Örneğin, (3(x 2 + 8))/3x ifadesinde parantezleri genişletmeye gerek yoktur, çünkü burada 3'ün faktörünü iptal edebilir ve basitleştirilmiş (x 2 + 8)/x ifadesini elde edebilirsiniz. Bu ifadeyle çalışmak daha kolaydır; parantezleri genişletirseniz şu karmaşık ifadeyi elde edersiniz: (3x 3 + 24x)/3x.

   5. Faktör polinomları. Bu yöntemi kullanarak bazı ifadeleri ve polinomları basitleştirebilirsiniz. Faktoring bir işlemdir açılmanın tersi parantezler yani ifade, her biri parantez içine alınmış iki ifadenin çarpımı olarak yazılır. Bazı durumlarda çarpanlara ayırma azaltabilir aynı ifade. İÇİNDE özel durumlar(genellikle ile ikinci dereceden denklemler) çarpanlara ayırma denklemi çözmenize izin verecektir.

      • x 2 - 5x + 6 ifadesini düşünün. Çarpanlarına alınır: (x - 3)(x - 2). Dolayısıyla, örneğin (x 2 - 5x + 6)/(2(x - 2)) ifadesi verilirse, bunu (x - 3)(x - 2)/(2(x) olarak yeniden yazabilirsiniz. - 2)), (x - 2) ifadesini azaltın ve basitleştirilmiş bir (x - 3)/2 ifadesi elde edin.
      • Çarpanlarına ayırma polinomları denklemleri çözmek (kökleri bulmak) için kullanılır (bir denklem 0'a eşit bir polinomdur). Örneğin, x 2 - 5x + 6 = 0 denklemini düşünün. Bunu çarpanlara ayırdığınızda (x - 3)(x - 2) = 0 elde edersiniz. 0 ile çarpılan herhangi bir ifade 0'a eşit olduğundan, bunu şu şekilde yazabiliriz: bu : x - 3 = 0 ve x - 2 = 0. Böylece x = 3 ve x = 2 yani size verilen denklemin iki kökünü bulmuş olursunuz.

Değişmez bir ifade (veya değişkenleri olan bir ifade) matematiksel ifade Matematiksel işlemlerin sayıları, harfleri ve sembollerinden oluşan. Örneğin, aşağıdaki ifade gerçektir:

a+b+4

Alfabetik ifadeleri kullanarak kanunlar, formüller, denklemler ve fonksiyonlar yazabilirsiniz. Harf ifadelerini değiştirme yeteneği anahtardır iyi bilgi cebir ve yüksek matematik.

Matematikteki herhangi bir ciddi problem denklemlerin çözülmesiyle ilgilidir. Denklemleri çözebilmek için de gerçek ifadelerle çalışabilmeniz gerekir.

Gerçek ifadelerle çalışmak için temel aritmetik konusunda bilgili olmanız gerekir: toplama, çıkarma, çarpma, bölme, matematiğin temel yasaları, kesirler, kesirlerle işlemler, oranlar. Ve sadece çalışmakla kalmayın, iyice anlayın.

Ders içeriği

Değişkenler

Gerçek ifadelerin içerdiği harflere denir değişkenler. Örneğin, ifadede a+b+4 değişkenler harflerdir A Ve B. Bu değişkenlerin yerine herhangi bir sayı koyarsak, o zaman değişmez ifade a+b+4 temas etmek sayısal ifade değeri bulunabilir.

Değişkenlerin yerine geçen sayılara denir değişkenlerin değerleri. Örneğin değişkenlerin değerlerini değiştirelim A Ve B. Değerleri değiştirmek için eşittir işareti kullanılır

a = 2, b = 3

Değişkenlerin değerlerini değiştirdik A Ve B. Değişken A bir değer atandı 2 , değişken B bir değer atandı 3 . Sonuç olarak, gerçek ifade a+b+4 normal sayısal ifadeye dönüşür 2+3+4 değeri bulunabilir:

2 + 3 + 4 = 9

Değişkenler çarpıldığında birlikte yazılırlar. Örneğin, kayıt ab girişle aynı anlama gelir a×b. Değişkenleri yerine koyarsak A Ve B sayılar 2 Ve 3 , o zaman 6 elde ederiz

2 × 3 = 6

Ayrıca bir sayının çarpımını parantez içindeki bir ifadeyle de yazabilirsiniz. Örneğin, bunun yerine a×(b + c) yazılabilir a(b + c). Çarpma dağıtım yasasını uygulayarak şunu elde ederiz: a(b + c)=ab+ac.

Oranlar

Gerçek ifadelerde sıklıkla bir sayının ve bir değişkenin birlikte yazıldığı bir gösterim bulabilirsiniz; örneğin 3a. Bu aslında 3 sayısını bir değişkenle çarpmanın kısaltmasıdır. A ve bu giriş şuna benziyor 3 × bir .

Başka bir deyişle ifade 3a 3 sayısı ile değişkenin çarpımıdır A. Sayı 3 bu işte çağırıyorlar katsayı. Bu katsayı değişkenin kaç kat artırılacağını gösterir. A. Bu ifade şu şekilde okunabilir: Aüç kez" veya "üç kez" A" veya "bir değişkenin değerini artırın Aüç kez", ancak çoğunlukla "üç kez" olarak okunur A«

Örneğin, eğer değişken A eşit 5 , ardından ifadenin değeri 3a 15'e eşit olacaktır.

3 × 5 = 15

Konuşuyorum basit bir dille, katsayı harften önce (değişkenden önce) gelen sayıdır.

Örneğin birkaç harf olabilir 5abc. Burada katsayı sayıdır 5 . Bu katsayı değişkenlerin çarpımının olduğunu gösterir ABC beş kat artar. Bu ifade şu şekilde okunabilir: ABC beş kat" veya "ifadenin değerini artır" ABC beş kez" veya "beş kez" ABC«.

Değişkenler yerine ABC 2, 3 ve 4 sayılarını yerine koyun, ardından ifadenin değerini yazın 5abc eşit olacak 120

5 × 2 × 3 × 4 = 120

2, 3 ve 4 sayılarının ilk önce nasıl çarpıldığını ve ortaya çıkan değerin nasıl beş kat arttığını zihinsel olarak hayal edebilirsiniz:

Katsayının işareti yalnızca katsayıya atıfta bulunur ve değişkenler için geçerli değildir.

İfadeyi düşünün −6b. Katsayıdan önce eksi 6 , yalnızca katsayı için geçerlidir 6 ve değişkene ait değil B. Bu gerçeği anlamak ileride işaretlerle hata yapmamanızı sağlayacaktır.

İfadenin değerini bulalım −6b en b = 3.

−6b −6×b. Açıklık sağlamak için ifadeyi yazalım −6b genişletilmiş biçimde ve değişkenin değerini değiştirin B

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun −6b en b = −5

İfadeyi yazalım −6b genişletilmiş biçimde

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun −5a+b en bir = 3 Ve b = 2

−5a+b Bu kısa biçim gelen girişler −5 × a + b netlik sağlamak için ifadeyi yazıyoruz −5×a+b genişletilmiş biçimde ve değişkenlerin değerlerini değiştirin A Ve B

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Bazen harfler katsayı olmadan yazılır, örneğin A veya ab. Bu durumda katsayı birliktir:

ancak geleneksel olarak birim yazılmaz, bu nedenle basitçe yazılır A veya ab

Harften önce eksi varsa katsayı bir sayıdır −1 . Örneğin, ifade −a aslında benziyor −1a. Bu eksi bir ile değişkenin çarpımıdır A.Şöyle ortaya çıktı:

−1 × a = −1a

Burada küçük bir sorun var. İfadede −a değişkenin önündeki eksi işareti A aslında bir değişkenden ziyade "görünmez bir birimi" ifade eder A. Bu nedenle problemleri çözerken dikkatli olmalısınız.

Örneğin, ifade verilirse −a ve bizden değerini bulmamız isteniyor bir = 2 sonra okulda değişken yerine iki koyduk A ve bir cevap aldım −2 , nasıl sonuçlandığına çok fazla odaklanmadan. Aslında eksi bir ile çarpıldı pozitif sayı 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

İfade verilirse −a ve değerini bulmanız gerekiyor a = −2, sonra yerine koyarız −2 değişken yerine A

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Hatalardan kaçınmak için ilk başta görünmeyen birimler açıkça yazılabilir.

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun ABC en a=2 , b=3 Ve c=4

İfade ABC 1×a×b×c. Açıklık sağlamak için ifadeyi yazalım ABC a, b Ve C

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Örnek 5. Bir ifadenin değerini bulun ABC en a=−2 , b=−3 Ve c=−4

İfadeyi yazalım ABC genişletilmiş biçimde ve değişkenlerin değerlerini değiştirin a, b Ve C

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Örnek 6. Bir ifadenin değerini bulun − ABC en a=3 , b=5 ve c=7

İfade − ABC bu kısa bir formdur −1×a×b×c. Açıklık sağlamak için ifadeyi yazalım − ABC genişletilmiş biçimde ve değişkenlerin değerlerini değiştirin a, b Ve C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Örnek 7. Bir ifadenin değerini bulun − ABC en a=−2 , b=−4 ve c=−3

İfadeyi yazalım − ABC genişletilmiş biçimde:

−abc = −1 × a × b × c

Değişkenlerin değerlerini yerine koyalım A , B Ve C

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Katsayı nasıl belirlenir

Bazen bir ifadenin katsayısını belirlemeniz gereken bir sorunu çözmeniz gerekir. Prensipte, bu görevçok basit. Sayıları doğru çarpabilmek yeterlidir.

Bir ifadedeki katsayıyı belirlemek için bu ifadenin içerdiği sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpmanız gerekir. Ortaya çıkan sayısal faktör katsayı olacaktır.

Örnek 1. 7m×5a×(−3)×n

İfade birkaç faktörden oluşur. İfadeyi genişletilmiş biçimde yazarsanız bu açıkça görülebilir. Yani eserler 7 dakika Ve 5a bunu formda yaz 7×m Ve 5 × bir

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Çarpanları herhangi bir sırayla çarpmanıza olanak tanıyan birleşmeli çarpma yasasını uygulayalım. Yani sayıları ayrı ayrı, harfleri (değişkenleri) ayrı ayrı çarpacağız:

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Katsayı −105 . Tamamlandıktan sonra harf kısmının alfabetik sıraya göre düzenlenmesi tavsiye edilir:

−105amn

Örnek 2.İfadedeki katsayıyı belirleyin: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Katsayı 6'dır.

Örnek 3.İfadedeki katsayıyı belirleyin:

Sayıları ve harfleri ayrı ayrı çarpalım:

Katsayı -1'dir. Katsayı 1'in yazılmaması geleneksel olduğundan birimin yazılmadığını lütfen unutmayın.

Görünüşte en basit olan bu görevler, bize çok acımasız bir şaka yapabilir. Çoğu zaman katsayı işaretinin yanlış ayarlandığı ortaya çıkar: ya eksi eksiktir ya da tam tersine boşuna ayarlanmıştır. Bunlardan kaçınmak için sinir bozucu hatalar iyi düzeyde çalışılması gerekir.

Gerçek ifadelerde ekler

Birkaç sayı toplanırken bu sayıların toplamı elde edilir. Eklenen sayılara toplama denir. Örneğin birkaç terim olabilir:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Bir ifade terimlerden oluştuğunda, toplama işlemi çıkarma işleminden daha kolay olduğu için değerlendirilmesi çok daha kolaydır. Ancak ifade yalnızca toplamayı değil aynı zamanda çıkarmayı da içerebilir, örneğin:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

Bu ifadede 3 ve 5 sayıları toplama değil çıkarmadır. Ancak hiçbir şey bizi çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirmekten alıkoyamaz. Sonra yine terimlerden oluşan bir ifade elde ederiz:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

−3 ve −5 sayılarının artık eksi işaretine sahip olması önemli değil. Önemli olan bu ifadedeki tüm sayıların bir toplama işaretiyle birbirine bağlı olmasıdır, yani ifade bir toplamdır.

Her iki ifade 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Ve 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) aynı değere eşit - eksi bir

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dolayısıyla, bir yerde çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirirsek ifadenin anlamı zarar görmeyecektir.

Ayrıca gerçek ifadelerde çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirebilirsiniz. Örneğin aşağıdaki ifadeyi göz önünde bulundurun:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Değişkenlerin herhangi bir değeri için a, b, c, d Ve S ifadeler 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Ve 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) aynı değere eşit olacaktır.

Okuldaki bir öğretmenin veya bir enstitüdeki öğretmenin toplama olmayan çift sayıları (veya değişkenleri) çağırabileceği gerçeğine hazırlıklı olmalısınız.

Örneğin fark tahtaya yazılıyorsa a−b o zaman öğretmen bunu söylemez A bir eksidir ve B- çıkarılabilir. Her iki değişkene de bir diyecek genel anlamda — şartlar. Ve hepsi formun ifadesi nedeniyle a−b matematikçi toplamın nasıl olduğunu görüyor a+(−b). Bu durumda ifade bir toplama dönüşür ve değişkenler A Ve (−b)şartlar haline gelir.

Benzer terimler

Benzer terimler- bunlar aynı harf kısmına sahip terimlerdir. Örneğin, ifadeyi düşünün 7a + 6b + 2a. Bileşenler 7a Ve 2a aynı harf kısmına sahip - değişken A. Yani şartlar 7a Ve 2a benzerler.

Genellikle bir ifadeyi basitleştirmek veya bir denklemi çözmek için benzer terimler eklenir. Bu operasyona denir benzer terimlerin getirilmesi.

Benzer terimleri getirmek için bu terimlerin katsayılarını toplayıp ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpmanız gerekir.

Örneğin ifadede benzer terimleri sunalım. 3a + 4a + 5a. Bu durumda tüm terimler benzerdir. Katsayılarını toplayalım ve sonucu ortak harf kısmıyla - değişkenle çarpalım A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Genellikle benzer terimler akla gelir ve sonuç hemen yazılır:

3a + 4a + 5a = 12a

Ayrıca şu şekilde de mantık yürütülebilir:

3 adet a değişkeni vardı, 4 adet daha değişken a ve bunlara 5 adet daha değişken a eklendi. Sonuç olarak 12 değişkenimiz var

Benzer terimleri getirmenin birkaç örneğine bakalım. Bunu göz önünde bulundurarak bu konuçok önemli, ilk başta her küçük detayı detaylı bir şekilde yazacağız. Burada her şey çok basit olmasına rağmen çoğu insan birçok hata yapıyor. Esas olarak dikkatsizlikten, cehaletten değil.

Örnek 1. 3a + 2a + 6a + 8 A

Bu ifadedeki katsayıları toplayalım ve ortaya çıkan sonucu ortak harf kısmıyla çarpalım:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

tasarım (3 + 2 + 6 + 8)×a Yazmanıza gerek yok, o yüzden cevabı hemen yazacağız

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Örnek 2.İfadede benzer terimleri verin 2a+a

İkinci dönem A katsayısız yazılmış ama aslında önünde katsayı var 1 kaydedilmediği için göremiyoruz. Yani ifade şuna benzer:

2a + 1a

Şimdi benzer terimleri sunalım. Yani katsayıları toplayıp sonucu ortak harf kısmıyla çarpıyoruz:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Çözümü kısaca yazalım:

2a + a = 3a

2a+a, farklı düşünebilirsiniz:

Örnek 3.İfadede benzer terimleri verin 2a−a

Çıkarmayı toplamayla değiştirelim:

2a + (−a)

İkinci dönem (−a) katsayı olmadan yazılmış, ancak gerçekte öyle görünüyor (−1a). Katsayı −1 kaydedilmediği için yine görünmez. Yani ifade şuna benzer:

2a + (−1a)

Şimdi benzer terimleri sunalım. Katsayıları toplayalım ve sonucu ortak harf kısmıyla çarpalım:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Genellikle daha kısa yazılır:

2a - bir = bir

İfadede benzer terimlerin verilmesi 2a−a Farklı düşünebilirsiniz:

2 değişken vardı a, bir değişken a çıkarın, sonunda geriye tek bir değişken kaldı

Örnek 4.İfadede benzer terimleri verin 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Şimdi benzer terimleri sunalım. Katsayıları toplayalım ve sonucu toplam harf kısmıyla çarpalım

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Çözümü kısaca yazalım:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Birkaç içeren ifadeler var çeşitli gruplar benzer terimler. Örneğin, 3a + 3b + 7a + 2b. Bu tür ifadeler için diğerleriyle aynı kurallar geçerlidir; yani katsayıların toplanması ve sonucun ortak harf kısmıyla çarpılması. Ancak hatalardan kaçınmak için uygun farklı gruplar Terimler farklı çizgilerle vurgulanmıştır.

Örneğin, ifadede 3a + 3b + 7a + 2b değişken içeren terimler A, altı tek satırla çizilebilir ve değişken içeren terimler B, iki satırla vurgulanabilir:

Şimdi benzer terimleri sunabiliriz. Yani katsayıları toplayın ve elde edilen sonucu toplam harf kısmıyla çarpın. Bu, her iki terim grubu için de yapılmalıdır: değişken içeren terimler için A ve değişken içeren terimler için B.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Yine tekrarlıyoruz, ifade basittir ve benzer terimler akılda tutulabilir:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Örnek 5.İfadede benzer terimleri verin 5a − 6a −7b + b

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Benzer terimlerin altını farklı çizgilerle çizelim. Değişken içeren terimler A altını tek satırla çiziyoruz ve terimler değişkenlerin içeriğidir B, iki satırla altını çizin:

Şimdi benzer terimleri sunabiliriz. Yani katsayıları toplayın ve elde edilen sonucu ortak harf kısmıyla çarpın:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

İfade şunları içeriyorsa normal sayılar harf faktörleri olmadan ayrı olarak eklenirler.

Örnek 6.İfadede benzer terimleri verin 4a + 3a - 5 + 2b + 7

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Benzer terimleri sunalım. Sayılar −5 Ve 7 harf faktörleri yoktur, ancak bunlar benzer terimlerdir; yalnızca eklenmesi gerekir. Ve terim 2b bu ifadede harf faktörüne sahip olan tek kişi olduğu için değişmeden kalacaktır B, ve buna eklenecek hiçbir şey yok:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Çözümü kısaca yazalım:

4a + 3a - 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Terimler, aynı harf kısmına sahip olan terimler ifadenin aynı kısmında yer alacak şekilde sıralanabilir.

Örnek 7.İfadede benzer terimleri verin 5t+2x+3x+5t+x

İfade birkaç terimin toplamı olduğundan, bu onu herhangi bir sırayla değerlendirmemize olanak tanır. Bu nedenle değişkeni içeren terimler T, ifadenin başına yazılabilir ve değişkeni içeren terimler X ifadenin sonunda:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Şimdi benzer terimleri sunabiliriz:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Çözümü kısaca yazalım:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Toplam zıt sayılar sıfıra eşittir. Bu kural aynı zamanda birebir ifadeler için de geçerlidir. İfade aynı terimleri içeriyorsa ancak zıt işaretler, daha sonra benzer terimleri azaltma aşamasında onlardan kurtulabilirsiniz. Başka bir deyişle, toplamları sıfır olduğundan bunları ifadeden çıkarmanız yeterlidir.

Örnek 8.İfadede benzer terimleri verin 3t − 4t − 3t + 2t

Mümkün olduğunda çıkarma işlemini toplama ile değiştirelim:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Bileşenler 3 gün Ve (−3t) zıttır. Zıt terimlerin toplamı sıfırdır. İfadeden bu sıfırı çıkarırsak ifadenin değeri değişmeyeceği için onu kaldırmış oluruz. Ve terimlerin üzerini çizerek onu kaldıracağız 3 gün Ve (−3t)

Sonuç olarak elimizde şu ifade kalacak: (−4t) + 2t. Bu ifadeye benzer terimleri ekleyip son cevaba ulaşabilirsiniz:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Çözümü kısaca yazalım:

İfadeleri Basitleştirme

"ifadeyi basitleştir" ve aşağıda basitleştirilmesi gereken ifade var. Bir ifadeyi basitleştirme daha basit ve daha kısa hale getirmek anlamına gelir.

Aslında kesirleri küçülttüğümüzde zaten ifadeleri basitleştiriyorduk. İndirgeme sonrasında kesir kısaldı ve anlaşılması daha kolay hale geldi.

Aşağıdaki örneği düşünün. İfadeyi basitleştirin.

Bu görev tam anlamıyla şu şekilde anlaşılabilir: "Bu ifadeye geçerli tüm eylemleri uygulayın, ancak daha basit hale getirin." .

Bu durumda kesri azaltabilirsiniz, yani kesrin payını ve paydasını 2'ye bölebilirsiniz:

Başka ne yapabilirsin? Ortaya çıkan kesri hesaplayabilirsiniz. Sonra 0,5 ondalık kesirini elde ederiz

Sonuç olarak kesir 0,5'e basitleştirildi.

Karar verirken kendinize sormanız gereken ilk soru benzer görevler, olmalıdır “Ne yapılabilir?” . Çünkü yapabileceğiniz eylemler var ve yapamayacağınız eylemler var.

Bir diğer önemli nokta Unutulmaması gereken nokta, ifade sadeleştirildikten sonra ifadenin değerinin değişmemesi gerektiğidir. İfadeye dönelim. Bu ifade gerçekleştirilebilecek bir bölmeyi temsil eder. Bu bölmeyi yaptıktan sonra bu ifadenin değerini 0,5'e eşit olarak elde ederiz.

Ancak ifadeyi basitleştirdik ve yeni, basitleştirilmiş bir ifade elde ettik. Yeni basitleştirilmiş ifadenin değeri hala 0,5

Ama aynı zamanda hesaplayarak ifadeyi basitleştirmeye çalıştık. Sonuç olarak 0,5'lik nihai bir cevap aldık.

Yani ifadeyi ne kadar basitleştirirsek sadeleştirelim, ortaya çıkan ifadelerin değeri yine 0,5 olur. Bu, sadeleştirmenin her aşamada doğru şekilde gerçekleştirildiği anlamına gelir. İfadeleri basitleştirirken tam olarak çabalamamız gereken şey budur - ifadenin anlamı eylemlerimizden zarar görmemelidir.

Çoğu zaman gerçek ifadeleri basitleştirmek gerekir. Sayısal ifadelerde olduğu gibi aynı basitleştirme kuralları bunlar için de geçerlidir. İfadenin değeri değişmediği sürece geçerli tüm eylemleri gerçekleştirebilirsiniz.

Birkaç örneğe bakalım.

Örnek 1. Bir ifadeyi basitleştirme 5,21s × t × 2,5

Basitleştirmek bu ifade, sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpabilirsiniz. Bu görev, katsayıyı belirlemeyi öğrendiğimizde baktığımız göreve çok benzer:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Yani ifade 5,21s × t × 2,5 basitleştirilmiş 13.025.

Örnek 2. Bir ifadeyi basitleştirme −0,4 × (−6,3b) × 2

İkinci parça (−6,3b) bizim için anlaşılır bir forma çevrilebilir, yani formda yazılabilir ( −6,3)×b , daha sonra sayıları ayrı ayrı çarpın ve harfleri ayrı ayrı çarpın:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Yani ifade −0,4 × (−6,3b) × 2 basitleştirilmiş 5.04b

Örnek 3. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamların nerede olduğunu, harflerin nerede olduğunu daha net görebilmek için bu ifadeyi daha detaylı yazalım:

Şimdi sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım:

Yani ifade basitleştirilmiş -abc. Bu çözüm kısaca şöyle yazılabilir:

İfadeleri basitleştirirken kesirler, daha önce yaptığımız gibi en sonunda değil, çözüm süreci sırasında azaltılabilir. sıradan kesirler. Örneğin, çözme sırasında formun bir ifadesine rastlarsak, pay ve paydayı hesaplamak ve şöyle bir şey yapmak hiç de gerekli değildir:

Pay ve paydada bir faktör seçilerek ve bu faktörler en büyüklerine indirilerek bir kesir azaltılabilir. ortak bölen. Başka bir deyişle pay ve paydanın neye bölündüğünü ayrıntılı olarak açıklamadığımız kullanım.

Örneğin payda faktör 12 ve paydada 4 faktör 4'e kadar azaltılabilir. Dörtünü aklımızda tutuyoruz ve 12 ve 4'ü bu dörde bölerek cevapları bu sayıların yanına yazıyoruz, ilk önce onları aştım

Artık ortaya çıkan küçük faktörleri çarpabilirsiniz. Bu durumda sayıları azdır ve bunları zihninizde çoğaltabilirsiniz:

Zamanla, belirli bir sorunu çözerken ifadelerin "şişmeye" başladığını görebilirsiniz, bu nedenle bunlara alışmanız önerilir. hızlı hesaplamalar. Akılda hesaplanabilenin, akılda da hesaplanması gerekir. Hızlı bir şekilde azaltılabilen şey, hızlı bir şekilde azaltılmalıdır.

Örnek 4. Bir ifadeyi basitleştirme

Yani ifade basitleştirilmiş

Örnek 5. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım:

Yani ifade basitleştirilmiş mn.

Örnek 6. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamların nerede olduğunu, harflerin nerede olduğunu daha net görebilmek için bu ifadeyi daha detaylı yazalım:

Şimdi sayıları ayrı ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım. Hesaplama kolaylığı için ondalık kesir −6,4 ve karışık sayı sıradan kesirlere dönüştürülebilir:

Yani ifade basitleştirilmiş

Bu örneğin çözümü çok daha kısa yazılabilir. Şunun gibi görünecek:

Örnek 7. Bir ifadeyi basitleştirme

Rakamları ayrı, harfleri ayrı ayrı çarpalım. Hesaplama kolaylığı için karışık sayı ve ondalık sayılar 0,1 ve 0,6 sıradan kesirlere dönüştürülebilir:

Yani ifade basitleştirilmiş abcd. Ayrıntıları atlarsanız, o zaman bu kararçok daha kısa yazılabilir:

Kesirin nasıl azaltıldığına dikkat edin. Önceki faktörlerin azaltılması sonucu elde edilen yeni faktörler de azaltılabilir.

Şimdi ne yapılmaması gerektiğinden bahsedelim. İfadeleri basitleştirirken, ifadenin çarpım değil toplam olması durumunda sayı ve harflerin çarpılması kesinlikle yasaktır.

Örneğin ifadeyi basitleştirmek istiyorsanız 5a+4b, o zaman şu şekilde yazamazsınız:

Bu, bizden iki sayıyı toplamamız istendiğinde onları toplamak yerine çarpmamız gibidir.

Herhangi bir değişken değerini değiştirirken A Ve B ifade 5a +4b sıradan bir sayısal ifadeye dönüşür. Değişkenlerin olduğunu varsayalım A Ve B aşağıdaki anlamlara sahiptir:

a = 2, b = 3

O zaman ifadenin değeri 22'ye eşit olacaktır.

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Önce çarpma yapılır, ardından sonuçlar toplanır. Ve eğer bu ifadeyi sayıları ve harfleri çarparak basitleştirmeye çalışırsak aşağıdakileri elde ederiz:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

İfadenin tamamen farklı bir anlamı ortaya çıkıyor. İlk durumda işe yaradı 22 , ikinci durumda 120 . Bu, ifadeyi basitleştirmek anlamına gelir 5a+4b yanlış gerçekleştirildi.

İfadeyi basitleştirdikten sonra değişkenlerin aynı değerleri ile değeri değişmemelidir. Herhangi bir değişken değeri orijinal ifadeye yerleştirirken bir değer elde edilirse, ifadeyi basitleştirdikten sonra, sadeleştirmeden önceki değerin aynısı elde edilmelidir.

İfade ile 5a+4b gerçekten yapabileceğin hiçbir şey yok. Bunu basitleştirmez.

Bir ifade benzer terimler içeriyorsa, amacımız ifadeyi basitleştirmekse bunlar eklenebilir.

Örnek 8. Bir ifadeyi basitleştirme 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

veya daha kısa: 0,3a - 0,4a + bir = 0.9a

Yani ifade 0,3a−0,4a+a basitleştirilmiş 0.9a

Örnek 9. Bir ifadeyi basitleştirme −7,5a − 2,5b + 4a

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

veya daha kısa −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

Terim (−2,5b) Değiştirilmeden kaldı çünkü koyacak hiçbir şey yoktu.

Örnek 10. Bir ifadeyi basitleştirme

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

Katsayı hesaplama kolaylığı sağlamak içindi.

Yani ifade basitleştirilmiş

Örnek 11. Bir ifadeyi basitleştirme

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

Yani ifade olarak basitleştirildi.

İÇİNDE bu örnekteÖnce ilk ve son katsayıları eklemek daha doğru olacaktır. Bu durumda kısa bir çözümümüz olur. Şunun gibi görünecektir:

Örnek 12. Bir ifadeyi basitleştirme

Bu ifadeyi basitleştirmek için benzer terimler ekleyebiliriz:

Yani ifade basitleştirilmiş .

Eklenecek bir şey olmadığından terim değişmeden kaldı.

Bu çözüm çok daha kısa yazılabilir. Şunun gibi görünecek:

Kısa çözüm, çıkarma işlemini toplama işlemiyle değiştirme ve kesirlerin nasıl ortak bir paydaya indirgendiğinin ayrıntılandırılması adımlarını atladı.

Bir diğer fark da şu ki detaylı çözüm cevap şuna benziyor , ama kısaca . Aslında bunlar aynı ifadedir. Aradaki fark, ilk durumda, çözümü yazdığımızdan beri, çıkarmanın yerini toplamanın almasıdır. detaylı olarak mümkün olan her yerde çıkarma işlemini toplama ile değiştirdik ve bu değiştirme cevap için saklandı.

Kimlikler. Aynı şekilde eşit ifadeler

Herhangi bir ifadeyi basitleştirdiğimizde daha basit ve kısa hale gelir. Basitleştirilmiş ifadenin doğru olup olmadığını kontrol etmek için, herhangi bir değişken değerini önce basitleştirilmesi gereken önceki ifadeye, ardından da basitleştirilmiş yeni ifadeye koymak yeterlidir. Her iki ifadedeki değer aynıysa basitleştirilmiş ifade doğrudur.

düşünelim en basit örnek. İfadeyi basitleştirmek gerekli olsun 2a×7b. Bu ifadeyi basitleştirmek için sayıları ve harfleri ayrı ayrı çarpabilirsiniz:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

İfadeyi doğru sadeleştirip sadeleştirmediğimizi kontrol edelim. Bunu yapmak için değişkenlerin herhangi bir değerini değiştirelim A Ve Bönce basitleştirilmesi gereken ilk ifadeye, sonra da basitleştirilmiş ikinciye.

Değişkenlerin değerleri olsun A , B aşağıdaki gibi olacaktır:

a = 4, b = 5

Bunları ilk ifadede yerine koyalım 2a×7b

Şimdi sadeleştirme sonucu elde edilen ifadede aynı değişken değerlerini yerine koyalım 2a×7b, yani ifadede 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Bunu ne zaman görüyoruz a=4 Ve b=5 ilk ifadenin değeri 2a×7b ve ikinci ifadenin anlamı 14ab eşit

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Aynı şey diğer değerler için de geçerli olacaktır. Örneğin, izin ver a=1 Ve b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 =28

14ab = 14 × 1 × 2 =28

Yani herhangi bir değer için ifade değişkenleri 2a×7b Ve 14ab aynı değere eşittir. Bu tür ifadelere denir tamamen eşit.

İfadeler arasında şu sonuca varıyoruz: 2a×7b Ve 14ab Eşittir işareti koyabilirsiniz çünkü ikisi de aynı değere eşittir.

2a × 7b = 14ab

Eşitlik, eşittir işaretiyle (=) bağlanan herhangi bir ifadedir.

Ve formun eşitliği 2a×7b = 14ab isminde kimlik.

Kimlik, değişkenlerin herhangi bir değeri için geçerli olan bir eşitliktir.

Diğer kimlik örnekleri:

a + b = b + bir

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Evet, incelediğimiz matematik yasaları özdeşliklerdir.

Sadık sayısal eşitlikler aynı zamanda kimliklerdir. Örneğin:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Karar verme zor görev Hesaplamayı kolaylaştırmak için karmaşık ifade, öncekiyle aynı olan daha basit bir ifadeyle değiştirilir. Bu değiştirme denir ifadenin özdeş dönüşümü ya da sadece ifadeyi dönüştürme.

Örneğin ifadeyi basitleştirdik 2a×7b ve daha basit bir ifade elde ettim 14ab. Bu sadeleştirmeye kimlik dönüşümü denilebilir.

Sık sık şunu söyleyen bir görev bulabilirsiniz: "eşitliğin bir kimlik olduğunu kanıtlayın" ve ardından kanıtlanması gereken eşitlik verilir. Genellikle bu eşitlik iki bölümden oluşur: eşitliğin sol ve sağ kısımları. Görevimiz eşitliğin bir parçası ile kimlik dönüşümlerini gerçekleştirip diğer kısmını elde etmektir. Veya eşitliğin her iki tarafında da aynı dönüşümleri gerçekleştirin ve eşitliğin her iki tarafının da aynı ifadeleri içerdiğinden emin olun.

Örneğin eşitliğin olduğunu kanıtlayalım. 0,5a × 5b = 2,5ab bir kimliktir.

Bu eşitliğin sol tarafını sadeleştirelim. Bunu yapmak için sayıları ve harfleri ayrı ayrı çarpın:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Küçük bir kimlik dönüşümü sonucunda, sol taraf eşitlik eşitliğin sağ tarafına eşit oldu. Böylece eşitliğin olduğunu kanıtlamış olduk. 0,5a × 5b = 2,5ab bir kimliktir.

Benzer dönüşümlerden sayıları toplamayı, çıkarmayı, çarpmayı ve bölmeyi, kesirleri azaltmayı, benzer terimleri toplamayı ve ayrıca bazı ifadeleri basitleştirmeyi öğrendik.

Ancak bunların hepsi matematikte var olan özdeş dönüşümler değildir. Kimlik dönüşümleriçok daha fazlası. Bunu gelecekte birden çok kez göreceğiz.

Bağımsız çözüm için görevler:

Dersi beğendin mi?
Bize katılın yeni grup VKontakte ve yeni dersler hakkında bildirim almaya başlayın

Bölüm 5 İFADELER VE DENKLEMLER

Bu bölümde şunları öğreneceksiniz:

ü o ifadeler ve bunların basitleştirilmesi;

ü eşitliklerin özellikleri nelerdir;

ü eşitliklerin özelliklerine göre denklemlerin nasıl çözüleceği;

ü denklemler kullanılarak ne tür problemlerin çözüldüğü; dik çizgiler nedir ve nasıl oluşturulur;

ü hangi çizgilere paralel denir ve bunların nasıl oluşturulacağı;

ü koordinat düzlemi nedir?

ü düzlemdeki bir noktanın koordinatlarının nasıl belirleneceği;

ü nicelikler arasındaki ilişkinin grafiği nedir ve nasıl oluşturulacağı;

ü çalışılan materyalin pratikte nasıl uygulanacağı

§ 30. İFADELER VE BASİTLEŞTİRİLMESİ

Harfli ifadelerin ne olduğunu zaten biliyorsunuz ve bunları toplama ve çarpma yasalarını kullanarak nasıl basitleştireceğinizi biliyorsunuz. Örneğin, 2a ∙ (-4 b ) = -8 ab . Ortaya çıkan ifadede -8 sayısına ifadenin katsayısı denir.

İfade mi CD katsayısı? Bu yüzden. 1'e eşittir çünkü cd - 1 ∙ cd .

Parantezli bir ifadeyi parantezsiz bir ifadeye dönüştürmeye parantezleri genişletme adı verildiğini hatırlayın. Örneğin: 5(2x + 4) = 10x+ 20.

Bu örnekteki ters işlem, ortak çarpanı parantezlerden çıkarmaktır.

Aynı harf faktörlerini içeren terimlere benzer terimler denir. Ortak çarpanı parantezlerden çıkararak benzer terimler ortaya çıkar:

5x + y + 4 - 2x + 6 y - 9 =

= (5x - 2x) + (y + 6 y )+ (4 - 9) = = (5-2)* + (1 + 6)* y -5 =

Bx+ 7y - 5.

Parantez açma kuralları

1. Parantezlerin önünde “+” işareti varsa parantez açılırken parantez içindeki terimlerin işaretleri korunur;

2. Parantezlerin önünde “-” işareti varsa parantez açıldığında parantez içindeki terimlerin işaretleri ters yönde değişir.

Görev 1. İfadeyi basitleştirin:

1) 4x+(-7x + 5);

2) 15 yıl -(-8 + 7 yıl ).

Çözümler. 1. Parantezlerin önünde bir “+” işareti vardır, bu nedenle parantezleri açarken tüm terimlerin işaretleri korunur:

4x +(-7x + 5) = 4x - 7x + 5=-3x + 5.

2. Parantezlerin önünde “-” işareti vardır, dolayısıyla parantezleri açarken: tüm terimlerin işaretleri terstir:

15 - (- 8 + 7y) = 15y + 8 - 7y = 8y +8.

Parantezleri açmak için şunu kullanın: dağılma özelliğiçarpma: a( b + c ) = ab + ac. a > 0 ise terimlerin işaretleri B ve değiştirmeyin. eğer bir< 0, то знаки слагаемых B ve tersine değiştirin.

Görev 2. İfadeyi basitleştirin:

1) 2(6 y -8) + 7 y ;

2)-5(2-5x) + 12.

Çözümler. 1. Parantezlerin önündeki 2 faktörü pozitiftir, dolayısıyla parantezleri açarken tüm terimlerin işaretlerini koruruz: 2(6) y - 8) + 7 y = 12 y - 16 + 7 y =19 y -16.

2. Parantezlerin önündeki -5 faktörü negatiftir, dolayısıyla parantezleri açarken tüm terimlerin işaretlerini ters yönde değiştiririz:

5(2 - 5x) + 12 = -10 + 25x +12 = 2 + 25x.

Daha fazlasını öğrenin

1. “Toplam” kelimesi Latinceden gelir toplam , "toplam", "toplam tutar" anlamına gelir.

2. “Artı” kelimesi Latinceden gelir artı "daha fazla" anlamına gelir ve "eksi" kelimesi Latince'den gelir eksi "Daha az" ne anlama geliyor? Toplama ve çıkarma işlemlerini belirtmek için “+” ve “-” işaretleri kullanılır. Bu işaretler, Çek bilim adamı J. Widman tarafından 1489 yılında “Tüm tüccarlar için hızlı ve hoş bir hesap” kitabında tanıtıldı.(Şekil 138).

Pirinç. 138

ÖNEMİNİ UNUTMAYIN

1. Hangi terimlere benzer denir? Bu tür terimler nasıl oluşturulur?

2. Başında “+” işareti bulunan parantezleri nasıl açarsınız?

3. Başında “-” işareti bulunan parantezleri nasıl açarsınız?

4. Başına pozitif faktör gelen parantez nasıl açılır?

5. Başına negatif faktör gelen parantezleri nasıl açarsınız?

1374". İfadenin katsayısını adlandırın:

1)12a; 3) -5.6xy;

2)4 6; 4)-s.

1375". Yalnızca katsayıya göre farklılık gösteren terimleri adlandırın:

1) 10a+76-26+a; 3) 5n+5m-4n+4;

2) bc -4 d - bc + 4 d; 4)5x + 4y-x + y.

Bu terimlere ne denir?

1376". Orada mı benzer terimler ifadede:

1)11a+10a; 3)6n+15n; 5) 25r - 10r + 15r;

2) 14s-12; 4)12m+m; 6)8k +10k - n ?

1377". İfadedeki parantezleri açarak parantez içindeki terimlerin işaretlerini değiştirmek gerekir mi:

1)4 + (a+ 3b); 2)-c +(5-d); 3) 16-(5 m -8 n)?

1378°. İfadeyi basitleştirin ve katsayının altını çizin:

1379°. İfadeyi basitleştirin ve katsayının altını çizin:

1380°. Benzer terimleri birleştirin:

1) 4a - Po + 6a - 2a; 4) 10 - 4 d - 12 + 4 d;

2) 4b-5b+4+5b; 5) 5a - 12b - 7a + 5b;

3)-7 ang="EN-US">c+ 5-3 c + 2; 6) 14 n - 12 m -4 n -3 m.

1381°. Benzer terimleri birleştirin:

1) 6a - 5a + 8a -7a; 3) 5'ler + 4-2'ler-3'ler;

2)9b+12-8-46; 4) -7 n + 8 m - 13 n - 3 m.

1382°. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın:

1)1,2 a +1,2 b; 3) -3 n - 1,8m; 5) -5 p + 2,5 k -0,5 t;

2) 0,5 sn + 5 gün; 4) 1,2 n - 1,8m; 6) -8r - 10k - 6t.

1383°. Ortak çarpanı parantezlerden çıkarın:

1) 6a-12b; 3) -1,8 n -3,6 m;

2) -0,2 sn + 14 gün; A) 3p - 0,9 bin + 2,7 ton.

1384°. Parantezleri açın ve benzer terimleri birleştirin;

1) 5 + (4a -4); 4) -(5c - d) + (4d + 5c);

2) 17x-(4x-5); 5) (n - m) - (-2 m - 3 n);

3) (76 - 4) - (46 + 2); 6) 7(-5x + y) - (-2y + 4x) + (x - 3y).

1385°. Parantezleri açın ve benzer terimleri birleştirin:

1) 10a + (4 - 4a); 3) (s - 5) d) - (- d + 5c);

2) -(46-10) + (4-56); 4)-(5 n + m) + (-4 n + 8 m)-(2 m -5 n).

1386°. Parantezleri açın ve ifadenin anlamını bulun:

1)15+(-12+ 4,5); 3) (14,2-5)-(12,2-5);

2) 23-(5,3-4,7); 4) (-2,8 + 13)-(-5,6 + 2,8) + (2,8-13).

1387°. Parantezleri açın ve ifadenin anlamını bulun:

1) (14- 15,8)- (5,8 + 4);

2)-(18+22,2)+ (-12+ 22,2)-(5- 12).

1388°. Parantezleri genişletin:

1)0,5 ∙ (a + 4); 4) (n - m) ∙ (-2,4 p);

2)-s ∙ (2,7-1,2 gün) ); 5)3 ∙ (-1,5 r + k - 0,2 T);

3) 1,6 ∙ (2 n + m); 6) (4,2 p - 3,5 bin -6 ton) ∙ (-2a).

1389°. Parantezleri genişletin:

1) 2,2 ∙ (x-4); 3)(4 c - d )∙(-0,5 y );

2) -2 ∙ (1,2 n - m); 4)6- (-р + 0,3 k - 1,2 t).

1390. İfadeyi basitleştirin:

1391. İfadeyi basitleştirin:

1392. Benzer terimleri birleştirin:

1393. Benzer terimleri birleştirin:

1394. İfadeyi basitleştirin:

1)2,8 - (0,5 a + 4) - 2,5 ∙ (2a - 6);

2) -12 ∙ (8 - 2, by ) + 4,5 ∙ (-6 y - 3,2);

4) (-12,8 m + 24,8 n) ∙ (-0,5)-(3,5 m -4,05 m) ∙ 2.

1395. İfadeyi basitleştirin:

1396. İfadenin anlamını bulun;

1) 4-(0,2 a-3)-(5,8 a-16), eğer a = -5 ise;

2) 2-(7-56)+ 156-3∙(26+ 5), eğer = -0,8;

m = 0,25, n = 5,7.

1397. İfadenin anlamını bulun:

1) -4∙ (i-2) + 2∙(6x - 1), eğer x = -0,25;

1398*. Çözümdeki hatayı bulun:

1)5- (a-2,4)-7 ∙ (-a+ 1,2) = 5a - 12-7a + 8,4 = -2a-3,6;

2) -4 ∙ (2,3 a - 6) + 4,2 ∙ (-6 - 3,5 a) = -9,2 a + 46 + 4,26 - 14,7 a = -5,5 a + 8,26.

1399*. Parantezleri açın ve ifadeyi basitleştirin:

1) 2ab - 3(6(4a - 1) - 6(6 - 10a)) + 76;

1400*. Doğru eşitliği elde etmek için parantezleri düzenleyin:

1)a-6-a + 6 = 2a; 2) a -2 b -2 a + b = 3 a -3 b .

1401*. Herhangi bir a ve sayısı için bunu kanıtlayın b eğer a > b ise , o zaman eşitlik geçerlidir:

1) (a + b) + (a- b) = 2a; 2) (a + b) - (a - b) = 2 b.

Bu eşitlik aşağıdaki durumlarda doğru olur mu: a) a< B ; b) a = 6?

1402*. Bunu herhangi biri için kanıtla doğal sayıönceki ve sonraki sayıların aritmetik ortalaması a sayısına eşittir.

UYGULAMAYA KOYUN

1403. Üç kişiye meyve tatlısı hazırlamak için ihtiyacınız olan şeyler: 2 elma, 1 portakal, 2 muz ve 1 kivi. Misafirlere tatlı hazırlamak için gereken meyve miktarını belirleyen harf ifadesi nasıl oluşturulur? Aşağıdaki durumlarda Marin'in ne kadar meyve alması gerektiğini hesaplamasına yardımcı olun: 1) 5 arkadaşı onu ziyarete gelirse; 2) 8 arkadaş.

1404. Aşağıdaki durumlarda matematik ödevinizi tamamlamak için gereken süreyi belirlemek için bir harf ifadesi yazın:

1) sorunları çözmek için bir dakika harcandı; 2) İfadelerin basitleştirilmesi problemlerin çözümünden 2 kat daha fazladır. Tamamlanması ne kadar sürdü Ev ödevi Vasilko, problemleri çözmek için 15 dakika harcasa ne olurdu?

1405. Okul kafeteryasında öğle yemeği salata, pancar çorbası, lahana sarması ve kompostodan oluşmaktadır. Salata maliyeti tüm öğle yemeğinin toplam maliyetinin% 20'si, pancar çorbası -% 30, lahana ruloları -% 45, komposto -% 5'tir. Okul kantininde öğle yemeğinin ücretini bulan ifadeyi yazınız. Salata fiyatı 2 UAH ise öğle yemeği ücreti ne kadardır?

SORUNLARI İNCELEYİN

1406. Denklemi çözün:

1407. Tanya dondurmaya harcadımevcut tüm para ve şeker için -geri kalanı. Tanya'nın ne kadar parası kaldı?

şekerin maliyeti 12 UAH ise?

Not 1

Bir Boolean fonksiyonu, bir Boolean ifadesi kullanılarak yazılabilir ve daha sonra bir mantık devresine taşınabilir. Mümkün olan en basit (ve dolayısıyla daha ucuz) mantıksal devreyi elde etmek için mantıksal ifadeleri basitleştirmek gerekir. Temel olarak mantıksal bir işlev, mantıksal bir ifade ve mantık devresi-bu üç farklı diller, bir varlıktan bahsediyor.

Basitleştirmek mantıksal ifadeler kullanmak cebir mantığı yasaları.

Bazı dönüşümler klasik cebirdeki formüllerin dönüşümlerine benzer (ortak çarpanı parantezlerden çıkarmak, değişmeli ve kombinasyon yasaları vb.) ve diğer dönüşümler, klasik cebir işlemlerinin sahip olmadığı özelliklere dayanmaktadır (bağlaç için dağılım yasasının kullanılması, soğurma yasaları, yapıştırma, de Morgan kuralları vb.).

Mantık cebiri yasaları temel amaçlar için formüle edilmiştir. mantıksal işlemler- “DEĞİL” – ters çevirme (olumsuzlama), “VE” – bağlaç (mantıksal çarpma) ve “OR” – ayırma (mantıksal toplama).

Çifte olumsuzlama yasası, "DEĞİL" işleminin tersine çevrilebilir olduğu anlamına gelir: eğer bunu iki kez uygularsanız, sonunda mantıksal değer değişmeyecektir.

Ortanın hariç tutulması yasası, herhangi bir mantıksal ifadenin ya doğru ya da yanlış olduğunu belirtir (“üçüncüsü yoktur”). Bu nedenle, eğer $A=1$ ise, o zaman $\bar(A)=0$ (ve tersi), bu, bu miktarların birleşiminin her zaman sıfıra ve ayrıklığın her zaman bire eşit olduğu anlamına gelir.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Bu formülü basitleştirelim:

Şekil 3.

Bundan $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$ sonucu çıkar.

Cevap:$B$, $C$ ve $D$ öğrencileri satranç oynuyor, ancak $A$ öğrencisi oynamıyor.

Mantıksal ifadeleri basitleştirirken aşağıdaki eylem sırasını gerçekleştirebilirsiniz:

1. Tüm "temel olmayan" işlemleri (eşdeğerlik, ima, özel OR, vb.) ifadeleriyle değiştirin. temel işlemler ters çevrilme, birleşme ve ayrılma.
2. Ters çevirmeleri genişlet karmaşık ifadeler De Morgan'ın kurallarına göre, olumsuzlama işlemleri yalnızca bireysel değişkenler için kalacak şekilde.
3. Daha sonra parantezleri açarak ve kaldırarak ifadeyi basitleştirin. ortak faktörler parantezlerin ve diğer mantık cebir yasalarının ötesinde.

Örnek 2

Burada sırasıyla De Morgan kuralı, dağıtım kanunu, dışlanan orta kanun, değişme kanunu, tekrar kanunu, yine değişme kanunu ve soğurma kanunu kullanılmaktadır.