Trigonometrik denklem sistemlerini ayrıntılı çözümlerle çözme. cotg(x) = a formundaki denklemlerin çözümü

Çözüm trigonometrik denklemler Trigonometrik denklem sistemleri ve sistemleri en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine dayanır.

En basit trigonometrik denklemleri çözmek için temel formülleri hatırlayalım.

sin(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

Ne zaman |a|< = 1 x = (-1)^k *arcsin(a) +π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 için çözüm yoktur.

cos(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

Ne zaman |a|< = 1 x = ±arccos(a) +2*π*k, где k принадлежит Z.

|a|>1 için çözüm yoktur.

tg(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

x = arktan(a) + π*k, burada k, Z'ye aittir.

cotg(x) = a formundaki denklemlerin çözümü.

x = arcctg(a)+ π*k, burada k, Z'ye aittir.

Bazı yaygın durumlar:

günah(x) =1; x = π/2 +2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

günah(x) = 0; x = π*k, burada k, Z'ye aittir.

günah(x) = -1; x = - π/2 +2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

cos(x) = 1; x = 2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

cos(x) = 0; x= π/2 + π*k, burada k, Z'ye aittir.

cos(x) = -1; x = π+2* π*k, burada k, Z'ye aittir.

Birkaç örneğe bakalım:

Örnek 1. Trigonometrik denklem 2*(sin(x))^2 + sin(x) -1 = 0'ı çözün.

Bu tür denklemler, bir değişken değiştirilerek ikinci dereceden denklemlere indirgenerek çözülür.

y = sin(x) olsun. Sonra şunu elde ederiz:

2*y^2 + y - 1 = 0.

Ortaya çıkan uvadratik denklemi bilinen yöntemlerden birini kullanarak çözüyoruz.

y1 = 1/2, y2 = -1.

Sonuç olarak, yukarıda belirtilen formüller kullanılarak çözülebilecek iki basit trigonometrik denklem elde ediyoruz.

sin(x) = 1/2, x = ((-1)^k)*arcsin(1/2) + pi*k = ((-1)^k)*pi/6 + pi*k, herhangi biri için bütün k.

sin(x) = -1, x = - pi/2 +2* pi*n, burada n, Z'ye aittir.

Örnek 2. 6*(sin(x))^2 + 5*cos(x) – 2 = 0 denklemini çözün.

Temel trigonometrik özdeşliği kullanarak (sin(x))^2'yi 1 - (cos(x))^2 ile değiştiririz

Aldık ikinci dereceden denklem cos(x)'e göre:

6*(cos(x))^2 – 5*cos(x) - 4 = 0.

y=cos(x) değişimini tanıtıyoruz.

6*y^2 - 5*y - 4 = 0.

Ortaya çıkan ikinci dereceden denklemi y1 = -1/2, y2 = 1(1/3) çözüyoruz.

Y = cos(x) olduğundan ve kosinüs olamaz birden fazla basit bir trigonometrik denklem elde ederiz.

x = ±2*pi/3+2*pi*k, herhangi bir k tamsayısı için.

Örnek 3. tg(x) + 2*ctg(x) = 3.

y = tan(x) değişkenini tanıtalım. O halde 1/y = karyola(x). Aldık

y ile çarp sıfıra eşit ikinci dereceden bir denklem elde ederiz.

y^2 – 3*y + 2 = 0.

Hadi çözelim:

Herhangi bir k tamsayısı için tg(x) = 2, x = arctan(2)+pi*k.

tg(x) = 1, x = arctan(1) + pi*k, pi/4 +pi*k, herhangi bir k tamsayısı için.

Örnek 4. 3*(sin(x))^2 – 4*sin(x)*cos(x) + (cos(x))^2 = 0.

Bu denklem (cos(x))^2 veya (sin(x))^2'ye bölünerek ikinci dereceden bir denkleme indirgenebilir. (cos(x)^2)'ye böldüğümüzde şunu elde ederiz:

3*(tg(x))^2 – 4*tg(x) +1 = 0.

tg(x) = 1, x = pi/4+pi*n, herhangi bir n tamsayısı için

tan(x) = 1/3, x = arctan(1/3) + pi*k, herhangi bir k tamsayısı için.

Örnek 4. Bir denklem sistemini çözün

( günah(x) = 2*sin(y)

Arı-ekmek denkleminden y'yi ifade ederiz,

O zaman şunu elde ederiz: 2*sin(y) = 2*sin(x-5*pi/3) = 2*(sin(x)*cos(5*pi/3) - cos(x)*sin(5*) pi /3)) = 2*(sin(x)*(1/2) –((√3)/2)*cos(x)) = sinx + √3*cos(x).

Merhaba, Sevgili arkadaşlar! Bugün C kısmındaki göreve bakacağız. Bu iki denklemden oluşan bir sistemdir. Denklemler oldukça tuhaf. Burada sinüs ve kosinüs var, ayrıca kökler de var. İkinci dereceden ve basit problemleri çözme yeteneği gereklidir. Bunların ayrıntılı çözümleri sunulan görevde sunulmamıştır; bunu zaten yapabiliyor olmanız gerekir. Sağlanan bağlantıları kullanarak ilgili teori ve pratik görevleri görüntüleyebilirsiniz.

Asıl zorluk benzer örnekler elde edilen çözümlerin, bulunan tanım alanıyla karşılaştırılması gerektiğidir; burada dikkatsizlikten dolayı kolaylıkla hata yapılabilir.

Sistemin çözümü her zaman (x;y) şeklinde yazılan bir x ve y sayı çiftidir.Cevabı aldıktan sonra mutlaka kontrol edin.Size sunulan üç yol var, hayır, yol değil ama kullanabileceğiniz üç muhakeme yolu var. Şahsen üçüncüsü bana en yakın olanı. Haydi başlayalım:

Denklem sistemini çözün:

İLK YOL!

Denklemin tanım tanım kümesini bulalım. Radikal ifadenin olumsuz olmayan bir anlamı olduğu bilinmektedir:

İlk denklemi düşünün:

1. x = 2'de veya x = 4'te sıfıra eşittir, ancak 4 radyan (3) ifadesinin tanımına ait değildir.

*Üçüncü çeyrekte sinüs değerinin negatif olduğu 4 radyanlık (229.188 0) bir açı bulunmaktadır. Bu yüzden

Geriye kalan tek şey kök x = 2'dir.

X = 2 için ikinci denklemi düşünün.

Bu x değerinde, 2 – y – y 2 ifadesi sıfıra eşit olmalıdır, çünkü

2 – y – y 2'yi çözelim = 0 ise y = – 2 veya y = 1 elde ederiz.

Y = – 2 için cos y'nin kökünün bir çözümü olmadığını unutmayın.

*Üçüncü çeyrekte –2 radyanlık (– 114.549 0) bir açı bulunur ve burada kosinüs değeri negatiftir.

Bu nedenle geriye yalnızca y = 1 kalır.

Böylece sistemin çözümü (2;1) ikilisi olacaktır.

2. Birinci denklem de cos y = 0'da sıfıra eşittir, yani

Ancak (2) numaralı tanımın bulunan alanını hesaba katarak şunu elde ederiz:

Bu y için ikinci denklemi düşünün.

y = – Pi/2 ile 2 – y – y 2 ifadesi sıfıra eşit değildir; bu, bir çözüme sahip olması için aşağıdaki koşulun karşılanması gerektiği anlamına gelir:

Biz karar veriyoruz:

Tanımın (1) bulunan alanını dikkate alarak şunu elde ederiz:

Böylece sistemin çözümü bir çift daha olur:

İKİNCİ YOL!

İfadenin tanım tanım kümesini bulalım:

Kökün altındaki ifadenin olumsuz olmayan bir anlama sahip olduğu bilinmektedir.
6x – x 2 + 8 ≥ 0 eşitsizliğini çözerek 2 ≤ x ≤ 4 elde ederiz (2 ve 4 radyandır).

Durum 1'i düşünün:

X = 2 veya x = 4 olsun.

Eğer x = 4 ise sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Sin x ≠ 0 olduğu göz önüne alındığında, bu durumda sistemin ikinci denkleminde 2 – y – y 2 = 0 olduğu ortaya çıkıyor.

Denklemi çözdüğümüzde y = – 2 veya y = 1 olduğunu buluruz.

Elde edilen değerleri analiz ettiğimizde sin x elde ettiğimiz için x = 4 ve y = – 2'nin kök olmadığını söyleyebiliriz.< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

x = 2 ve y = 1'in tanım bölgesine dahil olduğu görülmektedir.

Dolayısıyla çözüm (2;1) çiftidir.

Durum 2'yi ele alalım:

Şimdi 2'ye izin ver< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Buna dayanarak ilk denklemde cos y'nin şu şekilde olması gerektiği sonucuna varabiliriz: sıfıra eşit.

Denklemi çözerek şunu elde ederiz:

İkinci denklemde ifadenin tanım tanım kümesini bulurken:

Şunu elde ederiz:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Cos y = 0 denkleminin tüm çözümlerinden bu koşul yalnızca şu şekilde sağlanır:

Belirli bir y değeri için 2 – y – y ifadesi 2 ≠ 0. Dolayısıyla ikinci denklemde sin x sıfıra eşit olacaktır, şunu elde ederiz:

Bu denklemin tüm çözümlerinden aralık 2< х < 4 принадлежит только

Bu, sistemin çözümünün başka bir çift olacağı anlamına gelir:

*Sistemdeki tüm ifadelerin tanım tanım kümesini bir anda bulamadık, ilk denklemdeki ifadeye baktık (2 durum) ve ardından bulduğumuz çözümlerin karşılıklarını belirledik. yerleşik alan tanımlar. Bana göre bu pek uygun değil, bir şekilde kafa karıştırıcı çıkıyor.

ÜÇÜNCÜ YOL!

İlkine benzer, ancak farklılıklar var. Ayrıca ifadelerin tanım alanı ilk olarak bulunur. Daha sonra birinci ve ikinci denklemler ayrı ayrı çözülerek sistemin çözümü bulunur.

Tanımın tanım kümesini bulalım. Radikal ifadenin olumsuz olmayan bir anlamı olduğu bilinmektedir:

6х – x 2 + 8 ≥ 0 eşitsizliğini çözerek 2 ≤ x ≤ 4 (1) elde ederiz.

2 ve 4 değerleri radyandır, bildiğimiz gibi 1 radyan ≈ 57,297 0

Derece olarak yaklaşık olarak 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0 yazabiliriz.

2 – y – y 2 ≥ 0 eşitsizliğini çözersek – 2 ≤ y ≤ 1 (2) elde ederiz.

Derece olarak şunu yazabiliriz: 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 .

Karar verme eşitsizlik günahı x ≥ 0 bunu anlıyoruz

Eşitsizliği çözeriz çünkü y ≥ 0 bunu elde ederiz

Faktörlerden biri sıfıra eşit olduğunda çarpımın sıfıra eşit olduğu (ve diğerlerinin anlamını kaybetmediği) bilinmektedir.

İlk denklemi düşünün:

Araç

cos y = 0'ın çözümü:

Çözüm 6x – x 2 + 8 = 0, x = 2 ve x = 4'tür.

İkinci denklemi düşünün:

Araç

sin x = 0'ın çözümü:

2 – y – y 2 = 0 denkleminin çözümü y = – 2 veya y = 1'dir.

Şimdi tanım alanını dikkate alarak analiz edelim.

elde edilen değerler:

114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0 olduğundan, o zaman bu bölüm Denklemin tek bir çözümü var sin x = 0, bu x = Pi'dir.

– 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0 olduğundan, bu parça denklemin yalnızca bir çözümünü içerirçünkü y = 0, bu

x = 2 ve x = 4 köklerini düşünün.

Sağ!

Böylece sistemin çözümü iki çift sayı olacaktır:

*Burada, bulunan tanım alanını dikkate alarak, ona ait olmayan elde edilen tüm değerleri hariç tuttuk ve ardından olası çiftler için tüm seçenekleri inceledik. Daha sonra bunlardan hangisinin sistemin çözümü olduğunu kontrol ettik.

Denklemleri, eşitsizlikleri ve bunların sistemlerini çözmenin en başında, eğer kökler, logaritmalar, trigonometrik fonksiyonlar varsa, mutlaka tanım tanım kümesini bulmanızı öneririm. Elbette hemen çözmenin ve ardından çözümü kontrol etmenin daha kolay olduğu örnekler vardır, ancak bunlar göreceli bir azınlıktır.

İşte bu. Size iyi şanslar!

Deşifre metni

1 I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Trigonometrik denklem sistemleri Bu makalede iki bilinmeyenli iki denklemden oluşan trigonometrik sistemleri ele alıyoruz. Bu tür sistemlerin çözüm yöntemlerini ve çeşitli özel teknikleri hemen inceleyeceğiz. spesifik örnekler. Sistemin denklemlerinden biri bilinmeyen x ve y'nin trigonometrik fonksiyonlarını içerirken diğer denklem x ve y'de doğrusal olabilir. Bu durumda, açık bir şekilde hareket ediyoruz: bilinmeyenlerden birini doğrusal bir denklemden ifade ediyoruz ve onu sistemin başka bir denklemiyle değiştiriyoruz. Problem 1. Sistemi çözün: x + y =, sin x + sin y = 1. Çözüm. İlk denklemden y'yi x'e kadar ifade ederiz ve bunu ikinci denklemde yerine koyarız: y = x, sin x + sin x) = 1 sin x = 1 sin x = 1. Sonuç, x için en basit trigonometrik denklemdir. Çözümlerini iki seri şeklinde yazıyoruz: x 1 = 6 + n, x = n n Z). Geriye karşılık gelen y değerlerini bulmak kalıyor: y 1 = x 1 = 5 6 n, y = x = 6 n. Her zaman bir denklem sisteminde olduğu gibi, cevap x çiftlerinin bir listesi olarak verilir; y). 6 + n; 5) 5 6 n, 6 + n;) 6 n, n Z. X ve y'nin n tamsayı parametresi aracılığıyla birbirleriyle ilişkili olduğuna dikkat edin. Yani, x ifadesinde +n görünüyorsa, y ifadesinde n otomatik olarak ve aynı n ile görünür. Bu, x + y = denklemiyle verilen, x ile y arasındaki "sert" ilişkinin bir sonucudur. Görev. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, x y =. Çözüm. Burada öncelikle sistemin ilk denklemini dönüştürmek mantıklıdır: 1 + cos x cos y = 1 cos x + cos y = 1 cosx + y) cosx y) = 1. 1

2 Dolayısıyla sistemimiz şu sisteme eşdeğerdir: cosx + y) cosx y) = 1, x y =. İlk denklemde x y ='yi yerine koyun: cosx + y) cos = 1 cosx + y) = 1 x + y = n n Z). Sonuç olarak şu sisteme ulaşıyoruz: x + y = n, x y =. Bu denklemleri toplayıp bölüyoruz ve x'i buluyoruz; ikinciyi birinci denklemden çıkarın, bölün ve y'yi bulun: x = + n, y = + n n Z). +n; + n), n Z. Bazı durumlarda trigonometrik sistem değişkenlerin uygun bir şekilde değiştirilmesiyle bir cebirsel denklem sistemine indirgenebilir. Görev. Sistemi çözün: sin x + cos y = 1, sin x cos y = 1. Çözüm. u = sin x, v = cos y değişimi, u ve v için cebirsel bir sisteme yol açar: u + v = 1, u v = 1. Bu sistemi kendiniz kolayca çözebilirsiniz. Çözüm benzersizdir: u = 1, v = 0. Ters ikame iki en basit trigonometrik denkleme yol açar: sin x = 1, cos y = 0, dolayısıyla + k; + n), k, n Z. x = + k, y = + n k, n Z). Artık yanıt kaydı iki tam sayı parametresi k ve n'yi içeriyor. Farkı önceki görevler bu sistemde x ile y arasında örneğin doğrusal bir denklem biçiminde "katı" bir bağlantı olmamasıdır, bu nedenle x ve y çok daha fazladır daha büyük ölçüde birbirinden bağımsız.

3V bu durumda Yalnızca bir tamsayı parametresi n kullanmak, cevabı + n;) + n olarak yazmak hata olur. Bu kayıplara yol açacaktır sonsuz sayı 5 sistem çözümü. Örneğin, k = 1 ve n = 0'da ortaya çıkan çözüm kaybolacaktır ;). Problem 4. Sistemi çözün: sin x + sin y = 1, cos x + cos y =. Çözüm. İlk önce ikinci denklemi dönüştürüyoruz: 1 sin x + 1 sin y) = sin x + 4 sin y = 1. Şimdi yerine koyma işlemini yapıyoruz: u = sin x, v = sin y. Sistemi elde ederiz: u + v = 1, u + 4v = 1. Bu sistemin çözümleri iki çifttir: u 1 = 0, v 1 = 1/ ve u = /, v = 1/6. Geriye kalan tek şey ters yerine koyma işlemi yapmaktır: sin x = 0, sin x = sin y = 1 veya sin y = 1 6 ve cevabı yazın. k; 1) n6 + n), 1) k arksin + k; 1)n arcsin 16 + n), k, n Z. Problem 5. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, sin x sin y = 4. Çözüm. Burada cebirsel bir sistem elde etmek için daha da fazla çalışmanız gerekiyor. Sistemimizin ilk denklemini şu şekilde yazıyoruz: İkinci denklemde: cos x + y cos x y = 1. = sin x sin y = cosx y) cosx + y) = = cos x y 1 Böylece orijinal sistem şu sisteme eşdeğerdir: cos x + y cos x y = 1, cos x y cos x + y = 4. cos x + y) 1 = cos x y cos x + y.

4 u = cos x y, v = cos x + y yerine koyarız ve cebirsel bir sistem elde ederiz: uv = 1, u v = 4. Bu sistemin çözümleri iki çifttir: u 1 = 1, v 1 = 1/ ve u = 1, v = 1/. İlk çift sistemi verir: x y = 1, = k, Dolayısıyla cos x y cos x + y İkinci çift sistemi verir: cos x y cos x + y = 1 x + y x = ± + n + k), y = 1 , = 1 = ± + nk, nZ). = ± + nk). x y = + k, x + y = ± + nk, nZ). Dolayısıyla x = ± + n + k), y = ± + n k). ±) + n + k); ± + nk), ± + n +k); ±) + n k), k, n Z. Bununla birlikte, bir trigonometrik denklem sistemini cebirsel denklemler sistemine indirgemek her zaman mümkün değildir. Bazı durumlarda çeşitli özel tekniklerin kullanılması gerekir. Bazen denklemleri toplayıp çıkararak bir sistemi basitleştirmek mümkündür. Problem 6. Sistemi çözün: sin x cos y = 4, cos x sin y = 1 4. Çözüm. Bu denklemleri toplayıp çıkararak şunu elde ederiz: eşdeğer sistem: sinx + y) = 1, sinx y) = 1. Ve bu sistem de iki sistemin birleşimine eşdeğerdir: x + y = + k, x + y = x y = + k veya 6 + n x y = nk, nZ). 4

5 Dolayısıyla x = + k + n), x = + k + n), y = veya + k n) y = + k n) k + n);)) 6 + k n), + k + n); + k n), k, n Z. 6 Bazen denklemleri birbirleriyle çarparak çözüme ulaşabilirsiniz. Problem 7. Sistemi çözün: tg x = sin y, ctg x = cos y. Çözüm. Bir sistemin denklemlerini birbirleriyle çarpmanın “sol tarafların çarpımı sağ tarafların çarpımına eşittir” şeklinde bir denklem yazmak anlamına geldiğini hatırlayalım. Ortaya çıkan denklem orijinal sistemin bir sonucu olacaktır, yani orijinal sistemin tüm çözümleri sonuçtaki denklemi karşılayacaktır). Bu durumda sistemin denklemlerinin çarpılması şu denkleme yol açar: 1 = sin y cos y = sin y, dolayısıyla y = /4 + n n Z). Y'yi bu biçimde sistemde değiştirmek sakıncalıdır; onu iki seriye bölmek daha iyidir: y 1 = 4 + n. Sistemin ilk denkleminde y 1'i yerine koyun: y = 4 + n. tan x = sin y 1 = 1 x 1 = 4 + k k Z). Sistemin ikinci denkleminde y 1'in yerine konulmasının aynı sonuca yol açacağını görmek kolaydır. Şimdi y'yi yerine koyuyoruz: tan x = sin y = 1 x = 4 + k k Z). 4 + k;) 4 + n, 4) + k; 4 + n, k, n Z. Bazen denklemleri birbirine bölmek sonuca yol açar. Problem 8. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, sin x + sin y =. Çözüm. Haydi dönüştürelim: cos x + y sin x + y cos x y cos x y = 1, =. 5

6 Geçici olarak şu gösterimi tanıtalım: α = x + y, β = x y. Daha sonra ortaya çıkan sistem şu şekilde yeniden yazılacaktır: cos α cos β = 1, sin α cos β =. Cos β 0 olduğu açıktır. Daha sonra ikinci denklemi birinciye bölerek sistemin bir sonucu olan tg α = denklemine ulaşırız. Elimizde: α = + n n Z) ve yine sisteme daha fazla ikame amacıyla), elde edilen kümeyi iki seriye bölmek bizim için uygundur: α 1 = + n, α = 4 + n. Sistemin herhangi bir denkleminde α 1'i değiştirmek şu denkleme yol açar: cos β = 1 β 1 = k k Z). Benzer şekilde, sistemin herhangi bir denkleminde α'yı değiştirmek şu denklemi verir: cos β = 1 β = + k k Z). Yani elimizde: α 1 = + n, β 1 = k veya α = 4 + n, β = + k, x + y = + n, x + y = 4 x y veya + n, = k x y = + k, x = + n + k), x = 7 + n + k), y = veya + n k) y = + n k). + n + k);) 7 + n k), + n + k);) + n k), k, n Z. Bazı durumlarda, temel trigonometrik özdeşlik. Problem 9. Sistemi çözün: sin x = 1 sin y, cos x = cos y. Çözüm. Her denklemin her iki tarafının karesini alalım: sin x = 1 sin y), cos x = cos y. 6

7 Ortaya çıkan denklemleri toplayalım: = 1 sin y) + cos y = 1 sin y + sin y + cos y = sin y, dolayısıyla sin y = 0 ve y = n n Z). Bu orijinal sistemin bir sonucudur; yani herhangi bir x çifti için; Sistemin bir çözümü olan y), bu çiftin ikinci sayısı bir n tamsayısıyla n biçiminde olacaktır. Y'yi iki seriye ayırıyoruz: y 1 = n, y = + n. Orijinal sistemde y 1'i yerine koyarız: sin x = 1 sin y1 = 1, cos x = cos y1 = 1 Bu sistemin çözümü sin x = 1, cos x = 1 serisidir. x 1 = 4 + k k Z ). Şimdi sistemin denklemlerinden birinde y 1'i yazmanın yeterli olmayacağını lütfen unutmayın. Sistemin birinci ve ikinci denklemlerinde y 1 yerine iki denklemli bir sistem elde edilir farklı denklemler x'e göre.) Benzer şekilde, orijinal sistemde y'yi yerine koyarız: Dolayısıyla sin x = 1 sin y = 1, cos x = cos y = 1 x = 4 + k k Z)) 4 + k; n, + k; + n, k, n Z. 4 sin x = 1, cos x = 1. Bazen dönüşümler sırasında bilinmeyenler arasında basit bir ilişki elde etmek ve bu ilişkiden bir bilinmeyeni diğerine göre ifade etmek mümkündür. Problem 10. Sistemi çözün: 5 cos x cos y =, sin x siny x) + cos y = 1. Çözüm. Sistemin ikinci denkleminde sinüslerin çift çarpımını kosinüs farkına dönüştürüyoruz: cosx y) cos y + cos y = 1 cosx y) = 1 x y = n n Z). Buradan y'yi x cinsinden ifade ederiz: y = x + n, 7

8 ve sistemin ilk denkleminde yerine şunu koyun: 5 cos x cos x = 5 cos x cos x 1) = cos x 5 cos x + = 0. Gerisi önemsizdir. Şunu elde ederiz: cos x = 1, dolayısıyla x = ± Yukarıda elde edilen ilişkiden y'yi bulmak kalır: + k k Z). y = ± + 4k + n. ± + k; ± + 4k + n), k, n Z. Elbette, ele alınan problemler trigonometrik denklem sistemlerinin tüm çeşitliliğini kapsamamaktadır. Herhangi bir zamanda zor durum yalnızca çözme pratiğiyle geliştirilen yaratıcılık gerektirir çeşitli görevler. Tüm cevaplar k, n Z olduğunu varsayar. Problemler 1. Sistemi çözün: x + y =, cos x cos y = 1. b) x + y =, sin x sin y = 1. + n; n), + n; 4n); b) n; N). Sistemi çözün: x + y = 4, tg x tan y = 1 b) 6. x y = 5, sin x = sin y. arktan 1 + n; arktg 1 n), arktg 1 + n; arktg 1 n); b) + n; 6 + n). Sistemi çözün: sin x + sin y = 1, x y = 4 b). x + y =, sin x sin y = n; 6 + n) ; b) 6 + n; 6 n) 8

9 4. Sistemi çözün: sin x + cos y = 0, sin x + cos y = 1. b) sin x + cos y = 1, sin x cos y =. 1) k6 + k; ± + n), 1) kk; ± + n) ; b) 1) k4 + k; + n) 5. Sistemi çözün: cos x + cos y = 1, tan x + tan y =, sin x sin y = b) 4. ctg x + ctg y = 9 5. ± + k; N) ; b) arktan 5 + k; arktan 1 + n), arktan 1 + k; arktan 5 + n) 6. Sistemi çözün: sin x + cos y = 1, cos x cos y = 1. b) sin x + cos x = + sin y + cos y, sin x + sin y = 0. 1 ) k6 + k; ± + n) ; b) 4 ± 4 + k; 5 4 ± 4 + n) 7. Sistemi çözün: sin x + sin y =, cos x cos y = 1. 1) k 4 + k + n); 1)k4 + kn)), 1) kk + n + 1); 1)k k n 1)) 8. Sistemi çözün: sin x sin y = 1 4, tg x tan y =, cos x cos y = b) 4. sin x sin y = 4. ± 6 + k + n); ± 6 + kn)) ; b) ± + k + n); ± + k n)) 9. Sistemi çözün: 4 sin x cos y = 1, tg x = tan y. b) sin x = cos x cos y, cos x = sin x sin y)k n k) ; 1) k1 + n + k)) ; b)) 4 + k; 4 + k + n 9

10 10. Sistemi çözün: cos x = tan cos y = tan y +), 4 x +). 4k; n), 4 + k; 4 + n), + k; + n) 11. Sistemi çözün :) tan 4 + x = cos y,) tan 4 x = sin y. k; 4 + n), + k; 4 + n) 1. Sistemi çözün: sin x + sin y = 1, cos x cos y =. 6 + n + k); n k)), 6 + n + k); n k)) 1. Sistemi çözün: tg x + tan y =, cos x cos y = n + k); 4 + n k)) 14. Sistemi çözün: sin x = sin y, cos x = cos y. 6 + k; 4 + n), 6 + k; 4 + n), k; 4 + n), k; 4 + n) 15. Sistemi çözün: 6 cos x + 4 cos y = 5, sin x + sin y = 0. arccos 4 + k; arccos n), arccos 4 + k; arccos n) 16. Sistemi çözün: 4 tg x = tg y, sin x cosx y) = sin y. b) bebek karyolası x + sin y = sin x, sin x sinx + y) = cos y. k; N); b)) 4 + k; n, + k; + n) 10

11 17. “Fiztekh”, 010) 5 sin x cos y =, sin y + cos x = denklem sistemini çözün. 4 + k, 6 + n) ; k, n Z 18. Moskova Devlet Üniversitesi, kopya. yabancılar için gr-n, 01) Denklem sistemini çözün: 4 + cos x = 7 sin y, y x = y 4. + n; 6 + n), + n; n), + n; 6n), +n; 5 6 n), n Z 19. MGU, VMK, 005) Sistemin tüm çözümlerini bulun günah denklemleri x + y) = 1, xy = 9. xn, 4 + n) xn, burada xn = 8 + n ± n) 6, n Z, n, 1, 0, 1 0. Moskova Devlet Üniversitesi, coğrafi. f-t, 005) 1 sin x sin y =, 6 sin x + cos y = denklem sistemini çözün. 1) n n, k), k, n Z 1. Moskova Devlet Üniversitesi, Devlet Fakültesi. kontrol, 005) Denklem sistemini çözün sin x sin 1 = 0, cos x cos 1 = n, n Z. MIPT, 199) Denklem sistemini çözün 10 cos x = 7 cos x cos y, sin x = cos x günah y. arccos + n, 1)k arcsin 5); 6 + k arccos + n, 1)k+1 arcsin 5), 6 + k k, nZ 11

12. MIPT, 199) tg x 4 ctg x = tg y, 4 sin x = sin x cos y denklem sistemini çözün. arktan 4 + n, arkcos 4 + k) ; + arctan 4 + n, + arccos 4 + k), k, n Z 4. MIPT, 1996) Denklem sistemini çözün sin x = sin y, cos y + cos x sin x = 4. ± 6 + n, 1 )k k ) ; k, n Z 5. MIPT, 1996) Sin x +) = sin y cos y, 4 sin y + sin x = 4 + sin x denklem sistemini çözün. 1) n1 + n, 4 + 1)k4 + k) ; k, n Z 6. MIPT, 1997) 9 cos x cos y 5 sin x sin y = 6, 7 cos x cos y sin x sin y = 4 denklem sistemini çözün. ± n + k, ± 6 + n + k) ; k, nZ 1

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Trigonometride Minimax problemleri Bu sayfada, çözümü için sağ ve sol taraf tahminlerinin kullanıldığı denklemler tartışılmaktadır. Olmak

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Modüllü trigonometrik denklemler Bu sayfa, bilinmeyen bir miktarın trigonometrik fonksiyonlarının yer aldığı trigonometrik denklemlere ayrılmıştır.

Pratik çalışma: Trigonometrik denklemlerin çözümü çeşitli türler Geliştirici: I. A. Kochetkova, Zh. I. Timoshko İşin amacı: 1) Trigonometrik formülleri tekrarlayın çift argüman, toplama formülleri,

I V Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUsru Trigonometrik eşitsizlikler Okuyucunun en basit denklemleri çözebileceği varsayılmaktadır. trigonometrik eşitsizlikler Daha fazlasına geçiyoruz karmaşık görevler Görev

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Trigonometrik dönüşümler ve hesaplamalar ile ilgili problemler trigonometrik dönüşümler ve hesaplamalar kural olarak karmaşık değildir ve bu nedenle nadiren

İçindekiler I V Yakovlev Matematikle ilgili materyaller MathUsru İrrasyonel denklemler ve sistemler 1 Ev eşyaları muhasebesi 1 Eşdeğer dönüşümler 3 Değişkenin değişimi 6 4 Eşlenik ile çarpma 7 5 Denklem sistemleri

I. V. Yakovlev Matematikle ilgili materyaller MathUs.ru En basit trigonometrik denklemler Trigonometrik denklemleri incelemeye başlıyoruz ana tema tüm trigonometrik bölüm. izin ver

Eğitim Yönetim Ajansı Krasnoyarsk Bölgesi Krasnoyarsk devlet üniversitesi Krasnoyarsk Devlet Üniversitesi Matematik Yazışma doğa bilimleri okulu: 0. sınıf için modül Eğitimsel ve metodolojik kısım/ Kompozisyon:

G.I. parametreleriyle değişmezlik ve sorunlar Falin, A.I. Falin Lomonosov Moskova Devlet Üniversitesi http://mech.math.msu.su/ falin 1 Giriş B modern matematik önemli rol değişmezlik kavramını oynar, yani. değişmezlik

I. V. Yakovlev Matematik üzerine materyaller MthUs.ru Araştırma trigonometrik fonksiyonlar Tanım kümesindeki herhangi bir x için öyle bir T 0 sayısı varsa, fx) fonksiyonuna periyodik adı verildiğini hatırlayın.

Konu 14 “Cebirsel denklemler ve sistemler doğrusal olmayan denklemler» N dereceli bir polinom, P n () a 0 n + a 1 n-1 + + a n-1 + an n biçiminde bir polinomdur; burada a 0, a 1, a n-1, an n verilen sayılar 0,

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Eğitim problemleri Parametreli problemlerde simetri 1. (MSU, Toprak Bilimi Fakültesi, 001) Denklemin hangi b değerleri için tam olarak bir kökü var? tan b = günlük

Bilim ve Eğitim Bakanlığı Rusya Federasyonu Moskova Devlet Jeodezi ve Haritacılık Üniversitesi T. M. Koroleva, E. G. Markaryan, Yu. M. Neiman BAŞVURULAR İÇİN MATEMATİK ELKİTABI

10. sınıf cebir dersi Ders konusu: Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri Dersin Amacı: Öğrencilerin konu hakkındaki bilgilerinin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi. Ders hedefleri: 1) Eğitimsel - Genişletme ve derinleştirme

L.I.'nin test çözümü örnekleri. Terekhina, I.I. Düzeltme 1 Test 1 Doğrusal cebir Karar vermek matris denklemi((3 1 2 1 X + 2 4 2 3 3 (1 0 = 3 2 3 Önce matrisleri şu şekilde çarpalım:

TRİGONOMETRİK FONKSİYONLARIN İNTEGRASYONU Çeşitli argümanların sinüs ve kosinüslerinin çarpımının integrali alınması Trigonometrik formüller km [ (m k (m k ], (km [ (m k (m k ]), (km [ (m k (m k)

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü(devlet üniversitesi) Yarı zamanlı fiziksel ve teknik okul MATEMATİK Özdeş dönüşümler. Çözüm

İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler İçerik İrrasyonel denklemler Bir denklemin her iki tarafını da aynı kuvvete yükseltme yöntemi Atama Atama Ödev İrrasyonel bir denklemin karma bir denklemle değiştirilmesi

Belarus Cumhuriyeti Molodechno Eyaleti Eğitim Bakanlığı politeknik okulu Pratik çalışma: En basitine indirgenmiş trigonometrik denklemlerin çözülmesi. Geliştirici: I.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI TOMSK DEVLET ÜNİVERSİTESİ Uygulamalı Matematik ve Sibernetik Fakültesi Olasılık Teorisi ve Bölümü matematiksel istatistik SINIRLAR Metodolojik

10. sınıf, temel seviye Görev 1 Seçenek 0 (çözümlerle birlikte gösteri) Yazışma matematik okulu 009/010 akademik yıl 1 İfadeyi polinom olarak ifade edin standart görünüm ve onu bul

“BELİRSİZ İNTEGRAL” Dersleri Derleyen: VPBelkin Ders Belirsiz integral Temel kavramlar Belirsiz integralin özellikleri 3 Terstürevlerin temel tablosu 3 4 Tipik örnekler 3 5 Tek hücreliler

4. Trigonometri Artık trigonometrik fonksiyonların kesin tanımlarını vermeye hazırız. İlk bakışta muhtemelen oldukça tuhaf görünecekler; ancak şunu göstereceğiz:

Konu FONKSİYONLARIN LİMİTLERİ A sayısına y = f fonksiyonunun limiti denir ve x sonsuza gider, eğer herhangi bir ε> sayısı için, ne kadar küçük olursa olsun, tüm >S'ler için pozitif bir s sayısı vardır,

Federal kurum Eğitime göre eyalet eğitim kurumu daha yüksek mesleki eğitim Ukhta Eyaleti teknik üniversite(USTU) LİMİT FONKSİYONU Metodolojik

DEMİDOV DEĞİL TRİGONOMETRİ TEMELLERİ Çalışma kılavuzu yabancı vatandaşlar Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Federal Devlet Eğitim bütçe kurumu yüksek profesyonel

Konu 1 Gerçek sayılar ve bunlarla ilgili eylemler 4 saat 11 Sayı kavramının gelişimi Başlangıçta sayılar sadece anlaşılıyordu doğal sayılar saymak için bunlar yeterli bireysel öğeler Birçok

Trigonometrik denklemleri çözme Trigonometrik denklemleri çözme Hedefler: Trigonometrik denklem türlerine aşina olmak Denklem çözme yöntemlerine aşina olmak. Uygulama becerilerini geliştirin

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MathUs.ru Parametreli problemlerde simetri Simetri, anahtar kavramlar matematik ve fizik. aşina mısın geometrik simetri rakamlar ve genellikle çeşitli

Test. A, B ve D matrisleri veriliyor. Eğer: 4 7 () 6 9 6 A = 3 9 7, B =, D = 3 8 3. 3 7 7 3 7 ise AB 9D'yi bulun. A 3 ve B 3 matrislerini çarpın. Sonuç: elemanlardan oluşan 3 3 boyutunda C olsun

Ders 13: Ural düzleminde kuadriklerin sınıflandırılması federal üniversite, Matematik Enstitüsü ve bilgisayar Bilimi, Cebir ve Ayrık Matematik Bölümü Giriş Açıklamaları Önceki üç bölümde

Sınıf. Rastgele bir gerçek üssü olan bir kuvvet, özellikleri. Güç fonksiyonu, özellikleri, grafikleri.. Derecenin özelliklerini şununla hatırlayın: rasyonel gösterge. a a a a a doğal zaman için

8.3. Sınıf Matematik (Makarychev ders kitabı) 2016-2017 akademik yılı 5. Modülün konusu “Karekök. Tamsayı göstergeli derece” Test teorik ve pratik kısımları test eder. KONU Bilmek Bilmek

VSTU-VGASU Yüksek Matematik Bölümü, Doç. Sedayev A.A. 06 ÜRETİLDİ?.. sıfırdan mı?.. C H A Y N I KO V İÇİN?... BU BASİT DEĞİL Sevgili okuyucu. Eğer bulma ihtiyacıyla karşılaşırsanız

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı ULUSAL ARAŞTIRMA MOSKOVA DEVLET SİVİL ÜNİVERSİTESİ Bölümü uygulamalı mekanik ve matematikçiler OLAĞAN DİFERANSİYEL

Konu: Trigonometrik ifadelerin dönüşümü Trigonometrik denklemlerde ODZ'nin dikkate alınması Birleşik Devlet Sınavına Hazırlık (görev 9; ; 8) Tanım: f g veya alan denkleminin tanım alanı kabul edilebilir değerler

Moskova havacılık enstitüsü(ulusal araştırma üniversitesi) Departman " Yüksek matematik" Çeşitli Değişkenlerin Türev Fonksiyonlarını Limitler Yönergeler ve kontrol seçenekleri

Bölüm 4 Bir Fonksiyonun Limiti 4 1 BİR FONKSİYONUN LİMİT KAVRAMI Bu bölüm bir fonksiyonun limit kavramına odaklanmaktadır. Bir fonksiyonun sonsuzda limitinin ne olduğu belirlenir ve ardından bir noktadaki limit, limitler belirlenir.

Konu 7 Bir matrisin rütbesi Temel Minör Matrisin rütbesi teoremi ve sonuçları Bilinmeyen m doğrusal denklem sistemleri Kronecker-Capelli teoremi Temel sistemçözümler homojen sistem doğrusal

Konu 1-8: Karmaşık sayılar A. Ya. Ovsyannikov Ural Federal Üniversitesi Matematik ve Bilgisayar Bilimleri Enstitüsü Cebir ve Ayrık Matematik Bölümü Mekanik için cebir ve geometri (1 dönem)

MATEMATİKSEL ANALİZİN TEMEL KAVRAMLARI Tanımlanabilen ancak kesin olarak tanımlanamayan kavramlar, çünkü kesin bir tanım verme girişimi kaçınılmaz olarak tanımlanan kavramın yerine geçmesine neden olacaktır.

Değişkenleri ayırma yöntemi (Fourier yöntemi) Genel prensipler değişkenlerin ayrılması yöntemi En basit kısmi diferansiyel denklem için değişkenlerin ayrılması, yalnızca t formundaki çözümlerin aranmasıdır. u(x,t

64 7.sınıf Cebir (haftada 5 saat, 175 saat) Cebirsel bileşen (haftada 3 saat) 105 saat ve Geometrik bileşen (haftada 2 saat) 70 saat Kullanılan öğretim yardımcıları: 1. Arefieva, I. G. Cebir: ders kitabı. ödenek

Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı Rusya Devlet Petrol ve Gaz Üniversitesi IM Gubkin VI Ivanov “DİFERANSİYEL DENKLEMLER” konusunu incelemek için kılavuzlar (öğrenciler için)

Pratik ders Konu: Fonksiyon Bir fonksiyonun tanım alanı ve değer kümesi Hedef: Fonksiyonların tanım alanını bulma ve fonksiyonların kısmi değerlerini hesaplama konusunda becerilerin geliştirilmesi Tamamlamak

SEÇENEK 0 GÖREVLERİNİN ÇÖZÜMLERİ Yalnızca parçadan gelen görevlere yönelik çözümlerin test için sunulduğunu hatırlatalım. Parçalardan gelen görevlere yönelik çözümler taslak halinde gerçekleştirilir ve parçadan görevleri tamamlarken değerlendirmeyi hiçbir şekilde etkilemez.

57(07) D DG Demyanov BELİRSİZ İNTEGRAL Eğitim ve referans kılavuzu Chelyabinsk 00 UDC 57 (0765) Demyanov DG Belirsiz integral: Eğitim ve referans kılavuzu / Düzenleyen: SA Ufimtsev Chelyabinsk: Yayınevi

Phystech 0, 0 sınıfı, bilete çözümler cos x cosx Denklemi çözün = cos x sin x Cevap x = k 6 +, x = + k 6, x = + k, k Ζ Çözüm İki durum mümkündür cos x cos x sin x sin x a) cos x 0 O zaman = = tan x = x =

TRİGONOMETRİK FORMÜLLER Trigonometrik denklemleri ve eşitsizlikleri çözme, trigonometrik özdeşlikleri kanıtlama ve hesaplama problemlerini çözme başarısı büyük ölçüde temel temel bilgiyle belirlenir.

Ders 14 Karmaşık sayılar. LODU ile sabit katsayılar. 14.1 Karmaşık sayılar Karmaşık sayı x R olmak üzere z = x+iy formunun bir ifadesi denir. Küme arasında bire bir yazışma vardır.

Soru: Hangi sayılara doğal sayılar denir? Cevap Doğal sayılar saymada kullanılan sayılardır. Sayıların gösteriminde sınıflar ve sıralar nelerdir? Toplama sırasında sayılara ne denir? Bir ünsüz formüle edin

AA KIRSANOV KOMPLEKS NUMARALARI PSKOV BBK 57 K45 Cebir ve Geometri Bölümü ve SM Kirov'un adını taşıyan PSPI Yayın ve Yayın Konseyi kararıyla yayınlandı Hakem: Medvedeva IN, Fizik ve Matematik Adayı, Doçent

Ders Diferansiyel denklemler-inci sıra (DU-) Genel görünüm n mertebesinden diferansiyel denklem şu şekilde yazılacaktır: (n) F, = 0 () n'inci mertebeden denklem (n =) F(,) = 0 formunu alacaktır Benzer denklemler

DİFERANSİYEL DENKLEMLER Habarovsk 01 FEDERAL EĞİTİM AJANSI Yüksek mesleki eğitimin devlet bütçeli eğitim kurumu "Pasifik Devleti

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı St. Petersburg Devlet Mimarlık ve İnşaat Mühendisliği Üniversitesi VB SMIRNOVA, L E MOROZOVA OLAĞAN DİFERANSİYEL DENKLEMLER Eğitim

MATEMATİK, sınıf Cevaplar ve kriterler, Nisan Seçenek/görevler CEVAPLAR B B B4 B B7 C 4 7 4 arccos 7 44.7 9 8 + n, n, 4 8 7 4,4,8 4 4, 4, 9, 4 (;) ( log ;) + n, 8 49 8,7 (4;) (; +), 8 9, 4 8 + 7

Sorun koşulları 1 Belediye aşaması 8.sınıf 1. Tahtaya iki sayı yazılır. 2015 yılı için biri 6 kat artırılırken diğeri azaltılırken rakamların toplamı değişmedi. Bunlardan en az bir çift bulun

Belirsiz integral Giriş Tanım Bir F() fonksiyonuna, eğer F() f() ise veya aynı şey, df f d ise, belirli bir f() fonksiyonu için ters türev denir. Bu işlev f() farklı antiderivatiflere sahip olabilir,

Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü İrrasyonel denklemler ve eşitsizlikler Metodik kılavuz Olimpiyatlara hazırlık hakkında Derleyen: Parkevich Egor Vadimovich Moskova 04 Giriş Bu çalışmada şunlara bakacağız:

VEKTÖR HESABININ TEMELLERİ Bir vektöre denir niceliksel özellik, sadece sayısal değer Bazen bir vektörün yönlendirilmiş bir segment olduğunu söylerler. Vektör sistemi.

Üstel denklemler. Çözüm yöntemleri. Dubova Maria Igorevna 7 78-57 Üstel denklem, yalnızca üstelde bir değişken içeren denklemdir. Birkaç türe bakalım üstel denklemler,

MAV(S)OU "TsO 1" Matematik 1. Sınıf Trigonometri TEST 1, Tablolar, testler, Öğretmen Nemova N.M.'yi test ediyor. İlk yeterlilik 15 öğretim yılı Açıklayıcı not. Verilen didaktik materyal amaçlanan

Ters türev ve belirsiz integral Temel kavramlar ve formüller 1. Ters türev ve belirsiz integralin tanımı. Tanım. F(x) fonksiyonuna, aralıktaki f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.

PRATİK DERS Rasyonel kesirlerin integrali Rasyonel kesir, P Q formunun bir kesridir; burada P ve Q polinomlardır Rasyonel kesir Polinom P'nin derecesi dereceden küçükse doğru denir.

I. V. Yakovlev Matematik ile ilgili materyaller MthUs.ru Makale A. G. Malkova ile birlikte yazılmıştır. En basit trigonometrik denklemler. Önceki makale, en basit trigonometrik problemleri çözme ana fikrine ayrılmıştı.

Konu Belirsiz integral Temel integral yöntemleri Parçalara göre integral alma u ve v'nin aynı argümanın iki türevlenebilir fonksiyonu olmasına izin verin. d(u v) udv vdu (77) Her ikisinden de alın

Rusya Federasyonu Eğitim ve Bilim Bakanlığı Moskova Fizik ve Teknoloji Enstitüsü (devlet üniversitesi) Fizik ve teknoloji yazışma okulu MATEMATİK İkinci dereceden denklemler 8. sınıflar için ödev

Tam sayılarla tek adımlı problemler (formel) sayfa 1 09/06/2012 1) Eşitsizliği çözün: x 7 17. 2) 612'yi 100000 ile çarpın. 3) 661 ile 752 sayıları arasındaki fark nedir? 4) İfadeleri karşılaştırın: 54 6 ve 7.

DERS N Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler, çözüm yöntemleri Cauchy problemi Yüksek mertebeden doğrusal diferansiyel denklemler Homojen doğrusal denklemler Yüksek mertebeden diferansiyel denklemler,

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri

Giriş 2

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri 5

Cebirsel 5

Aynı isimli trigonometrik fonksiyonların eşitlik koşulunu kullanarak denklem çözme 7

Çarpanlara ayırma 8

Homojen denklem 10'a indirgeme

Yardımcı açının tanıtılması 11

Ürünü toplam 14'e dönüştür

Evrensel ikame 14

Sonuç 17

giriiş

Onuncu sınıfa kadar, hedefe götüren birçok alıştırmanın eylem sırası kural olarak açıkça tanımlanmıştır. Örneğin doğrusal ve ikinci dereceden denklemler ve eşitsizlikler, kesirli denklemler ve ikinci dereceden denklemlere indirgenmiş denklemler vb. Bahsedilen örneklerin her birinin çözüm ilkesini ayrıntılı olarak incelemeden, başarılı bir çözüm için gerekli olan genel şeyleri not ediyoruz.

Çoğu durumda, görevin ne tür bir görev olduğunu belirlemeniz, hedefe götüren eylemlerin sırasını hatırlamanız ve bu eylemleri gerçekleştirmeniz gerekir. Açıkçası, bir öğrencinin denklem çözme tekniklerine hakim olmadaki başarısı veya başarısızlığı, esas olarak denklemin türünü ne kadar doğru belirleyebildiğine ve çözümünün tüm aşamalarının sırasını ne kadar hatırlayabildiğine bağlıdır. Tabii ki bu, öğrencinin performans sergileyecek becerilere sahip olduğunu varsayar. kimlik dönüşümleri ve bilgisayar.

Bir okul çocuğu trigonometrik denklemlerle karşılaştığında tamamen farklı bir durum ortaya çıkar. Üstelik denklemin trigonometrik olduğu gerçeğini tespit etmek zor değil. Yol açacak eylemlerin sırasını bulurken zorluklar ortaya çıkar. olumlu sonuç. Ve burada öğrenci iki sorunla karşı karşıyadır. İle dış görünüş denklemlerin türünü belirlemek zordur. Ve türünü bilmeden seçim yapmak neredeyse imkansızdır gerekli formül birkaç düzineden mevcut.

Öğrencilerin bulmalarına yardımcı olmak için doğru yol Trigonometrik denklemlerden oluşan karmaşık bir labirentte, ilk önce denklemlerle tanıştırılırlar ve yeni bir değişken dahil edildikten sonra ikinci dereceden denklemlere indirgenirler. Daha sonra homojen denklemleri ve bunlara indirgenebilenleri çözerler. Kural olarak her şey, çarpanlara ayırmanız gereken çözmek için denklemlerle biter sol taraf, daha sonra faktörlerin her birini sıfıra eşitliyoruz.

Öğretmen, derslerde tartışılan bir buçuk düzine denklemin öğrenciyi trigonometrik "deniz" üzerinde bağımsız bir yolculuğa çıkarmak için yeterli olmadığını fark ederek birkaç öneri daha ekler.

Trigonometrik bir denklemi çözmek için şunları denemeniz gerekir:

Denklemde yer alan tüm fonksiyonları “aynı açılara” getirin;

Denklemi "özdeş fonksiyonlara" indirgeyin;

Denklemin sol tarafını çarpanlara ayırın, vb.

Ancak trigonometrik denklemlerin temel türlerini ve çözümlerini bulmanın çeşitli ilkelerini bilmelerine rağmen, birçok öğrenci daha önce çözülenlerden biraz farklı olan her denklem karşısında kendilerini şaşkına çeviriyor. Şu veya bu denklemi elde ederken ne için çabalamamız gerektiği, neden bir durumda formülleri uygulamanın gerekli olduğu belirsizliğini koruyor çift açı, diğer yarıda ve üçüncü ekleme formüllerinde vb.

Tanım 1. Trigonometrik denklem, bilinmeyenin trigonometrik fonksiyonların işareti altında yer aldığı bir denklemdir.

Tanım 2. Bunu trigonometrik bir denklemde söylüyorlar eşit açılar, eğer içerdiği tüm trigonometrik fonksiyonlar eşit argümanlara sahipse. Bir trigonometrik denklem, trigonometrik fonksiyonlardan yalnızca birini içeriyorsa aynı fonksiyonlara sahip olduğu söylenir.

Tanım 3. Trigonometrik fonksiyonlar içeren bir monomiyalin kuvveti, içinde yer alan trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerinin üslerinin toplamıdır.

Tanım 4. Bir denklemin içerdiği tüm monomların derecesi aynıysa bu denkleme homojen denir. Bu dereceye denklemin derecesi denir.

Tanım 5. Yalnızca fonksiyonları içeren trigonometrik denklem günah Ve çünkü Trigonometrik fonksiyonlara göre tüm monomların eşit olması durumunda homojen olarak adlandırılır. aynı derece ve trigonometrik fonksiyonların kendileri eşit açılar ve 1 başına monom sayısı daha fazla sipariş denklemler

Trigonometrik denklemleri çözme yöntemleri.

Trigonometrik denklemlerin çözümü iki aşamadan oluşur: denklemin en basit formunu elde edecek şekilde dönüştürülmesi ve elde edilen en basit trigonometrik denklemin çözülmesi. Trigonometrik denklemleri çözmek için yedi temel yöntem vardır.

BEN. Cebirsel yöntem. Bu yöntem cebirden iyi bilinmektedir. (Değişken değiştirme ve ikame yöntemi).

Denklemleri çözün.

Gösterimi tanıtalım X=2 günah3 T, alıyoruz

Bu denklemi çözerek şunu elde ederiz:
veya

onlar. yazılabilir

İşaretlerin varlığı nedeniyle ortaya çıkan çözümü kaydederken derece
bunu yazmanın bir anlamı yok.

Cevap:

Haydi belirtelim

İkinci dereceden bir denklem elde ederiz
. Kökleri sayılardır
Ve
. Bu nedenle bu denklem en basit trigonometrik denklemlere indirgenir
Ve
. Bunları çözerek şunu buluyoruz
veya
.

Cevap:
;
.

Haydi belirtelim

koşulu karşılamıyor

Araç

Cevap:

Denklemin sol tarafını dönüştürelim:

Böylece bu başlangıç denklemi şu şekilde yazılabilir:

, yani

Belirledikten sonra
, alıyoruz
Bu ikinci dereceden denklemi çözersek:

koşulu karşılamıyor

Orijinal denklemin çözümünü yazıyoruz:

Cevap:

Oyuncu değişikliği
bu denklemi ikinci dereceden bir denkleme indirger
. Kökleri sayılardır
Ve
. Çünkü
, O verilen denklem kökleri yoktur.

Cevap: Kök yok.

II. Aynı isimli trigonometrik fonksiyonların eşitlik koşulunu kullanarak denklemleri çözme.

A)
, Eğer

B)
, Eğer

V)
, Eğer

Bu koşulları kullanarak aşağıdaki denklemleri çözmeyi düşünün:

a) şıkkında söylenenleri kullanarak denklemin ancak ve ancak şu şekilde bir çözümü olduğunu buluruz:
.

Bu denklemi çözerek şunu buluruz:
.

İki grup çözümümüz var:

.

7) Denklemi çözün:
.

b) maddesinin koşulunu kullanarak şunu çıkarıyoruz:
.

Bu ikinci dereceden denklemleri çözerek şunu elde ederiz:

8) Denklemi çözün
.

İtibaren verilen denklemşu sonuca varıyoruz. Bu ikinci dereceden denklemi çözerek şunu buluruz:

.

III. Faktorizasyon.

Bu yöntemi örneklerle ele alıyoruz.

9) Denklemi çözün
.

Çözüm. Denklemin tüm terimlerini sola taşıyalım: .

Denklemin sol tarafındaki ifadeyi dönüştürüp çarpanlara ayıralım:
.

1)
2)

Çünkü
Ve
sıfır değerini kabul etmiyorum

aynı anda her iki parçayı da bölüyoruz

için denklemler
,

Cevap:

10) Denklemi çözün:

Çözüm.

veya

Cevap:

11) Denklemi çözün

Çözüm:

1)
2)
3)

Cevap:

IV. Homojen bir denkleme indirgenme.

karar vermek homojen denklem gerekli:

Tüm üyelerini sol tarafa taşıyın;

Hepsini çıkar ortak faktörler parantezlerin ötesinde;

Tüm faktörleri ve parantezleri sıfıra eşitleyin;

Sıfıra eşit parantezler, daha düşük dereceye sahip homojen bir denklem verir ve bu denklemin şuna bölünmesi gerekir:
(veya
) son sınıfta;

Sonucu çöz cebirsel denklem nispeten
.

Örneklere bakalım:

12) Denklemi çözün:

Çözüm.

Denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:
,

Tanımlamaların tanıtılması
, isim

Bu denklemin kökleri:

dolayısıyla 1)
2)

Cevap:

13) Denklemi çözün:

Çözüm. Çift açı formüllerini ve temel trigonometrik özdeşliği kullanarak bu denklemi yarım argümana indirgeyebiliriz:

Benzer terimleri azalttıktan sonra elimizde:

Homojen son denklemi şuna bölmek:
, alıyoruz

belirteceğim
ikinci dereceden bir denklem elde ederiz
kökleri sayılar olan

Böylece

İfade
sıfıra gider
, yani en
,
.

Elde ettiğimiz denklemin çözümü bu sayıları içermiyor.

Cevap:
, .

V. Yardımcı açının tanıtılması.

Formun bir denklemini düşünün

Nerede a, b, c- katsayılar, X- bilinmiyor.

Bu denklemin her iki tarafını da şuna bölelim:

Şimdi denklemin katsayıları sinüs ve kosinüs özelliklerine sahiptir, yani: her birinin modülü bir'i geçmez ve karelerinin toplamı 1'e eşittir.

Daha sonra bunları buna göre belirleyebiliriz
(Burada - yardımcı açı) ve denklemimiz şu şekli alır: .

Daha sonra

Ve onun kararı

Sunulan gösterimlerin karşılıklı olarak değiştirilebilir olduğunu unutmayın.

14) Denklemi çözün:

Çözüm. Burada
yani denklemin her iki tarafını da şuna böleriz:

Cevap:

15) Denklemi çözün

Çözüm. Çünkü
, o zaman bu denklem denkleme eşdeğerdir

Çünkü
, öyle bir açı var ki
,
(onlar.
).

Sahibiz

Çünkü
, sonunda şunu elde ederiz:

Formdaki denklemlerin ancak ve ancak şu durumlarda bir çözümü olduğunu unutmayın:

16) Denklemi çözün:

Bu denklemi çözmek için trigonometrik fonksiyonları aynı argümanlarla gruplandırırız

Denklemin her iki tarafını ikiye böleriz

Trigonometrik fonksiyonların toplamını çarpıma dönüştürelim:

Cevap:

VI. Bir ürünü toplama dönüştürme.

Burada ilgili formüller kullanılır.

17) Denklemi çözün:

Çözüm. Sol tarafı toplama dönüştürelim:

VII.Evrensel ikame.

bu formüller herkes için doğrudur

Oyuncu değişikliği
evrensel denir.

18) Denklemi çözün:

Çözüm: Değiştirin ve
yoluyla ifade etmelerine
ve belirtmek
.

Aldık rasyonel denklem
, kareye dönüşür
.

Bu denklemin kökleri sayılardır
.

Bu nedenle problem iki denklemin çözümüne indirgendi
.

Bunu bulduk
.

Değeri görüntüle
kontrol edilerek kontrol edilen orijinal denklemi karşılamıyor - ikame verilen değer T orijinal denkleme.

Cevap:
.

Yorum. Denklem 18 başka bir şekilde çözülebilirdi.

Bu denklemin her iki tarafını da 5'e (yani
):
.

Çünkü
o zaman böyle bir sayı var
, Ne
Ve
. Bu nedenle denklem şu şekli alır:
veya
. Buradan bunu buluyoruz
Nerede
.

19) Denklemi çözün
.

Çözüm. Fonksiyonlardan beri
Ve
sahip olmak en yüksek değer 1'e eşitse toplamları 2 olur
Ve
yani aynı anda
.

Cevap:
.

Bu denklem çözülürken fonksiyonların sınırlılığı kullanıldı.

Çözüm.

“Trigonometrik denklemlerin çözümü” konusu üzerinde çalışırken her öğretmenin aşağıdaki tavsiyelere uyması yararlı olacaktır:

Trigonometrik denklemlerin çözümüne yönelik yöntemleri sistematik hale getirin.

Denklemin analizini gerçekleştirmek için gerekli adımları ve belirli bir çözüm yöntemini kullanmanın tavsiye edilebilirliğine ilişkin işaretleri kendiniz seçin.

Yöntemi uygularken faaliyetlerinizi kendi kendinize izlemenin yollarını düşünün.

Çalışılan yöntemlerin her biri için "kendi" denklemlerinizi oluşturmayı öğrenin.

Ek No.1

Homojen veya homojene indirgenebilir denklemleri çözün.

1.	Temsilci
	Temsilci

	Temsilci
5.	Temsilci
	Temsilci
7.	Temsilci
	Temsilci