İki değişkenli doğrusal bir denklem, aşağıdaki forma sahip herhangi bir denklemdir: a*x + b*y =с. Burada x ve y iki değişkendir, a,b,c bazı sayılardır.
Aşağıda birkaçı var Doğrusal denklem örnekleri.
1. 10*x + 25*y = 150;
Tek bilinmeyenli denklemler gibi, iki değişkenli (bilinmeyen) doğrusal denklemin de bir çözümü vardır. Örneğin, x=8 ve y=3 ile x-y=5 doğrusal denklemi doğru özdeşlik 8-3=5'e dönüşür. Bu durumda x=8 ve y=3 sayı çiftinin x-y=5 doğrusal denkleminin bir çözümü olduğu söylenir. Ayrıca x=8 ve y=3 sayı çiftinin x-y=5 doğrusal denklemini karşıladığını da söyleyebilirsiniz.
Doğrusal Bir Denklemin Çözülmesi
Dolayısıyla a*x + b*y = c doğrusal denkleminin çözümü, bu denklemi sağlayan herhangi bir sayı çiftidir (x,y), yani x ve y değişkenlerini içeren denklemi doğru bir sayısal eşitliğe dönüştürür. Burada x ve y sayı çiftinin nasıl yazıldığına dikkat edin. Bu giriş daha kısa ve daha kullanışlıdır. Böyle bir kayıtta ilk sıranın x değişkeninin değeri, ikinci sıranın ise y değişkeninin değeri olduğunu hatırlamanız yeterlidir.
Lütfen x=11 ve y=8, x=205 ve y=200 x= 4,5 ve y= -0,5 sayılarının da x-y=5 doğrusal denklemini karşıladığını ve dolayısıyla bu doğrusal denklemin çözümleri olduğunu unutmayın.
İki bilinmeyenli doğrusal denklemi çözme tek değil.İki bilinmeyenli her doğrusal denklemin sonsuz sayıda farklı çözümü vardır. Yani var sonsuz sayıda farklı Doğrusal bir denklemi gerçek kimliğe dönüştüren iki x ve y sayısı.
İki değişkenli birden fazla denklemin çözümleri aynıysa, bu tür denklemlere eşdeğer denklemler denir. İki bilinmeyenli denklemlerin çözümü yoksa, bunların da eşdeğer kabul edildiğine dikkat edilmelidir.
İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerin temel özellikleri
1. Denklemdeki terimlerden herhangi biri bir bölümden diğerine aktarılabilir ancak işaretinin tam tersi yönde değiştirilmesi gerekir. Ortaya çıkan denklem orijinaline eşdeğer olacaktır.
2. Denklemin her iki tarafı da sıfır olmayan herhangi bir sayıya bölünebilir. Sonuç olarak orijinaline eşdeğer bir denklem elde ederiz.
Tamsayılarda denklem çözmek en eski matematik problemlerinden biridir. Zaten MÖ 2. binyılın başında. e. Babilliler bu tür denklem sistemlerini iki değişkenle nasıl çözeceklerini biliyorlardı. Matematiğin bu alanı Antik Yunan'da en büyük gelişimine ulaştı. Ana kaynağımız çeşitli denklem türlerini içeren Diophantus Aritmetiğidir. İçinde Diophantus (denklemlerin adı Diophantine denklemleridir), ancak 19. yüzyılda geliştirilen 2. ve 3. derece denklemleri incelemek için bir dizi yöntem öngörmektedir.
En basit Diophantine denklemleri şöyledir: ax + y = 1 (iki değişkenli denklem, birinci derece) x2 + y2 = z2 (üç değişkenli denklem, ikinci derece)
Cebirsel denklemler en kapsamlı şekilde incelenmiştir; bunların çözümü 16. ve 17. yüzyıllarda cebirin en önemli sorunlarından biriydi.
19. yüzyılın başlarında P. Fermat, L. Euler ve K. Gauss'un çalışmaları Diophantine denklemini şu şekilde araştırıyordu: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, burada a, b, c , d, e, f sayılardır; x, y bilinmeyen değişkenler.
Bu, iki bilinmeyenli 2. dereceden bir denklemdir.
K. Gauss, iki değişkenli (Diofant denklemleri) belirli denklem türlerini çözmenin temelini oluşturan genel bir ikinci dereceden form teorisi geliştirdi. Temel yöntemler kullanılarak çözülebilecek çok sayıda özel Diophantine denklemi vardır. /p>
Teorik materyal.
Çalışmanın bu bölümünde temel matematiksel kavramlar anlatılacak, terimler tanımlanacak ve iki değişkenli denklemler çözülürken incelenen ve dikkate alınan belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak açılım teoremi formüle edilecektir.
Tanım 1: a, b, c, d, e, f sayıları olmak üzere ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 formundaki denklem; bilinmeyen x, y değişkenli iki değişkenli ikinci dereceden denklem denir.
Bir okul matematik dersinde a, b, c'nin tek değişkenli bir x değişkeni olduğu ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denklemi incelenir. Bu denklemi çözmenin birçok yolu vardır:
1. Diskriminant kullanarak kökleri bulma;
2. Çift katsayı için köklerin bulunması (D1='e göre);
3. Vieta teoremini kullanarak kökleri bulma;
4. Bir binomun tam karesini ayırarak kökleri bulma.
Bir denklemi çözmek, onun tüm köklerini bulmak veya var olmadıklarını kanıtlamak anlamına gelir.
Tanım 2: Bir denklemin kökü, bir denklemde yerine konulduğunda gerçek bir eşitlik oluşturan bir sayıdır.
Tanım 3: İki değişkenli bir denklemin çözümüne (x, y) sayı çifti denir, denklemde yerine konulduğunda gerçek eşitliğe dönüşür.
Bir denklemin çözümlerini bulma süreci genellikle denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilmesinden oluşur, ancak çözülmesi daha kolaydır. Bu tür denklemlere eşdeğer denir.
Tanım 4: Bir denklemin her çözümü diğer denklemin çözümü ise veya tam tersi ise ve her iki denklem de aynı alanda kabul ediliyorsa, iki denklemin eşdeğer olduğu söylenir.
İki değişkenli denklemleri çözmek için, denklemin tam kareler toplamına ayrıştırılmasına ilişkin teoremi kullanın (belirsiz katsayılar yöntemiyle).
İkinci dereceden ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) denklemi için a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2) açılımı gerçekleşir
İki değişkenli denklem (1) için genişlemenin (2) gerçekleştiği koşulları formüle edelim.
Teorem: Denklem (1)'in a, b, c katsayıları a0 ve 4ab – c20 koşullarını sağlıyorsa genişleme (2) benzersiz bir şekilde belirlenir.
Başka bir deyişle, iki değişkenli denklem (1), teoremin koşulları sağlandığı takdirde belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak (2) formuna indirgenebilir.
Belirsiz katsayılar yönteminin nasıl uygulandığına dair bir örneğe bakalım.
YÖNTEM No.1. Belirsiz katsayılar yöntemini kullanarak denklemi çözün
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.
1. a=2, b=1, c=2 yani a=2.4av – c2= 4∙2∙1- 22= 40 teoreminin koşullarının yerine getirilip getirilmediğini kontrol edelim.
2. Teoremin koşulları karşılanmıştır; formül (2)'ye göre genişletilebilirler.
3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, teoremin koşullarına göre kimliğin her iki kısmı da eşdeğerdir. Kimliğin sağ tarafını sadeleştirelim.
4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =
2(x2+ p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =
2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =
X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).
5. Aynı değişkenlerin katsayılarını derecelerine eşitliyoruz.
x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h
6. Bir denklem sistemi elde edelim, çözelim ve katsayıların değerlerini bulalım.
7. Katsayıları (2)'de yerine koyarsak denklem şu şekli alacaktır:
2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0
Dolayısıyla orijinal denklem denkleme eşdeğerdir
2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), bu denklem iki doğrusal denklem sistemine eşdeğerdir.
Cevap: (-1; 1).
Genişletme türüne (3) dikkat ederseniz, bunun form olarak tek değişkenli ikinci dereceden bir denklemden tam bir kareyi ayırmayla aynı olduğunu fark edeceksiniz: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.
İki değişkenli bir denklemi çözerken bu tekniği uygulayalım. Teorem kullanılarak çözülmüş olan iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemi tam kare seçimini kullanarak çözelim.
YÖNTEM No. 2: 2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 denklemini çözün.
Çözüm: 1. 2x2'yi iki x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0 teriminin toplamı olarak düşünelim.
2. Terimleri tam kare formülünü kullanarak katlayabilecek şekilde gruplayalım.
(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x +1) = 0.
3. Parantez içindeki ifadelerden tam kareleri seçin.
(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.
4. Bu denklem bir doğrusal denklem sistemine eşdeğerdir.
Cevap: (-1;1).
Sonuçları karşılaştırırsanız, teorem ve belirsiz katsayılar yöntemi kullanılarak 1 numaralı yöntemle çözülen denklem ile tam kare çıkarımı kullanılarak 2 numaralı yöntemle çözülen denklemin aynı köklere sahip olduğunu görebilirsiniz.
Sonuç: İki değişkenli ikinci dereceden bir denklem, iki şekilde kareler toplamına genişletilebilir:
Birinci yöntem teorem ve genişlemeye (2) dayanan belirsiz katsayılar yöntemidir.
İkinci yol ise ardışık olarak tamamlanan kareleri seçmenizi sağlayan kimlik dönüşümlerini kullanmaktır.
Elbette problem çözerken genişleme (2) ve koşulları ezberlemeyi gerektirmediği için ikinci yöntem tercih edilir.
Bu yöntem aynı zamanda üç değişkenli ikinci dereceden denklemler için de kullanılabilir. Bu tür denklemlerde tam kareyi izole etmek daha fazla emek gerektirir. Gelecek yıl bu tür bir dönüşüm yapacağım.
f(x,y) = ax2 + vxy + cy2 + dx + ey + f formuna sahip bir fonksiyonun, iki değişkenli ikinci dereceden bir fonksiyon olarak adlandırılması ilginçtir. İkinci dereceden fonksiyonlar matematiğin çeşitli dallarında önemli bir rol oynar:
Matematiksel programlamada (ikinci dereceden programlama)
Doğrusal cebir ve geometride (ikinci dereceden formlar)
Diferansiyel denklemler teorisinde (ikinci dereceden bir doğrusal denklemin kanonik forma indirgenmesi).
Bu çeşitli problemleri çözerken, esasen ikinci dereceden bir denklemden (bir, iki veya daha fazla değişken) tam kareyi ayırma prosedürünü uygulamanız gerekir.
Denklemleri iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemle tanımlanan çizgilere ikinci dereceden eğriler denir.
Bunlar bir daire, bir elips ve bir hiperboldür.
Bu eğrilerin grafiklerini oluştururken, tam bir kareyi sırayla izole etme yöntemi de kullanılır.
Belirli örnekleri kullanarak tam bir kareyi sırayla seçme yönteminin nasıl çalıştığına bakalım.
Pratik kısım.
Tam bir kareyi sırayla izole etme yöntemini kullanarak denklemleri çözün.
1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;
(x +1)2 + (x + y)2 = 0;
Cevap:(-1;1).
2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;
(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;
Cevap:(0,5; - 0,5).
3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;
3x2 + 3y2 + y2 – 6xy – 2y +1 = 0;
3x2 +3y2 – 6xy + y2 –2y +1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;
3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;
3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;
Cevap:(-1;1).
Denklemleri çözün:
1. 2x2 + 3y2 – 4xy + 6y +9 =0
(formuna indirgenir: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)
Cevap: (-3; -3)
2. – 3x2 – 2y2 – 6xy –2y + 1=0
(formuna indirgenir: -3(x+y)2 + (y –1)2= 0)
Cevap: (-1; 1)
3. x2 + 3y2+2xy + 28y +98 =0
(formuna indirgenir: (x+y)2 +2(y+7)2 =0)
Cevap: (7; -7)
Çözüm.
Bu bilimsel çalışmada ikinci dereceden iki değişkenli denklemler incelenmiş ve bunları çözme yöntemleri dikkate alınmıştır. Görev tamamlandı, tam bir karenin izole edilmesine ve denklemin eşdeğer bir denklem sistemi ile değiştirilmesine dayanan daha kısa bir çözüm yöntemi formüle edildi ve tanımlandı, bunun sonucunda iki değişkenli bir denklemin köklerini bulma prosedürü geliştirildi. basitleştirildi.
Çalışmanın önemli bir noktası da söz konusu tekniğin ikinci dereceden bir fonksiyonla ilgili çeşitli matematik problemlerinin çözümünde, ikinci dereceden eğrilerin oluşturulmasında ve ifadelerin en büyük (en küçük) değerinin bulunmasında kullanılmasıdır.
Bu nedenle, iki değişkenli ikinci dereceden bir denklemin kareler toplamına ayrıştırılması tekniği matematikte en çok sayıda uygulamaya sahiptir.
Yazarın bu konuya yaklaşımı tesadüfi değildir. İki değişkenli denklemlerle ilk kez 7. sınıf dersinde karşılaşılmaktadır. İki değişkenli bir denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır. Bu, ax + by=c olarak verilen doğrusal bir fonksiyonun grafiğinde açıkça gösterilmiştir. Okul dersinde öğrenciler iki değişkenli iki denklem sistemini incelerler. Sonuç olarak, denklemin katsayısı ile ilgili sınırlı koşullara sahip bir dizi problem ve bunları çözme yöntemleri öğretmenin ve dolayısıyla öğrencinin görüş alanından çıkar.
Tamsayılarda veya doğal sayılarda iki bilinmeyenli bir denklemin çözülmesinden bahsediyoruz.
Okulda 4-6. Sınıflarda doğal sayılar ve tamsayılar işleniyor. Okuldan mezun olduklarında tüm öğrenciler bu sayı kümeleri arasındaki farkları hatırlamayabilir.
Ancak üniversitelere giriş sınavlarında ve Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde "tamsayılarda ax + by=c formundaki bir denklemi çözme" gibi bir soruna giderek daha fazla rastlanıyor.
Belirsiz denklemleri çözmek mantıksal düşünmeyi, zekayı ve analize olan ilgiyi geliştirir.
Bu konuyla ilgili birkaç ders geliştirmeyi öneriyorum. Bu derslerin zamanlaması konusunda net tavsiyelerim yok. Bazı unsurlar 7. sınıfta da kullanılabilir (güçlü bir sınıf için). Bu dersler temel alınarak 9. sınıfta meslek öncesi eğitime ilişkin küçük bir seçmeli ders geliştirilebilir. Ve elbette bu materyal 10-11. Sınıflarda sınavlara hazırlanmak için kullanılabilir.
Dersin amacı:
- “Birinci ve ikinci dereceden denklemler” konusundaki bilgilerin tekrarı ve genelleştirilmesi
- konuya bilişsel ilgiyi beslemek
- Analiz etme, genelleme yapma, bilgiyi yeni bir duruma aktarma yeteneğini geliştirmek
Ders 1.
Dersin ilerleyişi.
1) Organizasyon. an.
2) Temel bilgilerin güncellenmesi.
Tanım. İki değişkenli doğrusal bir denklem, formun bir denklemidir
mx + ny = k, burada m, n, k sayılardır, x, y ise değişkenlerdir.
Örnek: 5x+2y=10
Tanım. İki değişkenli bir denklemin çözümü, denklemi gerçek bir eşitliğe dönüştüren değişkenlerin bir çift değeridir.
Çözümleri aynı olan iki değişkenli denklemlere eşdeğer denir.
1. 5x+2y=12 (2)y = -2,5x+6
Bu denklemin herhangi bir sayıda çözümü olabilir. Bunu yapmak için herhangi bir x değerini alıp ona karşılık gelen y değerini bulmak yeterlidir.
x = 2, y = -2,5 2+6 = 1 olsun
x = 4, y = -2,5 4+6 =- 4
Sayı çiftleri (2;1); (4;-4) – denklem (1)'in çözümleri.
Bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır.
3) Tarihsel arka plan
Belirsiz (Diophantine) denklemler birden fazla değişken içeren denklemlerdir.
3. yüzyılda. reklam – İskenderiyeli Diophantus, sayılar kümesini rasyonel sayılara genişlettiği ve cebirsel sembolizmi tanıttığı “Aritmetik”i yazdı.
Diophantus ayrıca belirsiz denklemlerin çözümü problemlerini de ele aldı ve ikinci ve üçüncü dereceden belirsiz denklemlerin çözümü için yöntemler verdi.
4) Yeni materyalin incelenmesi.
Tanım: İki bilinmeyen x, y içeren birinci dereceden homojen olmayan Diofant denklemi mx + ny = k formunda bir denklemdir; burada m, n, k, x, y Z k0
Açıklama 1.
Denklem (1)'deki serbest terim k, m ve n sayılarının en büyük ortak bölenine (OBB) bölünemiyorsa, denklem (1)'in tamsayı çözümü yoktur.
Örnek: 34x – 17y = 3.
OBEB (34; 17) = 17, 3 17'ye tam olarak bölünemez, tamsayılarda çözüm yoktur.
k'nin gcd (m, n)'ye bölünmesine izin verin. Tüm katsayıları bölerek m ve n'nin aralarında asal olmasını sağlayabiliriz.
Açıklama 2.
Eğer denklem (1)'deki m ve n göreceli asal sayılar ise bu denklemin en az bir çözümü vardır.
Açıklama 3.
Denklemin (1) m ve n katsayıları eş asal sayılar ise, bu denklemin sonsuz sayıda çözümü vardır:
(; ) denklem (1)'in herhangi bir çözümü olduğunda, t Z
Tanım. İki bilinmeyen x, y içeren birinci dereceden homojen bir Diophantine denklemi, mx + ny = 0 formunda bir denklemdir; burada (2)
Açıklama 4.
Eğer m ve n eş asal sayılar ise, o zaman denklem (2)'nin herhangi bir çözümü şu şekildedir: 
5) Ev ödevi. Denklemi tam sayılarla çözün:
- 9x – 18y = 5
- x + y= xy
- Birkaç çocuk elma topluyordu. Her erkek 21 kg, kız ise 15 kg topladı. Toplamda 174 kg topladılar. Kaç erkek ve kaç kız elma topladı?
Yorum. Bu ders tam sayılarda denklem çözme örnekleri sunmamaktadır. Bu nedenle çocuklar ödevlerini 1. ifadeye ve seçime göre çözerler.
Ders 2.
1) Organizasyon anı
2) Ödevleri kontrol etmek
1) 9x – 18y = 5
5, 9'a bölünemez; tam sayılarda çözüm yoktur.
Seçim yöntemini kullanarak bir çözüm bulabilirsiniz
Cevap: (0;0), (2;2)
3) Bir denklem kuralım:
Erkeklere x, x Z ve kızlara y, y Z diyelim, o zaman 21x + 15y = 174 denklemini oluşturabiliriz.
Bir denklem yazan birçok öğrenci onu çözemeyecek.
Cevap: 4 erkek, 6 kız.
3) Yeni materyal öğrenmek
Ödevleri tamamlamada zorluklarla karşılaşan öğrenciler, belirsiz denklemleri çözme yöntemlerini öğrenmeleri gerektiğine ikna oldular. Bunlardan bazılarına bakalım.
I. Bölme kalanlarını dikkate alma yöntemi.
Örnek. Denklemi 3x – 4y = 1 tam sayılarında çözün.
Denklemin sol tarafı 3'e bölünebildiğinden sağ tarafının da bölünmesi gerekir. Üç durumu ele alalım.
Cevap: nerede m Z.
Açıklanan yöntemin, m ve n sayıları küçük değilse, ancak basit faktörlere ayrıştırılabiliyorsa kullanılması uygundur.
Örnek: Tam sayılarda denklemleri çözün.
y = 4n olsun, o zaman 16 - 7y = 16 – 7 4n = 16 – 28n = 4*(4-7n) 4'e bölünür.
y = 4n+1 ise 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 1) = 16 – 28n – 7 = 9 – 28n 4'e bölünemez.
y = 4n+2 ise 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 2) = 16 – 28n – 14 = 2 – 28n 4'e bölünemez.
y = 4n+3 ise 16 – 7y = 16 – 7 (4n + 3) = 16 – 28n – 21 = -5 – 28n 4'e bölünemez.
Bu nedenle y = 4n, o zaman
4x = 16 – 7 4n = 16 – 28n, x = 4 – 7n
Cevap: , burada n Z.
II. 2. Dereceden Belirsiz Denklemler
Bugün dersimizde sadece ikinci mertebeden Diophantine denklemlerinin çözümüne değineceğiz.
Ve tüm denklem türlerinden, kareler farkı formülünü veya başka bir çarpanlara ayırma yöntemini uygulayabildiğimiz durumu ele alacağız.
Örnek: Tam sayılarla bir denklem çözün.
13 bir asal sayı olduğundan yalnızca dört şekilde çarpanlara ayrılabilir: 13 = 13 1 = 1 13 = (-1)(-13) = (-13)(-1)
Bu durumları ele alalım
Cevap: (7;-3), (7;3), (-7;3), (-7;-3).
4) Ev ödevi.
Örnekler. Denklemi tam sayılarla çözün:
(x - y)(x + y)=4
| 2x = 4 | 2x = 5 | 2x = 5 |
| x = 2 | x = 5/2 | x = 5/2 |
| y = 0 | uymuyor | uymuyor |
| 2x = -4 | uymuyor | uymuyor |
| x = -2 | ||
| y = 0 |
Cevap: (-2;0), (2;0).
Cevaplar: (-10;9), (-5;3), (-2;-3), (-1;-9), (1;9), (2;3), (5;-3) , (10;-9).
V) 
Cevap: (2;-3), (-1;-1), (-4;0), (2;2), (-1;3), (-4;5).
Sonuçlar. Tam sayılarda bir denklemi çözmek ne anlama gelir?
Belirsiz denklemleri çözmek için hangi yöntemleri biliyorsunuz?
Başvuru:
Eğitim için alıştırmalar.
1) Tam sayılarla çözün.
| a) 8x + 12y = 32 | x = 1 + 3n, y = 2 - 2n, nZ |
| b) 7x + 5y = 29 | x = 2 + 5n, y = 3 – 7n, nZ |
| c) 4x + 7y = 75 | x = 3 + 7n, y = 9 – 4n, nZ |
| d) 9x – 2y = 1 | x = 1 – 2m, y = 4 + 9m, mZ |
| e) 9x – 11y = 36 | x = 4 + 11n, y = 9n, nZ |
| e) 7x – 4y = 29 | x = 3 + 4n, y = -2 + 7n, nZ |
| g) 19x – 5y = 119 | x = 1 + 5p, y = -20 + 19p, pZ |
| h) 28x – 40y = 60 | x = 45 + 10t, y = 30 + 7t, tZ |
2) Denklemin negatif olmayan tamsayı çözümlerini bulun.
İlk kez 7.sınıf matematik dersinde karşılaşıyoruz iki değişkenli denklemler ancak bunlar yalnızca iki bilinmeyenli denklem sistemleri bağlamında incelenir. Bu nedenle, denklemin katsayılarına onları sınırlayan belirli koşulların getirildiği bir dizi problem gözden kayboluyor. Ayrıca, Birleşik Devlet Sınavı materyallerinde ve giriş sınavlarında bu tür problemlere giderek daha sık rastlanmasına rağmen, “Doğal veya tamsayılarda denklem çözme” gibi problem çözme yöntemleri de göz ardı edilmektedir.
Hangi denkleme iki değişkenli denklem denir?
Yani örneğin 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 veya xy = 12 denklemleri iki değişkenli denklemlerdir.
2x – y = 1 denklemini düşünün. x = 2 ve y = 3 olduğunda doğru olur, yani bu değişken değer çifti söz konusu denklemin bir çözümüdür.
Dolayısıyla, iki değişkenli herhangi bir denklemin çözümü, bu denklemi gerçek bir sayısal eşitliğe dönüştüren değişkenlerin değerleri olan sıralı çiftler (x; y) kümesidir.
İki bilinmeyenli bir denklem şunları yapabilir:
A) tek bir çözümü var.Örneğin, x 2 + 5y 2 = 0 denkleminin tek bir çözümü vardır (0; 0);
B) birden fazla çözümü var.Örneğin, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0'ın 4 çözümü vardır: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -2);
V) hiçbir çözümü yok.Örneğin x 2 + y 2 + 1 = 0 denkleminin çözümü yoktur;
G) sonsuz sayıda çözümü var.Örneğin, x + y = 3. Bu denklemin çözümleri toplamı 3'e eşit sayılar olacaktır. Bu denklemin çözüm kümesi (k; 3 – k) biçiminde yazılabilir; burada k herhangi bir gerçektir sayı.
İki değişkenli denklemleri çözmenin ana yöntemleri, ifadeleri çarpanlara ayırmaya, tam bir kareyi izole etmeye, ikinci dereceden bir denklemin özelliklerini kullanmaya, sınırlı ifadelere ve tahmin yöntemlerine dayalı yöntemlerdir. Denklem genellikle bilinmeyenleri bulmak için bir sistemin elde edilebileceği bir forma dönüştürülür.
Faktorizasyon
Örnek 1.
Denklemi çözün: xy – 2 = 2x – y.
Çözüm.
Çarpanlara ayırma amacıyla terimleri gruplandırıyoruz:
(xy + y) – (2x + 2) = 0. Her parantezden ortak bir çarpan çıkarıyoruz:
y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;
(x + 1)(y – 2) = 0. Elimizde:
y = 2, x – herhangi bir gerçek sayı veya x = -1, y – herhangi bir gerçek sayı.
Böylece, cevap (x; 2), x € R ve (-1; y), y € R formundaki tüm çiftlerdir.
Negatif olmayan sayıların sıfıra eşitliği
Örnek 2.
Denklemi çözün: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).
Çözüm.
Gruplandırma:
(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Artık her parantez kare fark formülü kullanılarak katlanabilir.
(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.
Negatif olmayan iki ifadenin toplamı yalnızca 3x – 2 = 0 ve 2y – 3 = 0 ise sıfırdır.
Bu, x = 2/3 ve y = 3/2 anlamına gelir.
Cevap: (2/3; 3/2).
Tahmin yöntemi
Örnek 3.
Denklemi çözün: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.
Çözüm.
Her parantez içinde tam bir kare seçiyoruz:
((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Tahmin edelim 
parantez içindeki ifadelerin anlamı.
(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 ve (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ise denklemin sol tarafı her zaman en az 2 olur. Eşitlik şu durumlarda mümkündür:
(x + 1) 2 + 1 = 1 ve (y – 2) 2 + 2 = 2, yani x = -1, y = 2.
Cevap: (-1; 2).
İkinci dereceden iki değişkenli denklemleri çözmek için başka bir yöntemle tanışalım. Bu yöntem denklemin şu şekilde ele alınmasından oluşur: bazı değişkenlere göre kare.
Örnek 4.
Denklemi çözün: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.
Çözüm.
Denklemi x için ikinci dereceden bir denklem olarak çözelim. Diskriminantı bulalım:
D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Denklemin çözümü ancak D = 0 olduğunda, yani y = 4 olduğunda olacaktır. Y'nin değerini orijinal denklemde yerine koyarız ve x = 3 olduğunu buluruz.
Cevap: (3; 4).
Genellikle iki bilinmeyenli denklemlerde şunu belirtirler: değişkenlere ilişkin kısıtlamalar.
Örnek 5.
Denklemi tam sayılarla çözün: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.
Çözüm.
Denklemi x 2 = -5y 2 + 20x + 2 şeklinde yeniden yazalım. Ortaya çıkan denklemin sağ tarafı 5'e bölündüğünde 2 kalanını verir. Dolayısıyla x 2, 5'e bölünemez. Ancak a'nın karesi 5'e bölünmeyen sayı 1 veya 4 kalanını verir. Dolayısıyla eşitlik mümkün değildir ve çözüm yoktur.
Cevap: Kök yok.
Örnek 6.
Denklemi çözün: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.
Çözüm.
Her parantez içindeki karelerin tamamını vurgulayalım:
((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Denklemin sol tarafı her zaman 3'ten büyük veya eşittir. Eşitlik |x| olması koşuluyla mümkündür. – 2 = 0 ve y + 3 = 0. Böylece x = ± 2, y = -3 olur.
Cevap: (2; -3) ve (-2; -3).
Örnek 7.
Denklemi karşılayan her negatif tam sayı (x;y) çifti için
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, (x + y) toplamını hesaplayın. Lütfen cevabınızda en küçük miktarı belirtin.
Çözüm.
Tam kareleri seçelim:
(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;
(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x ve y tam sayı olduğundan kareleri de tam sayıdır. 1 + 36'yı toplarsak iki tam sayının karelerinin toplamını 37 elde ederiz. Dolayısıyla:
(x – y) 2 = 36 ve (y + 2) 2 = 1 
(x – y) 2 = 1 ve (y + 2) 2 = 36.
Bu sistemleri çözüp x ve y'nin negatif olduğunu dikkate alarak şu çözümleri buluyoruz: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).
Cevap: -17.
İki bilinmeyenli denklemleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız umutsuzluğa kapılmayın. Biraz pratik yaparak her denklemi çözebilirsiniz.
Hala sorularınız mı var? İki değişkenli denklemleri nasıl çözeceğinizi bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için kaydolun.
İlk ders ücretsiz!
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.
Eşitlik f(x; y) = 0 iki değişkenli bir denklemi temsil eder. Böyle bir denklemin çözümü, iki değişkenli denklemi gerçek eşitliğe dönüştüren bir çift değişken değerdir.
İki değişkenli bir denklemimiz varsa, gelenek gereği x'i birinci sıraya, y'yi ikinci sıraya koymalıyız.
x – 3y = 10 denklemini düşünün. (10; 0), (16; 2), (-2; -4) çiftleri söz konusu denklemin çözümleridir, (1; 5) çifti ise bir çözüm değildir.
Bu denklemin diğer çözüm çiftlerini bulmak için bir değişkeni diğerine göre ifade etmek gerekir; örneğin x'i y'ye göre ifade etmek gerekir. Sonuç olarak denklemi elde ederiz
x = 10 + 3y. Y'nin keyfi değerlerini seçerek x'in değerlerini hesaplayalım.
Eğer y = 7 ise x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.
Eğer y = -2 ise x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.
Dolayısıyla (31; 7), (4; -2) çiftleri de verilen denklemin çözümleridir.
İki değişkenli denklemlerin kökleri aynıysa bu tür denklemlere eşdeğer denir.
İki değişkenli denklemler için denklemlerin eşdeğer dönüşümlerine ilişkin teoremler geçerlidir.
İki değişkenli bir denklemin grafiğini düşünün.
İki değişkeni f(x; y) = 0 olan bir denklem verilsin. Bu denklemin tüm çözümleri, düzlemde belirli bir nokta kümesi elde edilerek koordinat düzlemindeki noktalarla temsil edilebilir. Düzlemdeki bu noktalar kümesine f(x; y) = 0 denkleminin grafiği denir.
Dolayısıyla y – x 2 = 0 denkleminin grafiği y = x 2 parabolüdür; y – x = 0 denkleminin grafiği düz bir çizgidir; y – 3 = 0 denkleminin grafiği x eksenine paralel bir düz çizgidir vb.
x ve y'nin değişken ve a, b ve c'nin sayı olduğu ax + by = c biçimindeki bir denkleme doğrusal denir; a, b sayılarına değişkenlerin katsayıları denir, c ise serbest terimdir.
Doğrusal denklem ax + by = c'nin grafiği:
2x – 3y = -6 denklemini çizelim.
1. Çünkü Değişkenlerin katsayılarından hiçbiri sıfıra eşit değilse bu denklemin grafiği düz bir çizgi olacaktır.
2. Bir doğru çizebilmek için onun en az iki noktasını bilmemiz gerekir. X değerlerini denklemlerde yerine koyun ve y değerlerini alın ve bunun tersi de geçerlidir:
eğer x = 0 ise y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);
y = 0 ise x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6). 
Yani grafikte iki noktamız var: (0; 2) ve (-3; 0).
3. Elde edilen noktalardan düz bir çizgi çizelim ve denklemin grafiğini elde edelim.
2x – 3y = -6.
Eğer ax + by = c doğrusal denklemi 0 ∙ x + 0 ∙ y = c formuna sahipse, o zaman iki durumu dikkate almamız gerekir:
1. c = 0. Bu durumda herhangi bir (x; y) çifti denklemi karşılar ve dolayısıyla koordinat düzleminin tamamı denklemin grafiğidir;
2. c ≠ 0. Bu durumda denklemin çözümü yoktur, yani grafiği tek bir nokta içermez.
blog.site, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken, orijinal kaynağa bir bağlantı gereklidir.