Bir üçgenin açıortayı ne anlama gelir? Uzaklıklar eşitse nokta açıortay üzerindedir

Üçgenin açıortayı, öğrenmede fazla zorluk yaratmayan yaygın bir geometrik kavramdır. Özellikleri hakkında bilgi sahibi olduğunuzda birçok sorunu fazla zorlanmadan çözebilirsiniz. Bisektör nedir? Okuyucuyu bu matematiksel çizginin tüm sırlarıyla tanıştırmaya çalışacağız.

Konseptin özü

Kavramın adı Latince anlamı “bi” – iki, “sectio” – kesim olan kelimelerin kullanımından gelmektedir. Özellikle işaret ediyorlar geometrik anlamı kavramlar - ışınlar arasındaki boşluğu bölmek iki eşit parçaya.

Bir üçgenin açıortayı, şeklin tepe noktasından çıkan bir parçadır ve diğer ucu, alanı iki özdeş parçaya bölerek karşısındaki tarafa yerleştirilir.

Hızlı bir şekilde birçok öğretmen ilişkisel ezberlemeöğrenciler matematiksel kavramlarşiirlere veya çağrışımlara yansıyan farklı terminoloji kullanın. Elbette daha büyük çocuklar için bu tanımın kullanılması tavsiye edilir.

Bu hat nasıl belirlenir? Burada segmentleri veya ışınları belirlemek için kurallara güveniyoruz. Eğer hakkında konuşuyoruz bir üçgen şeklin açıortayının belirlenmesi hakkında, genellikle uçları olan bir parça olarak yazılır. tepe noktası ve kesişme noktası tepe noktasının karşısında taraf. Üstelik notasyonun başlangıcı tam olarak tepe noktasından yazılır.

Dikkat! Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır? Cevap açık: köşe sayısı kadar - üç.

Özellikler

Tanıma ek olarak, okul ders kitabı bunun pek fazla özelliğini bulamazsınız geometrik kavram. Okul çocuklarına tanıtılan bir üçgenin açıortayının ilk özelliği yazılı merkezdir ve onunla doğrudan ilgili olan ikincisi ise parçaların orantılılığıdır. İşin özü şudur:

Bölme çizgisi ne olursa olsun, üzerinde bazı noktalar vardır. yanlardan aynı mesafede Işınlar arasındaki boşluğu oluşturanlar.
Bir daireyi üçgen şekline sığdırmak için bu parçaların kesişeceği noktanın belirlenmesi gerekir. işte bu merkez noktası daireler.
Üçgen geometrik şeklin, bölen çizginin onu böldüğü kenarının parçaları yer almaktadır. V orantılı bağımlılık açıyı oluşturan kenarlardan.

Geriye kalan özellikleri sisteme kazandırıp sunmaya çalışacağız. ek gerçekler Bu geometrik kavramın değerini daha iyi anlamanıza yardımcı olacaktır.

Uzunluk

Okul çocukları için zorluk yaratan problem türlerinden biri de bir üçgenin açıortay uzunluğunu bulmaktır. Uzunluğunu içeren ilk seçenek aşağıdaki verileri içerir:

belirli bir bölümün ortaya çıktığı tepe noktasından gelen ışınlar arasındaki boşluk miktarı;
bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları.

Sorunu çözmek için kullanılan formül Bunun anlamı, açıyı oluşturan kenarların değerlerinin çarpımının, yarısının kosinüsü ile kenarların toplamına 2 kat artması oranını bulmaktır.

Hadi bakalım spesifik örnek. Diyelim ki bize, A açısından çizilen ve BC kenarını K noktasında kesen bir ABC şekli verildiğini varsayalım. A'nın değerini Y olarak gösteririz. Buna göre AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Bir üçgenin açıortay uzunluğunun belirlendiği problemin ikinci versiyonu aşağıdaki verileri içerir:

şeklin her tarafının anlamları bilinmektedir.

Bu tür bir problemi çözerken öncelikle yarı çevreyi belirle. Bunu yapmak için tüm tarafların değerlerini toplayıp ikiye bölmeniz gerekir: p=(AB+BC+AC)/2. Daha sonra uzunluğu belirlemek için kullanılan hesaplama formülünü uyguluyoruz. bu segmentin V önceki görev. Yeni parametrelere uygun olarak formülün özünde sadece bazı değişiklikler yapılması gerekiyor. Bu nedenle, tepe noktasına bitişik olan kenarların uzunluklarının yarı çevre ile çarpımının ikinci derecesinin iki kat kökünün oranını ve yarı çevre ile köşenin uzunluğu arasındaki farkı bulmak gerekir. karşısındaki kenar, açıyı oluşturan kenarların toplamına eşittir. Yani AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Dikkat! Malzemeye hakim olmayı kolaylaştırmak için, internette bulunan ve bu çizginin "maceralarını" anlatan komik masallara dönebilirsiniz.

Bugün çok olacak kolay ders. Sadece tek bir nesneyi (açıortay) ele alacağız ve onun gelecekte bizim için çok yararlı olacak en önemli özelliğini kanıtlayacağız.

Sadece rahatlamayın: bazen almak isteyen öğrenciler yüksek puan aynı OGE veya Birleşik Devlet Sınavında, ilk derste açıortay tanımını bile doğru bir şekilde formüle edemiyorlar.

Ve gerçekten yapmak yerine ilginç görevler, böyle basit şeylerle zaman harcıyoruz. O halde okuyun, izleyin ve benimseyin :)

İlk önce biraz garip soru: Açı nedir? Bu doğru: bir açı, aynı noktadan çıkan iki ışındır. Örneğin:

Açı örnekleri: dar, geniş ve sağ

Resimden de görebileceğiniz gibi açılar dar, geniş veya düz olabilir; artık bunun bir önemi yok. Çoğu zaman, kolaylık sağlamak için, her ışın üzerinde ek bir nokta işaretlenir ve önümüzde $AOB$ açısının ($\angle AOB$ olarak yazılır) olduğu söylenir.

Kaptan Açıklık, $OA$ ve $OB$ ışınlarına ek olarak, $O$ noktasından daha fazla ışın çekmenin her zaman mümkün olduğunu ima ediyor gibi görünüyor. Ancak aralarında özel bir tane olacak - ona açıortay deniyor.

Tanım. Bir açının açıortayı, o açının köşesinden çıkan ve açıyı ikiye bölen ışındır.

Yukarıdaki açılar için açıortaylar şöyle görünecektir:

Dar, geniş ve dik açılar için açıortay örnekleri

Gerçek çizimlerde belirli bir ışının (bizim durumumuzda bu $OM$ ışınıdır) orijinal açıyı iki eşit parçaya böldüğü her zaman açık olmadığından, geometride eşit açıları aynı sayıda yay ile işaretlemek gelenekseldir ( çizimimizde bu, dar açı için 1 yay, geniş açı için iki, düz için üç yaydır).

Tamam, tanımı çözdük. Şimdi açıortayın hangi özelliklere sahip olduğunu anlamalısınız.

Açıortay'ın temel özelliği

Aslında açıortayın birçok özelliği vardır. Ve bir sonraki derste kesinlikle onlara bakacağız. Ancak şu anda anlamanız gereken bir püf noktası var:

Teorem. Bir açının ortayağı yer kenarlardan eşit uzaklıktaki noktalar verilen açı.

Matematikten Rusçaya çevrildiğinde bu aynı anda iki gerçek anlamına gelir:

Belirli bir açının açıortayı üzerinde bulunan herhangi bir nokta, bu açının kenarlarından aynı mesafededir.
Ve bunun tersi de geçerlidir: Eğer bir nokta belirli bir açının kenarlarından aynı uzaklıkta bulunuyorsa, o zaman bu açının açıortayında yer alması garanti edilir.

Bu ifadeleri kanıtlamadan önce bir noktayı açıklığa kavuşturalım: Bir noktadan bir açının kenarına olan mesafeye tam olarak ne denir? Burada bir noktadan bir çizgiye olan mesafenin eski güzel tespiti bize yardımcı olacaktır:

Tanım. Bir noktadan bir doğruya olan mesafe, belirli bir noktadan bu doğruya çizilen dikmenin uzunluğudur.

Örneğin, bir $l$ doğrusunu ve bu doğrunun üzerinde olmayan bir $A$ noktasını düşünün. $AH$'a bir dik çizelim, burada $H\in l$. O zaman bu dikmenin uzunluğu $A$ noktasından $l$ düz çizgisine kadar olan mesafe olacaktır.

Grafik gösterimi bir noktadan bir çizgiye olan mesafe

Açı yalnızca iki ışın olduğundan ve her ışın düz bir çizginin parçası olduğundan, bir noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirlemek kolaydır. Bunlar sadece iki diktir:

Noktadan açının kenarlarına olan mesafeyi belirleyin

İşte bu! Artık mesafenin ne olduğunu ve açıortayın ne olduğunu biliyoruz. Bu nedenle ana özelliği kanıtlayabiliriz.

Söz verdiğimiz gibi kanıtı iki kısma ayıracağız:

1. Açıortay üzerindeki noktadan açının kenarlarına olan mesafeler aynıdır

$O$ köşe noktası ve $OM$ açıortayıyla rastgele bir açı düşünün:

Aynı $M$ noktasının açının kenarlarından aynı uzaklıkta olduğunu kanıtlayalım.

Kanıt. $M$ noktasından açının kenarlarına dikler çizelim. Onlara $M((H)_(1))$ ve $M((H)_(2))$ diyelim:
Açının kenarlarına dik çizin
İki dik üçgen elde ettik: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$. Ortak bir hipotenüse ($OM$) ve eşit açılara sahiptirler:

$\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$ koşula göre ($OM$ bir açıortay olduğundan);

$\angle M((H)_(1))O=\angle M((H)_(2))O=90()^\circ $ yapıya göre;

$\angle OM((H)_(1))=\angle OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$, çünkü toplam keskin köşeler dik üçgen her zaman 90 dereceye eşittir.

Sonuç olarak, üçgenler yan taraflarda ve iki bitişik açıda eşittir (üçgenlerin eşitlik işaretlerine bakın). Bu nedenle, özellikle $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, yani. $O$ noktasından açının kenarlarına olan mesafeler aslında eşittir. Q.E.D. :)

2. Uzaklıklar eşitse nokta açıortay üzerindedir

Şimdi ters durum. Bir $O$ açısı ve bu açının kenarlarından eşit uzaklıkta bir $M$ noktası verilsin:

$OM$ ışınının bir açıortay olduğunu kanıtlayalım; $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$.

Kanıt. Öncelikle bu $OM$ ışınını çizelim, aksi takdirde kanıtlanacak hiçbir şey kalmayacak:
Köşenin içine $OM$ ışınını iletti
Yine iki dik üçgen elde ederiz: $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$. Açıkçası eşittirler çünkü:

Hipotenüs $OM$ - genel;

Bacaklar $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ koşula göre (sonuçta, $M$ noktası açının kenarlarından eşit uzaklıktadır);

Geriye kalan bacaklar da eşittir çünkü Pisagor teoremine göre $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Bu nedenle, üç tarafta $\vartriangle OM((H)_(1))$ ve $\vartriangle OM((H)_(2))$ üçgenleri bulunur. Özellikle açıları eşittir: $\angle MO((H)_(1))=\angle MO((H)_(2))$. Ve bu sadece $OM$'ın bir açıortay olduğu anlamına gelir.

İspatı sonuçlandırmak için ortaya çıkan eşit açıları kırmızı yaylarla işaretliyoruz:
Açıortay $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ açısını iki eşit parçaya böler

Gördüğünüz gibi karmaşık bir şey yok. Bir açının açıortayının, bu açının kenarlarına eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri olduğunu kanıtladık. :)

Artık terminolojiye az çok karar verdiğimize göre, şimdi konuya geçme zamanı. yeni seviye. Bir sonraki derste daha fazlasına bakacağız karmaşık özellikler açıortayları öğrenin ve bunları gerçek problemleri çözmek için nasıl kullanacağınızı öğrenin.

Bir üçgenin bir açısının ortayağı nedir? Bu soruya bazıları ünlü farenin köşelerde koşup köşeyi ikiye böldüğünü düşünüyor." Eğer yanıt "mizahi" olacaksa, o zaman belki de doğrudur. bilimsel nokta Bir perspektiften bakıldığında, bu sorunun cevabı şöyle bir şey gibi görünmelidir: açının tepe noktasından başlayıp ikincisini iki eşit parçaya bölmek." Geometride bu şekil aynı zamanda açıortay ile kesişene kadar bir parça olarak da algılanır. Bu yanlış bir görüş değil. Peki bir açının açıortayı hakkında tanımı dışında başka neler biliniyor?

Noktaların herhangi bir geometrik yeri gibi, kendine has özellikleri vardır. Bunlardan ilki daha ziyade bir işaret bile değil, kısaca şu şekilde ifade edilebilecek bir teoremdir: “Karşısındaki taraf bir açıortay ile iki parçaya bölünürse, bunların oranı orantıya karşılık gelecektir. büyük bir üçgenin kenarları.”

Sahip olduğu ikinci özellik: tüm açıların açıortaylarının kesişme noktasına iç merkez denir.

Üçüncü işaret: Bir üçgenin bir iç ve iki dış açısının açıortayları, üç yazılı daireden birinin merkezinde kesişir.

Bir üçgenin açıortayının dördüncü özelliği, her biri eşitse ikincisinin ikizkenar olmasıdır.

Beşinci işaret de geçerlidir ikizkenar üçgen ve onu bisektörlerle yapılan bir çizimde tanımak için ana kılavuzdur, yani: bir ikizkenar üçgende aynı anda medyan ve yükseklik görevi görür.

Açıortay bir pergel ve cetvel kullanılarak oluşturulabilir:

Altıncı kural, ikincisini yalnızca mevcut açıortaylarla kullanarak bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğunu belirtir; tıpkı bir küpün ikiye katlanmasının, bir dairenin karesinin alınmasının ve bir açının üçe bölünmesinin bu şekilde inşa edilmesinin imkansız olduğu gibi. Kesin olarak konuşursak, bunların hepsi bir üçgenin açıortayının özellikleridir.

Önceki paragrafı dikkatlice okuduysanız, belki bir cümle ilginizi çekmiştir. "Bir açının üçe bölünmesi nedir?" - muhtemelen soracaksınız. Trisektör açıortay'a biraz benzer, ancak ikincisini çizerseniz açı iki eşit parçaya bölünecek ve bir üç bölüm oluştururken üçe bölünecektir. Doğal olarak bir açının açıortayını hatırlamak daha kolaydır çünkü üçe bölme okulda öğretilmemektedir. Ama tamlık adına, size de anlatacağım.

Daha önce de söylediğim gibi, bir trisektör yalnızca pergel ve cetvelle oluşturulamaz, Fujita kuralları ve bazı eğriler kullanılarak oluşturulabilir: Pascal salyangozları, dörtgenleri, Nicomedes konkoidleri, konik bölümler,

Bir açının üçe bölünmesiyle ilgili problemler nevsis kullanılarak oldukça basit bir şekilde çözülür.

Geometride açı üçektörleriyle ilgili bir teorem vardır. Buna Morley teoremi denir. Ortada yer alan her açının üç sektörlerinin kesişme noktalarının köşeler olacağını belirtmektedir.

Büyük bir üçgenin içindeki küçük siyah üçgen her zaman eşkenar olacaktır. Bu teorem 1904 yılında İngiliz bilim adamı Frank Morley tarafından keşfedildi.

Bir açıyı bölmeyle ilgili öğrenebileceğiniz şeyler şunlardır: Bir açının üçe bölücüsü ve ortayı her zaman ayrıntılı açıklamalar gerektirir. Ancak burada henüz açıklamadığım birçok tanım verildi: Pascal salyangozu, Nicomedes konkoidi vb. Emin olun onlar hakkında yazılacak daha çok şey var.

Sorokina Vika

Bir üçgenin açıortay özelliklerinin kanıtları verilmiş ve teorinin problem çözümüne uygulanması ele alınmıştır.

İndirmek:

Önizleme:

Saratov İdaresi Eğitim Komitesi, Oktyabrsky bölgesi Belediye Özerk eğitim kurumu 3 No'lu Lise adını almıştır. A. S. Puşkin.

Belediye bilimsel-pratik

konferans

"İlk adımlar"

Ders: Bisektör ve özellikleri.

Çalışmayı tamamlayan: 8. sınıf öğrencisi

Sorokina VictoriaBilimsel danışman: En yüksek kategorideki matematik öğretmeniPopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

Başlık sayfası…………………………………………………………1
İçindekiler………………………………………………………2
Giriş ve hedefler…………………………………………………………... ..3
Ortayörün özelliklerinin dikkate alınması

Noktaların üçüncü yeri…………………………………….3
Teorem 1………………………………………………………………4
Teorem 2……………………………………………………………4
Bir üçgenin açıortayının temel özelliği:

Teorem 3………………………………………………………………4
Görev 1…………………………………………………………… ….7
Görev 2…………………………………………………………….8
Görev 3……………………………………………………………………9
Görev 4……………………………………………………………….9-10

Teorem 4………………………………………………………10-11
Ortay bulma formülleri:

Teorem 5…………………………………………………………….11
Teorem 6…………………………………………………………….11
Teorem 7…………………………………………………………….12
Görev 5…………………………………………………………...12-13

Teorem 8…………………………………………………………….13
Görev 6…………………………………………………………….14
Görev 7………………………………………………………………14-15
Açıortayı kullanarak ana yönlerin belirlenmesi………………15

Sonuç ve sonuç……………………………………………………..15
Referans listesi………………………………………..16

Açıortay

Geometri dersinde konuyu çalışmak benzer üçgenler, açıortayın karşı taraflarla ilişkisine ilişkin teoremde bir problemle karşılaştım. Görünüşe göre açıortay konusunda ilginç bir şeyler olabilir ama bu konu ilgimi çekti ve daha derinlemesine incelemek istedim. Sonuçta, açıortay çok zengindir inanılmaz özellikler, çeşitli sorunların çözülmesine yardımcı olur.

Bu konuyu düşündüğünüzde geometri ders kitaplarının açıortayın özellikleri hakkında çok az şey söylediğini ancak sınavlarda bunları bilerek problemleri çok daha kolay ve hızlı çözebileceğinizi fark edeceksiniz. Ayrıca Devlet Sınavını ve Birleşik Devlet Sınavını geçmek için modern öğrenciler bunu kendin incelemelisin ek malzemelerİle okul müfredatı. Bu yüzden açıortay konusunu daha detaylı incelemeye karar verdim.

Ortay (Latince bi- “çift” ve sectio kelimesinden gelir) Bir açının “kesilmesi”), açının tepe noktasında başlayan ve açıyı iki eşit parçaya bölen bir ışındır. Bir açının açıortayı (uzantısı ile birlikte), açının kenarlarından (veya bunların uzantılarından) eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeridir.)

Üçüncü nokta odağı

Şekil F bazı özelliklere sahip noktaların (noktalar kümesi) geometrik yeridir A, iki koşul karşılanırsa:

noktanın şekle ait olması gerçeğinden F, mülkiyete sahip olduğu sonucu çıkıyor A;
noktanın özelliği karşıladığı gerçeğinden A, şekle ait olduğu sonucu çıkıyor F.

Geometride dikkate alınan noktaların ilk yeri bir dairedir, yani. sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların yeri. İkincisi, segmentin dik açıortayıdır, yani. Bir doğru parçasının sonuna eşit uzaklıktaki noktaların yeri. Ve son olarak, üçüncü - açıortay - açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri

Teorem 1:

Açıortay noktaları kenarlardan eşit uzaklıkta o köşede.

Kanıt:

R olsun -ortay noktası A. Konudan ayrılalımP dikleri Karavan ve Köşenin kenarlarında PC. O zaman VAR = SAR hipotenüs ve dar açıya göre. Dolayısıyla PB = PC

Teorem 2:

P noktası A açısının kenarlarından eşit uzaklıktaysa açıortay üzerindedir..

İspat: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR bir açıortaydır.

Ana arasında geometrik gerçekler açıortayın karşı tarafı karşı taraflara göre böldüğü teoremine atfedilmelidir. Bu gerçek uzun süre gölgede kaldı, ancak her yerde bunu ve açıortay hakkındaki diğer gerçekleri biliyorsanız çözülmesi çok daha kolay olan sorunlar var. İlgimi çekti ve açıortayın bu özelliğini daha fazla araştırmaya karar verdim.

Bir üçgenin açıortayının temel özelliği

Teorem 3. Açıortay, bir üçgenin karşı kenarını bitişik kenarlara göre böler.

Kanıt 1:

Verilen: AL - ABC üçgeninin açıortayı

Kanıtlamak:

İspat: F olsun çizginin kesişme noktası AL ve bu noktadan geçen bir çizgiİÇİNDE AC tarafına paralel.

O halde BFA = FAC = BAF. Bu nedenle B.A.F. ikizkenar ve AB = BF.Üçgenlerin benzerliğinden

ALC ve FLB'ye sahibiz

oran

Neresi

Kanıt 2

AL doğrusu ile AB tabanına paralel C noktasından geçen doğrunun kesiştiği nokta F olsun. Daha sonra mantığı tekrarlayabilirsiniz.

Kanıt 3 Doğruya bırakılan dikmelerin tabanları K ve M olsun B ve C noktalarından AL
sırasıyla. ABL ve ACL üçgenleri iki açıda benzerdir. Bu yüzden

. Ve BKL ve CML'nin benzerliğinden elimizde

Buradan

Kanıt 4 Alan yöntemini kullanalım. Üçgenlerin alanlarını hesaplayalım ABL ve ACL

iki şekilde.

Buradan.

Kanıt 5 α= SİZ,φ= olsun

BLA. ABL üçgenindeki sinüs teoremine göre.

Ve ACL üçgeninde

Çünkü ,.

Daha sonra eşitliğin her iki tarafını diğerinin karşılık gelen kısımlarına bölerek şunu elde ederiz:

Sorun 1 Verilen: İÇİNDE ABC üçgeni

, VC – açıortay, BC=2, KS=1,

Çözüm:

Sorun 1

Sorun 2

, VC – açıortay, BC=2, KS=1,

Bacakları 24 ve 18 olan bir dik üçgenin dar açılarının açıortaylarını bulun

AC kenarı = 18, BC kenarı = 24 olsun, sabah

- bir üçgenin açıortayı.

Bulduğumuz Pisagor teoremini kullanarak,

AB = 30.

O zamandan beri

Benzer şekilde ikinci açıortayı da bulalım.

Cevap:

Sorun 3 Bir dik üçgende ABC dik açılı B açıortay A tarafı geçer

M.Ö.

D noktasında. BD = 4, DC = 6 olduğu bilinmektedir.Üçgenin alanını bulun

, VC – açıortay, BC=2, KS=1,

ADC

Bir üçgenin açıortayının özelliği ile

AB = 2x, AC = 3x olsun. Teoreme göre

Pisagor BC 2 + AB 2 = AC 2 veya 100 + 4 x 2 = 9 x 2 Buradan bunu buluyoruz

x = O zaman AB = , S ABC=

Buradan,

Sorun 1

Sorun 4 Bir ikizkenar üçgende ABC taraf AB 10'a eşit, taban

Klima 12'dir. Açıların açıortayları A ve C bir noktada kesişmek

, VC – açıortay, BC=2, KS=1,

D. BD'yi bulun.

Bir üçgenin açıortayları kesiştiği için Bir nokta, o zaman BD, B'nin açıortayı olur. Devam edelim BD ile kesiştiği noktaya

AC M noktasında. O halde M, AC'nin orta noktasıdır, BM AC. Bu yüzden Çünkü CD- bir üçgenin açıortayı

o zaman BMC

Benzer şekilde ikinci açıortayı da bulalım.

Buradan,. Teorem 4.

Bir üçgenin üç açıortayı bir noktada kesişir. Aslında, öncelikle iki açıortayın kesişme noktası P'yi ele alalım, örneğin AK 1 ve VK2. Bu nokta açıortay üzerinde olduğundan AB ve AC kenarlarından eşit uzaklıktaB. Bu, AC ve BC kenarlarından eşit uzaklıkta olduğu ve dolayısıyla üçüncü SC açıortayına ait olduğu anlamına gelir. 3 yani P noktasında üç açıortay da kesişir.

Ortay bulma formülleri
Teorem5: (ortayortanın ilk formülü): Eğer ABC üçgeninde AL doğru parçası bir açıortay ise A ise AL² = AB·AC - LB·LC.

Kanıt: AL doğrusu ile ABC üçgeninin çevrelediği çemberin kesişme noktası M olsun (Şekil 41). Açı BAM açıya eşit Duruma göre MAC. BMA ve BCA açıları, aynı kirişin oluşturduğu yazılı açılar olarak uyumludur. Bu, BAM ve LAC üçgenlerinin iki açıda benzer olduğu anlamına gelir. Bu nedenle AL: AC = AB: AM. Bu, AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC anlamına gelir. Q.E.D.

Teorem6: . (ortaortay için ikinci formül): Kenarları AB=a, AC=b ve olan bir ABC üçgenindeA, 2α'ya ve ortay l'ye eşit olduğundan eşitlik geçerlidir:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Kanıt : ABC olsun verilen üçgen, AL onun açıortayıdır, a=AB, b=AC, l=AL. Sonra S ABC = S ALB + S ALC . Bu nedenle, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorem kanıtlandı.

Teorem 7: a, b üçgenin kenarları ise Y aralarındaki açıdır,bu açının açıortayıdır. Daha sonra.

Ortaokulun sayısız dersi arasında “geometri” gibi bir konu vardır. Geleneksel olarak bu sistematik bilimin kurucularının Yunanlılar olduğuna inanılmaktadır. Bugün, Yunan geometrisine temel denir, çünkü en basit formları incelemeye başlayan kişi oydu: düzlemler, düz çizgiler ve üçgenler. Dikkatimizi ikincisine, daha doğrusu bu şeklin açıortayına odaklayacağız. Zaten unutmuş olanlar için, bir üçgenin açıortayı, üçgenin açılarından birinin ortasının bir parçası olup, onu ikiye böler ve tepe noktasını üzerinde bulunan bir noktaya bağlar. karşı taraf.

Bir üçgenin açıortayının, belirli problemleri çözerken bilmeniz gereken bir takım özellikleri vardır:

Bir açının açıortayı, birbirinden ayrılan noktaların geometrik yeridir. eşit mesafeler köşeye bitişik yanlardan.
Bir üçgende açıortay, açının karşısındaki kenarı bitişik kenarlarla orantılı parçalara böler. Örneğin, bir MKB üçgeni verildiğinde, K açısından bir açıortay çıkar ve bu açının tepe noktasını MB'nin karşı tarafındaki A noktasına bağlar. Analiz ettikten sonra bu mülk ve üçgenimizde MA/AB=MK/KB var.
Bir üçgenin üç açısının açıortaylarının kesiştiği nokta, aynı üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir.
Bir dış ve iki açıortayların tabanı iç köşeler açıortay olması koşuluyla aynı düz çizgi üzerindedirler dış köşeüçgenin karşı kenarına paralel değildir.
Eğer birin iki ortası varsa o zaman bu

Üç açıortay verilirse, pusula yardımıyla bile onlardan bir üçgen oluşturmanın imkansız olduğu unutulmamalıdır.

Çoğu zaman, problemleri çözerken bir üçgenin açıortayı bilinmez, ancak uzunluğunu belirlemek gerekir. Bu sorunu çözmek için açıortay tarafından ikiye bölünen açıyı ve bu açıya komşu kenarları bilmeniz gerekir. Bu durumda gerekli uzunluk, köşeye bitişik kenarların çarpımının iki katı ile açının kosinüsünün ikiye bölünmesinin köşeye bitişik kenarların toplamına oranı olarak tanımlanır. Örneğin aynı MKB üçgeni verildiğinde. Açıortay K açısından çıkar ve kesişir karşı taraf A noktasında MV. Açıortayın ortaya çıktığı açı y ile gösterilecektir. Şimdi kelimelerle söylenen her şeyi bir formül halinde yazalım: KA = (2*MK*KB*cos y/2) / (MK+KB).

Bir üçgenin açıortayının çıktığı açının değeri bilinmiyorsa ancak tüm kenarları biliniyorsa, o zaman açıortayın uzunluğunu hesaplamak için yarı çevre adını vereceğimiz ve ile ifade edeceğimiz ek bir değişken kullanacağız. P harfi: P=1/2*(MK+KB+MB). Bundan sonra, açıortay uzunluğunun belirlendiği önceki formülde bazı değişiklikler yapacağız, yani kesir payına, köşeye bitişik kenarların uzunluklarının çarpımının yarı çevre ile iki katını koyacağız. ve üçüncü kenarın uzunluğunun yarı çevreden çıkarıldığı bölüm. Paydayı değiştirmeden bırakacağız. Formül formunda şu şekilde görünecektir: KA=2*√(MK*KB*P*(P-MB)) / (MK+KB).

Bir ikizkenar üçgenin açıortayı ile birlikte genel özellikler kendine ait birkaç tane var. Bunun nasıl bir üçgen olduğunu hatırlayalım. Böyle bir üçgenin iki eşit kenarı ve tabana bitişik eşit açıları vardır. Şunu takip eder: aşağı inen açıortaylar taraflar ikizkenar üçgen birbirine eşittir. Ayrıca tabana indirilen açıortay hem yükseklik hem de ortancadır.