Sayısal fonksiyonlar ve özellikleri. Ders “Fonksiyonlar ve özellikleri

Birçok özelliği var:

1. Fonksiyon çağrılır monoton Belirli bir A aralığında, bu aralıkta artıyor veya azalıyorsa

2. Fonksiyon çağrılır artan belirli bir A aralığında, eğer A kümelerinin herhangi bir sayısı için aşağıdaki koşul sağlanırsa:.

Artan bir fonksiyonun grafiğinin özel bir özelliği vardır: x ekseni boyunca aralık boyunca soldan sağa hareket ederken A grafik noktalarının koordinatları artar (Şekil 4).

3. Fonksiyon çağrılır azalan belli aralıklarla A, eğer herhangi bir sayı için bunlardan birçoğu varsa A koşul karşılandı:.

Azalan bir fonksiyonun grafiğinin özel bir özelliği vardır: aralık boyunca x ekseni boyunca soldan sağa hareket ederken A grafik noktalarının koordinatları azalır (Şekil 4).

4. Fonksiyon çağrılır eşit bazı setlerde X, koşul yerine getirilirse: .

Çift fonksiyonun grafiği ordinat eksenine göre simetriktir (Şekil 2).

5. Fonksiyon çağrılır garip bazı setlerde X, koşul yerine getirilirse: .

Tek bir fonksiyonun grafiği orijine göre simetriktir (Şekil 2).

6. Eğer fonksiyon y = f(x)
f(x) f(x), sonra fonksiyonun olduğunu söylüyorlar y = f(x) kabul eder en küçük değer en=f(x) en X= X(Şekil 2, fonksiyon koordinatları (0;0) olan noktada en küçük değeri alır).

7. Eğer fonksiyon y = f(x) X kümesinde tanımlıdır ve herhangi bir eşitsizlik için öyle bir durum vardır ki f(x) f(x), sonra fonksiyonun olduğunu söylüyorlar y = f(x) kabul eder en yüksek değer en=f(x) en X= X(Şekil 4, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri yoktur) .

Bu fonksiyon için ise y = f(x) listelenen tüm özellikler incelendi, sonra şunu söylüyorlar: çalışmak işlevler.

Dersler 1-2. Sayısal bir fonksiyonun tanımı ve onu belirtme yöntemleri

09.07.2015 11704 0

Hedef: Bir fonksiyonun tanımını ve nasıl tanımlanacağını tartışın.

I. Dersin konusunun ve amacının aktarılması

II. 9. sınıf materyalinin gözden geçirilmesi

Bu konunun çeşitli yönleri zaten 7-9. Sınıflarda ele alınmıştır. Şimdi fonksiyonlarla ilgili bilgileri genişletip özetlememiz gerekiyor. Konunun tüm matematik dersi için en önemli konulardan biri olduğunu hatırlatalım. Mezuniyete kadar ve daha sonra yükseköğretim kurumlarında çeşitli işlevler incelenecektir. Bu konu denklemlerin, eşitsizliklerin, sözlü problemlerin, ilerlemelerin vb. çözümüyle yakından ilgilidir.

Tanım 1. İki reel sayı kümesi verilsin D ve E ve yasa belirtilir F buna göre her sayı x∈ D tekil sayıyla eşleşir y ∈ E (resme bakın). Sonra y = fonksiyonunun olduğunu söylüyorlar. f(x ) veya tanım etki alanıyla (O.O.) y(x) D ve değişim alanı (O.I.) E. Bu durumda x değerine bağımsız değişken (veya fonksiyonun argümanı) adı verilir, y değerine ise bağımlı değişken (veya fonksiyonun değeri) denir.

İşlev Etki Alanı f, D(f)'yi belirtir ). Tüm sayılardan oluşan küme f(x ) (fonksiyon aralığı f), E(f)'yi gösterir.

örnek 1

İşlevi düşününHer x değeri için y'yi bulmak için aşağıdaki işlemleri gerçekleştirmelisiniz: 2 sayısını (x - 2) x değerinden çıkarın, bu ifadenin karekökünü çıkarınve son olarak 3 sayısını ekleyinBu işlemlerin kümesine (veya x'in her değeri için y değerinin aranmasını sağlayan yasaya göre) y(x) fonksiyonu denir. Örneğin, x = 6 için şunu buluruz:Dolayısıyla, belirli bir x noktasında y fonksiyonunu hesaplamak için, bu x değerini verilen y(x) fonksiyonuna koymak gerekir.

Açıkçası, belirli bir fonksiyon için, kabul edilebilir herhangi bir x sayısı için, yalnızca bir y değeri bulunabilir (yani, her x değeri için, bir y değerine karşılık gelir).

Şimdi bu fonksiyonun tanım alanını ve varyasyon aralığını ele alalım. (x - 2) ifadesinin karekökünü ancak bu değer negatif değilse (yani x - 2 ≥ 0 veya x ≥ 2) çıkarmak mümkündür.Bir aritmetik kökün tanımı gereğisonra bu eşitsizliğin tüm kısımlarına 3 sayısını eklersek şunu elde ederiz:veya 3 ≤ y< +∞. Находим

Rasyonel fonksiyonlar matematikte sıklıkla kullanılır. Bu durumda formun fonksiyonları f(x ) = p(x) (burada p(x) bir polinomdur) tam rasyonel fonksiyonlar olarak adlandırılır. Formun işlevleri(burada p(x) ve q(x) ) - polinomlar) kesirli rasyonel fonksiyonlar olarak adlandırılır. Belli ki bir kısmıpayda ise tanımlanır q(x ) kaybolmaz. Bu nedenle kesirli rasyonel fonksiyonun tanım alanı- polinomun köklerinin hariç tutulduğu tüm gerçek sayılar kümesi q(x).

Örnek 2

Rasyonel fonksiyonx - 2 ≠ 0 için tanımlanmış, yani. X ≠ 2. Bu nedenle, bu fonksiyonun tanım alanı, 2'ye eşit olmayan tüm gerçek sayılar kümesidir, yani (-∞; 2) ve (2; ∞) aralıklarının birleşimidir.

A ve B kümelerinin birleşiminin, A veya B kümelerinden en az birinde yer alan tüm öğelerden oluşan bir küme olduğunu hatırlayın. A ve B kümelerinin birleşimi A sembolüyle gösterilir. sen B. Böylece doğru parçalarının birleşimi ve (3;9) aralığı (kesişmeyen aralıklar) ile gösterilir.

Örneğe dönersek şunu yazabiliriz:X'in kabul edilebilir tüm değerleri için kesirkaybolmazsa, işlev f(x ) 3 dışındaki tüm değerleri alır. Bu nedenle

Örnek 3

Kesirli rasyonel fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım

Kesirlerin paydaları x = 2, x = 1 ve x = -3'te sıfırdır. Bu nedenle, bu fonksiyonun tanım alanı

Örnek 4

Bağımlılık artık bir fonksiyon değil. Aslında, örneğin x = 1 için y'nin değerini hesaplamak istersek, üstteki formülü kullanarak şunu buluruz: y = 2 1 - 3 = -1 ve alttaki formülü kullanarak şunu elde ederiz: y = 12 + 1 = 2. Yani tek değer x(x = 1) y'nin iki değerine karşılık gelir (y = -1 ve y = 2). Bu nedenle bu bağımlılık (tanım gereği) bir fonksiyon değildir.

Örnek 5

İki bağımlılığın grafikleri gösteriliyor y(x ). Bunlardan hangisinin fonksiyon olduğunu belirleyelim.

İncirde. ve fonksiyonun grafiği verilmiştir, çünkü herhangi bir noktada x 0 yalnızca bir y0 değeri karşılık gelir. İncirde. b, bu tür noktalar mevcut olduğundan (ancak bir fonksiyon değil) bir tür bağımlılığın grafiğidir (örneğin, x 0 ), birden fazla y değerine karşılık gelir (örneğin, y1 ve y2).

Şimdi fonksiyonları belirtmenin ana yollarını ele alalım.

1) Analitik (bir formül veya formüller kullanarak).

Örnek 6

Fonksiyonlara bakalım:

Alışılmadık biçimine rağmen bu ilişki aynı zamanda bir işlevi de tanımlar. Herhangi bir x değeri için y'nin değerini bulmak kolaydır. Örneğin, x = -0,37 için (çünkü x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, o zaman alt ifadeyi kullanırız) elimizde:Y'yi bulma yönteminden herhangi bir x değerinin yalnızca bir y değerine karşılık geldiği açıktır.

c) 3x + y = 2y - x2. Bu ilişkiden y değerini ifade edelim: 3x + x2 = 2y - y veya x2 + 3x = y. Dolayısıyla bu ilişki aynı zamanda y = x2 + 3x fonksiyonunu da tanımlar.

2) Tablo halinde

Örnek 7

X sayıları için y kareler tablosunu yazalım.


		2,25		6,25

Tablo verileri aynı zamanda bir fonksiyonu da tanımlar - x'in (tabloda verilen) her değeri için tek bir y değeri bulunabilir. Örneğin, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25, vb.

3) Grafik

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde, y(x) fonksiyonel bağımlılığını göstermek için özel bir çizim (fonksiyonun grafiği) kullanmak uygundur.

Tanım 2. Bir fonksiyonun grafiği y(x ) apsisleri bağımsız değişken x'in değerlerine eşit olan ve koordinatları bağımlı değişken y'nin karşılık gelen değerlerine eşit olan koordinat sisteminin tüm noktalarının kümesidir.

Bu tanım gereği, y(x) fonksiyonel bağımlılığını sağlayan tüm (x0, y0) nokta çiftleri fonksiyonun grafiği üzerinde yer alır. Bağımlılığı karşılamayan diğer nokta çiftleri y(x ), fonksiyonlar grafikte yer almaz.

Örnek 8

Bir fonksiyon verildiğinde Koordinatları olan nokta bu fonksiyonun grafiğine ait mi: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. y fonksiyonunun değerini bulun.y(-2) = -6 olduğuna göre A (-2; -6) noktası bu fonksiyonun grafiğine aittir.

2. y fonksiyonunun değerini belirleyin. y'den beri (-3) = -11 ise B (-3; -10) noktası bu fonksiyonun grafiğine ait değildir.

y = fonksiyonunun bu grafiğine göre f(x ) tanımın alanını bulmak kolaydır D(f ) ve aralık E(f ) işlevler. Bunu yapmak için grafik noktaları koordinat eksenlerine yansıtılır. Daha sonra bu noktaların apsisleri tanım alanını oluşturur D(f ), koordinatlar - değer aralığı E(f).

Bir işlevi tanımlamanın farklı yollarını karşılaştıralım. Analitik yöntem en eksiksiz olarak kabul edilmelidir. Bazı argüman değerleri için fonksiyon değerleri tablosu oluşturmanıza, fonksiyonun grafiğini oluşturmanıza ve fonksiyonla ilgili gerekli araştırmayı yapmanıza olanak tanır. Aynı zamanda tablo yöntemi, bazı argüman değerleri için fonksiyonun değerini hızlı ve kolay bir şekilde bulmanızı sağlar. Bir fonksiyonun grafiği onun davranışını açıkça gösterir. Bu nedenle, bir işlevi belirlemenin farklı yöntemlerine karşı çıkmamak gerekir; her birinin kendine göre avantajları ve dezavantajları vardır. Uygulamada, bir işlevi belirtmenin üç yolu da kullanılır.

Örnek 9

y = 2x2 - 3x +1 fonksiyonu verildiğinde.

Bulalım: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

Bir argümanın belirli bir değeri için bir fonksiyonun değerini bulmak amacıyla, argümanın bu değerini fonksiyonun analitik formuna koymak gerekir. Bu nedenle şunu elde ederiz:

Örnek 10

y(3 - x) = 2x2 - 4 olduğu biliniyor. Bulalım: a) y(x); b) y(-2).

a) Harfle gösterelim z = 3, sonra x = 3 - z . Bu x değerini, y(3 - x) = 2x2 - 4 fonksiyonunun analitik formuna koyalım ve şunu elde edelim: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4 veya y (z) = 2 (3 - z)2 - 4 veya y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4 veya y (z) = 2x2 - 12 z + 14. İşlev argümanının hangi harfle gösterildiği önemli olmadığından - z, x, t veya başka herhangi bir durumda hemen şunu elde ederiz: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Artık y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46'yı bulmak kolaydır.

Örnek 11

biliniyor ki x(y)'yi bulalım.

Harf ile belirtelim z = x - 2 ise x = z +2 ve sorunun durumunu yazın: veya İle argüman için aynı koşulu yazacağız (- z): Kolaylık sağlamak için yeni değişkenler sunuyoruz a = y (z) ve b = y (- z ). Bu tür değişkenler için bir doğrusal denklem sistemi elde ederiz

Bilinmeyenle ilgileniyoruz A.

Bunu bulmak için cebirsel toplama yöntemini kullanıyoruz. Bu nedenle, ilk denklemi (-2) sayısıyla, ikinci denklemi ise 3 sayısıyla çarpalım.

Bu denklemleri toplayalım:Neresi Fonksiyon argümanı herhangi bir harfle gösterilebildiğinden, elimizde:

Sonuç olarak, 9. sınıfın sonunda aşağıdaki özelliklerin ve grafiklerin incelendiğini not ediyoruz:

a) doğrusal fonksiyon y = kx + M (grafik düz bir çizgidir);

b) ikinci dereceden fonksiyon y = ax2 + B x + c (grafik - parabol);

c) kesirli doğrusal fonksiyon(grafik - hiperbol), özellikle fonksiyonlar

d) güç fonksiyonu y = xa (özellikle fonksiyon

e) fonksiyonlar y = |x|.

Malzemenin daha fazla incelenmesi için bu fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini tekrarlamanızı öneririz. Aşağıdaki dersler grafikleri dönüştürmenin temel yöntemlerini kapsayacaktır.

1. Sayısal bir fonksiyon tanımlayın.

2. Bir fonksiyonun nasıl tanımlanacağını açıklayın.

3. A ve kümelerinin birleşimine ne denir? B?

4. Hangi fonksiyonlara rasyonel tamsayılar denir?

5. Hangi fonksiyonlara kesirli rasyonel denir? Bu tür fonksiyonların tanım alanı nedir?

6. Bir fonksiyonun grafiğine ne denir? f(x)?

7. Ana fonksiyonların özelliklerini ve grafiklerini veriniz.

IV. Ders ataması

§ 1, No. 1 (a, d); 2(c,d); 3(a,b); 4(c,d); 5(a,b); 6(c); 7(a,b); 8(c,d); 10 ( A ); 13(c,d); 16(a,b); 18.

V. Ödev

§ 1, No. 1 (b, c); 2(a,b); 3(c,d); 4(a,b); 5(c,d); 6(g); 7(c,d); 8(a,b); 10(b); 13(a,b); 16(c,d); 19.

VI. Yaratıcı görevler

1. y = fonksiyonunu bulun f(x), eğer:

Yanıtlar:

2. y = fonksiyonunu bulun f(x) eğer:

Yanıtlar:

VII. Dersleri özetlemek

“FONKSİYONLAR VE ÖZELLİKLERİ” KONUSUNDA ÖZET DERS.

Dersin Hedefleri:

Metodik: bireysel bağımsız çalışma ve gelişimsel tip test görevlerinin kullanılması yoluyla öğrencilerin aktif-bilişsel aktivitesinin arttırılması.

Eğitici: Temel fonksiyonları, temel özelliklerini ve grafiklerini tekrarlayın. Karşılıklı ters fonksiyon kavramını tanıtın. Öğrencilerin konuyla ilgili bilgilerini sistematik hale getirin; standart dışı türdeki görevleri çözerken özelliklerinin uygulanmasında logaritma hesaplama becerilerinin pekiştirilmesine katkıda bulunmak; Dönüşümleri kullanarak fonksiyon grafiklerinin oluşturulmasını tekrarlayın ve egzersizleri kendi başınıza çözerken becerilerinizi ve yeteneklerinizi test edin.

Eğitici: Doğruluğu, soğukkanlılığı, sorumluluğu ve bağımsız karar verme yeteneğini teşvik etmek.

Gelişimsel: entelektüel yetenekleri, zihinsel işlemleri, konuşmayı, hafızayı geliştirin. Matematiğe olan sevginizi ve ilginizi geliştirin; Ders sırasında öğrencilerin öğrenme etkinliklerinde bağımsız düşünme geliştirmelerini sağlayın.

Ders türü: genelleme ve sistemleştirme.

Teçhizat: tahta, bilgisayar, projektör, ekran, eğitim literatürü.

Ders epigrafı:“O zaman matematik öğretilmeli çünkü o zihni düzene sokar.”

(M.V. Lomonosov).

DERSLER SIRASINDA

Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

A = 2 tabanlı üstel ve logaritmik fonksiyonların tekrarı, grafiklerinin aynı koordinat düzleminde oluşturulması, göreceli konumlarının analizi. Bu fonksiyonların (OOF ve OFP) ana özellikleri arasındaki karşılıklı bağımlılığı göz önünde bulundurun. Karşılıklı ters fonksiyon kavramını verin.

a = ½ c tabanına sahip üstel ve logaritmik fonksiyonları düşünün

Listelenen özelliklerin birbirine bağımlılığının gözetilmesini sağlamak ve

karşılıklı ters fonksiyonlar azalıyor.

Düşünme becerilerinin geliştirilmesi için bağımsız test tipi çalışmaların organizasyonu

“Fonksiyonlar ve özellikleri” konulu sistemleştirme işlemleri.

FONKSİYON ÖZELLİKLERİ:

1). y = ‌│х│ ;

2). Tüm tanım alanı boyunca artar;

3). OOF: (- ∞; + ∞) ;

4). y = günah x;

5). 0'da azalır< а < 1 ;

6). y = x³;

7). OPF: (0; + ∞) ;

8). Genel fonksiyon;

9). y = √ x;

10). OOF: (0; + ∞) ;

on bir). Tüm tanım alanı boyunca azalır;

12). y = kx + b;

13). OSF: (- ∞; + ∞) ;

14). k > 0'da artar;

15). OOF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

16). y = çünkü x;

17). Ekstrem noktaları yoktur;

18). OSF: (- ∞; 0) ; (0; + ∞) ;

19). k'da azalır< 0 ;

20). y = x²;

21). OOF: x ≠ πn;

22). y = k/x;

23). Eşit;

25). k > 0 için azalır;

26). OFF: [ 0; + ∞) ;

27). y = ten rengi x;

28). k ile artar< 0;

29). OSF: [ 0; + ∞) ;

otuz). Garip;

31). y = log x;

32). OOF: x ≠ πn/2;

33). y = ctgx;

34). a>1 olduğunda artar.

Bu çalışma sırasında öğrencilere bireysel ödevler konusunda anket yapın:

1 numara. a) Fonksiyonun grafiğini çizin

b) Fonksiyonun grafiğini çizin

2 numara. a) Hesaplayın:

b) Hesaplayın:

Numara 3. a) İfadeyi basitleştirin
ve değerini bulun

b) İfadeyi basitleştirin
ve değerini bulun
.

Ödev: No. 1. Hesaplayın: a)
;

V)
;

G)
.

2 numara. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun: a)
;

V)
; G)
.

Bölümler: Matematik

Sınıf: 9

Ders türü: Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi dersi.

Teçhizat:

İnteraktif ekipman (PC, multimedya projektörü).
Test, Microsoft Word'deki materyal ( Ek 1).
İnteraktif program “İmza”.
Bireysel test - bildiriler ( Ek 2).

Dersler sırasında

1. Organizasyon anı

Dersin amacı duyurulur.

Dersin I. Aşaması

Ödev kontrol ediliyor

Didaktik materyal S-19 seçenek 1'den evde bağımsız çalışma içeren broşürler toplayın.
Öğrencilerin ödevlerini yaparken zorluk yaşadıkları görevleri tahtada çözün.

Ders aşaması II

1. Ön anket.

2. Yıldırım araştırması: Testteki doğru cevabı tahtada işaretleyin (Ek 1, s. 2-3).

Ders aşaması III

Egzersiz yapmak.

1. 358 (a) numaralı soruyu çözün. Denklemi grafiksel olarak çözün: .

2. Kartlar (dört zayıf öğrenci bir defterde veya tahtada çözer):

1) İfadenin anlamını bulun: a) ; B) .

2) Fonksiyonların tanım tanım kümesini bulun: a) ; b) y = .

3. 358 (a) numaralı soruyu çözün. Denklemi grafiksel olarak çözün: .

Bir öğrenci tahtada, geri kalanı defterde çözer. Gerekirse öğretmen öğrenciye yardımcı olur.

İnteraktif beyaz tahta üzerine AutoGraph programı kullanılarak dikdörtgen bir koordinat sistemi oluşturuldu. Öğrenci karşılık gelen grafikleri bir kalemle çizer, bir çözüm bulur ve cevabı yazar. Daha sonra görev kontrol edilir: formül klavye kullanılarak girilir ve grafik, aynı koordinat sisteminde önceden çizilmiş olanla örtüşmelidir. Grafiklerin kesişimlerinin apsisi denklemin köküdür.

Çözüm:

Cevap: 8

360(a) numaralı soruyu çözün. Fonksiyonun grafiğini çizin ve okuyun:

Öğrenciler görevi bağımsız olarak tamamlarlar.

Grafiğin yapısı AutoGraph programı kullanılarak kontrol edilir, özellikler bir öğrenci tarafından tahtaya yazılır (tanım alanı, değer alanı, eşlik, monotonluk, süreklilik, sıfırlar ve işaretin sabitliği, en büyük ve en küçük değerler) bir işlev).

Çözüm:

Özellikler:

1)D( F) = (-); e( F) = , artar )