Bölüm 5'te, bir rastgele değişkenin sayısal özelliklerini (çeşitli mertebelerin başlangıç ​​ve merkezi momentlerini) dikkate aldık. Bu özelliklerden ikisi en önemlileridir: matematiksel beklenti ve dağılım.

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistem için benzer sayısal özellikler (çeşitli mertebelerdeki başlangıç ​​ve merkezi momentler) tanıtılabilir.

Sistemin ilk düzen anı, ürünün matematiksel beklentisidir:

. (8.6.1)

Bir sistemin düzeninin merkezi momenti, karşılık gelen merkezlenmiş büyüklüklerin inci ve inci kuvvetlerinin çarpımının matematiksel beklentisidir:

, (8.6.2)

Momentleri doğrudan hesaplamak için kullanılan formülleri yazalım. Süreksiz rastgele değişkenler için

, (8.6.3)

, (8.6.4)

Nerede - Sistemin değerleri alma olasılığı ve toplam, rastgele değişkenlerin tüm olası değerlerine yayılır.

Sürekli rastgele değişkenler için:

, (8.6.5)

, (8.6.6)

sistemin dağıtım yoğunluğu nerede.

Bireysel niceliklere göre anın sırasını karakterize eden ve'ye ek olarak, ve'nin üslerinin toplamına eşit olan anın toplam sırası da dikkate alınır. Toplam sıraya göre momentler birinci, ikinci vb. şeklinde sınıflandırılır. Uygulamada genellikle yalnızca birinci ve ikinci momentler kullanılır.

İlk başlangıç ​​momentleri, sisteme dahil edilen büyüklüklerin halihazırda bilinen matematiksel beklentilerini temsil eder:

Matematiksel beklentiler kümesi sistemin konumunun bir karakteristiğini temsil eder. Geometrik olarak bunlar, noktanın etrafına dağıldığı düzlemdeki orta noktanın koordinatlarıdır.

Sistemin ilk başlangıç ​​momentlerinin yanı sıra ikinci merkezi momentleri de pratikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bunlardan ikisi, bizim tarafımızdan zaten bilinen ve miktarlarının dağılımını temsil eder:

ve eksenleri yönünde rastgele bir noktanın saçılımını karakterize eder.

İkinci karma merkezi moment, sistemin bir özelliği olarak özel bir rol oynar:

,

onlar. merkezli büyüklüklerin çarpımının matematiksel beklentisi.

Bu anın teoride önemli bir rol oynaması nedeniyle, buna özel bir notasyon sunuyoruz:

. (8.6.7)

Karakteristik, rastgele değişkenlerin korelasyon momenti (aksi takdirde “bağlantı anı”) olarak adlandırılır.

Süreksiz rastgele değişkenler için korelasyon momenti aşağıdaki formülle ifade edilir:

, (8.6.8)

ve sürekli olanlar için - formüle göre

. (8.6.9)

Bu özelliğin anlamını ve amacını öğrenelim.

Korelasyon momenti, değişkenlerin dağılımına ek olarak aralarındaki bağlantıyı da tanımlayan rastgele değişkenler sisteminin bir özelliğidir. Bunu doğrulamak için bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon momentinin sıfıra eşit olduğunu kanıtlayalım.

Sürekli rastgele değişkenlerin ispatını yapacağız. Dağılım yoğunluğuna sahip bağımsız sürekli nicelikler olsun. 8.5'te bağımsız büyüklükler için şunu kanıtladık:

. (8.6.10)

burada , sırasıyla ve değerlerinin dağılım yoğunluklarıdır.

(8.6.10) ifadesini formül (8.6.9)'a yerleştirdiğimizde, integralin (8.6.9) iki integralin çarpımına dönüştüğünü görüyoruz:

.

İntegral

miktarın ilk merkezi momentinden başka bir şeyi temsil etmez ve bu nedenle sıfıra eşittir; aynı nedenle ikinci faktör de sıfırdır; bu nedenle bağımsız rastgele değişkenler için.

Dolayısıyla iki rastgele değişkenin korelasyon momentinin sıfırdan farklı olması aralarında bir bağımlılığın varlığının işaretidir.

Formül (8.6.7)'den korelasyon momentinin sadece miktarların bağımlılığını değil aynı zamanda dağılımını da karakterize ettiği açıktır. Gerçekten de, örneğin büyüklüklerden biri matematiksel beklentisinden çok az saparsa (neredeyse rastgele değil), o zaman nicelikler ne kadar yakından ilişkili olursa olsun korelasyon momenti küçük olacaktır. Bu nedenle, nicelikler arasındaki ilişkiyi saf haliyle karakterize etmek için andan boyutsuz özelliğe geçiyoruz.

burada değerlerin standart sapmaları, . Bu özelliğe büyüklüklerin korelasyon katsayısı denir ve. Açıkçası, korelasyon katsayısı korelasyon momentiyle eş zamanlı olarak sıfıra gider; bu nedenle bağımsız rastgele değişkenler için korelasyon katsayısı sıfırdır.

Korelasyon momentinin (ve dolayısıyla korelasyon katsayısının) sıfıra eşit olduğu rastgele değişkenler, ilişkisiz (bazen "ilişkisiz") olarak adlandırılır.

İlişkisiz rastgele değişkenler kavramının bağımsızlık kavramına eşdeğer olup olmadığını öğrenelim. Yukarıda iki bağımsız rastgele değişkenin her zaman korelasyonsuz olduğunu kanıtladık. Geriye şu soru kalıyor: Tersi doğru mu, bağımsızlıkları miktarların korelasyonsuzluğundan mı kaynaklanıyor? Görünüşe göre - hayır. İlişkisiz fakat bağımlı olan bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür. Korelasyon katsayısının sıfıra eşit olması rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı onların korelasyonsuz olduğu anlamına gelir; tam tersine niceliklerin korelasyonsuz olması onların mutlaka bağımsız olduğu anlamına gelmez. Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı koşulu, korelasyonsuzluk koşulundan daha katıdır.

Bunu bir örnekle görelim. Merkezi orijinde olan yarıçaplı bir daire içinde eşit yoğunlukta dağılmış bir rastgele değişkenler sistemi düşünelim (Şekil 8.6.1).

Değerlerin dağılım yoğunluğu formülle ifade edilir

durumdan buluyoruz.

Bu örnekte miktarların bağımlı olduğunu görmek kolaydır. Gerçekten de, eğer bir miktar, örneğin 0 değerini alırsa, o zaman miktarın eşit olasılıkla ile arasındaki tüm değerleri alabileceği hemen açıktır; miktar değerini almışsa, o zaman miktar yalnızca tek bir değer alabilir, tam olarak sıfıra eşit; genel olarak olası değerlerin aralığı hangi değere bağlıdır.

Bu miktarların birbiriyle ilişkili olup olmadığına bakalım. Korelasyon momentini hesaplayalım. Simetri nedeniyle şunu elde ettiğimizi akılda tutarak:

. (8.6.12)

İntegrali hesaplamak için entegrasyon alanını (daire) dört koordinat açısına karşılık gelen dört sektöre böleriz. Sektörlerde ve integral pozitif, sektörlerde negatif; mutlak değerde bu sektörler üzerindeki integraller eşittir; bu nedenle integral (8.6.12) sıfıra eşittir ve nicelikler birbiriyle ilişkili değildir.

Dolayısıyla rastgele değişkenlerin korelasyonsuz doğasının her zaman bağımsız oldukları anlamına gelmediğini görüyoruz.

Korelasyon katsayısı herhangi bir bağımlılığı değil, yalnızca sözde doğrusal bağımlılığı karakterize eder. Rastgele değişkenlerin doğrusal olasılıksal bağımlılığı, bir rastgele değişken arttığında diğerinin doğrusal bir yasaya göre artma (veya azalma) eğiliminde olmasıdır. Doğrusal bağımlılığa yönelik bu eğilim az ya da çok belirgin olabilir, az ya da çok işlevselliğe, yani en yakın doğrusal bağımlılığa yaklaşabilir. Korelasyon katsayısı, rastgele değişkenler arasındaki doğrusal ilişkinin yakınlık derecesini karakterize eder. Rastgele değişkenler tam bir doğrusal fonksiyonel ilişkiyle ilişkiliyse:

sonra , katsayının pozitif ya da negatif olmasına göre “artı” ya da “eksi” işareti alınır. Genel durumda, ve miktarları keyfi bir olasılıksal bağımlılıkla ilişkili olduğunda, korelasyon katsayısı aşağıdaki sınırlar dahilinde bir değere sahip olabilir: yalnızca değişim aralığı değişir ve ortalama değeri değişmez; Doğal olarak miktarların korelasyonsuz olduğu ortaya çıkıyor.

Pirinç. 8.6.2 Şekil.8.6.3

Pozitif ve negatif korelasyona sahip rastgele değişkenlere birkaç örnek verelim.

1. Bir kişinin kilosu ve boyu pozitif yönde ilişkilidir.

2. Cihazı çalışmaya hazır hale getirmek için harcanan zaman ile sorunsuz çalışma süresi pozitif bir korelasyonla ilişkilidir (tabii ki zaman akıllıca harcanırsa). Aksine, hazırlık için harcanan zaman ile cihazın çalışması sırasında tespit edilen arıza sayısı arasında negatif korelasyon vardır.

3. Bir salvoda ateş ederken, bireysel mermilerin çarpma noktalarının koordinatları pozitif bir korelasyonla bağlanır (çünkü tüm atışlarda ortak olan ve her birini hedeften eşit şekilde saptıran hedefleme hataları vardır).

4. Hedefe iki el ateş edilir; İlk atışın çarpma noktası kaydedilir ve ilk atıştaki hatayla orantılı olarak görüşe ters işaretli bir düzeltme uygulanır. Birinci ve ikinci atışların çarpma noktalarının koordinatları negatif olarak ilişkilendirilecektir.

Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem üzerinde yapılan bir dizi deneyin sonuçlarına sahipsek, bunlar arasında anlamlı bir korelasyonun varlığı veya yokluğu, tüm rastgele değişken değer çiftlerinin yer aldığı bir grafikle ilk yaklaşımla kolayca değerlendirilebilir. ​​Deneyden elde edilenler noktalar olarak gösterilmiştir. Örneğin, gözlenen miktar değeri çiftleri Şekil 2'de gösterildiği gibi konumlandırılmışsa. 8.6.2, o zaman bu, miktarlar arasında açıkça ifade edilen pozitif bir korelasyonun varlığını gösterir. Şekil 2'de doğrusal fonksiyonel bağımlılığa yakın, daha da belirgin bir pozitif korelasyon gözlenmektedir. 8.6.3. Şek. Şekil 8.6.4 nispeten zayıf bir negatif korelasyon durumunu göstermektedir. Son olarak, Şekil 2'de. 8.6.5 pratik olarak ilişkisiz rastgele değişkenlerin durumunu göstermektedir. Uygulamada, rastgele değişkenlerin korelasyonunu incelemeden önce, korelasyon türü hakkında ilk nitel yargıya varmak için ilk önce gözlemlenen değer çiftlerini bir grafik üzerinde çizmek her zaman yararlıdır.

AZERBAYCAN CUMHURİYETİ BİLİM VE TEKNOLOJİ DEVLET KOMİTESİ

BAKÜ ARAŞTIRMA VE EĞİTİM MERKEZİ

ÇOCUK CERRAHİSİ ANABİLİM DALI LİSANSÜSTÜ ÖĞRENCİSİ

AMU, N. NARIMANOV'un adını aldı

MUHTAROVA EMİL GASAN oğlu

KORELASYON ANLARI. KATSAYIS KORELASYON

GİRİİŞ

Olasılık teorisi rastgele olaylardaki kalıpları inceleyen bir matematik bilimidir.

Rastgele olaylarla kastedilen nedir?

Fiziksel ve teknik problemlerin bilimsel incelenmesinde, genellikle rastgele olarak adlandırılan özel tipteki olaylarla sıklıkla karşılaşılır. Rastgele fenomen- Bu, aynı deneyim tekrar tekrar tekrarlandığında biraz farklı ilerleyen bir olgudur.

Rastgele bir olaya örnek verelim.

Aynı vücut analitik terazide birkaç kez tartılır: tekrarlanan tartımların sonuçları birbirinden biraz farklıdır. Bu farklılıklar, ekipmanın rastgele titreşimleri, cihazın okunmasındaki hatalar vb. gibi tartım işlemine eşlik eden çeşitli ikincil faktörlerin etkisinden kaynaklanmaktadır.

Doğada rastgelelik unsurlarının şu ya da bu derecede mevcut olmadığı tek bir fiziksel olgunun olmadığı açıktır. Deney koşulları ne kadar doğru ve ayrıntılı olarak sabitlenirse sabitlensin, deney tekrarlandığında sonuçların tam ve tam olarak örtüşmesini sağlamak imkansızdır.

Kazalar kaçınılmaz olarak herhangi bir doğal olaya eşlik eder. Bununla birlikte, bir dizi pratik problemde, gerçek bir olay yerine basitleştirilmiş diyagramı dikkate alındığında bu rastgele unsurlar ihmal edilebilir. modeli ve verilen deneysel koşullar altında olayın çok kesin bir şekilde meydana geldiğini varsayıyoruz. Aynı zamanda, bu olguyu etkileyen sayısız faktör arasından en önemli, temel ve belirleyici olanlar seçilmiştir. Diğer küçük faktörlerin etkisi basitçe ihmal edilir. Belirli bir teori çerçevesinde kalıpları incelerken, belirli bir olguyu etkileyen ana faktörler, söz konusu teorinin işlediği kavram veya tanımlara dahil edilir.

Herhangi bir olay yelpazesine ilişkin genel bir teori geliştiren herhangi bir bilim gibi, olasılık teorisi de dayandığı bir dizi temel kavramı içerir. Doğal olarak, bir kavramı tanımlamak onu daha iyi bilinen diğer kavramlara indirgemek anlamına geldiğinden, tüm temel kavramlar kesin olarak tanımlanamaz. Bu süreç sınırlı olmalı ve yalnızca açıklanan temel kavramlarla bitmelidir.

Olasılık teorisindeki ilk kavramlardan biri olay kavramıdır.

Altında etkinlik deneyim sonucu oluşabilecek veya oluşmayabilecek her türlü olguyu ifade eder.

Olaylara örnekler verelim.

A - bir erkek veya kızın doğumu;

B - bir satranç oyununda bir veya daha fazla açılışın seçimi;

C - bir veya başka bir burç işaretine ait.

Yukarıdaki olaylar göz önüne alındığında, her birinin bir dereceye kadar olasılığa sahip olduğunu görüyoruz: Bazıları daha fazla, diğerleri daha az. Olayları olasılık derecesine göre niceliksel olarak karşılaştırabilmek için, elbette her olayla belli bir sayıyı ilişkilendirmek gerekir ki o sayı ne kadar büyükse olay o kadar olasıdır. Bu sayıya bir olayın olasılığı denir. Dolayısıyla bir olayın olasılığı, bir olayın nesnel olasılık derecesinin sayısal bir özelliğidir.

Olasılık birimi, 1'e eşit güvenilir bir olayın olasılığı olarak alınır ve herhangi bir olayın olasılığındaki değişiklik aralığı, 0'dan 1'e kadar bir sayıdır.

Olasılık genellikle P harfiyle gösterilir.

Shakespeare'in Hamlet'indeki ebedi problemin örneğine bakalım: "Olmak ya da olmamak?" Bir olayın olasılığını nasıl belirleyebilirsiniz?

Bir kişinin, bir nesnenin ve herhangi başka bir olgunun iki durumdan birinde olabileceği ve daha fazla olamayacağı oldukça açıktır: mevcudiyet ("olmak") ve yokluk ("olmamak"). Yani iki olası olay var ama yalnızca biri gerçekleşebilir. Bu, örneğin var olma olasılığının 1/2 olduğu anlamına gelir.

Olay ve olasılık kavramının yanı sıra olasılık teorisinin temel kavramlarından biri de rastgele değişken kavramıdır.

Rastgele değişken deney sonucunda şu veya bu değeri alabilen ve hangisi olduğu önceden bilinmeyen bir niceliktir.

Yalnızca birbirinden ayrı olan ve önceden listelenebilen değerleri alan rastgele değişkenlere denir. sürekli veya ayrık rastgele değişkenler.

Örneğin:

1. Hayatta kalan ve ölen hasta sayısı.

2. Gecede hastaneye başvuran hastaların toplam çocuk sayısı.

Olası değerleri sürekli olarak belirli bir aralığı dolduran rastgele değişkenlere denir sürekli rastgele değişkenler.

Örneğin analitik terazide tartım hatası.

Modern olasılık teorisinin, "klasik" olasılık teorisinin esas olarak dayandığı olaylardan ziyade, öncelikle rastgele değişkenlerle çalıştığını unutmayın.

KORELASYON ANLARI. KORELASYON KATSAYISI.

Korelasyon momentleri, korelasyon katsayısı - bunlar yukarıda tanıtılan rastgele değişken kavramıyla veya daha doğrusu rastgele değişkenler sistemiyle yakından ilişkili sayısal özelliklerdir. Bu nedenle, anlamlarını ve rollerini tanıtmak ve tanımlamak için, rastgele değişkenler sistemi kavramını ve bunların doğasında bulunan bazı özellikleri açıklamak gerekir.

Bir olguyu tanımlayan iki veya daha fazla rastgele değişkene denir. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem veya kompleks.

Birkaç rastgele değişken X, Y, Z, …, W'den oluşan bir sistem genellikle (X, Y, Z, …, W) ile gösterilir.

Örneğin, düzlemdeki bir nokta bir koordinatla değil iki koordinatla ve uzayda hatta üç koordinatla tanımlanır.

Birkaç rastgele değişkenden oluşan bir sistemin özellikleri, sisteme dahil edilen bireysel rastgele değişkenlerin özellikleriyle sınırlı değildir, aynı zamanda rastgele değişkenler arasındaki karşılıklı bağlantıları (bağımlılıkları) da içerir. Bu nedenle, rastgele değişkenlerden oluşan bir sistem incelenirken bağımlılığın doğasına ve derecesine dikkat edilmelidir. Bu bağımlılık az çok belirgin, az çok yakın olabilir. Ve diğer durumlarda rastgele değişkenlerin pratik olarak bağımsız olduğu ortaya çıkar.

Rastgele değişken Y denir bağımsız Y rastgele değişkeninin dağılım yasası, X değişkeninin hangi değeri aldığına bağlı değilse, bir X rastgele değişkeninden.

Rastgele değişkenlerin bağımlılığının ve bağımsızlığının her zaman ortak bir olgu olduğuna dikkat edilmelidir: Eğer Y, X'e bağlı değilse, o zaman X değeri de Y'ye bağlı değildir. Bunu hesaba katarak, bağımsızlığın aşağıdaki tanımını verebiliriz. rastgele değişkenlerden oluşur.

Rastgele değişkenler X ve Y, her birinin dağılım yasası diğerinin hangi değeri aldığına bağlı değilse bağımsız olarak adlandırılır. Aksi halde X ve Y değerlerine denir bağımlı.

Dağıtım kanunu Rastgele değişken, rastgele bir değişkenin olası değerleri ile bunlara karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.

Olasılık teorisinde kullanılan rastgele değişkenlerin "bağımlılığı" kavramı, matematikte kullanılan alışılagelmiş değişkenlerin "bağımlılığı" kavramından biraz farklıdır. Bu nedenle, bir matematikçi "bağımlılık" ile yalnızca tek bir tür bağımlılık anlamına gelir - tam, katı, sözde işlevsel bağımlılık. Birinin değerini bilerek diğerinin değerini doğru bir şekilde belirleyebiliyorsanız, iki X ve Y miktarına işlevsel olarak bağımlı denir.

Olasılık teorisinde biraz farklı bir bağımlılık türü vardır: olasılıksal bağımlılık. Y değeri X değeriyle olasılıksal bir bağımlılıkla ilişkiliyse, o zaman X'in değerini bilerek Y'nin değerini doğru bir şekilde belirtmek imkansızdır, ancak X değerinin hangi değere sahip olduğuna bağlı olarak dağıtım yasasını belirtebilirsiniz. alınmış.

Olasılıksal ilişki az ya da çok yakın olabilir; Olasılıksal bağımlılığın sıkılığı arttıkça fonksiyonel bağımlılığa daha da yakınlaşır. Dolayısıyla fonksiyonel bağımlılık, en yakın olasılıksal bağımlılığın aşırı, sınırlayıcı bir durumu olarak düşünülebilir. Bir diğer uç durum ise rastgele değişkenlerin tam bağımsızlığıdır. Bu iki uç durum arasında olasılıksal bağımlılığın en güçlüsünden en zayıfına kadar tüm dereceleri yer alır.

Rastgele değişkenler arasındaki olasılıksal bağımlılıkla pratikte sıklıkla karşılaşılır. Rastgele değişkenler X ve Y olasılıksal bir ilişki içindeyse bu, X'in değerindeki bir değişiklikle Y'nin değerinin tamamen belirli bir şekilde değişeceği anlamına gelmez; bu sadece X'in değerindeki bir değişiklikle Y'nin değerinin değişeceği anlamına gelir

aynı zamanda değişme eğilimindedir (X arttıkça artar veya azalır). Bu eğilim yalnızca genel anlamda gözlenmektedir ve her bireysel durumda bundan sapmalar mümkündür.

Olasılıksal bağımlılık örnekleri.

Peritonitli bir hastayı rastgele seçelim. Rastgele değişken T hastalığın başlangıcından itibaren geçen süredir, rastgele değişken O ise homeostatik bozuklukların düzeyidir. T değeri O değerini belirleyen en önemli sebeplerden biri olduğundan bu değerler arasında net bir ilişki vardır.

Aynı zamanda, rastgele değişken T ile belirli bir patolojideki mortaliteyi yansıtan rastgele değişken M arasında daha zayıf bir olasılıksal ilişki vardır, çünkü rastgele değişken O rastgele değişkenini etkilemesine rağmen ana belirleyici değildir.

Üstelik T değerini ve B değerini (cerrahın yaşı) dikkate alırsak, bu değerler pratik olarak bağımsızdır.

Şu ana kadar rastgele değişken sistemlerinin özelliklerini sadece sözel açıklama yaparak tartıştık. Bununla birlikte, hem bireysel rastgele değişkenlerin hem de rastgele değişkenler sisteminin özelliklerinin incelendiği sayısal özellikler vardır.

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemi tanımlamak için, bileşenlerin matematiksel beklentilerine ve varyanslarına ek olarak, aşağıdakileri içeren diğer özellikler kullanılır: korelasyon anı Ve korelasyon katsayısı(T.8.p.8.6'nın sonunda kısaca bahsedilmiştir) .

Korelasyon anı(veya kovaryans, veya bağlantı anı) iki rastgele değişken X Ve e m.o.'yu aradım bu miktarların sapmalarının çarpımı (bkz. eşitlik (5) madde 8.6):

Sonuç 1. Korelasyon anı için r.v. X Ve e aşağıdaki eşitlikler de geçerlidir:

,

karşılık gelen merkezi r.v. X Ve e (bkz. madde 8.6.).

Bu durumda: eğer
iki boyutlu bir d.s.v. ise kovaryans aşağıdaki formülle hesaplanır:

(8)
;

Eğer
iki boyutlu bir n.s.v. ise kovaryans aşağıdaki formülle hesaplanır:

(9)

Formüller (8) ve (9), madde 12.1'deki formüller (6) temel alınarak elde edildi. Hesaplamalı bir formül var

(10)

tanım (9)'dan türetilen ve aslında MO'nun özelliklerine dayanan,

Sonuç olarak, formüller (36) ve (37) şu şekilde yeniden yazılabilir:

(11)
;

Korelasyon momenti, nicelikler arasındaki ilişkiyi karakterize etmeye yarar. X Ve e.

Aşağıda gösterileceği gibi, eğer korelasyon momenti sıfıra eşitse X Ve e öyle bağımsız;

Bu nedenle korelasyon momenti sıfıra eşit değilse, o zamanXVeebağımlı rastgele değişkenlerdir.

Teorem 12.1.İki bağımsız rastgele değişkenin korelasyon momentiXVeesıfıra eşittir, yani bağımsız r.v. içinXVee,

Kanıt.Çünkü X Ve e bağımsız rastgele değişkenler, ardından bunların sapmaları

Ve

T aynı zamanda bağımsız. Matematiksel beklentinin özelliklerini kullanma (bağımsız rvs ürününün matematiksel beklentisi, faktörlerin matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir)
,
, Bu yüzden

Yorum. Bu teoremden şu sonuç çıkar:
sonra s.v. X Ve e bağımlı ve bu gibi durumlarda r.v. X Ve e isminde ilişkili. Ancak şu gerçeğinden yola çıkarak
bağımsızlığı takip etmiyor r.v. X Ve e.

Bu durumda (
s.v. X Ve e isminde ilişkisiz, Böylece bağımsızlıktan şu sonuç çıkar: ilişkisiz; bunun tersi ifade genel olarak yanlıştır (aşağıdaki örnek 2'ye bakın).

Korelasyon momentinin temel özelliklerini ele alalım.

Ckovaryans özellikleri:

1. Kovaryans simetriktir, yani.
.

Bu doğrudan formül (38)'den kaynaklanmaktadır.

2. Eşitlikler var: yani. dağılım r.v. kendisiyle olan kovaryansıdır.

Bu eşitlikler doğrudan sırasıyla dağılım ve eşitlik (38) tanımlarından kaynaklanmaktadır:

3. Aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:

Bu eşitlikler r.v.'nin varyans ve kovaryansının tanımından türetilmiştir.
Ve , özellikler 2.

Dağılımın tanımı gereği (r.v.'nin merkeziliği dikkate alınarak)
) sahibiz

Şimdi (33) ve 2 ve 3 numaralı özelliklere dayanarak, ilk (artı işaretli) özellik 3'ü elde ederiz.

Benzer şekilde, özellik 3'ün ikinci kısmı eşitlikten türetilir.

4. İzin vermek
sabit sayılar,
o zaman eşitlikler geçerlidir:

Genellikle bu özelliklere argümanlarda birinci dereceden homojenlik ve periyodiklik özellikleri denir.

İlk eşitliği kanıtlayalım ve m.o.'nun özelliklerini kullanalım.
.

Teorem 12.2.Mutlak değeriki keyfi rastgele değişkenin korelasyon momentiXVeevaryanslarının geometrik ortalamasını aşmaz: yani.

Kanıt. Bağımsız r.v. için şunu unutmayın. eşitsizlik geçerlidir (bkz. Teorem 12.1.). Öyleyse r.v.'ye izin ver. X Ve e bağımlı. Standart r.v.'yi ele alalım.
Ve
ve r.v.'nin dağılımını hesaplayın.
Özellik 3'ü hesaba katarsak, bir yandan:
Diğer tarafta

Bu nedenle, şu gerçeği dikkate alarak
Ve - normalleştirilmiş (standartlaştırılmış) r.v., sonra onlar için m.o. sıfıra eşittir ve varyans 1'e eşittir, bu nedenle m.o.'nun özelliği kullanılır.
aldık

ve bu nedenle, şu gerçeğe dayanarak
aldık

Şunu takip ediyor:

=

Bu ifade kanıtlanmıştır.

Kovaryansın tanımı ve özelliklerinden, bunun hem r.v'nin bağımlılık derecesini hem de bunların bir nokta etrafındaki saçılımını karakterize ettiği sonucu çıkar.
Kovaryans boyutu rastgele değişkenlerin boyutlarının çarpımına eşittir X Ve e. Başka bir deyişle, korelasyon momentinin büyüklüğü rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlıdır. Bu nedenle aynı iki nicelik için X Ve e, korelasyon momentinin büyüklüğü, değerlerin ölçüldüğü birimlere bağlı olarak farklı değerlere sahip olacaktır.

Örneğin, X Ve e santimetre cinsinden ölçüldü ve
; eğer ölçülürse X Ve e milimetre cinsinden, o zaman
Korelasyon momentinin bu özelliği, bu sayısal özelliğin dezavantajıdır, çünkü farklı rastgele değişken sistemlerinin korelasyon momentlerinin karşılaştırılması zorlaşır.

Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için yeni bir sayısal özellik getirildi - “ korelasyon katsayısı».

Korelasyon katsayısı
rastgele değişkenler
Ve korelasyon momentinin bu büyüklüklerin standart sapmalarının çarpımına oranı denir:

(13)
.

Boyuttan beri
miktarların boyutlarının çarpımına eşit
Ve ,
büyüklükte bir boyuta sahiptir
σ sen büyüklükte bir boyuta sahiptir , O
yalnızca bir sayıdır (ör. " boyutsuz miktar"). Dolayısıyla korelasyon katsayısının değeri r.v.'nin ölçüm birimlerinin seçimine bağlı değildir; avantaj Korelasyon anından önceki korelasyon katsayısı.

T.8'de. Madde 8.3'te kavramı tanıttık normalleştirilmiş s.v.
, formül (18) ve teoremin kanıtlandığı gibi
Ve
(Ayrıca bkz. Teorem 8.2.). Burada aşağıdaki ifadeyi kanıtlıyoruz.

Teorem 12.3.İçin herhangi iki rastgele değişken
Ve eşitlik doğrudur
.Başka bir deyişle korelasyon katsayısı
herhangi iki tanesi.V.XVeekarşılık gelen normalleştirilmişlerin korelasyon momentine eşit s.v.
Ve .

Kanıt. Normalleştirilmiş rastgele değişkenlerin tanımı gereği
Ve

Ve
.

Matematiksel beklentinin özelliğini ve eşitliği (40) dikkate alarak elde ederiz

Bu ifade kanıtlanmıştır.

Korelasyon katsayısının yaygın olarak karşılaşılan bazı özelliklerine bakalım.

Korelasyon katsayısının özellikleri:

1. Mutlak değerdeki korelasyon katsayısı 1'i geçmez;

Bu özellik doğrudan formül (41)'den gelir - korelasyon katsayısının tanımı ve Teorem 13.5. (bkz. eşitlik (40)).

2. Rastgele değişkenler ise
Ve bağımsızdır, mevcut korelasyon katsayısı sıfırdır, yani.
.

Bu özellik eşitliğin (40) ve Teorem 13.4'ün doğrudan sonucudur.

Aşağıdaki özelliği ayrı bir teorem olarak formüle edelim.

Teorem 12.4.

Eğer r.v.
Ve doğrusal bir işlevsel bağımlılıkla birbirine bağlanır, yani.
O
aynı zamanda

Ve tam tersine eğer
, O s.v.
Ve doğrusal bir fonksiyonel bağımlılıkla birbirine bağlanır, yani. sabitler var
Veeşitlik geçerli olacak şekilde

Kanıt.İzin vermek
Daha sonra Kovaryansın 4. özelliğine dayanarak,

ve o zamandan beri, bu nedenle

Buradan,
. Tek yönde eşitlik elde edilir. Daha fazla izin ver
, Daha sonra

iki durum dikkate alınmalıdır: 1)
ve 2)
O halde ilk durumu ele alalım. Daha sonra tanım gereği
ve dolayısıyla eşitlikten
, Nerede
.
Bizim durumumuzda

=
,

, dolayısıyla eşitlikten (Teorem 13.5'in ispatına bakınız.)
bunu anladık
, Araç
sabittir. Çünkü
ve o zamandan beri

.

Gerçekten mi,

.

Buradan,
Benzer şekilde, şunun için gösterilmiştir:

,
.

gerçekleşir (kendiniz kontrol edin!)

Bazı sonuçlar:
Ve 1. Eğer

bağımsızlar.v., o zaman
Ve 2. Eğer r.v.
.

birbiriyle doğrusal olarak ilişkilidir, o zaman
:

3. Diğer durumlarda
Ve Bu durumda r.v. birbirine bağlı pozitif korelasyon,
Eğer
vakalarda negatif korelasyon
. daha yakın
Ve birinciye göre, r.v.'ye inanmak için daha fazla neden var.

doğrusal bir ilişkiyle birbirine bağlıdır. korelasyon matrisi:

.

Açıkçası, korelasyon matrisinin determinantı şunları sağlar:

Daha önce belirtildiği gibi, eğer iki rastgele değişken bağımlıysa, o zaman şöyle olabilirler: ilişkili, Bu yüzden ilişkisiz. Başka bir deyişle, iki bağımlı büyüklüğün korelasyon momenti şu şekilde ifade edilebilir: sıfıra eşit değil ama belki sıfıra eşit.

Örnek 1. Ayrık bir r.v.'nin dağıtım yasası tabloda verilmiştir.

Korelasyon katsayısını bulun

Çözüm. Bileşenlerin dağılım yasalarını bulma
Ve :

Şimdi m.o'yu hesaplayalım. bileşenler:

Bu değerler r.v. dağılım tablosuna göre bulunabilir.

Aynı şekilde,
kendin bul.

Bileşenlerin varyanslarını hesaplayalım ve hesaplama formülünü kullanalım:

Bir dağıtım yasası oluşturalım
ve sonra buluyoruz
:

Dağıtım yasası tablosunu derlerken aşağıdaki adımları gerçekleştirmelisiniz:

1) olası tüm ürünlerin yalnızca farklı anlamlarını bırakın
.

2) belirli bir değerin olasılığını belirlemek
, gerek

Ana tablonun kesişiminde bulunan ve belirli bir değerin ortaya çıkmasını destekleyen tüm karşılık gelen olasılıkları toplayın.

Örneğimizde r.v. yalnızca üç farklı değer alır
. Burada ilk değer (
) ürüne karşılık gelir
ikinci satırdan ve
ilk sütundan, yani kesişme noktalarında bir olasılık numarası var
benzer şekilde

birinci satır ve birinci sütunun kesişim noktalarında bulunan olasılıkların sırasıyla (0,15; 0,40; 0,05) ve bir değerin toplamından elde edilen
ikinci sıra ile ikinci sütunun kesiştiği noktada ve son olarak,
, ikinci satır ile üçüncü sütunun kesiştiği noktadadır.

Tablomuzdan şunları buluyoruz:

Korelasyon momentini formül (38) kullanarak buluyoruz:

Formül (41)'i kullanarak korelasyon katsayısını bulun

Yani negatif bir korelasyon.

Egzersiz yapmak. Ayrık r.v.'nin dağıtım yasası. tablo tarafından verilen

Korelasyon katsayısını bulun

İki tanenin olduğu bir örneğe bakalım bağımlı rastgele değişkenler olabilir ilişkisiz.

Örnek 2.İki boyutlu rastgele değişken
) yoğunluk fonksiyonu tarafından verilir

Hadi bunu kanıtlayalım
Ve bağımlı , Ancak ilişkisiz rastgele değişkenler.

Çözüm. Bileşenlerin önceden hesaplanan dağılım yoğunluklarını kullanalım
Ve :

O zamandan beri
Ve bağımlı miktarlar. Kanıtlamak ilişkisiz
Ve olduğundan emin olmak yeterlidir

Aşağıdaki formülü kullanarak korelasyon momentini bulalım:

Diferansiyel fonksiyondan beri
eksene göre simetrik OY, O
benzer şekilde
simetri nedeniyle
eksene göre ÖKÜZ. Bu nedenle sabit bir çarpanı çıkarmak

İç integral sıfıra eşittir (integrand tektir, integralin sınırları orijine göre simetriktir), dolayısıyla,
yani bağımlı rastgele değişkenler
Ve birbiriyle ilişkili değildir.

Yani, iki rastgele değişkenin korelasyonundan bağımlılıkları ortaya çıkar, ancak korelasyonsuzluktan bu değişkenlerin bağımsız olduğu sonucuna varmak hala imkansızdır.

Ancak normal dağılmış r.v. böyle bir sonuç var hariç onlar. itibaren ilişkisiz normal dağılmış s.v. onları dışarı akıtıyor bağımsızlık.

Bir sonraki paragraf bu konuya ayrılmıştır.

Kovaryans ve korelasyon katsayısı.

Rastgele değişkenler arasında fonksiyonel veya stokastik (olasılıksal) bir ilişki olabilir. Stokastik bağımlılık, bir rastgele değişkenin koşullu dağılım yasasının, başka bir rastgele değişken tarafından kabul edilen değerlere bağlı olarak değişmesiyle ortaya çıkar. İki rastgele değişkenin stokastik bağımlılığının özelliklerinden biri kovaryans rastgele değişkenler.

Kovaryans rastgele değişkenler ( X,e) rastgele değişkenlerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisine eşit bir sayıdır X Ve e matematiksel beklentilerinizden:

Bazen kovaryans denir korelasyon anı veya ikinci karışık merkezi an rastgele değişkenler ( X,e).

Matematiksel beklentinin tanımını kullanarak şunu elde ederiz:

ayrık dağıtım için

sürekli dağıtım için

Şu tarihte: e= X kovaryans varyansla aynıdır X.

Korelasyon momentinin büyüklüğü rastgele değişkenlerin ölçüm birimlerine bağlıdır. Bu, farklı rastgele değişken sistemlerinin korelasyon momentlerini karşılaştırmayı zorlaştırır. Bu dezavantajı ortadan kaldırmak için yeni bir sayısal özellik tanıtıldı: korelasyon katsayısı, hangisi

boyutsuz miktar.

Bunu hesaplamak için, rastgele değişkenlerin matematiksel beklentilerden sapmalarını normalleştirilmiş sapmalarla değiştiririz;

Korelasyon katsayısının özellikleri:

İzin vermek T - matematiksel analiz anlamında bir değişken. Rastgele değişkenin varyansını düşünün D(Y – tX) bir değişkenin fonksiyonu olarak T.

Dağılma özelliğine göre. Bu durumda diskriminantın sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olması gerekir;

Bunu nereden alıyoruz?

2. Korelasyon katsayısının modülü rastgele değişkenlerin doğrusal dönüşümleri sırasında değişmez: burada , , keyfi sayılardır.

3. ancak ve ancak rastgele değişkenler varsa X Ve e doğrusal olarak bağlanır, yani böyle sayılar var a, b, Ne .

Eğer öyleyse, o zaman paragraf 1'de dikkate alınan diskriminant sıfıra eşittir ve bu nedenle bazı değerler için . Bu nedenle değer ve bazıları için İLE Kanıtlanması gereken eşitlik doğrudur.

4. Eğer X Ve e istatistiksel olarak bağımsızdır, o halde .

Özellikler 2.4 doğrudan doğrulanır.

4.5.2. Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin korelasyonu ve bağımlılığı.

Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı için gerekli bir koşul X Ve e korelasyon momentlerinin (veya korelasyon katsayısının) sıfıra eşitliğidir. Ancak eşitlik (veya ) bağımsızlık için yalnızca gerekli ancak yeterli olmayan bir koşuldur.

Örnek 1.

Şekil bir parabol üzerinde bulunan noktaları göstermektedir , A .

Bu bağlamda, ilişkisiz (if) veya ilişkili (if) rastgele değişkenlere ilişkin daha dar bir kavram tanıtılmıştır. Bu yüzden Rastgele değişkenlerin bağımsızlığı aynı zamanda korelasyon olmaması anlamına da gelir() ve bunun tersi olarak, korelasyon () – bağımlılık.

Genel durumda, (X,Y) noktaları çizginin etrafına dağılacağında, değer ne kadar yakın olursa o kadar büyük olur. Böylece korelasyon katsayısı şunu karakterize eder: hiç değil arasındaki ilişki X Ve e, A doğrusal ilişkinin sıkılık derecesi aralarında.

Yani, özellikle ile bile, yani. arasında doğrusal bir ilişkinin tamamen yokluğunda X Ve eİsteğe bağlı olarak güçlü bir istatistiksel ve hatta doğrusal olmayan fonksiyonel bağımlılık mevcut olabilir (bkz. örnek 1).

Değerler arasında pozitif bir korelasyon gösterdiğinde X Ve e Bu, her iki değişkenin de aynı artma veya azalma eğilimine sahip olduğu anlamına gelir. Negatif bir korelasyondan bahsettiklerinde, yani rastgele değişkenlerdeki değişikliklerdeki ters eğilim anlamına gelir X Ve e yani biri artar diğeri azalır veya tam tersi.

Rastgele değişkenler ise X Ve e normal dağılmışsa, korelasyonsuzlukları bağımsızlıklarını ima eder, çünkü

Eğer öyleyse.

Korelasyon katsayısını hesaplamak için Örnek 2'ye §4.1'den devam ediyoruz. Formülü kullanalım

.

M(X× e)=(-200)×(-100)×0,2 + (-200)×0×0,1 + (-200)×(100)×0,05 + 0×(-100)×0,05 + 0×0×0,25 + 0 ×100×0,02 + 200×(-100)×0,01 + 200×0×0,02 + 200×100×0,3 = 8800 ABD doları;

; ;

.

Örnek 2. İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin dağılım yasası dağılım tablosuyla verilmektedir.

X e
-1	0,01	0,06	0,05	0,04
	0,04	0,24	0,15	0,07
	0,05	0,01	0,01	0,09

Tek boyutlu (marjinal) dağılım yasalarını bulun X Ve e matematiksel beklentileri, varyansları ve aralarındaki korelasyon katsayıları X Ve e.

Çözüm. Ayrık bir rastgele değişkenin olası değerlerinin olasılıkları X Sisteme dahil edilenler aşağıdaki formülle belirlenir:

, İle=1, 2, 3, 4.

Bu nedenle miktarın tek boyutlu dağılımı X aşağıdaki forma sahiptir

Rastgele değişkenlerin matematiksel beklentileri X Ve e:

M(X)=1,6; M(e)=0,18.

Rastgele değişkenlerin varyansları X Ve e:

D(X)=0,84; D(e)=0,47.

Arasındaki korelasyon katsayısı X Ve e formülle hesaplanır

; ;

; ;

Kendi kendine test soruları.

1. Çok değişkenli bir rastgele değişken ve olasılık dağılım fonksiyonunu tanımlayın.

2. İki boyutlu bir ayrık rastgele değişkenin ortak dağılımına ne denir ( X,e)? Nasıl yazılır?

3. İki boyutlu bir rastgele değişkenin bilinen ortak dağılımına gelince ( X,e) bileşenlerin marjinal dağılımlarını bulun X Ve e?

4. Bileşenin koşullu dağılımına ne denir? X iki boyutlu ayrık miktar ( X,e)?

5. Kovaryans ne denir?

6. Korelasyon katsayısı nedir?

7. Korelasyon katsayısının özelliklerini belirtin.

8. Rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısı nedir? X Ve e = 1 – 2X?

9. İki rastgele değişkenin kovaryansı hangi değere dönüşür? X Ve e, Eğer X = e?

10. Bağımsızlık ve ilişkisizlik kavramları eşdeğer midir?

Görevler

4.1. Şehirdeki iki farklı pazarda üç tip araba satılıyor ( A, B, C). Aşağıda yıl içerisinde satılan otomobil sayısına ilişkin veriler yer almaktadır:

Aşağıdaki olasılıkları bulun: R(bir, bir), P(a, B), P(a, C), P(b, bir), P(b, B), P(b,C), P(A), P(a/a), P(a/a). Ortak olasılıklar tablosu oluşturun.

4.2. Belirli bir tesisteki tatilciler genellikle iş adamlarıdır ( B)veya serbest meslek sahibi insanlar ( P)(avukatlar, sanatçılar, doktorlar vb.). Bir tatil yerinin sahibi, tek reklam yerine iki tür reklam hazırlamanın kendisi için daha karlı olup olmayacağını belirlemek istiyor. Bunu yapmak için, reklam departmanına iki tür reklam hazırlaması talimatını verdi: biri işadamları için (tip I), diğeri serbest meslek mensupları için (tip II). Reklamlar hazırlandı, olası müşterilere materyaller gönderildi ve 800 başvuru alındı. Aşağıdaki gibi dağıtıldılar.

A). Olasılıkları bulun P(B, ben); P(B, II); P(G/B).

Bir olgunun diğeriyle ilişkili olduğunu söyleyen ifadeleri ne sıklıkla duydunuz?

"Gallup anket hizmetinden uzmanlara göre yüksek büyüme, iyi eğitim ve mutlulukla bağlantılı."

"Petrol fiyatı döviz kurlarıyla doğru orantılıdır."

"Egzersiz sonrası kas ağrısı, kas lifi hipertrofisi ile ilişkili değildir."

Öyle görünüyor ki “korelasyon” kavramı sadece bilimde değil, günlük yaşamda da yaygın olarak kullanılıyor. Korelasyon, iki rastgele olay arasındaki doğrusal ilişkinin derecesini yansıtır. Yani petrol fiyatları düşmeye başladığında doların ruble karşısındaki kuru da yükselmeye başlıyor.

Yukarıdakilerin hepsinden, iki boyutlu rastgele değişkenleri tanımlarken matematiksel beklenti, dağılım ve standart sapma gibi iyi bilinen özelliklerin bazen yetersiz olduğu sonucuna varabiliriz. Bu nedenle, bunları tanımlamak için sıklıkla çok önemli iki özellik daha kullanılır: kovaryans Ve korelasyon.

Kovaryans

Kovaryans$cov\left(X,\ Y\right)$ rastgele değişkenler $X$ ve $Y$, $X-M\left(X\right)$ ve $Y-M\left(Y) rastgele değişkenlerin çarpımının matematiksel beklentisidir \right)$, yani:

$$cov\left(X,\ Y\right)=M\left(\left(X-M\left(X\right)\right)\left(Y-M\left(Y\right)\right)\right). $$

Aşağıdaki formülü kullanarak $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin kovaryansını hesaplamak uygun olabilir:

$$cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right),$$

matematiksel beklentinin özelliklerini kullanarak ilk formülden elde edilebilir. Başlıcalarını listeleyelim kovaryans özellikleri.

1 . Bir rastgele değişkenin kendisiyle olan kovaryansı onun varyansıdır.

$$cov\left(X,\ X\right)=D\left(X\right).$$

2 . Kovaryans simetriktir.

$$cov\left(X,\ Y\right)=cov\left(Y,\ X\right).$$

3 . Eğer $X$ ve $Y$ rastgele değişkenleri bağımsızsa, o zaman:

$$cov\left(X,\ Y\right)=0.$$

4 . Sabit faktör kovaryans işaretinden çıkarılabilir.

$$cov\left(cX,\ Y\right)=cov\left(X,\ cY\right)=c\cdot cov\left(X,\ Y\right).$$

5 . Rastgele değişkenlerden birine (veya aynı anda ikisine) sabit bir değer eklenirse kovaryans değişmeyecektir:

$$cov\left(X+c,\ Y\right)=cov\left(X,\ Y+c\right)=cov\left(X+x,\ Y+c\right)=cov\left( X,\Y\sağ).$$

6 . $cov\left(aX+b,\ cY+d\right)=ac\cdot cov\left(X,\ Y\right)$.

7 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|\le \sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right))$.

8 . $\left|cov\left(X,\ Y\right)\right|=\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right))\Leftrightarrow Y=aX+b$.

9 . Rastgele değişkenlerin toplamının (farkının) varyansı, varyanslarının toplamına artı (eksi) bu rastgele değişkenlerin kovaryansının iki katına eşittir:

$$D\left(X\pm Y\sağ)=D\left(X\right)+D\left(Y\right)\pm 2cov\left(X,\ Y\right).$$

Örnek 1 . $\left(X,\ Y\right)$ rastgele vektörünün korelasyon tablosu verilmiştir. $cov\left(X,\ Y\right)$ kovaryansını hesaplayın.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline

\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & p_(22) & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end(dizi)$

$\left(X=x_i,\ Y=y_j\right)$ olayları tam bir olay grubu oluşturur, bu nedenle tabloda belirtilen tüm $p_(ij)$ olasılıklarının toplamı 1'e eşit olmalıdır. O zaman $0,1 +0+0 ,2+0,05+p_(22)+0+0+0,2+0,05+0,1+0+0,1=1$, dolayısıyla $p_(22)=0,2$.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X\ters eğik çizgi Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
-2 & 0,1 & 0 & 0,2 \\
\hline
0 & 0,05 & 0,2 & 0 \\
\hline
1 & 0 & 0,2 & 0,05 \\
\hline
7 & 0,1 & 0 & 0,1 \\
\hline
\end(dizi)$

$p_(i) =\sum _(j)p_(ij) $ formülünü kullanarak, $X$ rastgele değişkeninin dağılım serisini buluruz.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
X & -2 & 0 & 1 & 7 \\
\hline
p_i & 0,3 & 0,25 & 0,25 & 0,2 \\
\hline
\end(dizi)$

$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=-2\cdot 0,3+0\cdot 0,25+1\cdot 0,25+7\cdot 0 ,2=1,05.$ $

$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\right)\right))^2)=0.3\cdot ( \left (-2-1,05\sağ))^2+0,25\cdot (\left(0-1,05\right))^2+0,25\cdot (\left(1-1, 05\right))^2+$$

$$+\ 0.2\cdot (\left(7-1.05\right))^2=10.1475.$$

$$\sigma \left(X\right)=\sqrt(D\left(X\right))=\sqrt(10.1475)\approx 3.186.$$

$q_(j) =\sum _(i)p_(ij) $ formülünü kullanarak, $Y$ rastgele değişkeninin dağılım serisini buluruz.

$\begin(array)(|c|c|)
\hline
Y & -6 & 0 & 3 \\
\hline
p_i & 0,25 & 0,4 & 0,35 \\
\hline
\end(dizi)$

$$M\left(Y\right)=\sum^n_(i=1)(y_ip_i)=-6\cdot 0,25+0\cdot 0,4+3\cdot 0,35=-0,45 .$$

$$D\left(Y\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(y_i-M\left(Y\right)\right))^2)=0.25\cdot ( \left (-6+0,45\sağ))^2+0,4\cdot (\left(0+0,45\right))^2+0,35\cdot (\left(3+0, 45\right))^2=11,9475. $$

$$\sigma \left(Y\right)=\sqrt(D\left(Y\right))=\sqrt(11.9475)\approx 3.457.$$

$P\left(X=-2,\ Y=-6\right)=0.1\ne 0.3\cdot 0.25$ olduğundan, $X,\ Y$ rastgele değişkenleri bağımlıdır.

$X,\ Y$ rastgele değişkenlerinin $cov\ \left(X,\ Y\right)$ kovaryansını $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\) formülüyle tanımlayalım. sağ)-M\ sol(X\sağ)M\sol(Y\sağ)$. $X,\Y$ rastgele değişkenlerinin çarpımının matematiksel beklentisi şuna eşittir:

$$M\left(XY\right)=\sum_(i,\ j)(p_(ij)x_iy_j)=0.1\cdot \left(-2\right)\cdot \left(-6\right) +0.2 \cdot \left(-2\right)\cdot 3+0,05\cdot 1\cdot 3+0,1\cdot 7\cdot \left(-6\right)+0,1\cdot 7\cdot 3=-1,95.$$

Sonra $cov\left(X,\ Y\right)=M\left(XY\right)-M\left(X\right)M\left(Y\right)=-1.95-1.05\cdot \left(- 0.45\right)=-1.4775.$ Rastgele değişkenler bağımsızsa kovaryansları sıfırdır. Bizim durumumuzda $cov(X,Y)\ne 0$.

Korelasyon

Korelasyon katsayısı$X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerine sayı denir:

$$\rho \left(X,\ Y\right)=((cov\left(X,\ Y\right))\over (\sqrt(D\left(X\right)D\left(Y\right) ))))).$$

Başlıcalarını listeleyelim korelasyon katsayısının özellikleri.

1 . $\rho \left(X,\ X\right)=1$.

2 . $\rho \left(X,\ Y\right)=\rho \left(Y,\ X\right)$.

3 . Bağımsız rastgele değişkenler $X$ ve $Y$ için $\rho \left(X,\ Y\right)=0$.

4 . $\rho \left(aX+b,\ cY+d\right)=(sgn \left(ac\right)\rho \left(X,\ Y\right)\ )$, burada $(sgn \left( ac\right)\ )$, $ac$ çarpımının işaretidir.

5 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|\le 1$.

6 . $\left|\rho \left(X,\ Y\right)\right|=1\Leftrightarrow Y=aX+b$.

Daha önce $\rho \left(X,\ Y\right)$ korelasyon katsayısının iki rastgele değişken $X$ ve $Y$ arasındaki doğrusal bağımlılığın derecesini yansıttığı söylenmişti.

$\rho \left(X,\ Y\right)>0$ olduğunda, $X$ rastgele değişkeni arttıkça, $Y$ rastgele değişkeninin de artma eğiliminde olduğu sonucuna varabiliriz. Buna pozitif korelasyon denir. Örneğin, bir kişinin boyu ve kilosu pozitif yönde ilişkilidir.

Ne zaman $\rho \left(X,\ Y\right)<0$ можно сделать вывод о том, что с ростом случайной величины $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению. Это называется отрицательной корреляционной зависимостью. Например, температура и время сохранности продуктов питания связаны между собой отрицательной корреляционной зависимостью.

$\rho \left(X,\ Y\right)=0$ olduğunda, $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerine ilişkisiz denir. $X$ ve $Y$ rastgele değişkenlerinin korelasyonsuz doğasının onların istatistiksel bağımsızlığı anlamına gelmediğini, yalnızca aralarında doğrusal bir ilişki olmadığı anlamına geldiğini belirtmekte fayda var.

Örnek 2 . Örnek 1'den iki boyutlu rastgele değişken $\left(X,\ Y\right)$ için $\rho \left(X,\ Y\right)$ korelasyon katsayısını belirleyelim.

Rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısı $X,\Y$ şuna eşittir: $r_(XY) =(cov(X,Y)\over \sigma (X)\sigma (Y)) =(-1.4775\over 3.186\cdot 3,457) =-0,134.$ $r_(XY)'den beri<0$, то с ростом $X$ случайная величина $Y$ имеет тенденцию к уменьшению (отрицательная корреляционная зависимость).