Vieta teoremi (daha doğrusu, Vieta teoreminin tersi olan teorem), ikinci dereceden denklemleri çözme süresini kısaltmanıza olanak tanır. Sadece nasıl kullanılacağını bilmen gerekiyor. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözmeyi nasıl öğrenebilirim? Biraz düşünürseniz zor değil.
Şimdi sadece ikinci dereceden indirgenmiş denklemin Vieta teoreminin çözümünden bahsedeceğiz. ikinci dereceden denklem a, yani x² katsayısının olduğu bir denklemdir, bire eşit. Vieta teoremi kullanılarak verilmeyen ikinci dereceden denklemleri de çözmek mümkündür, ancak köklerinden en az biri tam sayı değildir. Tahmin edilmeleri daha zordur.
Vieta teoreminin tersi teoremi şunu belirtir: eğer x1 ve x2 sayıları şu şekildeyse:
o zaman x1 ve x2 ikinci dereceden denklemin kökleridir
Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden bir denklemi çözerken yalnızca 4 seçenek mümkündür. Eğer akıl yürütme çizgisini hatırlarsanız, köklerin tamamını bulmayı çok hızlı bir şekilde öğrenebilirsiniz.
I. Eğer q pozitif bir sayı ise,
bu, x1 ve x2 köklerinin aynı işaretli sayılar olduğu anlamına gelir (çünkü yalnızca sayıları çarparken aynı işaretler pozitif bir sayı olduğu ortaya çıkıyor).
I.a. -p pozitif bir sayı ise, (sırasıyla, p<0), то оба корня x1 и x2 — pozitif sayılar(çünkü aynı işaretli sayıları toplayıp pozitif bir sayı elde ettik).
I.b. Eğer -p - negatif sayı, (sırasıyla, p>0), bu durumda her iki kök de negatif sayılardır (aynı işaretli sayıları topladık ve negatif bir sayı elde ettik).
II. Eğer q negatif bir sayı ise,
bu, x1 ve x2 köklerinin farklı işaretlere sahip olduğu anlamına gelir (sayıları çarparken, yalnızca faktörlerin işaretleri farklı olduğunda negatif bir sayı elde edilir). Bu durumda, x1+x2 artık bir toplam değil, bir farktır (sonuçta, sayıları toplarken farklı işaretler büyük modülden küçük olanı çıkarırız). Dolayısıyla x1+x2, x1 ve x2 köklerinin ne kadar farklı olduğunu yani bir kökün diğerinden ne kadar büyük olduğunu (mutlak değer olarak) gösterir.
II.a. -p pozitif bir sayı ise, (yani, p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. -p negatif bir sayı ise, (p>0) ise büyük (modülo) kök negatif bir sayıdır.
Örnekler kullanarak ikinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmeyi düşünelim.
Verilen ikinci dereceden denklemi Vieta teoremini kullanarak çözün:
Burada q=12>0 olduğundan x1 ve x2 kökleri aynı işaretli sayılardır. Toplamları -p=7>0 olduğundan her iki kök de pozitif sayılardır. Çarpımı 12 olan tam sayıları seçiyoruz. Bunlar 1 ve 12, 2 ve 6, 3 ve 4'tür. 3 ve 4 çiftinin toplamı 7'dir. Bu, 3 ve 4'ün denklemin kökleri olduğu anlamına gelir.
İÇİNDE bu örnekte q=16>0, yani x1 ve x2 kökleri aynı işaretli sayılardır. Toplamları -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Burada q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0 ise büyük olan sayı pozitiftir. Yani kökler 5 ve -3'tür.
q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
İkinci dereceden denklemlerde çok sayıda ilişki vardır. Bunlardan başlıcaları kökler ve katsayılar arasındaki ilişkilerdir. Ayrıca ikinci dereceden denklemlerde Vieta teoremi tarafından verilen bir takım ilişkiler vardır.
Bu başlıkta, Vieta teoreminin kendisini ve onun ikinci dereceden bir denklem için kanıtını, Vieta teoreminin tersi olan teoremi sunacağız ve birkaç problem çözme örneğini analiz edeceğiz. Materyalde, cebirsel derece denkleminin gerçek kökleri arasındaki bağlantıyı tanımlayan Vieta formüllerinin dikkate alınmasına özellikle dikkat edeceğiz. N ve katsayıları.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vieta teoreminin formülasyonu ve kanıtı
İkinci dereceden bir denklemin kökleri için formül a x 2 + b x + c = 0 x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a biçimindedir, burada D = b 2 − 4 a c, ilişkiler kurar x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c bir. Bu Vieta teoremi ile doğrulanmaktadır.
Teorem 1
İkinci dereceden bir denklemde a x 2 + b x + c = 0, Nerede x 1 Ve x 2– kökler, köklerin toplamı katsayıların oranına eşit olacaktır B Ve A ters işaretle alınmış ve köklerin çarpımı katsayıların oranına eşit olacaktır. C Ve A yani x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c bir.
Kanıt 1
İspatı gerçekleştirmek için size aşağıdaki şemayı sunuyoruz: kök formülünü alın, ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını oluşturun ve ardından eşit olduklarından emin olmak için elde edilen ifadeleri dönüştürün - ba bir Ve ca bir sırasıyla.
Köklerin toplamını x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a yapalım. Kesirleri ortak bir paydaya getirelim - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Ortaya çıkan kesrin payındaki parantezleri açalım ve benzer terimleri sunalım: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Kesri şu kadar azaltalım: 2 - b a = - b a.
İkinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı ile ilgili olan Vieta teoreminin ilk ilişkisini bu şekilde kanıtladık.
Şimdi ikinci ilişkiye geçelim.
Bunu yapmak için ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını oluşturmamız gerekir: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.
Kesirlerde çarpma kuralını hatırlayalım ve son çarpımı şu şekilde yazalım: - b + D · - b - D 4 · a 2.
Bu çarpımı daha hızlı dönüştürmek için bir parantezi kesrin payındaki bir parantezle çarpalım veya kareler farkı formülünü kullanalım: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2.
Aşağıdaki geçişi yapmak için karekök tanımını kullanalım: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Formül D = b 2 − 4 a c ikinci dereceden bir denklemin diskriminantına karşılık gelir, dolayısıyla kesir yerine D ikame edilebilir b 2 − 4 a c:
b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Parantezleri açalım, benzer terimleri ekleyelim ve şunu elde edelim: 4 · a · c 4 · a 2 . Eğer bunu kısaltırsak 4 bir, o zaman geriye kalan c a olur. Vieta teoreminin köklerin çarpımı için ikinci ilişkisini bu şekilde kanıtladık.
Açıklamaları atlarsak, Vieta teoreminin kanıtı çok kısa ve öz bir biçimde yazılabilir:
x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = ca .
İkinci dereceden bir denklemin diskriminantı sıfıra eşit olduğunda denklemin yalnızca bir kökü olacaktır. Vieta teoremini böyle bir denkleme uygulayabilmek için, diskriminantı sıfıra eşit olan denklemin iki özdeş kökü olduğunu varsayabiliriz. Gerçekten ne zaman D=0 ikinci dereceden denklemin kökü şöyledir: - b 2 · a, bu durumda x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a ve x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 ve D = 0 olduğundan, yani b 2 - 4 · a · c = 0, dolayısıyla b 2 = 4 · a · c, bu durumda b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = ca.
Pratikte çoğu zaman Vieta teoremi formun indirgenmiş ikinci dereceden denklemine uygulanır. x 2 + p x + q = 0 burada baş katsayı a 1'e eşittir. Bu bağlamda Vieta teoremi bu tip denklemler için özel olarak formüle edilmiştir. Bu, ikinci dereceden herhangi bir denklemin eşdeğer bir denklemle değiştirilebilmesi nedeniyle genelliği sınırlamaz. Bunu yapmak için her iki parçasını da sıfırdan farklı bir sayıya bölmeniz gerekir.
Vieta teoreminin başka bir formülasyonunu verelim.
Teorem 2
Verilen ikinci dereceden denklemdeki köklerin toplamı x 2 + p x + q = 0 x'in ters işaretle alınan katsayısına eşit olacak, köklerin çarpımı serbest terime eşit olacaktır, yani. x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q.
Teorem Vieta teoreminin tersi
Vieta teoreminin ikinci formülasyonuna dikkatlice bakarsanız, bunu kökler için görebilirsiniz. x 1 Ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklem x 2 + p x + q = 0 aşağıdaki ilişkiler geçerli olacaktır: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Bu ilişkilerden x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q şu sonucu çıkarır: x 1 Ve x 2 ikinci dereceden denklemin kökleri x 2 + p x + q = 0. Böylece Vieta teoreminin tersi olan bir ifadeye geliyoruz.
Şimdi bu ifadeyi bir teorem olarak resmileştirmeyi ve kanıtını gerçekleştirmeyi öneriyoruz.
Teorem 3
Eğer sayılar x 1 Ve x 2öyle mi x 1 + x 2 = - p Ve x 1 x 2 = q, O x 1 Ve x 2 indirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleridir x 2 + p x + q = 0.
Kanıt 2
Oranların değiştirilmesi P Ve Q yoluyla ifade etmelerine x 1 Ve x 2 denklemi dönüştürmenizi sağlar x 2 + p x + q = 0 eşdeğerine .
Elde edilen denklemde sayıyı yerine koyarsak x 1 yerine X o zaman eşitliği elde ederiz x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu herkes için eşitliktir x 1 Ve x 2 gerçek bir sayısal eşitliğe dönüşür 0 = 0 , Çünkü x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Bu şu anlama geliyor x 1– denklemin kökü x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Ne olmuş x 1 aynı zamanda eşdeğer denklemin köküdür x 2 + p x + q = 0.
Denklemde ikame x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 sayılar x 2 x yerine eşitlik elde etmemizi sağlar x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Bu eşitlik doğru kabul edilebilir, çünkü x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Görünüşe göre x 2 denklemin kökü x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 ve dolayısıyla denklemler x 2 + p x + q = 0.
Vieta teoreminin tersi kanıtlandı.
Vieta teoremini kullanma örnekleri
Şimdi konuyla ilgili en tipik örnekleri analiz etmeye başlayalım. Teoremin Vieta teoreminin tersinin uygulanmasını gerektiren problemleri analiz ederek başlayalım. Belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleri olup olmadıklarını görmek için hesaplamalar tarafından üretilen sayıları kontrol etmek için kullanılabilir. Bunu yapmak için bunların toplamını ve farkını hesaplamanız ve ardından x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c ilişkilerinin geçerliliğini kontrol etmeniz gerekir.
Her iki ilişkinin de sağlanması, hesaplamalar sırasında elde edilen sayıların denklemin kökleri olduğunu gösterir. Koşullardan en az birinin karşılanmadığını görürsek bu sayılar problem cümlesinde verilen ikinci dereceden denklemin kökleri olamaz.
Örnek 1
Sayı çiftlerinden hangisi 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 veya 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 veya 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 ikinci dereceden bir denklemin bir çift köküdür 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?
Çözüm
İkinci dereceden denklemin katsayılarını bulalım 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Bu a = 4, b = − 16, c = 9'dur. Vieta teoremine göre ikinci dereceden bir denklemin kökleri toplamı şuna eşit olmalıdır: - ba bir yani, 16 4 = 4 ve köklerin çarpımı eşit olmalıdır ca bir yani, 9 4 .
Verilen üç çiftteki sayıların toplamını ve çarpımını hesaplayıp elde edilen değerlerle karşılaştırarak elde edilen sayıları kontrol edelim.
İlk durumda x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Bu değer 4'ten farklı olduğundan kontrolün devam etmesine gerek yoktur. Vieta teoreminin tersi olan teoreme göre, ilk sayı çiftinin bu ikinci dereceden denklemin kökleri olmadığı sonucuna hemen varabiliriz.
İkinci durumda x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. İlk şartın sağlandığını görüyoruz. Ancak ikinci koşul şöyle değildir: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Aldığımız değer farklı 9 4 . Bu, ikinci sayı çiftinin ikinci dereceden denklemin kökleri olmadığı anlamına gelir.
Üçüncü çifti ele almaya devam edelim. Burada x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ve x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Her iki koşul da karşılanıyor, yani x 1 Ve x 2 belirli bir ikinci dereceden denklemin kökleridir.
Cevap: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2
İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için Vieta teoreminin tersini de kullanabiliriz. En basit yol, verilen ikinci dereceden denklemlerin tamsayı katsayılı tamsayı köklerini seçmektir. Diğer seçenekler de değerlendirilebilir. Ancak bu, hesaplamaları önemli ölçüde karmaşıklaştırabilir.
Kökleri seçmek için, iki sayının toplamı ikinci dereceden bir denklemin eksi işaretiyle alınan ikinci katsayısına eşitse ve bu sayıların çarpımı serbest terime eşitse bu sayıların Bu ikinci dereceden denklemin kökleri.
Örnek 2
Örnek olarak ikinci dereceden denklemi kullanıyoruz x 2 − 5 x + 6 = 0. Sayılar x 1 Ve x 2 iki eşitlik sağlanırsa bu denklemin kökleri olabilir x 1 + x 2 = 5 Ve x 1 x 2 = 6. Bu sayıları seçelim. Bunlar 2 ve 3 sayılarıdır, çünkü 2 + 3 = 5 Ve 2 3 = 6. 2 ve 3'ün bu ikinci dereceden denklemin kökleri olduğu ortaya çıktı.
Vieta teoreminin tersi, birincisi bilindiğinde veya açıkça görüldüğünde ikinci kökü bulmak için kullanılabilir. Bunu yapmak için x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a ilişkilerini kullanabiliriz.
Örnek 3
İkinci dereceden denklemi düşünün 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Bu denklemin köklerini bulmak gerekir.
Çözüm
Bu ikinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfır olduğundan denklemin ilk kökü 1'dir. Görünüşe göre x 1 = 1.
Şimdi ikinci kökü bulalım. Bunun için ilişkiyi kullanabilirsiniz x 1 x 2 = c bir. Görünüşe göre 1 x 2 = − 3,512, Neresi x 2 = - 3,512.
Cevap: Problem ifadesinde belirtilen ikinci dereceden denklemin kökleri 1 Ve - 3 512 .
Vieta teoreminin tersi olan teoremi kullanarak kökleri seçmek yalnızca basit durumlarda mümkündür. Diğer durumlarda, ikinci dereceden bir denklemin kökleri için formülü kullanarak bir diskriminant aracılığıyla arama yapmak daha iyidir.
Vieta teoreminin tersi sayesinde, mevcut kökleri kullanarak ikinci dereceden denklemler de oluşturabiliriz. x 1 Ve x 2. Bunu yapmak için katsayıyı veren köklerin toplamını hesaplamamız gerekir. X verilen ikinci dereceden denklemin zıt işareti ve serbest terimi veren köklerin çarpımı ile.
Örnek 4
Kökleri sayı olan ikinci dereceden bir denklem yazın − 11 Ve 23 .
Çözüm
Diyelim ki x 1 = - 11 Ve x 2 = 23. Bu sayıların toplamı ve çarpımı eşit olacaktır: x 1 + x 2 = 12 Ve x 1 x 2 = − 253. Bu, ikinci katsayının serbest terim olan 12 olduğu anlamına gelir. − 253.
Bir denklem kuralım: x 2 − 12 x − 253 = 0.
Cevap: x 2 − 12 x − 253 = 0 .
İkinci dereceden denklemlerin köklerinin işaretlerini içeren problemleri çözmek için Vieta teoremini kullanabiliriz. Vieta teoremi arasındaki bağlantı, indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin işaretleriyle ilgilidir. x 2 + p x + q = 0 aşağıdaki gibi:
- ikinci dereceden denklemin gerçek kökleri varsa ve kesme terimi ise Q pozitif bir sayı ise bu kökler aynı "+" veya "-" işaretine sahip olacaktır;
- İkinci dereceden denklemin kökleri varsa ve kesme terimi varsa Q negatif bir sayıysa, bir kök “+” ve ikincisi “-” olacaktır.
Bu ifadelerin her ikisi de formülün sonucudur. x 1 x 2 = q pozitif ve negatif sayıların yanı sıra farklı işaretli sayıların çarpma kuralları.
Örnek 5
İkinci dereceden bir denklemin kökleri x 2 − 64 x − 21 = 0 Olumlu mu?
Çözüm
Vieta teoremine göre bu denklemin köklerinin her ikisi de pozitif olamaz çünkü eşitliği sağlamaları gerekir. x 1 x 2 = − 21. Pozitiflikle bu imkansız x 1 Ve x 2.
Cevap: HAYIR
Örnek 6
Hangi parametre değerlerinde R ikinci dereceden denklem x 2 + (r + 2) x + r - 1 = 0 farklı işaretlere sahip iki gerçek kökü olacaktır.
Çözüm
Hangi değerleri bularak başlayalım R denklemin iki kökü olacaktır. Ayırt ediciyi bulalım ve bakalım ne olacak? R pozitif değerler alacaktır. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. İfade değeri r2 + 8 herhangi bir gerçek için olumlu R dolayısıyla herhangi bir reel durum için diskriminant sıfırdan büyük olacaktır. R. Bu, orijinal ikinci dereceden denklemin, parametrenin herhangi bir gerçek değeri için iki kökü olacağı anlamına gelir. R.
Şimdi köklerin ne zaman farklı işaretlere sahip olduğunu görelim. Ürünlerinin negatif olması durumunda bu mümkündür. Vieta teoremine göre indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir. Bu, doğru çözümün bu değerler olacağı anlamına gelir R, bunun için serbest terim r - 1 negatiftir. r − 1 doğrusal eşitsizliğini çözelim< 0 , получаем r < 1 .
Cevap: r'de< 1 .
Vieta formülleri
Yalnızca ikinci dereceden değil aynı zamanda kübik ve diğer denklem türlerinin kökleri ve katsayılarıyla işlemleri gerçekleştirmek için geçerli olan bir dizi formül vardır. Bunlara Vieta formülleri denir.
Cebirsel bir derece denklemi için N a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + biçimindedir. . . + a n - 1 x + a n = 0 denklemin olduğu kabul edilir N gerçek kökler x 1 , x 2 , … , x n, bunların arasında aynı olabilir:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0
Tanım 1
Vieta'nın formülleri şunları elde etmemize yardımcı olur:
- bir polinomun doğrusal faktörlere ayrıştırılmasına ilişkin teorem;
- karşılık gelen tüm katsayıların eşitliği yoluyla eşit polinomların belirlenmesi.
Böylece polinom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + olur. . . + a n - 1 · x + an ve bunun a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · biçimindeki doğrusal faktörlere genişletilmesi. . . · (x - x n) eşittir.
Son çarpımda parantezleri açıp karşılık gelen katsayıları eşitlersek Vieta formüllerini elde ederiz. N = 2 alarak ikinci dereceden denklem için Vieta formülünü elde edebiliriz: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.
Tanım 2
Vieta'nın kübik denklem formülü:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Vieta formülünün sol tarafı, temel simetrik polinomlar olarak adlandırılanları içerir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Herhangi bir tam ikinci dereceden denklem balta 2 + bx + c = 0 aklıma getirilebilir x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, eğer her terimi önce a katsayısına bölerseniz x 2. Ve eğer yeni notasyonlar eklersek (b/a) = p Ve (c/a) = q o zaman denklemi elde ederiz x 2 + piksel + q = 0 matematikte buna denir verilen ikinci dereceden denklem.
İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin kökleri ve katsayılar P Ve Q birbirine bağlı. Bu doğrulandı Vieta'nın teoremi Adını 16. yüzyılın sonlarında yaşayan Fransız matematikçi Francois Vieta'dan almıştır.
Teorem. İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı x 2 + piksel + q = 0 ikinci katsayıya eşit P, zıt işaretle alınmış ve köklerin çarpımı - serbest terime Q.
Bu ilişkileri aşağıdaki formda yazalım:
İzin vermek x 1 Ve x 2 verilen denklemin farklı kökleri x 2 + piksel + q = 0. Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -p Ve x 1 x 2 = q.
Bunu kanıtlamak için x 1 ve x 2 köklerinden her birini denklemde yerine koyalım. İki gerçek eşitlik elde ederiz:
x 1 2 + piksel 1 + q = 0
x 2 2 + piksel 2 + q = 0
Birinci eşitlikten ikinciyi çıkaralım. Şunu elde ederiz: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
İlk iki terimi kareler farkı formülünü kullanarak genişletiyoruz:
(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0
Koşullara göre x 1 ve x 2 kökleri farklıdır. Bu nedenle eşitliği (x 1 – x 2) ≠ 0'a indirgeyip p'yi ifade edebiliriz.
(x1 + x2) + p = 0;
(x1 + x2) = -p.
İlk eşitlik kanıtlandı.
İkinci eşitliği kanıtlamak için birinci denklemi yerine koyarız
x 1 2 + px 1 + q = 0 yerine p katsayısı yerine eşit bir sayı (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0
Denklemin sol tarafını dönüştürürsek şunu elde ederiz:
x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;
x 1 x 2 = q, bunun kanıtlanması gerekiyordu.
Vieta teoremi iyidir çünkü İkinci dereceden bir denklemin köklerini bilmeden bile toplamlarını ve çarpımlarını hesaplayabiliriz. .
Vieta teoremi, belirli bir ikinci dereceden denklemin tamsayı köklerini belirlemeye yardımcı olur. Ancak bu, özellikle denklemin kökleri farklı işaretlere sahipse, net bir eylem algoritması bilmemeleri nedeniyle birçok öğrenci için zorluklara neden olur.
Dolayısıyla, yukarıdaki ikinci dereceden denklem x 2 + px + q = 0 biçimindedir; burada x 1 ve x 2, onun kökleridir. Vieta teoremine göre x 1 + x 2 = -p ve x 1 · x 2 = q.
Aşağıdaki sonuç çıkarılabilir.
Denklemdeki son terimin önünde eksi işareti varsa, x 1 ve x 2 köklerinin farklı işaretleri vardır. Ayrıca küçük kökün işareti denklemdeki ikinci katsayının işaretiyle örtüşmektedir.
Farklı işaretli sayıları toplarken modüllerinin çıkarılması ve daha büyük modülo numarasının işaretinin ortaya çıkan sonucun önüne yerleştirilmesi gerçeğine dayanarak aşağıdaki şekilde ilerlemelisiniz:
- q sayısının, farkları p sayısına eşit olacak şekilde çarpanlarını belirleyin;
- denklemin ikinci katsayısının işaretini elde edilen sayılardan küçük olanın önüne koyun; ikinci kök ise ters işarete sahip olacaktır.
Bazı örneklere bakalım.
Örnek 1.
x 2 – 2x – 15 = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
Yukarıda önerilen kuralları kullanarak bu denklemi çözmeye çalışalım. O zaman bu denklemin iki farklı kökü olacağını kesin olarak söyleyebiliriz çünkü D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.
Şimdi 15 sayısının tüm çarpanlarından (1 ve 15, 3 ve 5) farkı 2 olanları seçiyoruz. Bunlar 3 ve 5 sayıları olacak. Küçük sayının önüne eksi işareti koyuyoruz yani. Denklemin ikinci katsayısının işareti. Böylece x 1 = -3 ve x 2 = 5 denkleminin köklerini elde ederiz.
Cevap. x 1 = -3 ve x 2 = 5.
Örnek 2.
x 2 + 5x – 6 = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
Bu denklemin köklerinin olup olmadığını kontrol edelim. Bunu yapmak için bir diskriminant buluyoruz:
D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. Denklemin iki farklı kökü vardır.
6 sayısının olası çarpanları 2 ve 3, 6 ve 1'dir. 6 ve 1 çifti için fark 5'tir. Bu örnekte ikinci terimin katsayısı artı işaretine sahiptir, dolayısıyla küçük sayı aynı işarete sahip olacaktır. . Ancak ikinci sayıdan önce bir eksi işareti olacaktır.
Cevap: x 1 = -6 ve x 2 = 1.
Vieta teoremi tam ikinci dereceden bir denklem için de yazılabilir. Yani ikinci dereceden denklem ise balta 2 + bx + c = 0 kökleri x 1 ve x 2 ise, bunlar için eşitlikler geçerlidir
x 1 + x 2 = -(b/a) Ve x 1 x 2 = (c/a). Ancak bu teoremin ikinci dereceden tam bir denklemde uygulanması oldukça problemlidir, çünkü Kökler varsa bunlardan en az biri kesirli sayıdır. Kesirleri seçerek çalışmak oldukça zordur. Ama yine de bir çıkış yolu var.
İkinci dereceden ax 2 + bx + c = 0 denkleminin tamamını düşünün. Sol ve sağ taraflarını a katsayısıyla çarpın. Denklem (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 formunu alacaktır. Şimdi yeni bir değişken tanıtalım, örneğin t = ax.
Bu durumda, ortaya çıkan denklem, kökleri t 1 ve t 2'nin (varsa) Vieta teoremi ile belirlenebildiği t 2 + bt + ac = 0 formunda indirgenmiş ikinci dereceden bir denkleme dönüşecektir.
Bu durumda orijinal ikinci dereceden denklemin kökleri şöyle olacaktır:
x 1 = (t 1 / a) ve x 2 = (t 2 / a).
Örnek 3.
15x 2 – 11x + 2 = 0 denklemini çözün.
Çözüm.
Yardımcı bir denklem oluşturalım. Denklemin her terimini 15 ile çarpalım:
15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.
Yer değiştirmeyi t = 15x yapıyoruz. Sahibiz:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Vieta teoremine göre bu denklemin kökleri t 1 = 5 ve t 2 = 6 olacaktır.
t = 15x değişimine dönüyoruz:
5 = 15x veya 6 = 15x. Yani x 1 = 5/15 ve x 2 = 6/15. İndirgeyip son cevabı alıyoruz: x 1 = 1/3 ve x 2 = 2/5.
Cevap. x 1 = 1/3 ve x 2 = 2/5.
Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemleri çözme konusunda uzmanlaşmak için öğrencilerin mümkün olduğunca pratik yapması gerekir. Başarının sırrı tam olarak budur.
web sitesi, materyalin tamamını veya bir kısmını kopyalarken kaynağa bir bağlantı gereklidir.