Şimdi ilgilenelim çarpma ve bölme.
Diyelim ki +3'ü -4 ile çarpmamız gerekiyor. Bu nasıl yapılır?
Böyle bir durumu ele alalım. Üç kişi borçlandı ve her birinin 4 dolar borcu vardı. Toplam borç ne kadar? Bunu bulmak için üç borcun hepsini toplamanız gerekir: 4 dolar + 4 dolar + 4 dolar = 12 dolar. Üç sayı olan 4'ün toplamının 3x4 olarak ifade edilmesine karar verdik. O zamandan beri bu durumda Borçtan bahsediyoruz, 4’ün önünde “-” işareti var. Toplam borcun 12 dolar olduğunu biliyoruz, dolayısıyla sorunumuz artık 3x(-4)=-12 oluyor.
Soruna göre dört kişiden her birinin 3 dolar borcu varsa aynı sonucu elde ederiz. Yani (+4)x(-3)=-12. Ve faktörlerin sırası önemli olmadığı için (-4)x(+3)=-12 ve (+4)x(-3)=-12 elde ederiz.
Sonuçları özetleyelim. Bir pozitif sayı ile bir negatif sayıyı çarptığınızda sonuç her zaman negatif bir sayı olacaktır. Cevabın sayısal değeri pozitif sayılarla aynı olacaktır. Çarpım (+4)x(+3)=+12. “-” işaretinin varlığı yalnızca işareti etkiler, sayısal değeri etkilemez.
İki negatif sayı nasıl çarpılır?
Ne yazık ki bu konuda gerçek hayattan uygun bir örnek bulmak çok zor. 3 ya da 4 dolarlık bir borcu hayal etmek kolay ama -4 ya da -3 kişinin borçlandığını hayal etmek kesinlikle imkansızdır.
Belki farklı bir yola gideceğiz. Çarpma işleminde çarpanlardan birinin işareti değiştiğinde çarpımın işareti de değişir. Her iki faktörün işaretini değiştirirsek iki kez değiştirmeliyiz iş işareti, önce pozitiften negatife, sonra tam tersi, negatiften pozitife, yani ürünün bir başlangıç işareti olacaktır.
Dolayısıyla (-3) x (-4) = +12 olması biraz tuhaf da olsa oldukça mantıklıdır.
İşaret konumuçarpıldığında şu şekilde değişir:
- pozitif sayı x pozitif sayı = pozitif sayı;
- negatif sayı x pozitif sayı = negatif sayı;
- pozitif sayı x negatif sayı = negatif sayı;
- negatif sayı x negatif sayı = pozitif sayı.
Başka bir deyişle, iki sayıyı çarpmak aynı işaretler pozitif bir sayı elde ederiz. İki sayıyı çarpmak farklı işaretler negatif bir sayı elde ederiz.
Aynı kural çarpma işleminin tersi olan eylem için de geçerlidir - for.
Bunu çalıştırarak kolayca doğrulayabilirsiniz. ters çarpma işlemleri. Yukarıdaki örneklerin her birinde, bölümü bölenle çarparsanız bölüneni elde edersiniz ve aynı işarete sahip olduğundan emin olursunuz, örneğin (-3)x(-4)=(+12).
Kış geldiğine göre, buzda kaymamak ve buz üzerinde kendinizi güvende hissetmek için demir atınızın ayakkabılarını neyle değiştireceğinizi düşünmenin zamanı geldi. kış yolları. Örneğin, Yokohama lastiklerini web sitesinden satın alabilirsiniz: mvo.ru veya başkaları, asıl mesele yüksek kalitede olmalarıdır, daha fazla bilgi ve fiyatları Mvo.ru web sitesinde bulabilirsiniz.
Bu yazıda ele alacağız sayıları farklı işaretlerle çarpma. Burada öncelikle pozitif ve negatif sayıları çarpma kuralını formüle edeceğiz, bunu gerekçelendireceğiz ve ardından örnekleri çözerken bu kuralın uygulanmasını ele alacağız.
Sayfada gezinme.
Farklı işaretli sayıları çarpma kuralı
Pozitif bir sayının negatif bir sayıyla ve negatif bir sayının pozitif bir sayıyla çarpılması şu şekilde gerçekleştirilir: farklı işaretli sayıları çarpma kuralı: Farklı işaretli sayıları çarpmak için çarpmanız ve ortaya çıkan çarpımın önüne eksi işareti koymanız gerekir.
Bu kuralı harf şeklinde yazalım. Herhangi bir pozitif gerçek sayı a ve herhangi bir negatif gerçek sayı −b için eşitlik a·(−b)=−(|a|·|b|) ve ayrıca negatif bir −a sayısı ve pozitif bir b sayısı için eşitlik (−a)·b=−(|a|·|b|) .
Sayıları farklı işaretlerle çarpma kuralı tamamen tutarlıdır. Gerçek sayılarla işlemlerin özellikleri. Aslında, bunlara dayanarak, gerçek ve pozitif a ve b sayıları için formdaki bir eşitlikler zincirinin olduğunu göstermek kolaydır. a·(−b)+a·b=a·((−b)+b)=a·0=0, bu a·(−b) ve a·b'nin olduğunu kanıtlar zıt sayılar, bu a·(−b)=−(a·b) eşitliğini ifade eder. Ve bundan söz konusu çarpma kuralının geçerliliği çıkar.
Belirtmek gerekir ki farklı işaretli sayıların çarpımı konusunda belirtilen kural her ikisi için de geçerlidir. gerçek sayılar hem rasyonel sayılar hem de tam sayılar için. Bu, rasyonel ve tamsayı sayılarla yapılan işlemlerin yukarıdaki ispatta kullanılanlarla aynı özelliklere sahip olduğu gerçeğinden kaynaklanmaktadır.
Ortaya çıkan kurala göre farklı işaretlere sahip sayıları çarpmanın, pozitif sayıları çarpmak anlamına geldiği açıktır.
Sayıları farklı işaretlerle çarparken yalnızca demonte çarpma kuralının uygulanmasına ilişkin örnekleri dikkate almak kalır.
Sayıları farklı işaretlerle çarpma örnekleri
Birkaç çözüme bakalım farklı işaretli sayıların çarpımına örnekler. Şununla başlayalım: basit durum, hesaplama karmaşıklığından ziyade kural adımlarına odaklanmak.
Örnek.
Negatif sayı −4'ü pozitif sayı 5 ile çarpın.
Çözüm.
Farklı işaretli sayıların çarpımı kuralına göre öncelikle orijinal çarpanların mutlak değerlerini çarpmamız gerekiyor. −4'ün modülü 4'tür ve 5'in modülü 5'tir ve 4 ile 5 doğal sayılarının çarpılması 20'yi verir. Son olarak ortaya çıkan sayının önüne eksi işareti koymak kalıyor, elimizde -20 var. Bu çarpma işlemini tamamlar.
Çözüm kısaca şu şekilde yazılabilir: (−4) 5=−(4 5)=−20.
Cevap:
(−4)·5=−20.
Kesirleri farklı işaretlerle çarparken, sıradan kesirleri çarpmanız, ondalık sayıları ve bunların kombinasyonlarını doğal ve karışık sayılar.
Örnek.
0, (2) ve farklı işaretlere sahip sayıları çarpın.
Çözüm.
Orijinal çarpımdan periyodik bir ondalık kesiri ortak bir kesire dönüştürerek ve ayrıca karışık bir sayıdan uygunsuz bir kesire dönüştürerek 
farklı form işaretlerine sahip sıradan kesirlerin çarpımına geleceğiz. Bu çarpım, farklı işaretli sayıların çarpımı kuralına göre eşittir. Geriye kalan tek şey parantez içindeki sıradan kesirleri çarpmak, 
.
Sıradan kesirli sayılar ilk olarak 5. sınıfta okul çağındaki çocuklarla tanışır ve onlara hayatları boyunca eşlik eder, çünkü günlük yaşamda çoğu zaman bir nesneyi bir bütün olarak değil, ayrı parçalar halinde düşünmek veya kullanmak gerekir. Bu konuyu incelemeye başlayın - paylaşımlar. Paylar eşit parçadır, bunun veya bu nesnenin bölündüğü. Sonuçta, örneğin bir ürünün uzunluğunu veya fiyatını tam sayı olarak ifade etmek her zaman mümkün değildir; bir ölçünün parçaları veya kesirleri dikkate alınmalıdır. "Bölmek" fiilinden oluşan - parçalara bölmek ve Arapça köklere sahip olan "kesir" kelimesinin kendisi 8. yüzyılda Rus dilinde ortaya çıktı.
Kesirli İfadeler uzun zamandır matematiğin en zor dalı olarak kabul edilir. 17. yüzyılda matematikle ilgili ilk ders kitapları ortaya çıktığında bunlara “kırık sayılar” adı veriliyordu ve bu durum insanların anlaması oldukça zordu.
Modern görünüm parçaları tam olarak ayrılmış basit kesirli kalanlar yatay çizgi, ilk olarak Fibonacci - Pisa'lı Leonardo'ya katkıda bulundu. Eserleri 1202 yılına tarihlenmektedir. Ancak bu makalenin amacı okuyucuya karışık kesirlerin nasıl çarpıldığını basit ve net bir şekilde açıklamaktır. farklı paydalar.
Paydaları Farklı Kesirlerle Çarpma
Başlangıçta belirlemeye değer kesir türleri:
- doğru;
- yanlış;
- karışık.
Daha sonra kesirli sayıların nasıl çarpıldığını hatırlamanız gerekir. aynı paydalar. Bu sürecin kuralını bağımsız olarak formüle etmek kolaydır: çarpmanın sonucu basit kesirler paydaları aynı olan kesirli bir ifadedir; payı payların ürünüdür ve payda bu kesirlerin paydalarının ürünüdür. Yani özünde, yeni payda Başlangıçta var olanlardan birinin karesi var.
Çarpma sırasında farklı paydalara sahip basit kesirler iki veya daha fazla faktör için kural değişmez:
A/B * C/D = a*c / b*d.
Tek fark şu ki oluşan sayı kesirli çizginin altında farklı sayıların çarpımı ve doğal olarak birin karesi olacak sayısal ifade adını koymak mümkün değil.
Örnekleri kullanarak farklı paydalara sahip kesirlerin çarpımını düşünmeye değer:
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Örneklerde kesirli ifadelerin azaltılmasına yönelik yöntemler kullanılmaktadır. Pay sayılarını yalnızca payda sayıları yan yana olanlarla azaltabilirsiniz değer çarpanları Kesirli çizginin üstünde veya altında kısaltma yapamazsınız.
Basit ile birlikte kesirli sayılar Karışık kesirler kavramı var. Karışık sayı bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşur, yani bu sayıların toplamıdır:
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Çarpma nasıl çalışır?
Dikkate alınması için çeşitli örnekler verilmiştir.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Örnekte bir sayının çarpımı kullanılıyor sıradan kesirli kısım Bu eylemin kuralı şu şekilde yazılabilir:
A* B/C = a*b /C.
Aslında böyle bir çarpım aynı kesirli kalanların toplamıdır ve terim sayısı bunu gösterir. doğal sayı. Özel durum:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Bir sayıyı kesirli bir kalanla çarpmanın başka bir çözümü daha var. Paydayı bu sayıya bölmeniz yeterlidir:
D* e/F = e/f: d.
Bu teknik, paydanın kalansız bir doğal sayıya veya dedikleri gibi bir tam sayıya bölünmesi durumunda kullanışlıdır.
Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürün ve ürünü daha önce açıklanan şekilde elde edin:
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Bu örnek, karışık bir kesri uygunsuz bir kesir olarak temsil etmenin bir yolunu içerir; aynı zamanda şu şekilde de temsil edilebilir: genel formül:
A BC = a*b+ c/c, payda nerede yeni kesir payda ile tam kısmın çarpıp orijinal kesirli kalanın payı ile eklenmesiyle oluşur ve payda aynı kalır.
Bu süreç aynı zamanda şu şekilde de çalışır: ters taraf. Tam kısmı ve kesirli kalanı ayırmak için, uygunsuz bir kesrin payını bir "köşe" kullanarak paydasına bölmeniz gerekir.
Çarpma uygunsuz kesirler genel kabul görmüş bir şekilde üretilir. Tek kesir çizgisi altında yazarken bu yöntemi kullanarak sayıları azaltmak ve sonucu hesaplamayı kolaylaştırmak için kesirleri gerektiği kadar azaltmanız gerekir.
İnternette karmaşık sorunları bile çözebilecek birçok yardımcı var. matematik problemleriçeşitli program varyasyonlarında. Yeterli sayıda bu tür hizmetler, kesirlerin çarpımının sayılmasında yardımcı olur. farklı sayılar paydalarda - kesirleri hesaplamak için sözde çevrimiçi hesap makineleri. Sadece çoğalmakla kalmıyor, aynı zamanda diğer en basitleri de üretebiliyorlar. aritmetik işlemler sıradan kesirler ve karışık sayılarla. Çalışması kolaydır; site sayfasındaki uygun alanları doldurup işareti seçersiniz. matematiksel işlem ve "hesapla"ya tıklayın. Program otomatik olarak hesaplama yapar.
Ders aritmetik işlemler Kesirli sayılarla ilgili ortaokul ve lise öğrencilerinin eğitimi boyunca geçerlidir. Lisede artık en basit türleri dikkate almıyorlar, ancak tüm kesirli ifadeler ancak daha önce elde edilen dönüşüm ve hesaplama kurallarının bilgisi orijinal haliyle uygulanır. İyi öğrenilmiş temel bilgi tam güven vermek başarılı karar en karmaşık görevler.
Sonuç olarak, Lev Nikolaevich Tolstoy'un şu sözlerinden alıntı yapmak mantıklıdır: “İnsan bir kesirdir. Payını - meziyetlerini - artırmak insanın elinde değildir ama herkes paydasını - kendisi hakkındaki görüşünü azaltabilir ve bu azalmayla mükemmelliğine yaklaşabilir.
) ve payda payda (çarpımın paydasını alıyoruz).
Kesirleri çarpma formülü:
Örneğin:
Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.
Ortak bir kesri bir kesire bölmek.
Doğal sayılarla kesirleri bölme.
Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama durumunda olduğu gibi, tamsayıyı paydası bir olan kesire dönüştürüyoruz. Örneğin:
Karışık kesirlerin çarpılması.
Kesirleri çarpma kuralları (karışık):
- karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
- kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
- fraksiyonu azaltın;
- Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.
Dikkat etmek!Çarpmak karışık fraksiyon başka bir karışık kesir için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından bunları sıradan kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.
Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.
İkinci çarpma yöntemini kullanmak daha uygun olabilir ortak kesir sayı başına.
Dikkat etmek! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmemeniz gerekir.
Yukarıdaki örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.
Çok öykülü kesirler.
Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:
Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:
Dikkat etmek! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.
lütfen aklınızda bulundurun Örneğin:
Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:
Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:
1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.
2. Görevlerde farklı türler kesirler - sıradan kesirler biçimine gidin.
3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.
4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.
5. Bir birimi kafanızda bir kesre bölün, kesri ters çevirin.