Paydaları farklı olan basit kesirlerle çarpma örnekleri. Kesirlerde Çarpma ve Bölme

En son kesirlerde toplama ve çıkarma yapmayı öğrendik (“Kesirlerde toplama ve çıkarma” dersine bakın). Bu eylemlerin en zor kısmı kesirleri ortak paydada buluşturmaktı.

Şimdi çarpma ve bölmeyle uğraşmanın zamanı geldi. İyi haber şu ki bu işlemler toplama ve çıkarma işlemlerinden bile daha basit. İlk olarak, ayrılmış bir tam sayı kısmı olmayan iki pozitif kesirin olduğu en basit durumu ele alalım.

İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi ise paydası olacaktır.

İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.

Tanım:

Tanımdan, kesirlerin bölünmesinin çarpma işlemine indirgendiği anlaşılmaktadır. Bir kesri "çevirmek" için pay ve paydayı değiştirmeniz yeterlidir. Bu nedenle ders boyunca ağırlıklı olarak çarpma işlemini ele alacağız.

Çarpmanın bir sonucu olarak, indirgenebilir bir kesir ortaya çıkabilir (ve sıklıkla ortaya çıkar) - elbette azaltılması gerekir. Tüm azaltmalardan sonra kesirin yanlış olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısım vurgulanmalıdır. Ancak çarpma işleminde kesinlikle gerçekleşmeyecek olan şey, ortak bir paydaya indirgemedir: çapraz yöntem yok, en büyük çarpanlar ve en küçük ortak katlar.

Tanım gereği elimizde:

Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması

Kesirler bir tamsayı parçası içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.

Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:

Artı eksi eksi verir;
İki olumsuz bir olumlu yapar.

Şimdiye kadar bu kurallarla ancak negatif kesirlerde toplama ve çıkarma yaparken, bütünden kurtulmak gerektiğinde karşılaşılıyordu. Bir iş için, birkaç dezavantajı aynı anda "yakmak" amacıyla genelleştirilebilirler:

Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksinin üzeri çizilmemişse, bunun için bir çift olmadığından onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları alışılmış kurallara göre çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Tam kısmı vurgulanmış bir kesirin önünde görünen eksi işaretinin, yalnızca kesrin tamamına değil, özellikle kesrin tamamına atıfta bulunduğunu bir kez daha hatırlatmama izin verin (bu, son iki örnek için geçerlidir).

Ayrıca negatif sayılara da dikkat edin: çarparken parantez içine alınırlar. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.

Kesirlerin anında azaltılması

Çarpma işlemi oldukça emek yoğun bir işlemdir. Buradaki sayılar oldukça büyük çıkıyor ve sorunu basitleştirmek için kesri daha da azaltmayı deneyebilirsiniz çarpmadan önce. Aslında kesirlerin payları ve paydaları aslında sıradan faktörlerdir ve bu nedenle kesirin temel özelliği kullanılarak azaltılabilirler. Örneklere bir göz atın:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tanım gereği elimizde:

Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Lütfen unutmayın: İlk durumda çarpanlar tamamen azaltıldı. Bunların yerine genel anlamda yazılması gerekmeyen birimler kalmıştır. İkinci örnekte tam bir azalma elde etmek mümkün olmadı ancak toplam hesaplama miktarı yine de azaldı.

Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:

Bunu yapamazsın!

Hata, bir kesrin payını eklerken sayıların çarpımı değil toplamın görünmesi nedeniyle oluşur. Sonuç olarak kesrin temel özelliğini uygulamak imkansızdır çünkü bu özellik özellikle sayıların çarpımı ile ilgilidir.

Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, dolayısıyla önceki problemin doğru çözümü şöyle görünür:

Doğru çözüm:

Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.

Adi kesirlerle yapılabilecek bir diğer işlem ise çarpma işlemidir. Sorunları çözerken temel kurallarını açıklamaya çalışacağız, sıradan bir kesirin bir doğal sayıyla nasıl çarpıldığını ve üç veya daha fazla sıradan kesirin nasıl doğru şekilde çarpılacağını göstereceğiz.

Önce temel kuralı yazalım:

Tanım 1

Sıradan bir kesirle çarparsak, ortaya çıkan kesrin payı, orijinal kesirlerin paylarının çarpımına eşit olacak ve payda, paydalarının çarpımına eşit olacaktır. Kelimenin tam anlamıyla, a / b ve c / d olmak üzere iki kesir için bu, a b · c d = a · c b · d olarak ifade edilebilir.

Bu kuralın doğru şekilde nasıl uygulanacağına dair bir örneğe bakalım. Diyelim ki kenarı bir sayısal birime eşit olan bir karemiz var. O zaman şeklin alanı 1 kare olacaktır. birim. Kareyi, kenarları 1 4 ve 1 8 sayısal birime eşit olan eşit dikdörtgenlere bölersek, artık 32 dikdörtgenden oluştuğunu elde ederiz (çünkü 8 4 = 32). Buna göre, her birinin alanı tüm şeklin alanının 1 32'sine eşit olacaktır, yani. 1 32 metrekare birimler.

Kenarları 5 8 sayısal birime ve 3 4 sayısal birime eşit olan gölgeli bir parçamız var. Buna göre alanını hesaplamak için ilk kesri ikinciyle çarpmanız gerekir. 5 8 · 3 4 metrekareye eşit olacaktır. birimler. Ancak parçaya kaç tane dikdörtgenin dahil olduğunu basitçe sayabiliriz: 15 tane var, bu da toplam alanın 15 32 birim kare olduğu anlamına geliyor.

5 3 = 15 ve 8 4 = 32 olduğuna göre aşağıdaki eşitliği yazabiliriz:

5 8 3 4 = 5 3 8 4 = 15 32

Adi kesirleri çarpmak için formüle ettiğimiz ve a b · c d = a · c b · d olarak ifade edilen kuralı doğrular. Hem doğru hem de yanlış kesirler için aynı şekilde çalışır; Paydaları farklı ve aynı olan kesirleri çarpmak için kullanılabilir.

Sıradan kesirlerin çarpımını içeren çeşitli problemlerin çözümlerine bakalım.

Örnek 1

7 11'i 9 8 ile çarpın.

Çözüm

Öncelikle belirtilen kesirlerin paylarının çarpımını 7 ile 9 ile çarparak hesaplayalım. 63'ümüz var. Daha sonra paydaların çarpımını hesaplıyoruz ve şunu elde ediyoruz: 11 · 8 = 88. İki sayıyı birleştirelim ve cevap: 63 88.

Çözümün tamamı şu şekilde yazılabilir:

7 11 9 8 = 7 9 11 8 = 63 88

Cevap: 7 11 · 9 8 = 63 88.

Cevabımızda indirgenebilir bir kesir elde edersek hesaplamayı tamamlayıp azaltma işlemini yapmamız gerekir. Uygunsuz bir kesir elde edersek, ondan bütün kısmı ayırmamız gerekir.

Örnek 2

Kesirlerin çarpımını hesapla 4 15 ve 55 6 .

Çözüm

Yukarıda incelenen kurala göre payı payla, paydayı da paydayla çarpmamız gerekiyor. Çözüm kaydı şu şekilde görünecektir:

4 15 55 6 = 4 55 15 6 = 220 90

İndirgenebilir bir kesirimiz var, yani. 10'a bölünebilen bir sayı.

Kesri azaltalım: 220 90 gcd (220, 90) = 10, 220 90 = 220: 10 90: 10 = 22 9. Sonuç olarak, tüm kısmı seçip karışık bir sayı elde ettiğimiz uygunsuz bir kesir elde ettik: 22 9 = 2 4 9.

Cevap: 4 15 55 6 = 2 4 9.

Hesaplama kolaylığı için, çarpma işlemini gerçekleştirmeden önce orijinal kesirleri de azaltabiliriz; bunun için kesri a · c b · d biçimine indirmemiz gerekir. Değişkenlerin değerlerini basit faktörlere ayıralım ve aynı olanları azaltalım.

Belirli bir görevin verilerini kullanarak bunun neye benzediğini açıklayalım.

Örnek 3

4 15 55 6'nın çarpımını hesaplayın.

Çözüm

Çarpma kuralına göre hesaplamaları yazalım. Alacağız:

4 15 55 6 = 4 55 15 6

4 = 2 2, 55 = 5 11, 15 = 3 5 ve 6 = 2 3 olduğundan, 4 55 15 6 = 2 2 5 11 3 5 2 3 olur.

2 11 3 3 = 22 9 = 2 4 9

Cevap: 4 15 · 55 6 = 2 4 9 .

Sıradan kesirlerin çarpıldığı sayısal ifadenin değişme özelliği vardır, yani gerekirse faktörlerin sırasını değiştirebiliriz:

a b · c d = c d · a b = a · c b · d

Bir kesir bir doğal sayıyla nasıl çarpılır

Hemen temel kuralı yazalım, ardından pratikte açıklamaya çalışalım.

Tanım 2

Ortak bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için o kesrin payını o sayıyla çarpmanız gerekir. Bu durumda son kesrin paydası orijinal kesrin paydasına eşit olacaktır. Belirli bir a b kesirinin bir n doğal sayısıyla çarpımı a b · n = a · n b formülü olarak yazılabilir.

Herhangi bir doğal sayının paydası bire eşit olan sıradan bir kesir olarak temsil edilebileceğini hatırlarsanız, bu formülü anlamak kolaydır:

a b · n = a b · n 1 = a · n b · 1 = a · n b

Fikrimizi spesifik örneklerle açıklayalım.

Örnek 4

2 27 çarpı 5 çarpımını hesaplayın.

Çözüm

Orijinal kesrin payını ikinci faktörle çarpmanın sonucunda 10 elde ederiz. Yukarıda belirtilen kurala göre sonuç olarak 10 27 elde edeceğiz. Çözümün tamamı bu yazıda verilmiştir:

2 27 5 = 2 5 27 = 10 27

Cevap: 2 27 5 = 10 27

Bir doğal sayıyı kesirle çarptığımızda çoğu zaman sonucu kısaltmamız veya tam sayı olarak göstermemiz gerekir.

Örnek 5

Koşul: 8'e 5 12 çarpımını hesaplayın.

Çözüm

Yukarıdaki kurala göre doğal sayıyı pay ile çarpıyoruz. Sonuç olarak, 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 sonucunu elde ederiz. Son kesrin 2'ye bölünebilme işaretleri var, bu yüzden onu azaltmamız gerekiyor:

LCM (40, 12) = 4, yani 40 12 = 40: 4 12: 4 = 10 3

Şimdi tek yapmamız gereken parçanın tamamını seçip hazır cevabı yazmak: 10 3 = 3 1 3.

Bu girişte çözümün tamamını görebilirsiniz: 5 12 8 = 5 8 12 = 40 12 = 10 3 = 3 1 3.

Pay ve paydayı asal çarpanlara ayırarak kesri de azaltabiliriz ve sonuç tamamen aynı olur.

Cevap: 5 12 8 = 3 1 3.

Doğal bir sayının bir kesirle çarpıldığı sayısal ifade aynı zamanda yer değiştirme özelliğine de sahiptir, yani faktörlerin sırası sonucu etkilemez:

a b · n = n · a b = a · n b

Üç veya daha fazla ortak kesir nasıl çarpılır

Doğal sayıları çarpmanın karakteristik özelliği olan aynı özellikleri sıradan kesirlerle çarpma eylemine de genişletebiliriz. Bu, bu kavramların tanımından kaynaklanmaktadır.

Birleştirme ve değişme özellikleri hakkındaki bilginiz sayesinde, üç veya daha fazla sıradan kesri çarpabilirsiniz. Daha fazla kolaylık sağlamak için faktörleri yeniden düzenlemek veya parantezleri saymayı kolaylaştıracak şekilde düzenlemek kabul edilebilir.

Bunun nasıl yapıldığını bir örnekle gösterelim.

Örnek 6

Dört ortak kesir olan 1 20, 12 5, 3 7 ve 5 8'i çarpın.

Çözüm: Öncelikle çalışmayı kaydedelim. 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 elde ederiz. Tüm payları ve tüm paydaları birlikte çarpmamız gerekiyor: 1 20 · 12 5 · 3 7 · 5 8 = 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 .

Çarpmaya başlamadan önce, işleri kendimiz için biraz kolaylaştırabiliriz ve bazı sayıları daha fazla indirgemek için asal çarpanlara ayırabiliriz. Bu, halihazırda hazır olan sonuçtaki fraksiyonu azaltmaktan daha kolay olacaktır.

1 12 3 5 20 5 7 8 = 1 (2 2 3) 3 5 2 2 5 5 7 (2 2 2) = 3 3 5 7 2 2 2 = 9.280

Cevap: 1 · 12 · 3 · 5 20 · 5 · 7 · 8 = 9.280.

Örnek 7

5 sayıyı 7 8 · 12 · 8 · 5 36 · 10 ile çarpın.

Çözüm

Kolaylık sağlamak için, gelecekteki kısaltmalar bizim için açık olacağından, 7 8 kesirini 8 sayısıyla ve 12 sayısını 5 36 kesiriyle gruplayabiliriz. Sonuç olarak şunu elde edeceğiz:
7 8 12 8 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 8 8 12 5 36 10 = 7 1 2 2 3 5 2 2 3 3 10 = 7 5 3 10 = 7 5 10 3 = 350 3 = 116 2 3

Cevap: 7 8 12 8 5 36 10 = 116 2 3.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Ortak Kesirlerin Çarpılması

Bir örneğe bakalım.

Bir tabakta elmanın $\frac(1)(3)$ kısmı olsun. Bunun $\frac(1)(2)$ kısmını bulmamız gerekiyor. Gerekli kısım $\frac(1)(3)$ ve $\frac(1)(2)$ kesirlerinin çarpılmasının sonucudur. İki ortak kesrin çarpımının sonucu ortak bir kesirdir.

İki sıradan kesrin çarpılması

Sıradan kesirlerle çarpma kuralı:

Bir kesirin bir kesirle çarpılmasının sonucu, payı, çarpılan kesirlerin paylarının çarpımına eşit olan ve paydası, paydaların çarpımına eşit olan bir kesirdir:

Örnek 1

$\frac(3)(7)$ ve $\frac(5)(11)$ ortak kesirlerinin çarpımını yapın.

Çözüm.

Sıradan kesirlerle çarpma kuralını kullanalım:

\[\frac(3)(7)\cdot \frac(5)(11)=\frac(3\cdot 5)(7\cdot 11)=\frac(15)(77)\]

Cevap:$\frac(15)(77)$

Kesirlerin çarpılması indirgenebilir veya hatalı bir kesirle sonuçlanırsa, bunu basitleştirmeniz gerekir.

Örnek 2

$\frac(3)(8)$ ve $\frac(1)(9)$ kesirlerini çarpın.

Çözüm.

Sıradan kesirleri çarpmak için kuralı kullanırız:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)\]

Sonuç olarak, indirgenebilir bir kesir elde ettik ($3$'a bölmeye dayalı olarak). Kesirin payını ve paydasını $3$'a bölersek şunu elde ederiz:

\[\frac(3)(72)=\frac(3:3)(72:3)=\frac(1)(24)\]

Kısa çözüm:

\[\frac(3)(8)\cdot \frac(1)(9)=\frac(3\cdot 1)(8\cdot 9)=\frac(3)(72)=\frac(1) (24)\]

Cevap:$\frac(1)(24).$

Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpımlarını bulana kadar azaltabilirsiniz. Bu durumda kesrin payı ve paydası basit faktörlere ayrıştırılır, ardından tekrar eden faktörler iptal edilir ve sonuç bulunur.

Örnek 3

$\frac(6)(75)$ ve $\frac(15)(24)$ kesirlerinin çarpımını hesaplayın.

Çözüm.

Sıradan kesirleri çarpmak için formülü kullanalım:

\[\frac(6)(75)\cdot \frac(15)(24)=\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)\]

Açıkçası, pay ve payda çiftler halinde $2$, $3$ ve $5$ sayılarına indirgenebilecek sayılar içerir. Pay ve paydayı basit faktörlere ayırıp bir indirgeme yapalım:

\[\frac(6\cdot 15)(75\cdot 24)=\frac(2\cdot 3\cdot 3\cdot 5)(3\cdot 5\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3)=\frac(1)(5\cdot 2\cdot 2)=\frac(1)(20)\]

Cevap:$\frac(1)(20).$

Kesirleri çarparken değişme yasasını uygulayabilirsiniz:

Ortak Bir Kesirin Bir Doğal Sayıyla Çarpılması

Ortak bir kesri doğal sayıyla çarpma kuralı:

Bir kesirin bir doğal sayı ile çarpılmasının sonucu, payın, çarpılmış kesirin payının doğal sayı ile çarpımına eşit olduğu ve paydanın, çarpılan kesrin paydasına eşit olduğu bir kesirdir:

burada $\frac(a)(b)$ sıradan bir kesirdir, $n$ bir doğal sayıdır.

Örnek 4

$\frac(3)(17)$ kesirini $4$ ile çarpın.

Çözüm.

Sıradan bir kesri bir doğal sayıyla çarpma kuralını kullanalım:

\[\frac(3)(17)\cdot 4=\frac(3\cdot 4)(17)=\frac(12)(17)\]

Cevap:$\frac(12)(17).$

Çarpma sonucunu kesrin indirgenebilirliği veya uygunsuz kesir ile kontrol etmeyi unutmayın.

Örnek 5

$\frac(7)(15)$ kesrini $3$ sayısıyla çarpın.

Çözüm.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için formülü kullanalım:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)\]

$3$) sayısına bölerek, elde edilen kesrin azaltılabileceğini belirleyebiliriz:

\[\frac(21)(15)=\frac(21:3)(15:3)=\frac(7)(5)\]

Sonuç olarak uygunsuz bir kesir elde ettik. Parçanın tamamını seçelim:

\[\frac(7)(5)=1\frac(2)(5)\]

Kısa çözüm:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(21)(15)=\frac(7)(5)=1\frac(2) (5)\]

Kesirler, pay ve paydadaki sayıların asal çarpanlara ayrılmasıyla değiştirilmesiyle de azaltılabilir. Bu durumda çözüm şu şekilde yazılabilir:

\[\frac(7)(15)\cdot 3=\frac(7\cdot 3)(15)=\frac(7\cdot 3)(3\cdot 5)=\frac(7)(5)= 1\frac(2)(5)\]

Cevap:$1\frac(2)(5).$

Bir kesri bir doğal sayıyla çarparken değişme yasasını kullanabilirsiniz:

Kesirleri bölme

Bölme işlemi çarpma işleminin tersidir ve sonucu, iki kesirin bilinen çarpımını elde etmek için bilinen bir kesirin çarpılması gereken bir kesirdir.

İki sıradan kesri bölme

Sıradan kesirleri bölme kuralı: Açıkçası, ortaya çıkan kesirin payı ve paydası çarpanlara ayrılabilir ve azaltılabilir:

\[\frac(8\cdot 35)(15\cdot 12)=\frac(2\cdot 2\cdot 2\cdot 5\cdot 7)(3\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3)= \frac(2\cdot 7)(3\cdot 3)=\frac(14)(9)\]

Sonuç olarak, tüm parçayı seçtiğimiz uygunsuz bir kesir elde ederiz:

\[\frac(14)(9)=1\frac(5)(9)\]

Cevap:$1\frac(5)(9).$

§ 87. Kesirlerin eklenmesi.

Kesirleri toplamanın tam sayıları toplamaya birçok benzerliği vardır. Kesirlerin eklenmesi, verilen birkaç sayının (terimlerin), terimlerin birimlerinin tüm birimlerini ve kesirlerini içeren tek bir sayı (toplam) halinde birleştirilmesinden oluşan bir eylemdir.

Üç durumu sırasıyla ele alacağız:

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.
3. Karışık sayıların eklenmesi.

1. Paydaları benzer olan kesirlerin toplanması.

Bir örnek düşünün: 1/5 + 2/5.

AB segmentini alalım (Şekil 17), bir olarak alalım ve 5 eşit parçaya bölelim, sonra bu segmentin AC kısmı AB segmentinin 1/5'ine eşit olacak ve aynı CD segmentinin kısmı şuna eşit olacaktır: 2/5 AB.

Çizimden AD parçasını alırsak AB'nin 3/5'ine eşit olacağı görülmektedir; ancak AD segmenti tam olarak AC ve CD segmentlerinin toplamıdır. Yani şunu yazabiliriz:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Bu terimler ve ortaya çıkan toplam dikkate alındığında, terimlerin paylarının eklenmesiyle toplamın payının elde edildiğini, paydanın ise değişmeden kaldığını görüyoruz.

Bundan aşağıdaki kuralı elde ederiz: Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Bir örneğe bakalım:

2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.

Kesirleri toplayalım: 3/4 + 3/8 Öncelikle en küçük ortak paydaya indirilmeleri gerekiyor:

6/8 + 3/8 ara bağlantısı yazılamadı; Açıklık sağlamak için buraya yazdık.

Bu nedenle, farklı paydalara sahip kesirleri toplamak için öncelikle bunları en küçük ortak paydaya indirgemeli, paylarını toplamalı ve ortak paydayı etiketlemelisiniz.

Bir örnek ele alalım (karşılık gelen kesirlerin üzerine ek faktörleri yazacağız):

3. Karışık sayıların eklenmesi.

Sayıları toplayalım: 2 3/8 + 3 5/6.

Öncelikle sayılarımızın kesirli kısımlarını ortak bir paydada buluşturup yeniden yazalım:

Şimdi tamsayı ve kesirli kısımları sırayla ekliyoruz:

§ 88. Kesirlerin çıkarılması.

Kesirlerde çıkarma işlemi, tam sayılarda çıkarma işlemiyle aynı şekilde tanımlanır. Bu, iki terimin ve bunlardan birinin toplamı verildiğinde başka bir terimin bulunduğu bir eylemdir. Üç durumu sırasıyla ele alalım:

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.
2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.
3. Karışık sayılarda çıkarma.

1. Paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Bir örneğe bakalım:

13 / 15 - 4 / 15

AB parçasını alalım (Şek. 18), bir birim olarak alalım ve 15 eşit parçaya bölelim; bu durumda bu parçanın AC kısmı AB'nin 1/15'ini temsil edecek ve aynı parçanın AD kısmı AB'nin 13/15'ine karşılık gelecektir. 4/15 AB'ye eşit başka bir ED parçasını bir kenara bırakalım.

4/15 kesrini 13/15'ten çıkarmamız gerekiyor. Çizimde bu, ED bölümünün AD bölümünden çıkarılması gerektiği anlamına gelir. Sonuç olarak, AB segmentinin 9/15'i olan AE segmenti kalacaktır. Yani şunu yazabiliriz:

Yaptığımız örnekte farkın payının paylar çıkarılarak elde edildiği ancak paydanın aynı kaldığı görülüyor.

Bu nedenle, paydaları benzer olan kesirlerde çıkarmak için, çıkanın payını eksilenin payından çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.

2. Paydaları farklı olan kesirlerde çıkarma işlemi.

Örnek. 3/4 - 5/8

Öncelikle bu kesirleri en küçük ortak paydaya indirelim:

6/8 - 5/8 ara bağlantısı netlik sağlamak amacıyla buraya yazılmıştır ancak bundan sonra atlanabilir.

Bu nedenle, bir kesirden bir kesir çıkarmak için, önce onları en küçük ortak paydaya indirgemeniz, ardından eksilen payını eksi payından çıkarmanız ve farklarının altındaki ortak paydayı işaretlemeniz gerekir.

Bir örneğe bakalım:

3. Karışık sayılarda çıkarma.

Örnek. 10 3/4 - 7 2/3.

Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarını en küçük ortak paydaya indirelim:

Bir bütünden bir bütünü, bir kesirden bir kesri çıkardık. Ancak, çıkarılanın kesirli kısmının azaltılanın kesirli kısmından daha büyük olduğu durumlar vardır. Bu gibi durumlarda, eksilen kısmın tamamından bir birim almanız, onu kesirli kısmın ifade edildiği parçalara ayırmanız ve eksilen kısmın kesirli kısmına eklemeniz gerekir. Daha sonra çıkarma işlemi önceki örnekte olduğu gibi gerçekleştirilecektir:

§ 89. Kesirlerin çarpımı.

Kesir çarpmasını incelerken aşağıdaki soruları dikkate alacağız:

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.
2. Verilen bir sayının kesirini bulma.
3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.
4. Bir kesri bir kesirle çarpmak.
5. Karışık sayıların çarpımı.
6. Faiz kavramı.
7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma. Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir kesirin bir tam sayı ile çarpılması.

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak, bir tam sayıyı bir tam sayıyla çarpmakla aynı anlama gelir. Bir kesri (çarpan) bir tamsayı (faktör) ile çarpmak, her bir terimin çarpana eşit olduğu ve terim sayısının çarpana eşit olduğu özdeş terimlerin bir toplamını oluşturmak anlamına gelir.

Bu, 1/9'u 7 ile çarpmanız gerekiyorsa, bunun şu şekilde yapılabileceği anlamına gelir:

Eylem aynı paydalara sahip kesirlerin eklenmesine indirgendiğinden sonucu kolayca elde ettik. Buradan,

Bu işlem dikkate alındığında, bir kesri bir tam sayı ile çarpmanın, bu kesri tam sayıdaki birim sayısı kadar artırmaya eşdeğer olduğu görülür. Ve bir kesirin arttırılması ya payının arttırılmasıyla elde edildiği için

veya paydasını azaltarak , eğer böyle bir bölme mümkünse, ya payı bir tamsayı ile çarpabiliriz ya da paydayı ona bölebiliriz.

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir kesri bir tam sayıyla çarpmak için payı o tam sayıyla çarpar ve paydayı aynı bırakırsınız veya mümkünse paydayı bu sayıya bölerek payı değiştirmezsiniz.

Çarpma sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

2. Verilen bir sayının kesirini bulma. Belirli bir sayının bir kısmını bulmanız veya hesaplamanız gereken birçok problem vardır. Bu problemlerin diğerlerinden farkı, bazı nesnelerin veya ölçü birimlerinin sayısını vermeleri ve bu sayının, burada da belirli bir kesirle gösterilen kısmını bulmanız gerekmesidir. Anlamayı kolaylaştırmak için önce bu tür problemlere örnekler vereceğiz, ardından bunları çözmek için bir yöntem sunacağız.

Görev 1. 60 rublem vardı; Bu paranın 1/3'ünü kitap almaya harcadım. Kitapların fiyatı ne kadardı?

Görev 2. Trenin A ve B şehirleri arasında 300 km'ye eşit mesafe kat etmesi gerekiyor. Zaten bu mesafenin 2/3'ünü kat etti. Bu kaç kilometre?

Görev 3. Köyde 400 ev var, bunların 3/4'ü tuğla, geri kalanı ahşap. Toplamda kaç tane tuğla ev var?

Bunlar, belirli bir sayının bir kısmını bulmakta karşılaştığımız birçok sorundan bazılarıdır. Genellikle belirli bir sayının kesirini bulmaya yönelik problemler olarak adlandırılırlar.

Sorunun çözümü 1. 60 ruble'den. 1/3'ünü kitaplara harcadım; Bu, kitapların maliyetini bulmak için 60 sayısını 3'e bölmeniz gerektiği anlamına gelir:

Sorunu çözme 2. Sorunun özü 300 km'nin 2/3'ünü bulmanız gerektiğidir. Önce 300'ün 1/3'ünü hesaplayalım; bu, 300 km'nin 3'e bölünmesiyle elde edilir:

300: 3 = 100 (yani 300'ün 1/3'ü).

300'ün üçte ikisini bulmak için elde edilen bölümü ikiye katlamanız, yani 2 ile çarpmanız gerekir:

100 x 2 = 200 (yani 300'ün 2/3'ü).

Sorunu çözme 3. Burada 400'ün 3/4'ünü oluşturan tuğla ev sayısını belirlemeniz gerekiyor. Önce 400'ün 1/4'ünü bulalım,

400: 4 = 100 (bu 400'ün 1/4'ü).

400'ün dörtte üçünü hesaplamak için elde edilen bölümün üç katına çıkarılması, yani 3 ile çarpılması gerekir:

100 x 3 = 300 (yani 400'ün 3/4'ü).

Bu problemlerin çözümüne dayanarak aşağıdaki kuralı çıkarabiliriz:

Belirli bir sayıdan bir kesrin değerini bulmak için, bu sayıyı kesrin paydasına bölmeniz ve elde edilen bölümü pay ile çarpmanız gerekir.

3. Bir tam sayıyı kesirle çarpmak.

Daha önce (§ 26), tam sayıların çarpımının aynı terimlerin toplamı olarak anlaşılması gerektiği tespit edilmişti (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20). Bu paragrafta (1. nokta), bir kesri bir tamsayı ile çarpmanın, bu kesire eşit özdeş terimlerin toplamını bulmak anlamına geldiği tespit edilmiştir.

Her iki durumda da çarpma aynı terimlerin toplamını bulmaktan ibaretti.

Şimdi bir tam sayıyı kesirle çarpma işlemine geçiyoruz. Burada örneğin çarpma işlemiyle karşılaşacağız: 9 2/3. Çarpmanın önceki tanımının bu durum için geçerli olmadığı açıktır. Bu, böyle bir çarpma işlemini eşit sayıları toplayarak değiştiremeyeceğimiz gerçeğinden açıkça anlaşılmaktadır.

Bu nedenle çarpmanın yeni bir tanımını yapmamız, yani kesirle çarpmaktan ne anlaşılması gerektiği, bu eylemin nasıl anlaşılması gerektiği sorusuna cevap vermemiz gerekecek.

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmanın anlamı aşağıdaki tanımdan açıkça anlaşılmaktadır: bir tamsayıyı (çarpan) bir kesirle (çarpan) çarpmak, çarpımın bu kesirini bulmak anlamına gelir.

Yani 9'u 2/3 ile çarpmak dokuz birimin 2/3'ünü bulmak demektir. Önceki paragrafta bu tür sorunlar çözüldü; yani sonunda 6'ya ulaşacağımızı anlamak kolaydır.

Ancak şimdi ilginç ve önemli bir soru ortaya çıkıyor: Eşit sayıların toplamını bulmak ve bir sayının kesirini bulmak gibi görünüşte farklı olan işlemlere neden aritmetikte aynı "çarpma" kelimesi denir?

Bunun nedeni, önceki eylemin (sayıyı terimlerle birkaç kez tekrarlamak) ve yeni eylemin (sayıyı kesirini bulma) homojen sorulara yanıt vermesidir. Bu, burada homojen soruların veya görevlerin aynı eylemle çözüldüğü düşüncesinden yola çıktığımız anlamına gelir.

Bunu anlamak için şu sorunu düşünün: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Böyle bir kumaşın 4 m'si ne kadara mal olur?

Bu sorun, ruble sayısının (50) metre sayısıyla (4) çarpılmasıyla çözülür, yani. 50 x 4 = 200 (ruble).

Aynı problemi ele alalım, ancak içindeki kumaş miktarı kesir olarak ifade edilecektir: “1 m kumaşın maliyeti 50 ruble. Bu kumaşın 3/4 metresi ne kadara mal olur?”

Bu sorunun ayrıca ruble sayısını (50) metre sayısıyla (3/4) çarparak çözülmesi gerekiyor.

Sorunun anlamını değiştirmeden içindeki sayıları birkaç kez daha değiştirebilirsiniz, örneğin 9/10 m veya 2 3/10 m vb.

Bu problemler aynı içeriğe sahip olduğundan ve yalnızca sayıları farklı olduğundan, bunları çözmek için kullanılan eylemlere aynı kelime - çarpma adını veriyoruz.

Bir tam sayıyı kesirle nasıl çarparsınız?

Son problemde karşılaşılan sayıları ele alalım:

Tanıma göre 50'nin 3/4'ünü bulmamız gerekiyor. Önce 50'nin 1/4'ünü, sonra 3/4'ünü bulalım.

50'nin 1/4'ü 50/4;

50 sayısının 3/4'ü

Buradan.

Başka bir örneği ele alalım: 12 5/8 =?

12 sayısının 1/8'i 12/8'dir,

12 sayısının 5/8'i .

Buradan,

Buradan kuralı anlıyoruz:

Bir tam sayıyı bir kesirle çarpmak için, tam sayıyı kesrin payıyla çarpıp bu çarpımı pay yapıp, bu kesrin paydasını da payda olarak imzalamanız gerekir.

Bu kuralı harfler kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, § 38'de belirtilen bir sayıyı bir bölümle çarpma kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır.

Çarpma işlemini yapmadan önce (mümkünse) yapmanız gerektiğini hatırlamak önemlidir. indirimler, Örneğin:

4. Bir kesri bir kesirle çarpmak. Bir kesri bir kesirle çarpmak, bir tam sayıyı bir kesirle çarpmakla aynı anlama gelir, yani bir kesri bir kesirle çarparken, ilk kesirden itibaren faktörde yer alan kesri (çarpan) bulmanız gerekir.

Yani 3/4'ü 1/2 (yarım) ile çarpmak 3/4'ün yarısını bulmak demektir.

Bir kesri bir kesirle nasıl çarparsınız?

Bir örnek verelim: 3/4'ün 5/7 ile çarpılması. Bu, 3/4'ün 5/7'sini bulmanız gerektiği anlamına gelir. Önce 3/4'ün 1/7'sini bulalım, sonra 5/7'yi bulalım.

3/4 sayısının 1/7'si şu şekilde ifade edilecektir:

5/7 sayısı 3/4 şu şekilde ifade edilecektir:

Böylece,

Başka bir örnek: 5/8'in 4/9 ile çarpılması.

5/8'in 1/9'u,

5/8 sayısının 4/9'u .

Böylece,

Bu örneklerden şu kural çıkarılabilir:

Bir kesri bir kesirle çarpmak için payı payla, paydayı paydayla çarpmanız ve ilk çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda yapmanız gerekir.

Bu kural genel şekliyle şu şekilde yazılabilir:

Çarpma yaparken (mümkünse) azaltma yapmak gerekir. Örneklere bakalım:

5. Karışık sayıların çarpımı. Karışık sayılar kolayca yanlış kesirlerle değiştirilebildiğinden, bu durum genellikle tam sayılı sayıların çarpılmasında kullanılır. Bu, çarpımın, faktörün veya her ikisinin de karışık sayı olarak ifade edildiği durumlarda bunların yerine uygunsuz kesirlerin kullanıldığı anlamına gelir. Örneğin karışık sayıları çarpalım: 2 1/2 ve 3 1/5. Her birini uygunsuz bir kesire dönüştürelim ve ardından elde edilen kesirleri, bir kesri bir kesirle çarpma kuralına göre çarpalım:

Kural. Tam sayılı sayıları çarpmak için, önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, sonra da kesirleri kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Not. Faktörlerden biri tam sayı ise, dağıtım kanununa göre çarpma işlemi aşağıdaki gibi yapılabilir:

6. Faiz kavramı. Problemleri çözerken ve çeşitli pratik hesaplamalar yaparken her türlü kesiri kullanırız. Ancak, birçok niceliğin sadece herhangi birine değil, doğal bölünmelere de izin verdiği akılda tutulmalıdır. Örneğin, bir rublenin yüzde birini (1/100) alabilirsiniz, bu bir kopek olacaktır, iki yüzde biri 2 kopek, üç yüzde biri 3 kopektir. Bir rublenin 1/10'unu alabilirsiniz, "10 kopek veya on kopeklik bir parça olacaktır. Çeyrek ruble yani 25 kopek, yarım ruble yani 50 kopek (elli kopek) alabilirsiniz. Ama pratikte almıyorlar, örneğin rublenin 2/7'sini çünkü ruble yediye bölünmemiş.

Ağırlık birimi, yani kilogram, öncelikle ondalık bölmelere izin verir, örneğin 1/10 kg veya 100 g. Ve kilogramın 1/6, 1/11, 1/13 gibi kesirleri yaygın değildir.

Genel olarak (metrik) ölçülerimiz ondalıktır ve ondalık bölmelere izin verir.

Bununla birlikte, çok çeşitli durumlarda aynı (tek tip) miktarları alt bölümlere ayırma yöntemini kullanmanın son derece yararlı ve kullanışlı olduğu unutulmamalıdır. Uzun yıllara dayanan deneyim, böylesine haklı bir bölünmenin “yüzüncü” bölünme olduğunu göstermiştir. İnsan pratiğinin çok çeşitli alanlarıyla ilgili birkaç örneği ele alalım.

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatının 12/100'ü kadar düştü.

Örnek. Kitabın önceki fiyatı 10 rubleydi. 1 ruble azaldı. 20 kopek

2. Tasarruf bankaları, yıl içinde tasarruf için yatırılan tutarın 2/100'ünü mudilere öder.

Örnek. Kasaya 500 ruble yatırılıyor, bu tutardan yıllık gelir 10 ruble.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı toplam öğrenci sayısının 5/100'ü kadardı.

ÖRNEK Okulda sadece 1.200 öğrenci vardı ve bunların 60'ı mezun oldu.

Bir sayının yüzde birlik kısmına yüzde denir.

"Yüzde" kelimesi Latince'den alınmıştır ve "yüzde" kökü yüz anlamına gelir. Bu kelime (pro centum) edatıyla birlikte “yüz için” anlamına gelir. Bu ifadenin anlamı, başlangıçta eski Roma'da borçlunun borç verene "yüz başına" ödediği paraya verilen isim olmasından kaynaklanmaktadır. "Sent" kelimesi çok tanıdık kelimelerle duyulur: centner (yüz kilogram), santimetre (santimetre diyelim).

Mesela fabrika geçen ay ürünlerinin 1/100'ünü kusurlu üretti demek yerine şunu söyleyeceğiz: fabrika geçen ay yüzde 1 kusurlu üretti. Fabrika belirlenen plandan 4/100 daha fazla ürün üretti demek yerine fabrika planı yüzde 4 oranında aştı diyeceğiz.

Yukarıdaki örnekler farklı şekilde ifade edilebilir:

1. Kitapların fiyatı önceki fiyatına göre yüzde 12 oranında düştü.

2. Tasarruf bankaları, mevduat sahiplerine, tasarruflara yatırılan tutar üzerinden yılda yüzde 2 oranında ödeme yapar.

3. Bir okuldan mezun olanların sayısı tüm okul öğrencilerinin yüzde 5'iydi.

Harfi kısaltmak için “yüzde” kelimesi yerine % sembolü yazmak adettendir.

Ancak hesaplamalarda % işaretinin genellikle yazılmadığını, problem ifadesinde ve nihai sonuçta yazılabileceğini unutmamalısınız. Hesaplama yaparken bu sembolle tam sayı yerine paydası 100 olan kesir yazmanız gerekmektedir.

Belirtilen simgeye sahip bir tam sayıyı, paydası 100 olan bir kesirle değiştirebilmeniz gerekir:

Tersine, paydası 100 olan bir kesir yerine belirtilen simgeye sahip bir tam sayı yazmaya alışmanız gerekir:

7. Verilen bir sayının yüzdesini bulma.

Görev 1. Okul 200 metreküp aldı. m2 yakacak odun, huş ağacı yakacak odunu %30'dur. Orada ne kadar huş ağacı odunu vardı?

Bu sorunun anlamı, okula teslim edilen yakacak odunun yalnızca bir kısmını huş ağacı odununun oluşturması ve bu kısmın 30/100 kesiriyle ifade edilmesidir. Bu, bir sayının kesirini bulma görevimiz olduğu anlamına gelir. Bunu çözmek için 200'ü 30/100 ile çarpmamız gerekir (bir sayının kesirini bulma problemleri, sayının kesirle çarpılmasıyla çözülür.).

Bu, 200'ün %30'unun 60'a eşit olduğu anlamına gelir.

Bu problemde karşılaşılan 30/100 kesri 10'a kadar azaltılabilir. Bu azaltmayı en baştan yapmak mümkün olacaktır; sorunun çözümü değişmeyecekti.

Görev 2. Kampta çeşitli yaşlarda 300 çocuk vardı. Yüzde 21'ini 11 yaşındaki çocuklar, yüzde 61'ini 12 yaşındaki çocuklar ve yüzde 18'ini ise 13 yaşındaki çocuklar oluşturdu. Kampta her yaştan kaç çocuk vardı?

Bu problemde üç hesaplama yapmanız gerekir; yani sırayla 11 yaşında, sonra 12 yaşında ve son olarak 13 yaşında olan çocukların sayısını bulmanız gerekir.

Bu, burada sayının kesirini üç kez bulmanız gerekeceği anlamına gelir. Hadi şunu yapalım:

1) Orada 11 yaşında kaç çocuk vardı?

2) Orada 12 yaşında kaç çocuk vardı?

3) Orada 13 yaşında kaç çocuk vardı?

Problemi çözdükten sonra bulunan sayıları eklemekte fayda var; toplamları 300 olmalıdır:

63 + 183 + 54 = 300

Ayrıca problem tanımında verilen yüzdelerin toplamının 100 olduğunu da belirtelim:

21% + 61% + 18% = 100%

Bu durum kamptaki toplam çocuk sayısının %100 olarak alındığını göstermektedir.

3 a d a h a 3.İşçi ayda 1.200 ruble alıyordu. Bunun %65'ini gıdaya, %6'sını apartman ve ısınmaya, %4'ünü gaz, elektrik ve radyoya, %10'unu kültürel ihtiyaçlara ve %15'ini tasarrufa harcadı. Görevde belirtilen ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

Bu problemi çözmek için 1.200'ün kesrini 5 kere bulmanız gerekiyor.

1) Gıdaya ne kadar para harcandı? Sorun diyor ki bu gider toplam kazancın %65'i, yani 1.200 sayısının 65/100'ü. Şimdi hesaplamayı yapalım:

2) Isıtmalı bir daireye ne kadar para ödediniz? Bir öncekine benzer şekilde akıl yürüterek aşağıdaki hesaplamaya ulaşıyoruz:

3) Gaz, elektrik ve radyoya ne kadar para ödediniz?

4) Kültürel ihtiyaçlara ne kadar para harcandı?

5) İşçi ne kadar para biriktirdi?

Kontrol etmek için bu 5 soruda bulunan sayıları toplamakta fayda var. Miktar 1.200 ruble olmalıdır. Tüm kazançlar %100 olarak alınır; bu, sorun bildiriminde verilen yüzde sayıları toplanarak kolayca kontrol edilebilir.

Üç sorunu çözdük. Bu sorunlar farklı konularla ilgili olmasına rağmen (okula yakacak odun sağlanması, farklı yaştaki çocuk sayısı, işçinin masrafları) aynı şekilde çözüldü. Bunun nedeni, tüm problemlerde verilen sayıların yüzde birkaçını bulmanın gerekli olmasıdır.

§ 90. Kesirlerin bölünmesi.

Kesirlerde bölme işlemini incelerken aşağıdaki soruları ele alacağız:

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.
2. Bir kesri tam sayıya bölmek
3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.
4. Bir kesri bir kesire bölmek.
5. Karışık sayıların bölümü.
6. Verilen kesirden bir sayı bulma.
7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bunları sırasıyla ele alalım.

1. Bir tam sayıyı bir tam sayıya bölün.

Tamsayılar bölümünde belirtildiği gibi bölme, iki faktörün (temettü) ve bu faktörlerden birinin (bölen) çarpımı verildiğinde başka bir faktörün bulunmasından oluşan eylemdir.

Tam sayılar bölümünde bir tam sayının bir tam sayıya bölünmesi konusunu inceledik. Burada iki bölme durumuyla karşılaştık: kalansız bölme veya “tamamen” (150: 10 = 15) ve kalanlı bölme (100: 9 = 11 ve 1 kalan). Bu nedenle, tamsayılar alanında tam bölmenin her zaman mümkün olmadığını söyleyebiliriz, çünkü bölen her zaman tamsayıya göre bölünen ürün değildir. Bir kesirle çarpmayı tanıttıktan sonra, tam sayıların her türlü bölünmesini mümkün görebiliriz (yalnızca sıfıra bölme hariçtir).

Örneğin 7'yi 12'ye bölmek, 12 ile çarpımı 7 olacak bir sayı bulmak anlamına gelir. Böyle bir sayı 7/12 kesridir çünkü 7/12 12 = 7'dir. Başka bir örnek: 14: 25 = 14/25, çünkü 14/25 25 = 14.

Dolayısıyla bir tam sayıyı bir tam sayıya bölmek için payı bölene, paydası bölene eşit olan bir kesir oluşturmanız gerekir.

2. Bir kesri tam sayıya bölmek.

6/7 kesirini 3'e bölün. Yukarıda verilen bölme tanımına göre, elimizde (6/7) çarpımı ve (3) çarpanlarından biri var; 3 ile çarpıldığında verilen çarpımı 6/7 verecek ikinci bir çarpan bulmak gerekir. Açıkçası, bu üründen üç kat daha küçük olması gerekir. Bu, bize verilen görevin 6/7 kesirini 3 kat azaltmak olduğu anlamına geliyor.

Bir kesri azaltmanın payını azaltarak ya da paydasını artırarak yapılabileceğini zaten biliyoruz. Bu nedenle şunu yazabilirsiniz:

Bu durumda pay 6 3'e bölünebildiğinden payın 3 katına çıkarılması gerekir.

Başka bir örnek verelim: 5/8 bölü 2. Burada pay 5, 2'ye bölünemez, bu da paydanın bu sayıyla çarpılması gerektiği anlamına gelir:

Buna dayanarak şöyle bir kural yapılabilir: Bir kesri bir tam sayıya bölmek için kesrin payını o tam sayıya bölmeniz gerekir.(mümkünse), aynı paydayı bırakarak veya kesrin paydasını aynı payda bırakarak bu sayıyla çarpın.

3. Bir tam sayıyı kesre bölmek.

5'i 1/2'ye bölmek gerekli olsun, yani 1/2 ile çarpıldığında 5 sonucunu verecek bir sayı bulun. 1/2 tam kesir olduğundan bu sayının 5'ten büyük olması gerektiği açıktır. ve bir sayıyı çarparken uygun bir kesrin çarpımı çarpılacak çarpımdan küçük olmalıdır. Bunu daha açık hale getirmek için eylemlerimizi şu şekilde yazalım: 5: 1/2 = X bu da x 1/2 = 5 anlamına gelir.

Böyle bir sayı bulmalıyız X 1/2 ile çarpılırsa 5 verir. Belirli bir sayıyı 1/2 ile çarpmak bu sayının 1/2'sini bulmak anlamına geldiğinden, bilinmeyen sayının 1/2'si olur. X 5'e eşittir ve tam sayı X iki katı, yani 5 2 = 10.

Yani 5: 1/2 = 5 2 = 10

Kontrol edelim:

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 6'yı 2/3'e bölmek istiyorsunuz. Öncelikle çizimi kullanarak istenen sonucu bulmaya çalışalım (Şek. 19).

Şekil 19

6 birime eşit bir AB doğru parçası çizelim ve her birimi 3 eşit parçaya bölelim. Her birimde, tüm AB segmentinin üçte üçü (3/3) 6 kat daha büyüktür, yani. e.18/3. Küçük parantezler kullanarak sonuçta ortaya çıkan 2'lik 18 parçayı birleştiriyoruz; Sadece 9 bölüm olacak. Bu, 2/3 kesirinin 6 birimde 9 kez yer alması, yani 2/3 kesirinin 6 tam birimden 9 kat eksik olması anlamına gelir. Buradan,

Yalnızca hesaplamaları kullanarak çizim yapmadan bu sonucu nasıl elde edebilirim? Şöyle mantık yürütelim: 6'yı 2/3'e bölmemiz gerekiyor, yani 2/3'ün kaç katı 6'da bulunur sorusuna cevap vermemiz gerekiyor. Önce şunu bulalım: 1/3'ün kaç katı 6'da bulunur? Bütün bir birimde üçte üç var ve 6 birimde 6 kat daha fazla, yani üçte 18 var; Bu sayıyı bulmak için 6'yı 3 ile çarpmamız gerekir. Bu, 1/3'ün b birimlerinde 18 kez, 2/3'ün b birimlerinde 18 kez değil yarısı kadar olduğu anlamına gelir, yani 18: 2 = 9 Bu nedenle 6'yı 2/3'e bölerken şunu yaptık:

Buradan bir tam sayıyı kesre bölme kuralını elde ederiz. Bir tam sayıyı kesire bölmek için, bu tam sayıyı verilen kesrin paydasıyla çarpmanız ve bu çarpımı pay yaparak, verilen kesrin payına bölmeniz gerekir.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bu kuralı tamamen açıklığa kavuşturmak için bir kesrin bölüm olarak değerlendirilebileceğini unutmamak gerekir. Bu nedenle, bulunan kuralı, bir sayıyı § 38'de belirtilen bir bölüme bölme kuralıyla karşılaştırmak faydalıdır. Lütfen aynı formülün orada da elde edildiğini unutmayın.

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

4. Bir kesri bir kesire bölmek.

Diyelim ki 3/4'ü 3/8'e bölmemiz gerekiyor. Bölünme sonucu elde edilen sayı ne anlama gelecektir? 3/4 kesrinin içinde 3/8 kesirinin kaç katı yer aldığı sorusuna cevap verecektir. Bu konuyu anlamak için bir çizim yapalım (Şek. 20).

Bir AB parçasını alalım, onu bir olarak alalım, 4 eşit parçaya bölelim ve bu tür 3 parçayı işaretleyelim. AC segmenti AB segmentinin 3/4'üne eşit olacaktır. Şimdi dört orijinal parçanın her birini ikiye bölelim, sonra AB doğru parçası 8 eşit parçaya bölünecek ve bu parçaların her biri AB doğru parçasının 1/8'ine eşit olacak. Bu tür 3 parçayı yaylarla birleştirelim, o zaman AD ve DC bölümlerinin her biri AB bölümünün 3/8'ine eşit olacaktır. Çizim, 3/8'e eşit bir parçanın, 3/4'e eşit bir parça içinde tam olarak 2 kez bulunduğunu göstermektedir; Bu, bölme sonucunun şu şekilde yazılabileceği anlamına gelir:

3 / 4: 3 / 8 = 2

Başka bir örneğe bakalım. Diyelim ki 15/16'yı 3/32'ye bölmemiz gerekiyor:

Şöyle mantık yürütebiliriz: 3/32 ile çarpıldığında 15/16 sonucunu verecek bir sayı bulmamız gerekiyor. Hesaplamaları şu şekilde yazalım:

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 bilinmeyen numara X 15/16

Bilinmeyen bir sayının 1/32'si X öyle,

32 / 32 sayıları X makyaj yapmak .

Buradan,

Dolayısıyla bir kesri bir kesire bölmek için, birinci kesrin payını ikincinin paydasıyla çarpmanız, birinci kesrin paydasını ikincinin payıyla çarpmanız ve ilk çarpımı pay yapmanız gerekir, ve ikincisi payda.

Kuralı harfleri kullanarak yazalım:

Bölme sırasında kısaltmalar mümkündür, örneğin:

5. Karışık sayıların bölümü.

Karışık sayıları bölerken, önce uygunsuz kesirlere dönüştürülmeli, daha sonra elde edilen kesirler kesirleri bölme kurallarına göre bölünmelidir. Bir örneğe bakalım:

Karışık sayıları bileşik kesirlere dönüştürelim:

Şimdi bölelim:

Bu nedenle, karışık sayıları bölmek için bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz ve ardından kesirleri bölme kuralını kullanarak bölmeniz gerekir.

6. Verilen kesirden bir sayı bulma.

Çeşitli kesir problemleri arasında bazen bilinmeyen bir sayının bir kesirinin değerinin verildiği ve bu sayıyı bulmanız gereken problemler vardır. Bu tür bir problem, belirli bir sayının kesirini bulma probleminin tersi olacaktır; orada bir sayı veriliyordu ve bu sayının bir kesrini bulmak gerekiyordu, burada bir sayının kesrini veriyordu ve bu sayıyı kendisinin bulması gerekiyordu. Bu tür bir sorunu çözmeye yönelirsek bu fikir daha da netleşecektir.

Görev 1.İlk gün camcılar, inşa edilen evin pencerelerinin 1/3'ü kadar olan 50 pencereyi camla kapladılar. Bu evde kaç pencere var?

Çözüm. Sorun, 50 camlı pencerenin evin tüm pencerelerinin 1/3'ünü oluşturduğunu söylüyor, bu da toplamda 3 kat daha fazla pencere olduğu anlamına geliyor, yani.

Evin 150 penceresi vardı.

Görev 2. Mağazada 1.500 kg un satıldı; bu da mağazanın sahip olduğu toplam un stoğunun 3/8'i anlamına geliyor. Mağazanın ilk un tedariki neydi?

Çözüm. Sorunun koşullarından, satılan 1.500 kg unun toplam stokun 3/8'ini oluşturduğu açıktır; Bu, bu rezervin 1/8'inin 3 kat daha az olacağı anlamına gelir, yani. hesaplamak için 1500'ü 3 kat azaltmanız gerekir:

1.500: 3 = 500 (bu, rezervin 1/8'idir).

Açıkçası, arzın tamamı 8 kat daha büyük olacak. Buradan,

500 8 = 4.000 (kg).

Mağazadaki ilk un stoğu 4.000 kg idi.

Bu problem dikkate alındığında aşağıdaki kural türetilebilir.

Kesirinin belirli bir değerinden bir sayı bulmak için, bu değeri kesrin payına bölmek ve sonucu kesrin paydasıyla çarpmak yeterlidir.

Kesri verilen bir sayıyı bulma konusunda iki problem çözdük. Bu tür problemler, sonuncusunda özellikle açıkça görüldüğü gibi, iki eylemle çözülür: bölme (bir parça bulunduğunda) ve çarpma (tam sayı bulunduğunda).

Ancak kesirlerde bölme işlemini öğrendikten sonra yukarıdaki problemleri tek bir hareketle, yani kesre bölmeyle çözebiliriz.

Örneğin, son görev şu şekilde tek bir eylemle çözülebilir:

Gelecekte, bir sayıyı kesirinden bulma problemlerini tek eylemle - bölmeyle çözeceğiz.

7. Bir sayıyı yüzdesine göre bulma.

Bu problemlerde o sayının yüzde birkaçını bilen bir sayı bulmanız gerekecektir.

Görev 1. Bu yılın başında tasarruf bankasından 60 ruble aldım. bir yıl önce tasarrufa koyduğum miktardan elde edilen gelir. Tasarruf bankasına ne kadar para yatırdım? (Kasalar mevduat sahiplerine yılda %2 getiri sağlıyor.)

Sorunun anlamı şu ki, bir miktar parayı bir tasarruf bankasına yatırdım ve orada bir yıl kaldım. Bir yıl sonra ondan 60 ruble aldım. yatırdığım paranın 2/100'ü kadar gelir. Ne kadar para yatırdım?

Sonuç olarak, bu paranın iki şekilde (ruble ve kesir olarak) ifade edilen kısmını bildiğimizde, henüz bilinmeyen miktarın tamamını bulmamız gerekir. Bu, kesri verilen bir sayıyı bulmanın sıradan bir problemidir. Aşağıdaki problemler bölme işlemiyle çözülür:

Bu, tasarruf bankasına 3.000 ruble yatırıldığı anlamına geliyor.

Görev 2. Balıkçılar iki haftada aylık planı yüzde 64 oranında yerine getirerek 512 ton balık topladı. Planları neydi?

Sorunun koşullarından balıkçıların planın bir kısmını tamamladığı biliniyor. Bu kısım 512 tona yani planın %64'üne tekabül ediyor. Plana göre kaç ton balığın hazırlanması gerektiğini bilmiyoruz. Bu numarayı bulmak sorunun çözümü olacaktır.

Bu tür problemler bölünmeyle çözülür:

Bu da plana göre 800 ton balığın hazırlanması gerektiği anlamına geliyor.

Görev 3. Tren Riga'dan Moskova'ya gitti. 276. kilometreyi geçtiğinde yolculardan biri yoldan geçen kondüktöre yolculuğun ne kadarını kat ettiklerini sordu. Bunun üzerine kondüktör şu cevabı verdi: "Zaten tüm yolculuğun %30'unu kat ettik." Riga ile Moskova arasındaki mesafe ne kadar?

Sorunlu koşullardan Riga'dan Moskova'ya olan güzergahın %30'unun 276 km olduğu açıktır. Bu şehirler arasındaki mesafenin tamamını yani bu kısım için bütünü bulmamız gerekiyor:

§ 91. Karşılıklı sayılar. Bölmeyi çarpma ile değiştirmek.

2/3 kesirini alıp paydanın yerine pay koyarsak 3/2 elde ederiz. Bu kesrin tersini aldık.

Belirli bir kesrin tersini elde etmek için, payını paydanın yerine, paydayı da payın yerine koymanız gerekir. Bu şekilde herhangi bir kesrin tersini alabiliriz. Örneğin:

3/4, ters 4/3; 5/6, ters 6/5

Birincinin payının ikincinin paydası ve birincinin paydasının ikincinin payı olması özelliğine sahip iki kesre ne ad verilir? karşılıklı olarak ters.

Şimdi 1/2'nin tersinin ne olacağını düşünelim. Açıkçası 2/1 veya sadece 2 olacak. Verilen kesrin ters kısmını arayarak bir tam sayı elde ettik. Ve bu durum münferit bir durum değil; aksine, payı 1 (bir) olan tüm kesirler için karşılıklı sayılar tamsayı olacaktır, örneğin:

1/3, ters 3; 1/5, ters 5

Karşılıklı kesirleri bulurken tamsayılarla da karşılaştığımız için, bundan sonra karşılıklı kesirlerden değil, karşılıklı sayılardan bahsedeceğiz.

Bir tam sayının tersinin nasıl yazılacağını bulalım. Kesirler için bu basitçe çözülebilir: paydayı payın yerine koymanız gerekir. Aynı şekilde herhangi bir tam sayının paydası 1 olabileceği için bir tam sayının tersini de alabilirsiniz. Bu da 7'nin tersinin 1/7 olacağı anlamına gelir, çünkü 7 = 7/1; 10 sayısı için tersi 1/10 olacaktır, çünkü 10 = 10/1

Bu fikir farklı şekilde ifade edilebilir: Belirli bir sayının tersi, birinin belirli bir sayıya bölünmesiyle elde edilir. Bu ifade sadece tam sayılar için değil kesirler için de geçerlidir. Hatta 5/9 kesrinin tersini yazmamız gerekirse 1 alıp 5/9'a bölebiliriz yani.

Şimdi bir şeye dikkat çekelim mülk bizim için yararlı olacak karşılıklı sayılar: karşılıklı sayıların çarpımı bire eşittir. Aslında:

Bu özelliği kullanarak karşılıklı sayıları aşağıdaki şekilde bulabiliriz. Diyelim ki 8'in tersini bulmamız gerekiyor.

Bunu harfle belirtelim X , sonra 8 X = 1, dolayısıyla X = 1/8. 7/12'nin tersi olan başka bir sayı bulalım ve onu harfiyle gösterelim. X , sonra 7/12 X = 1, dolayısıyla X = 1: 7/12 veya X = 12 / 7 .

Kesirleri bölmeyle ilgili bilgileri biraz desteklemek için burada karşılıklı sayılar kavramını tanıttık.

6 sayısını 3/5'e böldüğümüzde şunu yaparız:

İfadeye özellikle dikkat edin ve onu verilen ifadeyle karşılaştırın: .

İfadeyi öncekiyle bağlantısı olmadan ayrı ayrı alırsak, o zaman nereden geldiği sorusunu çözmek imkansızdır: 6'yı 3/5'e bölmek veya 6'yı 5/3 ile çarpmak. Her iki durumda da aynı şey olur. Bu nedenle söyleyebiliriz bir sayıyı diğerine bölmek, bölenin tersiyle çarpılmasıyla değiştirilebilir.

Aşağıda vereceğimiz örnekler bu sonucu tamamen doğrulamaktadır.

ŞİMDİDEN BU TIRMIKLARI AŞIN! 🙂

Kesirlerde çarpma ve bölme.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok “pek değil” olanlar için. »
Ve “çok öyle” diyenler için. ")

Bu işlem toplama ve çıkarma işleminden çok daha keyifli! Çünkü daha kolay. Bir hatırlatma olarak, bir kesri bir kesirle çarpmak için payları (bu, sonucun payı olacaktır) ve paydaları (bu payda olacaktır) çarpmanız gerekir. Yani:

Her şey son derece basit. Ve lütfen ortak payda aramayın! Burada ona gerek yok...

Bir kesri kesre bölmek için işlemi tersine çevirmeniz gerekir. ikinci(bu önemlidir!) kesir yapın ve bunları çarpın, yani:

Tamsayılar ve kesirlerle çarpma veya bölme işlemiyle karşılaşırsanız sorun değil. Toplama işleminde olduğu gibi, paydası bir olan bir tam sayıdan kesir yaparız ve devam ederiz! Örneğin:

Lisede sık sık üç katlı (hatta dört katlı!) kesirlerle uğraşmak zorunda kalırsınız. Örneğin:

Bu kesirin düzgün görünmesini nasıl sağlayabilirim? Evet, çok basit! İki noktalı bölmeyi kullanın:

Ancak bölünme sırasını unutmayın! Çarpmanın aksine burada bu çok önemli! Elbette 4:2 ile 2:4’ü karıştırmayacağız. Ancak üç katlı bir kesirde hata yapmak kolaydır. Lütfen örneğin şunu unutmayın:

İlk durumda (soldaki ifade):

İkincisinde (sağdaki ifade):

Farkı hissediyor musun? 4 ve 1/9!

Bölünme sırasını ne belirler? Ya parantezlerle, ya da (burada olduğu gibi) yatay çizgilerin uzunluğuyla. Gözünüzü geliştirin. Ve eğer parantez veya tire yoksa, örneğin:

sonra böl ve çarp sırasıyla soldan sağa!

Ve çok basit ve önemli bir teknik daha. Dereceli eylemlerde size çok faydalı olacaktır! Birini herhangi bir kesre, örneğin 13/15'e bölelim:

Vuruş tersine döndü! Ve bu her zaman olur. 1'i herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesirdir, yalnızca ters kısmı aşağıdadır.

Kesirli işlemler için bu kadar. Olay oldukça basit ama gereğinden fazla hata veriyor. Pratik tavsiyeleri dikkate alın; daha az hata (hata) olacaktır!

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir! Bunlar genel sözler değil, iyi dilekler değil! Bu çok ciddi bir gereklilik! Birleşik Devlet Sınavındaki tüm hesaplamaları tam teşekküllü, odaklanmış ve net bir görev olarak yapın. Zihinsel hesaplamalar yaparken ortalığı karıştırmaktansa taslağınıza fazladan iki satır yazmak daha iyidir.

2. Farklı kesir türlerine sahip örneklerde sıradan kesirlere geçiyoruz.

3. Tüm kesirleri durana kadar azaltıyoruz.

4. Çok seviyeli kesirli ifadeleri iki noktaya bölmeyi kullanarak sıradan ifadelere indirgeriz (bölme sırasını takip ederiz!).

İşte mutlaka tamamlamanız gereken görevler. Cevaplar tüm görevlerden sonra verilir. Bu konuyla ilgili materyalleri ve pratik ipuçlarını kullanın. Kaç örneği doğru çözebildiğinizi tahmin edin. İlk defa doğru! Hesap makinesi olmadan! Ve doğru sonuçları çıkarın.

Unutmayın - doğru cevap ikinciden (özellikle üçüncüden) alınanlar sayılmaz! Zorlu hayat böyle.

Bu yüzden, sınav modunda çöz ! Bu arada, bu zaten Birleşik Devlet Sınavına hazırlık. Örneği çözüyoruz, kontrol ediyoruz, bir sonrakini çözüyoruz. Her şeye karar verdik - baştan sona tekrar kontrol ettik. Ve sadece Daha sonra cevaplara bakın.

Sizinkine uygun cevaplar arıyoruz. Bunları kasıtlı olarak, deyim yerindeyse, ayartılmadan, kargaşa içinde yazdım. İşte bunlar, noktalı virgülle ayrılmış cevaplar.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Şimdi sonuçlar çıkarıyoruz. Her şey yolunda gittiyse, senin adına sevindim! Kesirlerle yapılan temel hesaplamalar sizin sorununuz değil! Daha ciddi şeyler yapabilirsiniz. Değilse.

Yani iki problemden birine sahipsiniz. Veya her ikisi de aynı anda.) Bilgi eksikliği ve (veya) dikkatsizlik. Ancak. Bu çözülebilir sorunlar.

Tüm bu (ve daha fazlası!) örnekler Özel Bölüm 555 “Kesirler” bölümünde tartışılmaktadır. Ne, neden ve nasıl hakkında ayrıntılı açıklamalar. Bu analiz bilgi ve beceri eksikliğinde çok yardımcı olur!

Evet, ikinci sorunla ilgili de bir şeyler var.) Oldukça pratik bir tavsiye, nasıl daha dikkatli olunur. Evet, evet! Uygulanabilecek tavsiyeler Her.

Başarı, bilgi ve dikkatin yanı sıra belli bir otomatiklik de gerektirir. Nereden alabilirim? Ağır bir iç çekiş duyuyorum... Evet, sadece pratikte, başka hiçbir yerde.

Eğitim için 321start.ru web sitesine gidebilirsiniz. “Dene” seçeneğinde herkes için 10 örnek var. Anında doğrulama ile. Kayıtlı kullanıcılar için - Basitten ciddiye 34 örnek. Bu sadece kesirler halindedir.

Bu siteyi beğendiyseniz.

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Burada örnek çözme pratiği yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Ve burada fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi edinebilirsiniz.

Kural 1.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için payını bu sayıyla çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Kural 2.

Bir kesri bir kesirle çarpmak için:

1. Bu kesirlerin paylarının çarpımını ve paydalarının çarpımını bulun

2. Birinci çarpımı pay, ikinci çarpımı da payda olarak yazın.

Kural 3.

Karışık sayıları çarpmak için bunları hatalı kesirler olarak yazmanız ve ardından kesirlerle çarpma kuralını kullanmanız gerekir.

Kural 4.

Bir kesri diğerine bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.

Örnek 1.

Hesaplamak

Örnek 2.

Hesaplamak

Örnek 3.

Hesaplamak

Örnek 4.

Hesaplamak

Matematik. Diğer malzemeler

Bir sayının rasyonel kuvvetine yükseltilmesi. (

Bir sayının doğal kuvvetine yükseltilmesi. (

Cebirsel eşitsizlikleri çözmek için genelleştirilmiş aralık yöntemi (Yazar A.V. Kolchanov)

Cebirsel eşitsizlikleri çözerken faktörleri değiştirme yöntemi (Yazar A.V. Kolchanov)

Bölünebilme belirtileri (Lungu Alena)

'Sıradan kesirlerde çarpma ve bölme' konusunda kendinizi sınayın

Kesirlerin Çarpılması

Sıradan kesirlerin çarpımını birkaç olası seçenekte ele alacağız.

Ortak bir kesirin bir kesirle çarpılması

Bu, aşağıdakileri kullanmanız gereken en basit durumdur kesirlerle çarpma kuralları.

İle kesri kesirle çarpma, gerekli:

birinci kesrin payını ikinci kesrin payı ile çarpın ve bunların çarpımını yeni kesrin payına yazın;

birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın ve bunların çarpımını yeni kesrin paydasına yazın;

Pay ve paydaları çarpmadan önce kesirlerin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol edin. Hesaplamalarda kesirleri azaltmak hesaplamalarınızı çok daha kolaylaştıracaktır.

Bir kesirin bir doğal sayıyla çarpılması

Kesir yapmak için bir doğal sayıyla çarpmak Kesrin payını bu sayıyla çarpmanız ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Çarpmanın sonucu uygunsuz bir kesir ise, onu karışık bir sayıya dönüştürmeyi, yani tüm kısmı vurgulamayı unutmayın.

Karışık Sayılarda Çarpma

Tam sayılı kesirleri çarpmak için önce bunları bileşik kesirlere dönüştürmeniz, ardından normal kesirlerle çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın başka bir yolu

Bazen hesaplamalar yaparken, ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın başka bir yöntemini kullanmak daha uygundur.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı aynı bırakmanız gerekir.

Örnekten görülebileceği gibi, kuralın bu versiyonunun, kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünebilmesi durumunda kullanılması daha uygundur.

Bir kesri bir sayıya bölmek

Bir kesri bir sayıya bölmenin en hızlı yolu nedir? Teoriyi analiz edelim, bir sonuç çıkaralım ve yeni bir kısa kural kullanarak bir kesri bir sayıya bölmenin nasıl yapılabileceğini görmek için örnekler kullanalım.

Tipik olarak, bir kesri bir sayıya bölmek, kesirleri bölme kuralını izler. İlk sayıyı (kesir) ikincinin tersiyle çarpıyoruz. İkinci sayı bir tam sayı olduğundan tersi, payı bire ve paydası verilen sayıya eşit olan bir kesirdir. Bir kesri bir doğal sayıya bölmek şematik olarak şöyle görünür:

Bundan şu sonuca varıyoruz:

Bir kesri bir sayıya bölmek için paydayı o sayıyla çarpmanız ve payı aynı bırakmanız gerekir. Kural daha da kısaca formüle edilebilir:

Bir kesri bir sayıya bölerken sayı paydaya girer.

Bir kesri bir sayıya bölün:

Bir kesri bir sayıya bölmek için payı değiştirmeden yeniden yazar ve paydayı bu sayıyla çarparız. 6 ve 3'ü 3'e indiriyoruz.

Bir kesri bir sayıya bölerken payı yeniden yazar ve paydayı o sayıyla çarparız. 16 ve 24'ü 8'e indiriyoruz.

Bir kesri bir sayıya bölerken sayı paydaya girer, bu nedenle payı aynı bırakıp paydayı bölenle çarparız. 21 ve 35'i 7'ye indiriyoruz.

Kesirlerde Çarpma ve Bölme

En son kesirlerde toplama ve çıkarma işlemlerini öğrendik (“Kesirlerde Toplama ve Çıkarma” dersine bakın). Bu eylemlerin en zor kısmı kesirleri ortak paydada buluşturmaktı.

İki kesri çarpmak için pay ve paydalarını ayrı ayrı çarpmanız gerekir. İlk sayı yeni kesrin payı, ikincisi ise paydası olacaktır.

İki kesri bölmek için, ilk kesri "tersine çevrilmiş" ikinci kesirle çarpmanız gerekir.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Tanım gereği elimizde:

Kesirlerin tam parçalarla ve negatif kesirlerle çarpılması

Kesirler bir tamsayı parçası içeriyorsa, bunların yanlış olanlara dönüştürülmesi ve ancak daha sonra yukarıda belirtilen şemalara göre çarpılması gerekir.

Bir kesrin payında, paydasında veya önünde bir eksi varsa, aşağıdaki kurallara göre çarpmadan çıkarılabilir veya tamamen çıkarılabilir:

Artı eksi eksi verir;
İki olumsuz bir olumlu yapar.

Negatifleri tamamen ortadan kaybolana kadar çiftler halinde çiziyoruz. Aşırı durumlarda, bir eksi hayatta kalabilir - eşi olmayan;
Eksi kalmadıysa işlem tamamlanmıştır - çarpmaya başlayabilirsiniz. Eğer son eksinin üzeri çizilmemişse, bunun için bir çift olmadığından onu çarpma sınırlarının dışına çıkarırız. Sonuç negatif bir kesirdir.

Tüm kesirleri bileşik kesirlere dönüştürüyoruz ve ardından eksileri çarpma işleminden çıkarıyoruz. Geriye kalanları alışılmış kurallara göre çarpıyoruz. Şunu elde ederiz:

Ayrıca negatif sayılara da dikkat edin: çarparken parantez içine alınırlar. Bu, eksileri çarpma işaretlerinden ayırmak ve tüm gösterimi daha doğru hale getirmek için yapılır.

Kesirlerin anında azaltılması

Tüm örneklerde azaltılan sayılar ve kalanlar kırmızıyla işaretlenmiştir.

Ancak kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken asla bu tekniği kullanmayın! Evet, bazen azaltmak istediğiniz benzer sayılar vardır. İşte, bakın:

Bunu yapamazsın!

Kesirleri azaltmanın başka hiçbir nedeni yoktur, dolayısıyla önceki problemin doğru çözümü şöyle görünür:

Gördüğünüz gibi doğru cevabın o kadar da güzel olmadığı ortaya çıktı. Genel olarak dikkatli olun.

Kesirleri bölme.

Bir kesri doğal bir sayıya bölmek.

Bir kesri doğal sayıya bölme örnekleri

Doğal bir sayıyı kesre bölme.

Doğal bir sayıyı kesre bölme örnekleri

Adi kesirlerin bölünmesi.

Sıradan kesirleri bölme örnekleri

Karışık sayıları bölme.

karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
birinci kesri ikincinin tersiyle çarpın;
ortaya çıkan fraksiyonu azaltın;
Uygunsuz bir kesir elde ederseniz, bileşik kesri karışık kesire dönüştürün.

Karışık sayıları bölme örnekleri

1 1 2: 2 2 3 = 1 2 + 1 2: 2 3 + 2 3 = 3 2: 8 3 = 3 2 3 8 = 3 3 2 8 = 9 16

2 1 7: 3 5 = 2 7 + 1 7: 3 5 = 15 7: 3 5 = 15 7 5 3 = 15 5 7 3 = 5 5 7 = 25 7 = 7 3 + 4 7 = 3 4 7

Müstehcen yorumlar silinecek ve yazarları kara listeye alınacaktır!

OnlineMSchool'a hoş geldiniz.
Benim adım Dovzhik Mihail Viktorovich. Bu sitenin sahibi ve yazarıyım, tüm teorik materyali ben yazdım ve ayrıca matematik çalışmak için kullanabileceğiniz çevrimiçi alıştırmalar ve hesap makineleri geliştirdim.

Kesirler. Kesirlerde çarpma ve bölme.

Ortak bir kesirin bir kesirle çarpılması.

Sıradan kesirleri çarpmak için payı payla (çarpımın payını elde ederiz) ve paydayı paydayla (çarpımın paydasını elde ederiz) çarpmanız gerekir.

Kesirleri çarpma formülü:

Pay ve paydaları çarpmaya başlamadan önce kesrin azaltılıp azaltılamayacağını kontrol etmeniz gerekir. Kesri azaltabilirseniz daha ileri hesaplamalar yapmanız daha kolay olacaktır.

Dikkat etmek! Burada ortak payda aramaya gerek yok!!

Ortak bir kesri bir kesire bölmek.

Sıradan bir kesri bir kesire bölmek şu şekilde gerçekleşir: İkinci kesri ters çevirirsiniz (yani pay ve paydayı değiştirirsiniz) ve bundan sonra kesirler çarpılır.

Sıradan kesirleri bölme formülü:

Bir kesirin bir doğal sayıyla çarpılması.

Dikkat etmek! Bir kesir bir doğal sayı ile çarpılırken kesrin payı doğal sayımızla çarpılır ve kesrin paydası aynı kalır. Ürünün sonucu uygunsuz bir kesir ise, uygunsuz kesiri karışık bir kesir haline getirerek tüm parçayı vurguladığınızdan emin olun.

Doğal sayılarla kesirleri bölme.

Göründüğü kadar korkutucu değil. Toplama işleminde olduğu gibi, tam sayıyı paydası bir olan kesre dönüştürüyoruz. Örneğin:

Karışık kesirlerin çarpılması.

Kesirleri çarpma kuralları (karışık):

karışık kesirleri bileşik kesirlere dönüştürmek;
kesirlerin pay ve paydalarının çarpılması;
fraksiyonu azaltın;
Eğer uygunsuz bir kesir elde ederseniz, yanlış kesri karışık kesire dönüştürürüz.

Dikkat etmek! Karışık bir kesiri başka bir karışık kesirle çarpmak için, önce bunları uygunsuz kesirler biçimine dönüştürmeniz ve ardından sıradan kesirleri çarpma kuralına göre çarpmanız gerekir.

Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmanın ikinci yolu.

Ortak bir kesri bir sayıyla çarpmanın ikinci yöntemini kullanmak daha uygun olabilir.

Dikkat etmek! Bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin paydasını bu sayıya bölmeniz ve payı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Yukarıda verilen örnekten, bir kesrin paydasının kalansız bir doğal sayıya bölünmesi durumunda bu seçeneğin kullanılmasının daha uygun olduğu açıktır.

Çok öykülü kesirler.

Lisede üç katlı (veya daha fazla) kesirlere sıklıkla rastlanır. Örnek:

Böyle bir kesri normal şekline getirmek için 2 noktaya bölmeyi kullanın:

Dikkat etmek! Kesirlerde bölme işleminde bölme sırası çok önemlidir. Dikkatli olun, burada kafanızın karışması kolaydır.

lütfen aklınızda bulundurun Örneğin:

Birini herhangi bir kesre böldüğünüzde sonuç aynı kesir olacaktır, yalnızca ters çevrilmiştir:

Kesirleri çarpmak ve bölmek için pratik ipuçları:

1. Kesirli ifadelerle çalışırken en önemli şey doğruluk ve dikkattir. Tüm hesaplamaları dikkatli ve doğru, konsantre ve net bir şekilde yapın. Zihinsel hesaplamalarda kaybolmaktansa taslağınıza fazladan birkaç satır yazmak daha iyidir.

2. Farklı kesir türlerine sahip görevlerde sıradan kesir türlerine gidin.

3. Tüm kesirleri azaltmak artık mümkün olmayana kadar azaltıyoruz.

4. Çok düzeyli kesirli ifadeleri 2 noktaya bölme yöntemini kullanarak sıradan ifadelere dönüştürüyoruz.

Alt ve alt Yeniden düzenlenen şarkı “Spring Tango” (Zamanı gelir - kuşlar güneyden uçar) - müzik. Valery Milyaev Yeterince duymadım, anlamadım, anlamadım, tahmin etmediğim anlamda, tüm fiilleri ayrılmaz bir şekilde yazdım, nedo önekini bilmiyordum. Öyle olur ki [...]
Sayfa bulunamadı Üçüncü son okumada, özel idari bölgelerin (SAR) oluşturulmasını öngören Hükümet belgeleri paketi kabul edildi. Avrupa Birliği'nden ayrılmanın bir sonucu olarak İngiltere, Avrupa KDV alanına dahil edilmeyecek ve […]
Ortak Soruşturma Komitesi sonbaharda ortaya çıkacak Ortak Soruşturma Komitesi sonbaharda ortaya çıkacak Dördüncü denemede tüm kolluk kuvvetlerine ilişkin soruşturma tek bir çatı altında toplanacak İzvestia'ya göre, Başkan Vladimir Putin zaten 2014 sonbaharında [ …]
Bir algoritma için patent Bir algoritma için patent neye benzer Bir algoritma için patent nasıl hazırlanır Sinyallerin ve/veya verilerin özellikle patentleme amacıyla saklanması, işlenmesi ve iletilmesi için yöntemlerin teknik açıklamalarının hazırlanması genellikle herhangi bir özel zorluk yaratmaz ve […]
YENİ EMEKLİLİK YASASI HAKKINDA BİLİNMESİ GEREKENLER 12 Aralık 1993 RUSYA FEDERASYONU ANAYASASI (Rusya Federasyonu Kanunlarının 30 Aralık 2008 tarihli Rusya Federasyonu Anayasasında değişiklik yapılmasına ilişkin yaptığı değişiklikler dikkate alınarak N 6- 30 Aralık 2008 tarihli FKZ, N 7-FKZ, […]
Günün kahramanı için bir kadının emekli maaşı, günün kahramanı için erkekler, günün kahramanı için koro halinde kadınlar, emeklilere adanmışlık, kadınlar, emekliler için komik yarışmalar hakkında komik sözler. : Sevgili dostlar! Bir dakika! Sansasyon! Sadece […]