Bu yazıda bu tür temel kurallara ayrıntılı olarak bakacağız. önemli konu matematik dersinde parantez açmak gibi. Kullanıldığı denklemleri doğru çözebilmek için parantez açma kurallarını bilmeniz gerekir.
Ekleme sırasında parantezlerin doğru şekilde açılması
Başında “+” işareti bulunan parantezleri genişletin
Bu en basit durumdur çünkü parantezlerin önünde ekleme işareti varsa parantez açıldığında içlerindeki işaretler değişmez. Örnek:
(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.
Başında "-" işareti bulunan parantezlerin genişletilmesi
İÇİNDE bu durumda tüm terimleri parantez olmadan yeniden yazmanız gerekir, ancak aynı zamanda içlerindeki tüm işaretleri de zıt işaretlerle değiştirmeniz gerekir. İşaretler yalnızca önünde "-" işareti bulunan parantezlerdeki terimler için değişir. Örnek:
(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.
Çarpma işleminde parantez nasıl açılır
Parantezlerden önce çarpan numarası var
Bu durumda her terimi bir faktörle çarpmanız ve işaretleri değiştirmeden parantezleri açmanız gerekir. Çarpanın “-” işareti varsa çarpma sırasında terimlerin işaretleri ters çevrilir. Örnek:
3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.
Aralarında çarpım işareti bulunan iki parantez nasıl açılır?
Bu durumda, ilk parantezdeki her terimi ikinci parantezdeki her terimle çarpmanız ve ardından sonuçları eklemeniz gerekir. Örnek:
(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.
Bir karede parantez nasıl açılır
İki terimin toplamı veya farkının karesi alınırsa parantezler aşağıdaki formüle göre açılmalıdır:
(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.
Parantez içinde eksi olması durumunda formül değişmez. Örnek:
(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.
Parantezleri başka bir dereceye kadar genişletme
Terimlerin toplamı veya farkı örneğin 3. veya 4. kuvvete yükseltilirse, o zaman parantezin kuvvetini "karelere" bölmeniz yeterlidir. Aynı faktörlerin kuvvetleri eklenir ve bölme sırasında bölenin kuvveti, bölenin kuvvetinden çıkarılır. Örnek:
(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.
3 parantez nasıl açılır
3 parantezin aynı anda çarpıldığı denklemler vardır. Bu durumda önce ilk iki parantez içindeki terimleri birbiriyle çarpmanız, ardından bu çarpımın toplamını üçüncü parantezdeki terimlerle çarpmanız gerekir. Örnek:
(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.
Parantez açmaya ilişkin bu kurallar, hem doğrusal hem de trigonometrik denklemlerin çözümüne eşit şekilde uygulanır.
Parantezleri genişletmek bir tür ifade dönüşümüdür. Bu bölümde parantez açma kurallarını açıklayacağız ve ayrıca en yaygın sorun örneklerine bakacağız.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Parantez açmak nedir?
Parantezler sayısal, değişmez ve değişken ifadelerde eylemlerin gerçekleştirilme sırasını belirtmek için kullanılır. Parantezli bir ifadeden aynı ifadeye geçmek uygundur ifadeye eşit parantez olmadan. Örneğin, 2 · (3 + 4) ifadesini şu formdaki bir ifadeyle değiştirin: 2 3 + 2 4 parantez olmadan. Bu tekniğe açma parantezleri denir.
Tanım 1
Parantezlerin genişletilmesi, parantezlerden kurtulma tekniklerini ifade eder ve genellikle aşağıdakileri içerebilecek ifadelerle ilişkili olarak değerlendirilir:
- toplamları veya farkları içeren parantezlerden önce “+” veya “-” işaretleri;
- parantez içine alınan bir sayının, harfin veya birkaç harfin toplamı veya farkının çarpımı.
Derste parantez açma sürecini bu şekilde değerlendirmeye alışkınız okul müfredatı. Ancak kimse bizi bu eyleme daha geniş açıdan bakmaktan alıkoyamıyor. Parantez içinde negatif sayılar içeren bir ifadeden parantez içermeyen bir ifadeye geçişi parantez açma olarak adlandırabiliriz. Örneğin 5 + (− 3) − (− 7)'den 5 − 3 + 7'ye gidebiliriz. Aslında bu aynı zamanda bir parantez açılmasıdır.
Aynı şekilde, (a + b) · (c + d) biçimindeki parantez içindeki ifadelerin çarpımını a · c + a · d + b · c + b · d toplamı ile değiştirebiliriz. Bu teknik aynı zamanda parantez açmanın anlamı ile de çelişmez.
İşte başka bir örnek. İfadelerde sayılar ve değişkenler yerine herhangi bir ifadenin kullanılabileceğini varsayabiliriz. Örneğin, x 2 · 1 a - x + sin (b) ifadesi, x 2 · 1 a - x 2 · x + x 2 · sin (b) formundaki parantezsiz bir ifadeye karşılık gelecektir.
Parantezleri açarken kararların kaydedilmesinin özellikleriyle ilgili bir nokta daha özel ilgiyi hak ediyor. Parantezli başlangıç ifadesini ve parantez açıldıktan sonra elde edilen sonucu eşitlik olarak yazabiliriz. Örneğin ifade yerine parantezleri genişlettikten sonra 3 − (5 − 7) ifadeyi elde ederiz 3 − 5 + 7 . Bu ifadelerin her ikisini de 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 eşitliği olarak yazabiliriz.
Hantal ifadelerle işlem yapmak, ara sonuçların kaydedilmesini gerektirebilir. O zaman çözüm bir eşitlikler zinciri şeklinde olacaktır. Örneğin, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 veya 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .
Parantez açma kuralları, örnekler
Parantez açma kurallarına bakmaya başlayalım.
Parantez içindeki tek sayılar için
Parantez içindeki negatif sayılar ifadelerde sıklıkla bulunur. Örneğin, (− 4) ve 3 + (− 4) . Parantez içindeki pozitif sayıların da yeri vardır.
Tek pozitif sayılar içeren parantezleri açmak için bir kural formüle edelim. a'nın herhangi bir pozitif sayı olduğunu varsayalım. Daha sonra (a)'yı a, + (a)'yı +a, - (a)'yı -a ile değiştirebiliriz. Eğer a yerine alırsak belirli sayı, o zaman kurala göre: (5) sayısı şu şekilde yazılacaktır: 5 , parantezsiz ifade 3 + (5) formunu alacaktır 3 + 5 + (5) ile değiştirildiği için + 5 ve 3 + (− 5) ifadesi şu ifadeye eşdeğerdir: 3 − 5 , Çünkü + (− 5) şununla değiştirilir: − 5 .
Pozitif sayılar genellikle parantez kullanılmadan yazılır, çünkü bu durumda parantez gereksizdir.
Şimdi tek bir parantez içeren parantezleri açma kuralını düşünün. negatif sayı. + (− a)şununla değiştiririz - bir, − (− a) + a ile değiştirilir. İfade negatif bir sayıyla başlıyorsa (−a) parantez içinde yazılırsa parantezler çıkarılır ve bunun yerine (−a) kalıntılar - bir.
İşte bazı örnekler: (− 5) − 5 şeklinde yazılabilir, (− 3) + 0, 5 − 3 + 0 olur, 5, 4 + (− 3) olur 4 − 3 , ve − (− 4) − (− 3) parantez açıldıktan sonra 4 + 3 şeklini alır, çünkü − (− 4) ve − (− 3) +4 ve +3 ile değiştirilir.
3 · (− 5) ifadesinin 3 · − 5 şeklinde yazılamayacağı anlaşılmalıdır. Bu konuda konuşacağız aşağıdaki paragraflarda.
Parantez açma kurallarının neye dayandığını görelim.
Kurala göre a − b farkı a + (− b)'ye eşittir. Sayılarla yapılan eylemlerin özelliklerine dayanarak bir eşitlikler zinciri oluşturabiliriz (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a bu adil olacak. Bu eşitlik zinciri, çıkarma anlamından dolayı a + (− b) ifadesinin fark olduğunu kanıtlar. a - b.
Özelliklere dayalı zıt sayılar ve negatif sayıları çıkarma kurallarına göre − (− a) = a, a − (− b) = a + b olduğunu söyleyebiliriz.
Bir sayı, eksi işareti ve birkaç çift parantezden oluşan ifadeler vardır. Yukarıdaki kuralları kullanmak, iç parantezlerden dış parantezlere veya içeriye geçerek parantezlerden sırayla kurtulmanıza olanak tanır. ters yön. Böyle bir ifadenin örneği − (− ((− (5)))) olabilir. İçeriden dışarıya doğru hareket ederek parantezleri açalım: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Bu örnek ters yönde de incelenebilir: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .
Altında A ve b yalnızca sayılar olarak değil aynı zamanda rastgele sayısal veya gerçek ifadelerönünde toplam veya fark olmayan "+" işareti bulunur. Tüm bu durumlarda, kuralları parantez içindeki tek sayılar için yaptığımız gibi uygulayabilirsiniz.
Örneğin parantezleri açtıktan sonra ifade − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) 2 · x − x 2 − 1 x − 2 · x · y 2: z formunu alacaktır. Bunu nasıl yaptık? − (− 2 x)'in +2 x olduğunu biliyoruz ve bu ifade önce geldiği için +2 x, 2 x olarak yazılabilir, − (x 2) = − x 2, + (− 1 x) = − 1 x ve − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.
İki sayının çarpımlarında
İki sayının çarpımında parantez açma kuralıyla başlayalım.
Diyelim ki A ve b ikidir pozitif sayılar. Bu durumda iki negatif sayının çarpımı - bir ve (− a) · (− b) biçimindeki − b'yi (a · b) ile değiştirebiliriz ve iki sayının çarpımlarını şununla değiştirebiliriz: zıt işaretler(− a) · b ve a · (− b) biçimindeki yerine şunu yazın: (− a b). Bir eksiyi bir eksi ile çarpmak bir artı verir ve bir eksiyi bir artı ile çarpmak, tıpkı bir artıyı bir eksi ile çarpmanın eksi vermesi gibi.
Yazılı kuralın ilk bölümünün doğruluğu, negatif sayıları çarpma kuralıyla doğrulanır. Kuralın ikinci kısmını doğrulamak için sayıları çarpma kurallarını kullanabiliriz. farklı işaretler.
Birkaç örneğe bakalım.
Örnek 1
(- 2) · - 4 3 5 biçimindeki iki negatif sayının (4 3 5 ve - 2) çarpımında parantez açmak için bir algoritma düşünelim. Bunu yapmak için orijinal ifadeyi 2 · 4 3 5 ile değiştirin. Parantezleri açıp 2 · 4 3 5 elde edelim.
Ve negatif sayıların (− 4) : (− 2) bölümünü alırsak, parantezleri açtıktan sonraki giriş 4: 2 gibi görünecektir.
Negatif sayılar yerine - bir ve - b, toplam veya fark olmayan, önünde eksi işareti bulunan herhangi bir ifade olabilir. Örneğin bunlar çarpımlar, bölümler, kesirler, kuvvetler, kökler, logaritmalar olabilir. trigonometrik fonksiyonlar vesaire.
- 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) ifadesindeki parantezleri açalım. Kurala göre şu dönüşümleri yapabiliriz: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5.
İfade (− 3) 2(− 3 2) ifadesine dönüştürülebilir. Bundan sonra parantezleri genişletebilirsiniz: − 3 2.
2 3 · - 4 5 = - 2 3 · 4 5 = - 2 3 · 4 5
Sayıları farklı işaretlerle bölmek aynı zamanda parantezlerin önceden genişletilmesini de gerektirebilir: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 ve 2 3 4: (- 3, 5) = - 2 3 4: 3, 5 = - 2 3 4: 3, 5.
Kural, farklı işaretli ifadelerin çarpımını ve bölünmesini gerçekleştirmek için kullanılabilir. İki örnek verelim.
1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3
sin (x) (- x 2) = (- sin (x) x 2) = - sin (x) x 2
Üç veya daha fazla sayının çarpımlarında
Şimdi aşağıdakileri içeren çarpımlara ve katsayılara geçelim. Daha sayılar. Burada parantezleri genişletmek işe yarayacaktır sonraki kural. Çift sayıda negatif sayı varsa parantezleri atlayabilir ve sayıları karşıtlarıyla değiştirebilirsiniz. Bundan sonra ortaya çıkan ifadeyi yeni parantez içine almanız gerekir. Tek sayıda negatif sayı varsa parantezleri çıkarın ve sayıları karşıtlarıyla değiştirin. Bundan sonra ortaya çıkan ifade yeni parantez içine alınmalı ve önüne eksi işareti konulmalıdır.
Örnek 2
Örneğin, üç sayının çarpımı olan 5 · (− 3) · (− 2) ifadesini alın. İki negatif sayı olduğundan ifadeyi şu şekilde yazabiliriz: (5 · 3 · 2) ve son olarak parantezleri açarak 5 · 3 · 2 ifadesini elde edin.
(− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) çarpımında beş sayı negatiftir. dolayısıyla (− 2, 5) · (− 3) : (− 2) · 4: (− 1, 25) : (− 1) = (− 2, 5 · 3: 2 · 4: 1, 25: 1) . Sonunda parantezleri açtıktan sonra şunu elde ederiz: −2,5 3:2 4:1,25:1.
Yukarıdaki kural haklı gösterilebilir aşağıdaki gibi. Öncelikle bu tür ifadeleri çarpım ile değiştirerek yeniden yazabiliriz. karşılıklı sayı bölüm. Her negatif sayıyı bir çarpan sayının çarpımı olarak temsil ederiz ve -1 veya -1 yerine (− 1) a.
Çarpmanın değişme özelliğini kullanarak faktörleri değiştiririz ve tüm faktörleri eşit olarak aktarırız − 1 , ifadenin başlangıcına kadar. Çift sayı eksi birin çarpımı 1'e, tek sayının çarpımı ise eşittir − 1 bu da eksi işaretini kullanmamıza olanak sağlar.
Kuralı kullanmasaydık, - 2 3: (- 2) · 4: - 6 7 ifadesindeki parantezleri açmak için yapılacak işlemler zinciri şu şekilde görünürdü:
2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) · 7 6 = = (- 1 ) · (- 1) · (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = (- 1) · 2 3 · 1 2 · 4 · 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6
Yukarıdaki kural, toplam veya fark olmayan çarpım ve bölümleri eksi işaretiyle temsil eden ifadelerde parantezlerin açılması sırasında kullanılabilir. Örneğin ifadeyi ele alalım
x 2 · (- x) : (- 1 x) · x - 3: 2 .
Parantezsiz x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 ifadesine indirgenebilir.
Önünde + işareti bulunan genişleyen parantez
Başına artı işareti gelen parantezleri genişletmek için uygulanabilecek bir kural düşünün ve bu parantezlerin "içerikleri" herhangi bir sayı veya ifadeyle çarpılmaz veya bölünmez.
Kurala göre parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri korunurken, parantezlerin önündeki işaret de silinir. Parantez içindeki ilk terimden önce işaret yoksa artı işareti koymanız gerekir.
Örnek 3
Örneğin şu ifadeyi veriyoruz (12 − 3 , 5) − 7 . Parantezleri atlayarak parantez içindeki terimlerin işaretlerini tutuyoruz ve ilk terimin önüne artı işareti koyuyoruz. Giriş (12 − 3, 5) − 7 = + 12 − 3, 5 − 7 gibi görünecektir. Verilen örnekte +12 − 3, 5 − 7 = 12 − 3, 5 − 7 olduğundan ilk terimin önüne işaret koymaya gerek yoktur.
Örnek 4
Başka bir örneğe bakalım. x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x ifadesini alalım ve onunla işlemleri gerçekleştirelim x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x
Genişleyen parantezlerin başka bir örneği:
Örnek 5
2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x 2
Başında eksi işareti bulunan parantezler nasıl genişletilir?
Parantezlerin önünde eksi işareti bulunan ve herhangi bir sayı veya ifadeyle çarpılmayan (veya bölünmeyen) durumları ele alalım. Başına “-” işareti gelen parantezlerin açılması kuralına göre “-” işaretli parantezlerin çıkarılması ve parantez içindeki tüm terimlerin işaretleri ters çevrilmesidir.
Örnek 6
Örneğin:
1 2 = 1 2 , - 1 x + 1 = - 1 x + 1 , - (- x 2) = x 2
Değişkenli ifadeler aynı kural kullanılarak dönüştürülebilir:
X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,
x - x 3 - 3 + 2 · x 2 - 3 · x 3 · x + 1 x - 1 - x + 2 elde ederiz.
Bir sayıyı parantezle çarparken parantez açma, parantezle ifadeler
Burada, bir sayı veya ifadeyle çarpılan veya bölünen parantezleri genişletmeniz gereken durumlara bakacağız. Formun formülleri (a 1 ± a 2 ± … ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± … ± a n b) veya b · (a 1 ± a 2 ± … ± an n) = (b · a 1 ± b · a 2 ± … ± b · an n), Nerede bir 1, bir 2,…, bir n ve b bazı sayılar veya ifadelerdir.
Örnek 7
Örneğin ifadedeki parantezleri genişletelim. (3 − 7) 2. Kurala göre şu dönüşümleri gerçekleştirebiliriz: (3 − 7) · 2 = (3 · 2 − 7 · 2) . 3 · 2 − 7 · 2 elde ederiz.
3 x 2 1 - x + 1 x + 2 ifadesindeki parantezleri açtığımızda 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2 elde ederiz.
Parantezleri parantezlerle çarpmak
(a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) formundaki iki parantezin çarpımını düşünün. Bu, parantez içinde çarpma işlemi yaparken parantezlerin açılmasına ilişkin bir kural elde etmemize yardımcı olacaktır.
Verilen örneği çözmek için ifadeyi belirtiyoruz. (b 1 + b 2) b gibi. Bu, parantezi bir ifadeyle çarpma kuralını kullanmamıza izin verecektir. (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) · b = (a 1 · b + a 2 · b) = a 1 · b + a 2 · b elde ederiz. Ters değiştirme gerçekleştirerek B(b 1 + b 2) ile ifadeyi parantezle çarpma kuralını tekrar uygulayın: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2
Bir dizi basit teknik sayesinde, birinci parantezdeki terimlerin her birinin, ikinci parantezdeki terimlerin her birinin çarpımlarının toplamına ulaşabiliriz. Kural parantez içindeki herhangi bir sayıda terime genişletilebilir.
Parantezleri parantezlerle çarpma kurallarını formüle edelim: iki toplamı birlikte çarpmak için, ilk toplamın terimlerini ikinci toplamın terimlerinin her biriyle çarpmanız ve sonuçları eklemeniz gerekir.
Formül şöyle görünecek:
(a 1 + a 2 + . . . + a m) · (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n ++ . . . ++ a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n
(1 + x) · (x 2 + x + 6) İfadesindeki parantezleri genişletelim. İki toplamın çarpımıdır. Çözümü yazalım: (1 + x) · (x 2 + x + 6) = = (1 · x 2 + 1 · x + 1 · 6 + x · x 2 + x · x + x · 6) = = = 1 · x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6
Artı işaretlerinin yanı sıra parantez içinde eksi işaretinin bulunduğu durumları ayrı ayrı belirtmekte fayda var. Örneğin, (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) ifadesini alın.
Öncelikle parantez içindeki ifadeleri toplam olarak sunalım: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)). Şimdi şu kuralı uygulayabiliriz: (1 + (− x)) · (3 · x · y + (− 2 · x · y 3)) = = (1 · 3 · x · y + 1 · (− 2 · x · y 3) + (− x) · 3 · x · y + (− x) · (− 2 · x · y 3))
Parantezleri açalım: 1 · 3 · x · y − 1 · 2 · x · y 3 − x · 3 · x · y + x · 2 · x · y 3 .
Birden fazla parantez ve ifadenin çarpımlarında parantezleri genişletme
Bir ifadede parantez içinde üç veya daha fazla ifade varsa parantezlerin sırayla açılması gerekir. İlk iki faktörü parantez içine alarak dönüşüme başlamanız gerekir. Bu parantezler içerisinde yukarıda tartışılan kurallara göre dönüşümler gerçekleştirebiliriz. Örneğin (2 + 4) · 3 · (5 + 7 · 8) ifadesindeki parantezler.
İfade aynı anda üç faktör içeriyor (2 + 4) , 3 ve (5 + 7 8) . Parantezleri sırasıyla açacağız. İlk iki faktörü, netlik sağlamak için kırmızıya çevireceğimiz başka bir parantez içine alalım: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).
Parantezi bir sayıyla çarpma kuralına uygun olarak aşağıdaki işlemleri gerçekleştirebiliriz: ((2 + 4) · 3) · (5 + 7 · 8) = (2 · 3 + 4 · 3) · ( 5 + 7 · 8) .
Parantezi parantezle çarpın: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .
Ayni braket
Tabanları parantez içinde yazılmış bazı ifadeler olan dereceler, ayni birkaç parantezden oluşan bir ürün olarak düşünülebilir. Üstelik ikisinin kurallarına göre önceki paragraflar bu parantezler olmadan yazılabilirler.
İfadeyi dönüştürme sürecini düşünün (a + b + c) 2 . İki parantez çarpımı olarak yazılabilir (a + b + c) · (a + b + c). Parantezi parantezle çarpalım ve a · a + a · b + a · c + b · a + b · b + b · c + c · a + c · b + c · c elde edelim.
Başka bir örneğe bakalım:
Örnek 8
1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x · 1 x · 1 x + 1 x · 2 · 1 x + 2 · 1 x · 1 x + 2 · 2 · 1 x + 1 x · 1 x · 2 + + 1 x 2 · 2 + 2 · 1 x · 2 + 2 2 2
Parantezleri sayıya ve parantezleri parantezlere bölme
Bir parantezin bir sayıya bölünmesi, parantez içindeki tüm terimlerin sayıya bölünmesini gerektirir. Örneğin, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .
Bölme ilk önce çarpma ile değiştirilebilir, ardından bir çarpımdaki parantezleri açmak için uygun kuralı kullanabilirsiniz. Bir parantez parantezle bölünürken de aynı kural geçerlidir.
Örneğin (x + 2) : 2 3 ifadesinde parantezleri açmamız gerekiyor. Bunu yapmak için önce bölme işlemini karşılıklı sayıyla (x + 2) çarparak değiştirin: 2 3 = (x + 2) · 2 3. Parantezi (x + 2) · 2 3 = x · 2 3 + 2 · 2 3 sayısıyla çarpın.
İşte parantezle bölmeye başka bir örnek:
Örnek 9
1 x + x + 1: (x + 2) .
Bölme yerine çarpmayı koyalım: 1 x + x + 1 · 1 x + 2.
Çarpma işlemini yapalım: 1 x + x + 1 · 1 x + 2 = 1 x · 1 x + 2 + x · 1 x + 2 + 1 · 1 x + 2 .
Parantezlerin açılma sırası
Şimdi yukarıda ifadelerde tartışılan kuralların uygulanma sırasını düşünün. genel görünüm, yani farkları olan toplamları, bölümleri olan çarpımları, doğal dereceye kadar parantezleri içeren ifadelerde.
Prosedür:
- ilk adım braketleri doğal bir güce yükseltmektir;
- ikinci aşamada işlerde ve katsayılarda parantez açılması gerçekleştirilir;
- Son adım, toplamlarda ve farklarda parantezleri açmaktır.
(− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) ifadesini kullanarak eylemlerin sırasını ele alalım. Şeklinde olması gereken 3 · (− 2) : (− 4) ve 6 · (− 7) ifadelerinden dönüşüm yapalım. (3 2:4) ve (− 6 · 7) . Elde edilen sonuçları orijinal ifadede yerine koyarken şunu elde ederiz: (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) = (− 5) + (3 · 2: 4) − (− 6 · 7) . Parantezleri açın: − 5 + 3 · 2: 4 + 6 · 7.
Parantez içinde parantez içeren ifadelerle uğraşırken dönüşümleri içeriden dışarıya doğru yapmak uygundur.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bir önceki dersimizde çarpanlara ayırma konusunu ele almıştık. İki yöntemde ustalaştık: dışarı çıkarmak ortak çarpan parantezlerin ve gruplandırmanın ötesinde. Bu derste - aşağıdaki güçlü yöntem: kısaltılmış çarpma formülleri. Kısacası - FSU.
Kısaltılmış çarpma formülleri (toplamın karesi ve fark, toplamın küpü ve fark, kareler farkı, toplam ve küplerin farkı) matematiğin tüm dallarında son derece gereklidir. İfadeleri basitleştirmede, denklem çözmede, polinomları çarpmada, kesirleri azaltmada, integralleri çözmede vb. kullanılırlar. vesaire. Kısacası onlarla uğraşmak için her türlü neden var. Bunların nereden geldiğini, neden gerekli olduklarını, nasıl hatırlanacaklarını ve nasıl uygulanacağını anlayın.
Anladık mı?)
Kısaltılmış çarpma formülleri nereden geliyor?
Eşitlik 6 ve 7 pek tanıdık bir şekilde yazılmamıştır. Bu biraz tam tersi. Bu bilerek yapılmıştır.) Herhangi bir eşitlik hem soldan sağa hem de sağdan sola çalışır. Bu giriş FSU'ların nereden geldiğini açıkça ortaya koyuyor.
Çarpmadan alınırlar.) Örneğin:
(a+b) 2 =(a+b)(a+b)=a 2 +ab+ba+b 2 =a 2 +2ab+b 2
İşte bu, bilimsel hile yok. Sadece parantezleri çarpıyoruz ve benzerlerini veriyoruz. Bu şekilde ortaya çıkıyor tüm kısaltılmış çarpma formülleri. Kısaltılmışçarpmanın nedeni formüllerin kendisinde parantezlerin çarpımı ve benzerlerinin azaltılmasının olmamasıdır. Kısaltılmıştır.) Sonuç hemen verilir.
FSU'nun ezbere bilinmesi gerekiyor. Olmadan ilk üç B veya A'nın geri kalanı olmadan bir C'yi hayal etmenize gerek yok.)
Neden kısaltılmış çarpma formüllerine ihtiyacımız var?
Bu formülleri öğrenmenin, hatta ezberlemenin iki nedeni var. Birincisi, hazır bir yanıtın otomatik olarak hata sayısını azaltmasıdır. Ama bu en değil ana sebep. Ama ikincisi...
Bu siteyi beğendiyseniz...
Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)
Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)
Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.
Parantezlerin ana işlevi, değerleri hesaplarken eylemlerin sırasını değiştirmektir. Örneğin, V sayısal olarak\(5·3+7\) önce çarpma, sonra toplama işlemi hesaplanacaktır: \(5·3+7 =15+7=22\). Ancak \(5·(3+7)\) ifadesinde önce parantez içindeki toplama işlemi, sonra da çarpma işlemi hesaplanır: \(5·(3+7)=5·10=50\).
Örnek.
Parantezi genişletin: \(-(4m+3)\).
Çözüm
: \(-(4m+3)=-4m-3\).
Örnek.
Parantezi açın ve benzer terimleri \(5-(3x+2)+(2+3x)\) verin.
Çözüm
: \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).
Örnek.
Parantezleri genişletin \(5(3-x)\).
Çözüm
: Parantez içinde \(3\) ve \(-x\) var ve köşeli parantezden önce beş var. Bu, parantezin her bir üyesinin \(5\) ile çarpıldığı anlamına gelir - size şunu hatırlatırım Matematikte bir sayı ile parantez arasındaki çarpma işareti girdilerin boyutunu küçültmek için yazılmaz..
Örnek.
Parantezleri genişletin \(-2(-3x+5)\).
Çözüm
: Önceki örnekte olduğu gibi parantez içindeki \(-3x\) ve \(5\) \(-2\) ile çarpılır.
Örnek.
İfadeyi basitleştirin: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Çözüm
: \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).
Son durumu dikkate almaya devam ediyor.
Parantez parantezle çarpılırken, birinci parantezdeki her terim ikincinin her terimiyle çarpılır:
\((c+d)(a-b)=c·(a-b)+d·(a-b)=ca-cb+da-db\)
Örnek.
Parantezleri genişletin \((2-x)(3x-1)\).
Çözüm
: Parantezlerden oluşan bir ürünümüz var ve yukarıdaki formül kullanılarak hemen genişletilebiliyor. Ancak kafamızın karışmaması için her şeyi adım adım yapalım.
Adım 1. İlk parantezi kaldırın - terimlerinin her birini ikinci parantezle çarpın:
Adım 2. Yukarıda açıklandığı gibi parantezlerin çarpımlarını ve çarpanları genişletin:
- İlk önce ilk şeyler...
Sonra ikincisi.
Adım 3. Şimdi benzer terimleri çarpıyoruz ve sunuyoruz:
Tüm dönüşümleri bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok, bunları hemen çoğaltabilirsiniz. Ancak parantez açmayı yeni öğreniyorsanız, detaylı yazarsanız hata yapma şansınız daha az olacaktır.
Bölümün tamamına not. Aslında dört kuralın tümünü hatırlamanıza gerek yok, yalnızca birini hatırlamanız yeterli: \(c(a-b)=ca-cb\) . Neden? Çünkü c yerine bir koyarsanız \((a-b)=a-b\) kuralını elde edersiniz. Ve eksi birin yerine koyarsak \(-(a-b)=-a+b\) kuralını elde ederiz. Eğer c yerine başka bir parantez koyarsanız son kuralı elde edebilirsiniz.
Parantez içinde parantez
Bazen pratikte diğer parantezlerin içine yerleştirilmiş parantezlerle ilgili sorunlar yaşanabilir. İşte böyle bir göreve bir örnek: \(7x+2(5-(3x+y))\) ifadesini basitleştirin.
Başarılı bir şekilde çözmek için benzer görevler, şunları yapmanız gerekir:
- parantezlerin yuvalanmasını dikkatlice anlayın - hangisinin içinde olduğunu;
- parantezleri örneğin en içteki olandan başlayarak sırayla açın.
Braketlerden birini açarken önemlidir ifadenin geri kalanına dokunmayın, olduğu gibi yeniden yazıyorum.
Örnek olarak yukarıda yazılan göreve bakalım.
Örnek.
Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(7x+2(5-(3x+y))\).
Çözüm:
Örnek.
Parantezleri açın ve benzer terimleri verin \(-(x+3(2x-1+(x-5))))\).
Çözüm
:
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\) |
Burada parantezlerin üçlü iç içe geçmesi var. En içtekiyle başlayalım (yeşille vurgulanmış). Braketin önünde bir artı var, bu yüzden kolayca çıkıyor. |
|
|
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\) |
Şimdi ikinci braketi, ara braketi açmanız gerekiyor. Ancak bundan önce hayalet ifadesini basitleştireceğiz. benzer terimlerşu ikinci parantez içinde. |
|
|
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\) |
Şimdi ikinci braketi açıyoruz (mavi renkle vurgulanmıştır). Parantez bir faktör olmadan önce - yani parantez içindeki her terim onunla çarpılır. |
|
|
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\) |
||
|
Ve son parantezi açın. Parantez önünde eksi işareti olduğundan tüm işaretler terstir. |
||
Parantezleri genişletmek matematikte temel bir beceridir. Bu beceri olmadan 8. ve 9. sınıfta C'nin üzerinde not almanız mümkün değildir. Bu nedenle bu konuyu iyi anlamanızı tavsiye ederim.
Şimdi bir binomun karesini ele alalım ve aritmetik bir bakış açısı uygulayarak toplamın karesinden, yani (a + b)² ve iki sayının farkının karesinden, yani (a – b) bahsedeceğiz. )².
(a + b)² = (a + b) ∙ (a + b) olduğundan,
o zaman şunu buluruz: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², yani.
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Bu sonucu yukarıda açıklanan eşitlik şeklinde ve iki sayının toplamının karesi şeklinde hatırlamakta fayda var. kareye eşit birinci sayı artı ikinin birinci sayı ile ikinci sayının çarpımı artı ikinci sayının karesi.
Bu sonucu bilerek hemen yazabiliriz, örneğin:
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1
(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2
Bu örneklerden ikincisine bakalım. İki sayının toplamının karesini almamız gerekiyor: ilk sayı 3ab, ikinci sayı 1. Sonuç şu şekilde olmalıdır: 1) ilk sayının karesi, yani (3ab)², 9a²b²'ye eşittir; 2) ikinin birinci sayı ile ikinci sayının çarpımı, yani 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab; 3) 2. sayının karesi, yani 1² = 1 - bu üç terimin tümü toplanmalıdır.
Ayrıca iki sayının farkının karesini almak için bir formül elde ederiz, yani (a – b)² için:
(a – b)² = (a – b) (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b².
(a – b)² = a² – 2ab + b²,
yani iki sayının farkının karesi, birinci sayının karesinden eksi birinci sayı ile ikinci sayının çarpımı artı ikinci sayının karesine eşittir.
Bu sonucu bildiğimizde, aritmetik açıdan iki sayının farkını temsil eden binomların karesini hemen alabiliriz.
(m – n)² = m² – 2mn + n²
(5ab 3 – 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 
(a n-1 – a) 2 = a 2n-2 – 2a n + a 2, vb.
2. örneği açıklayalım. Burada iki sayının farkını parantez içinde görüyoruz: ilk sayı 5ab 3 ve ikinci sayı 3a 2 b. Sonuç şu şekilde olmalıdır: 1) ilk sayının karesi, yani (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) ikinin 1. ve 2. sayının çarpımı, yani 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 ve 3) ikinci sayının karesi, yani (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; Birinci ve üçüncü terimlerin artı ve 2. terimlerin eksi alınması gerekir; 25a 2 b 6 – 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2 elde ederiz. 4. örneği açıklamak için sadece şunu not ediyoruz: 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... üs 2 ile çarpılmalıdır ve 2) ikinin çarpımı 1. sayı ve 2. sayı ile = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .
Cebir açısından bakarsak, her iki eşitlik: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² ve 2) (a – b)² = a² – 2ab + b² aynı şeyi ifade eder: binomun karesi, birinci terimin karesi artı (+2) sayısının birinci terim ve ikinci terimle çarpımı artı ikinci terimin karesine eşittir. Bu açıktır çünkü eşitliklerimiz şu şekilde yeniden yazılabilir:
1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a – b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (–b) + (–b)²
Bazı durumlarda ortaya çıkan eşitlikleri şu şekilde yorumlamak uygun olur:
(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²
Burada ilk terimi = –4a ve ikinci terimi = –3b olan bir binomun karesini alıyoruz. Daha sonra (–4a)² = 16a², (+2) (–4a) (–3b) = +24ab, (–3b)² = 9b² elde ederiz ve son olarak:
(–4a – 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²
Aynı zamanda bir üç terimlinin, bir dörtlü terimin veya genel olarak herhangi bir polinomun karesini almak için gereken formülü elde etmek ve hatırlamak da mümkün olacaktır. Ancak bunu yapmayacağız çünkü bu formülleri nadiren kullanmamız gerekiyor ve herhangi bir polinomun (binom hariç) karesini almamız gerekirse, meseleyi çarpma işlemine indirgeyeceğiz. Örneğin:
31. Elde edilen 3 eşitliği uygulayalım:
(a + b) (a – b) = a² – b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a – b)² = a² – 2ab + b²
aritmetiğe.
41 ∙ 39 olsun. O zaman bunu (40 + 1) (40 – 1) şeklinde gösterip konuyu ilk eşitliğe indirgeyebiliriz - 40² – 1 veya 1600 – 1 = 1599 elde ederiz. 21 ∙ 19 gibi çarpma işlemlerini yapmak kolaydır; 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 vb.
41 ∙ 41 olsun; 41² veya (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681 ile aynıdır. Ayrıca 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Eğer 37 ∙ 37'ye ihtiyacınız varsa, bu durumda (40 – 3)² = 1600 – 240 + 9 = 1369'a eşittir. Benzer çarpmalar (veya karesi alma) çift haneli sayılar) biraz beceri ile akılda gerçekleştirilmesi kolaydır.