Ve neden buna ihtiyaç var? Referans sisteminin, hareketin göreliliğinin ve maddi bir noktanın ne olduğunu zaten biliyoruz. Pekala, devam etme zamanı! Burada kinematiğin temel kavramlarına bakacağız, kinematiğin temelleri için en kullanışlı formülleri bir araya getireceğiz ve problemin çözümüne yönelik pratik bir örnek vereceğiz.
Bu sorunu çözelim: bir nokta yarıçapı 4 metre olan bir daire içinde hareket ediyor. Hareket kanunu S=A+Bt^2 denklemiyle ifade edilir. A=8m, B=-2m/s^2. Zamanın hangi noktasında bir noktanın normal ivmesi 9 m/s^2'ye eşittir? Zamanın bu anı için noktanın hızını, teğetselini ve toplam ivmesini bulun.
Çözüm: Hızı bulmak için hareket yasasının birinci zaman türevini almamız gerektiğini ve normal ivmenin, hızın karesi ile noktanın üzerinde bulunduğu dairenin yarıçapının bölümüne eşit olduğunu biliyoruz. taşınıyor. Bu bilgiyle donanmış olarak gerekli miktarları bulacağız.
Sorunları çözmek için yardıma mı ihtiyacınız var? Profesyonel öğrenci servisi bunu sağlamaya hazır.
Herkes hayatında karşılaştığı hareket türlerinin çeşitliliğine dikkat etti. Bununla birlikte, vücudun herhangi bir mekanik hareketi iki türden birine iner: doğrusal veya dönme. Makalede cisimlerin temel hareket yasalarını ele alalım.
Ne tür hareketlerden bahsedeceğiz?
Girişte belirtildiği gibi, klasik fizikte ele alınan tüm vücut hareketi türleri ya doğrusal bir yörüngeyle ya da dairesel bir yörüngeyle ilişkilendirilir. Bu ikisinin birleşimiyle başka herhangi bir yörünge elde edilebilir. Makalede ayrıca aşağıdaki vücut hareketi yasaları dikkate alınacaktır:
- Düz bir çizgide üniforma.
- Düz bir çizgide eşit şekilde hızlandırılmış (düzgün şekilde yavaşlamış).
- Çevre çevresinde tekdüze.
- Çemberin etrafında düzgün bir şekilde hızlanıyor.
- Eliptik bir yol boyunca hareket.
Düzgün hareket veya dinlenme durumu
Galileo bu hareketle bilimsel açıdan ilk kez 16. yüzyılın sonu - 17. yüzyılın başında ilgilenmeye başladı. Bir cismin atalet özelliklerini inceleyerek ve bir referans sistemi kavramını tanıtarak, dinlenme ve tekdüze hareket durumunun bir ve aynı olduğunu tahmin etti (hepsi hızın ilgili olduğu nesnenin seçimine bağlıdır). hesaplanmıştır).
Daha sonra Isaac Newton, hareketin özelliklerini değiştiren herhangi bir dış kuvvet olmadığında vücudun hızının sabit bir değer olduğunu belirten, bir cismin ilk hareket yasasını formüle etti.
Bir cismin uzaydaki düzgün doğrusal hareketi aşağıdaki formülle tanımlanır:
s, v hızıyla hareket eden cismin t zamanında kat edeceği mesafedir. Bu basit ifade aynı zamanda aşağıdaki formlarda da yazılmıştır (hepsi bilinen miktarlara bağlıdır):
İvmeyle düz bir çizgide hareket etmek
Newton'un ikinci yasasına göre, bir cisme etki eden bir dış kuvvetin varlığı kaçınılmaz olarak ikincisinde ivmenin ortaya çıkmasına yol açar. From (hız değişim oranı) ifadesi şu şekildedir:
a = v / t veya v = a * t
Eğer cisme etki eden dış kuvvet sabit kalırsa (büyüklüğünü veya yönünü değiştirmezse), o zaman ivme de değişmeyecektir. Bu tür harekete eşit hızlandırılmış denir; burada ivme, hız ve zaman arasında bir orantı katsayısı görevi görür (hız doğrusal olarak artar).
Bu hareket için kat edilen mesafe, hızın zaman içindeki integrali alınarak hesaplanır. Düzgün ivmeli harekete sahip bir yol için vücut hareketi yasası şu şekli alır:
Bu hareketin en yaygın örneği, yerçekimi kuvvetinin ona g = 9,81 m/s2 ivme kazandırdığı bir yükseklikten herhangi bir nesnenin düşmesidir.
Başlangıç hızıyla doğrusal hızlandırılmış (yavaş) hareket
Aslında önceki paragraflarda tartışılan iki tür hareketin birleşiminden bahsediyoruz. Basit bir durum hayal edelim: Bir araba belirli bir v0 hızında gidiyordu, sonra sürücü frene bastı ve araç bir süre sonra durdu. Bu durumda hareket nasıl açıklanır? Hız-zaman fonksiyonu için ifade geçerlidir:
Burada v 0 başlangıç hızıdır (araba frenlenmeden önce). Eksi işareti dış kuvvetin (kayma sürtünmesi) v0 hızına karşı yönlendirildiğini gösterir.
Önceki paragrafta olduğu gibi v(t)'nin zaman integralini alırsak yolun formülünü elde ederiz:
s = v 0 * t - a * t 2 / 2
Bu formülün yalnızca fren mesafesini hesapladığını unutmayın. Arabanın tüm hareketi boyunca kat ettiği mesafeyi bulmak için iki yolun toplamını bulmalısınız: düzgün ve düzgün yavaş hareket için.
Yukarıda anlatılan örnekte sürücünün fren pedalı yerine gaz pedalına basması durumunda sunulan formüllerdeki “-” işareti “+” olarak değişecektir.
Dairesel hareket
Bir daire içindeki herhangi bir hareket ivme olmadan gerçekleşemez çünkü hızın büyüklüğü korunsa bile yönü değişir. Bu değişiklikle ilişkili ivmeye merkezcil denir (vücudun yörüngesini bükerek onu bir daireye dönüştüren şey budur). Bu ivmenin modülü şu şekilde hesaplanır:
a c = v 2 / r, r - yarıçap
Bu ifadede hız, bir daire içinde düzgün ivmeli hareket durumunda olduğu gibi zamana bağlı olabilir. İkinci durumda, a c hızla artacaktır (ikinci dereceden bağımlılık).
Merkezcil ivme, bir cismi dairesel bir yörüngede tutmak için uygulanması gereken kuvveti belirler. Bunun bir örneği, sporcuların mermiyi fırlatmadan önce döndürmek için önemli bir kuvvet uyguladığı çekiç atma yarışmalarıdır.
Bir eksen etrafında sabit hızla dönüş
Bu tür hareket öncekiyle aynıdır, yalnızca onu doğrusal fiziksel büyüklükler kullanarak değil, açısal özellikler kullanarak tanımlamak gelenekseldir. Açısal hız değişmediğinde bir cismin dönme hareketi kanunu skaler formda aşağıdaki gibi yazılır:
Burada L ve I sırasıyla momentum ve atalet momentleridir, ω doğrusal hız ile eşitlikle ilişkili olan açısal hızdır:
ω değeri cismin saniyede kaç radyan döndüğünü gösterir. L ve I büyüklükleri doğrusal hareket için momentum ve kütle ile aynı anlama sahiptir. Buna göre cismin t zamanında döneceği θ açısı şu şekilde hesaplanır:
Bu tür harekete bir örnek, bir araba motorunda krank mili üzerinde bulunan volanın dönmesidir. Volan, herhangi bir ivme kazandırması çok zor olan devasa bir disktir. Bu sayede motordan tekerleklere iletilen torkun yumuşak bir şekilde değişmesini sağlar.
İvmeli bir eksen etrafında dönüş
Dönebilen bir sisteme dışarıdan bir kuvvet uygulandığında açısal hızı artmaya başlayacaktır. Bu durum aşağıdaki vücut hareketi yasasıyla açıklanmaktadır:
Burada F, dönme ekseninden d kadar uzakta sisteme uygulanan dış kuvvettir. Eşitliğin sol tarafındaki çarpıma kuvvet momenti denir.
Bir daire içinde düzgün şekilde ivmelenen hareket için ω'nin zamana bağlı olduğunu aşağıdaki şekilde buluruz:
ω = α * t, burada α = F * d / I - açısal ivme
Bu durumda, t süresi boyunca dönme açısı, ω'nin zamana göre integrali alınarak belirlenebilir, yani:
Eğer cisim zaten belirli bir ω 0 hızında dönüyorsa ve daha sonra F*d kuvvetinin dış momenti harekete geçmeye başladıysa, doğrusal duruma benzetilerek aşağıdaki ifadeler yazılabilir:
ω = ω 0 + α * t;
θ = ω 0 * t + α * t 2 / 2
Dolayısıyla, dış kuvvet momentinin ortaya çıkması, dönme eksenine sahip bir sistemde ivmenin varlığının nedenidir.
Bilginin eksiksiz olması için, dönme hızının (ω) yalnızca harici bir kuvvet momentinin yardımıyla değil, aynı zamanda sistemin iç özelliklerinin, özellikle de atalet momentinin değiştirilmesiyle de değiştirilebileceğini not ediyoruz. Bu durum patencilerin buz üzerinde dönüşünü izleyen herkes tarafından görüldü. Gruplandırma sırasında sporcular, basit vücut hareketi yasasına göre I'yi azaltarak ω'yi artırırlar:
Güneş sisteminin gezegenleri örneğini kullanarak eliptik bir yörünge boyunca hareket
Bildiğiniz gibi Dünyamız ve güneş sistemindeki diğer gezegenler yıldızlarının etrafında daire şeklinde değil, eliptik bir yörünge boyunca dönüyor. Bu dönmeyi açıklayan matematik yasaları ilk kez 17. yüzyılın başında ünlü Alman bilim adamı Johannes Kepler tarafından formüle edildi. Kepler, öğretmeni Tycho Brahe'nin gezegenlerin hareketlerine ilişkin gözlemlerinin sonuçlarını kullanarak üç yasanın formülasyonuna ulaştı. Bunlar aşağıdaki gibi formüle edilir:
- Güneş Sistemindeki gezegenler eliptik yörüngelerde hareket eder ve Güneş elipsin odak noktalarından birinde yer alır.
- Güneş ile gezegeni birbirine bağlayan yarıçap vektörü, eşit zaman dilimlerinde eşit alanları tanımlar. Bu gerçek açısal momentumun korunumundan kaynaklanmaktadır.
- Bir gezegenin yörünge periyodunun karesini, eliptik yörüngesinin yarı büyük ekseninin küpüne bölersek, sistemimizdeki tüm gezegenler için aynı olan belirli bir sabit elde ederiz. Matematiksel olarak şöyle yazılır:
T 2 / a 3 = C = sabit
Daha sonra Isaac Newton, cisimlerin (gezegenlerin) bu hareket yasalarını kullanarak, ünlü evrensel çekim yasasını veya yerçekimini formüle etti. Bunu kullanarak 3'teki C sabitinin şuna eşit olduğunu gösterebiliriz:
C = 4 * pi 2 / (G * M)
Burada G evrensel çekim sabitidir ve M Güneş'in kütlesidir.
Merkezi bir kuvvetin (yerçekimi) etkisi durumunda eliptik bir yörünge boyunca hareketin, doğrusal hız v'nin sürekli değişmesine yol açtığını unutmayın. Gezegen yıldıza en yakın olduğunda maksimumdur ve ondan uzaktayken minimumdur.
TÜREV VE FONKSİYON ÇALIŞMALARINA UYGULANMASI X
§ 218. Hareket kanunu. Anlık hareket hızı
Hareketin daha kapsamlı bir açıklamasına aşağıdaki şekilde ulaşılabilir. Vücudun hareket süresini birkaç ayrı aralığa bölelim ( T 1 , T 2), (T 2 , T 3) vb. (eşit olması gerekmez, bkz. Şekil 309) ve her birinde ortalama hareket hızını ayarlıyoruz.
Bu ortalama hızlar, elbette, tüm hareket süresi boyunca ortalama hızdan ziyade, tüm bölüm boyunca hareketi daha tam olarak karakterize edecektir. Ancak, örneğin şu soruya cevap vermeyecekler: şu andan itibaren zamanın hangi noktasında? T 1 ila T 2 (Şek. 309) tren daha hızlı gidiyordu: şu anda T" 1 veya şu anda T" 2 ?
Ortalama hız, hareketi daha tam olarak karakterize eder, belirlendiği yolun bölümleri ne kadar kısa olursa. Bu nedenle, düzensiz hareketi tanımlamanın olası yollarından biri, yolun giderek daha küçük bölümleri boyunca bu hareketin ortalama hızlarını belirlemektir.
Fonksiyonun verildiğini varsayalım. S (T ), bir cismin zaman içinde aynı yönde doğrusal olarak hareket ederek hangi yolu kat ettiğini gösterir T hareketin başlangıcından itibaren. Bu fonksiyon vücudun hareket yasasını belirler. Örneğin, kanuna göre düzgün hareket meydana gelir
S (T ) = vt ,
Nerede v - Hareket hızı; kanunlara göre bedenlerin serbest düşüşü gerçekleşir
Nerede G - serbestçe düşen bir cismin hızlanması vb.
Belirli bir yasaya göre hareket eden bir cismin kat ettiği yolu düşünelim. S (T ), şimdilik T önce T + τ .
Zamana kadar T vücut mesafeye gidecek S (T ) ve zamanla T + τ - yol S (T + τ ). Bu nedenle, bu tarihten itibaren T önce T + τ eşit bir mesafe kat edecek S (T + τ ) - S (T ).
Bu yolu seyahat süresine bölmek τ , zaman içindeki ortalama hareket hızını şu şekilde elde ederiz: T önce T + τ :
Bu hızın sınırı τ -> 0 (eğer varsa) çağrılır Belirli bir anda anlık hareket hızı T:
(1)
Belirli bir anda anlık hareket hızı T itibaren ortalama hareket hızının sınırı denir. Tönce T+ τ , Ne zaman τ sıfıra eğilimli.
İki örneğe bakalım.
örnek 1. Düz bir çizgide düzgün hareket.
Bu durumda S (T ) = vt , Nerede v - Hareket hızı. Bu hareketin anlık hızını bulalım. Bunu yapmak için öncelikle zaman aralığındaki ortalama hızı bulmanız gerekir. T önce T + τ . Ancak düzgün hareket için bulanıklığın herhangi bir bölümündeki ortalama hız, hareket hızıyla çakışır. v . Bu nedenle anlık hız v (T ) şuna eşit olacaktır:
v (T ) =v = v
Dolayısıyla, düzgün hareket için anlık hız (aynı zamanda yolun herhangi bir yerindeki ortalama hız da) hareket hızıyla çakışır.
Elbette aynı sonuca resmi olarak eşitliğe dayalı olarak da ulaşılabilir (1).
Gerçekten mi,
Örnek 2. Sıfır başlangıç hızı ve ivmeyle eşit şekilde hızlandırılmış hareket A . Bu durumda fizikten de bilindiği gibi vücut kanunlara göre hareket eder.
Formül (1)'i kullanarak böyle bir hareketin anlık hızının v (T ) eşittir:
Yani, zaman anında düzgün ivmeli hareketin anlık hızı T hızlanma çarpı zamana eşittir T . Düzgün hareketin aksine, düzgün şekilde hızlandırılan hareketin anlık hızı zamanla değişir.
Egzersizler
1741. Nokta yasaya göre hareket ediyor 
(S
- metre cinsinden mesafe, T
- dakika cinsinden süre). Bu noktanın anlık hızını bulun:
b) şu anda T 0 .
1742. Yasaya göre hareket eden bir noktanın anlık hızını bulun S (T ) = T 3 (s - metre cinsinden yol, T - dakika cinsinden süre):
a) hareketin ilk anında;
b) Hareketin başlamasından 10 saniye sonra;
c) şu anda T= 5 dakika;
1743. Kanuna göre hareket eden bir cismin anlık hızını bulun S (T ) = √T , zamanın keyfi bir noktasında T .
Başka bir özel sorunu ele alalım.
Cismin hız modülünün hareketi boyunca sabit kaldığı ve 5 m/s'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu cismin hareket yasasını bulun. Yol uzunluklarının orijini, vücudun hareketinin başlangıç noktasıyla çakışmaktadır.
Sorunu çözmek için formülü kullanıyoruz
Buradan kısa bir süre için yol uzunluğundaki artışı bulabilirsiniz.
Koşul gereği hız modülü sabittir. Bu, herhangi bir eşit zaman dilimi için yol uzunluğundaki artışların aynı olacağı anlamına gelir. Tanım gereği bu tekdüze bir harekettir. Elde ettiğimiz denklem bu tür düzgün hareket kanunundan başka bir şey değildir. Eğer bu denklemdeki ifadeleri yerine koyarsak, kolaylıkla şunu elde edebiliriz:
Zaman sayımının başlangıcının vücut hareketinin başlangıcına denk geldiğini varsayalım. Koşula göre yol uzunluklarının başlangıcının cismin hareketinin başlangıç noktasıyla çakıştığını dikkate alalım. Hareketin başlangıcından ihtiyacımız olan ana kadar geçen süreyi aralık olarak alalım. Daha sonra bu değerleri yerine koyduktan sonra söz konusu hareketin kanunu şeklini alacaktır.
Ele alınan örnek, tek biçimli hareketin yeni bir tanımını vermemizi sağlar (§ 13): tekdüze hareket, sabit mutlak hıza sahip harekettir.
Aynı örnek, düzgün hareket yasasının genel formülünü elde etmemizi sağlar.
Zaman sayımının başlangıcı hareketin başlangıcına denk geliyorsa ve yol uzunluklarının başlangıcı da hareketin başlangıç noktasına denk geliyorsa, düzgün hareket yasası şu şekle sahip olacaktır:
Hareketin başlangıç zamanı, hareketin başlangıç noktasına giden yolun uzunluğu ise, o zaman düzgün hareket yasası daha karmaşık bir biçim alır:
Bulduğumuz düzgün hareket kanunundan elde edebileceğimiz bir başka önemli sonuca da dikkat edelim. Bazı düzgün hareketler için hız-zaman grafiğinin verildiğini varsayalım (Şekil 1.60). Bu hareketin kanunu Şekilden, ürünün sayısal olarak koordinat eksenleri ile sınırlı olan şeklin alanına, hızın zamana bağımlılığı grafiğine ve karşılık gelen koordinata eşit olduğu açıktır.
Belirli bir zamanda, hız grafiğini kullanarak hareket sırasında yol uzunluklarındaki artışları hesaplamak mümkündür.
Daha karmaşık bir matematiksel aygıt kullanarak, belirli bir durum için elde ettiğimiz bu sonucun, herhangi bir düzgün olmayan hareket için geçerli olduğunu gösterebiliriz. Hareket sırasında yol uzunluğundaki artış her zaman sayısal olarak, hız grafiği tarafından koordinat eksenleri ve seçilen son zaman anına karşılık gelen koordinat tarafından sınırlanan şeklin alanına eşittir.
Karmaşık hareketlerin yasasını grafiksel olarak bulma olanağı gelecekte kullanılacaktır.