Ulusal Araştırma Üniversitesi
Uygulamalı Jeoloji Bölümü
Yüksek matematik üzerine özet
Konuyla ilgili: “Temel temel işlevler,
özellikleri ve grafikleri"
Tamamlanmış:
Kontrol edildi:
Öğretmen
Tanım. y=ax (burada a>0, a≠1) formülüyle verilen fonksiyona a tabanlı üstel fonksiyon denir.
Üstel fonksiyonun ana özelliklerini formüle edelim:
1. Tanımın tanım kümesi tüm reel sayılar kümesidir (R).
2. Aralık - tüm pozitif gerçek sayıların kümesi (R+).
3. a > 1 için fonksiyon sayı doğrusu boyunca artar; 0'da<а<1 функция убывает.
4. Genel formun bir fonksiyonudur.
, xО [-3;3] aralığında
, xО [-3;3] aralığında n'nin ОR sayısı olduğu y(x)=x n formundaki bir fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. N sayısı farklı değerler alabilir: hem tam sayı hem de kesirli, hem çift hem de tek. Buna bağlı olarak güç fonksiyonu farklı bir forma sahip olacaktır. Güç fonksiyonları olan ve bu tür bir eğrinin temel özelliklerini aşağıdaki sırayla yansıtan özel durumları ele alalım: güç fonksiyonu y=x² (çift üslü fonksiyon - bir parabol), güç fonksiyonu y=x³ (tek üslü fonksiyon) - kübik parabol) ve fonksiyon y=√x (x üssü ½) (kesirli üslü fonksiyon), negatif tamsayı üslü fonksiyon (hiperbol).
Güç fonksiyonu y=x²
1. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;
2. E(y)= ve aralıkta artar
Güç fonksiyonu y=x³
1. y=x³ fonksiyonunun grafiğine kübik parabol denir. y=x³ kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
2. D(x)=R – fonksiyon tüm sayısal eksende tanımlanır;
3. E(y)=(-∞;∞) – fonksiyon, tanım alanındaki tüm değerleri alır;
4. x=0 y=0 olduğunda – fonksiyon O(0;0) koordinatlarının orijininden geçer.
5. Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.
6. Fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir).
, xО [-3;3] aralığında X³'ün önündeki sayısal faktöre bağlı olarak fonksiyon dik/düz ve artan/azalan olabilir.
Negatif tam sayı üslü kuvvet fonksiyonu:
Eğer n üssü tek ise, böyle bir kuvvet fonksiyonunun grafiğine hiperbol denir. Tamsayı negatif üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Herhangi bir n için D(x)=(-∞;0)U(0;∞);
2. E(y)=(-∞;0)U(0;∞), eğer n tek sayı ise; E(y)=(0;∞), eğer n bir çift sayı ise;
3. Eğer n tek sayı ise fonksiyon tüm tanım alanı boyunca azalır; n bir çift sayı ise fonksiyon (-∞;0) aralığında artar ve (0;∞) aralığında azalır.
4. Eğer n tek bir sayı ise fonksiyon tektir (kökene göre simetriktir); n bir çift sayıysa, bir işlev çifttir.
5. Fonksiyon, n tek sayı ise (1;1) ve (-1;-1) noktalarından, n çift sayı ise (1;1) ve (-1;1) noktalarından geçer.
, xО [-3;3] aralığında Kesirli üslü kuvvet fonksiyonu
Kesirli üslü bir kuvvet fonksiyonu (resim), şekilde gösterilen fonksiyonun grafiğine sahiptir. Kesirli üssü olan bir kuvvet fonksiyonu aşağıdaki özelliklere sahiptir: (resim)
1. D(x) ОR, eğer n tek sayı ise ve D(x)= 
, xО aralığında 
, xО [-3;3] aralığında
Logaritmik fonksiyon y = log a x aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1. Tanım kümesi D(x)О (0; + ∞).
2. Değer aralığı E(y) О (- ∞; + ∞)
3. Fonksiyon ne çift ne de tektir (genel biçimde).
4. Fonksiyon a > 1 için (0; + ∞) aralığında artar, 0 için (0; + ∞) aralığında azalır< а < 1.
y = log a x fonksiyonunun grafiği, y = a x fonksiyonunun grafiğinden, y = x düz çizgisine göre bir simetri dönüşümü kullanılarak elde edilebilir. Şekil 9'da a > 1 için logaritmik fonksiyonun grafiği ve Şekil 10'da 0 için bir grafik gösterilmektedir.< a < 1.
; xО aralığında 
; xО aralığında y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonlarına trigonometrik fonksiyonlar denir.
y = sin x, y = tan x, y = ctg x fonksiyonları tektir ve y = cos x fonksiyonu çifttir.
Fonksiyon y = sin(x).
1. Tanım alanı D(x) ОR.
2. Değer aralığı E(y) О [ - 1; 1].
3. Fonksiyon periyodiktir; ana periyot 2π'dir.
4. Fonksiyon tektir.
5. Fonksiyon [ -π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] ve [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n О Z.
y = sin(x) fonksiyonunun grafiği Şekil 11’de gösterilmektedir.
Üstel fonksiyona ilişkin temel özellikler, grafikler ve formüller hakkında referans verileri sağlar. Aşağıdaki konular ele alınmaktadır: tanım alanı, değerler kümesi, monotonluk, ters fonksiyon, türev, integral, kuvvet serisi açılımı ve karmaşık sayılar kullanılarak gösterim.
Tanım
Üstel fonksiyon a'ya eşit n sayıların çarpımının bir genellemesidir:
sen (n) = a n = a·a·a···a,
x reel sayılar kümesine:
sen (x) = balta.
Burada a sabit bir gerçek sayıdır ve buna denir üstel fonksiyonun temeli.
a tabanına sahip üstel fonksiyona da denir a tabanına ait üs.
Genelleme şu şekilde yapılır.
Doğal x için = 1, 2, 3,...
üstel fonksiyon x faktörlerinin çarpımıdır:
.
Ayrıca, sayıları çarpma kurallarından kaynaklanan (1.5-8) () özelliklerine sahiptir. Tam sayıların sıfır ve negatif değerleri için üstel fonksiyon, formüller (1.9-10) kullanılarak belirlenir. Kesirli değerler için x = m/n rasyonel sayılar, (1.11) formülü ile belirlenir. real için üstel fonksiyon dizinin limiti olarak tanımlanır:
,
x'e yakınsayan rastgele bir rasyonel sayılar dizisi: .
Bu tanımla, üstel fonksiyon hepsi için tanımlanır ve doğal x için olduğu gibi (1.5-8) özelliklerini karşılar.
Üstel bir fonksiyonun tanımının ve özelliklerinin kanıtının titiz bir matematiksel formülasyonu “Üstel bir fonksiyonun özelliklerinin tanımı ve kanıtı” sayfasında verilmiştir.
Üstel Fonksiyonun Özellikleri
Üstel fonksiyon y = a x, gerçek sayılar () kümesinde aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1)
tanımlanmış ve sürekli, herkes için, herkes için;
(1.2)
bir ≠ için 1
birçok anlamı vardır;
(1.3)
kesinlikle artar, kesinlikle azalır,
sabittir;
(1.4)
;
;
(1.5)
;
(1.6)
;
(1.7)
;
(1.8)
;
(1.9)
;
(1.10)
;
(1.11)
,
.
Diğer faydalı formüller.
.
Farklı bir üstel tabana sahip üstel bir fonksiyona dönüştürme formülü:
b = e olduğunda üstel fonksiyonun ifadesini üstel yoluyla elde ederiz:
Özel değerler
, , , , .
Şekilde üstel fonksiyonun grafikleri gösterilmektedir
sen (x) = balta
dört değer için derece üsleri: bir = 2
, bir = 8
, bir = 1/2
ve bir = 1/8
. 1
> için görüldüğü gibi 0
< a < 1
üstel fonksiyon monoton olarak artar. A derecesinin tabanı ne kadar büyük olursa, büyüme o kadar güçlü olur. Şu tarihte:
üstel fonksiyon monoton olarak azalır. a üssü ne kadar küçükse, azalma o kadar güçlü olur.
Artan, azalan
| Üstel fonksiyon kesinlikle monotondur ve bu nedenle hiçbir ekstremusu yoktur. Ana özellikleri tabloda sunulmaktadır. 1 | y = a x , a > 0 < a < 1 | |
| y = balta, | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Tanım alanı | 0 < y < + ∞ | 0 < y < + ∞ |
| Değer aralığı | Monoton | monoton olarak artar |
| monoton olarak azalır 0 | Sıfırlar, y = | Sıfırlar, y = |
| HAYIR 0 | Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 1 | Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 1 |
| + ∞ | 0 | |
| 0 | + ∞ |
y =
Ters fonksiyon
Tabanı a olan bir üstel fonksiyonun tersi, a tabanının logaritmasıdır.
.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
Üstel bir fonksiyonun türevini almak için tabanı e sayısına indirilmeli, türev tablosunu ve karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını uygulamalıdır.
Bunu yapmak için logaritmanın özelliğini kullanmanız gerekir.
ve türevler tablosundaki formül:
.
Üstel bir fonksiyon verilsin:
.
Onu e üssüne getiriyoruz:
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uygulayalım. Bunu yapmak için değişkeni tanıtın
Daha sonra
Elimizdeki türev tablosundan (x değişkenini z ile değiştirin):
.
Bir sabit olduğundan z'nin x'e göre türevi eşittir
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre:
.
Üstel bir fonksiyonun türevi
.
N'inci dereceden türev:
.
Formüllerin türetilmesi > > >
Üstel bir fonksiyonun türevini almaya bir örnek
Bir fonksiyonun türevini bulun
Ordinat ekseniyle kesişme noktaları, x = 3 5x
Çözüm
Üstel fonksiyonun tabanını e sayısı üzerinden ifade edelim.
3 = e ln 3
Daha sonra
.
Bir değişken girin
.
Daha sonra
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Çünkü 5ln3 bir sabit ise z'nin x'e göre türevi şuna eşittir:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre elimizde:
.
Cevap
İntegral
Karmaşık sayılar kullanan ifadeler
Karmaşık sayı fonksiyonunu düşünün z:
F (z) = az
burada z = x + iy; 2 = - 1
.
Ben
Karmaşık sabit a'yı modül r ve φ argümanı cinsinden ifade edelim:
Daha sonra
.
a = r e ben φ
φ = φ φ argümanı benzersiz bir şekilde tanımlanmamıştır. Genel olarak,
0 + 2 πn burada n bir tamsayıdır. Bu nedenle f fonksiyonu(z)
.
da belli değil. Başlıca önemi sıklıkla dikkate alınır
.
Seri genişletme
Kullanılan literatür:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Mühendisler ve üniversite öğrencileri için matematik el kitabı, “Lan”, 2009.
Kuvvet fonksiyonu, özellikleri ve grafiği Gösteri malzemesi Ders-konuşma Fonksiyon kavramı. Fonksiyon özellikleri. Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafiği. 10. Sınıf Tüm hakları saklıdır. Telif Hakkı ve Telif Hakkı ile
Ders ilerlemesi: Tekrarlama. İşlev. Fonksiyonların özellikleri. Yeni materyal öğrenme. 1. Güç fonksiyonunun tanımı. Güç fonksiyonunun tanımı. 2. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri. Çalışılan materyalin konsolidasyonu. Sözlü sayım. Sözlü sayım. Ders özeti. Ev ödevi.
Bir fonksiyonun grafiği Bir fonksiyon verilsin, burada xY y x.75 3 0,6 4 0,5 Bir fonksiyonun grafiği, apsisleri argümanın değerlerine eşit olan koordinat düzleminin tüm noktalarının kümesidir, ve koordinatlar fonksiyonun karşılık gelen değerlerine eşittir. İşlev. Fonksiyon Özellikleri
Y x Fonksiyonun tanım bölgesi ve değer aralığı 4 y=f(x) Fonksiyonun tanım bölgesi: Fonksiyonun değerlerinin bölgesi: Fonksiyon. Fonksiyon Özellikleri
Çift fonksiyon y x y=f(x) Çift fonksiyonun grafiği op-amp'in eksenine göre simetriktir. için f(-x) = f(x) olsa bile y=f(x) fonksiyonu çağrılır. Fonksiyon fonksiyonunun tanım kümesinden herhangi bir x. Fonksiyon Özellikleri
Tek fonksiyon y x y=f(x) Tek fonksiyonun grafiği O(0;0) orijinine göre simetriktir. f(-x) = -f(x) ise y=f(x) fonksiyonuna tek denir bölgedeki herhangi bir x için fonksiyon tanımları Fonksiyon. Fonksiyon Özellikleri
Kuvvet fonksiyonunun tanımı P'nin belirli bir gerçel sayı olduğu fonksiyona kuvvet fonksiyonu denir. p y=x p P=x y 0 Dersin ilerleyişi
Kuvvet fonksiyonu x y 1. N'nin bir doğal sayı olduğu formun kuvvet fonksiyonlarının tanım alanı ve değer aralığı, tümü gerçek sayılardır. 2. Bu işlevler tuhaftır. Grafikleri orijine göre simetriktir. Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri
Rasyonel pozitif üslü kuvvet fonksiyonları Tanım alanı tüm pozitif sayılar ve 0 sayısıdır. Böyle bir üslü fonksiyonların değer aralığı da tüm pozitif sayılar ve 0 sayısıdır. Bu işlevler ne çift ne de tektir. . y x Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri
Rasyonel negatif üslü kuvvet fonksiyonu. Bu tür fonksiyonların tanım alanı ve değer aralığının tümü pozitif sayılardır. Fonksiyonlar ne çift ne de tektir. Bu tür işlevler tüm tanım alanları boyunca azalır. y x Güç fonksiyonlarının özellikleri ve grafikleri Dersin ilerleyişi
