Trigonometri çalışmamıza dik üçgenle başlayacağız. Teğet ve kotanjantın yanı sıra sinüs ve kosinüsün ne olduğunu tanımlayalım dar açı. Bu trigonometrinin temelidir.
şunu hatırlatalım dik açı 90 dereceye eşit bir açıdır. Başka bir deyişle, yarım dönmüş bir açı.
Dar açı- 90 dereceden az.
Geniş açı- 90 dereceden büyük. Böyle bir açıyla ilgili olarak "geniş" hakaret değil matematiksel bir terimdir :-)
Bir dik üçgen çizelim. Dik açı genellikle ile gösterilir. Lütfen köşenin karşısındaki tarafın aynı harfle, yalnızca küçük olarak gösterildiğini unutmayın. Böylece A açısının karşısındaki taraf gösterilir.
Açı karşılık gelen değerle gösterilir Yunan mektubu.
Hipotenüs dik üçgenin karşısındaki kenardır dik açı.
Bacaklar- dar açıların karşısında yer alan kenarlar.
Açının karşısında uzanan bacağa denir zıt(açıya göre). Açının kenarlarından birinde yer alan diğer bacağa denir. bitişik.
Sinüs dik üçgende dar açı oranıdır karşı taraf hipotenüse göre:
Kosinüs dik üçgende dar açı - oran bitişik bacak hipotenüse göre:
Teğet dik üçgende dar açı - karşı tarafın bitişik tarafa oranı:
Başka bir (eşdeğer) tanım: bir dar açının tanjantı, açının sinüsünün kosinüsüne oranıdır:
Kotanjant dik üçgende dar açı - bitişik tarafın karşı tarafa oranı (veya aynı şekilde kosinüsün sinüse oranı):
Aşağıdaki sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant için temel ilişkilere dikkat edin. Sorunları çözerken bize faydalı olacaklar.
Bunlardan bazılarını kanıtlayalım.
Tamam, tanımları verdik ve formülleri yazdık. Peki neden hala sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta ihtiyacımız var?
Bunu biliyoruz herhangi bir üçgenin açılarının toplamı eşittir.
arasındaki ilişkiyi biliyoruz. partiler sağ üçgen. Bu Pisagor teoremidir: .
Bir üçgendeki iki açıyı bilerek üçüncüyü bulabileceğiniz ortaya çıktı. Dik üçgenin iki kenarını bilerek üçüncüsünü bulabilirsiniz. Bu, açıların kendi oranlarına ve kenarların kendilerine ait olduğu anlamına gelir. Peki bir dik üçgende bir açıyı (dik açı hariç) ve bir kenarı biliyorsanız ancak diğer kenarları bulmanız gerekiyorsa ne yapmalısınız?
Geçmişte insanların bölgenin ve yıldızlı gökyüzünün haritasını yaparken karşılaştıkları şey budur. Sonuçta bir üçgenin tüm kenarlarını doğrudan ölçmek her zaman mümkün değildir.
Sinüs, kosinüs ve teğet - bunlara aynı zamanda denir trigonometrik açı fonksiyonları-arasındaki ilişkileri vermek partiler Ve köşelerüçgen. Açıyı bilerek hepsini bulabilirsin trigonometrik fonksiyonlarözel tablolara göre. Ve bir üçgenin açılarının ve kenarlarından birinin sinüslerini, kosinüslerini ve teğetlerini bilerek gerisini bulabilirsiniz.
Ayrıca 'iyi' açılar için sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerinin bir tablosunu da çizeceğiz.
Lütfen tablodaki iki kırmızı çizgiye dikkat edin. Uygun açı değerlerinde teğet ve kotanjant mevcut değildir.
FIPI Görev Bankasındaki çeşitli trigonometri problemlerine bakalım.
1. Bir üçgende açı , dir. Bulmak .
Sorun dört saniyede çözüldü.
O zamandan beri , .
2. Bir üçgende açı , , dir. Bulmak .
Bunu Pisagor teoremini kullanarak bulalım.
Sorun çözüldü.
Genellikle problemlerde açılı ve veya açılı üçgenler vardır. Onlar için temel oranları ezbere hatırlayın!
Açıları olan bir üçgen için ve açının karşısındaki bacak eşittir hipotenüsün yarısı.
Açıları olan ve ikizkenar olan bir üçgen. İçinde hipotenüs bacaktan kat kat daha büyüktür.
Dik üçgenleri çözen problemlere baktık; bilinmeyen taraflar veya köşeler. Ama hepsi bu değil! İÇİNDE Birleşik Devlet Sınavı seçenekleri Matematikte bir üçgenin dış açısının sinüsü, kosinüsü, tanjantı veya kotanjantıyla ilgili birçok problem vardır. Bir sonraki makalede bu konuda daha fazla bilgi vereceğiz.
Geri İleri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.
Ders hedefleri:
- dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs ve tanjant kavramlarını tanıtmak;
- problemlerin çözümünde sinüs, kosinüs ve tanjantın nasıl kullanıldığını göstermek;
- gözlemleme, karşılaştırma, analiz etme ve sonuç çıkarma becerilerinin geliştirilmesi.
Ders ilerlemesi
Bilgiyi güncelleme (dersin ana problemini belirleme)
Ön anket şeklinde gerçekleştirildi.
Öğretmen. Tahtada 6 sorunun özetini görüyorsunuz< Рисунок 1>. Bu sorunlardan hangilerini nasıl çözeceğinizi zaten bildiğinizi hatırlıyor musunuz? Bu sorunları çözün. İlgili teoremleri formüle edin.
Şekil 1
Öğrenciler:
Görev 1. Cevap: 5. Bir dik üçgende bacak 30°'lik açının karşısında yer alır. yarıya eşit hipotenüs.
Görev 2. Cevap: 41°. Üçgenin iç açılarının toplamı 180°dir.
Görev 3. Cevap: 10. Bir dik üçgende hipotenüsün karesi dik kenarların karelerinin toplamına eşittir.
Sorunlar 4-6 karar veremeyiz.
Öğretmen. 4-6. problemleri neden çözemiyorsunuz? Hangi soru ortaya çıkıyor?
Öğrenciler. TgB, sinA, cosB'nin ne olduğunu bilmiyoruz.
Öğretmen. sinA, cosB, tanB şöyle okunur: “A açısının sinüsü”, “B açısının kosinüsü” ve “B açısının tanjantı”. Bugün bu ifadelerin her birinin ne anlama geldiğini öğreneceğiz ve 4-6 gibi problemlerin nasıl çözüleceğini öğreneceğiz.
Yeni malzemenin tanıtılması
Sezgisel bir konuşma şeklinde gerçekleştirilir.
Öğretmen. Bacakları 3 ve 4, 6 ve 8 olan dik üçgenler çizin. Bunları ABC ve A 1 B 1 C 1 olarak etiketleyin, böylece B ve B 1, 4 ve 8 numaralı bacaklara zıt açılar ve dik açılar C, C 1 olur. B ve B1 açıları eşit midir? Neden?
Öğrenciler. Eşittir çünkü üçgenler benzerdir. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 (3:4 = 6:8) olup aralarındaki açılar diktir.<Рисунок 2>
Öğretmen. ABC ve A 1 B 1 C 1 üçgenlerinin benzerliğinden başka hangi ilişkilerin ortaya çıktığı eşitlikler?
Öğrenciler. BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1, AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1.
Öğretmen. AC: AB = A 1 C 1: A 1 B 1 = sinB = sinB 1.
BC: AB = B 1 C 1: A 1 B 1 = cosB = cosB 1. AC: BC = A 1 C 1: B 1 C 1 = tgB = tgB 1. AC bacağı B açısının karşısındadır ve BC bacağı bu açıya bitişiktir. Sinüs, kosinüs ve tanjant tanımlarını belirtin.
Öğrenciler. Bir dik üçgenin dar açısının sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranıdır.
Bir dik üçgenin dar açısının kosinüsü, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır.
Bir dik üçgende bir dar açının tanjantı, karşı kenarın bitişik kenara oranıdır.
Öğretmen. A açısının sinüsünü, kosinüsünü ve tanjantını kendiniz yazın (slayt 1). Ortaya çıkan formüller (1), (2), (3):
(1)
Böylece bir dik üçgenin dar açısının sinüs, kosinüs ve tanjantının ne olduğunu öğrendik. Genel olarak sinüs, kosinüs ve tanjant kavramlarının uzun bir geçmişi vardır. Eski bilim adamları bir üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiyi inceleyerek hesaplamanın yollarını buldular. çeşitli unsurlarüçgen. Bu bilgi esas olarak pratik astronomi problemlerini çözmek, erişilemez mesafeleri belirlemek için kullanıldı.
Konsolidasyon
Öğretmen. 591 (a, b) numaralı problemi çözelim.
Görev ekranda görüntülenir (slayt 2). Görev “a” tahtada tam bir açıklama ile çözülür; “b” – bağımsız olarak, ardından birbirini kontrol ederek.
Aşağıdaki durumlarda, C dik açılı ABC üçgeninin A ve B açılarının sinüs, kosinüs ve tanjantını bulun: a) BC = 8, AB = 17; b) BC = 21, AC = 20.
Çözüm. a) = . = Pisagor teoremini kullanarak AC = 15'i buluruz,
= ; b) Pisagor teoremini kullanarak AB = 29, . . .Öğretmen.Şimdi 4-6. problemlere dönelim<Рисунок 1>. 4-6. problemlerde nelerin bilindiğini ve nelerin bulunması gerektiğini tartışalım.
Görev 4. Ne biliniyor? Ne bulmanız gerekiyor?
Öğrenciler. BC = 7 ve tan B = 3,5 bilinmektedir. Klimayı bulmamız gerekiyor.
Öğretmen. tg B nedir?
Öğrenciler. .
Öğretmen. Formülle çalışıyoruz. Formül üç bileşenden oluşur. Onlara isim verin. Hangi bileşenler biliniyor? Hangi bileşen bilinmiyor? Bulabilir misin? Bul onu.
Öğrenciler. AC = BC * tg B = 7 * 3,5 = 24,5
Öğretmen. Bu örneği kullanarak 5. ve 6. problemleri çözün.<Рисунок 1>. 1 öğrenci kapalı tahtada çalışıyor
Öğretmen.
1. Söyle bana, gerekli bilinmeyenleri bulmayı başardın mı?
2. Eylemlerinizin sırası neydi?
3. Belki başka çözümler de vardır?
Öğrenciler.1. Evet. Kolayca. Örneği takip ederek. Sorun 5. Cevap: 10. Sorun 6. Cevap: 2.5
2. Öncelikle karşılık gelen açıların sinüs ve kosinüsünü tanım gereği karşılık gelen oranlarla değiştiririz, ardından bilinen verileri ortaya çıkan oranlara koyarız ve ardından bilinmeyen bilinmeyenleri buluruz.
Öğretmen. Hangi genel sonuç 4-6. problemleri çözdükten sonra yapılabilir mi? Dik üçgende hangi yeni problemleri çözmeyi öğrendik? Düşünün ve sonucunuzu formüle edin.
Öğrenciler. Bir dik üçgende bir kenarı ve bu kenarın diğer kenarlardan birine oranını veya bir kenarı ve diğer kenarlardan birinin bilinen bir kenara oranını (sinüs, kosinüs veya teğet) biliyorsanız, o zaman bu ikinci tarafı bulabiliriz.
Sorun çözme.
Şimdi bu sorunları çözmeye çalışın 7-9<Рисунок 3>.
Şekil 3
Öğrenciler. Bunları nasıl çözeceğimizi bilmiyoruz.
Öğretmen. 1. soruna dönelim<Рисунок 1>. Sorunun durumunu değiştirelim. NK = 5, NM = 10 olsun. M açısını bulun.
Öğrenciler. M açısının karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşit olduğundan M açısı 30°'ye eşittir.
Öğretmen. Yani, açının sinüsü 0,5 ise açının 30° olduğu ortaya çıkar. Şimdi 592 numaralı (a,c,d) problemlerini çözelim.
592 numara. Bir açı oluşturun A, eğer: a) c) d) .
Çözüm.
a) Dik açının kenarlarına 1 ve 2 uzunluğundaki parçaları yerleştirip parçaların uçlarını birleştireceğiz. Ortaya çıkan üçgende, 1 numaralı ayağın karşısındaki açı istenen açıdır A;
c) 0,2 = . Tepe noktasından dik açının bir tarafında 1 uzunluğunda bir parça bırakıyoruz. Ortası bu parçanın ucunda olacak şekilde yarıçapı 5 olan bir daire inşa ediyoruz. Dairenin dik açının ikinci tarafıyla kesişme noktası, açının birinci tarafında yer alan parçanın ucuna bağlanır. Ortaya çıkan üçgende, 1 uzunluğundaki ayağa bitişik açı, açıdır A; (slayt 4)
e) Tepe noktasından dik açının bir tarafında 1 uzunluğunda bir parça bırakıyoruz. Ortası bu parçanın ucunda olacak şekilde yarıçapı 2 olan bir daire inşa ediyoruz. Dairenin dik açının ikinci tarafıyla kesişme noktası, açının birinci tarafında yer alan parçanın ucuna bağlanır. Ortaya çıkan üçgende, 1 uzunluğundaki bacağın karşısındaki açı istenen açıdır A.(slayt 5)
Açıları inşa ettiniz, bu da açıları bulduğunuz anlamına gelir. Ölçülebilir ve tablo halinde sunulabilirler.
Benzer şekilde 7-9 arası problemleri de çözebilirsiniz.<Рисунок 3>
Özetlemek
Öğretmen. Soruları cevapla:
1. Bir dik üçgende dik açının sinüsü, kosinüsü ve tanjantı nedir?
2. Bir dik üçgende 6 eleman vardır. Bugün hangi yeni problemleri çözmeyi öğrendiniz? Eylem sıranız nedir? Bu eylemleri doğru bir şekilde gerçekleştirme yeteneğinizi test edin (Bireysel kartlar dağıtılır).
Kartların yaklaşık içeriği: 1. B ABC üçgeni C açısı düz bir çizgidir, BC = 2, AB'yi bulun. 2. ABC üçgeninde C açısı AC = 8 olan düz bir çizgidir. AB'yi bulun. 3. ABC üçgeninde C açısı 90°, AC = 6, . Güneşi bulun.
Öğrenciler çalışmalarını ilgili kartlardaki hazır çözümlerle karşılaştırırlar.
Ev ödevleri: sayfa 159'daki soru 15; 591(c,d),592(b,d,f) (slayt 6)
Kullanılan literatür
- Geometri. 7-9. Sınıflar: ders kitabı. İçin eğitim kuruluşları/ [ L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri]. – 2. baskı. – M.: Eğitim, 2014.
Trigonometri - bölüm matematik bilimi Trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometrideki kullanımını araştıran. Trigonometrinin gelişimi antik Yunan'da başladı. Orta Çağ boyunca önemli katkı Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamları bu bilimin gelişmesine katkıda bulundular.
Bu makale şuna adanmıştır: temel kavramlar ve trigonometrinin tanımları. Temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanmış ve gösterilmiştir.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Başlangıçta argümanı açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları bir dik üçgenin kenarlarının oranı cinsinden ifade ediliyordu.
Trigonometrik fonksiyonların tanımları
Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.
Açının kosinüsü (cos α), bitişik kenarın hipotenüse oranıdır.
Açı teğeti (t g α) - karşı tarafın bitişik tarafa oranı.
Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik tarafın karşı tarafa oranı.
Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!
Bir örnek verelim.
İÇİNDE ABC üçgeni dik açı C sinüs ve A açısı ile orana eşit BC kenarı AB hipotenüsüne.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı -1'den 1'e kadardır. Yani sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Teğet ve kotanjantın değer aralığı sayı doğrusunun tamamıdır, yani bu işlevler herhangi bir değeri alabilir.
Yukarıda verilen tanımlar dar açılar için geçerlidir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı olmayan bir dönme açısı kavramı tanıtıldı. Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir. .
Bu bağlamda keyfi büyüklükte bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabiliriz. Merkezi Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasında olan bir birim çember düşünelim.
Koordinatları (1, 0) olan başlangıç noktası A, merkezin etrafında döndürülür birim çember belirli bir α açısına gidiyor ve A 1 noktasına gidiyor. Tanım A 1 (x, y) noktasının koordinatları cinsinden verilmiştir.
Dönme açısının sinüsü (sinüsü)
Dönme açısı α'nın sinüsü, A 1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y
Dönme açısının kosinüsü (cos)
Dönme açısı α'nın kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x
Dönme açısının tanjantı (tg)
Dönme açısı α'nın tanjantı, A1 noktasının (x, y) ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x
Dönme açısının kotanjantı (ctg)
Dönme açısı α'nın kotanjantı, A1 noktasının (x, y) apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y
Sinüs ve kosinüs herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır çünkü bir noktanın dönme sonrasında apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant için durum farklıdır. Döndürme sonrasında bir nokta sıfır apsisli (0, 1) ve (0, - 1) bir noktaya gittiğinde teğet tanımsızdır. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölünmeyi içerdiği için anlamsızdır. Durum kotanjant için de benzerdir. Aradaki fark, bir noktanın ordinatının sıfıra gittiği durumlarda kotanjantın tanımlı olmamasıdır.
Hatırlanması önemli!
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.
Teğet, α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.
Karar verirken pratik örnekler"α dönme açısının sinüsü" demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da neyin tartışıldığının bağlamdan zaten açıkça anlaşıldığını ima etmektedir.
Sayılar
Bir sayının dönme açısından ziyade sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını belirlemeye ne dersiniz?
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.
Örneğin, 10 π sayısının sinüsü, 10 π rad dönme açısının sinüsüne eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Şimdi ona daha yakından bakalım.
Herhangi biri gerçek sayı T Birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç noktasındaki merkezle ilişkilidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları üzerinden belirlenir.
Çemberin başlangıç noktası koordinatları (1, 0) olan A noktasıdır.
Pozitif sayı T
Negatif sayı T daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederse başlangıç noktasının gideceği noktaya karşılık gelir ve yoluna gidecek T.
Artık bir sayı ile bir daire üzerindeki bir nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçiyoruz.
T'nin sinüsü (günahı)
Bir sayının sinüsü T- birim çember üzerinde sayıya karşılık gelen bir noktanın koordinatı T. günah t = y
Kosinüs (cos) t
Bir sayının kosinüsü T- birim çemberin sayıya karşılık gelen noktasının apsisi T. çünkü t = x
T'nin tanjantı (tg)
Bir sayının tanjantı T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t çünkü t
En son tanımlar bu paragrafın başında verilen tanıma uygundur ve çelişmez. Çember üzerinde bir nokta sayıya karşılık gelen T, bir açıyla döndükten sonra başlangıç noktasının gittiği noktaya denk gelir T radyan.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
α açısının her değeri şuna karşılık gelir: belirli değer bu açının sinüsü ve kosinüsü. α = 90° + 180°k dışındaki tüm α açıları gibi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) belirli bir teğet değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda belirtildiği gibi, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α'lar için tanımlanır.
sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.
Benzer şekilde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan da fonksiyon olarak bahsedebiliriz. sayısal argüman. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar bir teğet değere karşılık gelir. Benzer şekilde kotanjant, π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için tanımlanır.
Trigonometrinin temel fonksiyonları
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.
Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanıyla (açısal argüman veya sayısal argüman) uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır.
En başta verilen tanımlara ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Trigonometrik tanımlar sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tamamen tutarlıdır geometrik tanımlar, bir dik üçgenin en boy oranları kullanılarak verilmiştir. Hadi gösterelim.
Merkezi dikdörtgen olan bir birim çember alın Kartezyen sistem koordinatlar A (1, 0) başlangıç noktasını 90 dereceye kadar bir açıyla döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende, A 1 O H açısı a dönme açısına eşittir, O H bacağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Açının karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim dairenin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.
Geometrideki tanıma uygun olarak, α açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer alacak şekilde dönme açısı a'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde kosinüs, tanjant ve kotanjant için tanımların uygunluğu gösterilebilir.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Bu yazıda nasıl verileceğini göstereceğiz Trigonometride bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları ve sayı. Burada notasyonlardan bahsedeceğiz, girdi örnekleri vereceğiz ve grafiksel çizimler vereceğiz. Sonuç olarak trigonometri ve geometrideki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları arasında bir paralellik kuralım.
Sayfada gezinme.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımı
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant fikrinin nasıl oluştuğunu görelim. okul kursu matematik. Geometri derslerinde dik üçgende dar bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımı verilmektedir. Daha sonra dönme açısının ve sayısının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantından bahseden trigonometri incelenir. Tüm bu tanımları sunalım, örnekler verelim ve gerekli yorumları verelim.
Dik üçgende dar açı
Geometri dersinden dik üçgendeki dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımlarını biliyoruz. Bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak verilirler. Formülasyonlarını verelim.
Tanım.
Dik üçgende dar açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının kosinüsü bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.
Tanım.
Dik üçgende dar açının tanjantı– karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.
Tanım.
Bir dik üçgende dar açının kotanjantı- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları da burada tanıtılmıştır - sırasıyla sin, cos, tg ve ctg.
Örneğin, ABC dik açılı bir dik üçgense, A dar açısının sinüsü karşı BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir, yani sin∠A=BC/AB.
Bu tanımlar, bir dik üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından ve ayrıca bir akut açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplamanıza olanak tanır. bilinen değerler Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve kenarlardan birinin uzunluğunu kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulun. Örneğin, bir dik üçgende AC kenarının 3'e ve AB hipotenüsünün 7'ye eşit olduğunu bilseydik, dar açı A'nın kosinüsünün değerini tanım gereği hesaplayabilirdik: cos∠A=AC/ AB=3/7.
Dönme açısı
Trigonometride açıya daha geniş bakmaya başlarlar - dönme açısı kavramını tanıtırlar. Dönme açısının büyüklüğü, dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı değildir; derece cinsinden (ve radyan cinsinden) dönme açısı -∞'dan +∞'a kadar herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilebilir.
Bu açıdan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları dar bir açıya göre değil, isteğe bağlı büyüklükte bir açıya (dönme açısına) göre verilmiştir. Bunlar, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıcı olan O noktası etrafında bir α açısı kadar döndükten sonra sözde başlangıç noktası A(1, 0)'ın gittiği A 1 noktasının x ve y koordinatları aracılığıyla verilir. ve birim çemberin merkezi.
Tanım.
Dönme açısının sinüsüα, A1 noktasının koordinatıdır, yani sinα=y.
Tanım.
Dönme açısının kosinüsüα'ya A 1 noktasının apsisi denir, yani cosα=x.
Tanım.
Dönme açısının tanjantıα, A1 noktasının ordinatının apsisine oranıdır, yani tanα=y/x.
Tanım.
Dönme açısının kotanjantıα, A1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır, yani ctgα=x/y.
Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır, çünkü başlangıç noktasının α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktanın apsisini ve ordinatını her zaman belirleyebiliriz. Ancak teğet ve kotanjant herhangi bir açı için tanımlanmamıştır. Başlangıç noktasının sıfır apsisli (0, 1) veya (0, −1) bir noktaya gittiği α açıları için tanjant tanımlanmamıştır ve bu, 90°+180° k, k∈Z (π) açılarında meydana gelir. /2+π·k rad). Aslında bu tür dönme açılarında tgα=y/x ifadesi sıfıra bölünmeyi içerdiğinden bir anlam ifade etmemektedir. Kotanjanta gelince, başlangıç noktasının sıfır koordinatlı (1, 0) veya (−1, 0) noktaya gittiği α açıları için tanımlanmamıştır ve bu, 180° k, k ∈Z açıları için meydana gelir. (π·k rad).
Yani herhangi bir dönme açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır, 90°+180°k dışındaki tüm açılar için teğet tanımlanır, k∈Z (π/2+πk rad) ve 180° ·k dışındaki tüm açılar için kotanjant tanımlanır , k∈Z (π·k rad).
Tanımlar, bizim tarafımızdan zaten bilinen sin, cos, tg ve ctg tanımlarını içerir; bunlar aynı zamanda sinüs, kosinüs, teğet ve dönme açısının kotanjantını belirtmek için de kullanılır (bazen tan ve cot tanımlarını teğet ve kotanjanta karşılık gelen olarak bulabilirsiniz) . Dolayısıyla 30 derecelik bir dönme açısının sinüsü sin30° olarak yazılabilir, tg(−24°17') ve ctgα girdileri −24 derece 17 dakika dönme açısının tanjantına ve dönme açısı α'nın kotanjantına karşılık gelir. . Bir açının radyan ölçüsünü yazarken "rad" ifadesinin sıklıkla atlandığını hatırlayın. Örneğin, üç pi rad'lık bir dönme açısının kosinüsü genellikle cos3·π ile gösterilir.
Bu noktanın sonucu olarak, dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantından bahsederken "dönme açısı" ifadesinin veya "dönme" kelimesinin sıklıkla atlandığını belirtmekte fayda var. Yani, "dönme açısı alfanın sinüsü" ifadesi yerine genellikle "alfa açısının sinüsü" veya daha kısası "sinüs alfa" ifadesi kullanılır. Aynı durum kosinüs, teğet ve kotanjant için de geçerlidir.
Ayrıca bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, 0 ila 90 derece arasındaki bir dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için verilen tanımlarla tutarlı olduğunu söyleyeceğiz. Bunu meşrulaştıracağız.
Sayılar
Tanım.
Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı bu sayı sinüse eşit t radyan cinsinden dönme açısının sırasıyla kosinüs, tanjant ve kotanjantı.
Örneğin, 8 π sayısının kosinüsü tanım gereği sayıdır. kosinüse eşit 8·π rad açısı. Ve açının kosinüsü 8 π rad bire eşit dolayısıyla 8·π sayısının kosinüsü 1'e eşittir.
Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Her t gerçek sayısının, dikdörtgen koordinat sisteminin başlangıcında merkezi olan birim çember üzerindeki bir nokta ile ilişkilendirilmesi ve sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın bu noktanın koordinatları aracılığıyla belirlenmesinden oluşur. Buna daha detaylı bakalım.
Gerçek sayılar ile çember üzerindeki noktalar arasında nasıl bir ilişki kurulduğunu gösterelim:
- 0 sayısına A(1, 0) başlangıç noktası atanır;
- pozitif sayı t, başlangıç noktasından itibaren daire boyunca saat yönünün tersine hareket edersek ulaşacağımız birim daire üzerindeki nokta ile ilişkilidir ve hadi yolu yürüyelim uzunluk t;
- negatif sayı t birim çemberin noktasıyla ilişkilidir; başlangıç noktasından itibaren daire boyunca saat yönünde hareket edersek ve |t| uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız. .
Şimdi t sayısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına geçiyoruz. t sayısının A 1 (x, y) çemberi üzerindeki bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım (örneğin &pi/2; sayısı A 1 (0, 1) noktasına karşılık gelir).
Tanım.
Sayının sinüsü t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen noktanın koordinatıdır, yani sint=y.
Tanım.
Sayının kosinüsü t'ye birim çemberin t sayısına karşılık gelen noktasının apsisi denir, yani maliyet=x.
Tanım.
Sayının tanjantı t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranıdır, yani tgt=y/x. Başka bir eşdeğer formülasyonda, bir t sayısının tanjantı, bu sayının sinüsünün kosinüsüne oranıdır, yani tgt=sint/maliyettir.
Tanım.
Sayının kotanjantı t, apsisin birim çember üzerindeki t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatına oranıdır, yani ctgt=x/y. Başka bir formülasyon şudur: t sayısının tanjantı, t sayısının kosinüsünün t sayısının sinüsüne oranıdır: ctgt=maliyet/sint.
Burada az önce verilen tanımların bu paragrafın başında verilen tanımla tutarlı olduğunu görüyoruz. Aslında birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen nokta, başlangıç noktasının t radyan açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktayla çakışmaktadır.
Bu noktayı yine de açıklığa kavuşturmakta fayda var. Diyelim ki sin3 girişimiz var. 3 sayısının sinüsünden mi, yoksa 3 radyanlık dönme açısının sinüsünden mi bahsettiğimizi nasıl anlayabiliriz? Bu genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır. aksi takdirde bu büyük olasılıkla temel bir öneme sahip değildir.
Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları
Verilere göre önceki paragraf Tanımlara göre, her bir dönme açısı α, çok spesifik bir sinα değerine ve aynı zamanda cosα değerine karşılık gelir. Ayrıca 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) dışındaki tüm dönüş açıları tgα değerlerine, 180°k dışındaki tüm dönüş açıları ise k∈Z (πk rad ) – değerlere karşılık gelir. ctga'dan. Bu nedenle sinα, cosα, tanα ve ctgα, α açısının fonksiyonlarıdır. Başka bir deyişle bunlar açısal argümanın işlevleridir.
Sayısal bir argümanın sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonları hakkında da benzer şekilde konuşabiliriz. Gerçekte, her t gerçek sayısı çok spesifik bir sint değerine ve maliyete karşılık gelir. Ek olarak, π/2+π·k, k∈Z dışındaki tüm sayılar tgt değerlerine ve π·k, k∈Z sayıları - ctgt değerlerine karşılık gelir.
Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarına denir temel trigonometrik fonksiyonlar.
Açısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarıyla mı yoksa sayısal bir argümanla mı uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır. Aksi halde bağımsız değişkeni açının bir ölçüsü olarak düşünebiliriz ( açı argümanı) ve sayısal bir argüman.
Ancak okulda çoğunlukla ders çalışıyorlar sayısal işlevler, yani bağımsız değişkenleri, karşılık gelen işlev değerleri gibi sayı olan işlevler. Bu nedenle eğer hakkında konuşuyoruzözellikle fonksiyonlarla ilgili olarak, trigonometrik fonksiyonların sayısal argümanların fonksiyonları olarak dikkate alınması tavsiye edilir.
Geometri ve trigonometri tanımları arasındaki ilişki
Dönme açısı α'nın 0 ila 90 derece arasında değiştiğini düşünürsek, trigonometri bağlamında dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları bir sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tamamen tutarlıdır. Geometri dersinde verilen dik üçgende dar açı. Bunu meşrulaştıralım.
Birim çemberi dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi Oxy'de gösterelim. Başlangıç noktasını A(1, 0) olarak işaretleyelim. Bunu 0 ila 90 derece arasında değişen bir α açısı kadar döndürelim, A 1 (x, y) noktasını elde ederiz. A 1 H dikmesini A 1 noktasından Ox eksenine bırakalım.
Dik bir üçgende A 1 OH açısının a dönme açısına eşit olduğunu, bu açıya bitişik OH bacağının uzunluğunun A 1 noktasının apsisine eşit olduğunu, yani |OH olduğunu görmek kolaydır. |=x, açının karşısındaki A 1 H kenarının uzunluğu A 1 noktasının ordinatına eşittir, yani |A 1 H|=y ve OA 1 hipotenüsünün uzunluğu bire eşittir, Çünkü birim çemberin yarıçapıdır. O halde, geometri tanımı gereği, bir A 1 OH dik üçgeninde dar açı α'nın sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir, yani sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ve trigonometrinin tanımı gereği, dönme açısı a'nın sinüsü A1 noktasının ordinatına eşittir, yani sinα=y. Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü belirlemenin, α 0 ila 90 derece arasında olduğunda dönme açısı α'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğunu gösterir.
Benzer şekilde, bir a dar açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, a dönme açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tutarlı olduğu gösterilebilir.
Referanslar.
- Geometri. 7-9 sınıflar: ders kitabı genel eğitim için kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, vb.]. - 20. baskı. M.: Eğitim, 2010. - 384 s.: hasta. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- Pogorelov A.V. Geometri: Ders Kitabı. 7-9 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov. - 2. baskı - M.: Eğitim, 2001. - 224 s.: hasta. - ISBN 5-09-010803-X.
- Cebir ve temel işlevler : öğretici 9. sınıf öğrencileri için lise/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Düzenleyen: Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru O. N. Golovin - 4. baskı. M.: Eğitim, 1969.
- Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
- Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
- Mordkoviç A.G. Cebir ve analizin başlangıcı. 10. sınıf. Saat 2'de Bölüm 1: öğretici. eğitim kurumları (profil düzeyi)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Cebir ve başladı matematiksel analiz. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - I.: Eğitim, 2010.- 368 s.: hasta.- ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.
Öğrencilerin en çok uğraştığı matematik alanlarından biri trigonometridir. Şaşırtıcı değil: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için, mekansal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri, formülleri kullanarak kotanjantları bulma yeteneğine, ifadeleri basitleştirmeye ve pi sayısını kullanabilmeniz gerekir. hesaplamalar. Ayrıca teoremleri ispatlarken trigonometriyi kullanabilmeniz gerekir ve bu da ya gelişmiş bir matematik hafızası ya da karmaşık mantıksal zincirler türetme yeteneği gerektirir.
Trigonometrinin kökenleri
Bu bilimle tanışmak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce genel olarak trigonometrinin ne yaptığını anlamanız gerekir.
Tarihsel olarak, matematik biliminin bu dalındaki çalışmanın ana amacı dik üçgenlerdi. 90 derecelik bir açının varlığı, iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar kullanılarak söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin belirlenmesine olanak tanıyan çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu modeli fark etmiş ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başlamışlardır.
Başlangıç aşaması
Başlangıçta insanlar açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden yalnızca dik üçgen örneğini kullanarak bahsettiler. Daha sonra kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi. günlük yaşam matematiğin bu dalı.
Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından öğrenciler edinilen bilgiyi fizikte kullanıyor ve soyut problemleri çözüyor. trigonometrik denklemler, lisede başlayan çalışma.
Küresel trigonometri
Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda çalışılmıyor ama en azından varlığını bilmek gerekiyor çünkü dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükeydir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin üç boyutlu uzay"yay şeklinde".
Küreyi ve ipliği alın. İpliği küre üzerindeki herhangi iki noktaya gergin olacak şekilde takın. Lütfen dikkat - bir yay şeklini almıştır. Küresel geometri, jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan bu tür formlarla ilgilenir.
Sağ üçgen
Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.
İlk adım dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. Öncelikle hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Bu en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre şunu hatırlıyoruz: sayısal değer diğer iki tarafın karelerinin toplamının köküne eşittir.
Örneğin iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.
Dik açı oluşturan kalan iki tarafa bacak denir. Ayrıca üçgendeki açıların toplamının da olduğunu unutmamalıyız. dikdörtgen sistem koordinatları 180 derecedir.
Tanım
Son olarak, geometrik temelin sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, sinüs, kosinüs ve bir açının tanjantının tanımına dönülebilir.
Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki tarafın) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.
Unutmayın ki ne sinüs ne de kosinüs olamaz birden fazla! Neden? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğundan, bacak ne kadar uzun olursa olsun hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir soruna verdiğiniz yanıtta 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs değeri alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap açıkça yanlıştır.
Son olarak, bir açının tanjantı oranıdır karşı taraf yanındakine. Sinüsün kosinüse bölünmesi aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre, kenarın uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenarın uzunluğuna bölüyoruz ve hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece teğetin tanımındaki ilişkinin aynısını elde ederiz.
Buna göre kotanjant, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birini teğete bölerek de aynı sonucu elde ederiz.
Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğuna dair tanımlara baktık ve formüllere geçebiliriz.
En basit formüller
Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlar olmadan sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nasıl bulunur? Ancak sorunları çözerken tam da gerekli olan şey budur.
Trigonometriyi incelemeye başladığınızda bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söylüyor. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar yerine açının boyutunu bilmeniz gerekiyorsa zaman kazandırır.
Çoğu öğrenci, çözerken de oldukça popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor. okul görevleri: Bir ile açının tanjantının karesinin toplamı, birin açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: Bu, ilk formüldekiyle aynı ifadedir, yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin işe yaradığı ortaya çıktı trigonometrik formül tamamen tanınamaz. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaçını bilmek temel formüller istediğiniz zaman gerekli olanı geri çekebilirsiniz karmaşık formüller bir kağıt parçası üzerinde.
Çift açı formülleri ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi
Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün her iki kez çarpıldığını ve ikincisinde sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.
Formdaki argümanlarla ilişkili formüller de vardır. çift açı. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - bir eğitim olarak alfa açısını alarak bunları kendiniz elde etmeye çalışın. açıya eşit beta.
Son olarak çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfanın gücünü azaltacak şekilde yeniden düzenlenebileceğini unutmayın.
Teoremler
Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı, dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.
Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşıt açıya bölerek şunu elde ettiğimizi belirtir: aynı numara. Üstelik bu sayı, çevrelenen dairenin, yani belirli bir üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.
Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarının bitişik açının çift kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilen değerin üçüncü tarafın karesine eşit olacağı ortaya çıktı. Böylece Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.
Dikkatsiz hatalar
Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilseniz bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki hatalardan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.
Öncelikle, nihai sonucu elde edene kadar kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - cevabı şu şekilde bırakabilirsiniz: ortak kesir Koşullarda aksi belirtilmediği sürece. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz şeylerle zamanınızı boşa harcamış olursunuz. matematiksel işlemler. Bu özellikle üçün kökü veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda problemlerle karşılaşır. Aynı şey “çirkin” sayıların yuvarlanması için de geçerli.
Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığını unutmayın! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmayacak, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da göstereceksiniz. Bu, dikkatsiz bir hatadan daha kötüdür.
Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın çünkü sinüs 30 derecedir kosinüse eşit 60 ve tam tersi. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç elde edersiniz.
Başvuru
Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü pratik anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya gökbilimci için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar mesafeyi hesaplayabileceğiniz kavramlardır. uzak yıldızlar, bir göktaşının düşeceğini tahmin edin, başka bir gezegene bir araştırma sondası gönderin. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en çok bariz örnekler! Sonuçta trigonometri şu ya da bu şekilde müzikten tıbba kadar her yerde kullanılıyor.
Sonuç olarak
Yani sinüs, kosinüs ve tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.
Trigonometrinin asıl amacı, bir üçgenin bilinen parametrelerini kullanarak bilinmeyenleri hesaplamanız gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: uzunluk üç kenarlar ve boyutlar üç köşe. Görevlerdeki tek fark, farklı giriş verilerinin verilmiş olmasıdır.
Artık bacakların veya hipotenüsün bilinen uzunluklarına göre sinüs, kosinüs ve teğetleri nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, ana hedef trigonometrik problem sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.