Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramları, matematiğin bir dalı olan trigonometrinin ana kategorileridir ve açının tanımıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bunun mülkiyeti matematik bilimi formüllerin ve teoremlerin ezberlenmesini ve anlaşılmasının yanı sıra gelişmiş mekansal düşünmeyi gerektirir. Bu nedenle okul çocukları ve öğrenciler trigonometrik hesaplamalarçoğu zaman zorluklara neden olur. Bunların üstesinden gelmek için trigonometrik fonksiyonlara ve formüllere daha aşina olmalısınız.
Trigonometride kavramlar
anlamak temel kavramlar trigonometri, öncelikle bir dik üçgenin ve bir daire içindeki açının ne olduğuna ve neden tüm temel trigonometrik hesaplamaların bunlarla ilişkili olduğuna karar vermelisiniz. Açılarından birinin ölçüsü 90 derece olan üçgen dikdörtgendir. Tarihsel olarak bu figür insanlar tarafından mimari, navigasyon, sanat ve astronomi alanlarında sıklıkla kullanılmıştır. Buna göre, insanlar bu şeklin özelliklerini inceleyerek ve analiz ederek, parametrelerinin karşılık gelen oranlarını hesaplamaya geldiler.
Dik üçgenlerle ilişkili ana kategoriler hipotenüs ve bacaklardır. Hipotenüs - bir üçgenin karşı tarafı dik açı. Bacaklar sırasıyla diğer iki taraftır. Herhangi bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180 derecedir.
Küresel trigonometri, trigonometrinin okulda incelenmeyen bir bölümüdür, ancak uygulamalı bilimler astronomi ve jeodezi gibi bilim adamları bunu kullanıyor. Üçgenin özelliği küresel trigonometri açıların toplamının her zaman 180 dereceden büyük olmasıdır.
Bir üçgenin açıları
Bir dik üçgende bir açının sinüsü, istenilen açının karşısındaki kenarın üçgenin hipotenüsüne oranıdır. Buna göre kosinüs oranıdır bitişik bacak ve hipotenüs. Hipotenüs her zaman bacaktan daha uzun olduğundan, bu değerlerin her ikisinin de büyüklüğü her zaman birden küçüktür.
Bir açının tanjantı orana eşit bir değerdir karşı bacak istenen açının bitişik tarafına veya sinüsten kosinüse. Kotanjant ise istenen açının bitişik tarafının karşı tarafa oranıdır. Bir açının kotanjantı, bir açının tanjant değerine bölünmesiyle de elde edilebilir.
Birim çember
Geometride birim çember, yarıçapı bire eşit. Böyle bir daire inşa edilmiştir Kartezyen sistem koordinatlar, dairenin merkezi başlangıç noktasıyla çakışırken ve başlangıç pozisyonu Yarıçap vektörü, X ekseninin (apsis ekseni) pozitif yönü ile belirlenir. Çember üzerindeki her noktanın iki koordinatı vardır: XX ve YY, yani apsis ve ordinat koordinatları. XX düzlemindeki daire üzerinde herhangi bir noktayı seçip apsis eksenine dik bir noktayı bırakarak, yarıçapın seçilen noktaya (C harfiyle gösterilir) oluşturduğu, X eksenine çizilen dik bir üçgen elde ederiz. (kesişme noktası G harfiyle gösterilir) ve apsis ekseninin segmenti koordinatların başlangıcı (nokta A harfiyle gösterilir) ile kesişme noktası G arasındadır. Ortaya çıkan ACG üçgeni, içinde yazılı bir dik üçgendir. AG'nin hipotenüs, AC ve GC'nin ise kenarlar olduğu bir daire. AC dairesinin yarıçapı ile apsis ekseninin AG işaretli bölümü arasındaki açı α (alfa) olarak tanımlanır. Yani, çünkü α = AG/AC. AC'nin yarıçap olduğunu düşünürsek birim çember ve bire eşit olduğundan α=AG olduğu ortaya çıkıyor. Benzer şekilde sin α=CG.
Ek olarak, bu verileri bilerek, çember üzerindeki C noktasının koordinatını belirleyebilirsiniz, çünkü cos α=AG ve sin α=CG, yani C noktası verilen koordinatlar(çünkü α;sin α). Teğetin olduğunu bilmek orana eşit sinüsten kosinüse, tan α = y/x ve cot α = x/y olduğunu belirleyebiliriz. Açıları negatif koordinat sisteminde dikkate alarak bazı açıların sinüs ve kosinüs değerlerinin negatif olabileceğini hesaplayabilirsiniz.
Hesaplamalar ve temel formüller
Trigonometrik fonksiyon değerleri
Trigonometrik fonksiyonların özünü birim çember üzerinden ele alarak, bu fonksiyonların değerlerini bazı açılar için türetebiliriz. Değerler aşağıdaki tabloda listelenmiştir.
En basit trigonometrik kimlikler
Trigonometrik fonksiyonun işaretinin içerdiği denklemler bilinmeyen değer, trigonometrik denir. Kimlikler günah değeri x = α, k — herhangi bir tam sayı:
- günah x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- günah x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- günah x = a, |a| > 1, çözüm yok.
- günah x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
cos x = a değerine sahip kimlikler; burada k herhangi bir tamsayıdır:
- çünkü x = 0, x = π/2 + πk.
- çünkü x = 1, x = 2πk.
- çünkü x = -1, x = π + 2πk.
- çünkü x = a, |a| > 1, çözüm yok.
- çünkü x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
k'nin herhangi bir tam sayı olduğu tg x = a değerine sahip kimlikler:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arktan α + πk.
ctg x = a değerine sahip kimlikler; burada k herhangi bir tamsayıdır:
- bebek karyolası x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Azaltma formülleri
Bu kategori sabit formüller formun trigonometrik fonksiyonlarından bir argümanın fonksiyonlarına geçilebileceği, yani herhangi bir değerin açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını 0'dan aralığın açısının karşılık gelen göstergelerine indirgeyebileceği yöntemleri belirtir. Daha fazla hesaplama kolaylığı için 90 dereceye kadar.
Bir açının sinüsüne göre fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller şuna benzer:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Açının kosinüsü için:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Yukarıdaki formüllerin kullanımı iki kurala bağlı olarak mümkündür. Birincisi, eğer açı bir değer (π/2 ± a) veya (3π/2 ± a) olarak temsil edilebiliyorsa, fonksiyonun değeri değişir:
- günahtan cos'a;
- çünkü günahtan günaha;
- tg'den ctg'ye;
- ctg'den tg'ye.
Açı (π ± a) veya (2π ± a) olarak temsil edilebiliyorsa fonksiyonun değeri değişmeden kalır.
İkinci olarak, indirgenmiş fonksiyonun işareti değişmez: başlangıçta pozitifse, öyle kalır. Negatif fonksiyonlarla aynı şey.
Toplama formülleri
Bu formüller trigonometrik fonksiyonları aracılığıyla iki dönme açısının toplamı ve farkının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini ifade eder. Tipik olarak açılar α ve β olarak gösterilir.
Formüller şöyle görünür:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * günah.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * günah.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Bu formüller herhangi bir α ve β açısı için geçerlidir.
Çift ve üçlü açı formülleri
Çift ve üçlü açı trigonometrik formülleri sırasıyla 2a ve 3a açılarının fonksiyonlarını a açısının trigonometrik fonksiyonlarıyla ilişkilendiren formüllerdir. Toplama formüllerinden türetilmiştir:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Toplamdan ürüne geçiş
2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y) olduğunu düşünürsek, bu formülü basitleştirirsek, şunu elde ederiz: kimlik günahıα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Benzer şekilde sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Üründen toplama geçiş
Bu formüller, bir toplamın bir ürüne geçişinin kimliklerinden kaynaklanır:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Derece azaltma formülleri
Bu kimliklerde kare ve kübik derece sinüs ve kosinüs, bir çoklu açının birinci derecesinin sinüs ve kosinüsü ile ifade edilebilir:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Evrensel ikame
Evrensel trigonometrik ikame formülleri, trigonometrik fonksiyonları yarım açının tanjantı cinsinden ifade eder.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), x = π + 2πn ile;
- çünkü x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), burada x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 - tg^2 x/2), burada x = π + 2πn;
- karyola x = (1 - tg^2 x/2) / (2tgx/2), x = π + 2πn ile.
Özel durumlar
Özel protozoa vakaları trigonometrik denklemler aşağıda verilmiştir (k herhangi bir tamsayıdır).
Sinüs için bölümler:
| Günah x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | tk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk veya 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk veya -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk veya 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk veya -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk veya 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk veya -2π/3 + 2πk |
Kosinüs için bölümler:
| çünkü x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Teğet için bölümler:
| tg x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | tk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotanjant için bölümler:
| ctg x değeri | x değeri |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoremler
Sinüs teoremi
Teoremin iki versiyonu vardır: basit ve genişletilmiş. Basit teorem sinüsler: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Bu durumda sırasıyla a, b, c üçgenin kenarları, α, β, γ ise karşıt açılardır.
Genişletilmiş sinüs teoremi keyfi üçgen: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Bu özdeşlikte R, verilen üçgenin içine yazıldığı dairenin yarıçapını belirtir.
Kosinüs teoremi
Kimlik şu şekilde görüntülenir: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formülde a, b, c üçgenin kenarları, α ise a kenarının karşısındaki açıdır.
Teğet teoremi
Formül, iki açının teğetleri ile karşı tarafların uzunlukları arasındaki ilişkiyi ifade eder. Kenarlar a, b, c olarak etiketlenmiştir ve karşılık gelen karşıt açılar α, β, γ'dır. Teğet teoreminin formülü: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Kotanjant teoremi
Bir üçgenin içine yazılan bir dairenin yarıçapını kenarlarının uzunluğuna bağlar. Eğer a, b, c üçgenin kenarları ve sırasıyla A, B, C bunların karşısındaki açılar ise, r yazılı dairenin yarıçapı ve p üçgenin yarı çevresi ise, aşağıdaki kimlikler geçerlidir:
- bebek karyolası A/2 = (p-a)/r;
- bebek karyolası B/2 = (p-b)/r;
- bebek karyolası C/2 = (p-c)/r.
Başvuru
Trigonometri - sadece teorik bilim ile ilgili matematiksel formüller. Özellikleri, teoremleri ve kuralları pratikte çeşitli endüstriler tarafından kullanılmaktadır. insan faaliyeti- astronomi, hava ve deniz navigasyonu müzik teorisi, jeodezi, kimya, akustik, optik, elektronik, mimari, ekonomi, makine mühendisliği, ölçüm işi, bilgisayar grafikleri, haritacılık, oşinografi ve diğerleri.
Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant trigonometrinin temel kavramlarıdır; bunların yardımıyla bir üçgenin kenarlarının açıları ve uzunlukları arasındaki ilişkiler matematiksel olarak ifade edilebilir ve gerekli miktarlar kimlikler, teoremler ve kurallar aracılığıyla bulunabilir.
Seni kopya notları yazmaman konusunda ikna etmeye çalışmayacağım. Yazmak! Trigonometri ile ilgili hile sayfaları dahil. Daha sonra kopya kağıtlarının neden gerekli olduğunu ve kopya kağıtlarının neden yararlı olduğunu açıklamayı planlıyorum. Ve işte nasıl öğrenilmeyeceğine dair bilgiler, ancak bazılarını hatırlayın trigonometrik formüller. Yani - hile sayfası olmadan trigonometri Ezberlemek için ilişkilendirmeleri kullanıyoruz!
1. Toplama formülleri:
Kosinüsler her zaman "çiftler halinde gelir": kosinüs-kosinüs, sinüs-sinüs.
Ve bir şey daha: kosinüsler “yetersizdir”. Onlar için "her şey yolunda değil", bu yüzden işaretleri "-" olarak "+" olarak değiştirirler ve bunun tersi de geçerlidir.
Sinüsler - “karıştır”: sinüs-kosinüs, kosinüs-sinüs.
2. Toplama ve fark formülleri:
kosinüsler her zaman “çiftler halinde gelir”. İki kosinüs - "koloboks" ekleyerek, bir çift kosinüs - "koloboks" elde ederiz. Ve çıkarma yaparak kesinlikle kolobok elde edemeyiz. Birkaç sinüs alıyoruz. Ayrıca ileride bir eksi var.
Sinüsler - “karıştır” :
3. Bir çarpımı toplama ve farka dönüştürme formülleri.
Kosinüs çiftini ne zaman elde ederiz? Kosinüsleri eklediğimizde. Bu yüzden
Ne zaman birkaç sinüs elde ederiz? Kosinüsleri çıkarırken. Buradan:
Sinüsleri eklerken ve çıkarırken “Karıştırma” elde edilir. Hangisi daha eğlenceli: ekleme mi çıkarma mı? Doğru, katla. Ve formül için şunu ekliyorlar:
Birinci ve üçüncü formüllerde toplam parantez içindedir. Terimlerin yerlerinin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez. Sıra yalnızca ikinci formül için önemlidir. Ancak kafanın karışmaması ve hatırlama kolaylığı sağlamak için ilk parantez içindeki üç formülün hepsinde farkı alıyoruz
ve ikincisi - miktar
Cebinizdeki kopya kağıtları size gönül rahatlığı verir: Formülü unutursanız kopyalayabilirsiniz. Ve size güven veriyorlar: Eğer kopya kağıdını kullanmazsanız formülleri kolaylıkla hatırlayabilirsiniz.
Sinüs ve kosinüs başlangıçta dik üçgenlerdeki miktarları hesaplama ihtiyacından doğmuştur. Bir dik üçgende açıların derece ölçüsü değiştirilmezse, bu kenarların uzunluğu ne kadar değişirse değişsin en boy oranının daima aynı kaldığı fark edildi.
Sinüs ve kosinüs kavramları bu şekilde tanıtıldı. Sinüs dar açı Bir dik üçgende karşı tarafın hipotenüse oranı, kosinüs ise hipotenüse komşu olan tarafın oranıdır.
Kosinüs ve sinüs teoremleri
Ancak kosinüsler ve sinüsler dik üçgenlerden daha fazlası için kullanılabilir. Herhangi bir üçgenin geniş veya dar açısının veya kenarının değerini bulmak için kosinüs ve sinüs teoremini uygulamak yeterlidir.
Kosinüs teoremi oldukça basittir: “Bir üçgenin kenarının karesi toplamına eşit diğer iki kenarın kareleri eksi bu kenarların çarpımının iki katı, aralarındaki açının kosinüsü."
Sinüs teoreminin iki yorumu vardır: küçük ve genişletilmiş. Küçük olana göre: “Üçgenin açıları orantılıdır. muhalif partiler». Bu teorem genellikle bir üçgenin çevrelenen dairesinin özelliği nedeniyle genişler: "Bir üçgende açılar karşıt kenarlarla orantılıdır ve bunların oranı çevrelenen dairenin çapına eşittir."
Türevler
Türev, bir fonksiyonun argümanındaki değişikliğe göre ne kadar hızlı değiştiğini gösteren matematiksel bir araçtır. Türevler geometride ve birçok teknik disiplinde kullanılır.
Problemleri çözerken trigonometrik fonksiyonların türevlerinin tablo değerlerini bilmeniz gerekir: sinüs ve kosinüs. Sinüsün türevi kosinüstür ve kosinüs sinüstür ancak eksi işareti vardır.
Matematikte uygulama
Sinüsler ve kosinüsler özellikle çözerken sıklıkla kullanılır dik üçgenler ve bunlarla ilgili görevler.
Sinüs ve kosinüslerin rahatlığı teknolojiye de yansır. Kosinüs ve sinüs teoremlerini kullanarak açıları ve kenarları hesaplamak kolaydı. karmaşık figürler ve nesneleri “basit” üçgenlere dönüştürür. Mühendisler genellikle en boy oranı hesaplamalarıyla ilgilenir ve derece ölçüleri, tablo dışı açıların kosinüslerini ve sinüslerini hesaplamak için çok zaman ve çaba harcadı.
Sonra binlerce sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerini içeren Bradis tabloları kurtarmaya geldi farklı açılar. İÇİNDE Sovyet dönemi bazı öğretmenler öğrencilerini Bradis tablolarının sayfalarını ezberlemeye zorladı.
Radyan - açısal büyüklük yaylar, uzunluk yarıçapa eşit veya 57,295779513° derece.
Derece (geometride) - bir dairenin 1/360'ı veya dik açının 1/90'ı.
π = 3,141592653589793238462… ( yaklaşık değer Pi sayıları).
Açılar için kosinüs tablosu: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Açı x (derece olarak) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Açı x (radyan cinsinden) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2xπ/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2 x π |
| çünkü x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
Basit trigonometrik denklemlerin çözümü.
Herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki trigonometrik denklemlerin çözülmesi, sonuçta en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine indirgenir. Ve bunda en iyi yardımcı yine trigonometrik bir daire olduğu ortaya çıkıyor.
Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayalım.
Bir açının kosinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinattır).
Bir açının sinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinattır).
Trigonometrik daire üzerindeki hareketin pozitif yönü saat yönünün tersidir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, koordinatları (1;0) olan bir noktaya karşılık gelir
Bu tanımları basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.
1. Denklemi çözün
Bu denklem, koordinatı eşit olan daire üzerindeki noktalara karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri tarafından karşılanır.
Ordinat ekseninde ordinatı olan bir noktayı işaretleyelim:
Hadi gerçekleştirelim yatay çizgiçemberle kesişene kadar x eksenine paraleldir. Çember üzerinde uzanan ve ordinatı olan iki nokta elde ediyoruz. Bu noktalar, cinsinden dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir:
Radyanlarla dönme açısına karşılık gelen noktayı bırakarak etrafta dolaşırsak tam daire sonra radyan başına dönüş açısına karşılık gelen ve aynı koordinata sahip bir noktaya ulaşacağız. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi karşılayacaktır. “Boşta” devirlerin sayısı (veya) harfiyle gösterilecektir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya) her türlü tamsayı değerini alabiliriz.
Yani orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:
, , - tam sayılar kümesi (1)
Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:
, Nerede , . (2)
Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çözüm serisi dairenin üzerindeki dönme açısına karşılık gelen noktaya dayanmaktadır.
Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:
Eğer bu durumdaysak hadi notları alalım(yani eşit), o zaman ilk çözüm serisini elde ederiz.
Bu girdiyi (yani tek) alırsak, ikinci çözüm serisini elde ederiz.
2. Şimdi denklemi çözelim
Bu, birim çember üzerindeki bir noktanın bir açıyla döndürülerek elde edilen apsisi olduğundan, eksen üzerinde apsis bulunan noktayı işaretleriz:
Hadi gerçekleştirelim dikey çizgi daireyle kesişene kadar eksene paraleldir. Çember üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:
İki dizi çözümü yazalım:
,
,
(Ana tam daireden yani yani daireden giderek istenilen noktaya ulaşıyoruz.
Bu iki seriyi tek bir girdide birleştirelim:
3. Denklemi çözün
Teğet doğru birim çemberin OY eksenine paralel (1,0) koordinatlı noktadan geçer
Üzerinde ordinatı 1'e eşit olan bir nokta işaretleyelim (açıları 1'e eşit olan teğetini arıyoruz):
Bu noktayı bir doğru ile koordinatların orijinine bağlayalım ve doğrunun birim çember ile kesişme noktalarını işaretleyelim. Düz çizgi ile dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönme açılarına karşılık gelir:
Denklemimizi sağlayan dönme açılarına karşılık gelen noktalar birbirinden radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:
4. Denklemi çözün
Kotanjant çizgisi birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.
Kotanjantlar doğrusu üzerinde apsis -1 olan bir noktayı işaretleyelim:
Bu noktayı doğrunun başlangıç noktasına bağlayalım ve çemberle kesişene kadar devam edelim. Bu düz çizgi, daireyi dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelen noktalarda kesecektir:
Bu noktalar birbirinden eşit mesafe ile ayrıldığından, o zaman genel çözüm Bu denklemi şu şekilde yazabiliriz:
En basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren verilen örneklerde, trigonometrik fonksiyonların tablo değerleri kullanılmıştır.
Bununla birlikte, denklemin sağ tarafı tablo dışı bir değer içeriyorsa, bu değeri denklemin genel çözümüne koyarız:
ÖZEL ÇÖZÜMLER:
Ordinatı 0 olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:
Ordinatı 1 olan çember üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:
Çember üzerinde koordinatı -1 olan tek bir noktayı işaretleyelim:
Sıfıra en yakın değerleri belirtmek alışılmış olduğundan çözümü şu şekilde yazıyoruz:
Apsisi 0’a eşit olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:
5.
Apsisi 1’e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:
Apsisi -1'e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:
Ve biraz daha karmaşık örnekler:
1.
Argüman eşitse sinüs bire eşittir
Sinüsümüzün argümanı eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:
Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölün:
Cevap:
2.
Kosinüs sıfıra eşit, eğer kosinüs argümanı eşitse
Kosinüsümüzün argümanı eşittir ve şunu elde ederiz:
İfade edelim, bunun için önce ters işaretle sağa doğru hareket ediyoruz:
Sağ tarafı sadeleştirelim:
Her iki tarafı da -2'ye bölün:
K herhangi bir tamsayı değeri alabildiğinden, terimin önündeki işaretin değişmediğine dikkat edin.
Cevap:
Ve son olarak “Trigonometrik bir denklemde köklerin seçilmesi” başlıklı video eğitimini izleyin. trigonometrik daire"
Böylece basit trigonometrik denklemlerin çözümü hakkındaki konuşmamız sona eriyor. Bir dahaki sefere nasıl karar vereceğimizi konuşacağız.
Bu yazımızda kapsamlı bir inceleme yapacağız. Temel trigonometrik kimlikler, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve bu trigonometrik fonksiyonlardan herhangi birinin bilinen bir diğeri aracılığıyla bulunmasına olanak sağlayan eşitliklerdir.
Bu yazımızda analiz edeceğimiz ana trigonometrik özdeşlikleri hemen listeleyelim. Bunları bir tablo halinde yazalım ve aşağıda bu formüllerin çıktılarını verip gerekli açıklamaları yapacağız.
Sayfada gezinme.
Bir açının sinüsü ve kosinüsü arasındaki ilişki
Bazen yukarıdaki tabloda listelenen ana trigonometrik özdeşlikler hakkında değil, tek bir tane hakkında konuşurlar. temel trigonometrik kimlik tür 
. Bu gerçeğin açıklaması oldukça basittir: Eşitlikler, ana trigonometrik özdeşliğin her iki parçasının sırasıyla ve ile bölünmesiyle elde edilir ve eşitlikler 
Ve 
sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından takip edin. Bunu aşağıdaki paragraflarda daha ayrıntılı olarak konuşacağız.
Yani, özel ilgi ana trigonometrik özdeşliğe adı verilen eşitliği tam olarak temsil eder.
Ana trigonometrik özdeşliği kanıtlamadan önce formülasyonunu veriyoruz: bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı aynı şekilde bire eşittir. Şimdi bunu kanıtlayalım.
Temel trigonometrik özdeşlik şu durumlarda sıklıkla kullanılır: dönüşüm trigonometrik ifadeler . Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesine olanak sağlar. Temel trigonometrik kimlik daha az sıklıkla kullanılmaz. ters sıra: birim herhangi bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı ile değiştirilir.
Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant
Bir bakış açısının sinüs ve kosinüsü ile teğet ve kotanjantı birleştiren kimlikler ve 
sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından hemen yararlanın. Aslında, tanım gereği sinüs, y'nin ordinatıdır, kosinüs, x'in apsisidir, teğet, ordinatın apsise oranıdır, yani, 
ve kotanjant apsisin koordinata oranıdır, yani, 
.
Kimliklerin bu kadar açık olması sayesinde Teğet ve kotanjant genellikle apsis ve ordinat oranıyla değil, sinüs ve kosinüs oranıyla tanımlanır. Yani bir açının tanjantı, sinüsün bu açının kosinüsüne oranıdır ve kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır.
Bu noktanın sonunda şunu belirtmek gerekir ki, kimlikler ve İçerdiği trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu tüm açılarda gerçekleşir. Yani formül, (aksi takdirde payda sıfır olur ve sıfıra bölmeyi tanımlamadık) dışında herhangi biri için geçerlidir ve formül - hepsi için farklı, burada z herhangi bir değerdir.
Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki
Daha da belirgin trigonometrik özdeşlikönceki ikisine göre, formun bir açısının teğetini ve kotanjantını birleştiren özdeşliktir . dışında herhangi bir açıda gerçekleşeceği açıktır. aksi takdirde teğet veya kotanjant tanımlanmamıştır.
Formülün kanıtı çok basit. Tanım gereği ve nereden 
. Kanıt biraz daha farklı bir şekilde gerçekleştirilebilirdi. O zamandan beri , O 
.
Yani anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantı .