– Kesinlikle trigonometri ile ilgili görevler olacak. Trigonometri, sinüsler, kosinüsler, teğetler ve kotanjantlarla dolu çok sayıda zor formülü doldurma ihtiyacı nedeniyle çoğu zaman sevilmez. Site zaten bir zamanlar Euler ve Peel formülleri örneğini kullanarak unutulmuş bir formülün nasıl hatırlanacağı konusunda tavsiyeler vermişti.
Ve bu yazıda yalnızca beş basit trigonometrik formülü kesin olarak bilmenin ve gerisini bilmenin yeterli olduğunu göstermeye çalışacağız. genel fikir ve giderken onları dışarı çıkar. Tıpkı DNA'da olduğu gibi: Molekül, tamamlanmış bir canlı varlığın tüm planlarını saklamaz. Aksine, mevcut amino asitlerden bir araya getirilmesi için talimatlar içerir. Yani trigonometride biraz bilgi sahibi olmak genel prensipler, her şeyi alacağız gerekli formüller itibaren küçük set akılda tutulması gerekenler.
güveneceğiz aşağıdaki formüller:
Sinüs ve kosinüs toplamları formüllerinden, kosinüs fonksiyonunun paritesini ve sinüs fonksiyonunun tuhaflığını bilerek, b yerine -b'yi koyarak, farklar için formüller elde ederiz:
- Farkın sinüsü: günah(a-b) = günahAçünkü(-B)+çünküAgünah(-B) = günahAçünküB-çünküAgünahB
- Farkın kosinüsü: çünkü(a-b) = çünküAçünkü(-B)-günahAgünah(-B) = çünküAçünküB+günahAgünahB
a = b'yi aynı formüllere yerleştirerek çift açıların sinüs ve kosinüs formüllerini elde ederiz:
- Sinüs çift açı : günah2a = günah(a+a) = günahAçünküA+çünküAgünahA = 2günahAçünküA
- Çift açının kosinüsü: çünkü2a = çünkü(a+a) = çünküAçünküA-günahAgünahA = çünkü2 bir-günah2 bir
Diğer çoklu açıların formülleri de benzer şekilde elde edilir:
- Üçlü açının sinüsü: günah3a = günah(2a+a) = günah2açünküA+çünkü2agünahA = (2günahAçünküA)çünküA+(çünkü2 bir-günah2 bir)günahA = 2günahAçünkü2 bir+günahAçünkü2 bir-günah 3 bir = 3 günahAçünkü2 bir-günah 3 bir = 3 günahA(1-günah2 bir)-günah 3 bir = 3 günahA-4günah 3a
- Üçlü açının kosinüsü: çünkü3a = çünkü(2a+a) = çünkü2açünküA-günah2agünahA = (çünkü2 bir-günah2 bir)çünküA-(2günahAçünküA)günahA = çünkü 3 a- günah2 birçünküA-2günah2 birçünküA = çünkü 3 a-3 günah2 birçünküA = çünkü 3 a-3(1- çünkü2 bir)çünküA = 4çünkü 3 a-3 çünküA
Devam etmeden önce bir soruna bakalım.
Verilen: açı dardır.
Eğer kosinüsünü bulun
Bir öğrencinin verdiği çözüm:
Çünkü , O günahA= 3,a çünküA = 4.
(Matematik mizahından)
Dolayısıyla tanjantın tanımı bu fonksiyonu hem sinüs hem de kosinüs ile ilişkilendirir. Ancak teğeti yalnızca kosinüsle ilişkilendiren bir formül elde edebilirsiniz. Bunu türetmek için ana trigonometrik özdeşliği alıyoruz: günah 2 A+çünkü 2 A= 1 ve bunu böl çünkü 2 A. Şunu elde ederiz:
Yani bu sorunun çözümü şöyle olacaktır:
(Açı dar olduğundan kök çıkartılırken + işareti alınır)
Bir toplamın tanjant formülü hatırlanması zor olan başka bir formüldür. Şu şekilde çıktısını alalım:
Hemen görüntülenir ve
Çift açı için kosinüs formülünden yarım açılar için sinüs ve kosinüs formüllerini elde edebilirsiniz. Bunu yapmak için çift açılı kosinüs formülünün sol tarafına:
çünkü2
A = çünkü 2
A-günah 2
A
bir tane ekliyoruz ve sağa - trigonometrik bir birim, yani. sinüs ve kosinüs karelerinin toplamı.
çünkü2a+1 = çünkü2 bir-günah2 bir+çünkü2 bir+günah2 bir
2çünkü 2
A = çünkü2
A+1
İfade etme çünküA başından sonuna kadar çünkü2
A ve değişkenleri değiştirerek şunu elde ederiz:
İşaret çeyreğe bağlı olarak alınır.
Benzer şekilde eşitliğin sol tarafından bir ve sağdan sinüs ve kosinüs karelerinin toplamından bir çıkardığımızda şunu elde ederiz:
çünkü2a-1 = çünkü2 bir-günah2 bir-çünkü2 bir-günah2 bir
2günah 2
A = 1-çünkü2
A
Son olarak trigonometrik fonksiyonların toplamını çarpıma dönüştürmek için aşağıdaki tekniği kullanıyoruz. Diyelim ki sinüslerin toplamını bir çarpım olarak temsil etmemiz gerekiyor günahA+günahB. a = x+y, b+x-y olacak şekilde x ve y değişkenlerini tanıtalım. Daha sonra
günahA+günahB = günah(x+y)+ günah(x-y) = günah X çünkü y+ çünkü X günah y+ günah X çünkü y- çünkü X günah y=2 günah X çünkü y. Şimdi x ve y'yi a ve b cinsinden ifade edelim.
a = x+y, b = x-y olduğundan, o zaman . Bu yüzden
Hemen geri çekilebilirsiniz
- Bölümlendirme formülü sinüs ve kosinüs çarpımları V miktar: günahAçünküB = 0.5(günah(a+b)+günah(a-b))
Sinüslerin farkını ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpıma dönüştürmek, sinüs ve kosinüslerin çarpımlarını toplama bölmek için kendi başınıza pratik yapmanızı ve formüller türetmenizi öneririz. Bu alıştırmaları tamamladıktan sonra, trigonometrik formülleri türetme becerisinde iyice ustalaşacak ve en zor testlerde, olimpiyatlarda veya testlerde bile kaybolmayacaksınız.
Hadi ilgilenelim basit kavramlar: sinüs ve kosinüs ve hesaplama kosinüs kare ve sinüs kare.
Sinüs ve kosinüs trigonometride (dik açılı üçgenlerin incelenmesi) incelenir.
Bu nedenle öncelikle dik üçgenin temel kavramlarını hatırlayalım:
Hipotenüs- her zaman karşı tarafta bulunan taraf dik açı(90 derece açı). Hipotenüs dik açılı bir üçgenin en uzun kenarıdır.
Bir dik üçgenin geri kalan iki kenarına denir bacaklar.
Ayrıca bir üçgendeki üç açının toplamının her zaman 180° olduğunu da unutmamalısınız.
Şimdi devam edelim alfa açısının kosinüsü ve sinüsü (∠α)(buna bir üçgendeki herhangi bir dolaylı açı denilebilir veya bir atama olarak kullanılabilir x - "x", bu özü değiştirmez).
Alfa açısının sinüsü (sin ∠α)- bu bir tutum zıt bacak (karşılık gelen açının karşısındaki taraf) hipotenüse. Şekle bakarsanız, günah ∠ABC = AC / BC
Alfa açısının kosinüsü (cos ∠α)- davranış bitişik bacağın hipotenüse olan açısına. Yukarıdaki şekle tekrar baktığımızda, çünkü ∠ABC = AB / BC
Ve size şunu hatırlatmak isterim: kosinüs ve sinüs asla birden fazla, çünkü herhangi bir yuvarlanma hipotenüsten daha kısadır (ve hipotenüs herhangi bir üçgenin en uzun kenarıdır, çünkü en uzun kenar üçgendeki en büyük açının karşısında yer alır).
Kosinüs kare, sinüs kare
Şimdi ana olanlara geçelim trigonometrik formüller: Kosinüs kare ve sinüs kareyi hesaplayın.
Bunları hesaplamak için temel trigonometrik özdeşliği hatırlamanız gerekir:
günah 2 α + çünkü 2 α = 1(bir açının sinüs karesi artı kosinüs karesi her zaman bire eşittir).
İtibaren trigonometrik özdeşlik sinüs hakkında sonuçlar çıkarıyoruz:
günah 2 α = 1 - çünkü 2 α
sinüs kare alfa bire eşitçift açılı alfanın kosinüsünü çıkarın ve hepsini ikiye bölün.
günah 2 α = (1 – cos(2α)) / 2
Trigonometrik özdeşlikten kosinüs hakkında şu sonuçlara varıyoruz:
çünkü 2 α = 1 - günah 2 α
veya daha fazlası zor seçenek formüller: kosinüs kare alfa bir artı çift açılı alfanın kosinüsüne eşittir ve ayrıca her şeyi ikiye böleriz.
çünkü 2 α = (1 + cos(2α)) / 2
Bu ikisi daha fazla karmaşık formüller sinüs kare ve kosinüs kare aynı zamanda "trigonometrik fonksiyonların karelerinin derecesinin azaltılması" olarak da adlandırılır. Onlar. ikinci derece vardı, birinciye indirdiler ve hesaplamalar daha kolay hale geldi.
En basit çözüm trigonometrik denklemler.
Herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki trigonometrik denklemlerin çözülmesi, sonuçta en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine indirgenir. Ve bunda en iyi yardımcı yine trigonometrik bir daire olduğu ortaya çıkıyor.
Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayalım.
Bir açının kosinüsü, üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinattır). birim çember, belirli bir açı boyunca dönüşe karşılık gelir.
Bir açının sinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinattır).
Trigonometrik daire üzerindeki hareketin pozitif yönü saat yönünün tersidir. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, koordinatları (1;0) olan bir noktaya karşılık gelir
Bu tanımları basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.
1. Denklemi çözün
Bu denklem, koordinatı eşit olan daire üzerindeki noktalara karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri tarafından karşılanır.
Ordinat ekseninde ordinatı olan bir noktayı işaretleyelim:
Hadi gerçekleştirelim yatay çizgiçemberle kesişene kadar x eksenine paraleldir. Çember üzerinde uzanan ve ordinatı olan iki nokta elde ediyoruz. Bu noktalar dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir:
Radyanlarla dönme açısına karşılık gelen noktayı bırakarak etrafta dolaşırsak tam daire sonra radyan başına dönüş açısına karşılık gelen ve aynı koordinata sahip bir noktaya ulaşacağız. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi karşılayacaktır. “Boşta” devirlerin sayısı (veya) harfiyle belirtilecektir. Bu dönüşleri hem pozitif hem de negatif yönde yapabildiğimiz için (veya) her türlü tamsayı değerini alabiliriz.
Yani orijinal denklemin ilk çözüm serisi şu şekildedir:
, , - tam sayılar kümesi (1)
Benzer şekilde ikinci çözüm serisi de şu şekildedir:
, Nerede , . (2)
Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çözüm serisi dairenin üzerindeki dönme açısına karşılık gelen noktaya dayanmaktadır.
Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:
Eğer bu durumdaysak hadi notları alalım(yani eşit), o zaman ilk çözüm serisini elde ederiz.
Bu girdiyi (yani tek) alırsak, ikinci çözüm serisini elde ederiz.
2. Şimdi denklemi çözelim
Bu, birim çember üzerindeki bir noktanın bir açıyla döndürülerek elde edilen apsisi olduğundan, eksen üzerinde apsis bulunan noktayı işaretleriz:
Hadi gerçekleştirelim dikey çizgi daireyle kesişene kadar eksene paraleldir. Çember üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:
İki dizi çözümü yazalım:
,
,
(Ana tam daireden yani yani daireden giderek istenilen noktaya ulaşıyoruz.
Bu iki seriyi tek bir girdide birleştirelim:
3. Denklemi çözün
Teğet doğru birim çemberin OY eksenine paralel (1,0) koordinatlı noktadan geçer
Üzerinde ordinatı 1'e eşit olan bir nokta işaretleyelim (açıları 1'e eşit olan teğetini arıyoruz):
Bu noktayı bir doğru ile koordinatların orijinine bağlayalım ve doğrunun birim çember ile kesişme noktalarını işaretleyelim. Düz çizgi ile dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönme açılarına karşılık gelir:
Denklemimizi sağlayan dönme açılarına karşılık gelen noktalar birbirinden radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:
4. Denklemi çözün
Kotanjant çizgisi birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.
Kotanjantlar doğrusu üzerinde apsis -1 olan bir noktayı işaretleyelim:
Bu noktayı doğrunun başlangıç noktasına bağlayalım ve çemberle kesişene kadar devam edelim. Bu düz çizgi, daireyi dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelen noktalarda kesecektir:
Bu noktalar birbirinden eşit mesafe ile ayrıldığından bu denklemin genel çözümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz:
En basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren verilen örneklerde, trigonometrik fonksiyonların tablo değerleri kullanılmıştır.
Bununla birlikte, denklemin sağ tarafı tablo dışı bir değer içeriyorsa, bu değeri denklemin genel çözümüne koyarız:
ÖZEL ÇÖZÜMLER:
Ordinatı 0 olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:
Ordinatı 1 olan çember üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:
Çember üzerinde koordinatı -1 olan tek bir noktayı işaretleyelim:
Sıfıra en yakın değerleri belirtmek alışılmış olduğundan çözümü şu şekilde yazıyoruz:
Apsisi 0’a eşit olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:
5.
Apsisi 1’e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:
Apsisi -1'e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:
Ve biraz daha karmaşık örnekler:
1.
Argüman eşitse sinüs bire eşittir
Sinüsümüzün argümanı eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:
Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölelim:
Cevap:
2.
Kosinüs sıfıra eşit kosinüs argümanı eşitse
Kosinüsümüzün argümanı eşittir ve şunu elde ederiz:
ifade edelim, bunun için önce ters işaretle sağa doğru hareket edelim:
Sağ tarafı sadeleştirelim:
Her iki tarafı da -2'ye bölün:
K herhangi bir tamsayı değeri alabildiğinden, terimin önündeki işaretin değişmediğine dikkat edin.
Cevap:
Ve son olarak “Trigonometrik bir denklemde köklerin seçilmesi” başlıklı video eğitimini izleyin. trigonometrik daire"
Böylece basit trigonometrik denklemlerin çözümü hakkındaki konuşmamız sona eriyor. Bir dahaki sefere nasıl karar vereceğimizi konuşacağız.
Sinüs ve kosinüs başlangıçta dik üçgenlerdeki miktarları hesaplama ihtiyacından doğmuştur. Bir dik üçgende açıların derece ölçüsü değiştirilmezse, bu kenarların uzunluğu ne kadar değişirse değişsin en boy oranının daima aynı kaldığı fark edildi.
Sinüs ve kosinüs kavramları bu şekilde tanıtıldı. Sinüs dar açı dik üçgende oran karşı bacak hipotenüse yakındır ve kosinüs hipotenüse bitişiktir.
Kosinüs ve sinüs teoremleri
Ancak kosinüsler ve sinüsler dik üçgenlerden daha fazlası için kullanılabilir. Herhangi bir üçgenin geniş veya dar açısının veya kenarının değerini bulmak için kosinüs ve sinüs teoremini uygulamak yeterlidir.
Kosinüs teoremi oldukça basittir: “Bir üçgenin kenarının karesi toplamına eşit diğer iki kenarın kareleri eksi bu kenarların çarpımının iki katı, aralarındaki açının kosinüsü."
Sinüs teoreminin iki yorumu vardır: küçük ve genişletilmiş. Küçük olana göre: “Üçgenin açıları orantılıdır. muhalif partiler». Bu teorem genellikle bir üçgenin çevrelenen dairesinin özelliği nedeniyle genişler: "Bir üçgende açılar karşıt kenarlarla orantılıdır ve bunların oranı çevrelenen dairenin çapına eşittir."
Türevler
Türev, bir fonksiyonun argümanındaki değişikliğe göre ne kadar hızlı değiştiğini gösteren matematiksel bir araçtır. Türevler geometride ve birçok teknik disiplinde kullanılır.
Problemleri çözerken trigonometrik fonksiyonların türevlerinin tablo değerlerini bilmeniz gerekir: sinüs ve kosinüs. Sinüsün türevi kosinüstür ve kosinüs sinüstür ancak eksi işareti vardır.
Matematikte uygulama
Sinüsler ve kosinüsler özellikle çözerken sıklıkla kullanılır dik üçgenler ve bunlarla ilgili görevler.
Sinüs ve kosinüslerin rahatlığı teknolojiye de yansır. Kosinüs ve sinüs teoremlerini kullanarak açıları ve kenarları hesaplamak kolaydı. karmaşık figürler ve nesneleri “basit” üçgenlere dönüştürür. Mühendisler genellikle en boy oranı hesaplamalarıyla ilgilenir ve derece ölçüleri, tablo dışı açıların kosinüslerini ve sinüslerini hesaplamak için çok zaman ve çaba harcadı.
Sonra binlerce sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerini içeren Bradis tabloları kurtarmaya geldi farklı açılar. İÇİNDE Sovyet dönemi bazı öğretmenler öğrencilerini Bradis tablolarının sayfalarını ezberlemeye zorladı.
Radyan - açısal büyüklük yaylar, uzunluk yarıçapa eşit veya 57,295779513° derece.
Derece (geometride) - bir dairenin 1/360'ı veya dik açının 1/90'ı.
π = 3,141592653589793238462… ( yaklaşık değer Pi sayıları).
Açılar için kosinüs tablosu: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.
| Açı x (derece olarak) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 210° | 225° | 240° | 270° | 300° | 315° | 330° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Açı x (radyan cinsinden) | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2xπ/3 | 3xπ/4 | 5xπ/6 | π | 7xπ/6 | 5xπ/4 | 4xπ/3 | 3xπ/2 | 5xπ/3 | 7xπ/4 | 11xπ/6 | 2 x π |
| çünkü x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |