Diyelim ki Aşil kaplumbağadan on kat daha hızlı koşuyor ve onun bin adım gerisinde. Aşil'in bu mesafeyi koştuğu süre boyunca kaplumbağa aynı yönde yüz adım kadar sürünecektir. Aşil yüz adım koştuğunda kaplumbağa on adım daha sürünür ve bu böyle devam eder. Bu süreç sonsuza kadar devam edecek, Aşil kaplumbağaya asla yetişemeyecek.
Bu akıl yürütme sonraki tüm nesiller için mantıksal bir şok oldu. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Hepsi öyle ya da böyle Zenon'un açmazını değerlendirdiler. Şok o kadar güçlüydü ki " ...paradoksların özü hakkında ortak bir görüşe varmak için tartışmalar bugün de devam ediyor bilimsel toplulukşu ana kadar bu mümkün olmadı... konunun araştırılmasına dahil olduk matematiksel analiz, küme teorisi, yeni fiziksel ve felsefi yaklaşımlar; hiçbiri soruna genel kabul görmüş bir çözüm olmadı..."[Wikipedia, "Zeno'nun Aporia'sı". Herkes kandırıldıklarını anlıyor ama kimse aldatmanın nelerden oluştuğunu anlamıyor.
Matematiksel bir bakış açısından Zeno, çıkmazında nicelikten niceliğe geçişi açıkça gösterdi. Bu geçiş, kalıcı uygulamalar yerine uygulamayı ima etmektedir. Anladığım kadarıyla, matematiksel aparat Değişken ölçü birimlerinin kullanımı ya henüz geliştirilmemiştir ya da Zeno'nun açmazına uygulanmamıştır. Her zamanki mantığımızı uygulamak bizi tuzağa düşürür. Biz, düşüncenin ataleti nedeniyle, karşılıklı değere sabit zaman birimleri uyguluyoruz. İLE fiziksel nokta Bir açıdan bakıldığında, Aşil'in kaplumbağaya yetiştiği anda tamamen durana kadar zaman yavaşlıyor gibi görünüyor. Zaman durursa Aşil kaplumbağadan daha fazla koşamaz.
Her zamanki mantığımızı tersine çevirirsek her şey yerli yerine oturur. Aşil ile çalışır sabit hız. Yolunun her bir sonraki bölümü bir öncekinden on kat daha kısadır. Buna göre, bunun üstesinden gelmek için harcanan süre bir öncekine göre on kat daha azdır. Bu duruma “sonsuzluk” kavramını uygularsak o zaman “Aşil kaplumbağaya sonsuz hızla yetişecek” demek doğru olur.
Bu mantıksal tuzaktan nasıl kaçınılır? İçeride kal sabit birimler Zaman ölçümleri ve karşılıklı büyüklüklere gidilmez. Zeno'nun dilinde şöyle görünür:
Aşil'in bin adım koşması gereken sürede kaplumbağa aynı yönde yüz adım koşacaktır. Bir sonraki zaman aralığı için, birinciye eşit Aşil bin adım daha koşacak ve kaplumbağa yüz adım daha sürünecek. Artık Aşil kaplumbağanın sekiz yüz adım ilerisindedir.
Bu yaklaşım, herhangi bir mantıksal paradoks olmaksızın gerçekliği yeterince tanımlamaktadır. Ama değil komple çözüm sorunlar. Einstein'ın ışık hızının karşı konulmazlığıyla ilgili açıklaması Zeno'nun "Aşil ve Kaplumbağa" açmazına çok benziyor. Hala bu sorunu incelememiz, yeniden düşünmemiz ve çözmemiz gerekiyor. Ve çözüm sonsuz büyük sayılarda değil, ölçü birimlerinde aranmalıdır.
Zeno'nun bir başka ilginç açmazı da uçan bir oktan bahseder:
Uçan ok, zamanın her anında hareketsiz olduğundan hareketsizdir ve zamanın her anında hareketsiz olduğundan daima hareketsizdir.
Bu açmazda, mantıksal paradoksun üstesinden çok basit bir şekilde gelinir - uçan bir okun uzayın farklı noktalarında hareketsiz olduğunu, yani aslında hareket olduğunu açıklığa kavuşturmak yeterlidir. Burada bir başka noktaya dikkat çekmek gerekiyor. Yoldaki bir arabanın bir fotoğrafından ne hareketinin gerçekliğini ne de ona olan mesafeyi belirlemek imkansızdır. Bir arabanın hareket edip etmediğini belirlemek için aynı noktadan çekilmiş iki fotoğrafa ihtiyacınız vardır. farklı anlar zaman ama mesafe onlardan belirlenemez. Arabaya olan mesafeyi belirlemek için iki fotoğrafa ihtiyacınız var. farklı noktalar zamanın bir noktasında uzay, ancak onlardan hareketin gerçeğini belirlemek imkansızdır (doğal olarak hesaplamalar için hala ek verilere ihtiyaç vardır, trigonometri size yardımcı olacaktır). Belirtmek istediğim şey özel ilgi Zamandaki iki nokta ile uzaydaki iki noktanın karıştırılmaması gereken farklı şeyler olduğu, çünkü araştırma için farklı fırsatlar sundukları.
4 Temmuz 2018 Çarşamba
Küme ve çoklu küme arasındaki farklar Vikipedi'de çok iyi anlatılmıştır. Görelim.
Gördüğünüz gibi “bir kümede iki özdeş eleman olamaz” ama bir kümede özdeş elemanlar varsa bu kümeye “çoklu küme” denir. Makul varlıklar bu kadar saçma mantığı asla anlayamayacaktır. Bu seviye konuşan papağanlar ve "tamamen" kelimesinden zekası olmayan eğitimli maymunlar. Matematikçiler bize saçma fikirlerini vaaz eden sıradan eğitmenler gibi davranırlar.
Bir zamanlar köprüyü inşa eden mühendisler, köprüyü test ederken köprünün altında bir teknedeydiler. Köprü çökerse, vasat mühendis, yarattığı eserin enkazı altında öldü. Köprünün yüke dayanabilmesi durumunda yetenekli mühendis başka köprüler de inşa etti.
Matematikçiler "boşver beni, evdeyim" ya da daha doğrusu "matematik çalışmaları" ifadesinin arkasına ne kadar saklanırsa saklansınlar soyut kavramlar", onları gerçekliğe ayrılmaz bir şekilde bağlayan bir göbek bağı var. Bu göbek bağı paradır. Uygula matematiksel teori matematikçilerin kendilerine sunar.
Matematiği çok iyi çalıştık ve şimdi kasanın başında oturup maaş dağıtıyoruz. Yani bir matematikçi parası için bize geliyor. Tutarın tamamını ona sayıyoruz ve içine aynı değerdeki banknotları koyduğumuz farklı yığınlar halinde masamıza koyuyoruz. Daha sonra her desteden birer banknot alıp matematikçiye veriyoruz." matematik seti Maaşlar." Matematiğe, kalan faturaları ancak aynı elemanları olmayan bir setin, aynı elemanları olan bir sete eşit olmadığını kanıtladığında alacağını açıklıyoruz. İşte eğlence burada başlıyor.
Öncelikle milletvekillerinin mantığı işleyecek: “Bu başkalarına da uygulanabilir ama bana uygulanamaz!” Daha sonra bize, aynı değerdeki banknotların farklı banknot numaralarına sahip olduğu, yani aynı unsurlar olarak kabul edilemeyecekleri konusunda güvence vermeye başlayacaklar. Tamam, maaşları madeni para cinsinden sayalım - madeni paraların üzerinde rakam yok. Burada matematikçi çılgınca fiziği hatırlamaya başlayacak: farklı madeni paralarda farklı miktarlarçamur, kristal yapısı ve her madeni paradaki atomların düzeni benzersizdir...
Ve şimdi en çok şeye sahibim ilginç soru: Bir çoklu kümenin elemanlarının bir kümenin elemanlarına dönüştüğü ve bunun tersinin de geçerli olduğu çizgi nerede? Böyle bir çizgi yok - her şeye şamanlar karar veriyor, bilim burada yalan söylemeye bile yakın değil.
Buraya bak. Aynı saha alanına sahip futbol stadyumlarını seçiyoruz. Alanların alanları aynıdır; bu da bir çoklu kümeye sahip olduğumuz anlamına gelir. Ancak aynı stadyumların isimlerine baktığımızda çok sayıda isim görüyoruz çünkü isimler farklı. Gördüğünüz gibi aynı eleman kümesi hem bir küme hem de çoklu kümedir. Hangisi doğru? Ve burada matematikçi-şaman-keskinci kolundan bir koz çıkarır ve bize ya bir kümeden ya da bir çoklu kümeden bahsetmeye başlar. Her durumda bizi haklı olduğuna ikna edecektir.
Modern şamanların küme teorisini gerçekliğe bağlayarak nasıl çalıştığını anlamak için bir soruyu yanıtlamak yeterlidir: Bir kümenin öğeleri başka bir kümenin öğelerinden nasıl farklıdır? Size "tek bir bütün olarak düşünülemez" veya "tek bir bütün olarak düşünülemez" olmadan göstereceğim.
18 Mart 2018 Pazar
Bir sayının rakamlarının toplamı, şamanların tef ile dansıdır ve bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Evet, matematik derslerinde bize bir sayının rakamlarının toplamını bulmamız ve bunu kullanmamız öğretilir, ancak bu yüzden onlar şamandırlar, nesillerine becerilerini ve bilgeliğini öğretmek için çalışırlar, aksi takdirde şamanlar yok olup giderler.
Kanıta mı ihtiyacınız var? Wikipedia'yı açın ve "Bir sayının rakamlarının toplamı" sayfasını bulmaya çalışın. O yok. Matematikte herhangi bir sayının rakamlarının toplamını bulmak için kullanılabilecek bir formül yoktur. Sonuçta sayılar grafik sembolleri Yardımıyla sayıları yazıyoruz ve matematik dilinde görev şu şekilde geliyor: "Herhangi bir sayıyı temsil eden grafik sembollerin toplamını bulun." Matematikçiler bu problemi çözemezler ama şamanlar bunu kolaylıkla yapabilirler.
Sayıların toplamını bulmak için ne ve nasıl yapacağımızı bulalım. verilen numara. Peki elimizde 12345 sayısı var. Bu sayının rakamlarının toplamını bulmak için ne yapılması gerekiyor? Tüm adımları sırayla ele alalım.
1. Numarayı bir kağıda yazın. Ne yaptık? Sayıyı grafiksel sayı sembolüne dönüştürdük. Bu matematiksel bir işlem değil.
2. Ortaya çıkan bir resmi, ayrı sayılar içeren birkaç resme kesin. Bir resmi kesmek matematiksel bir işlem değildir.
3. Bireysel grafik sembollerini sayılara dönüştürün. Bu matematiksel bir işlem değil.
4. Ortaya çıkan sayıları ekleyin. Şimdi bu matematik.
12345 sayısının rakamlarının toplamı 15'tir. Bunlar matematikçilerin kullandığı şamanların "kesme ve dikme kurslarıdır". Ama hepsi bu değil.
Matematiksel açıdan bakıldığında bir sayıyı hangi sayı sisteminde yazdığımız önemli değildir. Yani, içinde farklı sistemler Matematikte aynı sayının rakamlarının toplamı farklı olacaktır. Matematikte sayı sistemi sayının sağında alt simge olarak gösterilir. İLE çok sayıda 12345 Kafamı kandırmak istemem, ilgili yazıdan 26 sayısına bakalım. Bu sayıyı ikili, sekizli, onlu ve onaltılı sayı sistemlerinde yazalım. Her adıma mikroskop altında bakmayacağız; bunu zaten yaptık. Sonuca bakalım.
Gördüğünüz gibi farklı sayı sistemlerinde aynı sayının rakamlarının toplamı farklıdır. Bu sonucun matematikle hiçbir ilgisi yoktur. Tıpkı bir dikdörtgenin alanını metre ve santimetre olarak belirlerseniz tamamen farklı sonuçlar elde etmeniz gibi.
Sıfır tüm sayı sistemlerinde aynı görünür ve rakam toplamı yoktur. Bu, gerçeğin lehine başka bir argümandır. Matematikçilere soru: Matematikte sayı olmayan bir şey nasıl belirlenir? Ne yani, matematikçiler için sayılardan başka hiçbir şey yok mu? Buna şamanlar için izin verebilirim ama bilim adamları için izin veremem. Gerçeklik sadece sayılardan ibaret değildir.
Elde edilen sonuç, sayı sistemlerinin sayıların ölçü birimleri olduğunun kanıtı olarak değerlendirilmelidir. Sonuçta sayıları karşılaştıramayız farklı birimlerölçümler. Aynı niceliğin farklı ölçü birimleriyle yapılan aynı eylemler, karşılaştırıldıktan sonra farklı sonuçlara yol açıyorsa, bunun matematikle hiçbir ilgisi yoktur.
Gerçek matematik nedir? İşte o zaman sonuç matematiksel işlem sayının büyüklüğüne, kullanılan ölçü birimine ve eylemi kimin gerçekleştirdiğine bağlı değildir.
Ah! Burası kadınlar tuvaleti değil mi?
- Genç kadın! Burası, cennete yükselişleri sırasında ruhların ölümsüz kutsallığının incelenmesine yönelik bir laboratuvardır! Halo üstte ve yukarı ok. Başka hangi tuvalet?
Dişi... Üstteki hale ve aşağı ok erkektir.
Böyle bir tasarım sanatı eseri günde birkaç kez gözünüzün önünden geçiyorsa,
O halde arabanızda aniden garip bir simge bulmanız şaşırtıcı değil:
Kişisel olarak ben kaka yapan bir insanda eksi dört dereceyi görmeye çalışıyorum (tek resim) (birkaç resimden oluşan kompozisyon: eksi işareti, dört rakamı, derece işareti). Ve bu kızın aptal olduğunu düşünmüyorum, hayır fizik konusunda bilgili. Sadece basmakalıp bir algı algısı var grafik görseller. Ve matematikçiler bize bunu her zaman öğretiyorlar. İşte bir örnek.
1A “eksi dört derece” veya “bir a” değildir. Bu "kaka yapan adam" veya onaltılık gösterimle "yirmi altı" sayısıdır. Sürekli olarak bu sayı sisteminde çalışan kişiler, sayıyı ve harfi otomatik olarak tek bir grafik sembol olarak algılarlar.
Umarım sayı çemberi hakkında daha önce bilgi sahibi olmuşsunuzdur ve buna neden sayı çemberi denildiğini, koordinatların kökeninin nerede olduğunu ve hangi tarafın pozitif yön olduğunu biliyorsunuzdur. Değilse koşun! Tabii ki, üzerinde puan bulacaksanız sayı dairesi.
\(2π\), \(π\), \(\frac(π)(2)\), \(-\frac(π)(2)\), \(\frac(3π) sayılarını gösteriyoruz (2 )\)
Bildiğiniz gibi son makale sayı çemberinin yarıçapı \(1\)'dir. Bu, çevrenin \(2π\)'ye eşit olduğu anlamına gelir (\(l=2πR\ formülü kullanılarak hesaplanır). Bunu dikkate alarak sayı çemberinin üzerine \(2π\) işaretliyoruz. Bu sayıyı işaretlemek için sayı çemberi boyunca \(0\) noktasından pozitif yönde \(2π\)'ye eşit bir mesafeye gitmemiz gerekir ve çemberin uzunluğu \(2π\) olduğu için döner. yapacağımız şey dışında tam dönüş. Yani \(2π\) ve \(0\) sayısı aynı noktaya karşılık gelir. Endişelenmeyin, bir sayı çemberi için bir noktanın birden fazla değer alması normaldir.
Şimdi sayı çemberinde \(π\) sayısını gösterelim. \(π\), \(2π\)'nin yarısıdır. Dolayısıyla bu sayıyı ve karşılık gelen noktayı işaretlemek için \(0\) noktasından pozitif yönde yarım daire gitmeniz gerekir.
\(\frac(π)(2)\) noktasını işaretleyelim. \(\frac(π)(2)\) \(π\'nin yarısıdır), bu nedenle bu sayıyı işaretlemek için \(0\)'dan pozitif yönde \('nin yarısına eşit bir mesafe gitmeniz gerekir. π\), yani çeyrek daire.
\(-\)\(\frac(π)(2)\) çemberi üzerindeki noktaları gösterelim. Aynı mesafeyi hareket ettiriyoruz son kez ama olumsuz yönde.
\(-π\) koyalım. Bunun için hadi mesafeye gidelim negatif yönde yarım daireye eşittir.
Şimdi daha karmaşık bir örneğe bakalım. Çemberin üzerinde \(\frac(3π)(2)\) sayısını işaretleyelim. Bunu yapmak için, \(\frac(3)(2)\) kesrini \(\frac(3)(2)\) \(=1\)\(\frac(1)(2)\'e çeviririz. ), yani e. \(\frac(3π)(2)\) \(=π+\)\(\frac(π)(2)\) . Bu, \(0\) ile arasında ihtiyacımız olduğu anlamına gelir olumlu taraf yarım daire ve bir çeyrek daha yürüyün.
Görev 1. Sayı çemberi üzerinde \(-2π\),\(-\)\(\frac(3π)(2)\) noktalarını işaretleyin.
\(\frac(π)(4)\), \(\frac(π)(3)\), \(\frac(π)(6)\) ,\(\frac(7π) sayılarını gösteriyoruz (6 )\), \(-\frac(4π)(3)\), \(\frac(7π)(4)\)
Yukarıda sayı çemberinin \(x\) ve \(y\) eksenleriyle kesiştiği noktalardaki değerleri bulduk. Şimdi ara noktaların konumunu belirleyelim. Öncelikle \(\frac(π)(4)\) , \(\frac(π)(3)\) ve \(\frac(π)(6)\) noktalarını çizelim.
\(\frac(π)(4)\) \(\frac(π)(2)\)'nin yarısıdır (yani, \(\frac(π)(4)\) \(=\)\ ( \frac(π)(2)\) \(:2)\) , yani \(\frac(π)(4)\) mesafesi yarım çeyrek dairedir.
\(\frac(π)(4)\) \(π\)'nin üçte biridir (başka bir deyişle,\(\frac(π)(3)\) \(=π:3\)), dolayısıyla uzaklık \ (\frac(π)(3)\) yarım dairenin üçte biridir.
\(\frac(π)(6)\) \(\frac(π)(3)\)'ın yarısıdır (sonuçta, \(\frac(π)(6)\) \(=\)\( \frac (π)(3)\) \(:2\)) yani \(\frac(π)(6)\) mesafesi \(\frac(π)(3)\) mesafesinin yarısıdır.
Birbirlerine göre bu şekilde konumlandırılırlar:
Yorum: Değeri \(0\), \(\frac(π)(2)\) ,\(π\), \(\frac(3π)(2)\) , \(\frac(π) olan noktaların konumu ( 4)\) , \(\frac(π)(3)\) , \(\frac(π)(6)\) hatırlamak daha iyidir. Onlar olmadan sayı çemberi, monitörü olmayan bir bilgisayar gibi yararlı bir şey gibi görünüyor, ancak kullanımı son derece sakıncalı.
Şimdi çember üzerinde \(\frac(7π)(6)\) noktasını gösterelim, bunu yapmak için aşağıdaki dönüşümleri yaparız: \(\frac(7π)(6)\) \(=\)\(\ frac(6π + π )(6)\) \(=\)\(\frac(6π)(6)\) \(+\)\(\frac(π)(6)\) \(=π+ \)\(\ frac(π)(6)\) . Bundan, sıfırdan pozitif yönde bir mesafe \(π\) ve ardından başka bir \(\frac(π)(6)\) mesafesi kat etmemiz gerektiğini görebiliriz.
Çember üzerinde \(-\)\(\frac(4π)(3)\) noktasını işaretleyelim. Dönüşüm: \(-\)\(\frac(4π)(3)\) \(=-\)\(\frac(3π)(3)\) \(-\)\(\frac(π)( 3)\) \(=-π-\)\(\frac(π)(3)\) . Bu, \(0\)'dan negatif yönde \(π\) mesafesine ve ayrıca \(\frac(π)(3)\) mesafesine gitmeniz gerektiği anlamına gelir.
\(\frac(7π)(4)\) noktasını çizelim, bunu yapmak için \(\frac(7π)(4)\) \(=\)\(\frac(8π-π)(4) dönüşümü yaparız )\) \ (=\)\(\frac(8π)(4)\) \(-\)\(\frac(π)(4)\) \(=2π-\)\(\frac(π )(4) \) . Bu, \(\frac(7π)(4)\ değerine sahip bir noktayı yerleştirmek için, \(2π\) değerine sahip noktadan \(\ uzaklıktaki negatif tarafa gitmeniz gerektiği anlamına gelir. frac(π)(4)\) .
Görev 2. \(-\)\(\frac(π)(6)\) ,\(-\)\(\frac(π)(4)\) ,\(-\)\(\frac) noktalarını işaretleyin. sayı çemberi (π)(3)\) ,\(\frac(5π)(4)\) ,\(-\)\(\frac(7π)(6)\) ,\(\frac(11π) (6) \) , \(\frac(2π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(3π)(4)\) .
\(10π\), \(-3π\), \(\frac(7π)(2)\) ,\(\frac(16π)(3)\), \(-\frac(21π) sayılarını gösteriyoruz )( 2)\), \(-\frac(29π)(6)\)
\(10π\)'yi \(5 \cdot 2π\) biçiminde yazalım. \(2π\)'nin mesafe olduğunu hatırlayın uzunluğa eşit\(10π\) noktasını işaretlemek için sıfırdan \(5\) daireye eşit bir mesafeye gitmeniz gerekir. Kendimizi tekrar \(0\) noktasında bulacağımızı tahmin etmek zor değil, sadece beş tur atalım.
Bu örnekten şu sonuca varabiliriz:
\(2πn\) farkı olan sayılar, burada \(n∈Z\) (yani, \(n\) herhangi bir tamsayıdır) aynı noktaya karşılık gelir.
Yani, \(2π\)'den büyük (veya \(-2π\)'den küçük) bir sayı koymak için, ondan bir çift sayı \(π\) (\(2π\) çıkarmanız gerekir, \(8π\), \(-10π\)…) ve atın. Böylece noktanın konumunu etkilemeyen sayılardan “boş devirleri” çıkarmış olacağız.
Başka bir sonuç:
\(0\)'ın karşılık geldiği nokta aynı zamanda tüm çift niceliklere \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…) karşılık gelir.
Şimdi çembere \(-3π\) uygulayalım. \(-3π=-π-2π\), yani \(-3π\) ve \(–π\) çember üzerinde aynı yerdedir (çünkü \(-2π'de "boş bir dönüş" ile farklılık gösterirler) \)).
Bu arada, tüm tek \(π\) de orada olacak.
\(π\)'nin karşılık geldiği nokta aynı zamanda tüm tek miktarlara \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…) da karşılık gelir.
Şimdi \(\frac(7π)(2)\) sayısını gösterelim. Her zamanki gibi şunu dönüştürüyoruz: \(\frac(7π)(2)\) \(=\)\(\frac(6π)(2)\) \(+\)\(\frac(π)(2) \ ) \(=3π+\)\(\frac(π)(2)\) \(=2π+π+\)\(\frac(π)(2)\) . İki pi'yi atıyoruz ve \(\frac(7π)(2)\) sayısını belirtmek için sıfırdan pozitif yönde \(π+\)\(\'ye eşit bir mesafeye gitmeniz gerektiği ortaya çıkıyor. frac(π)(2)\ ) (yani yarım daire ve başka bir çeyrek).
Ünite numarası dairesini üzerine yerleştirirseniz koordinat düzlemi, daha sonra noktalarının koordinatları bulunabilir. Sayı çemberi, merkezi düzlemin orijiniyle, yani O (0; 0) noktasıyla çakışacak şekilde konumlandırılır.
Genellikle birim numaralı daire üzerinde dairenin kökenine karşılık gelen noktalar işaretlenir
- çeyrekler - 0 veya 2π, π/2, π, (2π)/3,
- orta çeyrekler - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- çeyreğin üçte biri - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
Yukarıdaki konumun bulunduğu koordinat düzleminde birim çemberçember üzerinde bu noktalara karşılık gelen koordinatları bulabilirsiniz.
Çeyreklerin uçlarının koordinatlarını bulmak çok kolaydır. Çemberin 0 noktasında x koordinatı 1, y koordinatı 0'dır. A(0) = A(1;0) şeklinde gösterebiliriz.
İlk çeyreğin sonu pozitif y ekseninde yer alacaktır. Bu nedenle B (π/2) = B (0; 1).
İkinci çeyreğin sonu negatif yarı eksendedir: C (π) = C (-1; 0).
Üçüncü çeyreğin sonu: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Peki çeyreklerin orta noktalarının koordinatları nasıl bulunur? Bunun için inşa ediyorlar dik üçgen. Hipotenüsü, dairenin merkezinden (veya orijininden) çeyrek dairenin orta noktasına kadar olan bir segmenttir. Bu dairenin yarıçapıdır. Birim daire olduğu için hipotenüs 1'e eşittir. Daha sonra daire üzerindeki bir noktadan herhangi bir eksene dik bir çizin. x eksenine doğru olsun. Sonuç, bacaklarının uzunlukları daire üzerindeki noktanın x ve y koordinatlarına eşit olan bir dik üçgendir.
Çeyrek daire 90°'dir. Ve çeyrekliğin yarısı 45°'dir. Hipotenüs çeyreğin orta noktasına çizildiği için hipotenüs ile orijinden uzanan kenar arasındaki açı 45° olur. Ancak herhangi bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Sonuç olarak hipotenüs ile diğer kenar arasındaki açı da 45° kalır. Bunun sonucunda ikizkenar dik üçgen elde edilir.
Pisagor teoreminden x 2 + y 2 = 1 2 denklemini elde ederiz. x = y ve 1 2 = 1 olduğundan, denklem x 2 + x 2 = 1 şeklinde sadeleşir. Çözdüğümüzde x = √½ = 1/√2 = √2/2 elde ederiz.
Böylece M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) noktasının koordinatları elde edilir.
Diğer çeyreklerin orta noktalarının noktalarının koordinatlarında sadece işaretler değişecek ve sağ üçgen sadece ters çevrileceğinden değerlerin modülleri aynı kalacaktır. Şunu elde ederiz:
M 2 ((3π)/4) = M 2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)
Bir dairenin çeyreklerinin üçüncü bölümlerinin koordinatlarını belirlerken aynı zamanda bir dik üçgen de oluşturulur. π/6 noktasını alıp x eksenine dik çizersek, hipotenüs ile x ekseni üzerinde bulunan kenar arasındaki açı 30° olacaktır. Bir bacağın 30° açıyla ters yattığı bilinmektedir. yarıya eşit hipotenüs. Bu, y koordinatını bulduğumuz anlamına gelir, ½'ye eşittir.
Hipotenüsün ve kenarlardan birinin uzunluğunu bildiğimizde, Pisagor teoremini kullanarak diğer kenarı buluruz:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2
Böylece T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½).
İlk çeyreğin ikinci üçte biri noktası için (π/3), eksene y eksenine dik bir çizgi çizmek daha iyidir. O zaman orijindeki açı da 30° olacaktır. Burada x koordinatı sırasıyla ½ ve y'ye eşit olacaktır, √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
Üçüncü çeyreğin diğer noktaları için koordinat değerlerinin işaretleri ve sırası değişecektir. X eksenine yakın olan tüm noktalar √3/2'ye eşit bir modül x koordinat değerine sahip olacaktır. Y eksenine daha yakın olan noktalar √3/2'ye eşit bir y modülü değerine sahip olacaktır.
T3 ((2π)/3) = T3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
Video dersi “Birim çemberde sinüs ve kosinüsün tanımı” sunuluyor görsel materyalİlgili bir konuyla ilgili bir ders için. Derste birim çemberin noktalarına karşılık gelen sayılar için sinüs ve kosinüs kavramları tartışılıyor, kullanıldığı yerlerde problem çözme becerisini oluşturan birçok örnek anlatılıyor. bu yorum kavramlar. Çözümlerin kullanışlı ve anlaşılır örnekleri, ayrıntılı bir akıl yürütme süreci, öğrenme hedeflerine hızlı bir şekilde ulaşmanıza ve dersin etkinliğini artırmanıza yardımcı olur.
Video dersi konunun tanıtılmasıyla başlar. Gösterimin başında bir sayının sinüs ve kosinüsünün tanımı verilmiştir. Ekranda koordinatların orijininde bir birim daire gösterilir, birim dairenin A, B, C, D koordinat eksenleriyle kesiştiği noktalar çerçeve içinde vurgulanır ve bu tanım şöyle ifade edilir: birim çembere ait bir M noktası belirli bir t sayısına karşılık geliyorsa, o zaman bu noktanın apsisi t sayısının kosinüsüdür ve maliyet olarak gösterilir t, noktanın ordinatı bir sinüstür ve sin t ile gösterilir. Tanımın seslendirilmesine, birim çember üzerindeki M noktasının apsisini ve ordinatını gösteren bir görüntüsü eşlik etmektedir. M(t)=M(x;y), x= cos t, y= sin t gösterimi kullanılarak kısa bir gösterim sunulmuştur. Bir sayının kosinüs ve sinüs değerine uygulanan kısıtlamalar belirtilir. İncelenen verilere göre -1<=cos t<=1 и -1<= sin t<=1.
Noktanın hangi çeyrekte bulunduğuna bağlı olarak fonksiyonun işaretinin nasıl değiştiğini de şekilden görmek kolaydır. Ekranda, çeyreğe bağlı olarak her fonksiyonun işaretinin belirtildiği bir tablo derlenir. Maliyetin işareti birinci ve dördüncü çeyreklerde artı, ikinci ve üçüncü çeyreklerde ise eksidir. Sin t işareti birinci ve ikinci çeyrekte artı, üçüncü ve dördüncü çeyrekte ise eksidir.
Öğrencilere birim çember denklemi x 2 + y 2 = 1 hatırlatılır. Karşılık gelen fonksiyonların koordinatları yerine ikame ettikten sonra, cos 2 t+ sin 2 t=1 - ana trigonometrik özdeşliği elde ettiğimize dikkat edilmelidir. Birim çemberi kullanarak sin t ve maliyet bulma yöntemini kullanarak, 0'dan 2π'ye kadar olan sayılar için π/4'lük artışlarla ve π/6'dan 11π'ye kadar olan sayılar için sinüs ve kosinüsün temel değerlerini içeren bir tabloyu doldurun. /6 π/6'lık artışlarla. Bu tablolar ekranda gösterilmektedir. Öğretmen bunları ve çizimi kullanarak materyalin ne kadar iyi öğrenildiğini ve öğrencilerin günah ve maliyet değerlerinin kökenini ne kadar iyi anladıklarını kontrol edebilir.
Sin t ve cost t'nin t=41π/4 için hesaplandığı bir örnek ele alınmıştır. Çözüm, merkezi orijinde olan bir birim çemberi gösteren bir şekil ile gösterilmektedir. Üzerinde 41π/4 noktası işaretlenmiştir. Bu noktanın π/4 noktasının konumuna denk geldiğine dikkat edilmelidir. Bu, bu kesirin 41π/4=π/4+2π·5 karma kesiri olarak temsil edilmesiyle kanıtlanmıştır. Kosinüs değerleri tablosunu kullanarak cos π/4=√2/2 ve sinπ/4=√2/2 değerlerini elde ederiz. Elde edilen bilgilerden cos 41π/4=√2/2 ve sin 41π/4=√2/2 olduğu anlaşılmaktadır.
İkinci örnekte t=-25π/3 için sin t ve cost t'yi hesaplamak gerekiyor. Ekranda üzerinde t=-25π/3 noktasının işaretlendiği birim çember görüntülenir. Öncelikle sorunu çözmek için, sin t ve cost t'nin hangi tablo değerine karşılık geleceğini bulmak amacıyla -25π/3 sayısı karışık kesir olarak temsil edilir. Dönüşümden sonra -25π/3=-π/3+2π·(-4) elde ederiz. Açıkçası, t=-25π/3 çember üzerinde -π/3 veya 5π/3 noktasıyla çakışacaktır. Tablodan karşılık gelen sinüs ve kosinüs değerlerini seçiyoruz cos 5π/3=1/2 ve sin 5π/3=-√3/2. Bu değerler söz konusu sayı için cos (-25π/3)=1/2 ve sin (-25π/3)=-√3/2 için doğru olacaktır. Sorun çözüldü.
Örnek 3 de benzer şekilde çözülmüştür; burada t=37π için sin t ve cos t'nin hesaplanması gerekir. Örneği çözmek için, π ve 2π'yi yalnız bırakarak 37π sayısı genişletilir. Bu gösterimde 37π=π+2π·18 elde edilir. Çözümün yanında gösterilen birim çember üzerinde bu nokta, ordinat ekseninin negatif kısmı ile birim çember - π noktasının kesiştiği noktada işaretlenir. Açıkçası, sayının sinüs ve kosinüs değerleri, tablodaki π değerleriyle çakışacaktır. Tablodan sin π=-1 ve cos π=0 değerlerini buluyoruz. Buna göre aynı değerler istenilen değerlerdir yani sin 37π=-1 ve cos 37π=0.
Örnek 4'te t=-12π'de sin t ve cost t'nin hesaplanması gerekmektedir. Sayıyı -12π=0+2π·(-6) olarak temsil ediyoruz. Buna göre -12π noktası 0 noktasına denk gelir. Bu noktanın kosinüs ve sinüs değerleri sin 0=1 ve cos 0=0'dır. Bu değerler gerekli sin (-12π)=1 ve cos (-12π)=0'dır.
Beşinci örnekte sin t=√3/2 denklemini çözmeniz gerekiyor. Denklemin çözümünde bir sayının sinüsü kavramı kullanılır. M(t) noktasının koordinatını temsil ettiğinden, koordinatı √3/2 olan noktayı bulmak gerekir. Çözüme eşlik eden şekil, √3/2 ordinatının iki noktaya karşılık geldiğini göstermektedir - birincisi π/3 ve ikincisi 2π/3. Fonksiyonun periyodikliği dikkate alındığında k tamsayısı için t=π/3+2πk ve t= 2π/3+2πk olduğunu görüyoruz.
Örnek 6'da kosinüslü denklem çözüldü - cos t=-1/2. Denklemin çözümlerini ararken birim çember üzerinde apsisi 2π/3 olan noktalar buluyoruz. Ekranda apsis -1/2'nin işaretlendiği bir şekil görüntülenir. Çember üzerindeki iki noktaya karşılık gelir - 2π/3 ve -2π/3. Fonksiyonların periyodikliği dikkate alınarak bulunan çözüm t=2π/3+2πk ve t=-2π/3+2πk formunda yazılır; burada k bir tam sayıdır.
Örnek 7'de sin t-1=0 denklemi çözüldü. Bir çözüm bulmak için denklem sin t=1'e dönüştürülür. Sinüs 1, π/2 sayısına karşılık gelir. Fonksiyonun periyodikliği dikkate alınarak bulunan çözüm t=π/2+2πk formunda yazılır; burada k bir tam sayıdır. Benzer şekilde örnek 8'de cos t+1=0 denklemi çözülmüştür. Denklemi cos t=-1 formuna dönüştürelim. Apsisi -1 olan nokta π sayısına karşılık gelir. Bu nokta metin çözümünün yanında gösterilen birim çember üzerinde işaretlenmiştir. Buna göre bu denklemin çözümü t=π+2πk sayısıdır; burada k bir tam sayıdır. Örnek 9'da cos t+1=1 denklemini çözmek artık zor değil. Denklemi dönüştürerek cos t=0 elde ederiz. Çözümün yanında gösterilen birim çember üzerinde, kosinüsün 0 değerini aldığı -π/2 ve -3π/2 noktalarını işaretliyoruz. Açıkçası, bu denklemin çözümü bir dizi t= değeri olacaktır. π/2+πk; burada k bir tamsayıdır.
Örnek 10'da sin 2 ve cos 3 değerleri karşılaştırılır. Çözümü netleştirmek için 2 ve 3 noktalarının işaretlendiği bir şekil gösterilir. π/2≈1.57 olduğunu bilerek noktaların mesafesini tahmin ederiz. ondan. Şekilde 2 noktasının π/2'den 0,43 uzakta olduğu, 3 noktasının ise 1,43 uzakta olduğu, yani nokta 2'nin apsisinin 3 noktasından daha büyük olduğu belirtilmektedir. Bu, sin 2>cos 3 anlamına gelir.
Örnek 11 sin 5π/4 ifadesinin hesaplanmasını açıklamaktadır. 5π/4, π/4+π olduğundan, indirgeme formülleri kullanılarak ifade - sin π/4 biçimine dönüştürülebilir. Tablodan değerini seçiyoruz - sin π/4=-√2/2. Benzer şekilde örnek 12'de cos7π/6 ifadesinin değeri bulunmuştur. Bunu cos(π/6+π) formuna dönüştürerek - cos π/6 ifadesini elde ederiz. Tablo değeri cos π/6=-√3/2'dir. Bu değer çözüm olacaktır.
Daha sonra, problemlerin çözümüne yardımcı olacak önemli eşitliklerin hatırlanması önerilir; bunlar sin(-t)= -sin t ve cos (-t)=cos t'dir. Aslında bu ifade kosinüsün düzgünlüğünü ve sinüsün tekliğini yansıtır. Eşitliklerin yanındaki birim çember görüntüsünde bu eşitliklerin koordinat düzleminde nasıl çalıştığını görebilirsiniz. Sin(t+2πk)= sin t ve cos (t+2πk)=cos t problemlerinin çözümünde önemli olan fonksiyonların periyodikliğini yansıtan iki eşitlik de sunulmuştur. Birim çember sin(t+π)= -sin t ve cos (t+π)=-cos t üzerindeki noktaların simetrik düzenini yansıtan eşitlikler gösterilmiştir. Eşitliklerin yanında bu noktaların birim çember üzerindeki konumunu gösteren bir görüntü oluşturulur. Ve son sunulan eşitlikler sin(t+π/2)= cos t ve cos (t+π/2)=- sin t.
Geleneksel okul matematik dersinde etkililiğini artırmak ve öğretmenin açıklamasının netliğini sağlamak için “Birim çemberde sinüs ve kosinüsün tanımı” video dersinin kullanılması önerilir. Aynı amaçla materyal uzaktan eğitim sırasında da kullanılabilir. Kılavuz aynı zamanda materyali bağımsız olarak öğrenirken öğrencilerin uygun problem çözme becerilerini geliştirmek için de yararlı olabilir.
METİN KOD ÇÖZME:
"Birim çemberde sinüs ve kosinüsün tanımı."
Bir sayının sinüsünü ve kosinüsünü tanımlayalım
TANIM: Sayısal birim çemberin bir M noktası t(te) sayısına karşılık geliyorsa, M noktasının apsisine t(te) sayısının kosinüsü denir ve maliyet ve M noktasının ordinatı olarak adlandırılır. t(te) sayısının sinüsü denir ve sint(şekil) olarak gösterilir.
Bu şu anlama gelir: eğer M(t) = M (x,y)(te'den em, x ve y koordinatlarıyla em'e eşittir), o zaman x = maliyet, y= sint (x, te'nin kosinüsüne eşittir, y, sinüs te'ye eşittir) Sonuç olarak, - 1≤ maliyet ≤ 1, -1≤ sint ≤1 (kosinüs te eksi birden büyük veya ona eşit, ancak birden küçük veya ona eşittir; sinüs te büyük veya eşittir) eksi bir, ancak bire eşit veya daha az). Sayı çemberindeki her noktanın xOy sisteminin kendi koordinatlarına sahip olduğunu bilerek, bir dairenin çeyreklerine göre sinüs ve kosinüs değerlerinin bir tablosunu oluşturabilirsiniz, burada kosinüs değeri birinci ve dördüncü çeyrekte pozitif, buna bağlı olarak ikinci ve üçüncü çeyrekte negatiftir.
Sinüs değeri birinci ve ikinci çeyrekte pozitif, buna bağlı olarak üçüncü ve dördüncü çeyrekte negatiftir. (çizimde göster)
Sayı çemberinin denklemi şu şekilde olduğundan x 2 + y 2 = 1 (x kare artı y kare eşittir bir), o zaman eşitliği elde ederiz:
(kosinüs kare te artı sinüs kare te eşittir bir).
Sayısal daire üzerindeki noktaların koordinatlarını belirlerken derlediğimiz tablolardan yola çıkarak maliyet ve sint değerleri için sayısal daire üzerindeki noktaların koordinat tablolarını derleyeceğiz.
Örneklere bakalım.
ÖRNEK 1. Eğer t = (te eşittir kırk bir pi bölü dört) ise cost t ve sin t'yi hesaplayın.
Çözüm. t = sayısı, sayı çemberi üzerinde sayı ile aynı noktaya karşılık gelir, çünkü = ∙π = (10 +) ∙π = + 2π ∙ 5 (kırk bir pi çarpı dört, pi çarpı dört toplamına eşittir ve iki pi çarpı beşin çarpımı). Ve t = noktası için tabloya göre kosinüs 1'in değeri cos = ve sin ='dir. Buradan,
ÖRNEK 2. Hesapla çünkü t ve günah t, eğer t = (te eşittir eksi yirmi beş pi bölü üç).
ÇÖZÜM: t = sayısı sayı çemberi üzerinde sayı ile aynı noktaya karşılık gelir, çünkü = ∙ π = - (8 +)∙π = + 2π ∙ (- 4) (eksi yirmi beş pi bölü üç eşittir eksi pi bölü üçün toplamı ve iki pi çarpı eksi dört'ün çarpımı). Ve sayı, sayı çemberi üzerinde sayıyla aynı noktaya karşılık gelir. Ve Tablo 2'ye göre t = noktası için cos = ve sin = var. Dolayısıyla cos () = ve sin () =.
ÖRNEK 3. Eğer t = 37π ise cost t ve sin t'yi hesaplayın; (te otuz yedi pi'ye eşittir).
ÇÖZÜM: 37π = 36π + π = π + 2π ∙ 18. Bu, 37π sayısının sayı çemberinde π sayısıyla aynı noktaya karşılık geldiği anlamına gelir. Ve Tablo 1'e göre t = π noktası için cos π = -1, sin π = 0 elde ederiz. Bu, cos37π = -1, sin37π = 0 anlamına gelir.
ÖRNEK 4. Eğer t = -12π (eksi on iki pi'ye eşit) ise cost t ve sin t'yi hesaplayın.
ÇÖZÜM: - 12π = 0 + 2π ∙ (- 6), yani - 12π sayısı sayı çemberinde sıfır sayısıyla aynı noktaya karşılık gelir. Tablo 1'e göre t = 0 noktası için cos 0 = 1, sin 0 =0 bulunur. Bu, cos(-12π) =1, sin(-12π) =0 anlamına gelir.
ÖRNEK 5. Sin t = denklemini çözün.
Çözüm. Sin t'nin sayı çemberinin M(t) (te'den em) noktasının koordinatı olduğunu düşünürsek, sayı çemberi üzerinde koordinatı olan noktaları bulacağız ve bunların hangi t sayılarına karşılık geldiğini yazacağız. Bir nokta bir sayıya ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir. İkinci nokta bir sayıya ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir. Cevap: t = + 2πk, burada kϵZ (ka zet'e aittir), T= + 2πk, burada kϵZ (ka, zet'e aittir).
ÖRNEK 6. cos t = denklemini çözün.
Çözüm. Cost t'nin sayı çemberinin M(t) (te'den em) noktasının apsisi olduğunu düşünürsek sayı çemberi üzerinde apsisli noktaları bulup hangi t sayılarına karşılık geldiğini yazacağız. Bir nokta bir sayıya ve dolayısıyla + 2πk formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir. Ve ikinci nokta veya sayısına ve dolayısıyla + 2πk veya + 2πk formundaki herhangi bir sayıya karşılık gelir.
Cevap: t = + 2πk, t=+ 2πk (veya ± + 2πk (artı eksi iki pi x üç artı iki pi ka), burada kϵZ (ka zet'e aittir).
ÖRNEK 7. cos t = denklemini çözün.
Çözüm. Önceki örneğe benzer şekilde sayı çemberi üzerinde apsisli noktaları bulmanız ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini yazmanız gerekiyor.
Şekilde E ve S gibi iki noktanın apsisi olduğu görülüyor ancak bunların hangi sayılara karşılık geldiğini henüz söyleyemeyiz. Bu konuya daha sonra döneceğiz.
ÖRNEK 8. Sin t = - 0,3 denklemini çözün.
Çözüm. Sayı çemberinde koordinatları - 0,3 olan noktalar buluyoruz ve bunların hangi sayılara karşılık geldiğini yazıyoruz.
- 0,3 koordinatında iki P ve H noktası vardır, ancak bunların hangi sayılara karşılık geldiğini henüz söyleyemeyiz. Ayrıca bu konuya daha sonra tekrar döneceğiz.
ÖRNEK 9. t -1 =0 denklemini çözün
Çözüm. Eksi bir'i denklemin sağ tarafına kaydıralım, sinüs te eşittir bir (sin t =1) elde ederiz. Sayı çemberinde koordinatı bire eşit olan bir nokta bulmamız gerekiyor. Bu nokta bir sayıya ve dolayısıyla + 2πk (pi çarpı iki artı iki tepe) formundaki tüm sayılara karşılık gelir.
Cevap: t = + 2πk, kϵZ(ka zet'e aittir).
ÖRNEK 10. cos t + 1 = 0 denklemini çözün.
Birini denklemin sağ tarafına kaydıralım, kosinüs te'nin eksi bire eşit olduğunu elde ederiz (cos t = - 1). Abscissa eksi bir'in sayı çemberi üzerinde π sayısına karşılık gelen bir noktası vardır ve bu her şey anlamına gelir. π+2πk formundaki sayılar. Cevap: t = π+ 2πk, kϵZ.
ÖRNEK 11. cos t + 1 = 1 denklemini çözün.
Birimi denklemin sağ tarafına kaydıralım, kosinüs te'nin sıfıra eşit olduğunu elde ederiz (cos t = 0). Abscissa sıfırın sayılara karşılık gelen B ve D noktaları vardır (Şekil 1). Bu sayılar yazılabilir. + πk olarak. Cevap: t = + πk, kϵZ.
ÖRNEK 12. İki sayıdan hangisi daha büyüktür, cos 2 mi cos 3 mü? (iki kosinüs veya üç kosinüs)
Çözüm. Soruyu farklı bir şekilde yeniden formüle edelim: Sayı çemberinde 2 ve 3 noktaları işaretlenmiştir. Hangisinin apsisi daha büyük?
Sayı çemberi üzerinde 2 ve 3 noktalarını işaretleyin. Unutmayın ki bu, 2 noktasının çemberden yaklaşık 0,43 (sıfır noktası kırk üç yüzde biri) (2 -≈ 2 - 1,57 = 0,43) ve 3 noktasının çemberden uzaklaştırıldığı anlamına gelir. 1,43 (bir virgül yüzde kırk üç). Dolayısıyla 2. nokta, 3. noktaya göre daha yakın olduğundan apsisi daha büyüktür (her iki apsisin de negatif olduğunu hesaba kattık).
Cevap: cos 2 > cos 3.
ÖRNEK 13. Günahı hesaplayın (sinüs beş pi çarpı dört)
Çözüm. sin(+ π) = - sin = (sinüs beş pi bölü dört eşittir pi bölü dört toplamı ve pi eşittir eksi sinüs pi bölü dört eşittir eksi kök iki bölü iki).
ÖRNEK 14. Cos'u hesaplayın (yedi pi'ye altı kosinüs).
çünkü(+ π) = - çünkü =. (yedi pi bölü altıyı pi bölü altı ve pi'nin toplamı olarak temsil ettik ve üçüncü eşitliği uyguladık).
Sinüs ve kosinüs için bazı önemli formüller elde ederiz.
1. Herhangi bir t değeri için aşağıdaki eşitlikler doğrudur:
sin (-t) = -sin t
çünkü (-t) = çünkü t
Eksi te'nin sinüsü eksi te'nin sinüsüne eşittir
Dakikanın kosinüsü te'nin kosinüsüne eşittir.
Şekil apsis eksenine göre simetrik olan E ve L noktalarının aynı apsise sahip olduğunu göstermektedir, bu şu anlama gelir:
cos(-t) = maliyet, ancak koordinatlar büyüklük olarak eşit ve işaret olarak zıttır (bu, sin(- t) = - sint anlamına gelir).
2. Herhangi bir t değeri için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
sin (t+2πk) = sin t
cos (t+2πk) = cos t
Sinüs te artı iki pi eşittir sinüs te
Te'nin kosinüsü artı iki pi eşittir te'nin kosinüsü
Bu doğrudur çünkü t ve t+2πk sayıları aynı noktaya karşılık gelir.
3. Herhangi bir t değeri için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
sin (t+π) = -sin t
cos (t+π) = -cos t
Sinüs te artı pi eşittir eksi sinüs te
kosinüs te artı pi eşittir eksi kosinüs te
T sayısının sayı çemberindeki E noktasına karşılık geldiğini varsayalım, o zaman t+π sayısı orijine göre E noktasına simetrik olan L noktasına karşılık gelir. Şekil, bu noktalarda apsis ve ordinatın büyüklük bakımından eşit ve işaret bakımından zıt olduğunu göstermektedir. Bu şu anlama gelir,
cos(t +π)= - maliyet;
sin(t +π)= - sint.
4. Herhangi bir t değeri için aşağıdaki eşitlikler geçerlidir:
günah(t+) = çünkü t
cos(t+) = -sin t
Sinüs te artı pi çarpı iki eşittir kosinüs te
Kosinüs te artı pi'nin iki katı eşittir eksi sinüs te.