Yazılı ve merkezi açı kavramı
Öncelikle merkez açı kavramını tanıtalım.
Not 1
Dikkat Bir merkez açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.
Şimdi yazılı açı kavramını tanıtalım.
Tanım 2
Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları aynı daireyle kesişen açıya yazılı açı denir (Şekil 2).
Şekil 2. Yazılı açı
Yazılı açı teoremi
Teorem 1
Yazılı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt.
Bize $O$ noktasında merkezi olan bir daire verilsin. Yazılı açıyı $ACB$ olarak gösterelim (Şekil 2). Aşağıdaki üç durum mümkündür:
- Işın $CO$ açının herhangi bir tarafıyla çakışıyor. Bu $CB$ tarafı olsun (Şekil 3).
Şekil 3.
Bu durumda, $AB$ yayı $(180)^(()^\circ )$'dan küçüktür, dolayısıyla $AOB$ merkez açısı yaya eşit$AB$. $AO=OC=r$ olduğundan, $AOC$ üçgeni ikizkenardır. Bu, $CAO$ ve $ACO$ taban açılarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Hakkındaki teorem ile dış açıüçgenimiz var:
- Işın $CO$ bölüyor iç köşe iki açıda. Daireyi $D$ noktasında kesmesine izin verin (Şekil 4).
Şekil 4.
Aldık
- Işın $CO$, iç açıyı iki açıya bölmez ve hiçbir kenarıyla çakışmaz (Şekil 5).
Şekil 5.
$ACD$ ve $DCB$ açılarını ayrı ayrı ele alalım. 1. maddede kanıtlanana göre, şunu elde ederiz:
Aldık
Teorem kanıtlandı.
Hadi verelim sonuçlar bu teoremden.
Sonuç 1: Aynı yay üzerinde bulunan yazılı açılar birbirine eşittir.
Sonuç 2:Çapa karşılık gelen yazılı açı dik açıdır.
Merkezi açı- iki yarıçapın oluşturduğu açıdır daire. Merkezi açıya örnek olarak AOB, BOC, COE vb. açı verilebilir.
HAKKINDA orta köşe Ve yay Tarafları arasında anlaşmaya varıldığı söyleniyor karşılık gelmek birbirlerine.
1. eğer merkezi açılar yaylar eşittir.
2. eğer merkezi açılar eşit değilse, büyük olanı büyük olana karşılık gelir yay.
AOB ve COD iki olsun merkezi açılar, eşit veya eşit değil. AOB sektörünü merkezin etrafında okla gösterilen yönde döndürelim, böylece OA yarıçapı OC ile çakışır. Daha sonra, eğer merkez açıları eşitse, OA yarıçapı OD ile ve AB yayı CD yayı ile çakışacaktır. .
Bu, bu yayların eşit olacağı anlamına gelir.
Eğer merkezi açılar eşit değilse, OB yarıçapı OD boyunca değil, başka bir yönde, örneğin OE veya OF boyunca ilerleyecektir. Her iki durumda da daha büyük bir açı açıkça daha büyük bir yaya karşılık gelir.
Bir çember için kanıtladığımız teorem, bir çember için de geçerli eşit dairelerÇünkü bu tür dairelerin konumları dışında birbirlerinden hiçbir farkı yoktur.
Ters teklifler aynı zamanda doğru olacak . Bir daire içinde veya içinde eşit daireler:
1. eğer yaylar eşitse, karşılık gelenleri merkezi açılar eşittir.
2. eğer yaylar eşit değilse, büyük olanı büyük olana karşılık gelir merkez açı.
Bir dairede veya eşit dairelerde, merkezi açılar karşılık gelen yaylarla ilişkilidir. Veya başka sözcüklerle ifade edersek, merkez açıyı elde ederiz orantılı buna karşılık gelen yay.
Talimatlar
İstenilen merkez açıya (θ) karşılık gelen dairenin yarıçapı (R) ve yayın uzunluğu (L) biliniyorsa, hem derece hem de radyan cinsinden hesaplanabilir. Toplam, 2*π*R formülüyle belirlenir ve derece yerine radyan kullanılırsa 360°'lik bir merkez açıya veya iki Pi sayısına karşılık gelir. Bu nedenle, 2*π*R/L = 360°/θ = 2*π/θ oranından devam edin. Buradan merkez açıyı radyan cinsinden ifade edin θ = 2*π/(2*π*R/L) = L/R veya derece θ = 360°/(2*π*R/L) = 180*L/(π * R) ve elde edilen formülü kullanarak hesaplayın.
Merkez açıyı (θ) belirleyen noktaları birleştiren kirişin uzunluğu (m) temel alınarak, dairenin yarıçapı (R) biliniyorsa değeri de hesaplanabilir. Bunu yapmak için, iki yarıçapın oluşturduğu bir üçgeni düşünün ve . Bu ikizkenar üçgen, herkes biliniyor ama tabanın karşısındaki açıyı bulmanız gerekiyor. Yarısının sinüsü orana eşit tabanın uzunluğu - akor - yan uzunluğun - yarıçapın iki katı kadar. Bu nedenle hesaplamalar için ters sinüs fonksiyonunu kullanın - arksinüs: θ = 2*arsin(½*m/R).
Merkezi açı bir devrimin kesirleri olarak veya döndürülmüş bir açıdan belirtilebilir. Örneğin, çeyreğe karşılık gelen merkez açıyı bulmanız gerekiyorsa tam dönüş, 360°'yi dörde bölün: θ = 360°/4 = 90°. Radyan cinsinden aynı değer 2*π/4 ≈ 3,14/2 ≈ 1,57 olmalıdır. Düz açı yarıya eşit tam devir, dolayısıyla örneğin bunun dörtte birine karşılık gelen merkezi açı, hem derece hem de radyan cinsinden yukarıda hesaplanan değerlerin yarısı olacaktır.
Sinüsün tersine trigonometrik fonksiyon denir arksinüs. Radyan cinsinden ölçüldüğünde hem pozitif hem de negatif olmak üzere Pi'nin yarısı dahilinde değerler alabilir. Derece olarak ölçüldüğünde bu değerler sırasıyla -90° ila +90° aralığında olacaktır.
Talimatlar
Bazı “yuvarlak” değerlerin hesaplanmasına gerek yoktur; hatırlanması daha kolaydır. Örneğin: - eğer fonksiyon argümanı sıfıra eşit, bu durumda ark sinüsünün değeri de sıfırdır; - 1/2'den itibaren 30° veya 1/6 Pi'ye eşittir; - -1/2'nin ark sinüsü -30° veya -1/'ye eşittir; Pi sayısının 6'sı; - 1'den gelen ark sinüsü, radyan cinsinden Pi'nin 90°'sine veya 1/2'sine eşittir; - -1'in ark sinüsü, radyan cinsinden -90° veya Pi'nin -1/2'sine eşittir;
Bu fonksiyonun değerlerini diğer argümanlardan ölçmenin en kolay yolu standardı kullanmaktır. Windows hesap makinesi, eğer elinizde varsa. Başlamak için, “Başlat” düğmesindeki ana menüyü açın (veya WIN tuşuna basarak), “Tüm Programlar” bölümüne ve ardından “Aksesuarlar” alt bölümüne gidin ve “Hesap Makinesi”ne tıklayın.
Hesap makinesi arayüzünü hesaplama yapmanızı sağlayan çalışma moduna geçirin trigonometrik fonksiyonlar. Bunu yapmak için menüsündeki “Görünüm” bölümünü açın ve “Mühendislik” veya “Bilimsel” seçeneğini seçin (çalışma türüne bağlı olarak). işletim sistemi).
Arktanjantın hesaplanması gereken bağımsız değişkenin değerini girin. Bu, hesap makinesi arayüzündeki düğmelere fareyle tıklayarak veya üzerindeki tuşlara basarak veya değeri (CTRL + C) kopyalayıp ardından (CTRL + V) hesap makinesinin giriş alanına yapıştırarak yapılabilir.
Fonksiyon hesaplamasının sonucunu elde etmeniz gereken ölçü birimlerini seçin. Giriş alanının altında, (fareyle tıklayarak) birini, radyan veya rad'ı seçmeniz gereken üç seçenek vardır.
Hesap makinesinin arayüz düğmelerinde belirtilen işlevleri tersine çeviren onay kutusunu işaretleyin. Yanında kısa bir yazıt Env.
Günah butonuna tıklayın. Hesap makinesi, kendisiyle ilişkili işlevi tersine çevirecek, hesaplamayı gerçekleştirecek ve sonucu belirtilen birimlerde size sunacaktır.
Konuyla ilgili video
Yaygın olanlardan biri geometrik problemler Dairesel bir parçanın alanının hesaplanmasıdır - dairenin bir akorla sınırlanan kısmı ve karşılık gelen akor, bir daire yayı tarafından.
Dairesel bir bölümün alanı, karşılık gelen dairesel sektörün alanı ile bölüme karşılık gelen sektörün yarıçapları ve bölümü sınırlayan akor tarafından oluşturulan üçgenin alanı arasındaki farka eşittir.
Örnek 1
Çemberi çevreleyen kirişin uzunluğu a değerine eşittir. Kirişe karşılık gelen yayın derece ölçüsü 60°'dir. Dairesel parçanın alanını bulun.
Çözüm
İki yarıçap ve bir kirişten oluşan bir üçgen ikizkenardır, dolayısıyla merkez açının tepe noktasından üçgenin kenarına çizilen yükseklik bir akor tarafından oluşturulmuş, aynı zamanda orta açıyı ikiye bölen orta açı ve akoru ikiye bölen medyan olacaktır. Açının sinüsünün orana eşit olduğunu bilmek karşı bacak hipotenüse göre yarıçapı hesaplayabilirsiniz:
Sin 30°= a/2:R = 1/2;
Sc = πR²/360°*60° = πa²/6
S▲=1/2*ah, burada h, merkez açının tepe noktasından kirişe kadar çizilen yüksekliktir. Pisagor teoremine göre h=√(R²-a²/4)= √3*a/2.
Buna göre S▲=√3/4*a².
Sreg = Sc - S▲ olarak hesaplanan segmentin alanı şuna eşittir:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a²
Değiştirme sayısal değer A değeri yerine segment alanının sayısal değerini kolaylıkla hesaplayabilirsiniz.
Örnek 2
Daire yarıçapı değere eşit A. Segmente karşılık gelen yayın derece ölçüsü 60°'dir. Dairesel parçanın alanını bulun.
Çözüm:
İlgili sektörün alanı verilen açı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
Sc = πа²/360°*60° = πa²/6,
Sektöre karşılık gelen üçgenin alanı şu şekilde hesaplanır:
S▲=1/2*ah, burada h, merkez açının tepe noktasından kirişe kadar çizilen yüksekliktir. Pisagor teoremine göre h=√(a²-a²/4)= √3*a/2.
Buna göre S▲=√3/4*a².
Ve son olarak Sreg = Sc - S▲ şeklinde hesaplanan segmentin alanı şuna eşittir:
Sreg = πa²/6 - √3/4*a².
Her iki durumda da çözümler neredeyse aynıdır. Böylece, en basit durumda bir segmentin alanını hesaplamak için, segmentin yayına karşılık gelen açının değerini ve iki parametreden birini - dairenin yarıçapını veya dairenin yarıçapını - bilmenin yeterli olduğu sonucuna varabiliriz. parçayı oluşturan dairenin yayına uzanan kirişin uzunluğu.
Kaynaklar:
- Segment - geometri
Çoğu zaman, matematikte Birleşik Devlet Sınavına hazırlık süreci, "Bir daire içinde merkezi ve yazılı açılar" konusu da dahil olmak üzere temel tanımların, formüllerin ve teoremlerin tekrarlanmasıyla başlar. Kural olarak, bu bölüm o zamandan beri planimetri araştırılıyor lise. Pek çok öğrencinin tekrar etme ihtiyacıyla karşı karşıya kalması şaşırtıcı değildir. temel kavramlar ve “Çemberin merkez açısı” konulu teoremler. Çözüm algoritmasını anladıktan sonra benzer görevler, öğrenciler geçme sonuçlarına göre rekabetçi puanlar alacaklarına güvenebilecekler birleşik devlet sınavı.
Sertifika testini geçmeye kolay ve etkili bir şekilde nasıl hazırlanılır?
Bekarlığı geçmeden önce çalışmak devlet sınavı birçok lise öğrencisi bulma sorunuyla karşı karşıyadır. gerekli bilgiler“Bir dairede merkezi ve yazılı açılar” konulu. Her zaman değil okul ders kitabı elinizde mevcuttur. İnternette formül aramak bazen çok zaman alır.
Ekibimiz, planimetri gibi geometrinin zor bir bölümünde becerilerinizi "geliştirmenize" ve bilginizi geliştirmenize yardımcı olacaktır. eğitim portalı. “Shkolkovo” lise öğrencilerine ve öğretmenlerine birleşik devlet sınavına hazırlık sürecini oluşturmanın yeni bir yolunu sunuyor. Tüm temel materyaller uzmanlarımız tarafından mümkün olan en üst düzeyde sunulmaktadır. erişilebilir form. Öğrenciler “Teorik Arka Plan” bölümündeki bilgileri okuduktan sonra çemberin merkez açısının hangi özelliklere sahip olduğunu, değerinin nasıl bulunacağını vb. öğreneceklerdir.
Daha sonra edinilen bilgi ve uygulama becerilerini pekiştirmek için uygun egzersizler yapmanızı öneririz. Bir daire içine yazılan açının boyutunu ve diğer parametreleri bulmak için geniş bir görev yelpazesi "Katalog" bölümünde sunulmaktadır. Uzmanlarımız her alıştırma için ayrıntılı bir çözüm yazdı ve doğru cevabı belirtti. Sitedeki görevlerin listesi sürekli olarak desteklenmekte ve güncellenmektedir.
Lise öğrencileri, Rusya'nın herhangi bir bölgesinden çevrimiçi olarak merkezi açının büyüklüğünü ve daire yayının uzunluğunu bulma gibi alıştırmalar yaparak Birleşik Devlet Sınavına hazırlanabilirler.
Gerekirse tamamlanan görev, daha sonra geri dönmek ve çözüm ilkesini bir kez daha analiz etmek için "Sık Kullanılanlar" bölümüne kaydedilebilir.
Bu iki tarafın oluşturduğu açıdır akorlar, çemberin bir noktasından başlıyor. Yazılı bir açının olduğu söyleniyor dinlenme kenarları arasında bulunan yay üzerinde.
Yazılı açı dayandığı yayın yarısına eşittir.
Başka bir deyişle, Yazılı açı kadar açısal derece, dakika ve saniye içerir yay dereceleri, dakikalar ve saniyeler, üzerinde durduğu yayın yarısında bulunur. Bunu doğrulamak için üç durumu analiz edelim:
İlk durum:
Merkez O yanda bulunur Yazılı açı ABC. AO yarıçapını çizerek ΔABO'yu elde ederiz, bunun içinde OA = OB (yarıçap olarak) ve buna göre ∠ABO = ∠BAO olur. Bununla ilgili olarak üçgen, açı AOC - harici. Ve bu onun anlamına geliyor toplamına eşit ABO ve BAO açıları veya eşit çift köşe ASG. Yani ∠ABO yarıya eşittir merkez açı AOC. Ancak bu açı AC yayı ile ölçülür. Yani, ABC yazılı açısı AC yayının yarısı kadar ölçülür.
İkinci durum:
Merkez O, kenarlar arasında bulunur Yazılı açı ABC. BD çapını çizdikten sonra ABC açısını iki açıya böleriz; bunlardan ilk duruma göre biri yarıya kadar ölçülür. yaylar AD ve yay CD'sinin diğer yarısı. Buna göre ABC açısı (AD+DC) /2 olarak ölçülür. 1/2 AC.
Üçüncü durum:
Merkezi O dışarıda yer alır Yazılı açı ABC. BD çapını çizdiğimizde şunu elde ederiz:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Ancak ABD ve CBD açıları daha önce doğrulanan yarıya göre ölçülür yay AD ve CD. Ve ∠ABC (AD-CD)/2 ile, yani AC yayının yarısıyla ölçüldüğü için.
Sonuç 1. Aynı yaya dayananlar aynıdır, yani birbirine eşittir. Her biri aynı şeyin yarısıyla ölçüldüğüne göre yaylar .
Sonuç 2. Yazılı açı, çapa bağlı olarak - dik açı. Bu tür açıların her biri yarım yarım daire ile ölçüldüğünden ve buna göre 90° içerdiğinden.