\[(\Large(\text(Merkez ve yazılı açılar))))\]
Tanımlar
Merkezi açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.
Yazılı açı, tepe noktası daire üzerinde bulunan açıdır.
Bir daire yayının derece ölçüsü, onu çevreleyen merkez açının derece ölçüsüdür.
Teorem
Yazılı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt
İspatı iki aşamada gerçekleştireceğiz: İlk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin çap içermesi durumu için ifadenin geçerliliğini ispatlayacağız. \(B\) noktası yazılı açının \(ABC\) tepe noktası ve \(BC\) dairenin çapı olsun:
\(AOB\) üçgeni ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) dıştır, o halde \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), Neresi \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Şimdi keyfi bir yazılı açı \(ABC\) düşünün. Dairenin çapını \(BD\) yazılı açının tepe noktasından çizelim. İki olası durum vardır:
1) çap, açıyı iki açıya böler \(\angle ABD, \angle CBD\) (teorem yukarıda kanıtlandığı gibi her biri için doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) ikidir ve dolayısıyla dayandıkları yayların toplamının yarısına, yani dayandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. 1.
2) çap, açıyı iki açıya bölmediyse, kenarları çapı içeren iki yeni yazılı açımız daha var \(\angle ABD, \angle CBD\), bu nedenle teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (ki bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durdukları yayların yarı farkına, yani yaslandığı yayın yarısına eşittir) . Pirinç. 2.
Sonuçlar
1. Aynı yayı gören yazılı açılar eşittir.
2. Yarım dairenin çevrelediği yazılı açı dik açıdır.
3. Yazılı açı, aynı yayın gördüğü merkez açının yarısına eşittir.
\[(\Large(\text(Çembere teğet)))\]
Tanımlar
Bir çizginin ve bir dairenin üç tür göreli konumu vardır:
1) \(a\) düz çizgisi daireyi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant çizgisi denir. Bu durumda dairenin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık \(d\) dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).
2) \(b\) düz çizgisi daireyi bir noktada kesiyor. Böyle bir doğruya teğet denir ve bunların ortak noktası \(B\)'ye teğet noktası denir. Bu durumda \(d=R\) (Şekil 4).
Teorem
1. Bir daireye çizilen teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.
2. Bir doğru bir dairenin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dikse, o zaman daireye teğettir.
Sonuçlar
Bir noktadan çembere çizilen teğet doğru parçaları eşittir.
Kanıt
\(K\) noktasından çembere iki teğet \(KA\) ve \(KB\) çizelim:
Bu, \(OA\perp KA, OB\perp KB\)'nin yarıçaplara benzediği anlamına gelir. Dik üçgenler \(\triangle KAO\) ve \(\triangle KBO\) kenar ve hipotenüs bakımından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .
Sonuçlar
\(O\) dairesinin merkezi, aynı \(K\) noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu \(AKB\) açısının ortayında yer alır.
\[(\Large(\text(Açılarla ilgili Teoremler))))\]
Sekantlar arasındaki açıya ilişkin teorem
Aynı noktadan çizilen iki kesant arasındaki açı, kestikleri büyük ve küçük yayların derece ölçülerinin yarı farkına eşittir.
Kanıt
Şekilde gösterildiği gibi iki kesanın çizildiği nokta \(M\) olsun:
Hadi bunu gösterelim \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) \(MAD\) üçgeninin dış açısıdır, o zaman \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), Neresi \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) ancak \(\angle DAB\) ve \(\angle MDA\) açıları yazılıdır, o zaman \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\) Kanıtlanması gereken şey buydu.
Kesişen akorlar arasındaki açı ile ilgili teorem
Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Kanıt
\(\angle BMA = \angle CMD\) dikey olarak.
\(AMD\) üçgeninden: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Ancak \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) bundan şu sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzerine(CD)).\]
Akor ve teğet arasındaki açıya ilişkin teorem
Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açı, kirişin gördüğü yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt
\(a\) düz çizgisinin \(A\) noktasında daireye değmesine izin verin, \(AB\) bu dairenin kirişi, \(O\) onun merkezidir. \(OB\)'yi içeren doğrunun \(a\)'yı \(M\) noktasında kesmesine izin verin. Hadi bunu kanıtlayalım \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
\(\angle OAB = \alpha\) olarak gösterelim. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
\(OA\) teğet noktaya çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\), yani \(\angle OAM = 90^\circ\), dolayısıyla, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Eşit akorlarla çevrelenen yaylar üzerine teorem
Eşit akorlar, yarım dairelerden daha küçük eşit yaylara karşılık gelir.
Ve bunun tersi de geçerlidir: eşit yaylar, eşit akorlarla desteklenir.
Kanıt
1) \(AB=CD\) olsun. Yayın yarım dairelerinin daha küçük olduğunu kanıtlayalım.
Bu nedenle üç tarafta \(\angle AOB=\angle COD\) . Ama çünkü \(\angle AOB, \angle COD\) - yaylar tarafından desteklenen merkezi açılar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) buna göre, o zaman \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), O \(\üçgen AOB=\üçgen COD\) iki tarafta \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\angle AOB=\angle COD\) . Bu nedenle ve \(AB=CD\) .
Teorem
Yarıçap akoru ikiye bölüyorsa, ona diktir.
Bunun tersi de doğrudur: eğer yarıçap kirişe dik ise, o zaman kesişme noktasında kirişi ikiye böler.
Kanıt
1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu kanıtlayalım.
\(\triangle AOB\) düşünün: ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – dairenin yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen ortancadır, bu durumda aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .
2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu kanıtlayalım.
Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\) ortancadır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Doğru parçaların uzunluklarıyla ilgili teoremler))))\]
Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem
Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.
Kanıt
\(AB\) ve \(CD\) akorlarının \(E\) noktasında kesişmesine izin verin.
\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yay üzerinde \(BD\) dururlar ve \(3\) ve \(4\) açıları eşittir dikey olarak. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre).
Daha sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), buradan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teğet ve sekant teoremi
Bir teğet parçanın karesi, bir sekant ile onun dış kısmının çarpımına eşittir.
Kanıt
Teğetin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve daireye \(A\) noktasında değsin. Kesenin \(M\) noktasından geçmesine ve daireyi \(B\) ve \(C\) noktalarında kesmesine izin verin, böylece \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini düşünün: \(\angle M\) ortaktır, \(\açı BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir teğet ile bir sekant arasındaki açı hakkındaki teoreme göre, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Dolayısıyla \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıda benzerdir.
\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), \(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.
Sonuçlar
\(O\) noktasından dış kısmı tarafından çizilen bir kesenin çarpımı, \(O\) noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.
Planimetri, düzlem şekillerin özelliklerini inceleyen bir geometri dalıdır. Bunlar yalnızca iyi bilinen üçgenleri, kareleri ve dikdörtgenleri değil aynı zamanda düz çizgileri ve açıları da içerir. Planimetride daire içindeki açılar gibi kavramlar da vardır: merkezi ve yazılı. Peki bunlar ne anlama geliyor?
Merkezi açı nedir?
Merkezi açının ne olduğunu anlamak için bir daire tanımlamanız gerekir. Bir daire, belirli bir noktadan (dairenin merkezi) eşit uzaklıktaki tüm noktaların toplamıdır.
Onu bir daireden ayırmak çok önemlidir. Bir dairenin kapalı bir çizgi olduğunu ve dairenin de onunla sınırlanan bir düzlemin parçası olduğunu hatırlamanız gerekir. Bir dairenin içine bir çokgen veya bir açı yazılabilir.
Merkezi açı, köşesi dairenin merkeziyle çakışan ve kenarları daireyi iki noktada kesen açıdır. Bir açının kesişme noktalarıyla sınırladığı yaya, verilen açının dayandığı yay denir.
1 numaralı örneğe bakalım.
Resimde AOB açısı merkezidir çünkü açının tepe noktası ve dairenin merkezi bir O noktasıdır. C noktasını içermeyen AB yayının üzerindedir.
Yazılı bir açının merkezi açıdan farkı nedir?
Ancak merkez açıların yanı sıra yazılı açılar da vardır. Onların farkı nedir? Tıpkı merkez açı gibi, dairenin içine yazılan açı da belirli bir yayın üzerinde durur. Ancak tepe noktası dairenin merkezi ile çakışmıyor, üzerinde yatıyor.
Aşağıdaki örneği ele alalım.
ACB açısına, merkezi O noktasında olan bir daireye yazılan açı denir. C noktası daireye aittir, yani üzerinde yer alır. Açı AB yayının üzerindedir.
Geometri problemleriyle başarılı bir şekilde baş edebilmek için yazılı ve merkezi açıları ayırt edebilmek yeterli değildir. Kural olarak, bunları çözmek için bir dairenin merkezi açısını nasıl bulacağınızı tam olarak bilmeniz ve değerini derece olarak hesaplayabilmeniz gerekir.
Yani merkez açı, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.
Resimde AOB açısı 66°'ye eşit olan AB yayının üzerindedir. Bu, AOB açısının da 66° olduğu anlamına gelir.
Böylece eşit yayların gördüğü merkez açılar eşittir.
Şekilde DC yayı AB yayına eşittir. Bu, AOB açısının DOC açısına eşit olduğu anlamına gelir.
Çemberin içine yazılan açı, aynı yay tarafından desteklenen merkez açıya eşit gibi görünebilir. Ancak bu ciddi bir hatadır. Hatta sadece çizime bakıp bu açıları birbiriyle karşılaştırdığınızda bile derece ölçülerinin farklı değerlere sahip olacağını görebilirsiniz. Peki bir dairenin yazılı açısı nedir?
Yazılı açının derece ölçüsü, üzerinde bulunduğu yayın yarısına, eğer aynı yay üzerinde duruyorsa merkez açının yarısına eşittir.
Bir örneğe bakalım. ASV açısı 66°'ye eşit bir yay üzerinde durur.
Bu, ACB açısı = 66°: 2 = 33° anlamına gelir
Bu teoremin bazı sonuçlarını ele alalım.
- Yazılı açılar aynı yay, kiriş veya eşit yaylara dayanıyorsa eşittir.
- Yazılı açılar bir kiriş üzerinde duruyorsa ancak köşeleri onun zıt taraflarında bulunuyorsa, bu tür açıların derece ölçülerinin toplamı 180° olur, çünkü bu durumda her iki açı da derece ölçüleri toplamı 360° olan yaylar üzerinde durur ( tüm daire) , 360°: 2 = 180°
- Yazılı bir açı belirli bir dairenin çapına bağlıysa, çap 180°'ye eşit bir yayın karşısında olduğundan derece ölçüsü 90°'dir, 180°: 2 = 90°
- Bir dairedeki merkezi ve yazılı açılar aynı yay veya kiriş üzerinde duruyorsa, yazılı açı merkezi olanın yarısına eşittir.
Bu konuyla ilgili sorunlar nerede bulunabilir? Türleri ve çözümleri
Çember ve özellikleri geometrinin, özellikle de planimetrinin en önemli bölümlerinden biri olduğundan, bir çemberdeki yazılı ve merkez açılar okul derslerinde geniş çapta ve ayrıntılı olarak çalışılan bir konudur. Özelliklerine yönelik sorunlar, ana durum sınavında (OGE) ve birleşik durum sınavında (USE) bulunur. Kural olarak, bu sorunları çözmek için bir daire üzerindeki açıları derece cinsinden bulmanız gerekir.
Bir yayı temel alan açılar
Bu tür problem belki de en kolay olanlardan biridir, çünkü onu çözmek için yalnızca iki basit özelliği bilmeniz gerekir: eğer her iki açı da yazılıysa ve aynı akoru temel alıyorsa, bunlar eşittir, eğer bunlardan biri merkeziyse, o zaman karşılık gelenler Yazılı açı bunun yarısına eşittir. Ancak bunları çözerken son derece dikkatli olmanız gerekir: Bazen bu özelliği fark etmek zordur ve öğrenciler bu kadar basit problemleri çözerken çıkmaza girerler. Bir örneğe bakalım.
Görev No.1
Merkezi O noktasında olan bir daire veriliyor. AOB açısı 54°'dir. ASV açısının derece ölçüsünü bulun.
Bu görev tek bir eylemle çözülür. Bunun cevabını hızlı bir şekilde bulmak için ihtiyacınız olan tek şey, her iki açının da bulunduğu yayın ortak olduğunu fark etmektir. Bunu gördükten sonra zaten tanıdık bir özelliği uygulayabilirsiniz. ACB açısı AOB açısının yarısına eşittir. Araç,
1) AOB = 54°: 2 = 27°.
Cevap: 54°.
Aynı çemberin farklı yaylarının oluşturduğu açılar
Bazen problem koşulları, istenen açının dayandığı yayın boyutunu doğrudan belirtmez. Bunu hesaplamak için bu açıların büyüklüğünü analiz etmeniz ve bunları dairenin bilinen özellikleriyle karşılaştırmanız gerekir.
Sorun 2
Merkezi O noktasında olan bir çemberde AOC açısı 120°, AOB açısı 30°'dir. SİZİN açınızı bulun.
Başlangıç olarak, bu sorunu ikizkenar üçgenlerin özelliklerini kullanarak çözmenin mümkün olduğunu söylemekte fayda var, ancak bu daha fazla sayıda matematiksel işlem gerektirecektir. Bu nedenle burada bir dairedeki merkezi ve yazılı açıların özelliklerini kullanarak çözümün bir analizini sunacağız.
Yani, AOS açısı AC yayına dayanır ve merkezidir, bu da AC yayının AOS açısına eşit olduğu anlamına gelir.
Aynı şekilde AOB açısı da AB yayı üzerindedir.
Bunu ve tüm dairenin derece ölçüsünü (360°) bilerek BC yayının büyüklüğünü kolaylıkla bulabilirsiniz.
BC = 360° - AC - AB
BC = 360° - 120° - 30° = 210°
CAB açısının tepe noktası A noktası çemberin üzerindedir. Bu, CAB açısının yazılı bir açı olduğu ve NE yayının yarısına eşit olduğu anlamına gelir.
Açı CAB = 210°: 2 = 110°
Cevap: 110°
Yayların ilişkisine dayalı problemler
Bazı problemler açı değerlerine ilişkin verileri hiç içermediğinden, bunların yalnızca bilinen teoremlere ve çemberin özelliklerine göre aranması gerekir.
Sorun 1
Verilen dairenin yarıçapına eşit bir kirişe dayanan dairenin içine yazılan açıyı bulun.
Parçanın uçlarını dairenin merkezine bağlayan çizgileri zihinsel olarak çizerseniz, bir üçgen elde edersiniz. İncelediğinizde bu çizgilerin dairenin yarıçapları olduğunu, yani üçgenin tüm kenarlarının eşit olduğunu görebilirsiniz. Eşkenar üçgenin tüm açılarının 60°'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bu, üçgenin tepe noktasını içeren AB yayının 60°'ye eşit olduğu anlamına gelir. Buradan istenilen açının dayandığı AB yayını buluruz.
AB = 360° - 60° = 300°
ABC açısı = 300°: 2 = 150°
Cevap: 150°
Sorun 2
Merkezi O noktasında olan bir çemberde yayların oranı 3:7'dir. En küçük yazılı açıyı bulun.
Çözmek için bir parçayı X olarak gösterelim, sonra bir yay 3X'e eşit, ikincisi ise sırasıyla 7X'tir. Çemberin derece ölçüsünün 360° olduğunu bilerek bir denklem oluşturalım.
3X + 7X = 360°
Duruma göre daha küçük bir açı bulmanız gerekiyor. Açıkçası, eğer açının büyüklüğü, dayandığı yay ile doğru orantılıysa, o zaman istenen (daha küçük) açı, 3X'e eşit bir yaya karşılık gelir.
Bu, daha küçük açının (36° * 3) : 2 = 108°: 2 = 54° olduğu anlamına gelir.
Cevap: 54°
Merkezi O noktasında olan bir dairede AOB açısı 60° ve küçük yayın uzunluğu 50'dir. Büyük yayın uzunluğunu hesaplayın.
Daha büyük bir yayın uzunluğunu hesaplamak için, daha küçük yayın daha büyük olanla ilişkisini gösteren bir oran oluşturmanız gerekir. Bunu yapmak için her iki yayın büyüklüğünü derece cinsinden hesaplıyoruz. Küçük yay, ona dayanan açıya eşittir. Derece ölçüsü 60° olacaktır. Büyük yay, dairenin derece ölçüsü (diğer verilerden bağımsız olarak 360°'ye eşittir) ile küçük yay arasındaki farka eşittir.
Ana yay 360° - 60° = 300°'dir.
300°: 60° = 5 olduğundan büyük yay, küçük yaydan 5 kat daha büyüktür.
Büyük yay = 50 * 5 = 250
Yani elbette benzer problemleri çözmek için başka yaklaşımlar da var, ancak bunların hepsi bir şekilde merkezi ve yazılı açıların, üçgenlerin ve dairelerin özelliklerine dayanıyor. Bunları başarılı bir şekilde çözmek için çizimi dikkatlice incelemeniz ve problemin verileriyle karşılaştırmanız ve ayrıca teorik bilgilerinizi pratikte uygulayabilmeniz gerekir.
Yazılı ve merkezi açı kavramı
Öncelikle merkez açı kavramını tanıtalım.
Not 1
Dikkat Bir merkez açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsüne eşittir.
Şimdi yazılı açı kavramını tanıtalım.
Tanım 2
Tepe noktası bir daire üzerinde bulunan ve kenarları aynı daireyle kesişen açıya yazılı açı denir (Şekil 2).
Şekil 2. Yazılı açı
Yazılı açı teoremi
Teorem 1
Yazılı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt.
Bize $O$ noktasında merkezi olan bir daire verilsin. Yazılı açıyı $ACB$ olarak gösterelim (Şekil 2). Aşağıdaki üç durum mümkündür:
- Işın $CO$ açının herhangi bir tarafıyla çakışıyor. Bu $CB$ tarafı olsun (Şekil 3).
Figür 3.
Bu durumda, $AB$ yayı $(180)^(()^\circ )$'dan küçüktür, dolayısıyla $AOB$ merkez açısı $AB$ yayına eşittir. $AO=OC=r$ olduğundan, $AOC$ üçgeni ikizkenardır. Bu, $CAO$ ve $ACO$ taban açılarının birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Bir üçgenin dış açısına ilişkin teoreme göre:
- Işın $CO$ bir iç açıyı iki açıya böler. Daireyi $D$ noktasında kesmesine izin verin (Şekil 4).
Şekil 4.
Aldık
- Işın $CO$, iç açıyı iki açıya bölmez ve hiçbir kenarıyla çakışmaz (Şekil 5).
Şekil 5.
$ACD$ ve $DCB$ açılarını ayrı ayrı ele alalım. 1. maddede kanıtlanana göre, şunu elde ederiz:
Aldık
Teorem kanıtlandı.
Hadi verelim sonuçlar bu teoremden.
Sonuç 1: Aynı yay üzerinde bulunan yazılı açılar birbirine eşittir.
Sonuç 2:Çapa karşılık gelen yazılı açı dik açıdır.
Bu iki tarafın oluşturduğu açıdır akorlar, çemberin bir noktasından başlıyor. Yazılı bir açının olduğu söyleniyor dinlenme kenarları arasında bulunan yay üzerinde.
Yazılı açı dayandığı yayın yarısına eşittir.
Başka bir deyişle, Yazılı açı kadar açısal derece, dakika ve saniye içerir yay dereceleri, dakikalar ve saniyeler, üzerinde durduğu yayın yarısında bulunur. Bunu doğrulamak için üç durumu analiz edelim:
İlk durum:
Merkez O yanda bulunur Yazılı açı ABC. AO yarıçapını çizerek ΔABO'yu elde ederiz, bunun içinde OA = OB (yarıçap olarak) ve buna göre ∠ABO = ∠BAO olur. Bununla ilgili olarak üçgen, açı AOC - harici. Bu da ABO ve BAO açılarının toplamına veya ABO çift açısına eşit olduğu anlamına gelir. Yani ∠ABO yarıya eşittir merkez açı AOC. Ancak bu açı AC yayı ile ölçülür. Yani, ABC yazılı açısı AC yayının yarısı kadar ölçülür.
İkinci durum:
Merkez O, kenarlar arasında bulunur Yazılı açı ABC. BD çapını çizdikten sonra ABC açısını iki açıya böleriz; bunlardan ilk duruma göre biri yarıya kadar ölçülür. yaylar AD ve yay CD'sinin diğer yarısı. Buna göre ABC açısı (AD+DC) /2 olarak ölçülür. 1/2 AC.
Üçüncü durum:
Merkezi O dışarıda yer alır Yazılı açı ABC. BD çapını çizdiğimizde şunu elde ederiz:∠ABC = ∠ABD - ∠CBD . Ancak ABD ve CBD açıları daha önce doğrulanan yarıya göre ölçülür yay AD ve CD. Ve ∠ABC (AD-CD)/2 ile, yani AC yayının yarısıyla ölçüldüğü için.
Sonuç 1. Aynı yaya dayananlar aynıdır, yani birbirine eşittir. Her biri aynı şeyin yarısıyla ölçüldüğüne göre yaylar .
Sonuç 2. Yazılı açı, çapa bağlı olarak - dik açı. Bu tür açıların her biri yarım yarım daire ile ölçüldüğünden ve buna göre 90° içerdiğinden.
Öncelikle daire ile daire arasındaki farkı anlayalım. Bu farkı görmek için her iki rakamın ne olduğunu düşünmek yeterlidir. Bunlar düzlem üzerinde tek bir merkezi noktadan eşit uzaklıkta bulunan sonsuz sayıda noktadır. Ancak daire aynı zamanda iç uzaydan oluşuyorsa daireye ait değildir. Bir dairenin hem onu sınırlayan bir daire (daire(r)) hem de dairenin içinde bulunan sayısız sayıda nokta olduğu ortaya çıktı.
Çember üzerinde bulunan herhangi bir L noktası için OL=R eşitliği uygulanır. (OL segmentinin uzunluğu dairenin yarıçapına eşittir).
Bir daire üzerinde iki noktayı birleştiren doğru parçasına ne ad verilir? akor.
Çemberin merkezinden doğrudan geçen akor çap bu daire (D). Çap şu formül kullanılarak hesaplanabilir: D=2R
Çevre formülle hesaplanır: C=2\pi R
Bir dairenin alanı: S=\pi R^(2)
Bir dairenin yayı iki noktası arasında kalan kısmına denir. Bu iki nokta bir dairenin iki yayını tanımlar. Akor CD'si iki yayı kapsar: CMD ve CLD. Aynı akorlar eşit yaylara karşılık gelir.
Merkezi açıİki yarıçap arasında kalan açıya denir.
Yay uzunluğu aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
- Derece ölçüsünü kullanma: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
- Radyan ölçüsünü kullanma: CD = \alpha R
Akora dik olan çap, akoru ve onun daralttığı yayları ikiye böler.
Çemberin AB ve CD kirişleri N noktasında kesişiyorsa, N noktasıyla ayrılan kiriş parçalarının çarpımları birbirine eşittir.
AN\cdot NB = CN\cdot ND
Bir daireye teğet
Bir daireye teğet Bir daire ile ortak bir noktası olan düz bir çizgiyi çağırmak gelenekseldir.
Bir doğrunun iki ortak noktası varsa buna denir. sekant.
Yarıçapı teğet noktasına çizerseniz, daireye teğete dik olacaktır.
Bu noktadan çemberimize iki teğet çizelim. Teğet bölümlerin birbirine eşit olacağı ve dairenin merkezinin bu noktada tepe noktasıyla açının ortaortasında yer alacağı ortaya çıktı.
AC = CB
Şimdi çembere bulunduğumuz noktadan bir teğet ve bir sekant çizelim. Teğet bölümünün uzunluğunun karesinin, tüm sekant bölümünün ve dış kısmının çarpımına eşit olacağını elde ederiz.
AC^(2) = CD \cdot BC
Şu sonuca varabiliriz: birinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının ürünü, ikinci sekantın tüm bölümünün ve dış kısmının çarpımına eşittir.
AC\cdot BC = EC\cdot DC
Bir daire içindeki açılar
Merkez açının ve dayandığı yayın derece ölçüleri eşittir.
\angle COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)
Yazılı açı köşesi daire üzerinde olan ve kenarlarında kirişler bulunan açıdır.
Bu yayın yarısına eşit olduğundan yayın boyutunu bilerek hesaplayabilirsiniz.
\angle AOB = 2 \angle ADB
Çapa, yazılı açıya, dik açıya göre.
\angle CBD = \angle CED = \angle CAD = 90^ (\circ)
Aynı yayı gören yazılı açılar aynıdır.
Bir kirişe dayanan yazılı açılar aynıdır veya toplamları 180^ (\circ)'ye eşittir.
\angle ADB + \angle AKB = 180^ (\circ)
\angle ADB = \angle AEB = \angle AFB
Aynı daire üzerinde, aynı açılara ve belirli bir tabana sahip üçgenlerin köşeleri vardır.
Tepe noktası dairenin içinde olan ve iki akor arasında yer alan açı, verilen ve dikey açılar içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerinin toplamının yarısına eşittir.
\angle DMC = \angle ADM + \angle DAM = \frac(1)(2) \left (\cup DmC + \cup AlB \right)
Köşesi dairenin dışında olan ve iki kesen arasında bulunan bir açı, açının içinde yer alan daire yaylarının açısal değerlerindeki farkın yarısı kadardır.
\angle M = \angle CBD - \angle ACB = \frac(1)(2) \left (\cup DmC - \cup AlB \right)
Yazılı daire
Yazılı daire bir çokgenin kenarlarına teğet olan bir dairedir.
Bir çokgenin köşelerinin açıortaylarının kesiştiği noktada merkezi bulunur.
Her çokgene bir daire yazılamaz.
Yazılı bir daireye sahip bir çokgenin alanı aşağıdaki formülle bulunur:
S = pr,
p çokgenin yarı çevresidir,
r yazılı dairenin yarıçapıdır.
Yazılı dairenin yarıçapının şuna eşit olduğu sonucu çıkar:
r = \frac(S)(p)
Daire dışbükey bir dörtgen içine yazılmışsa, karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynı olacaktır. Ve bunun tersi de geçerlidir: Karşılıklı kenarların uzunluklarının toplamları aynıysa, bir daire dışbükey bir dörtgen içine sığar.
AB + DC = AD + BC
Üçgenlerden herhangi birine daire çizmek mümkündür. Yalnızca tek bir tane. Şeklin iç açılarının açıortaylarının kesiştiği noktada bu yazılı dairenin merkezi yer alacaktır.
Yazılı dairenin yarıçapı aşağıdaki formülle hesaplanır:
r = \frac(S)(p) ,
burada p = \frac(a + b + c)(2)
Çevrel çember
Bir daire bir çokgenin her köşesinden geçiyorsa, o zaman böyle bir daireye genellikle denir bir çokgen hakkında anlatılan.
Bu şeklin kenarlarının dik açıortaylarının kesişme noktasında çevrel çemberin merkezi olacaktır.
Yarıçap, çokgenin herhangi 3 köşesi tarafından tanımlanan üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapı olarak hesaplanarak bulunabilir.
Şu koşul vardır: Bir dörtgenin etrafında bir daire ancak karşıt açılarının toplamı 180^( \circ)'e eşitse tanımlanabilir.
\angle A + \angle C = \angle B + \angle D = 180^ (\circ)
Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz, hem de yalnızca bir tane. Böyle bir dairenin merkezi, üçgenin kenarlarının dik açıortaylarının kesiştiği noktada bulunacaktır.
Sınırlandırılmış dairenin yarıçapı aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanabilir:
R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)
R = \frac(abc)(4 S)
a, b, c üçgenin kenarlarının uzunluklarıdır,
S üçgenin alanıdır.
Ptolemy'nin teoremi
Son olarak Ptolemy'nin teoremini düşünün.
Ptolemy'nin teoremi, köşegenlerin çarpımının, döngüsel bir dörtgenin karşıt kenarlarının çarpımlarının toplamına eşit olduğunu belirtir.
AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD
.png)