Bir piramidin tabanında yazılı bir daire. Geometrik problemleri çözme

Piramit. Doğru piramit
Çokyüzlüler

Bu video eğitimi, kullanıcıların Piramit teması hakkında fikir edinmelerine yardımcı olacaktır. Doğru piramit. Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız ve ona bir tanım vereceğiz. Düzenli bir piramidin ne olduğunu ve hangi özelliklere sahip olduğunu düşünelim. Sonra yan yüzey teoremini ispatlıyoruz düzenli piramit.

Bu dersimizde piramit kavramını tanıyacağız ve ona bir tanım vereceğiz.

Bir çokgen düşünün bir 1 bir 2...Birα düzleminde yer alan ve nokta Pα düzleminde yer almayan (Şekil 1). Noktaları birleştirelim P zirvelerle Bir 1, Bir 2, Bir 3, … Bir. Aldık Nüçgenler: bir 1 bir 2 R, bir 2 bir 3 R ve benzeri.

Tanım. Çokyüzlü RA 1 A 2 ...A n, oluşan N-kare bir 1 bir 2...Bir Ve Nüçgenler RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 denir N-kömür piramidi. Pirinç. 1.

Pirinç. 1

Dörtgen bir piramit düşünün PABCD(Şekil 2).

R- piramidin tepesi.

ABCD- piramidin tabanı.

RA - yan kaburga.

AB- taban kaburga.

noktadan R hadi dikeyi bırakalım RN taban düzlemine ABCD. Çizilen dikey piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 2

Tam yüzey Piramit bir yan yüzeyden, yani tüm yan yüzlerin alanından ve taban alanından oluşur:

S dolu = S tarafı + S ana

Aşağıdaki durumlarda bir piramit doğru olarak adlandırılır:

onun temeli - düzenli çokgen;
piramidin tepesini tabanın merkezine bağlayan bölüm yüksekliğidir.

Düzenli dörtgen piramit örneğini kullanarak açıklama

Düzenli bir dörtgen piramit düşünün PABCD(Şekil 3).

R- piramidin tepesi. Piramidin tabanı ABCD- düzenli bir dörtgen, yani bir kare. Nokta HAKKINDA köşegenlerin kesişme noktası karenin merkezidir. Araç, RO piramidin yüksekliğidir.

Pirinç. 3

Açıklama: doğru N Bir üçgende, yazılı dairenin merkezi ile çevrel dairenin merkezi çakışır. Bu merkeze çokgenin merkezi denir. Bazen tepe noktasının merkeze yansıtıldığını söylerler.

Düzgün bir piramidin tepe noktasından çizilen yan yüzünün yüksekliğine ne denir? özlü söz ve belirlenmiş ha bir.

1. Düzenli bir piramidin tüm yan kenarları eşittir;

2. yan yüzler eş ikizkenar üçgenlerdir.

Düzenli dörtgen piramit örneğini kullanarak bu özelliklerin kanıtını vereceğiz.

Verilen: PABCD- düzenli dörtgen piramit,

ABCD- kare,

RO- piramidin yüksekliği.

Kanıtlamak:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Bkz. Şekil. 4.

Pirinç. 4

Kanıt.

RO- piramidin yüksekliği. Yani düz RO düzleme dik ABC ve bu nedenle doğrudan JSC, VO, SO Ve YAPMAK içinde yatıyor. Yani üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK- dikdörtgen.

Bir kare düşünün ABCD. Bir karenin özelliklerinden şu sonuç çıkar: AO = VO = CO = YAPMAK.

Daha sonra dik üçgenler ROA, ROV, ROS, ÇUBUK bacak RO- genel ve bacaklar JSC, VO, SO Ve YAPMAK eşittir, yani bu üçgenlerin iki tarafı da eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden parçaların eşitliği çıkar, RA = PB = RS = PD. 1. nokta kanıtlandı.

Segmentler AB Ve Güneş aynı karenin kenarları oldukları için eşittirler, RA = PB = RS. Yani üçgenler AVR Ve VSR- ikizkenar ve üç tarafı eşittir.

Benzer şekilde üçgenleri buluyoruz ABP, VCP, CDP, DAP Paragraf 2'de kanıtlanması gerektiği gibi ikizkenar ve eşittir.

Düzenli bir piramidin yan yüzeyinin alanı, tabanın çevresi ile apothemin çarpımının yarısına eşittir:

Bunu kanıtlamak için düzgün bir üçgen piramit seçelim.

Verilen: RAV'lar- düzenli üçgen piramit.

AB = BC = AC.

RO- yükseklik.

Kanıtlamak: . Bkz. 5.

Pirinç. 5

Kanıt.

RAV'lar- düzenli üçgen piramit. yani AB= AC = BC. İzin vermek HAKKINDA- üçgenin merkezi ABC, Daha sonra RO piramidin yüksekliğidir. Piramidin tabanında yatıyor eşkenar üçgen ABC. Dikkat .

Üçgenler RAV, RVS, RSA- eşit ikizkenar üçgenler(özelliğe göre). Üçgen piramidin üç yan yüzü vardır: RAV, RVS, RSA. Bu, piramidin yan yüzeyinin alanının şu olduğu anlamına gelir:

S tarafı = 3S RAW

Teorem kanıtlandı.

Düzenli bir dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapı 3 m, piramidin yüksekliği 4 m'dir. Piramidin yan yüzeyinin alanını bulun.

Verilen: düzenli dörtgen piramit ABCD,

ABCD- kare,

R= 3m,

RO- piramidin yüksekliği,

RO= 4 m.

Bulmak: S tarafı. Bkz. 6.

Pirinç. 6

Çözüm.

Kanıtlanmış teoreme göre, .

Önce tabanın kenarını bulalım AB. Düzenli dörtgen piramidin tabanına yazılan dairenin yarıçapının 3 m olduğunu biliyoruz.

Sonra m.

Karenin çevresini bulun ABCD 6 m kenarlı:

Bir üçgen düşünün BCD. İzin vermek M- yanın ortası DC. Çünkü HAKKINDA- orta BD, O (M).

Üçgen DPC- ikizkenar. M- orta DC. Yani, RM- medyan ve dolayısıyla üçgendeki yükseklik DPC. Daha sonra RM- piramidin özeti.

RO- piramidin yüksekliği. Daha sonra düz RO düzleme dik ABC ve bu nedenle doğrudan OM, içinde yatıyor. Hadi özlü sözü bulalım RM itibaren dik üçgen ROM.

Artık bulabiliriz yan yüzey piramitler:

Cevap: 60 m2.

Düzgün üçgen piramidin tabanını çevreleyen dairenin yarıçapı m'ye eşittir. Yan yüzey alanı 18 m 2'dir. Apothemin uzunluğunu bulun.

Verilen: ABCP- düzenli üçgen piramit,

AB = BC = SA,

R= m,

S tarafı = 18 m2.

Bulmak: . Bkz. 7.

Pirinç. 7

Çözüm.

Bir dik üçgende ABCÇevreleyen dairenin yarıçapı verilmiştir. Hadi bir taraf bulalım AB Bu üçgen sinüs yasasını kullanarak.

Düzgün bir üçgenin kenarını (m) bildiğimiz için çevresini buluruz.

Düzenli bir piramidin yan yüzey alanı teoremine göre , Nerede ha bir- piramidin özeti. Daha sonra:

Cevap: 4 m.

Böylece piramidin ne olduğuna, düzenli piramidin ne olduğuna baktık ve düzenli piramidin yan yüzeyi hakkındaki teoremi kanıtladık. Bir sonraki derste kesik piramit ile tanışacağız.

Referanslar

Geometri. 10-11. Sınıflar: öğrenciler için ders kitabı eğitim kurumları(temel ve profil seviyeleri) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. baskı, rev. ve ek - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: hasta.
Geometri. 10-11 sınıf: Genel eğitime yönelik ders kitabı eğitim kurumları/ Sharygin I.F. - M .: Bustard, 1999. - 208 s .: hasta.
Geometri. 10. Sınıf: Genel eğitim kurumları için derinlemesine ve kapsamlı ders kitabı özel çalışma matematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. baskı, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 s.: hasta.

İnternet portalı "Yaklass" ()
İnternet portalı "Festival pedagojik fikirler"Eylül ayının ilki" ()
İnternet portalı “Slideshare.net” ()

Ev ödevi

Düzenli bir çokgen düzensiz bir piramidin tabanı olabilir mi?
Düzgün bir piramidin ayrık kenarlarının birbirine dik olduğunu kanıtlayın.
Değeri bulun dihedral açı Düzenli bir dörtgen piramidin tabanının yanında, eğer piramidin öz uzunluğu tabanının kenarına eşitse.
RAV'lar- düzenli üçgen piramit. İnşa etmek doğrusal açı Piramidin tabanındaki dihedral açı.

Chudaeva E.V., Belediye Eğitim Kurumu “Insarskaya Ortaokulu No. 1”, Insar, Mordovya Cumhuriyeti

GEOMETRİK SORUNLARI ÇÖZMEK

(İle Birleşik Devlet Sınavı materyalleri)

Görev No.1

Görev No.2

Görev No.3

Görev No.4. Taban kenarı 6 ve öz uzunluğu eşit olan düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayınız.

.

Sorun #5. Tabanına yazılan dairenin yarıçapı 2 ve düzgün piramidin yüksekliği ise düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

.

Sorun #6. Kenarları 5 ve tabanı çevreleyen dairenin yarıçapı 3 ise, düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanını hesaplayın

.

Sorun No. 7

Sorun No. 8

Sorun No. 9. Sağda altıgen piramit tabanın kenarı 2 ve yan kenarı 2'dir

. Piramidin hacmini bulun.

Sorun No. 10R denklemi karşılıyor R 2 + R – 6 = 0. Prizmanın hacmini bulun.

Sorun No. 11. Sağdakinin yakınında üçgen prizma silindir anlatılmıştır. Silindir ekseni ile prizma tabanının kenarı arasındaki mesafe eşittir

. Bir silindirin yüksekliği yarıçapının üçüne eşittir. Prizmanın hacmini bulun.

Sorun No. 12

Sorun No. 13

Sorun No. 14. Düzenli bir dörtgen prizmanın içine bir silindir yazılmıştır. Silindirin hacmi 16

ve prizmanın tabanı etrafında çevrelenen dairenin yarıçapı eşittir

. Prizmanın köşegenini bulun.

Sorun No. 15. Düzenli bir altıgen prizmanın içine bir silindir yazılmıştır. Alanı 54 ve silindirin yarıçapı 3 olduğuna göre prizmanın yüksekliğini bulun.

Sorun No. 16. Sağdakinin yakınında altıgen prizma silindir anlatılmıştır. Silindirin hacmi 16 , silindirin yüksekliği 4'tür. Prizmanın hacmini bulun.

Sorun No. 17. Düzenli bir altıgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin hacmi 10 'dur. Aynı prizmanın içine yazılan silindirin hacmini bulun.

GEOMETRİK SORUNLARI ÇÖZMEK

(Birleşik Devlet Sınavı materyallerine dayanmaktadır)

Görev No.1 . Tabanı çevreleyen dairenin yarıçapı 1'e ve piramidin yüksekliği 4'e eşitse, düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

R karar.

1) formülü kullanarak normal bir piramidin tabanının kenarını bulun

,

.

2) tabanın alanını düzgün bir üçgenin alanı olarak bulun

,

.

3) piramidin hacmini hesaplayın

Cevap. 9

Görev No.2 . Tabana yazılan dairenin yarıçapı eşitse ve piramidin yan kenarları 6'ya eşitse, normal üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

1) Normal bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapından 2 kat daha azdır, yani.

, Daha sonra

.

4) bir dik üçgenden

Pisagor teoremini kullanarak piramidin yüksekliğini buluruz:

, .

5) piramidin hacmini hesaplayın

Cevap. 18.

Görev No.3 . Tabanın yakınında çevrelenen dairenin yarıçapı eşitse ve piramidin yüksekliği 1'e eşitse, düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplayın.

R karar.

1) , formülünü kullanarak düzgün bir piramidin tabanının kenarını bulun.

2) P = 3 tabanının çevresini bulun. A,

P = 9.

3) Normal bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapından 2 kat daha azdır, yani. , Daha sonra

.

4) bir dik üçgendenMPA Bay :

,

Bay =

5) normal bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayın:

,

.

Cevap.

.

Görev No.4 . Taban kenarı 6 ve apotemi 6 olan düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayınız.

Çözüm. ,

1) tabanın yakınında tanımlanan ve tabanda yazılı olan dairelerin yarıçapını bulun: ,

yani

.

2) Tabanın alanını düzgün bir üçgenin alanı olarak bulun,

.

MPA Pisagor teoremini kullanarak yüksekliği buluruz:

, MO =

.

Cevap. 18.

Sorun #5 . Tabanına yazılan dairenin yarıçapı 2 ve düzgün piramidin yüksekliği ise düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

1) Normal bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapından 2 kat daha azdır, yani. , Daha sonra

.

2) formülü kullanarak düzenli bir piramidin tabanının kenarını bulun,

.

3) Tabanın alanını düzgün bir üçgenin alanı olarak bulun,

.

4) Düzenli bir piramidin hacmini hesaplayın: =

.

Cevap. 36.

Sorun #6 . Kenarları 5 ve tabanı çevreleyen dairenin yarıçapı 3 ise, düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanını hesaplayın.

R karar .

1) formülü kullanarak tabanın kenarını bulun

yani

.

2) tabanın çevresini bulun: R = 4A,

P = 24.

3) bir dik üçgendenM DR Pisagor teoremini kullanarak özünü buluruzBay :

, D.P. =

Daha sonra: Bay =

.

4) piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayın: =

.

Cevap. 48.

Sorun No. 7 . Sağda dörtgen piramit Yan yüzey alanı 16, taban alanı 4'tür. Piramidin yüksekliğini bulun.

Çözüm.

1) tabanın kenarını bulun: piramidin tabanı alanı 4'e eşit bir kare olduğundan, karenin kenarı 2 ve çevresi 8'dir.

2) koşula göre = 16 yani.

3) bir dik üçgendenMPA Pisagor teoremini kullanarak OP = değerini dikkate alarak yüksekliği buluruz: = 1, şunu elde ederiz: MO =

.

Cevap.

.

Sorun No. 8. Tabanın bir kenarı 4 ve yan kenarları 5 olduğuna göre düzgün altıgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

1) Düzenli bir altıgenin tabanının kenarı, etrafını çevreleyen dairenin yarıçapına eşittir, yani.

,

2) formülü kullanarak normal altıgenin alanını bulun

veya

= 24.

3) bir dik üçgendenMOU hadi yüksekliği bulalım MO : .

4) piramidin hacmini hesaplayın: =

.

Cevap. 24.

Sorun No. 9 . Düzgün altıgen bir piramidin taban tarafı 2, yan kenarı 2'dir. Piramidin hacmini bulun.

Çözüm.

1) veya = 12 formülünü kullanarak normal altıgenin alanını bulun.

2) bir dik üçgendenMOU hadi yüksekliği bulalım MO, bunu göz önünde bulundurarak düzenli altıgen : .

3) piramidin hacmini hesaplayın: =

.

Cevap: 24.

Sorun No. 10 . Düzenli bir üçgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin yüksekliği 5 ve tabanının yarıçapıRdenklemi karşılıyorR 2 + R – 6 = 0. Prizmanın hacmini bulun.

R karar. V = S · H

1) Prizma silindirin içine yazılı olduğundan prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşittir ve prizmanın tabanı da silindirin tabanına yazılıdır, N = 5.

2) duruma göre R denklemi karşılıyor R 2 + R – 6 = 0, bulduğumuz çözüm

R 1 = - 3, R 2 = 2, yarıçap pozitif bir değer olduğundan -3 problemin koşullarını sağlamaz.

3) formülü kullanarak yazılı normal üçgenin kenarını bulun

,

.

4) tabanın alanını bulun doğru prizma, normal bir üçgenin alanı olarak:

=

5) prizmanın hacmini hesaplayın:V = S · H =

.

Cevap. 15.

Sorun No. 11 . Düzenli bir üçgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin ekseni ile prizma tabanının kenarı arasındaki mesafe eşittir. Bir silindirin yüksekliği yarıçapının üçüne eşittir. Prizmanın hacmini bulun.

Çözüm. V = S · H

1) Prizma silindirin içine yazılı olduğundan duruma göre prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşit olup, prizmanın tabanı da silindirin tabanına yazılıdır. N = 3 R..

2) Silindirin ekseni ile prizmanın tabanının kenarı arasındaki mesafe, yazılı üçgenin yarıçapına eşittir.ABC daireler, yani

ve koşula göre eşittir.

3) Normal bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapından 2 kat daha azdır, yani. , Daha sonra .

4) formülü kullanarak yazılı düzgün üçgenin kenarını bulun,

.

5) Düzenli bir prizmanın tabanının alanını normal bir üçgenin alanı olarak bulun: =

6) prizmanın hacmini hesaplayın:V = S · H = S· 3 · R =

162.

Cevap. 162.

Sorun No. 12. Düzenli bir üçgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin yan yüzey alanı 16 'dur. Tabanının kenarı 5 ise prizmanın hacmini bulun.

Çözüm. V = S · H

2) Düzenli bir prizmanın tabanının alanını normal bir üçgenin alanı olarak bulun: =

.

3) Yazılı bir düzgün üçgenin kenarı formülle bulunur, sonra

.

4) Koşula göre silindirin yan yüzeyinin alanı 16'dır.·  onlar.

, NeresiN =

=

.

5) Prizmanın hacmini hesaplayın:V = S · H = · = 30.

Cevap. 30.

Sorun No. 13. Sağdakinin yakınında dörtgen prizma Yan yüzey alanı 20 olan bir silindir tanımlanmaktadır. Prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Çözüm.

1) Prizma silindirin içine yazılı olduğundan prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşittir ve prizmanın tabanı silindirin tabanına yazılıdır.

2) Koşula göre silindirin yan yüzeyinin alanı 20'dir. yani

,

.

3) prizma düzenli olduğundan tabanında bir kenarı olan bir kare bulunur

ise tabanın çevresi eşittir

.

4) prizmanın yan yüzeyinin alanını hesaplayın =. yani  ·

.

– 36 bir  .

Chudaeva E.V., Belediye Eğitim Kurumu “Insarskaya Ortaokulu No. 1”, Insar, Mordovya Cumhuriyeti

GEOMETRİK SORUNLARI ÇÖZMEK

Cevap. 7.5

Görev No.1

Görev No.2

Görev No.3

Görev No.4

Sorun #5

Sorun #6

Sorun No. 7

Sorun No. 8

Sorun No. 9

Sorun No. 10R denklemi karşılıyor R 2 + R – 6 = 0. Prizmanın hacmini bulun.

Sorun No. 11

Sorun No. 12

Sorun No. 13

Sorun No. 14(Birleşik Devlet Sınavı materyallerine dayanmaktadır)

Sorun No. 15. Düzenli bir altıgen prizmanın içine bir silindir yazılmıştır. Alanı 54 ve silindirin yarıçapı 3 olduğuna göre prizmanın yüksekliğini bulun.

Sorun No. 16. Düzenli bir dörtgen prizmanın içine bir silindir yazılmıştır. Silindirin hacmi 16 olup, prizmanın tabanını çevreleyen dairenin yarıçapı 0,000'dir. Prizmanın köşegenini bulun.

Sorun No. 17. Düzenli bir altıgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin hacmi 10 'dur. Aynı prizmanın içine yazılan silindirin hacmini bulun.

GEOMETRİK SORUNLARI ÇÖZMEK

(Birleşik Devlet Sınavı materyallerine dayanmaktadır)

Görev No.1 . Tabanı çevreleyen dairenin yarıçapı 1'e ve piramidin yüksekliği 4'e eşitse, düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

3) piramidin hacmini hesaplayın

Cevap. 9

Görev No.2 . Tabana yazılan dairenin yarıçapı eşitse ve piramidin yan kenarları 6'ya eşitse, normal üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

. Düzenli bir altıgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin hacmi 16 , yüksekliği 4'tür. Prizmanın hacmini bulun.

5) piramidin hacmini hesaplayın

Cevap. 18.

Görev No.3 . Tabanın yakınında çevrelenen dairenin yarıçapı eşitse ve piramidin yüksekliği 1'e eşitse, düzenli bir üçgen piramidin yan yüzey alanını hesaplayın.

Çözüm.

1) , formülünü kullanarak düzgün bir piramidin tabanının kenarını bulun.

2) P = 3 tabanının çevresini bulun. A,

P = 9.

4) bir dik üçgendenMPA Bay : ,

Bay =

5) normal bir piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayın:

4) Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgenden piramidin yüksekliğini buluruz: , .

Görev No.4 . Taban kenarı 6 ve apotemi 6 olan düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayınız.

Çözüm. ,

Cevap. .

1) tabanın yakınında tanımlanan ve tabanda yazılı olan dairelerin yarıçapını bulun: , yani .

MPA 2) Tabanın alanını düzgün bir üçgenin alanı olarak bulun.

Cevap. 18.

Sorun #5 . Tabanına yazılan dairenin yarıçapı 2 ve düzgün piramidin yüksekliği ise düzgün üçgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

1) Normal bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapından 2 kat daha azdır, yani. , Daha sonra .

2) , formülünü kullanarak düzgün bir piramidin tabanının kenarını bulun.

3) Tabanın alanını düzgün bir üçgenin alanı olarak bulun.

4) Düzenli bir piramidin hacmini hesaplayın: = .

Cevap. 36.

Sorun #6 . Kenarları 5 ve tabanı çevreleyen dairenin yarıçapı 3 ise, düzenli bir dörtgen piramidin yan yüzey alanını hesaplayın.

Çözüm .

1) formülü kullanarak tabanın kenarını bulun, yani. .

2) tabanın çevresini bulun: R = 4A,

P = 24.

3) bir dik üçgendenM DR Pisagor teoremini kullanarak özünü buluruzBay : , D.P. =

Daha sonra: Bay = .

4) piramidin yan yüzeyinin alanını hesaplayın: = .

Cevap. 48.

Sorun No. 7 . Düzgün dörtgen piramitte yan yüzey alanı 16, taban alanı 4'tür. Piramidin yüksekliğini bulun.

Çözüm.

1) tabanın kenarını bulun: piramidin tabanı alanı 4'e eşit bir kare olduğundan, karenin kenarı 2 ve çevresi 8'dir.

2) koşula göre = 16 yani.

3) bir dik üçgendenMPA Pisagor teoremini kullanarak yüksekliği buluyoruz: , OR = = 1'i dikkate alarak, MO = elde ediyoruz.

4) Pisagor teoremini kullanarak bir dik üçgenden piramidin yüksekliğini buluruz: , .

Sorun No. 8. Tabanın bir kenarı 4 ve yan kenarları 5 olduğuna göre düzgün altıgen piramidin hacmini hesaplayın.

Çözüm.

1) Düzenli bir altıgenin tabanının kenarı, etrafını çevreleyen dairenin yarıçapına eşittir, yani. ,

2) veya = 24 formülünü kullanarak normal altıgenin alanını bulun.

3) bir dik üçgendenMOU hadi yüksekliği bulalım MO : .

4) piramidin hacmini hesaplayın: =.

Cevap. 24.

Sorun No. 9 . Düzgün altıgen bir piramidin taban tarafı 2, yan kenarı 2'dir. Piramidin hacmini bulun.

Çözüm.

1) veya = 12 formülünü kullanarak normal altıgenin alanını bulun.

2) bir dik üçgendenMOU hadi yüksekliği bulalım MO, normal bir altıgende verildiğinde: .

3) piramidin hacmini hesaplayın: =.

Cevap: 24.

Çözüm. V = S · H

1) Prizma silindirin içine yazılı olduğundan prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşittir ve prizmanın tabanı da silindirin tabanına yazılıdır, N = 5.

2) duruma göre R denklemi karşılıyor R 2 + R – 6 = 0, bulduğumuz çözüm

R 1 = - 3, R 2 = 2, yarıçap pozitif bir değer olduğundan -3 problemin koşullarını sağlamaz.

3) formülü kullanarak yazılı düzgün üçgenin kenarını bulun.

4) Düzenli bir prizmanın tabanının alanını normal bir üçgenin alanı olarak bulun: =
5) prizmanın hacmini hesaplayın:V = S · H = .

Cevap. 15.

Çözüm. V = S · H

1) Prizma silindirin içine yazılı olduğundan duruma göre prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşit olup, prizmanın tabanı da silindirin tabanına yazılıdır. N = 3 R..

2) Silindirin ekseni ile prizmanın tabanının kenarı arasındaki mesafe, yazılı üçgenin yarıçapına eşittir.ABC daireler, yani ve koşula göre eşittir.

3) Normal bir üçgenin içine yazılan dairenin yarıçapı, bu üçgenin çevrelediği dairenin yarıçapından 2 kat daha azdır, yani. , Daha sonra .

4) formülü kullanarak yazılı düzgün üçgenin kenarını bulun.

5) Düzenli bir prizmanın tabanının alanını normal bir üçgenin alanı olarak bulun: =

6) prizmanın hacmini hesaplayın:V = S · H = S· 3 · R = 162.

Cevap. 162.

Sorun No. 12. Düzenli bir üçgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Silindirin yan yüzey alanı 16 'dur. Tabanının kenarı 5 ise prizmanın hacmini bulun.

Çözüm. V = S · H

2) Düzenli bir üçgenin alanı olarak düzenli bir prizmanın tabanının alanını bulun: =.

3) Yazılı bir düzgün üçgenin kenarı aşağıdaki formülle bulunur:

4) Koşula göre silindirin yan yüzeyinin alanı 16'dır.·  yani nereden N = = .

5) Prizmanın hacmini hesaplayın:V = S · H = · = 30.

Cevap. 30.

Sorun No. 13. Yan yüzey alanı 20 olan düzgün bir dörtgen prizma etrafında bir silindir tanımlanmaktadır. Prizmanın yan yüzey alanını bulun.

Çözüm.

1) Prizma silindirin içine yazılı olduğundan prizmanın yüksekliği silindirin yüksekliğine eşittir ve prizmanın tabanı silindirin tabanına yazılıdır.

2) Koşula göre silindirin yan yüzeyinin alanı 20'dir. yani , .

3) prizma düzenli olduğundan, tabanında kenarı olan bir kare bulunur, bu durumda tabanın çevresi eşittir.

4) prizmanın yan yüzeyinin alanını hesaplayın =., silindirin yarıçapı 3, silindirin yüksekliği 4'tür. Prizmanın hacmini bulun. .

5) prizmaya yazılan silindirin hacmini hesaplamak için formülü yazın:V = S · H, onlar.:

V = =  ·.

– 36 bir  .