İşte konilerle ilgili problemler, durum yüzey alanıyla ilgilidir. Özellikle bazı problemlerde, koninin yüksekliğini veya tabanının yarıçapını arttırırken (azaltırken) alanı değiştirme sorunu ortaya çıkar. Sorunları çözmek için teori. Aşağıdaki görevleri ele alalım:
27135. Koninin tabanının çevresi 3, jeneratör 2'dir. Koninin yan yüzeyinin alanını bulun.
Koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Verilerin değiştirilmesi:
75697. Generatrix 36 kat arttırılırsa ve tabanın yarıçapı aynı kalırsa, koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat artacaktır?
Koni yan yüzey alanı:
Generatrix 36 kat artar. Yarıçap aynı kalır, bu da tabanın çevresinin değişmediği anlamına gelir.
Bu, değiştirilmiş koninin yan yüzey alanının şu şekilde olacağı anlamına gelir:
Böylece 36 kat artacak.
*İlişki basittir, dolayısıyla bu sorun sözlü olarak kolayca çözülebilir.
27137. Tabanının yarıçapı 1,5 kat azaltılırsa koninin yan yüzeyinin alanı kaç kat azalacaktır?
Koninin yan yüzey alanı şuna eşittir:
Yarıçap 1,5 kat azalır, yani:
Yan yüzey alanının 1,5 kat azaldığı tespit edildi.
27159. Koninin yüksekliği 6, generatrix 10'dur. Toplam yüzeyinin alanını Pi'ye bölerek bulun.
Tam koni yüzeyi:
Yarıçapı bulmanız gerekir:
Yükseklik ve cins matrisi biliniyor, Pisagor teoremini kullanarak yarıçapı hesaplıyoruz:
Böylece:
Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.
76299. Koninin toplam yüzey alanı 108'dir. Koninin tabanına paralel olarak yüksekliği ikiye bölen bir bölüm çizilir. Kesilen koninin toplam yüzey alanını bulun.
Kesit yüksekliğin ortasından tabana paralel olarak geçer. Bu, taban yarıçapının ve kesme konisinin generatrisinin, orijinal koninin yarıçapından ve generatriksinden 2 kat daha az olacağı anlamına gelir. Kesilen koninin yüzey alanını yazalım:
Orijinalin yüzey alanından 4 kat daha az yani 108:4=27 olacağını tespit ettik.
*Orijinal ve kesik koni benzer gövdeler olduğundan benzerlik özelliğini kullanmak da mümkün olmuştur:
27167. Koninin taban yarıçapı 3 ve yüksekliği 4'tür. Koninin toplam yüzey alanını Pi'ye bölerek bulun.
Bir koninin toplam yüzeyinin formülü:
Yarıçap biliniyor, generatrix'i bulmak gerekiyor. 
Pisagor teoremine göre:
Böylece:
Sonucu Pi'ye bölün ve cevabı yazın.
Görev. Koninin yan yüzeyinin alanı, taban alanının dört katıdır. Koninin generatrisi ile taban düzlemi arasındaki açının kosinüsünü bulun.
Koninin tabanının alanı: 
İleri geri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Bu çalışmayla ilgileniyorsanız, lütfen tam sürümünü indirin.
Ders türü: Probleme dayalı gelişimsel öğretim yönteminin unsurlarını kullanarak yeni materyal öğrenme dersi.
Dersin Hedefleri:
- eğitici:
- yeni bir matematiksel kavrama aşinalık;
- yeni eğitim merkezlerinin oluşturulması;
- pratik problem çözme becerilerinin oluşumu.
- gelişmekte:
- öğrencilerin bağımsız düşünmelerinin geliştirilmesi;
- okul çocuklarında doğru konuşma becerilerinin geliştirilmesi.
- eğitici:
- takım çalışması becerilerini geliştirmek.
Ders ekipmanları: manyetik tahta, bilgisayar, ekran, multimedya projektörü, koni modeli, ders sunumu, çalışma notları.
Ders hedefleri (öğrenciler için):
- yeni bir geometrik kavramla tanışın - koni;
- bir koninin yüzey alanını hesaplamak için bir formül türetmek;
- Pratik problemleri çözerken edinilen bilgileri uygulamayı öğrenin.
Dersler sırasında
Aşama I. Organizasyonel.
İşlenen konuyla ilgili evde test çalışması içeren not defterlerinin teslim edilmesi.
Öğrenciler bulmacayı çözerek gelecek dersin konusunu bulmaya davet edilir. (slayt 1):
Resim 1.
Dersin konusunun ve hedeflerinin öğrencilere duyurulması (slayt 2).
Aşama II. Yeni malzemenin açıklanması.
1) Öğretmenin dersi.
Tahtanın üzerinde koni resminin bulunduğu bir masa var. Yeni materyal “Stereometri” program materyali eşliğinde açıklanmaktadır. Ekranda bir koninin üç boyutlu görüntüsü belirir. Öğretmen koninin tanımını verir ve elemanlarından bahseder. (slayt 3). Koninin, dik bir üçgenin bacağa göre dönmesiyle oluşan bir cisim olduğu söylenir. (slayt 4, 5). Koninin yan yüzeyinin taranmış görüntüsü belirir. (slayt 6)
2) Pratik çalışma.
Temel bilgilerin güncellenmesi: Bir dairenin alanını, bir sektörün alanını, bir dairenin uzunluğunu, bir daire yayının uzunluğunu hesaplamak için formülleri tekrarlayın. (7-10 arası slaytlar)
Sınıf gruplara ayrılır. Her gruba, kağıttan kesilmiş koninin (atanan numaraya sahip bir daire dilimi) yan yüzeyinin bir taraması yapılır. Öğrenciler gerekli ölçümleri yaparak ortaya çıkan sektörün alanını hesaplarlar. İşi gerçekleştirmek için talimatlar, sorular - problem ifadeleri - ekranda belirir (11-14 arasındaki slaytlar). Her grubun bir temsilcisi, hesaplamaların sonuçlarını tahtaya hazırlanan bir tabloya yazar. Her gruptaki katılımcılar, sahip oldukları desenden bir koni modelini birbirine yapıştırırlar. (slayt 15)
3) Sorunun ifadesi ve çözümü.
Yalnızca tabanın yarıçapı ve koninin generatrisinin uzunluğu biliniyorsa, bir koninin yan yüzey alanı nasıl hesaplanır? (slayt 16)
Her grup gerekli ölçümleri alır ve mevcut verileri kullanarak gerekli alanı hesaplamak için bir formül çıkarmaya çalışır. Bu çalışmayı yaparken, öğrenciler koninin tabanının çevresinin sektör yayının uzunluğuna - bu koninin yan yüzeyinin gelişimine - eşit olduğunu fark etmelidir. (17-21. slaytlar) Gerekli formüller kullanılarak istenilen formül elde edilir. Öğrencilerin argümanları şuna benzemelidir:
Sektör tarama yarıçapı eşittir ben, yayın derece ölçüsü – φ. Sektörün alanı şu formülle hesaplanır: Bu sektörü sınırlayan yayın uzunluğu, R konisinin tabanının yarıçapına eşittir. Koninin tabanında yatan dairenin uzunluğu C = 2πR'dir. . Koninin yan yüzeyinin alanı, yan yüzeyinin gelişme alanına eşit olduğundan, o zaman
Böylece koninin yan yüzeyinin alanı formülle hesaplanır. S BOİ = πRl.
Bağımsız olarak elde edilen bir formül kullanılarak koni modelinin yan yüzeyinin alanı hesaplandıktan sonra, her grubun bir temsilcisi, hesaplamaların sonucunu model numaralarına göre tahtadaki bir tabloya yazar. Her satırdaki hesaplama sonuçları eşit olmalıdır. Buna dayanarak öğretmen her grubun sonuçlarının doğruluğunu belirler. Sonuç tablosu şu şekilde görünmelidir:
|
Model numarası. |
ben görev |
II görevi |
(125/3)π ~ 41,67 π |
||
(425/9)π ~ 47.22 π |
||
(539/9)π ~ 59.89 π |
Modeli parametreleri:
- l=12 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =150°
- l=15 cm, φ =120°
- l=10 cm, φ =170°
- l=14 cm, φ =110°
Hesaplamaların yaklaşımı ölçüm hatalarıyla ilişkilidir.
Sonuçlar kontrol edildikten sonra koninin yan ve toplam yüzey alanlarına ilişkin formüllerin çıktısı ekranda belirir. (22–26 arasındaki slaytlar)Öğrenciler not defterlerinde not tutarlar.
Aşama III. Çalışılan materyalin konsolidasyonu.
1) Öğrencilere sunulan Hazır çizimler üzerinde sözlü çözüme yönelik problemler.
Şekillerde gösterilen konilerin tam yüzeylerinin alanlarını bulunuz (27-32 arası slaytlar).
2) Soru: Bir dik üçgenin farklı bacaklar etrafında döndürülmesiyle oluşturulan konilerin yüzeylerinin alanları eşit midir? Öğrenciler bir hipotez kurar ve onu test ederler. Hipotez problem çözülerek test edilir ve öğrenci tarafından tahtaya yazılır.
Verilen:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;
ВАА", АВВ" – dönme cisimleri.
Bulmak: S PPK 1, S PPK 2.
Şekil 5. (slayt 33)
Çözüm:
1) R=BC = bir; S PPK 1 = S BOİ 1 + S ana 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2)R=AC = b; S PPK 2 = S BOİ 2 + S baz 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).
Eğer S PPK 1 = S PPK 2 ise, o zaman a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0.Çünkü a, b, c – pozitif sayılar (üçgenin kenarlarının uzunlukları), eşitlik yalnızca şu durumlarda doğrudur: bir =B.
Çözüm:İki koninin yüzey alanları yalnızca üçgenin kenarları eşitse eşittir. (slayt 34)
3) Problemin ders kitabından çözülmesi: No. 565.
Aşama IV. Dersi özetlemek.
Ev ödevi: paragraf 55, 56; 548 numara, 561 numara. (slayt 35)
Atanan notların ilanı.
Ders sırasında sonuçlar, ders sırasında alınan ana bilgilerin tekrarı.
Edebiyat (slayt 36)
- Geometri sınıfları 10–11 – Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ve diğerleri, M., “Prosveshchenie”, 2008.
- “Matematiksel bulmacalar ve sessiz sinema” - N.V. Udaltsova, “İlk Eylül” kütüphanesi, “MATEMATİK” serisi, sayı 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Koninin ne olduğunu biliyoruz, hadi yüzey alanını bulmaya çalışalım. Neden böyle bir sorunu çözmeniz gerekiyor? Örneğin, bir waffle külahı yapmak için ne kadar hamurun gerektiğini anlamanız mı gerekiyor? Veya bir tuğla kale çatısı yapmak için kaç tuğla gerekir?
Bir koninin yan yüzey alanının ölçülmesi basitçe yapılamaz. Ama aynı boynuzun kumaşa sarılı olduğunu hayal edelim. Bir kumaş parçasının alanını bulmak için onu kesip masanın üzerine koymanız gerekir. Sonuç düz bir şekildir, alanını bulabiliriz.
Pirinç. 1. Generatrix boyunca bir koninin kesiti
Aynısını koni için de yapalım. Örneğin yan yüzeyini herhangi bir cins boyunca "keselim" (bkz. Şekil 1).
Şimdi yan yüzeyi bir düzlem üzerine “açalım”. Bir sektör elde ediyoruz. Bu sektörün merkezi koninin tepe noktasıdır, sektörün yarıçapı koninin generatrisine eşittir ve yayının uzunluğu koninin tabanının çevresi ile çakışmaktadır. Bu sektöre koninin yan yüzeyinin gelişimi denir (bkz. Şekil 2).
Pirinç. 2. Yan yüzeyin geliştirilmesi
Pirinç. 3. Radyan cinsinden açı ölçümü
Mevcut verileri kullanarak sektörün alanını bulmaya çalışalım. Öncelikle gösterimi tanıtalım: sektörün tepe noktasındaki açının radyan cinsinden olmasına izin verin (bkz. Şekil 3).
Sorunlarda sıklıkla taramanın üst kısmındaki açıyla uğraşmak zorunda kalacağız. Şimdilik şu soruya cevap vermeye çalışalım: Bu açı 360 dereceden fazla olamaz mı? Yani taramanın kendisiyle örtüşeceği ortaya çıkmaz mı? Tabii ki değil. Bunu matematiksel olarak kanıtlayalım. Taramanın kendi üzerine "üst üste binmesine" izin verin. Bu, tarama yayının uzunluğunun yarıçaplı dairenin uzunluğundan daha büyük olduğu anlamına gelir. Ancak daha önce de belirtildiği gibi tarama yayının uzunluğu yarıçaplı dairenin uzunluğuna eşittir. Ve koninin tabanının yarıçapı elbette cinsten daha küçüktür, örneğin bir dik üçgenin kenarı hipotenüsten daha küçüktür.
O halde planimetri dersinden iki formülü hatırlayalım: yay uzunluğu. Sektör alanı: .
Bizim durumumuzda rol jeneratör tarafından oynanıyor , ve yayın uzunluğu koninin tabanının çevresine eşittir, yani. Sahibiz:
Sonunda şunu elde ederiz: .
Yan yüzey alanının yanı sıra toplam yüzey alanı da bulunabilir. Bunu yapmak için tabanın alanı yan yüzeyin alanına eklenmelidir. Ancak taban, formüle göre alanı eşit olan yarıçaplı bir dairedir.
Sonunda elimizde: , silindir tabanının yarıçapı nerede, generatrix'tir.
Verilen formülleri kullanarak birkaç problemi çözelim.
Pirinç. 4. Gerekli açı
örnek 1. Koninin yan yüzeyinin gelişimi, tepe noktasında açılı bir sektördür. Koninin yüksekliği 4 cm ve taban yarıçapı 3 cm ise bu açıyı bulun (bkz. Şekil 4).
Pirinç. 5. Koni Oluşturan Sağ Üçgen
Pisagor teoremine göre ilk eylemde jeneratörü buluyoruz: 5 cm (bkz. Şekil 5). Sonra şunu biliyoruz .
Örnek 2. Koninin eksenel kesit alanı eşittir, yüksekliği eşittir. Toplam yüzey alanını bulun (bkz. Şekil 6).
