UMK L.S. 10. sınıfta geometri dersi
MBOU Verkhlichskaya ortaokulu, Krasnogorsk bölgesi, Bryansk bölgesi
Öğretmen: Strugovets Elena Vasilyevna
Ders konusu:Teğet ve kiriş arasındaki açı.
Dersin amacı:
Planimetrinin “Çembere İlişkin Açılar” bölümündeki öğrencilerin bilgilerini sistemleştirin. Teğet ile kiriş arasındaki açıyla ilgili teoremi kanıtlayın. Okul çocuklarının sorunları çözmek için bir bilgi kompleksini kullanmaları için anlamlı ve organizasyonel koşullar yaratın.
Öğrencilerin çalışılan konuyla kişisel ve anlamsal ilişkilerini geliştirin. Kolektif ve bağımsız çalışmanın oluşumunu teşvik etmek, kişinin düşüncelerini açık ve net bir şekilde ifade etme yeteneğini geliştirmek.
Ortak yaratıcı çalışma yoluyla öğrencilere konuya ilgi kazandırmak; Geometrik yapıları ve matematiksel gösterimleri doğru ve yetkin bir şekilde gerçekleştirme yeteneğini geliştirmek.
Teçhizat:
Tematik tablolar.
Testler ve cevap kartları.
Dersin ilerleyişi.
Organizasyon anı. (1 dakika)
Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol edin ve devamsızlık yapanları işaretleyin.
Bir hedef belirlemek. (2 dakika)
Defterinize dersin tarihini ve konusunu yazın. Dersimizde “Çembere İlişkin Açılar” konusuna ilişkin teorik bilgileri gözden geçireceğiz. Teğet ile kiriş arasındaki açıyla ilgili teoremi kanıtlayalım ve bunu çeşitli türdeki problemlerin çözümüne nasıl uygulayacağımızı öğrenelim.
Bilginin güncellenmesi. (7 dakika)
Dikte (ardından test edilir). Okuduğunuz cümleyi tamamlayın.
Tepe noktası daire üzerinde bulunan açıya... (yazılı) denir.
Bir dairenin merkezinde köşesi olan bir açı ... (merkezi).
Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına... (akor) adı verilir.
Daire kirişlerinin en büyüğü ... (çap).
Yayın ölçüsü ... (merkez açı) ölçüsüne eşittir.
Çemberle tek bir ortak noktası olan doğruya...(teğet) denir.
Çembere teğet ve temas noktasına çizilen yarıçap karşılıklı olarak... (dik)
Bir daire ile iki ortak noktası olan düz bir çizgiye... (sekant) denir.
Çapın kapsadığı tüm yazılı açılar ... (sağda)
Bir ortak noktadan çizilen iki teğetin oluşturduğu açıya ... (sınırlandırılmış) denir.
2) Problemleri çizime göre çözmek.
3) Problem çözme
AOB merkez açısı, AB yayının gördüğü yazılı açıdan 30° daha büyüktür. Bu açıların her birini bulun.
Cevap.30 0 ; 60 0 .
Cevap.50 0 .
IV . Teoremin kanıtı.(5dk)
Yazılı bir açının, üzerinde durduğu yayın yarısı kadar ölçüldüğünü biliyoruz. Teğet ile kiriş arasındaki açıyla ilgili teoremi kanıtlayalım.
Teorem.
Teğet ile temas noktasından geçen kiriş arasındaki açı, içinde bulunan yayın yarısı kadar ölçülür.
Kanıt.
Şekil 1
İzin vermek AB- verilen akor, SS 1
-
bir noktadan geçen teğet A. Eğer AB-çapı (Şekil 1), daha sonra açının içine alınır SEN(ve ayrıca
açı SEN 1
)
yay bir yarım dairedir. Öte yandan açılar SEN Ve SEN 1
bu durumda düzdürler, dolayısıyla teorem doğrudur.
Şekil 2
Şimdi akoru bırakalımAB
bir çap değildir. Kesinlik için, noktaların olduğunu varsayacağız.İLE Ve İLE
1
teğet üzerinde açı olacak şekilde seçilirSAV-
keskindir ve içinde bulunan yayın boyutunu a harfiyle belirtir (Şekil 2). Çapını çizelimA
D
ve üçgene dikkat edinAB
D
dikdörtgen yaniA
D
İÇİNDE= 90° - D
AB
=
SEN,Çünkü açı ABB yazılı, ardından A
D
İÇİNDE= ve dolayısıyla SEN= . Yani açı SEN
teğetler arasındaklima ve akor AB
içerdiği yayın yarısı kadar ölçülür.
Benzer bir ifade açı için de geçerlidirSEN
1
.
aslında köşelerSEN Ve SEN
1
-
bu nedenle bitişikSEN
1
= 180-=. Öte yandan, (360° - ) yayın büyüklüğüdürA
D
İÇİNDE,
köşenin içinde kapalıSEN
1
.
Teorem kanıtlandı.
2. Eğer
VI. Tasarım problemlerini çözme. (7 dakika)
1. Bir noktadan geçerek D , yarıçap üzerinde yatıyorOA merkezi olan daireHAKKINDA , bir akor çizilirGüneş , dikOA ve nokta boyunca İÇİNDE OA noktasında kesişen daireye bir teğet çizilire . Işın olduğunu kanıtlaVA- açıortay.
Kanıt.
ABE=AB – teoreme göreteğet ve kiriş arasındaki açı hakkında. 4”
“3”
“2”
Açı türlerinin tanımlarını biliyorum
Problem çözerken açıları bulabilirim
Teğet ve kiriş arasındaki açıya ilişkin teorem.
Teoremin kanıtı açıktır
Problemleri çözmek için teoremi uygularım
UMK L.S. 10. sınıfta geometri dersi
MBOU Verkhlichskaya ortaokulu, Krasnogorsk bölgesi, Bryansk bölgesi
Öğretmen: Strugovets Elena Vasilyevna
Ders konusu:Teğet ve kiriş arasındaki açı.
Dersin amacı:Teğet ve kiriş arasındaki açıyla ilgili teoremi kanıtlayın. Öğrencilerin öğrenilen teoremi problem çözerken uygulama yeteneğini geliştirmelerine yardımcı olun.
Görevler:
Planimetrinin “Çembere İlişkin Açılar” bölümünde öğrencilerin bilgilerini sistematik hale getirin Okul çocuklarının problemleri çözmek için bir bilgi kompleksini kullanmaları için temel ve organizasyonel koşullar yaratın.
Öğrencilerin çalışılan konuyla kişisel ve anlamsal ilişkilerini geliştirin. Kolektif ve bağımsız çalışmanın oluşumunu teşvik etmek, kişinin düşüncelerini açık ve net bir şekilde ifade etme yeteneğini geliştirmek.
Ortak yaratıcı çalışma yoluyla öğrencilere konuya ilgi kazandırmak; Geometrik yapıları ve matematiksel gösterimleri doğru ve yetkin bir şekilde gerçekleştirme yeteneğini geliştirmek.
Teçhizat:
Tematik tablolar, sunum.
Testler ve cevap kartları.
Dersin ilerleyişi.
Organizasyon anı. (1 dakika)
Öğrencilerin derse hazır olup olmadıklarını kontrol edin ve devamsızlık yapanları işaretleyin.
Bir hedef belirlemek. (2 dakika)
Defterinize dersin tarihini ve konusunu yazın. Dersimizde “Çembere İlişkin Açılar” konusuna ilişkin teorik bilgileri gözden geçireceğiz. Teğet ile kiriş arasındaki açıyla ilgili teoremi kanıtlayalım ve bunu çeşitli türdeki problemlerin çözümüne nasıl uygulayacağımızı öğrenelim.
Bilginin güncellenmesi. (7 dakika)
Dikte (ardından test edilir).
Okuduğunuz cümleyi tamamlayın.
Tepe noktası daire üzerinde bulunan açıya... (yazılı) denir.
Bir dairenin merkezinde köşesi olan bir açı ... (merkezi).
Bir daire üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına... (akor) adı verilir.
Daire kirişlerinin en büyüğü ... (çap).
Yayın ölçüsü ... (merkez açı) ölçüsüne eşittir.
Çemberle tek bir ortak noktası olan doğruya...(teğet) denir.
Çembere teğet ve temas noktasına çizilen yarıçap karşılıklı olarak... (dik)
Bir daire ile iki ortak noktası olan düz bir çizgiye... (sekant) denir.
Çapa dayalı tüm yazılı açılar ... (sağda)
2) Problemleri çizime göre çözmek.
3) Problem çözme
Bir ortak noktadan çizilen iki teğetin oluşturduğu açıya ... (sınırlandırılmış) denir.
Cevap.30 0 ; 60 0 .
Cevap.50 0 .
IV . AOB merkez açısı, AB yayının gördüğü yazılı açıdan 30° daha büyüktür. Bu açıların her birini bulun..(5dk)
Teoremin kanıtı
Teorem.
Yazılı bir açının, üzerinde durduğu yayın yarısı kadar ölçüldüğünü biliyoruz. Teğet ile kiriş arasındaki açıyla ilgili teoremi kanıtlayalım.
Kanıt.
Şekil 1
İzin vermek AB- verilen akor, SS 1
-
Teğet ile temas noktasından geçen kiriş arasındaki açı, içinde bulunan yayın yarısı kadar ölçülür. A. Eğer AB- bir noktadan geçen teğet SENçapı (Şekil 1), daha sonra açının içine alınır
açı SEN 1
)
(ve ayrıca SEN Ve SEN 1
yay bir yarım dairedir. Öte yandan açılar
Şekil 2
Şimdi akoru bırakalımAB
bu durumda düzdürler, dolayısıyla teorem doğrudur.İLE Ve İLE
1
bir çap değildir. Kesinlik için, noktaların olduğunu varsayacağız.SAV-
teğet üzerinde açı olacak şekilde seçilirA
D
ve üçgene dikkat edinAB
D
dikdörtgen yaniA
D
İÇİNDE= 90° - D
AB
=
SEN,Çünkü açı ABB yazılı, ardından A
D
İÇİNDE keskindir ve içinde bulunan yayın boyutunu a harfiyle belirtir (Şekil 2). Çapını çizelim SEN= ve dolayısıyla SEN
= . Yani açıklima teğetler arasında AB
ve akor
içerdiği yayın yarısı kadar ölçülür.SEN
1
.
aslında köşelerSEN Ve SEN
1
-
bu nedenle bitişikSEN
1
Benzer bir ifade açı için de geçerlidirA
D
İÇİNDE,
köşenin içinde kapalıSEN
1
.
Teorem kanıtlandı.
= 180-=. Öte yandan, (360° - ) yayın büyüklüğüdür
Çizimleri kullanarak problemleri çözme.
(5 dakika)
VI. 1. Eğer
1. Bir noktadan geçerek D 2. EğerOA Tasarım problemlerini çözme. (7 dakika)HAKKINDA , yarıçap üzerinde yatıyorGüneş merkezi olan daireOA, bir akor çizilir İÇİNDE OA noktasında kesişen daireye bir teğet çizilire . Işın olduğunu kanıtlaVA- açıortay.
Kanıt.
ABE=AB – teoreme göreteğet ve kiriş arasındaki açı hakkında.
ABC=AC – yazılı açı.
AB=AC – eşit akorlar eşit yayları temsil eder ve ABC ikizkenar olduğundan AB ve AC akorları eşittir. Bu nedenle ABE = ABC, ışınVA- açıortay.
VII. Ev ödevi. ( 3 dakika)
1. ABC A=32 üçgeninde 0 ve C=24 0 . Merkezi B noktasında olan bir çember A noktasından geçer, AC ile M noktasında, BC ile de kesişirN. A neye eşittir? N M?
2. Bir teoremi kanıtlayabilecektir.
VIII. Özetle. Dersin kendi kendini analizi. (3 dakika)
Öğrencilerin sınıftaki çalışmalarının analizi. İşaretler yapmak.
Edinilen bilgiye dayalı öz analiz
Öğrenci adı: _______________________________________
|
Derste hangi beceriler geliştirildi? |
“5” |
“4” |
“3” |
“2” |
|
|
Açı türlerinin tanımlarını biliyorum |
|||||
|
Problem çözerken açıları bulabilirim |
|||||
|
Teğet ve kiriş arasındaki açıya ilişkin teorem. |
|||||
|
Teoremin kanıtı açıktır |
|||||
|
Problemleri çözmek için teoremi uygularım |
Gizliliğinizin korunması bizim için önemlidir. Bu nedenle bilgilerinizi nasıl kullandığımızı ve sakladığımızı açıklayan bir Gizlilik Politikası geliştirdik. Lütfen gizlilik uygulamalarımızı inceleyin ve herhangi bir sorunuz varsa bize bildirin.
Kişisel bilgilerin toplanması ve kullanılması
Kişisel bilgiler, belirli bir kişiyi tanımlamak veya onunla iletişim kurmak için kullanılabilecek verileri ifade eder.
Bizimle iletişime geçtiğinizde istediğiniz zaman kişisel bilgilerinizi vermeniz istenebilir.
Aşağıda toplayabileceğimiz kişisel bilgi türlerine ve bu bilgileri nasıl kullanabileceğimize dair bazı örnekler verilmiştir.
Hangi kişisel bilgileri topluyoruz:
- Siteye bir başvuru gönderdiğinizde adınız, telefon numaranız, e-posta adresiniz vb. dahil olmak üzere çeşitli bilgiler toplayabiliriz.
Kişisel bilgilerinizi nasıl kullanıyoruz:
- Topladığımız kişisel bilgiler, benzersiz teklifler, promosyonlar, diğer etkinlikler ve gelecek etkinlikler konusunda sizinle iletişim kurmamıza olanak tanır.
- Zaman zaman kişisel bilgilerinizi önemli bildirimler ve iletişimler göndermek için kullanabiliriz.
- Kişisel bilgileri, sunduğumuz hizmetleri geliştirmek ve size hizmetlerimizle ilgili tavsiyeler sunmak amacıyla denetimler, veri analizi ve çeşitli araştırmalar yapmak gibi şirket içi amaçlarla da kullanabiliriz.
- Bir ödül çekilişine, yarışmaya veya benzer bir promosyona katılırsanız, sağladığınız bilgileri bu tür programları yönetmek için kullanabiliriz.
Bilgilerin üçüncü şahıslara açıklanması
Sizden aldığımız bilgileri üçüncü şahıslara açıklamıyoruz.
İstisnalar:
- Gerekirse - yasaya, adli prosedüre uygun olarak, yasal işlemlerde ve/veya kamunun talepleri veya Rusya Federasyonu topraklarındaki hükümet yetkililerinin talepleri temelinde - kişisel bilgilerinizi ifşa etmek. Ayrıca, bu tür bir açıklamanın güvenlik, kanun yaptırımı veya diğer kamu önemi amaçları açısından gerekli veya uygun olduğunu tespit edersek, hakkınızdaki bilgileri de açıklayabiliriz.
- Yeniden yapılanma, birleşme veya satış durumunda topladığımız kişisel bilgileri ilgili halef üçüncü tarafa aktarabiliriz.
Kişisel bilgilerin korunması
Kişisel bilgilerinizi kayıp, hırsızlık ve kötüye kullanımın yanı sıra yetkisiz erişime, ifşa edilmeye, değiştirilmeye ve imhaya karşı korumak için idari, teknik ve fiziksel önlemler alıyoruz.
Şirket düzeyinde gizliliğinize saygı duymak
Kişisel bilgilerinizin güvende olduğundan emin olmak için gizlilik ve güvenlik standartlarını çalışanlarımıza aktarıyor ve gizlilik uygulamalarını sıkı bir şekilde uyguluyoruz.
Bir daireye teğet. Sevgili dostlar! Matematikte Birleşik Devlet Sınavı için görev veritabanı, koşulun bir teğet ile ilgili olduğu ve bir açı hesaplama sorusunu gündeme getirdiği bir grup problemi içerir. Bu görevler son derece basittir. Küçük bir teori:
Bir daireye teğet nedir?
Bir teğetin temel bir özelliğini hatırlamak önemlidir:
Sunulan problemlerde açılarla ilgili iki özellik daha kullanılmaktadır:
1. Bir dörtgenin açılarının toplamı 360°'dir, daha fazla ayrıntı.
2. Bir dik üçgenin dar açılarının toplamı 90 0'dır.
Görevleri ele alalım:
27879. Uçlardan A Ve B 62 0 teğetlik bir çemberin yayları çiziliyor AC Ve M.Ö.. Açıyı bulun ACB. Cevabınızı derece cinsinden verin.
AB yayının derece ölçüsünün 62 dereceye karşılık geldiği, yani AOB açısının 62 dereceye eşit olduğu söylenir. 0 .
İlk yol.
Bir dörtgende açıların toplamının 360° olduğu bilinmektedir.
İkinci yol.
ABC üçgeninde ABC ve BAC açılarını bulabiliriz. Teğet özelliğini kullanalım.
BC bir teğet olduğundan, OBC açısı 90 0'a eşittir, bunun anlamı:
Aynı şekilde
Bir ikizkenar üçgende AOB:
Araç
Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoreme göre:
Cevap: 118 0
27880. Teğetler C.A. Ve C.B. daireye bir açı oluşturmak ACB 122 0'a eşit. Küçük yayın büyüklüğünü bulun AB, teğet noktalarla daraltılır. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Görev bir öncekinin tam tersidir. AOB açısını bulmak gerekir.
BC ve AC teğet olduğundan, teğet özelliğine göre:
Bir dörtgende açıların toplamının 360 olduğu bilinmektedir. 0 .
Dörtgen OASV'de üç açı biliyoruz, dördüncüsünü bulabiliriz:
Cevap: 58
27882. Açı ÖKO 28 0'a eşittir, burada O- dairenin merkezi. Onun tarafı C.A. daireye dokunur. Küçük yayın büyüklüğünü bulun AB Bu açının içerdiği çember. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Yayın derece değeri AOS açısına karşılık gelir. Yani sorun, OCA dik üçgeninde AOC açısını bulmakta yatıyor. AC bir teğet olduğundan üçgen dikdörtgendir ve teğet ile teğet noktasına çizilen yarıçap arasındaki açı 90 derecedir.
Dik üçgenin özelliğine göre dar açılarının toplamı 90 0'a eşittir, bu şu anlama gelir:
Cevap: 62
27883. Açıyı bulun ÖKO onun tarafı ise C.A.çembere dokunuyor O- dairenin merkezi ve ana yay reklam bu açının içerdiği daire 116 0'a eşittir. Cevabınızı derece cinsinden verin.
Ark olduğu söyleniyor reklam ASO açısının içine alınan daire 116 0'a eşittir, yani DOA açısı 116 0'a eşittir. OCA üçgeni dikdörtgendir.
AOC ve DOA açıları bitişiktir, yani toplamları 180 0'a eşittir, bu şu anlama gelir:
Gerekli açı:
Cevap: 26
\[(\Large(\text(Merkez ve yazılı açılar))))\]
Tanımlar
Merkezi açı, köşesi çemberin merkezinde bulunan açıdır.
Yazılı açı, tepe noktası daire üzerinde bulunan açıdır.
Bir daire yayının derece ölçüsü, onu çevreleyen merkez açının derece ölçüsüdür.
Teorem
Yazılı bir açının derece ölçüsü, üzerinde durduğu yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt
İspatı iki aşamada gerçekleştireceğiz: İlk olarak, yazılı açının kenarlarından birinin çap içermesi durumu için ifadenin geçerliliğini ispatlayacağız. \(B\) noktası yazılı açının \(ABC\) tepe noktası ve \(BC\) dairenin çapı olsun:
\(AOB\) üçgeni ikizkenardır, \(AO = OB\) , \(\angle AOC\) dıştır, o halde \(\angle AOC = \angle OAB + \angle ABO = 2\angle ABC\), Neresi \(\angle ABC = 0,5\cdot\angle AOC = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AC)\).
Şimdi keyfi bir yazılı açı \(ABC\) düşünün. Dairenin çapını \(BD\) yazılı açının tepe noktasından çizelim. İki olası durum vardır:
1) çap, açıyı iki açıya böler \(\angle ABD, \angle CBD\) (teorem yukarıda kanıtlandığı gibi her biri için doğrudur, dolayısıyla bunların toplamı olan orijinal açı için de geçerlidir) ikidir ve dolayısıyla dayandıkları yayların toplamının yarısına, yani dayandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. 1.
2) çap, açıyı iki açıya bölmediyse, kenarları çapı içeren iki yeni yazılı açımız daha var \(\angle ABD, \angle CBD\), bu nedenle teorem onlar için doğrudur, o zaman orijinal açı için de geçerlidir (ki bu iki açının farkına eşittir, yani üzerinde durdukları yayların farkının yarısına, yani dayandığı yayın yarısına eşittir). Pirinç. 2.
Sonuçlar
1. Aynı yayı gören yazılı açılar eşittir.
2. Yarım dairenin çevrelediği yazılı açı dik açıdır.
3. Yazılı açı, aynı yayın gördüğü merkez açının yarısına eşittir.
\[(\Large(\text(Çembere teğet))))\]
Tanımlar
Bir çizginin ve bir dairenin üç tür göreli konumu vardır:
1) \(a\) düz çizgisi daireyi iki noktada kesiyor. Böyle bir çizgiye sekant denir. Bu durumda dairenin merkezinden düz çizgiye olan uzaklık \(d\) dairenin yarıçapından \(R\) küçüktür (Şekil 3).
2) düz çizgi \(b\) daireyi bir noktada kesiyor. Böyle bir doğruya teğet denir ve bunların ortak noktası \(B\)'ye teğet noktası denir. Bu durumda \(d=R\) (Şekil 4).
Teorem
1. Bir daireye çizilen teğet, teğet noktasına çizilen yarıçapa diktir.
2. Bir doğru, bir dairenin yarıçapının ucundan geçiyorsa ve bu yarıçapa dikse, o zaman daireye teğettir.
Sonuçlar
Bir noktadan çembere çizilen teğet doğru parçaları eşittir.
Kanıt
\(K\) noktasından çembere iki teğet \(KA\) ve \(KB\) çizelim:
Bu, \(OA\perp KA, OB\perp KB\)'nin yarıçaplara benzediği anlamına gelir. Dik üçgenler \(\triangle KAO\) ve \(\triangle KBO\) kenar ve hipotenüs bakımından eşittir, dolayısıyla \(KA=KB\) .
Sonuçlar
\(O\) dairesinin merkezi, aynı \(K\) noktasından çizilen iki teğetin oluşturduğu \(AKB\) açısının ortayında yer alır.
\[(\Large(\text(Açılarla ilgili Teoremler))))\]
Sekantlar arasındaki açıya ilişkin teorem
Aynı noktadan çizilen iki kesant arasındaki açı, kestikleri büyük ve küçük yayların derece ölçülerinin yarı farkına eşittir.
Kanıt
Şekilde gösterildiği gibi iki kesanın çizildiği nokta \(M\) olsun:
Hadi bunu gösterelim \(\angle DMB = \dfrac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\).
\(\angle DAB\) \(MAD\) üçgeninin dış açısıdır, o zaman \(\angle DAB = \angle DMB + \angle MDA\), Neresi \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA\) ancak \(\angle DAB\) ve \(\angle MDA\) açıları yazılıdır, o zaman \(\angle DMB = \angle DAB - \angle MDA = \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(BD) - \frac(1)(2)\buildrel\smile\over(CA) = \frac(1)(2)(\buildrel\smile\over(BD) - \buildrel\smile\over(CA))\) Kanıtlanması gereken şey buydu.
Kesişen akorlar arasındaki açı ile ilgili teorem
Kesişen iki kiriş arasındaki açı, kestikleri yayların derece ölçülerinin toplamının yarısına eşittir: \[\angle CMD=\dfrac12\left(\buildrel\smile\over(AB)+\buildrel\smile\over(CD)\right)\]
Kanıt
\(\angle BMA = \angle CMD\) dikey olarak.
\(AMD\) üçgeninden: \(\angle AMD = 180^\circ - \angle BDA - \angle CAD = 180^\circ - \frac12\buildrel\smile\over(AB) - \frac12\buildrel\smile\over(CD)\).
Ancak \(\angle AMD = 180^\circ - \angle CMD\) bundan şu sonuca varıyoruz \[\angle CMD = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB) + \frac12\cdot\buildrel\smile\over(CD) = \frac12(\buildrel\smile\over(AB) + \buildrel\ gülümse\üzerine(CD)).\]
Akor ve teğet arasındaki açıya ilişkin teorem
Teğet ile teğet noktasından geçen kiriş arasındaki açı, kirişin gördüğü yayın derece ölçüsünün yarısına eşittir.
Kanıt
\(a\) düz çizgisinin \(A\) noktasında daireye değmesine izin verin, \(AB\) bu dairenin kirişi, \(O\) onun merkezidir. \(OB\)'yi içeren doğrunun \(a\)'yı \(M\) noktasında kesmesine izin verin. Hadi bunu kanıtlayalım \(\angle BAM = \frac12\cdot \buildrel\smile\over(AB)\).
\(\angle OAB = \alpha\) olarak gösterelim. \(OA\) ve \(OB\) yarıçap olduğundan, \(OA = OB\) ve \(\angle OBA = \angle OAB = \alpha\). Böylece, \(\buildrel\smile\over(AB) = \angle AOB = 180^\circ - 2\alpha = 2(90^\circ - \alpha)\).
\(OA\) teğet noktaya çizilen yarıçap olduğundan, o zaman \(OA\perp a\), yani \(\angle OAM = 90^\circ\), dolayısıyla, \(\angle BAM = 90^\circ - \angle OAB = 90^\circ - \alpha = \frac12\cdot\buildrel\smile\over(AB)\).
Eşit akorlarla çevrelenen yaylar üzerine teorem
Eşit akorlar, yarım dairelerden daha küçük eşit yaylara karşılık gelir.
Ve bunun tersi de geçerlidir: eşit yaylar, eşit akorlarla desteklenir.
Kanıt
1) \(AB=CD\) olsun. Yayın yarım dairelerinin daha küçük olduğunu kanıtlayalım.
Bu nedenle üç tarafta \(\angle AOB=\angle COD\) . Ama çünkü \(\angle AOB, \angle COD\) - yaylar tarafından desteklenen merkezi açılar \(\buildrel\smile\over(AB), \buildrel\smile\over(CD)\) buna göre, o zaman \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\).
2) Eğer \(\buildrel\smile\over(AB)=\buildrel\smile\over(CD)\), O \(\üçgen AOB=\üçgen COD\) iki tarafta \(AO=BO=CO=DO\) ve aralarındaki açı \(\angle AOB=\angle COD\) . Bu nedenle ve \(AB=CD\) .
Teorem
Yarıçap akoru ikiye bölüyorsa, o zaman ona diktir.
Bunun tersi de doğrudur: eğer yarıçap akora dikse, o zaman kesişme noktasında onu ikiye böler.
Kanıt
1) \(AN=NB\) olsun. \(OQ\perp AB\) olduğunu kanıtlayalım.
\(\triangle AOB\) düşünün: ikizkenardır, çünkü \(OA=OB\) – dairenin yarıçapı. Çünkü \(ON\) tabana çizilen ortancadır, bu durumda aynı zamanda yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\perp AB\) .
2) \(OQ\perp AB\) olsun. \(AN=NB\) olduğunu kanıtlayalım.
Benzer şekilde, \(\triangle AOB\) ikizkenardır, \(ON\) yüksekliktir, dolayısıyla \(ON\) ortancadır. Bu nedenle, \(AN=NB\) .
\[(\Large(\text(Doğru parçaların uzunluklarıyla ilgili teoremler))))\]
Akor bölümlerinin çarpımı üzerine teorem
Bir dairenin iki kirişi kesişirse, bir akorun bölümlerinin çarpımı diğer akorun bölümlerinin çarpımına eşittir.
Kanıt
\(AB\) ve \(CD\) akorlarının \(E\) noktasında kesişmesine izin verin.
\(ADE\) ve \(CBE\) üçgenlerini düşünün. Bu üçgenlerde, \(1\) ve \(2\) açıları eşittir, çünkü bunlar yazılıdır ve aynı yay üzerinde \(BD\) dururlar ve \(3\) ve \(4\) açıları eşittir dikey olarak. \(ADE\) ve \(CBE\) üçgenleri benzerdir (üçgenlerin benzerliğine ilişkin ilk kritere göre).
Daha sonra \(\dfrac(AE)(EC) = \dfrac(DE)(BE)\), buradan \(AE\cdot BE = CE\cdot DE\) .
Teğet ve sekant teoremi
Bir teğet parçanın karesi, bir sekant ile onun dış kısmının çarpımına eşittir.
Kanıt
Teğetin \(M\) noktasından geçmesine izin verin ve daireye \(A\) noktasında değsin. Kesenin \(M\) noktasından geçmesine ve daireyi \(B\) ve \(C\) noktalarında kesmesine izin verin, böylece \(MB)< MC\) . Покажем, что \(MB\cdot MC = MA^2\) .
\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerini düşünün: \(\angle M\) ortaktır, \(\açı BCA = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB)\). Bir teğet ile bir sekant arasındaki açı hakkındaki teoreme göre, \(\angle BAM = 0,5\cdot\buildrel\smile\over(AB) = \angle BCA\). Dolayısıyla \(MBA\) ve \(MCA\) üçgenleri iki açıda benzerdir.
\(MBA\) ve \(MCA\) üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: \(\dfrac(MB)(MA) = \dfrac(MA)(MC)\), \(MB\cdot MC = MA^2\) ile eşdeğerdir.
Sonuçlar
\(O\) noktasından dış kısmı tarafından çizilen bir kesenin çarpımı, \(O\) noktasından çizilen kesenin seçimine bağlı değildir.