Trigonometrinin temel formülleri. Ders No.1
Trigonometride kullanılan formüllerin sayısı oldukça fazladır ("formüller" derken tanımları kastetmiyoruz (örneğin, tgx=sinx/cosx), sin2x=2sinxcosx gibi özdeş eşitlikleri kastediyoruz). Bu formül bolluğunda gezinmeyi kolaylaştırmak ve öğrencileri anlamsız sıkıştırmalarla yormamak için, aralarından en önemlilerini vurgulamak gerekir. Bunlardan çok azı var - sadece üç. Diğerlerinin tümü bu üç formülden kaynaklanmaktadır. Bu, toplamın ve farkın sinüs ve kosinüsü için temel trigonometrik özdeşlik ve formüllerdir:
Sin 2 x+cos 2 x=1 (1)
Sin(x±y)=sinxcosy±sinycosx (2)
Cos(x±y)=cosxcosy±sinxsiny (3)
Bu üç formülden sinüs ve kosinüsün tüm özellikleri kesinlikle çıkar (periyodiklik, periyot değeri, sinüs değeri 30 0 = π/6=1/2, vb.). Bu açıdan bakıldığında, pek çok resmi olarak gereksiz, fazlalık bilgi ortaya çıkar. okul müfredatında kullanılır. Yani “1-3” formülleri trigonometrik krallığın yöneticileridir. Sonuç formüllerine geçelim:
1) Çoklu açıların sinüsleri ve kosinüsleri
(2) ve (3) yerine x=y değerini koyarsak şunu elde ederiz:
Sin2x=2sinxcosх; sin0=sinxcosx-sinxcosx=0
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x; cos0=cos 2 x+sin 2 x=1
sin0=0; cos0=1, sinüs ve kosinüsün geometrik yorumuna başvurmadan. Benzer şekilde "2-3" formüllerini iki kez uygulayarak sin3x için ifadeler elde edebiliriz; cos3x; sin4x; cos4x vb.
Sin3x = sin(2x+x) = sin2xcosx+sinxcos2x = 2sinxcos 2 x+sinx(cos 2 x-sin 2 x) = 2sinx(1-sin 2 x)+sinx(1-2sin 2 x) = 3sinx-4sin 3 X
Öğrenciler için görev: cos3x için benzer ifadeler türetme; sin4x; cos4x
2) Derece azaltma formülleri
Sinüs ve kosinüsün kuvvetlerini kosinüsler ve çoklu açıların sinüsleri cinsinden ifade ederek ters problemi çözün.
Örneğin: cos2x=cos 2 x-sin 2 x=2cos 2 x-1, dolayısıyla: cos 2 x=1/2+cos2x/2
Cos2x=cos 2 x-sin 2 x=1-2sin 2 x, dolayısıyla: sin 2 x=1/2-cos2x/2
Bu formüller çok sık kullanılmaktadır. Bunları daha iyi anlamak için sol ve sağ taraflarının grafiklerini çizmenizi tavsiye ederim. Kosinüs ve sinüs karelerinin grafikleri “y=1/2” düz çizgisinin grafiğini “sarar” (bu, cos 2 x ve sin 2 x'in birçok periyottaki ortalama değeridir). Bu durumda salınım frekansı orijinaline göre iki katına çıkar (cos 2 x sin 2 x fonksiyonlarının periyodu 2π /2=π'ye eşittir) ve salınımların genliği yarıya iner (cos2x'ten önceki katsayı 1/2) .
Problem: Sin 3 x'i ifade edin; çünkü 3x; günah 4x; cos 4 x kosinüsler ve çoklu açıların sinüsleri boyunca.
3) Azaltma formülleri
Trigonometrik fonksiyonların periyodikliğini kullanarak, değerlerinin trigonometrik dairenin herhangi bir çeyreğinde ilk çeyrekteki değerlerden hesaplanmasına olanak tanırlar. İndirgenme formülleri “ana” formüllerin (2-3) çok özel halleridir. Örneğin: cos(x+π/2)=cosxcos π/2-sinxsin π/2=cosx*0-sinx*1=sinx.
Yani Cos(x+ π/2) =sinx
Görev: sin(x+ π/2) için indirgeme formüllerinin türetilmesi; cos(x+ 3 π/2)
4) Kosinüs ve sinüsün toplamını veya farkını bir ürüne veya tam tersini dönüştüren formüller.
İki açının toplamının sinüsü ve farkının formülünü yazalım:
Sin(x+y) = sinxcosy+sinycosx (1)
Sin(x-y) = sinxcosy-sinycosx (2)
Bu eşitliklerin sol ve sağ taraflarını toplayalım:
Sin(x+y) + sin(x-y) = sinxcosy + sinycosx + sinxcosy – sinycosx
Benzer terimler iptal edilir, dolayısıyla:
Sin(x+y) +sin(x-y) = 2sinxcosy (*)
a) Sağdan sola (*) okurken şunu elde ederiz:
Sinxcosy= 1/2(sin(x+y) + sin(x-y)) (4)
İki açının sinüslerinin çarpımı, bu açıların toplamı ve farkının sinüsleri toplamının yarısına eşittir.
b) Soldan sağa (*) okurken şunu belirtmek uygundur:
x-y = c. Buradan bulacağız X Ve en başından sonuna kadar R Ve İle Bu iki eşitliğin sol ve sağ taraflarını toplayıp çıkararak:
x = (p+c)/2, y = (p-c)/2, türetilmiş yeni değişkenlerin (x+y) ve (x-y) yerine (*) yerine konulması R Ve İle, çarpımdaki sinüslerin toplamını hayal edelim:
sinp + sinc =2sin(p+c)/2cos(p-c)/2 (5)
Dolayısıyla, toplamın sinüsü ve açılar farkı için temel formülün doğrudan sonucu, iki yeni ilişki (4) ve (5) olarak ortaya çıkıyor.
c) şimdi (1) ve (2) eşitliğinin sol ve sağ taraflarını toplamak yerine bunları birbirinden çıkaracağız:
sin(x+y) – sin(x-y) = 2sinycosx (6)
Bu özdeşliği sağdan sola okumak (4)'e benzer bir formüle yol açar, bunun ilginç olmadığı ortaya çıkar, çünkü sinüs ve kosinüs çarpımlarının sinüs toplamına nasıl ayrıştırılacağını zaten biliyoruz (bkz. (4)). (6)'yı soldan sağa okumak, sinüs farkını bir çarpıma indirgeyen bir formül verir:
sinp – sinc = 2sin((p-c)/2) * cos((p+c)/2) (7)
Yani sin (x±y) = sinxcosy±sinycosx temel özdeşliğinden üç yeni (4), (5), (7) elde ettik.
Başka bir temel özdeşlik cos (x±y) = cosxcosy±sinxsiny ile yapılan benzer çalışma zaten dört yeni özdeşliğe yol açıyor:
Cosxcosy = ½ (cos(x+y) + cos (x-y)); cosp + cosc = 2cos((p+c)/2)cos((p-c)/2);
Sinxsiniy = ½ (cos(x-y) – cos(x+y)); cosp-cosc = -2sin((p-c)/2)sin((p+c)/2)
Görev: Sinüs ve kosinüs toplamını bir ürüne dönüştürün:
Sinx +rahat = ? Çözüm: Formülü türetmemeye çalışırsanız ve hemen bazı trigonometrik formüller tablosundaki cevaba bakarsanız, hazır bir sonuç bulamayabilirsiniz. Öğrenciler, sinx+cosy = ... için başka bir formülü ezberlemeye ve tabloya girmeye gerek olmadığını anlamalıdır, çünkü herhangi bir kosinüs sinüs olarak temsil edilebilir ve bunun tersi olarak indirgeme formülleri kullanılabilir, örneğin: sinx = cos ( π/2 – x), rahat = sin (π/2 – y). Dolayısıyla: sinx+cosy = sinx + sin (π/2 – y) = 2sin ((x+π/2 – y)/2)cos((x - π/2 + y)/2.
Temel trigonometri formülleri, temel trigonometrik fonksiyonlar arasında bağlantı kuran formüllerdir. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant birçok ilişkiyle birbirine bağlıdır. Aşağıda ana trigonometrik formülleri sunuyoruz ve kolaylık olması açısından bunları amaçlarına göre gruplandıracağız. Bu formülleri kullanarak standart bir trigonometri kursundaki hemen hemen her problemi çözebilirsiniz. Aşağıda, ayrı makalelerde tartışılacak olan sonuçların değil, yalnızca formüllerin kendilerinin olduğunu hemen not edelim.
Trigonometrinin temel kimlikleri
Trigonometrik kimlikler bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bir ilişki sağlayarak bir fonksiyonun diğerine göre ifade edilmesine olanak tanır.
Trigonometrik kimlikler
sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 a
Bu kimlikler doğrudan birim çemberin sinüs (sin), kosinüs (cos), tanjant (tg) ve kotanjant (ctg) tanımlarından kaynaklanır.
Azaltma formülleri
Azaltma formülleri, keyfi ve keyfi olarak büyük açılarla çalışmaktan 0 ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçmenize olanak tanır.
Azaltma formülleri
sin α + 2 π z = sin α , çünkü α + 2 π z = çünkü α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , çünkü - α + 2 π z = çünkü α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - çünkü α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - çünkü α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - çünkü α , çünkü 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α, c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
İndirgeme formülleri trigonometrik fonksiyonların periyodikliğinin bir sonucudur.
Trigonometrik toplama formülleri
Trigonometrideki toplama formülleri, açıların toplamının veya farkının trigonometrik fonksiyonunu bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade etmenizi sağlar.
Trigonometrik toplama formülleri
sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β
Toplama formüllerine dayanarak çoklu açılar için trigonometrik formüller türetilir.
Çoklu açı formülleri: ikili, üçlü vb.
Çift ve üçlü açı formüllerigünah 2 α = 2 · sin α · çünkü α çünkü 2 α = cos 2 α - sin 2 α, cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α, cos 2 α = 2 çünkü 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α ile t g 2 α = ile t g 2 α - 1 2 · ile t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α çünkü 3 α = çünkü 3 α - 3 günah 2 α · çünkü α , çünkü 3 α = - 3 çünkü α + 4 çünkü 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1
Yarım açı formülleri
Trigonometrideki yarım açı formülleri, çift açılı formüllerin bir sonucudur ve bir yarım açının temel fonksiyonları ile bir tam açının kosinüsü arasındaki ilişkiyi ifade eder.
Yarım açı formülleri
günah 2 α 2 = 1 - çünkü α 2 çünkü 2 α 2 = 1 + çünkü α 2 t g 2 α 2 = 1 - çünkü α 1 + çünkü α c t g 2 α 2 = 1 + çünkü α 1 - çünkü α
Derece azaltma formülleri
Derece azaltma formüllerigünah 2 α = 1 - çünkü 2 α 2 çünkü 2 α = 1 + çünkü 2 α 2 günah 3 α = 3 günah α - günah 3 α 4 çünkü 3 α = 3 çünkü α + cos 3 α 4 günah 4 α = 3 - 4 çünkü 2 α + çünkü 4 α 8 çünkü 4 α = 3 + 4 çünkü 2 α + çünkü 4 α 8
Hesaplamalar yaparken hantal güçlerle çalışmak çoğu zaman sakıncalıdır. Derece azaltma formülleri, bir trigonometrik fonksiyonun derecesini keyfi derecede büyükten birinciye azaltmanıza olanak tanır. İşte genel görüşleri:
Derece azaltma formüllerine genel bakış
n için bile
günah n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · çünkü ((n - 2 k) α) çünkü n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n çünkü ((n - 2 k) α)
tek n için
günah n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) çünkü n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n çünkü ((n - 2 k) α)
Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı
Trigonometrik fonksiyonların farkı ve toplamı bir ürün olarak gösterilebilir. Sinüs ve kosinüs farklarını çarpanlara ayırmak, trigonometrik denklemleri çözerken ve ifadeleri basitleştirirken kullanmak için çok uygundur.
Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 çünkü α - β 2 günah α - günah β = 2 sin α - β 2 çünkü α + β 2 çünkü α + cos β = 2 çünkü α + β 2 çünkü α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2
Trigonometrik fonksiyonların çarpımı
Fonksiyonların toplamına ve farkına ilişkin formüller çarpımlarına gitmeye izin veriyorsa, trigonometrik fonksiyonların çarpımına ilişkin formüller çarpımdan toplama doğru ters geçişi gerçekleştirir. Sinüslerin, kosinüslerin ve sinüsün kosinüs çarpımına yönelik formüller dikkate alınır.
Trigonometrik fonksiyonların çarpımı için formüller
günah α · günah β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) çünkü cos α · çünkü β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))
Evrensel trigonometrik ikame
Tüm temel trigonometrik fonksiyonlar - sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant - yarım açının tanjantı cinsinden ifade edilebilir.
Evrensel trigonometrik ikame
sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 çünkü α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.