Pisagor teoreminin animasyonlu kanıtı - bunlardan biri esas Bir dik üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi kuran Öklid geometrisi teoremleri. Adını aldığı Yunan matematikçi Pisagor tarafından kanıtlandığına inanılıyor (başka versiyonlar da var, özellikle bu teoremin genel haliyle Pisagor matematikçi Hippasus tarafından formüle edildiğine dair alternatif görüş var).
Teorem şunu belirtir:
Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarının toplamına eşittir.
Üçgenin hipotenüs uzunluğunun belirlenmesi C, ve bacakların uzunlukları şöyle A Ve B, aşağıdaki formülü elde ederiz:
Böylece Pisagor teoremi, diğer ikisinin uzunluklarını bilerek bir dik üçgenin kenarını belirlemenize olanak tanıyan bir ilişki kurar. Pisagor teoremi, keyfi bir üçgenin kenarları arasındaki ilişkiyi belirleyen kosinüs teoreminin özel bir durumudur.
Tersi ifade de kanıtlanmıştır (aynı zamanda Pisagor teoreminin tersi olarak da adlandırılır):
Herhangi üç pozitif sayı için a, b ve c öyle ki a ? +b ? = c ?, ayakları a ve b olan ve hipotenüsü c olan bir dik üçgen vardır.
MÖ 500-200 tarihli "Chu Pei" kitabından üçgenin (3, 4, 5) görsel kanıtı. Teoremin tarihçesi dört bölüme ayrılabilir: Pisagor sayıları hakkında bilgi, bir dik üçgende kenarların oranı hakkında bilgi, komşu açıların oranı hakkında bilgi ve teoremin kanıtı.
MÖ 2500 civarında megalitik yapılar. Mısır ve Kuzey Avrupa'da kenarları tam sayılı dik üçgenler bulunur. Bartel Leendert van der Waerden o zamanlar Pisagor sayılarının cebirsel olarak bulunduğunu varsaydı.
MÖ 2000 ile 1876 yılları arasında yazılmıştır. Orta Mısır Krallığı'ndan papirüs Berlin 6619çözümü Pisagor sayıları olan bir problem içerir.
Büyük Hammurabi döneminde Babil tableti Plimpton322, MÖ 1790 ile 1750 yılları arasında yazılan Pisagor sayılarıyla yakından ilgili birçok giriş içerir.
Çeşitli şekillerde M.Ö. sekizinci veya ikinci yüzyıllara tarihlenen Budhayana sutralarında. Hindistan'da, cebirsel olarak türetilen Pisagor sayılarını, Pisagor teoreminin bir ifadesini ve eşkenar dik üçgenin geometrik kanıtını içerir.
Apastamba Sutraları (MÖ 600 dolaylarında) alan hesaplamalarını kullanan Pisagor teoreminin sayısal bir kanıtını içerir. Van der Waerden, bunun öncüllerinin geleneklerine dayandığına inanıyor. Albert Burco'ya göre bu, teoremin orijinal kanıtıdır ve Pisagor'un Arakon'u ziyaret ederek onu kopyaladığını ileri sürmektedir.
Yaşam yılları genellikle MÖ 569 - 475 olarak gösterilen Pisagor. Proklov'un Öklid hakkındaki yorumlarına göre Pisagor sayılarını hesaplamak için cebirsel yöntemler kullanıyor. Ancak Proclus MS 410 ile 485 yılları arasında yaşadı. Thomas Guise'ye göre, Pisagor'dan beş yüzyıl sonrasına kadar teoremin yazarına dair hiçbir belirti yok. Ancak Plutarch ya da Cicero gibi yazarlar teoremi Pythagoras'a atfederken sanki yazarlığı yaygın ve kesinmiş gibi yapıyorlar.
MÖ 400 civarında Proclus'a göre Platon, Pisagor sayılarını hesaplamak için cebir ve geometriyi birleştiren bir yöntem verdi. MÖ 300 civarında, BaşlangıçlarÖklid'in günümüze ulaşan en eski aksiyomatik kanıtına sahibiz.
MÖ 500 yılları arasında yazılmıştır. ve MÖ 200'de, Çin matematik kitabı "Chu Pei" (? ? ? ?), kenarları olan bir üçgen için Çin'de Gugu teoremi (????) olarak adlandırılan Pisagor teoreminin görsel bir kanıtını verir (3, 4) , 5). Han Hanedanlığı döneminde, MÖ 202'den itibaren. MS 220'ye kadar Pisagor sayıları "Matematik Sanatının Dokuz Dalı" kitabında dik üçgenlerden bahsediliyor.
Teoremin kaydedilen ilk kullanımı, Gugu (????) teoremi olarak bilinen Çin'de ve Bhaskar teoremi olarak bilinen Hindistan'daydı.
Pisagor teoreminin bir kez mi yoksa defalarca mı keşfedildiği yaygın olarak tartışılıyor. Boyer (1991), Shulba Sutra'da bulunan bilgilerin Mezopotamya kökenli olabileceğine inanmaktadır.
Cebirsel kanıt 
Kareler dört dik üçgenden oluşur. Pisagor teoreminin yüzden fazla kanıtı bilinmektedir. İşte bir şeklin alanının varlık teoremine dayanan bir kanıt:
Dört özdeş dik üçgeni şekildeki gibi yerleştirelim.
Kenarları olan dörtgen Cİki dar açının toplamı ve bir düz açının toplamı olduğundan karedir.
Tüm şeklin alanı, bir yandan “a + b” kenarlı bir karenin alanına, diğer yandan dört üçgenin ve iç karenin alanlarının toplamına eşittir. .
Kanıtlanması gereken şey budur.
Üçgenlerin benzerliğine göre 
Benzer üçgenlerin kullanılması. İzin vermek ABC- açının bulunduğu dik üçgen C resimde gösterildiği gibi düz. Noktadan yüksekliği çizelim C, ve hadi arayalım H kenarla kesişme noktası AB. Bir üçgen oluşuyor ACHüçgene benzer ABC, her ikisi de dikdörtgen olduğundan (yükseklik tanımı gereği) ve ortak bir açıya sahip olduklarından A, Açıkçası bu üçgenlerdeki üçüncü açı da aynı olacaktır. Barışa benzer, üçgen CBH ayrıca üçgene benzer ABC.Üçgenlerin benzerliği ile: Eğer
Bu şu şekilde yazılabilir:
Bu iki eşitliği toplarsak, şunu elde ederiz:
HB + c çarpı AH = c çarpı (HB + AH) = c ^ 2, ! Src = "http://upload.wikimedia.org/math/7/0/9/70922f59b11b561621c245e11be0b61b.png" />
Başka bir deyişle Pisagor teoremi:
Öklid'in kanıtı 
Öklid Elemanlarında Öklid'in ispatı, Pisagor teoremi paralelkenar yöntemiyle kanıtlanmıştır. İzin vermek A, B, C dik açılı bir dik üçgenin köşeleri A. Bu noktadan bir dik açı bırakalım A hipotenüs üzerine kurulu bir karede hipotenüsün karşısındaki tarafa. Çizgi, kareyi her biri yanlarda oluşturulan karelerle aynı alana sahip iki dikdörtgene böler. İspattaki ana fikir, üst karelerin aynı alana sahip paralelkenarlara dönüşmesi, daha sonra geri dönüp alt karede ve yine aynı alana sahip dikdörtgenlere dönüşmesidir.
Haydi segmentler çizelim CF Ve MS.üçgenler elde ediyoruz BCF Ve B.D.A.
Açılar TAKSİ Ve ÇANTA- dümdüz; sırasıyla puan C, A Ve G– eşdoğrusal. Ayrıca B, A Ve H.
Açılar MİA Ve Amazon Lojistik– her ikisi de düz çizgiler, o zaman açı ABD açıya eşit FBC, ikisi de bir dik açı ile bir açının toplamı olduğundan ABC.
Üçgen ABD Ve FBC iki tarafta seviye ve aralarındaki açı.
Puanlardan beri A, K Ve L– eşdoğrusal, BDLK dikdörtgeninin alanı üçgenin iki alanına eşittir ABD (BDLK) = BAGF = AB 2)
Benzer şekilde elde ederiz CKLE = ACİH = AC 2
Bir tarafta alan CBDE dikdörtgenlerin alanlarının toplamına eşit BDLK Ve CKLE, ve diğer tarafta karenin alanı MÖ 2, veya AB 2 + AC 2 = MÖ 2.
Diferansiyelleri kullanma 
Diferansiyellerin kullanımı. Pisagor teoremine, sağdaki şekilde gösterildiği gibi kenardaki artışın hipotenüsün boyutunu nasıl etkilediği incelenerek ve küçük bir hesaplama uygulanarak ulaşılabilir.
Yandaki artış sonucunda A, sonsuz küçük artışlar için benzer üçgenlerin sayısı
Entegre ederek elde ederiz
Eğer A= 0 o zaman C = B, yani "sabit" b2. Daha sonra
Görülebileceği gibi, kareler, artışlarla kenarlar arasındaki orandan kaynaklanırken, toplam, geometrik kanıtlardan açıkça anlaşılamayan, kenar artışlarının bağımsız katkısının sonucudur. Bu denklemlerde da Ve doğru akım– buna karşılık gelen sonsuz küçük kenar artışları A Ve C. Peki bunun yerine ne kullanıyoruz? A Ve? C, o zaman sıfıra eğilimli olmaları durumunda oranın limiti da / DC, türev ve aynı zamanda eşittir C / A,üçgenlerin kenar uzunluklarının oranı, bunun sonucunda bir diferansiyel denklem elde ederiz.
Dik bir vektör sistemi durumunda, Pisagor teoremi olarak da adlandırılan eşitlik geçerlidir:
Eğer – Bunlar vektörün koordinat eksenlerine izdüşümü ise, o zaman bu formül Öklid mesafesine denk gelir ve vektörün uzunluğunun, bileşenlerinin kareleri toplamının kareköküne eşit olduğu anlamına gelir.
Bu eşitliğin sonsuz bir vektör sistemi durumundaki benzerine Parseval eşitliği denir.
Yüzde yüz emin olabileceğiniz bir şey varsa o da, hipotenüsün karesinin ne olduğu sorulduğunda her yetişkinin cesurca şu cevabı vereceğidir: "Bacakların karelerinin toplamı." Bu teorem her eğitimli kişinin zihnine sıkı sıkıya yerleşmiştir, ancak birinden bunu kanıtlamasını istemeniz yeterlidir ve zorluklar ortaya çıkabilir. Bu nedenle Pisagor teoremini hatırlayalım ve kanıtlamanın farklı yollarına bakalım.
Kısa biyografi
Pisagor teoremi neredeyse herkese tanıdık geliyor, ancak bazı nedenlerden dolayı onu dünyaya getiren kişinin biyografisi o kadar popüler değil. Bu düzeltilebilir. Bu nedenle, Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarını incelemeden önce, onun kişiliğini kısaca tanımanız gerekir.
Pisagor - aslen filozof, matematikçi, düşünür Bugün, biyografisini bu büyük adamın anısına gelişen efsanelerden ayırmak çok zordur. Ancak takipçilerinin eserlerinden anlaşıldığına göre Samoslu Pisagor, Samos adasında doğmuştur. Babası sıradan bir taş kesiciydi ama annesi soylu bir aileden geliyordu.
Efsaneye bakılırsa, Pisagor'un doğumu, onuruna çocuğun adının verildiği Pythia adlı bir kadın tarafından tahmin edildi. Tahminine göre doğan çocuğun insanlığa pek çok fayda ve iyilik getirmesi gerekiyordu. O da tam olarak bunu yaptı.
Teoremin doğuşu
Pisagor gençliğinde ünlü Mısırlı bilgelerle tanışmak için Mısır'a taşındı. Onlarla tanıştıktan sonra eğitim almasına izin verildi ve burada Mısır felsefesinin, matematiğinin ve tıbbının tüm büyük başarılarını öğrendi.
Pisagor'un piramitlerin görkeminden ve güzelliğinden ilham aldığı ve büyük teorisini yarattığı yer muhtemelen Mısır'dı. Bu okuyucuları şok edebilir, ancak modern tarihçiler Pisagor'un teorisini kanıtlamadığına inanıyor. Ancak bilgisini yalnızca daha sonra gerekli tüm matematiksel hesaplamaları tamamlayan takipçilerine aktardı.
Öyle olsa bile, bugün bu teoremi kanıtlamanın tek bir yöntemi değil, aynı anda birkaç yöntemi biliniyor. Bugün, eski Yunanlıların hesaplamalarını tam olarak nasıl yaptıklarını yalnızca tahmin edebiliyoruz, bu yüzden burada Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarına bakacağız.
Pisagor teoremi
Herhangi bir hesaplamaya başlamadan önce hangi teoriyi kanıtlamak istediğinizi bulmanız gerekir. Pisagor teoremi şu şekildedir: "Açılardan biri 90° olan bir üçgende, kenarların karelerinin toplamı hipotenüsün karesine eşittir."
Pisagor teoremini kanıtlamanın toplam 15 farklı yolu vardır. Bu oldukça büyük bir sayı, bu yüzden en popüler olanlarına dikkat edeceğiz.
Birinci yöntem
Öncelikle bize verilenleri tanımlayalım. Bu veriler aynı zamanda Pisagor teoremini kanıtlamanın diğer yöntemleri için de geçerli olacaktır, bu nedenle mevcut tüm gösterimleri hemen hatırlamaya değer.
Diyelim ki bize bacakları a, b ve hipotenüsü c'ye eşit olan bir dik üçgen veriliyor. İlk ispat yöntemi, dik bir üçgenden bir kare çizmeniz gerektiği gerçeğine dayanmaktadır.
Bunu yapmak için, bacak uzunluğu a'ya bacak b'ye eşit bir parça eklemeniz gerekir veya bunun tersi de geçerlidir. Bu, karenin iki eşit tarafıyla sonuçlanmalıdır. Geriye kalan tek şey iki paralel çizgi çizmek ve kare hazır.
Ortaya çıkan şeklin içine, kenarı orijinal üçgenin hipotenüsüne eşit olan başka bir kare çizmeniz gerekir. Bunu yapmak için, ас ve св köşelerinden с'ye eşit iki paralel parça çizmeniz gerekir. Böylece karenin üç kenarını elde ederiz, bunlardan biri orijinal dik üçgenin hipotenüsüdür. Geriye kalan tek şey dördüncü segmenti çizmek.
Ortaya çıkan şekle dayanarak dış karenin alanının (a + b) 2 olduğu sonucuna varabiliriz. Şeklin içine bakarsanız, iç kareye ek olarak dört dik üçgenin daha olduğunu görebilirsiniz. Her birinin alanı 0,5av'dir.
Dolayısıyla alan şuna eşittir: 4 * 0,5ab + c 2 = 2av + c 2
Dolayısıyla (a+c) 2 =2ab+c 2
Ve dolayısıyla c 2 =a 2 +b 2
Teorem kanıtlandı.
İkinci yöntem: benzer üçgenler
Pisagor teoremini kanıtlamak için kullanılan bu formül, geometri bölümündeki benzer üçgenlerle ilgili bir ifadeye dayanarak türetilmiştir. Bir dik üçgenin bacağının, hipotenüsüyle ve hipotenüsün 90°'lik açının tepesinden çıkan bölümüyle orantılı ortalama olduğunu belirtir.
İlk veriler aynı kalıyor, o yüzden hemen kanıtla başlayalım. AB kenarına dik bir CD doğru parçası çizelim. Yukarıdaki ifadeye göre üçgenlerin kenarları eşittir:
AC=√AB*AD, SV=√AB*DV.
Pisagor teoreminin nasıl ispatlanacağı sorusunu cevaplamak için her iki eşitsizliğin karesi alınarak ispatın tamamlanması gerekir.
AC 2 = AB * AD ve CB 2 = AB * DV
Şimdi ortaya çıkan eşitsizlikleri toplamamız gerekiyor.
AC 2 + CB 2 = AB * (AD * DV), burada AD + DV = AB
Şu ortaya çıkıyor:
AC 2 + CB 2 =AB*AB
Ve bu nedenle:
AC 2 + CB 2 = AB 2
Pisagor teoreminin kanıtı ve onu çözmek için çeşitli yöntemler, bu soruna çok yönlü bir yaklaşım gerektirir. Ancak bu seçenek en basitlerinden biridir.
Başka bir hesaplama yöntemi
Pisagor teoremini kanıtlamanın farklı yollarının açıklaması, siz bunu kendiniz uygulamaya başlayana kadar hiçbir şey ifade etmeyebilir. Pek çok teknik yalnızca matematiksel hesaplamaları değil aynı zamanda orijinal üçgenden yeni şekillerin oluşturulmasını da içerir.
Bu durumda BC kenarından başka bir dik üçgen VSD tamamlamak gerekir. Böylece artık ortak kenarı BC olan iki üçgen var.
Benzer şekillerin alanlarının, benzer doğrusal boyutlarının kareleri kadar bir orana sahip olduğunu bilerek, o zaman:
Savs * c 2 - Savd * in 2 = Savd * a 2 - S vsd * a 2
Savs *(2'den 2'ye) = a 2 *(S avd -S vsd)
2'den 2'ye =a 2
c 2 =a 2 +b 2
8. sınıf için Pisagor teoremini kanıtlamanın çeşitli yöntemlerinden bu seçenek pek uygun olmadığından, aşağıdaki yöntemi kullanabilirsiniz.
Pisagor Teoremini kanıtlamanın en kolay yolu. Yorumlar
Tarihçilere göre bu yöntem ilk kez Antik Yunan'da teoremi kanıtlamak için kullanıldı. Kesinlikle herhangi bir hesaplama gerektirmediği için en basit olanıdır. Resmi doğru çizerseniz a 2 + b 2 = c 2 ifadesinin kanıtı açıkça görülecektir.
Bu yöntemin koşulları öncekinden biraz farklı olacaktır. Teoremi kanıtlamak için ABC dik üçgeninin ikizkenar olduğunu varsayalım.
AC hipotenüsünü karenin kenarı olarak alıp üç kenarını çiziyoruz. Ayrıca ortaya çıkan kareye iki çapraz çizgi çizmek gerekiyor. Böylece içinde dört ikizkenar üçgen elde edersiniz.
Ayrıca AB ve CB bacaklarına bir kare çizmeniz ve her birine birer çapraz düz çizgi çizmeniz gerekir. İlk çizgiyi A köşesinden, ikincisini C noktasından çiziyoruz.
Şimdi ortaya çıkan çizime dikkatlice bakmanız gerekiyor. AC hipotenüsünde orijinaline eşit dört üçgen olduğundan ve yanlarda iki tane olduğundan, bu, bu teoremin doğruluğunu gösterir.
Bu arada, Pisagor teoremini kanıtlamanın bu yöntemi sayesinde ünlü ifade doğdu: "Pisagor pantolonu her yöne eşittir."
J. Garfield'ın kanıtı
James Garfield, Amerika Birleşik Devletleri'nin yirminci Başkanıdır. Amerika Birleşik Devletleri'nin hükümdarı olarak tarihe damgasını vurmasının yanı sıra, aynı zamanda yetenekli bir otodidakttı.
Kariyerinin başında bir devlet okulunda sıradan bir öğretmendi, ancak kısa süre sonra yüksek öğretim kurumlarından birinin müdürü oldu. Kendini geliştirme arzusu, Pisagor teoremini kanıtlamak için yeni bir teori önermesine izin verdi. Teorem ve çözümünün bir örneği aşağıdaki gibidir.
Öncelikle bir kağıda iki dik üçgen çizmeniz gerekir, böylece bunlardan birinin bacağı ikincinin devamı olur. Bu üçgenlerin köşelerinin sonuçta bir yamuk oluşturacak şekilde bağlanması gerekir.
Bildiğiniz gibi bir yamuğun alanı, tabanları ile yüksekliğinin toplamının yarısının çarpımına eşittir.
S=a+b/2 * (a+b)
Ortaya çıkan yamuğu üç üçgenden oluşan bir şekil olarak düşünürsek, alanı şu şekilde bulunabilir:
S=av/2 *2 + s2/2
Şimdi iki orijinal ifadeyi eşitlememiz gerekiyor
2ab/2 + c/2=(a+b) 2/2
c 2 =a 2 +b 2
Pisagor teoremi ve bunu kanıtlama yöntemleri hakkında birden fazla cilt ders kitabı yazılabilir. Ancak bu bilginin pratikte uygulanamamasının bir anlamı var mı?
Pisagor teoreminin pratik uygulaması
Ne yazık ki, modern okul müfredatı bu teoremin yalnızca geometrik problemlerde kullanılmasını sağlar. Mezunlar, bilgi ve becerilerini pratikte nasıl uygulayabileceklerini bilmeden yakında okuldan ayrılacaklar.
Aslında herkes Pisagor teoremini günlük yaşamında kullanabilir. Ve sadece mesleki faaliyetlerde değil, aynı zamanda sıradan ev işlerinde de. Pisagor teoreminin ve onu kanıtlama yöntemlerinin son derece gerekli olabileceği birkaç durumu ele alalım.
Teorem ve astronomi arasındaki ilişki
Kağıt üzerindeki yıldızların ve üçgenlerin nasıl bağlanabileceği anlaşılıyor. Aslında astronomi, Pisagor teoreminin yaygın olarak kullanıldığı bir bilim alanıdır.
Örneğin bir ışık ışınının uzaydaki hareketini düşünün. Işığın her iki yönde de aynı hızla hareket ettiği bilinmektedir. Işık ışınının hareket ettiği yörüngeye AB diyelim ben. Ve ışığın A noktasından B noktasına gitmesi için gereken sürenin yarısı diyelim T. Ve ışının hızı - C. Şu ortaya çıkıyor: c*t=l
Aynı ışına başka bir düzlemden, örneğin v hızıyla hareket eden bir uzay gemisinden bakarsanız, cisimleri bu şekilde gözlemlerken hızları değişecektir. Bu durumda duran elemanlar dahi v hızıyla ters yönde hareket etmeye başlayacaktır.
Diyelim ki çizgi roman sağa doğru seyrediyor. Daha sonra ışının aralarında koştuğu A ve B noktaları sola doğru hareket etmeye başlayacaktır. Üstelik ışın A noktasından B noktasına hareket ettiğinde, A noktasının hareket etme zamanı vardır ve buna göre ışık zaten yeni bir C noktasına ulaşacaktır. A noktasının hareket ettiği mesafenin yarısını bulmak için çarpmanız gerekir. astarın hızı, kirişin seyahat süresinin yarısı kadardır (t ").
Ve bir ışık ışınının bu süre zarfında ne kadar uzağa gidebileceğini bulmak için yolun yarısını yeni bir s harfiyle işaretlemeniz ve aşağıdaki ifadeyi elde etmeniz gerekir:
C ve B ışık noktalarının yanı sıra uzay astarının bir ikizkenar üçgenin köşeleri olduğunu hayal edersek, A noktasından astara kadar olan bölüm onu iki dik üçgene bölecektir. Dolayısıyla Pisagor teoremi sayesinde bir ışık ışınının gidebileceği mesafeyi bulabilirsiniz.
Bu örnek elbette en başarılısı değil, çünkü sadece birkaçı bunu pratikte deneyecek kadar şanslı olabilir. Bu nedenle, bu teoremin daha sıradan uygulamalarını ele alalım.
Mobil sinyal iletim aralığı
Akıllı telefonların varlığı olmadan modern yaşam artık düşünülemez. Peki aboneleri mobil iletişim yoluyla birbirine bağlayamasalardı ne kadar işe yararlardı?
Mobil iletişimin kalitesi doğrudan mobil operatörün anteninin bulunduğu yüksekliğe bağlıdır. Bir telefonun mobil baz istasyonundan ne kadar uzakta sinyal alabileceğini hesaplamak için Pisagor teoremini uygulayabilirsiniz.
Diyelim ki sabit bir kulenin 200 kilometrelik bir yarıçap içinde sinyal dağıtabilmesi için yaklaşık yüksekliğini bulmanız gerekiyor.
AB (kule yüksekliği) = x;
BC (sinyal iletim yarıçapı) = 200 km;
İşletim Sistemi (dünyanın yarıçapı) = 6380 km;
OB=OA+ABOB=r+x
Pisagor teoremini uygulayarak kulenin minimum yüksekliğinin 2,3 kilometre olması gerektiğini buluyoruz.
Günlük yaşamda Pisagor teoremi
Garip bir şekilde Pisagor teoremi, örneğin bir gardırobun yüksekliğini belirlemek gibi günlük konularda bile yararlı olabilir. İlk bakışta bu kadar karmaşık hesaplamalara gerek yok çünkü ölçümleri bir şerit metre kullanarak kolayca yapabilirsiniz. Ancak birçok kişi, tüm ölçümlerin gereğinden fazla doğru yapılması durumunda montaj sürecinde neden bazı sorunların ortaya çıktığını merak ediyor.
Gerçek şu ki, gardırop yatay konumda monte edilmiş ve ancak daha sonra kaldırılıp duvara monte edilmiştir. Bu nedenle yapının kaldırılması işlemi sırasında dolabın yan tarafının hem odanın yüksekliği boyunca hem de çapraz olarak serbestçe hareket etmesi gerekir.
800 mm derinliğinde bir gardırop olduğunu varsayalım. Zeminden tavana mesafe - 2600 mm. Deneyimli bir mobilya üreticisi, dolabın yüksekliğinin odanın yüksekliğinden 126 mm daha az olması gerektiğini söyleyecektir. Peki neden tam olarak 126 mm? Bir örneğe bakalım.
İdeal dolap boyutlarıyla Pisagor teoreminin işleyişini kontrol edelim:
AC =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 mm - her şey uyuyor.
Diyelim ki dolabın yüksekliği 2474 mm değil 2505 mm. Daha sonra:
AC=√2505 2 +√800 2 =2629 mm.
Bu nedenle bu dolap bu odaya montaja uygun değildir. Çünkü onu dik konuma kaldırmak gövdesine zarar verebilir.
Belki de Pisagor teoremini farklı bilim adamları tarafından kanıtlamanın farklı yollarını göz önünde bulundurarak, bunun fazlasıyla doğru olduğu sonucuna varabiliriz. Artık aldığınız bilgileri günlük yaşamınızda kullanabilir ve tüm hesaplamaların yalnızca yararlı değil aynı zamanda doğru olacağından da tamamen emin olabilirsiniz.
Karekökleri ve irrasyonel denklemlerin (kök işareti altında bir bilinmeyen içeren eşitlikler) nasıl çözüleceğini ilk öğrenmeye başladığınızda, muhtemelen bunların pratik kullanımlarını ilk kez tatmışsınızdır. Pisagor teoremini kullanarak problemleri çözmek için sayıların karekökünü alma yeteneği de gereklidir. Bu teorem herhangi bir dik üçgenin kenarlarının uzunluklarını ilişkilendirir.
Bir dik üçgenin bacaklarının uzunlukları (dik açıda buluşan iki kenar) ve harfleriyle belirtilsin ve hipotenüsün uzunluğu (dik açının karşısında bulunan üçgenin en uzun kenarı) şu şekilde belirtilecektir: mektup. Daha sonra karşılık gelen uzunluklar aşağıdaki ilişkiyle ilişkilendirilir:
Bu denklem, diğer iki kenarının uzunluğu bilindiğinde bir dik üçgenin bir kenarının uzunluğunu bulmanızı sağlar. Ayrıca üç kenarının uzunluklarının önceden bilinmesi şartıyla söz konusu üçgenin dik üçgen olup olmadığını tespit etmenizi sağlar.
Pisagor teoremini kullanarak problemleri çözme
Malzemeyi pekiştirmek için aşağıdaki problemleri Pisagor teoremini kullanarak çözeceğiz.
Yani verilen:
- Bacaklardan birinin uzunluğu 48, hipotenüs 80'dir.
- Bacağın uzunluğu 84, hipotenüs 91'dir.
Gelelim çözüme:
a) Verileri yukarıdaki denklemde yerine koyarsak aşağıdaki sonuçlar elde edilir:
48 2 + B 2 = 80 2
2304 + B 2 = 6400
B 2 = 4096
B= 64 veya B = -64
Üçgenin kenar uzunluğu negatif sayı olarak ifade edilemediği için ikinci seçenek otomatik olarak reddedilir.
İlk resmin cevabı: B = 64.
b) İkinci üçgenin bacağının uzunluğu da aynı şekilde bulunur:
84 2 + B 2 = 91 2
7056 + B 2 = 8281
B 2 = 1225
B= 35 veya B = -35
Önceki durumda olduğu gibi, olumsuz bir karar atılır.
İkinci resmin cevabı: B = 35
Bize şunlar veriliyor:
- Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 45 ve 55, büyük kenarlarının uzunlukları ise 75'tir.
- Üçgenin küçük kenarlarının uzunlukları sırasıyla 28 ve 45, büyük kenarlarının uzunlukları ise 53'tür.
Sorunu çözelim:
a) Belirli bir üçgenin kısa kenarlarının uzunluklarının kareleri toplamının, büyük kenarının uzunluğunun karesine eşit olup olmadığını kontrol etmek gerekir:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Bu nedenle ilk üçgen dik üçgen değildir.
b) Aynı işlem şu şekilde yapılır:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Bu nedenle ikinci üçgen bir dik üçgendir.
Öncelikle (-2, -3) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalardan oluşan en büyük parçanın uzunluğunu bulalım. Bunu yapmak için, dikdörtgen koordinat sistemindeki noktalar arasındaki mesafeyi bulmak için iyi bilinen formülü kullanıyoruz:
Benzer şekilde, koordinatları (-2, -3) ve (2, 1) olan noktalar arasında kalan parçanın uzunluğunu buluruz:
Son olarak (2, 1) ve (5, -2) koordinatlarına sahip noktalar arasındaki parçanın uzunluğunu belirliyoruz:
Eşitlik geçerli olduğundan:
o zaman karşılık gelen üçgen dik açılıdır.
Böylece sorunun cevabını formüle edebiliriz: En kısa uzunluğa sahip kenarların karelerinin toplamı, en uzun uzunluğa sahip kenarın karesine eşit olduğundan, noktalar bir dik üçgenin köşeleridir.
Taban (kesinlikle yatay olarak yerleştirilmiş), pervaz (kesinlikle dikey olarak yerleştirilmiş) ve kablo (çapraz olarak gerilmiş) sırasıyla bir dik üçgen oluşturur, kablonun uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremi kullanılabilir:
Böylece kablonun uzunluğu yaklaşık 3,6 metre olacaktır.
Verilen: R noktasından P noktasına (üçgenin kenarı) olan mesafe 24, R noktasından Q noktasına (hipotenüs) kadar olan mesafe 26'dır.
O halde Vita'nın sorunu çözmesine yardım edelim. Şekilde gösterilen üçgenin kenarlarının bir dik üçgen oluşturduğu varsayıldığından, üçüncü kenarın uzunluğunu bulmak için Pisagor teoremini kullanabilirsiniz:
Yani göletin genişliği 10 metredir.
Sergey Valerievich
Pisagor teoremi- Öklid geometrisinin temel teoremlerinden biri olan ilişkiyi kuran
bir dik üçgenin kenarları arasında.
Adını aldığı Yunan matematikçi Pisagor tarafından kanıtlandığına inanılıyor.
Pisagor teoreminin geometrik formülasyonu.
Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:
Bir dik üçgende hipotenüs üzerine kurulan karenin alanı karelerin alanlarının toplamına eşittir,
bacaklar üzerine inşa edilmiştir.
Pisagor teoreminin cebirsel formülasyonu.
Bir dik üçgende hipotenüs uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu şu şekilde ifade ediyoruz: C ve bacakların uzunlukları A Ve B:
Her iki formülasyon Pisagor teoremi eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir;
alan kavramını gerektirir. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden doğrulanabilir ve
Bir dik üçgenin yalnızca kenarlarının uzunluklarını ölçerek.
Converse Pisagor teoremi.
Bir üçgenin bir kenarının karesi diğer iki kenarın karelerinin toplamına eşitse, o zaman
sağ üçgen.
Veya başka bir deyişle:
Pozitif sayıların her üçlüsü için A, B Ve Cöyle ki
bacakları olan bir dik üçgen var A Ve B ve hipotenüs C.
İkizkenar üçgen için Pisagor teoremi.
Eşkenar üçgen için Pisagor teoremi.
Pisagor teoreminin kanıtları.
Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kayıtlıdır. Muhtemelen teorem
Pisagor bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Böyle bir çeşitlilik
yalnızca teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü:
kanıt alan yöntemi, aksiyomatik Ve egzotik kanıtlar(Örneğin,
kullanarak diferansiyel denklemler).
1. Benzer üçgenler kullanılarak Pisagor teoreminin kanıtı.
Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı oluşturulan kanıtların en basitidir
doğrudan aksiyomlardan. Özellikle bir şeklin alanı kavramını kullanmaz.
İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve belirtmek
onun temeli H.
Üçgen ACHüçgene benzer ABİki köşede C. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC.
Gösterimi tanıtarak:
şunu elde ederiz:
,
hangisine karşılık gelir -
Katlanmış A 2 ve B 2, şunu elde ederiz:
veya kanıtlanması gereken şey buydu.
2. Pisagor teoreminin alan yöntemini kullanarak ispatı.
Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi
Kanıtları Pisagor teoreminin kanıtından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanın.
- Eştamamlayıcılık yoluyla kanıt.
Dört eşit dikdörtgen düzenleyelim
şekilde gösterildiği gibi üçgen
Sağ.
Kenarları olan dörtgen C- kare,
iki dar açının toplamı 90° olduğundan
açılmamış açı - 180°.
Şeklin tamamının alanı bir yandan
kenarlı bir karenin alanı ( a+b) ve diğer taraftan dört üçgenin alanlarının toplamı ve
Q.E.D.
3. Pisagor teoreminin sonsuz küçük yöntemle kanıtı.
Şekilde gösterilen çizime bakıldığında ve
yan değişimi izliyorumA, yapabiliriz
sonsuz için aşağıdaki ilişkiyi yazın
küçük yan artışlarİle Ve A(benzerlik kullanarak
üçgenler):
Değişken ayırma yöntemini kullanarak şunları buluruz:
Her iki tarafta da artış olması durumunda hipotenüsteki değişimin daha genel bir ifadesi:
Bu denklemin integrali alınarak ve başlangıç koşulları kullanılarak şunu elde ederiz:
Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz:
Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık doğrusallık nedeniyle ortaya çıkar.
Üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki orantılılık, toplam ise bağımsız olarak ilişkilidir
Farklı bacakların arttırılmasından elde edilen katkılar.
Bacaklardan birinde artış yaşanmadığını varsayarsak daha basit bir kanıt elde edilebilir.
(bu durumda bacak B). Daha sonra entegrasyon sabiti için şunu elde ederiz:
Pisagor teoremi: Bacaklara dayanan karelerin alanlarının toplamı ( A Ve B), hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanına eşit ( C).
Geometrik formülasyon:
Teorem başlangıçta şu şekilde formüle edildi:
Cebirsel formülasyon:
Yani, üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu şu şekilde ifade ediyoruz: C ve bacakların uzunlukları A Ve B :
A 2 + B 2 = C 2Teoremin her iki formülasyonu da eşdeğerdir, ancak ikinci formülasyon daha basittir; alan kavramını gerektirmez. Yani ikinci ifade, alan hakkında hiçbir şey bilmeden ve bir dik üçgenin yalnızca kenar uzunlukları ölçülerek doğrulanabilir.
Converse Pisagor teoremi:
Kanıt
Şu anda bilimsel literatürde bu teoremin 367 ispatı kayıtlıdır. Muhtemelen Pisagor teoremi bu kadar etkileyici sayıda kanıta sahip olan tek teoremdir. Bu çeşitlilik ancak teoremin geometri açısından temel önemi ile açıklanabilir.
Elbette kavramsal olarak hepsi az sayıda sınıfa ayrılabilir. Bunlardan en ünlüsü: alan yöntemiyle ispatlar, aksiyomatik ve egzotik ispatlar (örneğin diferansiyel denklemler kullanılarak).
Benzer üçgenler sayesinde
Cebirsel formülasyonun aşağıdaki kanıtı, doğrudan aksiyomlardan oluşturulan kanıtların en basitidir. Özellikle bir şeklin alanı kavramını kullanmaz.
İzin vermek ABC dik açılı bir dik üçgen var C. Yüksekliği buradan çizelim C ve tabanını şu şekilde belirtin: H. Üçgen ACHüçgene benzer ABC iki köşede. Aynı şekilde üçgen CBH benzer ABC. Gösterimi tanıtarak
aldık
Eşdeğer nedir
Bunu topladığımızda şunu elde ederiz
Alan yöntemini kullanan ispatlar
Aşağıdaki ispatlar, görünürdeki basitliklerine rağmen, hiç de o kadar basit değil. Hepsi, ispatı Pisagor teoreminin ispatından daha karmaşık olan alan özelliklerini kullanır.
Eştamamlama yoluyla kanıt
- Şekil 1'de gösterildiği gibi dört eşit dik üçgeni düzenleyelim.
- Kenarları olan dörtgen Cİki dar açının toplamı 90° ve düz açının toplamı 180° olduğundan karedir.
- Tüm şeklin alanı, bir yandan kenarlı bir karenin alanına (a + b), diğer yandan dört üçgenin ve iki iç alanın toplamına eşittir. kareler.
Q.E.D.
Denklik yoluyla ispatlar
Permütasyon kullanarak zarif kanıt
Böyle bir kanıtın bir örneği sağdaki çizimde gösterilmektedir; burada hipotenüs üzerine inşa edilmiş bir kare, bacaklar üzerinde inşa edilmiş iki kare halinde yeniden düzenlenmektedir.
Öklid'in kanıtı
Öklid'in kanıtı için çizim
Öklid'in kanıtı için örnek
Öklid ispatının fikri şu şekildedir: Hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısının, bacaklar üzerine kurulan karelerin yarım alanlarının toplamına eşit olduğunu ve ardından hipotenüs üzerine inşa edilen karenin alanlarının toplamına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. büyük ve iki küçük kare eşittir.
Soldaki çizime bakalım. Üzerine bir dik üçgenin kenarlarına kareler inşa ettik ve C dik açısının tepesinden AB hipotenüsüne dik bir s ışını çizdik, hipotenüs üzerine inşa edilen ABIK karesini iki dikdörtgene böldü - BHJI ve HAKJ, sırasıyla. Bu dikdörtgenlerin alanlarının, karşılık gelen ayaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarına tam olarak eşit olduğu ortaya çıktı.
DECA karesinin alanının AHJK dikdörtgeninin alanına eşit olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Bunu yapmak için yardımcı bir gözlem kullanacağız: Yüksekliği ve tabanı aynı olan bir üçgenin alanı. verilen dikdörtgen verilen dikdörtgenin alanının yarısına eşittir. Bu, bir üçgenin alanını taban ve yüksekliğin çarpımının yarısı olarak tanımlamanın bir sonucudur. Bu gözlemden, ACK üçgeninin alanının AHK üçgeninin alanına (şekilde gösterilmemiştir) eşit olduğu ve bunun da AHJK dikdörtgen alanının yarısına eşit olduğu anlaşılmaktadır.
Şimdi ACK üçgeninin alanının DECA karesinin alanının yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. Bunun için yapılması gereken tek şey ACK ve BDA üçgenlerinin eşitliğini ispatlamaktır (çünkü yukarıdaki özelliğe göre BDA üçgeninin alanı karenin alanının yarısına eşittir). Eşitlik ortada, üçgenlerin her iki tarafı da eşit ve aralarındaki açı da eşit. Yani - AB=AK,AD=AC - CAK ve BAD açılarının eşitliğini hareket yöntemiyle kanıtlamak kolaydır: CAK üçgenini saat yönünün tersine 90° döndürürüz, o zaman iki üçgenin karşılık gelen kenarlarının soru çakışacaktır (karenin tepe noktasındaki açının 90° olması nedeniyle).
BCFG karesi ile BHJI dikdörtgeninin alanlarının eşitliğinin mantığı tamamen benzerdir.
Böylece hipotenüs üzerine kurulan bir karenin alanının, bacaklar üzerine kurulan karelerin alanlarından oluştuğunu kanıtlamış olduk. Bu kanıtın arkasındaki fikir yukarıdaki animasyonla daha da açıklanmaktadır.
Leonardo da Vinci'nin Kanıtı
Leonardo da Vinci'nin Kanıtı
İspatın ana unsurları simetri ve harekettir.
Simetriden görülebileceği gibi çizimi bir parça olarak ele alalım. CBEN kareyi keser ABHJ iki özdeş parçaya bölünür (çünkü üçgenler ABC Ve JHBEN inşaatta eşittir). Saat yönünün tersine 90 derecelik bir dönüş kullanarak gölgeli şekillerin eşitliğini görüyoruz CAJBEN Ve GDAB . Artık gölgelendirdiğimiz şeklin alanının, bacaklar üzerine inşa edilen karelerin alanlarının yarısı ile orijinal üçgenin alanının toplamına eşit olduğu açıktır. Öte yandan hipotenüs üzerine kurulan karenin alanının yarısı artı orijinal üçgenin alanına eşittir. İspatın son adımı okuyucuya bırakılmıştır.
Sonsuz küçük yöntemle kanıt
Diferansiyel denklemleri kullanan aşağıdaki ispat, genellikle 20. yüzyılın ilk yarısında yaşayan ünlü İngiliz matematikçi Hardy'ye atfedilir.
Şekilde gösterilen çizime bakıp taraftaki değişimi gözlemlemek A sonsuz küçük yan artışlar için aşağıdaki ilişkiyi yazabiliriz İle Ve A(üçgen benzerliğini kullanarak):
Sonsuz küçük yöntemle kanıt
Değişkenlerin ayrılması yöntemini kullanarak şunu buluruz:
Her iki tarafta da artış olması durumunda hipotenüsteki değişimin daha genel bir ifadesi
Bu denklemin integralini alarak ve başlangıç koşullarını kullanarak şunu elde ederiz:
C 2 = A 2 + B 2 + sabit.Böylece istenilen cevaba ulaşıyoruz
C 2 = A 2 + B 2 .Görülmesi kolay olduğu gibi, son formüldeki ikinci dereceden bağımlılık, üçgenin kenarları ile artışlar arasındaki doğrusal orantılılık nedeniyle ortaya çıkarken, toplam, farklı bacakların artışlarından gelen bağımsız katkılarla ilişkilendirilir.
Bacaklardan birinde bir artış yaşanmadığını varsayarsak (bu durumda bacakta) daha basit bir kanıt elde edilebilir. B). Daha sonra entegrasyon sabiti için elde ederiz
Varyasyonlar ve genellemeler
- Kenarlarda kareler yerine benzer şekiller oluşturursak, Pisagor teoreminin aşağıdaki genellemesi doğrudur: Bir dik üçgende, kenarlara inşa edilen benzer şekillerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine inşa edilen şeklin alanına eşittir.Özellikle:
- Bacaklar üzerine kurulan düzgün üçgenlerin alanlarının toplamı, hipotenüs üzerine kurulan düzgün üçgenin alanına eşittir.
- Bacaklar üzerine inşa edilen yarım dairelerin alanlarının toplamı (çapta olduğu gibi), hipotenüs üzerine inşa edilen yarım dairenin alanına eşittir. Bu örnek, Hipokrat lunulası olarak adlandırılan, iki daire yayıyla sınırlanan şekillerin özelliklerini kanıtlamak için kullanılır.
Hikaye
Chu-pei MÖ 500–200. Solda şu yazı var: Yükseklik ve taban uzunluklarının karelerinin toplamı, hipotenüs uzunluğunun karesidir.
Eski Çin kitabı Chu-pei, kenarları 3, 4 ve 5 olan bir Pisagor üçgeninden bahseder: Aynı kitap, Başara'nın Hindu geometrisinin çizimlerinden biriyle örtüşen bir çizim sunar.
Cantor (en büyük Alman matematik tarihçisi), 3² + 4² = 5² eşitliğinin Mısırlılar tarafından MÖ 2300 civarında zaten bilindiğine inanıyor. örneğin, Kral I. Amenemhat döneminde (Berlin Müzesi papirüsü 6619'a göre). Cantor'a göre harpedonapteler veya "halat çekiciler", kenarları 3, 4 ve 5 olan dik üçgenleri kullanarak dik açılar inşa ediyorlardı.
Yapım yöntemlerini çoğaltmak çok kolaydır. 12 m uzunluğunda bir ip alalım ve ona 3 m mesafede renkli bir şerit bağlayalım. bir uçtan ve diğer uçtan 4 metre. Dik açı, 3 ila 4 metre uzunluğundaki kenarlar arasında çevrelenecektir. Harpedonaptianlara, örneğin tüm marangozların kullandığı ahşap bir kare kullanıldığında, inşaat yöntemlerinin gereksiz hale geldiği yönünde itiraz edilebilir. Gerçekten de, böyle bir aletin bulunduğu Mısır çizimleri, örneğin bir marangoz atölyesini gösteren çizimler bilinmektedir.
Babilliler arasında Pisagor teoremi hakkında biraz daha fazla şey biliniyor. Hammurabi dönemine, yani M.Ö. 2000 yılına kadar uzanan bir metinde. örneğin, bir dik üçgenin hipotenüsünün yaklaşık bir hesaplaması verilmiştir. Buradan Mezopotamya'da en azından bazı durumlarda dik üçgenlerle hesaplamalar yapabildikleri sonucuna varabiliriz. Van der Waerden (Hollandalı matematikçi), bir yandan Mısır ve Babil matematiği hakkındaki mevcut bilgi düzeyine, diğer yandan da Yunan kaynaklarının eleştirel bir çalışmasına dayanarak şu sonuca vardı:
Edebiyat
Rusça
- Skopets Z.A. Geometrik minyatürler. M., 1990
- Elensky Shch. Pisagor'un izinde. M., 1961
- Van der Waerden B. L. Uyanış Bilimi. Eski Mısır, Babil ve Yunanistan'ın matematiği. M., 1959
- Glazer G.I. Okulda matematiğin tarihi. M., 1982
- W. Litzman, “Pisagor Teoremi” M., 1960.
- Pisagor teoremi hakkında çok sayıda kanıt içeren bir site, V. Litzmann'ın kitabından alınan materyal, çok sayıda çizim ayrı grafik dosyaları şeklinde sunulmaktadır.
- Pisagor teoremi ve Pisagor üçlemeleri D. V. Anosov'un kitabından bölüm “Matematiğe bir bakış ve ondan bir şeyler”
- Pisagor teoremi ve bunu kanıtlama yöntemleri hakkında G. Glaser, Rusya Eğitim Akademisi akademisyeni, Moskova
İngilizce
- WolframMathWorld'de Pisagor Teoremi
- Cut-The-Knot, Pisagor teoremi bölümü, yaklaşık 70 kanıt ve kapsamlı ek bilgi (İngilizce)
Wikimedia Vakfı.