Sinüs dar açı bir dik üçgenin α oranıdır zıt Bacaktan hipotenüse.
Şu şekilde gösterilir: sin α.

Kosinüs Bir dik üçgenin dar açısı α, bitişik kenarın hipotenüse oranıdır.
Şu şekilde belirlenmiştir: çünkü α.

Teğet dar açı α orandır karşı taraf bitişik bacağa.
Şu şekilde tanımlanır: tg α.

Kotanjant dar açı α orandır bitişik bacak tam tersi olana.
Şu şekilde belirtilir: ctg α.

Bir açının sinüsü, kosinüsü, tanjantı ve kotanjantı yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tüzük:

Bir dik üçgende temel trigonometrik özdeşlikler:

(α – bacağa karşı dar açı B ve bacağa bitişik A . Taraf İle – hipotenüs. β – ikinci dar açı).

B günah α = - C	günah 2 α + çünkü 2 α = 1
A çünkü α = - C	1 1 + ten rengi 2 α = -- çünkü 2 α
B ten rengi α = - A	1 1 + cotg 2 α = -- günah 2 α
A CTG α = - B	1 1 1 + -- = -- tan 2 α sin 2 α
günah α tg α = -- çünkü α

Dar açı arttıkçagünah α vetan α artışı veçünkü α azalır.

Herhangi bir dar açı için α:

günah (90° – α) = cos α

cos (90° – α) = sin α

Örnek açıklama:

ABC dik üçgenine izin verin
AB = 6,
BC = 3,
A açısı = 30°.

A açısının sinüsünü ve B açısının kosinüsünü bulalım.

Çözüm .

1) İlk önce B açısının değerini buluyoruz. Burada her şey basit: bir dik üçgende dar açıların toplamı 90° olduğundan B açısı = 60° olur:

B = 90° – 30° = 60°.

2) A günahını hesaplayalım. Sinüs olduğunu biliyoruz. orana eşit hipotenüsün karşı tarafı. A açısının karşı tarafı BC kenarıdır. Bu yüzden:

MÖ 3 1
günah A = -- = - = -
AB 6 2

3) Şimdi cos B'yi hesaplayalım. Kosinüsün bitişik kenarın hipotenüse oranına eşit olduğunu biliyoruz. B açısı için bitişik bacak aynı BC kenarıdır. Bu, BC'yi tekrar AB'ye bölmemiz gerektiği anlamına gelir - yani, A açısının sinüsünü hesaplarken yaptığımız aynı işlemleri yapmamız gerekir:

MÖ 3 1
çünkü B = -- = - = -
AB 6 2

Sonuç:
günah A = çünkü B = 1/2.

sin 30° = cos 60° = 1/2.

Bundan, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünün olduğu sonucu çıkar. kosinüse eşit başka bir dar açı - ve tam tersi. İki formülümüzün anlamı tam olarak budur:
günah (90° – α) = cos α
cos (90° – α) = sin α

Şundan bir kez daha emin olalım:

1) α = 60° olsun. α'nın değerini sinüs formülüne koyarsak şunu elde ederiz:
sin (90° – 60°) = cos 60°.
sin 30° = cos 60°.

2) α = 30° olsun. α'nın değerini kosinüs formülüne koyarsak şunu elde ederiz:
cos (90° – 30°) = sin 30°.
cos 60° = sin 30°.

(Trigonometri hakkında daha fazla bilgi için Cebir bölümüne bakın)

Bence bundan daha fazlasını hak ediyorsun. İşte trigonometri anahtarım:

• Kubbeyi, duvarı ve tavanı çizin
• Trigonometrik fonksiyonlar bu üç formun yüzdesinden başka bir şey değildir.

Sinüs ve kosinüs metaforu: kubbe

Sadece üçgenlere bakmak yerine, bazı üçgenler bularak onları çalışırken hayal edin. özel örnek hayattan.

Bir kubbenin ortasında olduğunuzu ve bir film projektör ekranı asmak istediğinizi hayal edin. Parmağınızı kubbeye belirli bir “x” açısıyla doğrultuyorsunuz ve ekranın bu noktadan asılı kalması gerekiyor.

İşaret ettiğiniz açı şunları belirler:

• sinüs(x) = sin(x) = ekran yüksekliği (zeminden kubbe montaj noktasına kadar)
• kosinüs(x) = cos(x) = sizden ekrana olan mesafe (kata göre)
• hipotenüs, sizden ekranın tepesine olan mesafe, her zaman aynıdır, kubbenin yarıçapına eşittir

Ekranın mümkün olduğunca büyük olmasını mı istiyorsunuz? Doğrudan üzerinize asın.

Ekranın sizden mümkün olduğunca uzağa asılmasını mı istiyorsunuz? Düz bir şekilde dik olarak asın. Bu konumda ekranın yüksekliği sıfır olacak ve istediğiniz gibi en uzağa asılacaktır.

Yükseklik ve ekrana olan mesafe ters orantılıdır: ekran ne kadar yakınsa yüksekliği de o kadar artar.

Sinüs ve kosinüs yüzdedir

Ne yazık ki, eğitim yıllarım boyunca hiç kimse bana sinüs ve kosinüs trigonometrik fonksiyonların yüzdelerden başka bir şey olmadığını açıklamadı. Değerleri +%100 ila %0 ila -%100 arasında veya pozitif maksimumdan sıfıra ve negatif maksimuma kadar değişir.

Diyelim ki 14 ruble vergi ödedim. Ne kadar olduğunu bilmiyorsun. Ama yüzde 95 vergi ödedim dersen, beni kandırdığımı anlayacaksın.

Mutlak yükseklik hiçbir şey ifade etmez. Ancak sinüs değeri 0,95 ise TV'nin neredeyse kubbenizin tepesinde asılı olduğunu anlıyorum. Çok yakında ulaşacak maksimum yükseklik kubbenin ortasında yer alır ve daha sonra tekrar alçalmaya başlar.

Bu yüzdeyi nasıl hesaplayabiliriz? Çok basit: mevcut ekran yüksekliğini mümkün olan maksimum değere bölün (kubbenin yarıçapı, aynı zamanda hipotenüs olarak da adlandırılır).

Bu yüzden bize “kosinüs = karşı kenar / hipotenüs” deniyor. Her şey ilgi çekmekle ilgili! Sinüsü "mümkün olan maksimumdan mevcut yüksekliğin yüzdesi" olarak tanımlamak en iyisidir. (Açınız "yeraltını" gösterirse sinüs negatif olur. Açı arkanızdaki kubbe noktasına doğru bakarsa kosinüs negatif olur.)

Merkezde olduğumuzu varsayarak hesaplamaları basitleştirelim. birim çember(yarıçap = 1). Bölmeyi atlayıp sinüsü yüksekliğe eşitleyebiliriz.

Her daire aslında ölçeği büyütülmüş veya küçültülmüş bir birimdir. doğru boyut. Bu nedenle birim çember bağlantılarını belirleyin ve sonuçları kendi daire boyutunuza uygulayın.

Deney: Herhangi bir açıdan bakın ve ne olduğunu görün yüzde yükseklikten genişliğe şunu görüntüler:

Sinüs değerinin büyüme grafiği sadece düz bir çizgi değildir. İlk 45 derece yüksekliğin %70'ini kaplar, ancak son 10 derece (80°'den 90°'ye kadar) yalnızca %2'sini kaplar.

Bu sizin için daha açıklayıcı olacaktır: Bir daire içinde yürürseniz, 0°'de neredeyse dikey olarak yükselirsiniz, ancak kubbenin tepesine yaklaştıkça yükseklik giderek daha az değişir.

Teğet ve sekant. Duvar

Bir gün komşunun biri duvar ördü hemen yan yana senin kubbene. Pencereden manzaranızı ağlattım ve yeniden satış için iyi bir fiyat!

Ancak bu durumda bir şekilde kazanmak mümkün mü?

Tabii ki evet. Peki ya komşumuzun duvarına bir film ekranı assak? (x) açısını hedeflersiniz ve şunu elde edersiniz:

• tan(x) = tan(x) = duvardaki ekranın yüksekliği
• sizden duvara olan mesafe: 1 (bu sizin kubbenizin yarıçapıdır, duvar sizden hiçbir yere hareket etmiyor, değil mi?)
• secant(x) = sec(x) = Kubbenin ortasında durduğunuz yerden asılı paravanın tepesine kadar olan “merdivenin uzunluğu”

Teğet veya ekran yüksekliğiyle ilgili birkaç noktayı açıklığa kavuşturalım.

• 0'dan başlar ve sonsuza kadar yükselebilir. En sevdiğiniz filmi izlemek için sonsuz bir tuval oluşturmak amacıyla ekranı duvarda giderek daha yükseğe uzatabilirsiniz! (Böylesine büyük bir şey için elbette çok para harcamanız gerekecek).
• teğet sinüsün sadece daha büyük bir versiyonudur! Kubbenin tepesine doğru ilerledikçe sinüsteki artış yavaşlarken, teğet büyümeye devam ediyor!

Sekansu'nun da övüneceği bir şey var:

• Seans 1’den başlar (merdiven yerde, sizden duvara doğru) ve oradan yükselmeye başlar.
• Sekant her zaman teğetten daha uzundur. Ekranınızı asmak için kullandığınız eğimli merdiven ekranın kendisinden daha uzun olmalı değil mi? (Gerçekçi olmayan boyutlarda, ekran çok uzun olduğunda ve merdivenin neredeyse dikey olarak yerleştirilmesi gerektiğinde boyutları hemen hemen aynıdır. Ancak o zaman bile sekant biraz daha uzun olacaktır).

Unutmayın, değerler yüzde. Ekranı 50 derecelik bir açıyla asmaya karar verirseniz tan(50)=1,19 olur. Ekranınız duvara olan mesafeden (kubbe yarıçapı) %19 daha büyüktür.

(x=0 girin ve sezginizi kontrol edin - tan(0) = 0 ve sec(0) = 1.)

Kotanjant ve kosekant. Tavan

İnanılmaz bir şekilde, komşunuz artık kubbenizin üzerine bir çatı inşa etmeye karar verdi. (Onun nesi var? Görünüşe göre bahçede çıplak dolaşırken onu gözetlemeni istemiyor...)

Artık çatıya bir çıkış yapıp komşunuzla konuşmanın zamanı geldi. Eğim açısını seçersiniz ve inşaata başlarsınız:

• çatı çıkışı ile zemin arasındaki dikey mesafe her zaman 1'dir (kubbenin yarıçapı)
• kotanjant(x) = cot(x) = kubbenin üstü ile çıkış noktası arasındaki mesafe
• cosecant(x) = csc(x) = çatıya giden yolunuzun uzunluğu

Teğet ve kesen duvarı, COtanjant ve COsekant ise tavanı tanımlar.

Bu seferki sezgisel sonuçlarımız öncekilere benzer:

• Açıyı 0°'ye eşit alırsanız tavana asla ulaşamayacağı için çatıya çıkışınız sonsuza kadar sürecektir. Sorun.
• Zemine 90 derecelik bir açıyla inşa ederseniz çatıya giden en kısa “merdiven” elde edilecektir. Kotanjant 0'a eşit olacaktır (çatı boyunca hiç hareket etmiyoruz, kesinlikle dik olarak çıkıyoruz) ve kosekant 1'e eşit olacaktır ("merdivenin uzunluğu" minimum olacaktır).

Bağlantıları görselleştirin

Her üç kasa da kubbe-duvar-tavan birleşiminde çizilirse sonuç şu şekilde olacaktır:

Hâlâ aynı üçgen, duvara ve tavana ulaşacak kadar büyütülmüş. Dikey kenarlarımız (sinüs, teğet), yatay kenarlarımız (kosinüs, kotanjant) ve “hipotenüslerimiz” (sekant, kosekant) vardır. (Oklarla her bir elemanın nereye ulaştığını görebilirsiniz. Kosekant sizden çatıya kadar olan toplam mesafedir).

Biraz sihir. Tüm üçgenler aynı eşitlikleri paylaşır:

Pisagor teoreminden (a 2 + b 2 = c 2) her üçgenin kenarlarının nasıl bağlandığını görüyoruz. Ayrıca “yükseklik-genişlik” oranları da tüm üçgenler için aynı olmalıdır. (Sadece en başından bir adım geri çekilin) büyük üçgen daha azına. Evet, boyut değişti ancak en boy oranları aynı kalacak).

Her üçgenin hangi tarafının 1'e (kubbenin yarıçapı) eşit olduğunu bildiğimizde "sin/cos = tan/1" sonucunu kolaylıkla hesaplayabiliriz.

Bu gerçekleri her zaman basit görselleştirme yoluyla hatırlamaya çalıştım. Resimde bu bağımlılıkları açıkça görüyor ve nereden geldiklerini anlıyorsunuz. Bu teknik çok ezberlemekten daha iyi kuru formüller.

Diğer açıları unutmayın

Şşş... Teğetin her zaman 1'den küçük olduğunu düşünerek tek bir grafiğe takılıp kalmayın. Açıyı artırırsanız duvara ulaşmadan tavana ulaşabilirsiniz:

Pisagor bağlantıları her zaman işe yarar, ancak göreceli boyutlar farklı olabilir.

(Sinüs ve kosinüs oranlarının kubbenin içinde yer almasından dolayı her zaman en küçük olduğunu fark etmişsinizdir).

Özetlemek gerekirse: neyi hatırlamamız gerekiyor?

Çoğumuz için bunun yeterli olacağını söyleyebilirim:

• trigonometri daireler ve tekrarlanan aralıklar gibi matematiksel nesnelerin anatomisini açıklar
• Kubbe/duvar/çatı analojisi farklı trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiyi gösterir
• Trigonometrik fonksiyonlar yüzdelerle sonuçlanır ve bunu senaryomuza uygularız.

1 2 + cot 2 = csc 2 gibi formülleri ezberlemenize gerek yok. Bunlar yalnızca aşağıdakiler için uygundur: aptal testler, bir gerçeğin bilgisinin onu anlamak olarak aktarıldığı. Bir dakikanızı ayırıp kubbe, duvar ve çatı şeklinde bir yarım daire çizin, elemanları etiketleyin; tüm formüller size kağıt üzerinde gelecektir.

Uygulama: Ters Fonksiyonlar

Herhangi bir trigonometrik fonksiyon, giriş parametresi olarak açıyı alır ve sonucu yüzde olarak döndürür. günah(30) = 0,5. Bu, 30 derecelik bir açının maksimum yüksekliğin %50'sini kapladığı anlamına gelir.

Ters trigonometrik fonksiyon sin -1 veya arcsin olarak yazılır. Ayrıca sıklıkla şu şekilde yazılır: çeşitli diller programlama.

Yüksekliğimiz kubbe yüksekliğinin %25'i ise açımız nedir?

Oranlar tablomuzda sekantın 1'e bölündüğü bir oran bulabilirsiniz. Örneğin, 1'e bölünen sekant (yatay hipotenüs) 1'in kosinüse bölünmesine eşit olacaktır:

Diyelim ki sekantımız 3,5, yani. Birim çemberin yarıçapının %350'si. Bu değer duvara hangi eğim açısına karşılık gelir?

Ek: Bazı örnekler

Örnek: x açısının sinüsünü bulun.

Sıkıcı bir görev. Sıradan "sinüs bulma" işlemini "Maksimumun (hipotenüs) yüzdesi olarak yükseklik nedir?" şeklinde karmaşıklaştıralım.

Öncelikle üçgenin döndürüldüğüne dikkat edin. Bunda yanlış bir şey yok. Üçgenin de bir yüksekliği vardır, şekilde yeşil renkle gösterilmiştir.

Hipotenüs neye eşittir? Pisagor teoremine göre şunu biliyoruz:

3 2 + 4 2 = hipotenüs 2 25 = hipotenüs 2 5 = hipotenüs

İyi! Sinüs, üçgenin en uzun kenarının veya hipotenüsünün yüksekliğinin yüzdesidir. Örneğimizde sinüs 3/5 veya 0,60'tır.

Elbette birkaç yoldan gidebiliriz. Artık sinüsün 0,60 olduğunu biliyoruz, arksinüsü kolayca bulabiliriz:

Asin(0,6)=36,9

İşte başka bir yaklaşım. Üçgenin "duvara dönük" olduğuna dikkat edin, böylece sinüs yerine teğet kullanabiliriz. Yükseklik 3, duvara olan mesafe 4, yani teğet ¾ veya %75'tir. Yüzde değerinden bir açıya geri dönmek için arktanjantı kullanabiliriz:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Örnek: Kıyıya yüzecek misin?

Bir teknedesiniz ve 2 km yol almaya yetecek kadar yakıtınız var. Artık kıyıdan 0,25 km uzaktasınız. Yeterli yakıta sahip olmak için kıyıya maksimum hangi açıda yüzebilirsiniz? Sorun açıklamasına ek olarak: elimizde yalnızca ark kosinüs değerleri tablosu var.

Elimizde ne var? kıyı şeridi meşhur üçgenimizde bir “duvar” olarak temsil edilebilir ve duvara iliştirilen “merdiven uzunluğu” teknenin kıyıya kadar kat edebileceği maksimum mesafedir (2 km). Bir sekant belirir.

İlk önce yüzdelere gitmeniz gerekiyor. Elimizde 2/0.25 = 8 var, yani kıyıya (veya duvara) olan düz mesafenin 8 katı kadar bir mesafeyi yüzebiliriz.

Şu soru ortaya çıkıyor: "8'in sekantı nedir?" Ancak elimizde yalnızca yay kosinüsleri olduğu için buna cevap veremeyiz.

Sekantı kosinüsle ilişkilendirmek için önceden türetilmiş bağımlılıklarımızı kullanırız: "sn/1 = 1/cos"

8'in sekantı ⅛'nin kosinüsüne eşittir. Kosinüsü ⅛ olan bir açı acos(1/8) = 82,8'e eşittir. Ve bu, belirtilen miktarda yakıtla bir teknede karşılayabileceğimiz en büyük açıdır.

Fena değil, değil mi? Kubbe-duvar-tavan benzetmesi olmasaydı bir sürü formül ve hesaplamanın içinde kaybolurdum. Sorunu görselleştirmek, çözüm arayışını büyük ölçüde basitleştirir ve sonuçta hangi trigonometrik fonksiyonun yardımcı olacağını görmek de ilginçtir.

Her sorunu çözerken düşünün aşağıdaki gibi: Kubbe (sin/cos), duvar (tan/sn) veya tavan (karyola/csc) ile ilgileniyor muyum?

Ve trigonometri çok daha keyifli hale gelecek. Sizin için kolay hesaplamalar!

4 Kişilik Birleşik Devlet Sınavı? Mutluluktan patlamayacak mısın?

Soru ilginç diyorlar... Mümkün, 4'le geçmek mümkün! Ve aynı zamanda patlamamak için... Asıl şart düzenli egzersiz yapmaktır. İşte matematikte Birleşik Devlet Sınavı için temel hazırlık. Birleşik Devlet Sınavının ders kitaplarında okumayacağınız tüm sırları ve gizemleriyle... Bu bölümü inceleyin, karar verin daha fazla görev itibaren çeşitli kaynaklar- ve her şey yoluna girecek! Temel bölümün "A C size yeter!" size herhangi bir sorun yaratmaz. Ama aniden... Bağlantıları takip edin, tembel olmayın!

Ve harika ve korkunç bir konuyla başlayacağız.

Trigonometri

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Bu konu öğrenciler için birçok soruna neden olmaktadır. En şiddetli olanlardan biri olarak kabul edilir. Sinüs ve kosinüs nedir? Teğet ve kotanjant nedir? Ne oldu sayı dairesi? Bu zararsız soruları sorduğunuzda kişinin rengi sararır ve konuyu başka yöne çekmeye çalışır... Ama nafile. Bu basit kavramlar. Ve bu konu diğerlerinden daha zor değil. Sadece bu soruların cevaplarını en başından beri açıkça anlamanız gerekiyor. Bu çok önemli. Anlıyorsanız trigonometriyi seveceksiniz. Bu yüzden,

Sinüs ve kosinüs nedir? Teğet ve kotanjant nedir?

Antik çağlardan başlayalım. Merak etmeyin, yaklaşık 15 dakika içinde 20 yüzyıllık trigonometriyi inceleyeceğiz ve farkına bile varmadan 8. sınıftan bir geometri parçasını tekrarlayacağız.

Kenarları olan bir dik üçgen çizelim a, b, c ve açı X. İşte burada.

Dik açı oluşturan kenarlara bacak denildiğini hatırlatayım. a ve c– bacaklar. İki tane var. Kalan kenara hipotenüs denir. İle– hipotenüs.

Üçgen ve üçgen, bir düşünün! Bununla ne yapmalı? Ama eski insanlar ne yapacaklarını biliyorlardı! Eylemlerini tekrarlayalım. Kenarını ölçelim V. Şekilde hücreler şekildeki gibi özel olarak çizilmiştir. Birleşik Devlet Sınavı atamaları Bu olur. Taraf V dört hücreye eşittir. TAMAM. Kenarını ölçelim A.Üç hücre.

Şimdi kenar uzunluğunu bölelim A kenar uzunluğu başına V. Ya da onların da dediği gibi tavrımızı alalım Aİle V. a/v= 3/4.

Tam tersine bölebilirsiniz. V Açık A. 4/3 elde ederiz. Olabilmek V böl İle. Hipotenüs İle Hücrelere göre saymak imkansız ama 5'e eşit. yüksek kalite= 4/5. Kısacası kenar uzunluklarını birbirine bölerek bazı sayılar elde edebilirsiniz.

Ne olmuş? Bunun amacı ne? ilginç aktivite? Henüz yok. Açıkça söylemek gerekirse anlamsız bir egzersiz.)

Şimdi bunu yapalım. Üçgeni genişletelim. Kenarları uzatalım içinde ve yanında ancak üçgen dikdörtgen kalacak şekilde. Köşe X elbette değişmez. Bunu görmek için farenizi resmin üzerine getirin veya resme dokunun (tabletiniz varsa). Partiler a, b ve c dönüşecek m, n, k ve elbette kenarların uzunlukları değişecektir.

Ama ilişkileri öyle değil!

Davranış a/vşuydu: a/v= 3/4, oldu a/n= 6/8 = 3/4. Diğer ilgili tarafların ilişkileri de değişmeyecek . Bir dik üçgende kenar uzunluklarını istediğiniz gibi değiştirebilir, artırabilir, azaltabilir, x açısını değiştirmeden – İlgili taraflar arasındaki ilişki değişmeyecek . Kontrol edebilirsiniz ya da eski insanların sözlerine güvenebilirsiniz.

Ama bu zaten çok önemli! Bir dik üçgende kenarların oranları hiçbir şekilde kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı değildir. Bu o kadar önemlidir ki, taraflar arasındaki ilişki kendine özel bir isim kazanmıştır. Tabiri caizse isimleriniz.) Tanışın.

x açısının sinüsü nedir ? Bu karşı tarafın hipotenüse oranıdır:

sinx = klima

x açısının kosinüsü nedir ? Bu, bitişik bacağın hipotenüse oranıdır:

İleosx= yüksek kalite

Teğet x nedir ? Bu, karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır:

tgx =a/v

x açısının kotanjantı nedir ? Bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır:

ctgx = v/a

Çok basit. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant bazı sayılardır. Boyutsuz. Sadece sayılar. Her açının kendine ait bir açısı vardır.

Neden her şeyi bu kadar sıkıcı bir şekilde tekrarlıyorum? O zaman bu nedir hatırlamam gerek. Hatırlamak önemlidir. Ezberleme daha kolay hale getirilebilir. “Uzaktan başlayalım…” sözü tanıdık mı? O halde uzaktan başlayın.

Sinüs açı bir orandır mesafe bacak açısından hipotenüse kadar. Kosinüs– komşunun hipotenüse oranı.

Teğet açı bir orandır mesafe bacak açısından yakın olana. Kotanjant- tersine.

Daha kolay, değil mi?

Pekala, teğet ve kotanjantta yalnızca bacakların olduğunu ve sinüs ve kosinüste hipotenüsün göründüğünü hatırlarsanız, o zaman her şey oldukça basit hale gelecektir.

Bütün bu görkemli aileye - sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant da denir trigonometrik fonksiyonlar.

Ve şimdi dikkate alınması gereken bir soru.

Neden sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant diyoruz? köşe? Tarafların arasındaki ilişkiden bahsediyoruz mesela... Ne alakası var? köşe?

İkinci resme bakalım. İlkinin tamamen aynısı.

Farenizi resmin üzerine getirin. Açıyı değiştirdim X. Arttırıldı x'ten x'e. Tüm ilişkiler değişti! Davranış a/v 3/4 idi ve buna karşılık gelen oran TV 6/4 oldu.

Ve diğer tüm ilişkiler farklılaştı!

Bu nedenle, kenarların oranları hiçbir şekilde uzunluklarına (bir x açısına) bağlı değildir, ancak keskin bir şekilde bu açıya bağlıdır! Ve sadece ondan. Bu nedenle sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant terimleri şu anlama gelir: köşe. Buradaki açı ana açıdır.

Açının trigonometrik fonksiyonlarıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılı olduğu açıkça anlaşılmalıdır. Her açının kendi sinüsü ve kosinüsü vardır. Ve neredeyse herkesin kendi teğet ve kotanjantı vardır. Bu önemli. Bize bir açı verilirse bunun sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantının olduğuna inanılıyor. biliyoruz ! Ve tam tersi. Bir sinüs veya başka bir trigonometrik fonksiyon verildiğinde, bu açıyı bildiğimiz anlamına gelir.

Her açı için trigonometrik fonksiyonların açıklandığı özel tablolar vardır. Bunlara Bradis tabloları denir. Çok uzun zaman önce derlenmişlerdi. Henüz hesap makineleri ve bilgisayarlar yokken...

Elbette tüm açıların trigonometrik fonksiyonlarını hatırlamak mümkün değildir. Bunları yalnızca birkaç açıdan bilmeniz gerekir; bu konuya daha sonra değineceğiz. Ama büyü Bir açıyı biliyorum, bu da onun trigonometrik fonksiyonlarını bildiğim anlamına geliyor” - her zaman çalışır!

Böylece 8. sınıftan bir geometri parçasını tekrarladık. Birleşik Devlet Sınavı için buna ihtiyacımız var mı? Gerekli. İşte Birleşik Devlet Sınavından tipik bir sorun. Bu sorunu çözmek için 8. sınıf yeterli. Verilen resim:

Tüm. Başka veri yok. Uçağın yan uzunluğunu bulmamız gerekiyor.

Hücrelerin pek bir faydası olmuyor, üçgen bir şekilde yanlış konumlanmış.... Kasıtlı sanırım... Bilgilere göre hipotenüsün uzunluğu var. 8 hücre. Nedense açı verilmiş.

Trigonometriyi hemen hatırlamanız gereken yer burasıdır. Bir açı var, yani onun tüm trigonometrik fonksiyonlarını biliyoruz. Dört fonksiyondan hangisini kullanmalıyız? Bakalım ne biliyoruz? Hipotenüsü ve açıyı biliyoruz ama bulmamız gerekiyor. bitişik kateteri bu köşeye! Açıktır ki, kosinüsün devreye sokulması gerekiyor! İşte başlıyoruz. Basitçe kosinüs tanımıyla yazıyoruz (oran bitişik bacaktan hipotenüse):

cosC = BC/8

C açısı 60 derece, kosinüsü 1/2'dir. Bunu bilmeniz gerekiyor, tablolar olmadan! Bu yüzden:

1/2 = MÖ/8

İlköğretim doğrusal denklem. Bilinmeyen – Güneş. Denklemlerin nasıl çözüleceğini unutanlar için bağlantıyı takip edin, gerisi çözülsün:

MÖ = 4

Eski insanlar her açının kendine ait trigonometrik fonksiyonları olduğunu fark ettiklerinde akıllarına mantıklı bir soru geldi. Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant bir şekilde birbirleriyle ilişkili midir? Yani bir açı fonksiyonunu bilerek diğerlerini de bulabilir misin? Açının kendisini hesaplamadan mı?

O kadar huzursuzlardı ki...)

Tek açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişki.

Elbette aynı açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı birbiriyle ilişkilidir. İfadeler arasındaki herhangi bir bağlantı matematikte formüllerle verilir. Trigonometride çok sayıda formül vardır. Ancak burada en temel olanlara bakacağız. Bu formüllere şunlar denir: temel trigonometrik özdeşlikler.İşte bunlar:

Bu formülleri iyice bilmeniz gerekiyor. Onlar olmadan genellikle trigonometride yapılacak hiçbir şey yoktur. Bu temel kimliklerden üç yardımcı kimlik daha çıkar:

Son üç formülün hafızanızdan hızla silindiği konusunda sizi hemen uyarıyorum. Bazı nedenlerden dolayı.) Elbette bu formülleri şuradan türetebilirsiniz: ilk üç. Ama, içinde zor an... Anladın.)

İÇİNDE standart görevler Aşağıdakiler gibi, bu unutulabilir formüller olmadan da yapmanın bir yolu var. VE hataları önemli ölçüde azaltır unutkanlıktan dolayı ve hesaplamalarda da. Bu uygulama Bölüm 555, "Aynı açıya sahip trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkiler" dersinde yer almaktadır.

Temel trigonometrik kimlikler hangi görevlerde ve nasıl kullanılır? En popüler görev, eğer başka bir açı fonksiyonu verilmişse, bir açı fonksiyonu bulmaktır. Birleşik Devlet Sınavında böyle bir görev yıldan yıla mevcuttur.) Örneğin:

Bulmak sinx değeri eğer x bir dar açı ve cosx=0,8 ise.

Görev neredeyse temeldir. Sinüs ve kosinüs içeren bir formül arıyoruz. İşte formül:

günah 2 x + çünkü 2 x = 1

Burayı değiştir bilinen miktar yani kosinüs yerine 0,8:

günah 2 x + 0,8 2 = 1

Her zamanki gibi sayıyoruz:

günah 2 x + 0,64 = 1

günah 2 x = 1 - 0,64

Neredeyse hepsi bu. Sinüsün karesini hesapladık, geriye sadece karekökü çıkarmak kaldı ve cevap hazır! 0,36'nın kökü 0,6'dır.

Görev neredeyse temeldir. Ama “neredeyse” kelimesinin bir nedeni var... Gerçek şu ki sinx= - 0.6 cevabı da uygun... (-0.6) 2 de 0.36 olacak.

İki farklı cevap var. Ve birine ihtiyacın var. İkincisi yanlış. Nasıl olunur? Evet, her zamanki gibi.) Ödevi dikkatlice okuyun. Bir sebepten dolayı şöyle diyor:... x bir dar açı ise... Ve görevlerde her kelimenin bir anlamı var evet... Bu cümle çözüm için ek bilgidir.

Dar açı, ölçüsü 90°'den küçük olan açıdır. Ve böyle köşelerde Tüm trigonometrik fonksiyonlar - sinüs, kosinüs ve kotanjant ile teğet - Olumlu. Onlar. Buradaki olumsuz cevabı bir kenara atıyoruz. Hakkımız var.

Aslında sekizinci sınıf öğrencilerinin bu tür inceliklere ihtiyacı yok. Yalnızca köşelerin yalnızca dar açı olabildiği dik üçgenlerle çalışırlar. Ve onlar bilmiyorlar, mutlular, hem negatif açılar hem de 1000°'lik açılar var... Ve tüm bu korkunç açıların kendi trigonometrik fonksiyonları var, artı ve eksi...

Ancak lise öğrencileri için işareti dikkate almadan - mümkün değil. Çok bilgi acıları çoğaltır, evet...) Ve doğru karar Görev ek bilgiler içermelidir (gerekirse). Örneğin, aşağıdaki girişle verilebilir:

Veya başka bir şekilde. Aşağıdaki örneklerde göreceksiniz.) Bu tür örnekleri çözmek için bilmeniz gerekenler hangi çeyreğe girer? belirtilen açı x ve bu çeyrekte istenilen trigonometrik fonksiyonun işareti nedir?

Trigonometrinin bu temelleri, trigonometrik dairenin ne olduğu, bu daire üzerindeki açıların ölçümü, bir açının radyan ölçüsü gibi derslerde tartışılmaktadır. Bazen sinüs tablosunu, teğet kosinüs ve kotanjant tablosunu bilmeniz gerekir.

O halde en önemli şeye dikkat edelim:

Pratik tavsiyeler:

1. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarını hatırlayın. Çok faydalı olacak.

2. Açıkça anlıyoruz: sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant açılarla sıkı bir şekilde bağlantılıdır. Bir şeyi biliyoruz, bu da başka bir şeyi bildiğimiz anlamına geliyor.

3. Açıkça anlıyoruz: Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı birbirleriyle temel olarak ilişkilidir trigonometrik özdeşlikler. Bir fonksiyonu biliyoruz, bu da (eğer gerekli ek bilgiye sahipsek) diğerlerini hesaplayabileceğimiz anlamına gelir.

Şimdi her zamanki gibi karar verelim. İlk olarak 8. sınıf kapsamındaki görevler. Ama lise öğrencileri de yapabilir...)

1. CtgA = 0,4 ise tgA'nın değerini hesaplayın.

2. β dik üçgende bir açıdır. Sinβ = 12/13 ise tanβ'nın değerini bulun.

3. tgх = 4/3 ise dar açı x'in sinüsünü belirleyin.

4. İfadenin anlamını bulun:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

5. İfadenin anlamını bulun:

(1-cosx)(1+cosx), eğer sinx = 0,3 ise

Cevaplar (noktalı virgülle ayrılmış, dağınık):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

İşe yaradı mı? Harika! Sekizinci sınıf öğrencileri şimdiden A notlarını alabilirler.)

Her şey yolunda gitmedi mi? Görev 2 ve 3 bir şekilde pek iyi değil...? Sorun değil! Bunun için güzel bir numara var benzer görevler. Her şey pratik olarak formüller olmadan çözülebilir! Ve bu nedenle hatasız. Bu teknik Bölüm 555'teki "Tek açının trigonometrik fonksiyonları arasındaki ilişkiler" dersinde anlatılmaktadır. Diğer tüm görevler de orada ele alınır.

Bunlar sorundu Birleşik Devlet Sınavı türü, ancak sadeleştirilmiş bir versiyonda. Birleşik Devlet Sınavı - hafif). Ve şimdi neredeyse aynı görevler, ancak tam teşekküllü bir formatta. Bilgi yüklü lise öğrencileri için.)

6. sinβ = 12/13 ise tanβ değerini bulun ve

7. Eğer tgх = 4/3 ve x aralığa aitse (- 540°; - 450°) sinх'ı belirleyin.

8. Ctgβ = 1 ise sinβ cosβ ifadesinin değerini bulun.

Cevaplar (karışıklık içinde):

0,8; 0,5; -2,4.

Burada 6. problemde açı çok açık bir şekilde belirtilmemiş... Ancak 8. problemde hiç belirtilmemiş! Bu bilerek yapılmıştır). Ek Bilgiler sadece görevden değil, aynı zamanda kafadan da alınır.) Ancak karar verirseniz, tek bir doğru görev garanti edilir!

Peki ya karar vermediyseniz? Hmm... Bölüm 555 burada yardımcı olacaktır. Orada tüm bu görevlerin çözümleri ayrıntılı olarak anlatılıyor, anlamamak zor.

Bu ders trigonometrik fonksiyonların çok sınırlı bir şekilde anlaşılmasını sağlar. 8. sınıf içinde. Ve büyüklerin hala soruları var...

Örneğin, eğer açı X(bu sayfadaki ikinci resme bakın) - aptallaştırın!? Üçgen tamamen parçalanacak! Peki ne yapmalıyız? Bacak olmayacak, hipotenüs olmayacak... Sinüs yok oldu...

Eğer eski insanlar bu durumdan bir çıkış yolu bulmasaydı, şu anda cep telefonumuz, televizyonumuz, elektriğimiz olmayacaktı. Evet, evet! Teorik temel trigonometrik fonksiyonlar olmadan tüm bu şeyler çubuksuz sıfırdır. Ancak eski insanlar hayal kırıklığına uğratmadı. Nasıl çıktıkları bir sonraki derste.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Öğrencilerin en çok uğraştığı matematik alanlarından biri trigonometridir. Şaşırtıcı değil: Bu bilgi alanında özgürce ustalaşmak için, mekansal düşünmeye, sinüsleri, kosinüsleri, teğetleri, formülleri kullanarak kotanjantları bulma yeteneğine, ifadeleri basitleştirmeye ve pi sayısını kullanabilmeniz gerekir. hesaplamalar. Ayrıca teoremleri ispatlarken trigonometriyi kullanabilmeniz gerekir ve bu da ya gelişmiş bir matematik hafızası ya da karmaşık mantıksal zincirler türetme yeteneği gerektirir.

Trigonometrinin kökenleri

Bu bilimle tanışmak bir açının sinüs, kosinüs ve tanjantının tanımıyla başlamalıdır, ancak önce genel olarak trigonometrinin ne yaptığını anlamanız gerekir.

Tarihsel olarak bu bölümdeki çalışmanın ana amacı matematik bilimi dik üçgenlerdi. 90 derecelik bir açının varlığı, söz konusu şeklin tüm parametrelerinin değerlerinin iki kenar ve bir açı veya iki açı ve bir kenar kullanılarak belirlenmesine olanak tanıyan çeşitli işlemlerin gerçekleştirilmesini mümkün kılar. Geçmişte insanlar bu modeli fark etmiş ve bina yapımında, navigasyonda, astronomide ve hatta sanatta aktif olarak kullanmaya başlamışlardır.

Başlangıç ​​aşaması

Başlangıçta insanlar açılar ve kenarlar arasındaki ilişkiden yalnızca dik üçgen örneğini kullanarak bahsettiler. Daha sonra kullanım sınırlarını genişletmeyi mümkün kılan özel formüller keşfedildi. günlük yaşam matematiğin bu dalı.

Bugün okulda trigonometri çalışması dik üçgenlerle başlıyor, ardından öğrenciler edinilen bilgiyi fizikte kullanıyor ve soyut problemleri çözüyor. trigonometrik denklemler, lisede başlayan çalışma.

Küresel trigonometri

Daha sonra bilim bir sonraki gelişme düzeyine ulaştığında, farklı kuralların geçerli olduğu ve bir üçgendeki açıların toplamının her zaman 180 dereceden fazla olduğu küresel geometride sinüs, kosinüs, teğet, kotanjantlı formüller kullanılmaya başlandı. Bu bölüm okulda okutulmaz ama en azından varlığını bilmek gerekir çünkü dünyanın yüzeyi ve diğer herhangi bir gezegenin yüzeyi dışbükeydir, bu da herhangi bir yüzey işaretinin üç boyutlu uzay"yay şeklinde".

Küreyi ve ipliği alın. İpliği küre üzerindeki herhangi iki noktaya gergin olacak şekilde takın. Lütfen dikkat - bir yay şeklini almıştır. Küresel geometri, jeodezi, astronomi ve diğer teorik ve uygulamalı alanlarda kullanılan bu tür formlarla ilgilenir.

Sağ üçgen

Trigonometri kullanma yolları hakkında biraz bilgi sahibi olduktan sonra sinüs, kosinüs, tanjantın ne olduğunu, bunların yardımıyla hangi hesaplamaların yapılabileceğini ve hangi formüllerin kullanılacağını daha iyi anlamak için temel trigonometriye dönelim.

İlk adım dik üçgenle ilgili kavramları anlamaktır. Öncelikle hipotenüs 90 derecelik açının karşısındaki kenardır. Bu en uzun olanıdır. Pisagor teoremine göre şunu hatırlıyoruz: sayısal değer diğer iki tarafın karelerinin toplamının köküne eşittir.

Örneğin iki kenar sırasıyla 3 ve 4 santimetre ise hipotenüsün uzunluğu 5 santimetre olacaktır. Bu arada, eski Mısırlılar bunu yaklaşık dört buçuk bin yıl önce biliyorlardı.

Dik açı oluşturan kalan iki tarafa bacak denir. Ayrıca dikdörtgen koordinat sistemindeki bir üçgenin açılarının toplamının 180 dereceye eşit olduğunu unutmamalıyız.

Tanım

Son olarak, geometrik temelin sağlam bir şekilde anlaşılmasıyla, sinüs, kosinüs ve bir açının tanjantının tanımına dönülebilir.

Bir açının sinüsü, karşı bacağın (yani istenen açının karşısındaki tarafın) hipotenüse oranıdır. Bir açının kosinüsü, komşu kenarın hipotenüse oranıdır.

Unutmayın ki ne sinüs ne de kosinüs olamaz birden fazla! Neden? Hipotenüs varsayılan olarak en uzun olduğundan, bacak ne kadar uzun olursa olsun hipotenüsten daha kısa olacaktır, bu da oranlarının her zaman birden küçük olacağı anlamına gelir. Bu nedenle, bir soruna verdiğiniz yanıtta 1'den büyük bir sinüs veya kosinüs değeri alırsanız, hesaplamalarda veya akıl yürütmede bir hata olup olmadığına bakın. Bu cevap açıkça yanlıştır.

Son olarak bir açının tanjantı, karşı kenarın komşu kenara oranıdır. Sinüsün kosinüse bölünmesi aynı sonucu verecektir. Bakın: formüle göre, kenarın uzunluğunu hipotenüse bölüyoruz, sonra ikinci kenarın uzunluğuna bölüyoruz ve hipotenüsle çarpıyoruz. Böylece teğetin tanımındaki ilişkinin aynısını elde ederiz.

Buna göre kotanjant, köşeye bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır. Birini teğete bölerek de aynı sonucu elde ederiz.

Böylece sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğuna dair tanımlara baktık ve formüllere geçebiliriz.

En basit formüller

Trigonometride formüller olmadan yapamazsınız - onlar olmadan sinüs, kosinüs, teğet, kotanjant nasıl bulunur? Ancak sorunları çözerken tam olarak gerekli olan şey budur.

Trigonometriyi incelemeye başladığınızda bilmeniz gereken ilk formül, bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bire eşit olduğunu söylüyor. Bu formül Pisagor teoreminin doğrudan bir sonucudur, ancak kenar yerine açının boyutunu bilmeniz gerekiyorsa zaman kazandırır.

Çoğu öğrenci, çözerken de oldukça popüler olan ikinci formülü hatırlayamıyor. okul görevleri: Bir ile açının tanjantının karesinin toplamı, birin açının kosinüsünün karesine bölünmesine eşittir. Daha yakından bakın: Bu, ilk formüldekiyle aynı ifadedir, yalnızca kimliğin her iki tarafı da kosinüsün karesine bölünmüştür. Basit bir matematiksel işlemin işe yaradığı ortaya çıktı trigonometrik formül tamamen tanınamaz. Unutmayın: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu, dönüştürme kurallarını ve birkaçını bilmek temel formüller istediğiniz zaman gerekli olanı geri çekebilirsiniz karmaşık formüller bir kağıt parçası üzerinde.

Çift açı formülleri ve bağımsız değişkenlerin eklenmesi

Öğrenmeniz gereken iki formül daha, açıların toplamı ve farkı için sinüs ve kosinüs değerleriyle ilgilidir. Aşağıdaki şekilde sunulmuştur. Lütfen ilk durumda sinüs ve kosinüsün her iki kez çarpıldığını ve ikincisinde sinüs ve kosinüsün ikili çarpımının toplandığını unutmayın.

Formdaki argümanlarla ilişkili formüller de vardır. çift ​​açı. Tamamen öncekilerden türetilmiştir - pratik olarak, alfa açısını beta açısına eşit alarak bunları kendiniz elde etmeye çalışın.

Son olarak çift açı formüllerinin sinüs, kosinüs, tanjant alfanın gücünü azaltacak şekilde yeniden düzenlenebileceğini unutmayın.

Teoremler

Temel trigonometrideki iki ana teorem sinüs teoremi ve kosinüs teoremidir. Bu teoremlerin yardımıyla sinüs, kosinüs ve tanjantı, dolayısıyla şeklin alanını ve her bir tarafın boyutunu vb. nasıl bulacağınızı kolayca anlayabilirsiniz.

Sinüs teoremi, bir üçgenin her bir kenarının uzunluğunu karşıt açıya bölerek şunu elde ettiğimizi belirtir: aynı numara. Üstelik bu sayı, çevrelenen dairenin, yani belirli bir üçgenin tüm noktalarını içeren dairenin iki yarıçapına eşit olacaktır.

Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini herhangi bir üçgene yansıtarak genelleştirir. İki tarafın karelerinin toplamından, çarpımlarının bitişik açının çift kosinüsüyle çarpılmasıyla elde edilen değerin üçüncü tarafın karesine eşit olacağı ortaya çıktı. Böylece Pisagor teoreminin kosinüs teoreminin özel bir durumu olduğu ortaya çıkıyor.

Dikkatsiz hatalar

Sinüs, kosinüs ve tanjantın ne olduğunu bilseniz bile, dalgınlıktan veya en basit hesaplamalardaki hatalardan dolayı hata yapmak kolaydır. Bu tür hatalardan kaçınmak için en popüler olanlara bir göz atalım.

Öncelikle, nihai sonucu elde edene kadar kesirleri ondalık sayılara dönüştürmemelisiniz - cevabı şu şekilde bırakabilirsiniz: ortak kesir Koşullarda aksi belirtilmediği sürece. Böyle bir dönüşüme hata denemez, ancak sorunun her aşamasında yazarın fikrine göre azaltılması gereken yeni köklerin ortaya çıkabileceği unutulmamalıdır. Bu durumda gereksiz şeylerle zamanınızı boşa harcamış olursunuz. matematiksel işlemler. Bu özellikle üçün kökü veya ikinin kökü gibi değerler için geçerlidir çünkü bunlar her adımda problemlerle karşılaşır. Aynı şey “çirkin” sayıların yuvarlanması için de geçerli.

Ayrıca, kosinüs teoreminin herhangi bir üçgen için geçerli olduğunu ancak Pisagor teoreminin geçerli olmadığını unutmayın! Yanlışlıkla kenarların çarpımının iki katını aralarındaki açının kosinüsüyle çarpmayı unutursanız, yalnızca tamamen yanlış bir sonuç elde etmekle kalmayacak, aynı zamanda konuyu tam olarak anlamadığınızı da göstereceksiniz. Bu, dikkatsiz bir hatadan daha kötüdür.

Üçüncüsü, sinüsler, kosinüsler, teğetler, kotanjantlar için 30 ve 60 derecelik açıların değerlerini karıştırmayın. Bu değerleri unutmayın, çünkü 30 derecenin sinüsü 60'ın kosinüsüne eşittir ve bunun tersi de geçerlidir. Onları karıştırmak kolaydır, bunun sonucunda kaçınılmaz olarak hatalı bir sonuç elde edersiniz.

Başvuru

Pek çok öğrenci trigonometri çalışmaya başlamak için acele etmiyor çünkü pratik anlamını anlamıyorlar. Bir mühendis veya gökbilimci için sinüs, kosinüs, tanjant nedir? Bunlar mesafeyi hesaplayabileceğiniz kavramlardır. uzak yıldızlar, bir göktaşının düşeceğini tahmin edin, başka bir gezegene bir araştırma sondası gönderin. Onlar olmadan bir bina inşa etmek, bir araba tasarlamak, bir yüzeydeki yükü veya bir nesnenin yörüngesini hesaplamak imkansızdır. Ve bunlar sadece en çok bariz örnekler! Sonuçta trigonometri şu ya da bu şekilde müzikten tıbba kadar her yerde kullanılıyor.

Sonuç olarak

Yani sinüs, kosinüs ve tanjantsınız. Bunları hesaplamalarda kullanabilir ve okul problemlerini başarıyla çözebilirsiniz.

Trigonometrinin asıl amacı, bir üçgenin bilinen parametrelerini kullanarak bilinmeyenleri hesaplamanız gerektiği gerçeğine dayanır. Toplamda altı parametre vardır: uzunluk üç kenarlar ve boyutlar üç köşe. Görevlerdeki tek fark, farklı giriş verilerinin verilmiş olmasıdır.

Artık bacakların bilinen uzunluklarına veya hipotenüse göre sinüs, kosinüs ve teğetleri nasıl bulacağınızı biliyorsunuz. Bu terimler bir orandan başka bir şey ifade etmediğinden ve oran bir kesir olduğundan, ana hedef trigonometrik problem sıradan bir denklemin veya bir denklem sisteminin köklerini bulmaktır. Ve burada normal okul matematiği size yardımcı olacaktır.

Bu yazıda nasıl verileceğini göstereceğiz Trigonometride bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları ve sayı. Burada notasyonlardan bahsedeceğiz, girdi örnekleri vereceğiz ve grafiksel çizimler vereceğiz. Sonuç olarak trigonometri ve geometrideki sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları arasında bir paralellik kuralım.

Sayfada gezinme.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın tanımı

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant fikrinin nasıl oluştuğunu görelim. okul kursu matematik. Geometri derslerinde dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımları verilmektedir. Daha sonra dönme açısının ve sayısının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantından bahseden trigonometri incelenir. Tüm bu tanımları sunalım, örnekler verelim ve gerekli yorumları verelim.

Dik üçgende dar açı

Geometri dersinden dik üçgendeki dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımlarını biliyoruz. Bir dik üçgenin kenarlarının oranı olarak verilirler. Formülasyonlarını verelim.

Tanım.

Dik üçgende dar açının sinüsü karşı kenarın hipotenüse oranıdır.

Tanım.

Dik üçgende dar açının kosinüsü bitişik bacağın hipotenüse oranıdır.

Tanım.

Dik üçgende dar açının tanjantı– karşı tarafın bitişik tarafa oranıdır.

Tanım.

Bir dik üçgende dar açının kotanjantı- bu, bitişik tarafın karşı tarafa oranıdır.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları da burada tanıtılmıştır - sırasıyla sin, cos, tg ve ctg.

Örneğin, ABC dik açılı bir dik üçgense, A dar açısının sinüsü karşı BC kenarının AB hipotenüsüne oranına eşittir, yani sin∠A=BC/AB.

Bu tanımlar, bir dik üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından ve ayrıca bir akut açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant değerlerini hesaplamanıza olanak tanır. bilinen değerler Sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant ve kenarlardan birinin uzunluğunu kullanarak diğer kenarların uzunluklarını bulun. Örneğin, bir dik üçgende AC kenarının 3'e ve AB hipotenüsünün 7'ye eşit olduğunu bilseydik, dar açı A'nın kosinüsünün değerini tanım gereği hesaplayabilirdik: cos∠A=AC/ AB=3/7.

Dönme açısı

Trigonometride açıya daha geniş bakmaya başlarlar - dönme açısı kavramını tanıtırlar. Dönme açısının büyüklüğü, dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı değildir; derece cinsinden (ve radyan cinsinden) dönme açısı -∞'dan +∞'a kadar herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilebilir.

Bu açıdan sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları dar bir açıya göre değil, isteğe bağlı büyüklükte bir açıya (dönme açısına) göre verilmiştir. Bunlar, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıcı olan O noktası etrafında bir α açısı kadar döndükten sonra sözde başlangıç ​​noktası A(1, 0)'ın gittiği A 1 noktasının x ve y koordinatları aracılığıyla verilir. ve birim çemberin merkezi.

Tanım.

Dönme açısının sinüsüα, A 1 noktasının koordinatıdır, yani sinα=y.

Tanım.

Dönme açısının kosinüsüα'ya A 1 noktasının apsisi denir, yani cosα=x.

Tanım.

Dönme açısının tanjantıα, A1 noktasının ordinatının apsisine oranıdır, yani tanα=y/x.

Tanım.

Dönme açısının kotanjantıα, A1 noktasının apsisinin ordinatına oranıdır, yani ctgα=x/y.

Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır, çünkü başlangıç ​​noktasının α açısı kadar döndürülmesiyle elde edilen noktanın apsisini ve ordinatını her zaman belirleyebiliriz. Ancak teğet ve kotanjant herhangi bir açı için tanımlanmamıştır. Başlangıç ​​noktasının sıfır apsisli (0, 1) veya (0, −1) bir noktaya gittiği α açıları için teğet tanımlanmamıştır ve bu, 90°+180° k, k∈Z (π) açılarında meydana gelir. /2+π·k rad). Aslında bu tür dönme açılarında tgα=y/x ifadesi sıfıra bölünmeyi içerdiğinden bir anlam ifade etmemektedir. Kotanjanta gelince, başlangıç ​​noktasının sıfır koordinatlı (1, 0) veya (−1, 0) noktaya gittiği α açıları için tanımlanmamıştır ve bu, 180° k, k ∈Z açıları için meydana gelir. (π·k rad).

Yani herhangi bir dönme açısı için sinüs ve kosinüs tanımlanır, 90°+180°k dışındaki tüm açılar için teğet tanımlanır, k∈Z (π/2+πk rad) ve 180° ·k dışındaki tüm açılar için kotanjant tanımlanır , k∈Z (π·k rad).

Tanımlar, bizim tarafımızdan zaten bilinen sin, cos, tg ve ctg tanımlarını içerir; bunlar aynı zamanda sinüs, kosinüs, teğet ve dönme açısının kotanjantını belirtmek için de kullanılır (bazen tan ve cot tanımlarını teğet ve kotanjanta karşılık gelen olarak bulabilirsiniz) . Dolayısıyla 30 derecelik bir dönme açısının sinüsü sin30° olarak yazılabilir, tg(−24°17') ve ctgα girdileri −24 derece 17 dakika dönme açısının tanjantına ve dönme açısı α'nın kotanjantına karşılık gelir. . Bir açının radyan ölçüsünü yazarken "rad" ifadesinin sıklıkla atlandığını hatırlayın. Örneğin, üç pi rad'lık bir dönme açısının kosinüsü genellikle cos3·π olarak gösterilir.

Bu noktanın sonucu olarak, dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantından bahsederken "dönme açısı" ifadesinin veya "dönme" kelimesinin sıklıkla atlandığını belirtmekte fayda var. Yani, "dönme açısı alfanın sinüsü" ifadesi yerine genellikle "alfa açısının sinüsü" veya daha kısası "sinüs alfa" ifadesi kullanılır. Aynı durum kosinüs, teğet ve kotanjant için de geçerlidir.

Ayrıca bir dik üçgende bir dar açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, 0 ila 90 derece arasındaki bir dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant için verilen tanımlarla tutarlı olduğunu söyleyeceğiz. Bunu meşrulaştıracağız.

Sayılar

Tanım.

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı sayı bu sinüse eşit t radyan cinsinden dönme açısının sırasıyla kosinüs, tanjant ve kotanjantı.

Örneğin, 8 π sayısının kosinüsü tanım gereği sayıdır. kosinüse eşit 8·π rad açısı. Ve açının kosinüsü 8 π rad bire eşit dolayısıyla 8·π sayısının kosinüsü 1'e eşittir.

Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Herkesin gerçek sayı t, birim çember üzerinde merkezi başlangıçta olacak şekilde bir noktaya atanır dikdörtgen sistem koordinatları ve bu noktanın koordinatları üzerinden sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant belirlenir. Buna daha detaylı bakalım.

Gerçek sayılar ile çember üzerindeki noktalar arasında nasıl bir ilişki kurulduğunu gösterelim:

• 0 sayısına A(1, 0) başlangıç ​​noktası atanır;
• pozitif sayı t, başlangıç ​​noktasından itibaren daire boyunca saat yönünün tersine hareket edersek ulaşacağımız birim daire üzerindeki nokta ile ilişkilidir ve hadi yolu yürüyelim uzunluk t;
• negatif sayı t birim çemberin noktasıyla ilişkilidir; başlangıç ​​noktasından itibaren daire boyunca saat yönünde hareket edersek ve |t| uzunluğunda bir yolda yürürsek bu noktaya ulaşacağız. .

Şimdi t sayısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarına geçiyoruz. t sayısının A 1 (x, y) çemberi üzerindeki bir noktaya karşılık geldiğini varsayalım (örneğin &pi/2; sayısı A 1 (0, 1) noktasına karşılık gelir).

Tanım.

Sayının sinüsü t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen noktanın koordinatıdır, yani sint=y.

Tanım.

Sayının kosinüsü t'ye birim çemberin t sayısına karşılık gelen noktasının apsisi denir, yani maliyet=x.

Tanım.

Sayının tanjantı t, birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranıdır, yani tgt=y/x. Başka bir eşdeğer formülasyonda, bir t sayısının tanjantı, bu sayının sinüsünün kosinüsüne oranıdır, yani tgt=sint/maliyettir.

Tanım.

Sayının kotanjantı t, apsisin birim çember üzerindeki t sayısına karşılık gelen bir noktanın ordinatına oranıdır, yani ctgt=x/y. Başka bir formülasyon şudur: t sayısının tanjantı, t sayısının kosinüsünün t sayısının sinüsüne oranıdır: ctgt=maliyet/sint.

Burada az önce verilen tanımların bu paragrafın başında verilen tanımla tutarlı olduğunu görüyoruz. Aslında birim çember üzerinde t sayısına karşılık gelen nokta, başlangıç ​​noktasının t radyan açıyla döndürülmesiyle elde edilen noktayla çakışmaktadır.

Bu noktayı yine de açıklığa kavuşturmakta fayda var. Diyelim ki sin3 girişimiz var. 3 sayısının sinüsünden mi, yoksa 3 radyanlık dönme açısının sinüsünden mi bahsettiğimizi nasıl anlayabiliriz? Bu genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır. aksi takdirde bu büyük olasılıkla temel bir öneme sahip değildir.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

Verilere göre önceki paragraf Tanımlar, her bir dönme açısı α tamamen karşılık gelir belirli değer sinα, cosα'nın değeriyle aynıdır. Ayrıca 90°+180°k, k∈Z (π/2+πk rad) dışındaki tüm dönüş açıları tgα değerlerine, 180°k dışındaki tüm dönüş açıları ise k∈Z (πk rad ) – değerlere karşılık gelir. ctga'dan. Bu nedenle sinα, cosα, tanα ve ctgα, α açısının fonksiyonlarıdır. Başka bir deyişle bunlar açısal argümanın işlevleridir.

Benzer şekilde sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarından da bahsedebiliriz. sayısal argüman. Gerçekte, her t gerçek sayısı, maliyetin yanı sıra çok spesifik bir sint değerine de karşılık gelir. Ek olarak, π/2+π·k, k∈Z dışındaki tüm sayılar tgt değerlerine ve π·k, k∈Z sayıları - ctgt değerlerine karşılık gelir.

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant fonksiyonlarına denir temel trigonometrik fonksiyonlar.

Açısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarıyla mı yoksa sayısal bir argümanla mı uğraştığımız bağlamdan genellikle açıktır. Aksi takdirde bağımsız değişkeni hem açının bir ölçüsü (açısal argüman) hem de sayısal bir argüman olarak düşünebiliriz.

Ancak okulda esas olarak sayısal fonksiyonları, yani argümanları ve karşılık gelen fonksiyon değerleri sayı olan fonksiyonları inceliyoruz. Bu nedenle eğer hakkında konuşuyoruzözellikle fonksiyonlarla ilgili olarak, trigonometrik fonksiyonların sayısal argümanların fonksiyonları olarak dikkate alınması tavsiye edilir.

Geometri ve trigonometri tanımları arasındaki ilişki

Dönme açısı α'nın 0 ila 90 derece arasında değiştiğini düşünürsek, trigonometri bağlamında dönme açısının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımları bir sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tamamen tutarlıdır. Geometri dersinde verilen dik üçgende dar açı. Bunu meşrulaştıralım.

Bunu dikdörtgen şeklinde gösterelim Kartezyen sistem Oksi birim çemberini koordine eder. Başlangıç ​​noktasını A(1, 0) olarak işaretleyelim. Bunu 0 ila 90 derece arasında değişen bir α açısı kadar döndürelim, A 1 (x, y) noktasını elde ederiz. A 1 H dikmesini A 1 noktasından Ox eksenine bırakalım.

Bir dik üçgende A 1 OH olduğunu görmek kolaydır. açıya eşit dönme α, bu açıya bitişik OH ayağının uzunluğu A 1 noktasının apsisine eşittir, yani |OH|=x, köşenin karşısındaki A 1 H ayağının uzunluğu koordinatına eşittir A 1 noktası, yani |A 1 H|=y ve OA 1 hipotenüsünün uzunluğu birim çemberin yarıçapı olduğundan bire eşittir. O halde, geometri tanımı gereği, bir A 1 OH dik üçgeninde dar açı α'nın sinüsü, karşı kenarın hipotenüse oranına eşittir, yani sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y. Ve trigonometrinin tanımı gereği, dönme açısı a'nın sinüsü A1 noktasının ordinatına eşittir, yani sinα=y. Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü belirlemenin, α 0 ila 90 derece arasında olduğunda dönme açısı α'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğunu gösterir.

Benzer şekilde, bir a dar açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarının, a dönme açısının kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarıyla tutarlı olduğu gösterilebilir.

Referanslar.

1. Geometri. 7-9 sınıflar: ders kitabı genel eğitim için kurumlar / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev, vb.]. - 20. baskı. M.: Eğitim, 2010. - 384 s.: hasta. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Ders Kitabı. 7-9 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.V. Pogorelov. - 2. baskı - M.: Eğitim, 2001. - 224 s.: hasta. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Cebir ve temel işlevler : öğretici 9. sınıf öğrencileri için lise/ E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Düzenleyen: Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru O. N. Golovin - 4. baskı. M.: Eğitim, 1969.
4. Cebir: Ders Kitabı 9. sınıf için. ortalama okul / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky. - M .: Eğitim, 1990. - 272 s.: - ISBN 5-09-002727-7.
5. Cebir ve analizin başlangıcı: Proc. 10-11 sınıflar için. genel eğitim kurumlar / A.N. Kolmogorov, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn ve diğerleri; Ed. A. N. Kolmogorov - 14. baskı - M.: Eğitim, 2004. - 384 s.: - ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkoviç A.G. Cebir ve analizin başlangıcı. 10. sınıf. Saat 2'de Bölüm 1: öğretici. eğitim kurumları (profil düzeyi)/ A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - 4. baskı, ekleyin. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 s.: hasta. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Cebir ve başladı matematiksel analiz. 10. sınıf: ders kitabı. genel eğitim için kurumlar: temel ve profil. seviyeler /[Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; tarafından düzenlendi A. B. Zhizhchenko. - 3. baskı. - I.: Eğitim, 2010.- 368 s.: hasta.- ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ders kitabı. 10-11 sınıflar için. ortalama okul - 3. baskı. - M.: Eğitim, 1993. - 351 s.: hasta. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı): Proc. ödenek.- M.; Daha yüksek okul, 1984.-351 s., hasta.