Hangi gerçek sayı alınırsa alınsın, benzersiz olarak tanımlanmış bir sin t sayısıyla ilişkilendirilebilir. Doğru, eşleştirme kuralı yukarıda da gördüğümüz gibi oldukça karmaşık;
T sayısını kullanarak sin t'nin değerini bulmak için şunlara ihtiyacınız vardır:
1) sayı dairesini koordinat düzleminde, dairenin merkezi koordinatların orijini ile çakışacak ve dairenin başlangıç noktası A (1; 0) noktasına düşecek şekilde konumlandırın;
2) daire üzerinde t sayısına karşılık gelen bir nokta bulun;
3) Bu noktanın koordinatını bulun.
Bu koordinat günahtır.
Aslında, t'nin herhangi bir gerçek sayı olduğu u = sin t fonksiyonundan bahsediyoruz.
Tüm bu işlevlere denir Sayısal argüman t'nin trigonometrik fonksiyonları.
Çeşitli trigonometrik fonksiyonların değerlerini birbirine bağlayan bir takım ilişkiler vardır; bu ilişkilerden bazılarını zaten elde ettik:
günah 2 t+cos 2 t = 1
Son iki formülden tg t ve ctg t'yi birbirine bağlayan bir ilişki elde etmek kolaydır:
Bu formüllerin tümü, bir trigonometrik fonksiyonun değerini bilerek diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini hesaplamanın gerekli olduğu durumlarda kullanılır.
"Sinüs", "kosinüs", "teğet" ve "kotanjant" terimleri aslında tanıdıktı, ancak yine de biraz farklı bir yorumda kullanılıyorlardı: geometri ve fizikte sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant olarak kabul ediliyorlardı kafada(Olumsuz
sayılar, önceki paragraflarda olduğu gibi).
Geometriden, bir akut açının sinüsünün (kosinüs), bir dik üçgenin bacaklarının hipotenüsüne oranı olduğu ve bir açının teğetinin (kotanjantının), bir dik üçgenin bacaklarının oranı olduğu bilinmektedir. Önceki paragraflarda sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant kavramlarına farklı bir yaklaşım geliştirildi. Aslında bu yaklaşımlar birbiriyle ilişkilidir.
Derece ölçüsü b o olan bir açıyı alalım ve bunu Şekil 2'de gösterildiği gibi “dikdörtgen koordinat sistemindeki sayısal daire” modeline yerleştirelim. 14
açının tepe noktası merkezle uyumludur
daireler (koordinat sisteminin kökeni ile birlikte),
ve köşenin bir tarafı uyumludur
x ekseninin pozitif ışını. Tam durak
açının ikinci tarafının kesişimi
daire ile M harfini belirtin. Ordina-
Şekil 14 bo ve bu noktanın apsisi bo açısının kosinüsüdür.
Bir b açısının sinüsünü veya kosinüsünü bulmak için bu çok karmaşık yapıları her zaman yapmak hiç de gerekli değildir.
AM yayının, sayı çemberinin uzunluğunun, b o açısının 360° köşesinden yaptığı açıyla aynı kısmını oluşturduğunu not etmek yeterlidir. AM yayının uzunluğu t harfiyle gösterilirse şunu elde ederiz:
Böylece,
Örneğin,
30°'nin bir açının derece ölçüsü ve aynı açının radyan ölçüsü olduğuna inanılmaktadır: 30° = rad. Hiç de:
Özellikle bunu nereden aldığımıza sevindim.
Peki 1 radyan nedir? Segmentlerin uzunluğunun çeşitli ölçüleri vardır: santimetre, metre, yarda vb. Açıların büyüklüğünü gösteren çeşitli ölçüler de vardır. Birim çemberin merkez açılarını dikkate alıyoruz. 1°'lik açı, bir dairenin parçası olan yayın oluşturduğu merkez açıdır. 1 radyanlık bir açı, uzunluğu 1 olan bir yayın oluşturduğu merkezi açıdır; uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir yay üzerinde. Formülden 1 rad = 57,3° olduğunu buluyoruz.
u = sin t fonksiyonunu (veya başka herhangi bir trigonometrik fonksiyonu) ele alırken, önceki paragraflarda olduğu gibi bağımsız değişken t'yi sayısal bir argüman olarak düşünebiliriz, ancak bu değişkeni aynı zamanda bir ölçü olarak da düşünebiliriz. açı, yani köşe tartışması. Bu nedenle, bir trigonometrik fonksiyondan bahsederken, onu sayısal veya açısal bir argümanın fonksiyonu olarak düşünmek bir bakıma hiçbir fark yaratmaz.
Tanım1: y=sin x formülüyle verilen sayısal fonksiyona sinüs denir.
Bu eğriye denir - sinüs dalgası.
y=sin x fonksiyonunun özellikleri
2. Fonksiyon değer aralığı: E(y)=[-1; 1]
3. Parite işlevi:
y=sin x – tek,.
4. Periyodiklik: sin(x+2πn)=sin x, burada n bir tamsayıdır.
Bu fonksiyon belli bir süre sonra aynı değerleri alır. Bir fonksiyonun bu özelliğine denir sıklık. Aralık, fonksiyonun periyodudur.
y=sin x fonksiyonu için periyot 2π'dir.
y=sin x fonksiyonu periyodiktir, periyodu Т=2πn'dir, n bir tamsayıdır.
En küçük pozitif periyot T=2π'dir.
Matematiksel olarak bu şu şekilde yazılabilir: sin(x+2πn)=sin x, burada n bir tamsayıdır.
Tanım2: y=cosx formülüyle verilen sayısal fonksiyona kosinüs denir.
y=cos x fonksiyonunun özellikleri
1. Fonksiyon alanı: D(y)=R
2. Fonksiyon değeri alanı: E(y)=[-1;1]
3. Parite işlevi:
y=cos x – çift.
4. Periyodiklik: cos(x+2πn)=cos x, burada n bir tamsayıdır.
y=cos x fonksiyonu periyodiktir ve periyodu Т=2π'dir.
Tanım 3: y=tan x formülüyle verilen sayısal fonksiyona teğet denir.
y=tg x fonksiyonunun özellikleri
1. Fonksiyonun etki alanı: D(y) - π/2+πk dışındaki tüm gerçek sayılar, k – tamsayı. Çünkü bu noktalarda teğet tanımlı değildir.
3. Parite işlevi:
y=tg x – tek.
4. Periyodiklik: tg(x+πk)=tg x, burada k bir tamsayıdır.
y=tg x fonksiyonu π periyoduyla periyodiktir.
Tanım 4: y=ctg x formülüyle verilen sayısal fonksiyona kotanjant denir.
y=ctg x fonksiyonunun özellikleri
1. Fonksiyonun tanım alanı: D(y) - πk dışındaki tüm gerçek sayılar, k bir tamsayıdır. Çünkü bu noktalarda kotanjant tanımlı değildir.
2. Fonksiyon aralığı: E(y)=R.
Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları.
Sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonlarıT formun işlevleridir sen= çünkü t,
sen= sin t, sen= tg t, sen= ctg t.
Bu formülleri kullanarak bir trigonometrik fonksiyonun bilinen değeri üzerinden diğer trigonometrik fonksiyonların bilinmeyen değerlerini bulabilirsiniz.
Açıklamalar.
1) Cos 2 t + sin 2 t = 1 formülünü alın ve bunu yeni bir formül elde etmek için kullanın.
Bunu yapmak için formülün her iki tarafını da cos 2 t'ye bölün (t ≠ 0 için, yani t ≠ π/2 + π k). Bu yüzden:
çünkü 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---
çünkü 2 t çünkü 2 t çünkü 2 t
İlk terim 1'e eşittir. Sinüs'ün konis'e oranının teğet olduğunu biliyoruz, bu da ikinci terimin tg 2 t'ye eşit olduğu anlamına gelir. Sonuç olarak, yeni (ve sizin tarafınızdan zaten bilinen) bir formül elde ediyoruz:
2) Şimdi cos 2 t + sin 2 t = 1'i sin 2 t'ye bölün (t ≠ π için) k):
çünkü 2 t sin 2 t 1
--- + --- = ---, burada t ≠ π k + π k, k– tamsayı
günah 2 t günah 2 t günah 2 t
Kosinüsün sinüse oranı kotanjanttır. Araç:
Matematiğin temel ilkelerini bilerek ve trigonometrinin temel formüllerini öğrenerek, diğer trigonometrik özdeşliklerin çoğunu kendi başınıza kolayca türetebilirsiniz. Ve bu, onları ezberlemekten bile daha iyidir: Ezbere öğrendikleriniz hızla unutulur, ancak anladığınız şey sonsuza kadar olmasa da uzun süre hatırlanır. Örneğin bir ile tanjantın karesinin toplamının neye eşit olduğunu ezberlemenize gerek yoktur. Unuttuysanız, en basit şeyi biliyorsanız kolayca hatırlayabilirsiniz: teğet, sinüsün kosinüse oranıdır. Ek olarak, farklı paydalara sahip kesirleri toplamanın basit kuralını uygulayın ve sonucu elde edin:
günah 2 t 1 günah 2 t çünkü 2 t + günah 2 t 1
1 + tg 2 t = 1 + --- = - + --- = ------ = ---
çünkü 2 t 1 çünkü 2 t çünkü 2 t çünkü 2 t
Aynı şekilde birin toplamını ve kotanjantın karesini ve diğer birçok özdeşliği kolayca bulabilirsiniz.
Açısal argümanın trigonometrik fonksiyonları.
Fonksiyonlardaen = çünküT, en = günahT, en = tgT, en = ctgT değişkenSayısal bir argümandan daha fazlası olamaz. Aynı zamanda açının bir ölçüsü, yani açısal argüman olarak da düşünülebilir.
Sayı çemberi ve koordinat sistemini kullanarak herhangi bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını, kotanjantını kolayca bulabilirsiniz. Bunu yapmak için iki önemli koşulun karşılanması gerekir:
1) açının tepe noktası, aynı zamanda koordinat ekseninin de merkezi olan dairenin merkezi olmalıdır;
2) Açının kenarlarından biri pozitif eksenli kiriş olmalıdır X.
Bu durumda daire ile açının ikinci tarafının kesiştiği noktanın ordinatı bu açının sinüsü, bu noktanın apsisi ise bu açının kosinüsüdür.
Açıklama. Bir tarafı eksenin pozitif ışını olan bir açı çizelim. X ve ikinci taraf koordinat ekseninin başlangıcından (ve dairenin merkezinden) 30° açıyla çıkar (şekle bakın). O zaman ikinci tarafın daireyle kesişme noktası π/6'ya karşılık gelir. Bu noktanın ordinatını ve apsisini biliyoruz. Bunlar aynı zamanda açımızın kosinüs ve sinüsüdür:
√3 1
--; --
2 2
Bir açının sinüsünü ve kosinüsünü bilerek, onun teğetini ve kotanjantını kolaylıkla bulabilirsiniz.
Bu nedenle, bir koordinat sisteminde yer alan sayı çemberi, bir açının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını veya kotanjantını bulmanın uygun bir yoludur.
Ama daha kolay bir yol var. Bir daire ve koordinat sistemi çizmenize gerek yok. Basit ve kullanışlı formülleri kullanabilirsiniz:
Örnek: 60°'ye eşit bir açının sinüsünü ve kosinüsünü bulun.
Çözüm :
π 60 π √3
günah 60° = günah --- = günah -- = --
180 3 2
π 1
çünkü 60° = çünkü -- = -
3 2
Açıklama: 60°'lik bir açının sinüs ve kosinüsünün, π/3 dairesi üzerindeki bir noktanın değerlerine karşılık geldiğini bulduk. Daha sonra, bu noktanın değerlerini tabloda buluyoruz ve böylece örneğimizi çözüyoruz. Sayı çemberinin ana noktalarının sinüs ve kosinüs tablosu bir önceki bölümde ve “Tablolar” sayfasında yer almaktadır.
Bu bölümde sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarını tanıtacağız. Matematik, mekanik, fizik ve diğer bilimlerdeki birçok soru, yalnızca açının (yay) değil, aynı zamanda tamamen farklı nitelikteki argümanların (uzunluk, zaman, sıcaklık vb.) Trigonometrik fonksiyonlarına yol açar. Şimdiye kadar trigonometrik fonksiyonun argümanı derece veya radyan cinsinden ölçülen bir açı olarak anlaşılıyordu. Şimdi sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjant, sekant ve kosekant kavramlarını sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak tanıtarak genelleştireceğiz.Tanım. Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonları, radyana eşit bir açının aynı adlı trigonometrik fonksiyonlarıdır.
Bu tanımı spesifik örneklerle açıklayalım.
Örnek 1. Değeri hesaplayalım. Burada soyut bir irrasyonel sayıyı kastediyoruz. Tanıma göre. Bu yüzden, .
Örnek 2. Değeri hesaplayalım. Burada 1,5 ile soyut bir sayıyı kastediyoruz. Tanımlandığı gibi (bkz. Ek II).
Örnek 3. Değeri hesaplayın Yukarıdakinin aynısını elde ediyoruz (bkz. Ek II).
Dolayısıyla gelecekte trigonometrik fonksiyonlar argümanından çözdüğümüz probleme bağlı olarak bir açıyı (yay) veya sadece bir sayıyı anlayacağız. Ve bazı durumlarda argüman başka bir boyutu olan bir nicelik olabilir, örneğin zaman vb. Bir argümana açı (yay) diyerek, radyan cinsinden ölçüldüğü sayıyı kastedebiliriz.
Konuyla ilgili ders ve sunum: "Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonu, tanımı, kimlikleri"
Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.
10. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar
Yazılım ortamı "1C: Matematiksel Oluşturucu 6.1"
Neyi inceleyeceğiz:
1. Sayısal bir argümanın tanımı.
2. Temel formüller.
3. Trigonometrik özdeşlikler.
4. Bağımsız çözüm için örnekler ve görevler.
Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonunun tanımı
Arkadaşlar, sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantın ne olduğunu biliyoruz.Bakalım bazı trigonometrik fonksiyonların değerlerini kullanarak diğer trigonometrik fonksiyonların değerlerini bulmak mümkün mü?
Sayısal bir elemanın trigonometrik fonksiyonunu şu şekilde tanımlayalım: $y= sin(t)$, $y= cos(t)$, $y= tg(t)$, $y= ctg(t)$.
Temel formülleri hatırlayalım:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$. Bu arada bu formülün adı nedir?
$tg(t)=\frac(sin(t))(cos(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$ ile.
$t≠πk$ için $ctg(t)=\frac(cos(t))(sin(t))$.
Yeni formüller türetelim.
Trigonometrik kimlikler
Temel trigonometrik özdeşliği biliyoruz: $sin^2(t)+cos^2(t)=1$.Arkadaşlar, kimliğin her iki tarafını da $cos^2(t)$'a bölelim.
Şunu elde ederiz: $\frac(sin^2(t))(cos^2(t))+\frac(cos^2(t))(cos^2(t))=\frac(1)(cos^ 2(t))$.
Haydi şunu dönüştürelim: $(\frac(sin(t))(cos(t))))^2+1=\frac(1)(cos^2(t))).$
Şu kimliği elde ederiz: $tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$, $t≠\frac(π)(2)+πk$ ile.
Şimdi kimliğin her iki tarafını da $sin^2(t)$'a bölelim.
Şunu elde ederiz: $\frac(sin^2(t))(sin^2(t))+\frac(cos^2(t))(sin^2(t))=\frac(1)(sin^ 2(t))$.
Haydi şunu dönüştürelim: $1+(\frac(cos(t))(sin(t)))^2=\frac(1)(sin^2(t))).$
Hatırlamaya değer yeni bir kimliğe kavuşuyoruz:
$ctg^2(t)+1=\frac(1)(sin^2(t))$, $t≠πk$ için.
İki yeni formül elde etmeyi başardık. Onları hatırla.
Bu formüller, bir trigonometrik fonksiyonun bilinen bir değerinden başka bir fonksiyonun değerinin hesaplanması gerekiyorsa kullanılır.
Sayısal bir argümanın trigonometrik fonksiyonlarına ilişkin örnekleri çözme
Örnek 1.$cos(t) =\frac(5)(7)$, $sin(t)$'ı bulun; $tg(t)$; $ctg(t)$ tüm t'ler için.
Çözüm:
$sin^2(t)+cos^2(t)=1$.
O zaman $sin^2(t)=1-cos^2(t)$.
$sin^2(t)=1-(\frac(5)(7))^2=1-\frac(25)(49)=\frac(49-25)(49)=\frac(24) (49)$.
$sin(t)=±\frac(\sqrt(24))(7)=±\frac(2\sqrt(6))(7)$.
$tg(t)=±\sqrt(\frac(1)(cos^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(25)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(25)-1)=±\sqrt(\frac(24)(25))=±\frac(\sqrt(24))(5)$.
$ctg(t)=±\sqrt(\frac(1)(sin^2(t))-1)=±\sqrt(\frac(1)(\frac(24)(49))-1)= ±\sqrt(\frac(49)(24)-1)=±\sqrt(\frac(25)(24))=±\frac(5)(\sqrt(24))$.
Örnek 2.
$tg(t) = \frac(5)(12)$, $sin(t)$'ı bulun; $cos(t)$; $ctg(t)$, tümü için 0$ Çözüm:
$tg^2(t)+1=\frac(1)(cos^2(t))$.
Sonra $\frac(1)(cos^2(t))=1+\frac(25)(144)=\frac(169)(144)$.
Bunu elde ederiz: $cos^2(t)=\frac(144)(169)$.
O halde $cos^2(t)=±\frac(12)(13)$, ancak $0
Şunu elde ederiz: $sin(t)=tg(t)*cos(t)=\frac(5)(12)*\frac(12)(13)=\frac(5)(13)$.
$ctg(t)=\frac(1)(tg(t))=\frac(12)(5)$.Bağımsız olarak çözülmesi gereken sorunlar
1. $tg(t) = -\frac(3)(4)$, $sin(t)$'ı bulun; $cos(t)$; $ctg(t)$, tümü için $\frac(π)(2)
4. $cos(t) = \frac(12)(13)$, $sin(t)$'ı bulun; $tg(t)$; Tüm $t$ için $ctg(t)$.