Matematik adı verilen bilimde integralleri çözme sürecine integral denir. Entegrasyonu kullanarak bazılarını bulabiliriz fiziksel büyüklükler: cisimlerin alanı, hacmi, kütlesi ve çok daha fazlası.
İntegraller belirsiz veya belirli olabilir. Belirli bir integralin biçimini düşünelim ve onu anlamaya çalışalım fiziksel anlam. Şu biçimde temsil edilir: $$ \int ^a _b f(x) dx $$. Ayırt edici özellik Belirsiz bir integralin belirli bir integralini yazmanın anlamı, a ve b'nin integral sınırlarının olmasıdır. Şimdi bunlara neden ihtiyaç duyulduğunu ve bunun gerçekte ne anlama geldiğini öğreneceğiz. belirli integral. İÇİNDE geometrik anlamda böyle bir integral alana eşit f(x) eğrisi, a ve b çizgileri ve Ox ekseniyle sınırlanan bir şekil.
Şekil 1'den belirli integralin taralı alanla aynı olduğu açıktır. gri. Bunu basit bir örnekle kontrol edelim. Aşağıdaki resimdeki şeklin alanını integral kullanarak bulalım ve sonra bunu her zamanki gibi uzunlukla genişliği çarparak hesaplayalım.
Şekil 2'den $ y=f(x)=3 $, $ a=1, b=2 $ olduğu açıktır. Şimdi bunları integralin tanımına koyarsak, şunu elde ederiz: $$ S=\int _a ^b f(x) dx = \int _1 ^2 3 dx = $$ $$ =(3x) \Big|_1 ^2 =(3 \ cdot 2)-(3 \cdot 1)=$$ $$=6-3=3 \text(units)^2 $$ Kontrolü her zamanki gibi yapalım. Bizim durumumuzda uzunluk = 3, şeklin genişliği = 1. $$ S = \text(uzunluk) \cdot \text(genişlik) = 3 \cdot 1 = 3 \text(units)^2 $$ Yapabildiğiniz gibi bakın her şey mükemmel uyuyor.
Soru ortaya çıkıyor: Belirsiz integraller nasıl çözülür ve anlamları nedir? Bu tür integralleri çözmek, antiderivatif fonksiyonları bulmaktır. Bu süreç olmanın tam tersi türev. Ters türevi bulmak için, matematik problemlerini çözmede yardımımızı kullanabilir veya integrallerin özelliklerini ve en basit integral tablosunu bağımsız olarak ezberlemeniz gerekir. temel işlevler. Bunu bulmak şuna benzer: $$ \int f(x) dx = F(x) + C \text(burada) F(x) $, $ f(x), C = const $'ın terstürevidir.
İntegrali çözmek için $ f(x) $ fonksiyonunun bir değişken üzerinden integralini almanız gerekir. Fonksiyon tablo şeklinde ise cevap uygun biçimde yazılır. Değilse, o zaman süreç elde etmeye gelir masa fonksiyonu$ f(x) $ fonksiyonundan zorlu matematiksel dönüşümlere kadar. Bunun için var çeşitli yöntemler ve daha fazla ele alacağımız özellikler.
Şimdi kuklalar için integralleri çözecek bir algoritma oluşturalım mı?
İntegral hesaplama algoritması
- Belirli integrali bulalım ya da bulamayalım.
- Tanımsızsa, bulmanız gerekir antiderivatif fonksiyon$ F(x) $ integrandından $ f(x) $ fonksiyonunun tablosal formuna yol açan matematiksel dönüşümleri kullanarak $ f(x) $.
- Tanımlanmışsa, 2. adımı uygulamanız ve ardından $ a $ ve $ b $ limitlerini $ F(x) $ ters türev fonksiyonuna yerleştirmeniz gerekir. Bunu yapmak için hangi formülü kullanmanız gerektiğini “Newton-Leibniz Formülü” yazısında bulacaksınız.
Çözüm örnekleri
Böylece kuklalar için integrallerin nasıl çözüleceğini öğrendiniz, integral çözme örnekleri sıralandı. Fiziksel ve geometrik anlamlarını öğrendik. Çözüm yöntemleri diğer yazılarımızda anlatılacaktır.
Daha önce biz verilen fonksiyon, rehberliğinde çeşitli formüller ve kurallar, türevini buldu. Türevin çok sayıda kullanımı vardır: hareketin hızıdır (veya daha genel olarak herhangi bir sürecin hızıdır); eğim bir fonksiyonun grafiğine teğet; türevi kullanarak bir fonksiyonu monotonluk ve ekstremum açısından inceleyebilirsiniz; optimizasyon problemlerinin çözülmesine yardımcı olur.
Ancak bilinen hareket kanununa göre hızı bulma probleminin yanı sıra, bir de ters problem- Hareket yasasını bilinen bir hıza geri döndürme sorunu. Bu sorunlardan birini ele alalım.
Örnek 1. Maddi bir nokta düz bir çizgide hareket eder, t zamanındaki hızı v=gt formülüyle verilir. Hareket yasasını bulun.
Çözüm. İstenilen hareket yasası s = s(t) olsun. s"(t) = v(t) olduğu bilinmektedir. Bu, problemi çözmek için türevi gt'ye eşit olan bir s = s(t) fonksiyonunu seçmeniz gerektiği anlamına gelir. Tahmin etmek zor değil. bu \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Cevap: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Örneğin doğru fakat eksik çözüldüğünü hemen belirtelim. \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \) elde ettik. Aslında problemin sonsuz sayıda çözümü vardır: C'nin keyfi bir sabit olduğu \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ biçimindeki herhangi bir fonksiyon, bir denklem yasası olarak hizmet edebilir. hareket, çünkü \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Sorunu daha spesifik hale getirmek için başlangıç durumunu düzeltmemiz gerekiyordu: Hareket eden bir noktanın zamanın herhangi bir noktasındaki koordinatını belirtin, örneğin t = 0'da. Eğer s(0) = s 0 ise, o zaman eşitlik s(t) = (gt 2)/2 + C şunu elde ederiz: s(0) = 0 + C, yani C = s 0. Artık hareket yasası benzersiz bir şekilde tanımlanmıştır: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.
Matematikte karşılıklı işlemler atanır farklı isimler, özel gösterimler bulabilirsiniz, örneğin: kare alma (x 2) ve karekök alma (\(\sqrt(x)\)), sinüs (sin x) ve ark sinüs (arcsin x), vb. belirli bir fonksiyona göre türevi denir farklılaşma ve ters işlem, yani belirli bir türevden bir fonksiyon bulma süreci, entegrasyon.
"Türev" teriminin kendisi "günlük yaşamda" haklı gösterilebilir: y = f(x) fonksiyonu "üretir" yeni özellik y" = f"(x). y = f(x) fonksiyonu sanki bir "ana" gibi davranır, ancak matematikçiler doğal olarak onu "ana" veya "üretici" olarak adlandırmazlar; y" fonksiyonuyla ilişkili olarak öyle olduğunu söylerler. f"(x) , birincil görüntü veya ilkel.
Tanım. Eğer F"(x) = f(x) eşitliği \(x \in X\) için geçerliyse, y = F(x) fonksiyonuna X aralığında y = f(x) fonksiyonunun ters türevi denir.
Uygulamada, X aralığı genellikle belirtilmez, ancak ima edilir (fonksiyonun tanımının doğal alanı olarak).
Örnekler verelim.
1) y = x 2 fonksiyonu, y = 2x fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 2)" = 2x eşitliği doğrudur
2) y = x 3 fonksiyonu y = 3x 2 fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (x 3)" = 3x 2 eşitliği doğrudur
3) y = sin(x) fonksiyonu, y = cos(x) fonksiyonunun ters türevidir, çünkü herhangi bir x için (sin(x))" = cos(x) eşitliği doğrudur
Türevlerin yanı sıra antiderivatifleri bulurken sadece formüller değil aynı zamanda bazı kurallar da kullanılır. Türevlerin hesaplanmasına ilişkin ilgili kurallarla doğrudan ilgilidirler.
Bir toplamın türevinin, türevlerinin toplamına eşit olduğunu biliyoruz. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.
Kural 1. Bir toplamın terstürevi, antiderivatiflerin toplamına eşittir.
Bunu biliyoruz sabit faktör türev işaretinden çıkarılabilir. Bu kural, ters türevleri bulmak için karşılık gelen kuralı üretir.
Kural 2. Eğer F(x), f(x)'in ters türevi ise, kF(x), kf(x)'in ters türevidir.
Teorem 1. Eğer y = F(x), y = f(x) fonksiyonu için bir ters türev ise, o zaman y = f(kx + m) fonksiyonunun ters türevi \(y=\frac(1)(k)F fonksiyonudur) (kx+m) \)
Teorem 2. Eğer y = F(x), X aralığında y = f(x) fonksiyonunun bir ters türevi ise, o zaman y = f(x) fonksiyonunun sonsuz sayıda ters türevi vardır ve bunların hepsi y = F(x) biçimindedir. + C.
Entegrasyon yöntemleri
Değişken değiştirme yöntemi (ikame yöntemi)
İkame yoluyla entegrasyon yöntemi, yeni bir entegrasyon değişkeninin (yani ikame) getirilmesini içerir. Bu durumda verilen integral tablo halindeki veya ona indirgenebilen yeni bir integrale indirgenir. Ortak yöntemler oyuncu değişikliği seçimi yoktur. Oyuncu değişikliğini doğru şekilde belirleme yeteneği uygulama yoluyla kazanılır.
İntegrali \(\textstyle \int F(x)dx \) hesaplamak gerekli olsun. \(x= \varphi(t) \) ikamesini yapalım; burada \(\varphi(t) \) sürekli türevi olan bir fonksiyondur.
O halde \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ve belirsiz integral için integral formülünün değişmezlik özelliğine dayanarak, yerine koyma yoluyla integral formülünü elde ederiz:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)
\(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) biçimindeki ifadelerin entegrasyonu
Eğer m tek ise, m > 0 ise, sin x = t yerine koyma işlemi yapmak daha uygundur.
Eğer n tek ise, n > 0, bu durumda yerine cos x = t koymak daha uygundur.
Eğer n ve m çift ise, o zaman tg x = t değişimini yapmak daha uygundur.
Parçalara göre entegrasyon
Parçalara göre entegrasyon - entegrasyon için aşağıdaki formülün uygulanması:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
veya:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Bazı fonksiyonların belirsiz integralleri (antitürevleri) tablosu
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$Belirsiz bir integral (bir dizi antiderivatif veya "antitürev") bulmak, bu fonksiyonun bilinen türevinden bir fonksiyonu yeniden oluşturmak anlamına gelir. Geri yüklenen antiderivatif seti F(X) + İLE fonksiyon için F(X) entegrasyon sabitini dikkate alır C. Hareket hızına göre maddi nokta(türev) bu noktanın hareket yasası (antitürev) geri getirilebilir; bir noktanın hareketinin ivmesine (hızına ve hareket kanununa) göre. Gördüğünüz gibi entegrasyon, fizik biliminin Sherlock Holmes'larının faaliyetleri için geniş bir alandır. Ve ekonomide birçok kavram, fonksiyonlar ve türevleri aracılığıyla temsil edilir ve bu nedenle, örneğin, belirli bir zamanda (türev) emek verimliliğini kullanarak karşılık gelen zamanda üretilen ürünlerin hacmini eski haline getirmek mümkündür.
Belirsiz integrali bulmak, oldukça az sayıda temel entegrasyon formülünü gerektirir. Ancak bunu bulma süreci bu formülleri uygulamaktan çok daha zordur. Tüm karmaşıklık entegrasyonla ilgili değil, integrallenebilir ifadeyi yukarıda belirtilen temel formülleri kullanarak belirsiz integrali bulmayı mümkün kılan bir forma getirmekle ilgilidir. Bu, entegrasyon uygulamasına başlamak için öğrendiklerinizi etkinleştirmeniz gerektiği anlamına gelir. lise ifade dönüştürme becerileri.
İntegralleri bulmayı öğreneceğiz. belirsiz integrallerin özellikleri ve tablosu bu konunun temel kavramlarıyla ilgili bir dersten (yeni bir pencerede açılır).
İntegrali bulmak için çeşitli yöntemler vardır; bunlardan değişken değiştirme yöntemi Ve parça yöntemiyle entegrasyon- yüksek matematiği başarıyla geçen herkes için zorunlu bir beyefendi seti. Bununla birlikte, burada kolaylık sağlamak için tekrarladığımız, belirsiz integralin özelliklerine ilişkin aşağıdaki iki teoremi temel alan genişletme yöntemini kullanarak entegrasyon konusunda uzmanlaşmaya başlamak daha yararlı ve keyiflidir.
Teorem 3.İntegraldeki sabit faktör belirsiz integralin işaretinden çıkarılabilir, yani.
Teorem 4. Cebirsel toplamın belirsiz integrali sonlu sayı fonksiyonlar eşittir cebirsel toplam bu fonksiyonların belirsiz integralleri, yani
(2)
Ek olarak, integralde şu kural faydalı olabilir: Eğer integralin ifadesi sabit bir faktör içeriyorsa, o zaman antiderivatifin ifadesi sabit faktörün tersiyle çarpılır, yani
(3)
Bu ders entegrasyon problemlerini çözmeye giriş niteliğinde olduğundan, halihazırda var olan iki şeye dikkat etmek önemlidir. başlangıç aşaması ya da biraz sonra sizi şaşırtabilirler. Sürpriz, entegrasyonun farklılaşmanın ters işlemi olması ve belirsiz integralin haklı olarak "antitürev" olarak adlandırılabilmesidir.
Entegrasyon yaparken şaşırmamanız gereken ilk şey.İntegral tablosunda türev tablosu formülleri arasında benzerleri olmayan formüller vardır . Bu aşağıdaki formüller:
Ancak bu formüllerin sağ tarafındaki ifadelerin türevlerinin karşılık gelen integrallerle çakıştığından emin olabilirsiniz.
Entegrasyon sırasında şaşırtıcı olmaması gereken ikinci şey. Her ne kadar herhangi bir temel fonksiyonun türevi aynı zamanda bir temel fonksiyon olsa da, Bazı temel fonksiyonların belirsiz integralleri artık temel fonksiyonlar değildir . Bu tür integrallerin örnekleri aşağıdakiler olabilir:
Entegrasyon tekniklerini geliştirmek için aşağıdaki beceriler yararlı olacaktır: kesirleri azaltmak, bir kesrin payındaki bir polinomu paydadaki bir monomiale bölmek (belirsiz integrallerin toplamını elde etmek için), kökleri kuvvetlere dönüştürmek, bir monomluyu bir sayı ile çarpmak polinom, bir kuvvete yükselen. Bu beceriler, integral tablosunda mevcut integrallerin toplamı ile sonuçlanması gereken integral dönüşümleri için gereklidir.
Belirsiz integralleri birlikte bulma
Örnek 1. Belirsiz integrali bulun
.
Çözüm. İntegralin paydasında x'in karesi olan bir polinom görüyoruz. Bu, tablo integrali 21'i (sonuç olarak bir arktanjantla) uygulayabileceğinizin neredeyse kesin bir işaretidir. Paydadan iki faktörünü çıkarıyoruz (integralin böyle bir özelliği var - sabit faktör integralin işaretinin ötesine çıkarılabilir; yukarıda Teorem 3 olarak bahsedilmişti). Bütün bunların sonucu:
Artık payda karelerin toplamıdır, bu da söz konusu tablo integralini uygulayabileceğimiz anlamına gelir. Sonunda şu cevabı alıyoruz:
.
Örnek 2. Belirsiz integrali bulun
Çözüm. Sabit faktörün integralin işaretinden çıkarılabileceği integralin özelliği olan Teorem 3'ü tekrar uyguluyoruz:
İntegraller tablosundan (bir kuvvete göre değişken) formül 7'yi integral fonksiyonuna uyguluyoruz:
.
Ortaya çıkan kesirleri azaltıyoruz ve son cevabı elde ediyoruz:
Örnek 3. Belirsiz integrali bulun
Çözüm. Önce Teorem 4'ü ve ardından Teorem 3'ü özelliklere uyguladığımızda, bu integrali üç integralin toplamı olarak buluruz:
Elde edilen üç integralin tümü tablo halindedir. İntegral tablosundaki formül (7)'yi kullanıyoruz. N = 1/2, N= 2 ve N= 1/5 ve sonra
üç integrali bulurken tanıtılan üç keyfi sabitin tümünü birleştirir. Bu nedenle benzer durumlarda yalnızca bir keyfi entegrasyon sabiti tanıtılmalıdır.
Örnek 4. Belirsiz integrali bulun
Çözüm. İntegralin paydası bir monom içerdiğinde, payı paydaya terime bölebiliriz. Orijinal integral iki integralin toplamına dönüştü:
.
Tablo integralini uygulamak için kökleri kuvvetlere dönüştürüyoruz ve işte son cevap:
Belirsiz integralleri birlikte bulmaya devam ediyoruz
Örnek 7. Belirsiz integrali bulun
Çözüm. İntegrali, binomun karesini alıp payı paydaya, terime ve terime bölerek dönüştürürsek, orijinal integral üç integralin toplamı olur.
Belirsiz integrallerin hesaplanmasına yönelik yöntemlerin bir incelemesi sunulmaktadır. Toplamın ve farkın entegre edilmesini, integral işaretinin dışına bir sabit yerleştirilmesini, bir değişkenin değiştirilmesini ve parçalara göre entegre edilmesini içeren ana entegrasyon yöntemleri dikkate alınır. Ayrıca dikkate alındı özel yöntemler kesirlerin, köklerin, trigonometrik ve integrallerin entegrasyonuna yönelik teknikler ve teknikler üstel fonksiyonlar.
Terstürev ve belirsiz integral
Bir f(x) fonksiyonunun ters türevi F(x), türevi f(x)'e eşit olan bir fonksiyondur:
F'(x) = f(x), x ∈ Δ,
Nerede Δ
- gerçekleştirildiği dönem verilen denklem.
Tüm antiderivatiflerin kümesine belirsiz integral denir:
,
burada C, x değişkeninden bağımsız bir sabittir.
Temel formüller ve entegrasyon yöntemleri
İntegral tablosu
Nihai Hedef belirsiz integrallerin hesaplanması - dönüşümler yoluyla, belirli bir integrali en basit veya tablo halindeki integralleri içeren bir ifadeye indirin.
Bkz. İntegral Tablosu >>>
Toplamları (farkları) entegre etme kuralı
Sabiti integral işaretinin dışına taşıma
c, x'ten bağımsız bir sabit olsun.
Daha sonra integral işaretinden çıkarılabilir:
Değişken değiştirme
.
X, t değişkeninin bir fonksiyonu olsun, x = φ(t), o zaman
.
Veya tam tersi, t = φ(x) ,
Değişken değişikliğini kullanarak yalnızca basit integralleri hesaplamakla kalmaz, aynı zamanda daha karmaşık integrallerin hesaplamasını da basitleştirebilirsiniz.
Parça kuralına göre entegrasyon
Kesirlerin integrali (rasyonel fonksiyonlar)
Gösterimi tanıtalım. P k (x), Q m (x), R n (x), x değişkenine göre sırasıyla k, m, n dereceli polinomları göstersin. Polinomların bir kesirinden oluşan bir integrali ele alalım (sözde):
rasyonel fonksiyon
.
Eğer k ≥ n ise öncelikle kesirin tamamını seçmeniz gerekir:
S k-n(x) polinomunun integrali, integral tablosu kullanılarak hesaplanır.
İntegral kalır:< n
.
, nerede m
Bunu hesaplamak için integralin basit kesirlere ayrıştırılması gerekir.
Bunu yapmak için denklemin köklerini bulmanız gerekir:
Elde edilen kökleri kullanarak paydayı faktörlerin bir ürünü olarak temsil etmeniz gerekir:
Q n (x) = s (x-a) n a (x-b) n b ... (x 2 +ex+f) n e (x 2 +gx+k) n g ....
Burada s, x n'nin katsayısıdır, x 2 + ex + f > 0, x 2 + gx + k > 0, ....
Bundan sonra kesri en basit haline ayırın:
İntegral alarak daha fazlasını içeren bir ifade elde ederiz. basit integraller.
Formun integralleri
tablo ikamesine indirgenir t = x - a.
İntegrali düşünün:
Payı dönüştürelim:
.
İntegral yerine koyarak iki integrali içeren bir ifade elde ederiz:
,
.
İlki, t = x 2 + ex + f yerine geçerek tablo halindeki bir değere indirgenir.
İkincisi, indirgeme formülüne göre:
integrale indirgenir
Paydasını kareler toplamına indirelim:
.
Daha sonra ikame ile integral
da tablolaştırılmıştır.
İrrasyonel fonksiyonların entegrasyonu
Gösterimi tanıtalım. R(u 1, u 2, ..., u n), u 1, u 2, ..., u n değişkenlerinin rasyonel bir fonksiyonu anlamına gelsin.
,
yani
burada P, Q u 1, u 2, ..., u n değişkenlerindeki polinomlardır.
Kesirli doğrusal mantıksızlık
,
Formun integrallerini ele alalım: Nerede - rasyonel sayılar
, m 1 , n 1 , ..., m s , n s - tamsayılar. Hadi n- ortak payda
sayılar r 1, ..., r s.
.
Daha sonra integral, ikame yoluyla rasyonel fonksiyonların integraline indirgenir:
İntegrali düşünün:
,
Diferansiyel binomlardan integraller burada m, n, p rasyonel sayılardır, a, b -.
gerçek sayılar
Bu tür integraller üç durumda rasyonel fonksiyonların integrallerine indirgenir.
1) p bir tamsayı ise. İkame x = t N, burada N, m ve n kesirlerinin ortak paydasıdır.
2) Eğer - bir tamsayı. İkame a x n + b = t M, burada M, p sayısının paydasıdır.
3) Eğer - bir tamsayı. İkame a + b x - n = t M, burada M, p sayısının paydasıdır.
Üç sayıdan hiçbiri tam sayı değilse, Chebyshev teoremine göre bu tür integraller, temel fonksiyonların sonlu bir birleşimi ile ifade edilemez.
;
.
Bazı durumlarda öncelikle integrali daha uygun m ve p değerlerine indirmek yararlı olur.
Bu, azaltma formülleri kullanılarak yapılabilir:
,
Bir kare trinomiyalin karekökünü içeren integraller
Burada formun integrallerini ele alıyoruz:
Euler ikameleri
Bu tür integraller, üç Euler ikamesinden birinin rasyonel fonksiyonlarının integrallerine indirgenebilir:
a > 0 için; c > 0 için;.
burada x 1, a x 2 + b x + c = 0 denkleminin köküdür.
Bu denklem varsa
Çoğu durumda Euler ikameleri, doğrudan yöntemlere göre daha uzun hesaplamalarla sonuçlanır. Doğrudan yöntemler kullanılarak integral aşağıda listelenen formlardan birine indirgenir.
Tip I
Formun integrali:
,
burada Pn(x) n dereceli bir polinomdur.
Bu tür integraller şu yöntemle bulunur: belirsiz katsayılar, kimliği kullanarak:
Bu denklemin farklılığını alıp sol ve sağ tarafları eşitleyerek Ai katsayılarını buluruz.
Tip II
Formun integrali:
,
burada Pm(x) m dereceli bir polinomdur.
Değiştirme t = (x - α) -1 bu integral önceki türe indirgenir. Eğer m ≥ n ise kesrin tamsayı kısmı olmalıdır.
III tipi
Üçüncü ve en karmaşık tür:
.
Burada bir değişiklik yapmanız gerekir:
.
Bundan sonra integral şu şekli alacaktır:
.
Daha sonra, α, β sabitleri, t katsayıları sıfır olacak şekilde seçilmelidir:
B = 0, B 1 = 0.
Daha sonra integral iki tür integralin toplamına ayrışır:
;
,
sırasıyla ikamelerle entegre edilenler:
z2 = A1t2 + C1;
y2 = A1 + C1t-2.
Genel durum
Aşkın (trigonometrik ve üstel) fonksiyonların entegrasyonu
Bunun için geçerli olan yöntemleri önceden belirtelim. trigonometrik fonksiyonlar için de geçerli hiperbolik fonksiyonlar. Bu nedenle hiperbolik fonksiyonların integralini ayrı ayrı ele almayacağız.
cos x ve sin x'in rasyonel trigonometrik fonksiyonlarının entegrasyonu
Formun trigonometrik fonksiyonlarının integrallerini ele alalım:
,
burada R rasyonel bir fonksiyondur. Bu aynı zamanda sinüsler ve kosinüsler kullanılarak dönüştürülmesi gereken teğetleri ve kotanjantları da içerebilir.
Bu tür işlevleri entegre ederken üç kuralı akılda tutmak faydalıdır:
1) eğer R( çünkü x, günah x) büyüklüklerin birinden önceki işaret değişikliğinden -1 ile çarpılır çünkü x veya günah x ise diğerini t ile belirtmekte fayda var.
2) eğer R( çünkü x, günah x) daha önce aynı anda burcun değişmesi nedeniyle değişmez çünkü x Ve günah x o zaman şunu koymakta fayda var tg x = t veya karyola x = t.
3) her durumda ikame aşağıdakilerin integraline yol açar: rasyonel kesir. Ne yazık ki, bu ikame, mümkünse, önceki hesaplamalara göre daha uzun hesaplamalara neden olur.
cos x ve sin x'in güç fonksiyonlarının çarpımı
Kesirli doğrusal mantıksızlık
Eğer m ve n rasyonel sayılar ise, o zaman ikamelerden biri t = günah x veya t = çünkü x integral diferansiyel binomun integraline indirgenir.
M ve n tamsayılar ise integraller kısımlara göre integral alınarak hesaplanır. Bu, aşağıdaki indirgeme formüllerini üretir:
;
;
;
.
Parçalara göre entegrasyon
Euler formülünün uygulanması
İntegral fonksiyonlardan birine göre doğrusal ise
çünkü balta veya sinax o zaman Euler formülünü uygulamak uygundur:
e iax = çünkü balta + isin balta(burada ben 2 = - 1
),
bu işlevi şununla değiştirmek: e iax ve gerçek olanı vurgulayarak (değiştirirken çünkü balta) veya hayali parça (değiştirirken sinax) elde edilen sonuçtan.
Kullanılan literatür:
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Sorunların toplanması yüksek matematik, "Lan", 2003.
İntegralleri çözme - kolay görev, ancak yalnızca seçilmiş birkaç kişi için. Bu makale integralleri anlamayı öğrenmek isteyen ancak onlar hakkında hiçbir şey bilmeyen veya neredeyse hiçbir şey bilmeyenler içindir. İntegral... Neden gerekli? Nasıl hesaplanır? Kesin olan ve belirsiz integral S? İntegral için bildiğiniz tek kullanım, ulaşılması zor yerlerden yararlı bir şey elde etmek için integral simgesi şeklinde bir tığ işi kanca kullanmaksa, o zaman hoş geldiniz! İntegralleri nasıl çözeceğinizi ve neden onsuz yapamayacağınızı öğrenin.
"İntegral" kavramını inceliyoruz
Entegrasyon eskiden biliniyordu Eski Mısır. Tabii ki içinde değil modern biçim, ama yine de. O zamandan bu yana matematikçiler bu konu üzerine pek çok kitap yazdılar. Özellikle kendilerini öne çıkardılar Newton Ve Leibniz ama şeylerin özü değişmedi. İntegraller sıfırdan nasıl anlaşılır? Mümkün değil! Bu konuyu anlamak için hala ihtiyacınız olacak temel bilgi temel bilgiler matematiksel analiz. Blogumuzda bulacağınız bu temel bilgilerdir.
Belirsiz integral
Biraz fonksiyonumuz olsun f(x) .
Belirsiz integral fonksiyonu f(x) bu fonksiyon denir F(x) türevi fonksiyona eşit olan f(x) .
Başka bir deyişle integral ters veya ters türevdir. Bu arada, makalemizde nasıl olduğunu okuyun.
Terstürev herkes için mevcuttur sürekli fonksiyonlar. Ayrıca, sabit bir farklılık gösteren fonksiyonların türevleri çakıştığından, antiderivatife sıklıkla sabit bir işaret eklenir. İntegrali bulma sürecine entegrasyon denir.
Basit örnek:
Temel fonksiyonların ters türevlerini sürekli hesaplamamak için bunları bir tabloya koymak ve hazır değerleri kullanmak uygundur:
Belirli integral
İntegral kavramıyla uğraşırken sonsuz küçük niceliklerle uğraşıyoruz. İntegral, şeklin alanını, homojen olmayan cismin kütlesini, kat edilen mesafeyi hesaplamaya yardımcı olacaktır. düzensiz hareket yol ve çok daha fazlası. Bir integralin sonsuz bir toplam olduğu unutulmamalıdır. büyük miktar sonsuz küçük terimler.
Örnek olarak, bir fonksiyonun grafiğini hayal edin. Bir şeklin alanı nasıl bulunur, programla sınırlı işlevler?
İntegral kullanma! Hadi parçalayalım kavisli yamuk, fonksiyonun koordinat eksenleri ve grafiği tarafından sonsuz küçük parçalara sınırlandırılmıştır. Bu şekilde şekil ince sütunlara bölünecektir. Sütunların alanlarının toplamı yamuğun alanı olacaktır. Ancak böyle bir hesaplamanın şunu vereceğini unutmayın yaklaşık sonuç. Ancak segmentler ne kadar küçük ve dar olursa hesaplama da o kadar doğru olacaktır. Bunları uzunluğu sıfıra yakın olacak kadar azaltırsak, bölümlerin alanlarının toplamı şeklin alanına yönelecektir. Bu belirli bir integraldir ve şu şekilde yazılır:
a ve b noktalarına integralin sınırları denir.
Bari Alibasov ve "İntegral" grubu
Bu arada! Okuyucularımız için şimdi %10 indirim var.
Aptallar için integral hesaplama kuralları
Belirsiz integralin özellikleri
Belirsiz bir integral nasıl çözülür? Burada örneklerin çözümünde faydalı olacak belirsiz integralin özelliklerine bakacağız.
- İntegralin türevi integrale eşittir:
- Sabit, integral işaretinin altından çıkarılabilir:
- Toplamın integrali toplamına eşit integraller. Bu aynı zamanda fark için de geçerlidir:
Belirli bir integralin özellikleri
- Doğrusallık:
- İntegral sınırları değiştirilirse integralin işareti değişir:
- Şu tarihte: herhangi puan A, B Ve İle:
Belirli bir integralin bir toplamın limiti olduğunu zaten öğrenmiştik. Ama nasıl elde edilir özel anlam bir örneği çözerken? Bunun için Newton-Leibniz formülü var:
İntegral çözme örnekleri
Aşağıda belirsiz integralleri bulmanın birkaç örneğini ele alacağız. Sizi çözümün inceliklerini kendiniz anlamaya davet ediyoruz ve net olmayan bir şey varsa yorumlarda sorular sorun.
Materyali güçlendirmek için integrallerin pratikte nasıl çözüldüğüne dair bir video izleyin. İntegral hemen verilmezse umutsuzluğa kapılmayın. Sorduğunuzda size integrallerin hesaplanmasıyla ilgili bildikleri her şeyi anlatacaklar. Bizim yardımımızla herhangi bir üçlü veya çizgi integrali kapalı bir yüzeyde bunu yapabileceksiniz.