Figür, programla sınırlı$$ segmentindeki sürekli negatif olmayan $f(x)$ fonksiyonuna ve $y=0, \ x=a$ ve $x=b$ düz çizgilerine eğrisel yamuk denir.
Karşılık gelen alan kavisli yamuk formülle hesaplanır:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Eğrisel bir yamuğun alanını bulma problemlerini şartlı olarak $4$ türlerine ayıracağız. Her türe daha ayrıntılı olarak bakalım.
Tip I: Kavisli bir yamuk açıkça belirtilmiştir. Daha sonra hemen formülü (*) uygulayın.
Örneğin, $y=4-(x-2)^(2)$ fonksiyonunun grafiği ve $y=0, \ x=1$ ve $x çizgileriyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını bulun =3$.
Bu kavisli yamuğu çizelim.
Formül (*) kullanarak bu eğrisel yamuğun alanını buluyoruz.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) – \left.\frac((x-2)^(3) )(3)\right|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\left((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\right)=4 \cdot 2 – \frac (1)(3)\left((1)^(3)-(-1)^(3)\right) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (birimler$^(2)$).
Tip II: Kavisli yamuk örtülü olarak belirtilmiştir. Bu durumda, $x=a, \ x=b$ düz çizgileri genellikle belirtilmez veya kısmen belirtilir. Bu durumda $y=f(x)$ ve $y=0$ fonksiyonlarının kesişim noktalarını bulmanız gerekir. Bu noktalar $a$ ve $b$ noktaları olacaktır.
Örneğin, $y=1-x^(2)$ ve $y=0$ fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin alanını bulun.
Kesişme noktalarını bulalım. Bunu yapmak için fonksiyonların sağ taraflarını eşitliyoruz.
Yani $a=-1$ ve $b=1$. Bu kavisli yamuğu çizelim.
Bu kavisli yamuğun alanını bulalım.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \limits_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) – \left.\frac(x^(3))(3)\right|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\left(1^(3)-(-1)^(3)\right)=2 – \frac(1)(3) \left(1+1\right) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (birim$^(2)$).
Tip III: iki sürekli negatif olmayan fonksiyonun kesişimiyle sınırlı bir şeklin alanı. Bu şekil kavisli bir yamuk olmayacaktır, yani alanını formül (*) kullanarak hesaplayamazsınız. Bu nasıl olabilir? Bu şeklin alanının, üst fonksiyon ve $y=0$ ($S_(uf)$) ile alt fonksiyon ve $y tarafından sınırlanan eğrisel yamukların alanları arasındaki fark olarak bulunabileceği ortaya çıktı. =0$ ($S_(lf)$), burada $x=a, \ x=b$ rolü bu fonksiyonların kesişme noktalarının $x$ koordinatları tarafından oynanır, yani.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Bu tür alanları hesaplarken en önemli şey üst ve alt fonksiyonların seçimini “kaçırmamak”tır.
Örneğin, $y=x^(2)$ ve $y=x+6$ fonksiyonlarıyla sınırlanan bir şeklin alanını bulun.
Bu grafiklerin kesişim noktalarını bulalım:
Vieta'nın teoremine göre,
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
Yani, $a=-2,\b=3$. Bir şekil çizelim:
Böylece, üstteki işlev $y=x+6$ ve alttaki işlev $y=x^(2)$ olur. Daha sonra, (*) formülünü kullanarak $S_(uf)$ ve $S_(lf)$'ı buluyoruz.
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2) )^(3)(6dx)=\left.\frac(x^(2))(2)\right|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 0,5$ (birim$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\left.\frac(x^(3))(3)\right|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (birim$^(2)$).
Bulduklarımızı (**) yerine koyalım ve şunu elde edelim:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (birimler$^(2)$).
Tip IV: şekil alanı, sınırlı işlev Negatif olmama koşulunu sağlamayan (ler). Böyle bir şeklin alanını bulmak için $Ox$ eksenine göre simetrik olmanız gerekir ( başka bir deyişle, fonksiyonların önüne “eksiler” koyun) alanı görüntüleyin ve tip I – III'te belirtilen yöntemleri kullanarak görüntülenen alanın alanını bulun. Bu alan gerekli alan olacaktır. Öncelikle fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarını bulmanız gerekebilir.
Örneğin, $y=x^(2)-1$ ve $y=0$ fonksiyonlarının grafikleriyle sınırlanan bir şeklin alanını bulun.
Fonksiyon grafiklerinin kesişim noktalarını bulalım:
onlar. $a=-1$ ve $b=1$. Alanı çizelim.
Alanı simetrik olarak gösterelim:
$y=0 \ \Rightarrow \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Rightarrow \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Sonuç, $y=1-x^(2)$ ve $y=0$ fonksiyonunun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuktur. Bu, ikinci tipte kavisli bir yamuk bulmak için bir sorundur. Biz bunu zaten çözdük. Cevap şuydu: $S= 1\frac(1)(3)$ (birimler $^(2)$). Bu, gerekli eğrisel yamuğun alanının şuna eşit olduğu anlamına gelir:
$S=1\frac(1)(3)$ (birimler$^(2)$).
Düz çizgilerle sınırlanan kavisli bir yamuğun alanını hesaplamak gerekir, 
,
ve eğri 
.
Segmenti bölelim 
dotmina 
temel bölümler, uzunluk 
inci bölüm 
. Doğru parçasının bölünme noktalarından eğri ile kesişme noktasına kadar olan dik açıları yeniden oluşturalım 
, izin vermek 
. Sonuç olarak elde ederiz 
Temel yamuklar, alanlarının toplamı açıkça belirli bir eğrisel yamuğun toplamına eşittir.
Fonksiyonun her bir temel aralıktaki en büyük ve en küçük değerlerini birinci aralıkta belirleyelim; 
, ikincisinde 
ve benzeri. Tutarları hesaplayalım
İlk toplam açıklananların tümünün alanını temsil eder, ikincisi ise kavisli bir yamuk içine yazılan tüm dikdörtgenlerin alanıdır.
İlk toplamın yamuk alanının "fazla", ikincisi - "eksik" alanının yaklaşık değerini verdiği açıktır. İlk toplama üst Darboux toplamı, ikincisine ise alt Darboux toplamı denir. Böylece kavisli bir yamuğun alanı 
eşitsizliği karşılar 
. Parçanın bölümlenme noktalarının sayısı arttıkça Darboux toplamlarının nasıl davrandığını bulalım. 
. Bölme noktalarının sayısı birer artsın ve aralığın ortasında olsun 
.
Şimdi sayı şöyle 
yazılı ve çevreli dikdörtgenler birer arttı. Düşük Darboux toplamının nasıl değiştiğini ele alalım. Bir kare yerine 
yazılı dikdörtgen, eşittir 
iki dikdörtgenin alanlarının toplamını alıyoruz 
uzunluğundan beri 
daha az olamaz 
fonksiyonun en küçük değeri 
. Diğer tarafta, 
, Çünkü 
daha fazlası olamaz 
fonksiyonun aralıktaki en büyük değeri . Dolayısıyla, bir segmenti bölmek için yeni noktalar eklemek, alt Darboux toplamının değerini artırır ve üst Darboux toplamını azaltır. Bu durumda, alt Darboux toplamı, bölme noktalarının sayısındaki herhangi bir artışla birlikte, herhangi bir üst toplamın değerini aşamaz çünkü açıklanan dikdörtgenlerin alanlarının toplamı her zaman miktardan daha fazla
kavisli bir yamuk içine yazılmış dikdörtgen alanları.
Böylece, alt Darboux toplamlarının sırası, parçanın bölünme noktalarının sayısıyla birlikte artar ve iyi bilinen teoreme göre yukarıdan sınırlanır; bir limiti vardır; Bu sınır, belirli bir kavisli yamuğun alanıdır.
Benzer şekilde, üst Darboux toplamlarının sırası, aralığın bölümlenme noktalarının sayısı arttıkça azalır ve alttan herhangi bir alt Darboux toplamı ile sınırlandırılır, bu da onun da bir limiti olduğu ve aynı zamanda alanına eşit olduğu anlamına gelir. eğrisel yamuk. 
Bu nedenle kavisli bir yamuğun alanını hesaplamak için yeterlidir. 
aralığın bölümleri, alt veya üst Darboux toplamını belirleyin ve ardından hesaplayın 
.
, veya Bununla birlikte, soruna böyle bir çözüm, keyfi olarak herhangi bir çözümün varlığını gerektirir. büyük sayı 
bölümler
, her temel aralıkta bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak çok emek yoğun bir iştir.
Riemann integral toplamı kullanılarak daha basit bir çözüm elde edilir; 
her temel aralığın bir noktası, yani 
. Sonuç olarak, Riemann integral toplamı tüm olası dikdörtgenlerin alanlarının toplamıdır ve 
. Yukarıda gösterildiği gibi üst ve alt Darboux toplamlarının sınırları eğri yamuğun alanıyla aynı ve eşittir. Bir fonksiyonun limitinin özelliklerinden birini (iki polis kuralı) kullanarak, bunu parçanın herhangi bir bölümü için elde ederiz. 
ve noktaların seçilmesi 
Kavisli bir yamuğun alanı formül kullanılarak hesaplanabilir 
.
Geri İleri
Dikkat! Slayt önizlemeleri yalnızca bilgilendirme amaçlıdır ve sunumun tüm özelliklerini temsil etmeyebilir. Eğer ilgileniyorsanız bu iş lütfen tam sürümünü indirin.
Anahtar kelimeler: integral, eğrisel yamuk, zambaklarla sınırlanan figürlerin alanı
Teçhizat: işaretleme panosu, bilgisayar, multimedya projektörü
Ders türü: ders-ders
Ders Hedefleri:
- eğitici: kültürü şekillendirmek zihinsel çalışma, her öğrenci için bir başarı durumu yaratın, öğrenme için olumlu motivasyon yaratın; Başkalarını konuşma ve dinleme yeteneğini geliştirmek.
- gelişmekte: Bilginin uygulanmasında öğrencinin bağımsız düşüncesinin oluşması farklı durumlar Analiz etme ve sonuç çıkarma yeteneği, mantığın gelişimi, doğru soru sorma ve onlara cevap bulma yeteneğinin geliştirilmesi. Hesaplama becerilerinin oluşumunu iyileştirmek, önerilen görevleri tamamlama sürecinde öğrencilerin düşünmesini geliştirmek, algoritmik bir kültür geliştirmek.
- eğitici: eğrisel yamuk ve integral ile ilgili kavramları formüle etmek, alan hesaplama becerilerinde uzmanlaşmak düz rakamlar
Öğretme Yöntemi: açıklayıcı ve açıklayıcı.
Ders ilerlemesi
Önceki derslerde sınırları çokgen çizgiler olan şekillerin alanlarını hesaplamayı öğrendik. Matematikte eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamanızı sağlayan yöntemler vardır. Bu tür şekillere eğrisel yamuklar denir ve alanları antiderivatifler kullanılarak hesaplanır.
Eğrisel yamuk ( slayt 1)
Eğri bir yamuk, bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan bir şekildir ( sh.m.), dümdüz x = bir Ve x = b ve x ekseni
Çeşitli kavisli yamuk türleri ( slayt 2)
Düşünüyoruz çeşitli türler eğrisel yamuklar ve dikkat: düz çizgilerden biri bir noktaya kadar dejeneredir, sınırlayıcı fonksiyonun rolü düz çizgi tarafından oynanır
Kavisli bir yamuğun alanı (slayt 3)
Aralığın sol ucunu düzeltelim A, ve doğru olanı X değişeceğiz, yani eğrisel yamuğun sağ duvarını hareket ettirip değişen bir şekil elde edeceğiz. Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan değişken bir eğrisel yamuğun alanı bir antiderivatiftir F fonksiyon için F
Ve segmentte [ A; B] fonksiyonun oluşturduğu eğrisel bir yamuğun alanı F, bu fonksiyonun terstürevinin artışına eşittir:
Görev 1:
Fonksiyonun grafiğiyle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını bulun: f(x) = x 2 ve düz y = 0, x = 1, x = 2.
Çözüm: ( algoritma slayt 3'e göre)
Fonksiyonun ve doğruların grafiğini çizelim
Hadi birini bulalım antiderivatif fonksiyonlar f(x) = x 2 :
Slayt kendi kendine testi
İntegral
Fonksiyon tarafından tanımlanan eğrisel bir yamuğu düşünün F segmentte [ A; B] Bu segmenti birkaç parçaya ayıralım. Tüm yamuğun alanı, daha küçük kavisli yamuğun alanlarının toplamına bölünecektir. ( slayt 5). Bu tür yamukların her biri yaklaşık olarak bir dikdörtgen olarak düşünülebilir. Bu dikdörtgenlerin alanlarının toplamı, kavisli yamuğun tüm alanı hakkında yaklaşık bir fikir verir. Segmenti ne kadar küçük bölersek [ A; B], alanı o kadar doğru hesaplarız.
Bu argümanları formüller halinde yazalım.
Segmenti bölün [ A; B] noktalara göre n parçaya x 0 = a, x1,…, xn = b. Uzunluk k- bu ile belirtmek xk = xk – xk-1. Hadi bir toplam yapalım
Geometrik olarak bu toplam, şekilde gölgelenen şeklin alanını temsil eder ( shm.)
Formun toplamlarına fonksiyonun integral toplamları denir F. (sh.m.)
İntegral toplamları alanın yaklaşık değerini verir. Tam değer limite geçilerek elde edilir. Segmentin bölümünü iyileştirdiğimizi hayal edelim [ A; B] böylece tüm küçük bölümlerin uzunlukları sıfıra yönelir. Daha sonra oluşan şeklin alanı kavisli yamuğun alanına yaklaşacaktır. Kavisli bir yamuğun alanının integral toplamların sınırına eşit olduğunu söyleyebiliriz, Sc.t. (sh.m.) veya integral, yani,
Tanım:
Bir fonksiyonun integrali f(x) itibaren A ile B integral toplamların limiti denir
= (sh.m.)
Newton-Leibniz formülü.
İntegral toplamlarının limitinin eğrisel bir yamuğun alanına eşit olduğunu hatırlıyoruz, bu da şunu yazabileceğimiz anlamına geliyor:
Sc.t. = (sh.m.)
Öte yandan kavisli bir yamuğun alanı formülle hesaplanır.
S k.t. (sh.m.)
Bu formülleri karşılaştırdığımızda şunu elde ederiz:
= (sh.m.)Bu eşitliğe Newton-Leibniz formülü denir.
Hesaplama kolaylığı için formül şu şekilde yazılmıştır:
= = (sh.m.)Görevler: (sh.m.)
1. Newton-Leibniz formülünü kullanarak integrali hesaplayın: ( 5. slaytı kontrol edin)
2. İntegralleri çizime göre oluşturun ( 6. slaytı kontrol edin)
3. Şeklin alanını bulun, çizgilerle sınırlı: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slayt 7)
Düzlem şekillerin alanlarının bulunması ( slayt 8)
Kavisli yamuk olmayan şekillerin alanı nasıl bulunur?
Slaytta grafiklerini gördüğünüz iki fonksiyon verilsin . (sh.m.) Gölgeli şeklin alanını bulun . (sh.m.). Söz konusu şekil kavisli bir yamuk mu? Alanın toplamlanabilirliği özelliğini kullanarak alanını nasıl bulabilirsiniz? İki kavisli yamuk düşünün ve diğerinin alanını bunlardan birinin alanından çıkarın ( sh.m.)
Bir slayttaki animasyonu kullanarak alanı bulmak için bir algoritma oluşturalım:
- Grafik fonksiyonları
- Grafiklerin kesişme noktalarını x eksenine yansıtın
- Grafikler kesiştiğinde elde edilen şekli gölgeleyin
- Kesişimi veya birleşimi verilen şekil olan eğrisel yamukları bulun.
- Her birinin alanını hesaplayın
- Alanların farkını veya toplamını bulun
Sözlü görev: Gölgeli bir şeklin alanının nasıl elde edileceği (animasyon kullanarak anlatın, slayt 8 ve 9)
Ev ödevi: No. 353 (a), No. 364 (a) notlarını inceleyin.
Referanslar
- Cebir ve analizin başlangıcı: akşam (vardiya) okulunun 9-11. sınıfları için bir ders kitabı / ed. G.D. Glaser. - M: Aydınlanma, 1983.
- Bashmakov M.I. Cebir ve analizin başlangıcı: Ortaokulun 10-11. sınıfları için bir ders kitabı / Bashmakov M.I. - M: Aydınlanma, 1991.
- Bashmakov M.I. Matematik: başlayan kurumlar için ders kitabı. ve Çarşamba prof. eğitim / M.I. Bashmakov. - M: Akademi, 2010.
- Kolmogorov A.N. Cebir ve analizin başlangıcı: 10-11. Sınıflar için ders kitabı. eğitim kurumları / A.N. - M: Eğitim, 2010.
- Ostrovsky S.L. Ders sunumu nasıl yapılır?/ S.L. Ostrovsky. – M.: 1 Eylül 2010.
Örnek1 . Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplayın: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 ve x = 2
Bir şekil oluşturalım (şekle bakın) A(4;0) ve B(0;2) olmak üzere iki noktayı kullanarak x + 2y – 4 = 0 düz bir çizgisini oluşturuyoruz. Y'yi x'e kadar ifade edersek y = -0,5x + 2 elde ederiz. Formül (1)'i kullanarak f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2'yi buluruz
S = = [-0,25=11,25 metrekare birimler
Örnek 2. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplayın: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 ve y = 0.
Çözüm. Şekli oluşturalım.
Bir x – 2y + 4 = 0 düz çizgisi çizelim: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Bir x + y – 5 = 0 düz çizgisi çizelim: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Denklem sistemini çözerek doğruların kesişme noktasını bulalım:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Gerekli alanı hesaplamak için AMC üçgenini iki üçgen AMN ve NMC'ye böleriz, çünkü x A'dan N'ye değiştiğinde alan düz bir çizgiyle ve x N'den C'ye değiştiğinde düz bir çizgiyle sınırlıdır.
AMN üçgeni için elimizde: ; y = 0,5x + 2, yani f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
NMC üçgeni için elimizde: y = - x + 5, yani f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Her üçgenin alanını hesaplayıp sonuçları toplayarak şunları buluruz:
metrekare birimler
metrekare birimler
9 + 4, 5 = 13,5 metrekare birimler Kontrol edin: = 0,5AC = 0,5 metrekare birimler
Örnek 3. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
İÇİNDE bu durumda kavisli bir yamuğun alanını hesaplamanız gerekir, bir parabol ile sınırlı y = x 2 , düz çizgiler x = 2 ve x = 3 ve Öküz ekseni (şekle bakın) Formül (1)'i kullanarak eğrisel yamuğun alanını buluyoruz
= = 6 metrekare birimler
Örnek 4. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = - x 2 + 4 ve y = 0
Şekli oluşturalım. Gerekli alan y = - x parabolünün arasına alınmıştır 2 + 4 ve Öküz ekseni.
Parabolün Ox ekseniyle kesişme noktalarını bulalım. Y = 0 varsayarsak x = buluruz. Bu şekil Oy eksenine göre simetrik olduğundan, Oy ekseninin sağında yer alan şeklin alanını hesaplayıp elde edilen sonucu iki katına çıkarırız: = +4x]sq. birimler 2 = 2 metrekare birimler
Örnek 5. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Burada parabolün üst dalıyla sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamanız gerekiyor 2 = x, Öküz ekseni ve düz çizgiler x = 1 ve x = 4 (şekle bakın)
Formül (1)'e göre, f(x) = a = 1 ve b = 4 olduğunda, = (= metrekare birimlerimiz vardır.
Örnek 6 . Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Gerekli alan sinüzoidin yarım dalgası ve Ox ekseni ile sınırlıdır (şekle bakın).
Elimizde - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 metrekare var. birimler
Örnek 7. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = - 6x, y = 0 ve x = 4.
Şekil Öküz ekseninin altında yer almaktadır (şekle bakınız).
Bu nedenle alanını formül (3) kullanarak buluyoruz.
= =
Örnek 8. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplayın: y = ve x = 2. Noktalardan y = eğrisini oluşturun (şekle bakın). Böylece formülü (4) kullanarak şeklin alanını buluyoruz.
Örnek 9 .
X 2 + e 2 = r 2 .
Burada alanı hesaplamanız gerekiyor, bir daire ile sınırlı X 2 + e 2 = r 2 , yani merkezi orijinde olan r yarıçaplı bir dairenin alanı. İntegral limitlerini 0'dan alarak bu alanın dördüncü kısmını bulalım.
önce; sahibiz: 1 = = [
Buradan, 1 =
Örnek 10. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y= x 2 ve y = 2x
Bu rakam y=x parabolü ile sınırlıdır 2 ve düz çizgi y = 2x (şekle bakın) Verilen doğruların kesişme noktalarını belirlemek için denklem sistemini çözeriz: x 2 – 2x = 0 x = 0 ve x = 2
Alanı bulmak için formül (5)'i kullanarak şunu elde ederiz:
= }