Fonksiyonun negatif olmamasına ve aralıkta sürekli olmasına izin verin. Daha sonra, belirli bir integralin geometrik anlamına göre, yukarıda bu fonksiyonun grafiğiyle, aşağıda eksenle, solda ve sağda düz çizgilerle sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanı ve (bkz. Şekil 2) formülle hesaplanır
Örnek 9. Bir çizgiyle sınırlanan bir şeklin alanını bulun 
ve eksen.
Çözüm. Fonksiyon grafiği 
dalları aşağı doğru yönlendirilmiş bir paraboldür. Haydi inşa edelim (Şekil 3). İntegral sınırlarını belirlemek için çizginin (parabol) eksenle (düz çizgi) kesişme noktalarını buluruz. Bunu yapmak için denklem sistemini çözüyoruz
Şunu elde ederiz: 
, Neresi , ; buradan, , .
Pirinç. 3
Şeklin alanını formül (5) kullanarak buluyoruz:
Fonksiyon pozitif değilse ve segment üzerinde sürekli ise, o zaman aşağıda bu fonksiyonun grafiğiyle, yukarıda eksenle, solda ve sağda düz çizgilerle sınırlanan eğrisel yamuğun alanı ve ile hesaplanır. formül
. (6)
Fonksiyon bir segment üzerinde sürekliyse ve sonlu sayıda noktada işaret değiştiriyorsa, o zaman gölgeli şeklin alanı (Şekil 4), karşılık gelen belirli integrallerin cebirsel toplamına eşittir:
Pirinç. 4
Örnek 10. Eksenin sınırladığı şeklin alanını ve fonksiyonun grafiğini hesaplayın.
Pirinç. 5
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şekil 5). Gerekli alan, alanların toplamıdır ve . Bu alanların her birini bulalım. Öncelikle sistemi çözerek entegrasyonun sınırlarını belirliyoruz. 
, alıyoruz. Buradan:
;
.
Böylece gölgeli şeklin alanı
(birim kare).
Pirinç. 6
Son olarak, eğrisel yamuk, doğru parçası üzerinde sürekli olan fonksiyonların grafikleri ile yukarıdan ve aşağıdan sınırlansın ve ,
ve solda ve sağda - düz çizgiler ve (Şek. 6). Daha sonra alanı formülle hesaplanır.
. (8)
Örnek 11.Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.
Çözüm. Bu şekil Şekil 2'de gösterilmektedir. 7. Formül (8)'i kullanarak alanını hesaplayalım. Bulduğumuz denklem sisteminin çözümü; buradan, , . Sahip olduğumuz segmentte: . Bu, formül (8)'de şu şekilde aldığımız anlamına gelir: X ve kalitede – . Şunu elde ederiz:
(birim kare).
Alanların hesaplanmasıyla ilgili daha karmaşık problemler, şeklin üst üste gelmeyen parçalara bölünmesi ve tüm şeklin alanının bu parçaların alanlarının toplamı olarak hesaplanmasıyla çözülür.
Pirinç. 7
Örnek 12.Şeklin , , çizgileriyle sınırlanan alanını bulun.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 8). Bu şekil, aşağıdan eksenle, sola ve sağa - düz çizgilerle ve yukarıdan - fonksiyon grafikleriyle sınırlanan eğrisel bir yamuk olarak düşünülebilir. Şekil yukarıdan iki fonksiyonun grafikleriyle sınırlı olduğundan, alanını hesaplamak için bu düz çizgi şeklini iki parçaya bölüyoruz (1, ve çizgilerinin kesişme noktasının apsisidir). Bu parçaların her birinin alanı formül (4) kullanılarak bulunur:
(birim kare); 
(birim kare). Buradan:
(birim kare).
Pirinç. 8
|
Pirinç. 9
Sonuç olarak, eğrisel bir yamuğun düz çizgilerle sınırlı olması ve , eksen ve eğri üzerinde sürekli olması durumunda (Şekil 9), alanının formülle bulunduğunu not ediyoruz.
Dönen bir cismin hacmi
Bir parça üzerinde sürekli bir fonksiyonun grafiğiyle, bir eksenle, düz çizgilerle ve 1 ile sınırlanan eğrisel bir yamuğun eksen etrafında dönmesine izin verin (Şekil 10). Daha sonra ortaya çıkan dönme gövdesinin hacmi formülle hesaplanır.
. (9)
Örnek 13. Bir hiperbol, düz çizgiler ve eksenle sınırlanan eğrisel bir yamuğun ekseni etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın.
Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 11).
Sorunun koşullarından şu sonuç çıkıyor: . Formül (9)'dan şunu elde ederiz:
.
Pirinç. 10
Pirinç. on bir
Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmi kuruluş birimi düz çizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk y = c Ve y = d, eksen kuruluş birimi ve bir segment üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği (Şekil 12), formülle belirlenir
. (10)
|
Pirinç. 12
Örnek 14. Bir eksen etrafında döndürülerek elde edilen bir cismin hacmini hesaplayın kuruluş birimiçizgilerle sınırlanmış eğrisel yamuk X 2 = 4en, y = 4, x = 0 (Şek. 13).
Çözüm. Problemin koşullarına uygun olarak integralin sınırlarını buluyoruz: , . Formül (10)'u kullanarak şunu elde ederiz:
Pirinç. 13
Bir düzlem eğrinin yay uzunluğu
Denklemin verdiği eğrinin düzlemde olmasına izin verin (Şekil 14).
Pirinç. 14
Tanım. Bir yayın uzunluğu, kesikli çizginin bağlantılarının sayısı sonsuza doğru gittiğinde ve en büyük bağlantının uzunluğu sıfıra doğru yöneldiğinde, bu yayın içine yazılan bir kesikli çizginin uzunluğunun yöneldiği sınır olarak anlaşılmaktadır.
Bir fonksiyon ve onun türevi parça üzerinde sürekli ise, eğrinin yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:
. (11)
Örnek 15. noktaları arasında kalan eğrinin yay uzunluğunu hesaplayın. 
.
Çözüm. Sahip olduğumuz sorun koşullarından 
. Formül (11)'i kullanarak şunu elde ederiz:
.
4. Uygun olmayan integraller
sonsuz entegrasyon sınırlarıyla
Belirli bir integral kavramı tanıtılırken aşağıdaki iki koşulun karşılandığı varsayılmıştır:
a) entegrasyon sınırları A ve sonludur;
b) integral aralıkta sınırlıdır.
Bu koşullardan en az biri sağlanmıyorsa integrale denir. senin değil.
İlk önce sonsuz integral limitli uygunsuz integralleri ele alalım.
Tanım. Fonksiyonun aralıkta tanımlı ve sürekli olmasına izin verin, o zaman sağda ise sınırsızdır (Şek. 15).
Uygunsuz integral yakınsarsa bu alan sonludur; uygunsuz integral ıraksarsa bu alan sonsuzdur.
Pirinç. 15
Sonsuz alt limitli uygunsuz bir integral benzer şekilde tanımlanır:
. (13)
Bu integral, eşitliğin (13) sağ tarafındaki limitin mevcut olması ve sonlu olması durumunda yakınsar; aksi halde integralin ıraksak olduğu söylenir.
İki sonsuz integral sınırına sahip uygun olmayan bir integral şu şekilde tanımlanır:
, (14)
burada с aralığın herhangi bir noktasıdır. İntegral ancak eşitliğin (14) sağ tarafındaki her iki integralin yakınsaması durumunda yakınsar.
;G) 
= [paydada tam bir kare seçin: ] = 
[yenisiyle değiştirme:
] = 
Bu, uygunsuz integralin yakınsak olduğu ve değerinin eşit olduğu anlamına gelir.
Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. Derste belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi başka bir yararlı gerçeği belirtmenin zamanı geldi. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.
Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral düzlemde belirli bir eğriyi tanımlar (istenirse her zaman çizilebilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.
örnek 1
Bu tipik bir atama ifadesidir. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimin yapımıdır.. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.
Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta nokta, noktadan noktaya inşaat tekniği referans malzemesinde bulunabilir.
Orada ayrıca dersimiz için çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.
Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):
Kavisli yamuğu gölgelemeyeceğim; burada hangi alandan bahsettiğimiz belli oluyor. Çözüm şu şekilde devam ediyor:
Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:
Cevap:
Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler 
, derse bakın Kesin integral. Çözüm örnekleri.
Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayarız - yaklaşık 9 tane olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.
Örnek 2
Çizgiler ve eksenlerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?
Örnek 3
Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
Çözüm: Bir çizim yapalım: 
Kavisli bir yamuk ise tamamen eksenin altında yer alır ise alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda: 
Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:
1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.
2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.
Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.
Örnek 4
Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.
Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:
Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.
Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.
Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım: 
Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.
Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyonlar varsa, karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi ALTTA.
Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.
Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:
İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:
Cevap:
Aslında, alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için okul formülü (bakınız basit örnek No. 3), formülün özel bir halidir 
. Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği eksenin altında bulunduğundan, o zaman 
Şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek
Örnek 5
Örnek 6
Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.
Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... yanlış şeklin alanı bulundu, bu, mütevazi hizmetkarınızın birkaç kez işleri batırmasının aynısıydı. İşte gerçek hayattan bir örnek:
Örnek 7
, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.
İlk önce bir çizim yapalım: 
Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlikten dolayı, bir şeklin yeşil renkle gölgelenmiş alanını bulmanız gerektiği sıklıkla ortaya çıkar!
Bu örnek aynı zamanda iki belirli integrali kullanarak bir şeklin alanını hesapladığı için de faydalıdır. Gerçekten mi:
1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;
2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.
Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:
Cevap:
Örnek 8
Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım: 
Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?
Böyle durumlarda ek zaman harcamanız ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirmeniz gerekir.
Düz bir çizgi ile parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz: 
Buradan, .
Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele, ikameler ve işaretler konusunda kafanızın karışmamasıdır; buradaki hesaplamalar en basit değildir.
Segmentte 
karşılık gelen formüle göre: 
Cevap: 
Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.
Örnek 9
Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,
Çözüm: Bu şekli çizimde gösterelim. 
Nokta nokta bir çizim oluşturmak için sinüzoidin görünümünü bilmeniz gerekir (ve genel olarak bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.
Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:
Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:
(1) Derste sinüs ve kosinüslerin tek kuvvetlere nasıl entegre edildiğini görebilirsiniz. Trigonometrik fonksiyonların integralleri. Bu tipik bir tekniktir, bir sinüsü sıkıştırırız.
(2) Formdaki ana trigonometrik özdeşliği kullanıyoruz 
(3) Değişkeni değiştirelim, sonra:
Yeni entegrasyon alanları:
Oyuncu değişikliği konusunda gerçekten kötü olan herkes lütfen ders alsın. Belirsiz integralde ikame yöntemi. Belirli bir integralin yerine koyma algoritmasını tam olarak anlamayanlar için sayfayı ziyaret edin Kesin integral. Çözüm örnekleri.
Örnek 1 . Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: x + 2y – 4 = 0, y = 0, x = -3 ve x = 2
Bir şekil oluşturalım (şekle bakın) A(4;0) ve B(0;2) olmak üzere iki noktayı kullanarak x + 2y – 4 = 0 düz bir çizgisini oluşturuyoruz. Y'yi x'e kadar ifade edersek y = -0,5x + 2 elde ederiz. Formül (1)'i kullanarak f(x) = -0,5x + 2, a = -3, b = 2'yi buluruz
S = = [-0,25=11,25 metrekare birimler
Örnek 2. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: x – 2y + 4 = 0, x + y – 5 = 0 ve y = 0.
Çözüm. Şekli oluşturalım.
Bir x – 2y + 4 = 0 düz çizgisi çizelim: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Bir x + y – 5 = 0 düz çizgisi çizelim: y = 0, x = 5, C(5; 0), x = 0, y = 5, D(0; 5).
Denklem sistemini çözerek doğruların kesişme noktasını bulalım:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Gerekli alanı hesaplamak için AMC üçgenini iki üçgen AMN ve NMC'ye böleriz, çünkü x A'dan N'ye değiştiğinde alan düz bir çizgiyle ve x N'den C'ye değiştiğinde düz bir çizgiyle sınırlıdır.
AMN üçgeni için elimizde: ; y = 0,5x + 2, yani f(x) = 0,5x + 2, a = - 4, b = 2.
NMC üçgeni için elimizde: y = - x + 5, yani f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Her üçgenin alanını hesaplayıp sonuçları toplayarak şunları buluruz:
metrekare birimler
metrekare birimler
9 + 4, 5 = 13,5 metrekare birimler Kontrol edin: = 0,5AC = 0,5 metrekare birimler
Örnek 3. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Bu durumda, y = x parabolünün sınırladığı kavisli bir yamuğun alanını hesaplamanız gerekir. 2 , düz çizgiler x = 2 ve x = 3 ve Öküz ekseni (şekle bakınız) Formül (1)'i kullanarak eğrisel yamuğun alanını buluruz
= = 6 metrekare birimler
Örnek 4. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = - x 2 + 4 ve y = 0
Şekli oluşturalım. Gerekli alan y = - x parabolünün arasına alınmıştır 2 + 4 ve Öküz ekseni.
Parabolün Ox ekseniyle kesişme noktalarını bulalım. Y = 0 varsayarsak x = buluruz. Bu şekil Oy eksenine göre simetrik olduğundan, Oy ekseninin sağında yer alan şeklin alanını hesaplayıp elde edilen sonucu iki katına çıkarırız: = +4x]sq. birimler 2 = 2 metrekare birimler
Örnek 5. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Burada parabolün üst dalıyla sınırlanan eğrisel bir yamuğun alanını hesaplamanız gerekiyor 2 = x, Ox ekseni ve düz çizgiler x = 1 и x = 4 (şekle bakın)
Formül (1)'e göre, f(x) = a = 1 ve b = 4 olduğunda, = (= metrekare birimlerimiz vardır.
Örnek 6 . Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Gerekli alan sinüzoidin yarım dalgası ve Ox ekseni ile sınırlıdır (şekle bakın).
Elimizde - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 metrekare var. birimler
Örnek 7. Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın: y = - 6x, y = 0 ve x = 4.
Şekil Öküz ekseninin altında yer almaktadır (şekle bakınız).
Bu nedenle alanını formül (3) kullanarak buluyoruz.
= =
Örnek 8. Şeklin çizgileriyle sınırlanan alanını hesaplayın: y = ve x = 2. Noktalardan y = eğrisini oluşturun (şekle bakın). Böylece formülü (4) kullanarak şeklin alanını buluyoruz.
Örnek 9 .
X 2 + e 2 = r 2 .
Burada x çemberinin çevrelediği alanı hesaplamanız gerekir. 2 + e 2 = r 2 , yani merkezi orijinde olan r yarıçaplı bir dairenin alanı. İntegral limitlerini 0'dan alarak bu alanın dördüncü kısmını bulalım.
önce; sahibiz: 1 = = [
Buradan, 1 =
Örnek 10. Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplayın: y= x 2 ve y = 2x
Bu rakam y = x parabolü ile sınırlıdır 2 ve düz çizgi y = 2x (şekle bakın) Verilen doğruların kesişme noktalarını belirlemek için denklem sistemini çözeriz: x 2 – 2x = 0 x = 0 ve x = 2
Alanı bulmak için formül (5)'i kullanarak şunu elde ederiz:
= \- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Örnek 2. Sinüsoid y = sinXy, Ox ile sınırlı alanı hesaplayalım. eksen ve düz çizgi (Şekil .87). Formül (I)'i uygulayarak A 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf elde ederiz. Örnek 3. Sinüsoidin yayı ile sınırlı alanı hesaplayın ^у = sin jc, ekte Ox ekseni ile iki bitişik kesişme noktası arasında (örneğin, orijin ile apsis i'nin bulunduğu nokta arasında). Geometrik değerlendirmelerden bu alanın önceki örneğin alanının iki katı olacağı açıktır. Ancak hesaplamaları yapalım: I 5= | s\nxdx= [ - cosх)* - - cos i-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. o Gerçekten de varsayımımızın doğru olduğu ortaya çıktı. Örnek 4. Bir periyotta sinüzoidin ve Ox ekseninin sınırladığı alanı hesaplayın (Şekil 88). Ön hesaplamalar, alanın Örnek 2'dekinden dört kat daha büyük olacağını göstermektedir. Ancak hesaplamaları yaptıktan sonra şunu elde ederiz: “i Г,*i S - \ sin x dx = [ - cos x]0 = = - cos 2l - (-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Bu sonuç açıklama gerektirir. Konunun özünü açıklığa kavuşturmak için, aynı sinüzoid y = sin l: ve Ox ekseni tarafından l ila 2i aralığında sınırlanan alanı da hesaplıyoruz. Formül (I)'i uygulayarak, 2l $2l sin xdx=[ - cosх]l = -cos 2i~)-c05i=- 1-1 =-2 elde ederiz. Böylece bu alanın negatife döndüğünü görüyoruz. Bunu alıştırma 3'te hesaplanan alanla karşılaştırdığımızda mutlak değerlerinin aynı olduğunu ancak işaretlerin farklı olduğunu görüyoruz. V özelliğini uygularsak (bkz. Bölüm XI, § 4), 2l I 2l J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0Bu örnekte yaşananlar bir kaza değildir. İntegraller kullanılarak hesaplandığında, bağımsız değişkenin soldan sağa değişmesi koşuluyla her zaman Ox ekseninin altında bulunan alan elde edilir. Bu derste her zaman işaretlerin bulunmadığı alanları ele alacağız. Bu nedenle, az önce tartışılan örnekteki cevap şöyle olacaktır: gerekli alan 2 + |-2| = 4. Örnek 5. Şekil 2'de gösterilen BAB'nin alanını hesaplayalım. 89. Bu alan Ox ekseni, y = - xr parabolü ve y - = -x+\ düz çizgisiyle sınırlıdır. Eğrisel bir yamuğun alanı Gerekli alan OAB iki bölümden oluşur: OAM ve MAV. A noktası bir parabol ile düz bir çizginin kesişme noktası olduğundan, koordinatlarını 3 2 Y = mx denklem sistemini çözerek bulacağız. (Sadece A noktasının apsisini bulmamız gerekiyor). Sistemi çözerek l'yi buluyoruz; = ~. Bu nedenle alanın ilk kare olarak parçalar halinde hesaplanması gerekir. OAM ve ardından pl. MAV: .... G 3 2, 3 G xP 3 1/2 U 2. QAM-^x işlevi. Bir eğriyle sınırlanmış bir şekil mi? (?) ve ışınlar? = ?, ? = ?'ye eğrisel sektör denir. Eğrisel sektörün alanı eşittir
Bir Eğrinin Yay Uzunluğunu Bulma
Dikdörtgen koordinatlar
Denklemi y = f(x) olan bir AB düzlem eğrisi dikdörtgen koordinatlarda verilsin, nerede a? X? B. (Şekil 2)
AB yayının uzunluğu, bu yayın içine yazılan kesikli çizginin uzunluğunun, kesikli çizginin bağlantı sayısı süresiz olarak arttığında ve en büyük bağlantısının uzunluğu sıfıra düştüğünde yöneldiği sınır olarak anlaşılır.
Şema I'i (toplam yöntemini) uygulayalım.
X = a, X, …, X = b (X ? X? … ? X) noktalarını kullanarak parçayı n parçaya böleriz. Bu noktaların AB eğrisi üzerindeki M = A, M, …, M = B noktalarına karşılık geldiğini varsayalım. Uzunlukları sırasıyla ?L, ?L, …, ?L ile gösterilecek olan MM, MM, …, MM akorlarını çizelim.
Uzunluğu L = ?L+ ?L+ ... + ?L = ?L'ye eşit olan kesikli bir MMM ... MM çizgisi elde ederiz.
Bir kirişin (veya kırık çizgi bağlantısının) uzunluğu ?L, bacakları ?X ve ?Y olan bir üçgenden Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir:
L = , burada?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).
Bir fonksiyonun sonlu artışına ilişkin Lagrange teoremine göre
Y = (C) ?X, burada C(X, X).
ve tüm kesikli çizginin uzunluğu MMM...MM eşittir
AB eğrisinin uzunluğu tanım gereği eşittir
?L 0 aynı zamanda ?X 0 (?L = ve dolayısıyla | ?X |< ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:
Böylece L = dx.
Örnek: R yarıçaplı bir dairenin çevresini bulun. (Şekil 3)
Bulalım mı? (0; R) noktasından (R; 0) noktasına kadar olan uzunluğunun bir kısmı. Çünkü