Grafiklerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun. Örnekler

Bu makalede integral hesaplamalarını kullanarak çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını nasıl bulacağınızı öğreneceksiniz. Böyle bir problemin formülasyonuyla ilk kez lisede, belirli integrallerin çalışmasını yeni tamamladığımızda ve edinilen bilgilerin geometrik yorumuna pratikte başlamanın zamanı geldiğinde karşılaşırız.

Öyleyse, integralleri kullanarak bir şeklin alanını bulma problemini başarıyla çözmek için gerekenler:

Yetkili çizimler yapabilme becerisi;
İyi bilinen Newton-Leibniz formülünü kullanarak belirli bir integrali çözme becerisi;
Daha kârlı bir çözüm seçeneğini “görme” yeteneği - ör. Bir durumda entegrasyonu gerçekleştirmenin nasıl daha uygun olacağını anladınız mı? X ekseni (OX) veya y ekseni (OY) boyunca mı?
Peki, doğru hesaplamalar olmasaydı nerede olurduk?) Bu, diğer tür integrallerin nasıl çözüleceğini ve doğru sayısal hesaplamaları nasıl çözeceğimizi anlamayı da içerir.

Çizgilerle sınırlanmış bir şeklin alanını hesaplama problemini çözmek için algoritma:

1. Bir çizim yapıyoruz. Bunu büyük ölçekte kareli bir kağıt üzerinde yapmanız tavsiye edilir. Her grafiğin üstüne bu fonksiyonun adını kurşun kalemle imzalıyoruz. Grafiklerin imzalanması yalnızca daha sonraki hesaplamaların kolaylığı için yapılır. İstenilen rakamın grafiğini aldıktan sonra çoğu durumda hangi entegrasyon sınırlarının kullanılacağı hemen anlaşılacaktır. Böylece sorunu grafiksel olarak çözüyoruz. Ancak limitlerin değerlerinin kesirli veya irrasyonel olması da mümkündür. Bu nedenle ek hesaplamalar yapabilir, ikinci adıma geçebilirsiniz.

2. Entegrasyonun sınırları açıkça belirtilmemişse grafiklerin birbirleriyle kesişme noktalarını buluruz ve grafiksel çözümümüzün analitik çözümle örtüşüp örtüşmediğine bakarız.

3. Daha sonra çizimi analiz etmeniz gerekiyor. Fonksiyon grafiklerinin nasıl düzenlendiğine bağlı olarak bir şeklin alanını bulma konusunda farklı yaklaşımlar vardır. İntegralleri kullanarak bir şeklin alanını bulmanın farklı örneklerine bakalım.

3.1.

Sorunun en klasik ve en basit versiyonu, kavisli bir yamuğun alanını bulmanız gerektiği zamandır. Kavisli yamuk nedir? Bu, x ekseni (y = 0) ile sınırlanan düz bir şekil, x = a, x = b düz çizgileri ve a'dan b'ye kadar olan aralıkta sürekli olan herhangi bir eğridir. Üstelik bu rakam negatif değildir ve x ekseninin altında yer almaz. Bu durumda, eğrisel yamuğun alanı, Newton-Leibniz formülü kullanılarak hesaplanan belirli bir integrale sayısal olarak eşittir:Örnek 1

y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Şekil hangi çizgilerle sınırlanmıştır? OX ekseninin üzerinde yer alan bir y = x2 - 3x + 3 parabolümüz var, negatif değil çünkü bu parabolün tüm noktaları pozitif değerlere sahiptir. Ayrıca, OU eksenine paralel uzanan ve sol ve sağdaki şeklin sınırlayıcı çizgileri olan x = 1 ve x = 3 düz çizgileri verilmiştir. Evet, y = 0, aynı zamanda x eksenidir ve bu da şekli alttan sınırlar. Ortaya çıkan şekil, soldaki şekilde görülebileceği gibi gölgelidir. Bu durumda hemen sorunu çözmeye başlayabilirsiniz. Önümüzde Newton-Leibniz formülünü kullanarak daha da çözdüğümüz kavisli bir yamuğun basit bir örneği var.

3.2.Önceki paragraf 3.1'de, kavisli bir yamuğun x ekseninin üzerinde yer aldığı durumu inceledik. Şimdi, fonksiyonun x ekseninin altında olması dışında problemin koşullarının aynı olduğu durumu düşünün. Standart Newton-Leibniz formülüne bir eksi eklenir. Aşağıda böyle bir sorunun nasıl çözüleceğini ele alacağız.

Örnek 2

. y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0 çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Bu örnekte, OX ekseninin altından çıkan, x = -4, x = -1, y = 0 düz çizgilerinden kaynaklanan bir y = x2 + 6x + 2 parabolümüz var. Burada y = 0 istenen rakamı yukarıdan sınırlar. x = -4 ve x = -1 düz çizgileri, belirli integralin hesaplanacağı sınırlardır. Bir şeklin alanını bulma problemini çözme ilkesi neredeyse tamamen 1 numaralı örnekle örtüşmektedir. Tek fark, verilen fonksiyonun pozitif olmaması ve aynı zamanda [-4; -1]. Ne demek olumlu değil? Şekilden de görülebileceği gibi, verilen x'lerin içinde yer alan şekil yalnızca “negatif” koordinatlara sahiptir ve sorunu çözerken görmemiz ve hatırlamamız gereken şey budur. Şeklin alanını Newton-Leibniz formülünü kullanarak, yalnızca başında eksi işaretiyle arıyoruz.

Çift katlı integral sayısal olarak düzlem şeklinin alanına (integrasyon bölgesi) eşittir. Bu, iki değişkenli fonksiyonun bire eşit olduğu çift katlı integralin en basit şeklidir: .

Öncelikle soruna genel haliyle bakalım. Artık her şeyin gerçekte ne kadar basit olduğuna şaşıracaksınız! Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını hesaplayalım. Kesinlik sağlamak için segmentte olduğunu varsayıyoruz. Bu rakamın alanı sayısal olarak şuna eşittir:

Çizimdeki alanı gösterelim:

Alanı geçmenin ilk yolunu seçelim:

Böylece:

Ve hemen önemli bir teknik püf noktası: tekrarlanan integraller ayrı ayrı hesaplanabilir. Önce iç integral, sonra dış integral. Bu yöntemi konuya yeni başlayanlara şiddetle tavsiye ediyorum.

1) İç integrali hesaplayalım ve integral “y” değişkeni üzerinden gerçekleştirilsin:

Buradaki belirsiz integral en basit olanıdır ve daha sonra banal Newton-Leibniz formülü kullanılır, tek fark, entegrasyonun sınırlarının sayılar değil işlevler olmasıdır. Önce üst limiti “y”nin (antitürev fonksiyonu) yerine koyduk, ardından alt limiti koyduk

2) Birinci paragrafta elde edilen sonuç dış integralde değiştirilmelidir:

Tüm çözümün daha kompakt bir temsili şuna benzer:

Ortaya çıkan formül "sıradan" belirli integrali kullanarak bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için tam olarak çalışan formüldür! Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama dersine bakın, her adımda oradadır!

Yani, çift katlı integrali kullanarak alanı hesaplama problemi pek farklı değil belirli bir integral kullanarak alanı bulma probleminden!

Aslında aynı şey!

Buna göre hiçbir zorluk ortaya çıkmamalı! Aslında bu görevle defalarca karşılaştığınız için çok fazla örneğe bakmayacağım.

Örnek 9

Çözüm: Alanı çizimde gösterelim:

Alanın geçiş sırasını aşağıdaki şekilde seçelim:

İlk paragrafta çok detaylı açıklamalar verildiği için burada ve daha sonra bölgeyi nasıl geçeceğim üzerinde durmayacağım.

Böylece:

Daha önce de belirttiğim gibi, yeni başlayanlar için yinelenen integralleri ayrı ayrı hesaplamak daha iyidir ve ben de aynı yönteme sadık kalacağım:

1) Öncelikle Newton-Leibniz formülünü kullanarak iç integrali ele alıyoruz:

2) İlk adımda elde edilen sonucu dış integralde değiştiririz:

2. nokta aslında belirli bir integral kullanarak bir düzlem şeklinin alanını bulmaktır.

Cevap:

Bu çok aptalca ve naif bir görev.

Bağımsız bir çözüm için ilginç bir örnek:

Çift katlı bir integral kullanarak, , , çizgileriyle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın

Dersin sonunda nihai çözümün yaklaşık bir örneği.

Örnek 9-10'da, alanı geçmenin ilk yöntemini kullanmak çok daha karlı; bu arada meraklı okuyucular, geçiş sırasını değiştirebilir ve ikinci yöntemi kullanarak alanları hesaplayabilir. Hata yapmazsanız doğal olarak aynı alan değerlerini elde edersiniz.

Ancak bazı durumlarda alanı geçmenin ikinci yöntemi daha etkilidir ve genç ineğin kursunun sonunda bu konuyla ilgili birkaç örneğe daha bakalım:

Örnek 11

Çift katlı integral kullanarak çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın,

Çözüm: Yanlarında tuhaf bir çizgi bulunan iki parabolün olmasını sabırsızlıkla bekliyoruz. Gülümsemeye gerek yok; benzer şeyler çoklu integrallerde oldukça sık meydana gelir.

Çizim yapmanın en kolay yolu nedir?

Parabolü iki fonksiyon olarak düşünelim:
– üst dal ve – alt dal.

Benzer şekilde üst ve alt şeklinde bir parabol hayal edin dallar.

Daha sonra, grafik kurallarının noktasal çizimi, böyle tuhaf bir rakamla sonuçlanır:

Aşağıdaki formüle göre çift katlı integrali kullanarak şeklin alanını hesaplıyoruz:

Alanı geçmek için ilk yöntemi seçersek ne olur? Öncelikle bu alanın iki parçaya bölünmesi gerekecek. İkinci olarak da şu üzücü tabloyu izleyeceğiz: . İntegraller elbette aşırı karmaşık düzeyde değildir, ancak... eski bir matematik deyişi vardır: Köklerine yakın olanların teste ihtiyacı yoktur.

Dolayısıyla koşulda verilen yanlış anlamadan ters fonksiyonları ifade ediyoruz:

Bu örnekteki ters fonksiyonlar, hiçbir yaprak, meşe palamudu, dal ve kök olmadan parabolün tamamını tek seferde belirleme avantajına sahiptir.

İkinci yönteme göre alan geçişi şu şekilde olacaktır:

İlk paragrafta çok detaylı açıklamalar verildiği için burada ve daha sonra bölgeyi nasıl geçeceğim üzerinde durmayacağım.

Dedikleri gibi farkı hissedin.

1) İç integralle ilgileniyoruz:

Sonucu dış integralin yerine koyarız:

“y” değişkeni üzerinden integral almak kafa karıştırıcı olmasa gerek; eğer “zy” harfi olsaydı onun üzerinden integral almak harika olurdu. Her ne kadar Dönen cismin hacminin nasıl hesaplanacağı dersinin ikinci paragrafını okuyan herkes artık "Y" yöntemini kullanarak entegrasyon konusunda en ufak bir gariplik yaşamamaktadır.

Ayrıca ilk adıma dikkat edin: İntegral çifttir ve entegrasyon aralığı sıfıra göre simetriktir. Bu nedenle segment yarıya indirilebilir ve sonuç ikiye katlanabilir. Bu teknik, Belirli bir integralin hesaplanmasında etkili yöntemler dersinde ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Ne eklenmeli... Tüm!

2. nokta aslında belirli bir integral kullanarak bir düzlem şeklinin alanını bulmaktır.

Entegrasyon tekniğinizi test etmek için hesaplamayı deneyebilirsiniz . Cevap tamamen aynı olmalıdır.

Örnek 12

Çift katlı integral kullanarak çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını hesaplayın

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Alanı geçmenin ilk yöntemini kullanmaya çalışırsanız, şeklin artık ikiye değil üç parçaya bölünmesi gerekeceğini belirtmek ilginçtir! Ve buna göre üç çift tekrarlanan integral elde ederiz. Bu da olur.

Ustalık sınıfı sona erdi ve artık büyük ustalık seviyesine geçmenin zamanı geldi - Çift katlı integral nasıl hesaplanır? Çözüm örnekleri. İkinci yazımda bu kadar manyak olmamaya çalışacağım =)

Size başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:Çözüm: Alanı tasvir edelim çizimde:

Alanın geçiş sırasını aşağıdaki şekilde seçelim:

Böylece:
Ters fonksiyonlara geçelim:

Böylece:
Cevap:

Örnek 4:Çözüm: Doğrudan işlevlere geçelim:

Çizimi yapalım:

Alanı geçme sırasını değiştirelim:

Cevap:

Çözüm.

Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir.

Çizimi yapalım:

Denklem y=0“x” eksenini ayarlar;

- x=-2 Ve x=1- düz, eksene paralel Ah;

- y=x 2 +2 - tepe noktası (0;2) noktasında olan, dalları yukarı doğru yönlendirilmiş bir parabol.

Yorum. Bir parabol oluşturmak için koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulmak yeterlidir; koyarak x=0 eksenle kesişimi bulun Ah ve karşılık gelen ikinci dereceden denklemi çözerek eksenle kesişimi bulun Ah .

Bir parabolün tepe noktası aşağıdaki formüller kullanılarak bulunabilir:

Nokta nokta çizgiler de oluşturabilirsiniz.

[-2;1] aralığında fonksiyonun grafiği y=x 2 +2 eksenin üstünde bulunur Öküz, Bu yüzden:

Cevap: S=9 metrekare birim

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. Bu durumda, çizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Eksenin altına kavisli bir yamuk yerleştirilmişse ne yapmalı Ah?

b) Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın y=-ex , x=1 ve eksenleri koordine edin.

Çözüm.

Bir çizim yapalım.

Kavisli bir yamuk tamamen eksenin altına yerleştirilmişse Ah , daha sonra alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Cevap: S=(e-1) metrekare birimler" 1,72 metrekare birimler

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur.

c) Çizgilerle sınırlanan düz bir şeklin alanını bulun y=2x-x 2, y=-x.

Çözüm.

İlk önce çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabolün kesişme noktalarını bulalım ve düz Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir.

Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının a=0, entegrasyonun üst sınırı b=3 .

Verilen çizgileri oluşturuyoruz: 1. Parabol - (1;1) noktasındaki tepe noktası; eksen kesişimi Ah -(0;0) ve (0;2) noktaları. 2. Düz çizgi - 2. ve 4. koordinat açılarının ortaortayı. Ve şimdi Dikkat! Eğer segmentteyse [ a;b] bazı sürekli fonksiyonlar f(x) sürekli bir fonksiyondan büyük veya ona eşit g(x), daha sonra karşılık gelen şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir: .

Ve şeklin nerede olduğu önemli değil - eksenin üstünde veya altında, ancak önemli olan hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğudur. Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Nokta nokta çizgiler çizebilirsiniz ve entegrasyonun sınırları "kendiliğinden" netleşir. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir.

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap: S=4,5 metrekare birim

Bir web sitesine matematiksel formüller nasıl eklenir?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Basitliğe ek olarak, bu evrensel yöntem sitenin arama motorlarındaki görünürlüğünün artmasına yardımcı olacaktır. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde düzenli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanan web tarayıcılarında matematiksel gösterimleri görüntüleyen özel bir JavaScript kitaplığı olan MathJax'i kullanmanızı öneririm.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, uzak bir sunucudan doğru zamanda (sunucu listesi) otomatik olarak yüklenecek bir MathJax komut dosyasını web sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz; (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci versiyonunu buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). İşte bu. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal, sürekli olarak sınırsız sayıda uygulanan belirli bir kurala göre oluşturulur. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27 eşit küpe bölünür. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim yapmayı içerir, bu nedenle çizim oluşturma konusundaki bilgi ve becerileriniz çok daha acil bir soru olacaktır. Bu bağlamda, temel temel fonksiyonların grafiklerine ilişkin hafızanızı tazelemek ve en azından bir düz çizgi ve bir hiperbol oluşturabilmek faydalıdır.

Eğri bir yamuk, bir eksenle, düz çizgilerle ve bu aralıkta işareti değişmeyen bir doğru parçası üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiğiyle sınırlanmış düz bir şekildir. Bu rakamın bulunmasına izin verin daha düşük değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel yamuğun alanı sayısal olarak belirli integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır.

Geometri açısından bakıldığında belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli bir integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral, eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak karşılık gelen eğrisel yamuğun alanına eşittir.

Örnek 1

Bu tipik bir atama beyanıdır. Karardaki ilk ve en önemli nokta çizimdir. Üstelik çizimin DOĞRU şekilde yapılması gerekiyor.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: önce tüm düz çizgileri (varsa) ve ancak o zaman parabolleri, hiperbolleri ve diğer fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha iyidir. Fonksiyonların grafiklerini nokta nokta oluşturmak daha karlı olur.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Segmentte fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Cevap:

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli yamuk eksenin altında bulunuyorsa (veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden herhangi bir geometrik anlamı olmayan belirli bir integrali çözmeniz istenirse bu negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basit okul problemlerinden daha anlamlı örneklere geçiyoruz.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapmanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırı, entegrasyonun üst sınırı olduğu anlamına gelir.

Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir.

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, örneğin grafik yeterince büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya çıkarmıyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın analitik yönteminin kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Ve şimdi çalışma formülü: Bir segmentte bazı sürekli fonksiyonlar bazı sürekli fonksiyonlardan büyük veya ona eşitse, o zaman bu fonksiyonların grafikleri ve düz çizgilerle sınırlı olan şeklin alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu - eksenin üstünde veya altında - düşünmenize gerek yok ve kabaca konuşursak, hangi grafiğin YÜKSEK (başka bir grafiğe göre) ve hangisinin ALTTA olduğu önemlidir.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
İlgili formüle göre segmentte:

Cevap:

Örnek 4

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

Alanı bulmamız gereken şekil mavi renkle gölgelendirilmiştir (duruma dikkatlice bakın - şeklin ne kadar sınırlı olduğu!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle sıklıkla bir şeklin yeşil gölgeli alanını bulmanızı gerektiren bir "aksaklık" meydana gelir!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır.

Gerçekten :

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle: