Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri. Görev B15 (2014)


Pratik açıdan bakıldığında en büyük ilgi, bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için türevi kullanmaktır. Bunun neyle bağlantısı var? Kârı en üst düzeye çıkarmak, maliyetleri en aza indirmek, optimum ekipman yükünü belirlemek... Başka bir deyişle, hayatın birçok alanında bazı parametreleri optimize etme sorunlarını çözmek zorundayız. Bunlar da bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma görevleridir.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerinin genellikle, ya fonksiyonun tüm alanı ya da tanım alanının bir parçası olan belirli bir X aralığında arandığına dikkat edilmelidir. X aralığının kendisi bir parça, açık bir aralık olabilir , sonsuz bir aralık.

Bu yazımızda en büyük ve en küçük değerlerin açık bir şekilde bulunmasından bahsedeceğiz. Verilen fonksiyon bir değişken y=f(x) .

Sayfada gezinme.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri - tanımlar, çizimler.

Kısaca ana tanımlara bakalım.

Fonksiyonun en büyük değeri bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Fonksiyonun en küçük değeri X aralığında y=f(x)'e böyle bir değer denir bu herkes için eşitsizlik doğrudur.

Bu tanımlar sezgiseldir: Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değeri, apsiste söz konusu aralıkta kabul edilen en büyük (en küçük) değerdir.

Sabit noktalar– bunlar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu argümanın değerleridir.

En büyük ve en küçük değerleri bulurken neden sabit noktalara ihtiyacımız var? Bu sorunun cevabı Fermat teoremi ile verilmektedir. Bu teoremden, türevlenebilir bir fonksiyonun bir noktada bir ekstremuma (yerel minimum veya yerel maksimum) sahip olması durumunda bu noktanın durağan olduğu sonucu çıkar. Bu nedenle, fonksiyon genellikle en büyük (en küçük) değerini X aralığında alır. sabit noktalar bu boşluktan.

Ayrıca bir fonksiyon çoğu zaman en büyük ve minimum değerlerini bu fonksiyonun birinci türevinin bulunmadığı ve fonksiyonun kendisinin tanımlandığı noktalarda alabilir.

Bu konuyla ilgili en sık sorulan sorulardan birine hemen cevap verelim: “Bir fonksiyonun en büyük (en küçük) değerini belirlemek her zaman mümkün müdür?” Hayır, her zaman değil. Bazen X aralığının sınırları, fonksiyonun tanım bölgesinin sınırlarıyla çakışır veya X aralığı sonsuzdur. Ve sonsuzdaki ve tanım alanının sınırlarındaki bazı fonksiyonlar hem sonsuz büyük hem de sonsuz küçük değerler alabilir. Bu durumlarda fonksiyonun en büyük ve en küçük değeri hakkında bir şey söylenemez.

Netlik sağlamak için grafiksel bir gösterim vereceğiz. Resimlere baktığınızda pek çok şey daha net hale gelecektir.

Segmentte


İlk şekilde fonksiyon [-6;6] segmenti içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

İkinci şekilde gösterilen durumu düşünün. Segmenti olarak değiştirelim. Bu örnekte, fonksiyonun en küçük değeri sabit bir noktada, en büyüğü ise aralığın sağ sınırına karşılık gelen apsisin olduğu noktada elde edilir.

Şekil 3'te [-3;2] doğru parçasının sınır noktaları, fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelen noktaların apsisleridir.

Açık bir aralıkta


Dördüncü şekilde fonksiyon, açık aralık (-6;6) içerisinde yer alan durağan noktalardaki en büyük (max y) ve en küçük (min y) değerlerini almaktadır.

Aralıkta en büyük değer hakkında hiçbir sonuç çıkarılamaz.

sonsuzlukta


Yedinci şekilde gösterilen örnekte fonksiyon, en yüksek değer(max y) apsis x=1 olan sabit bir noktadadır ve en küçük değer (min y) aralığın sağ sınırında elde edilir. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır.

Aralık boyunca fonksiyon ne en küçük ne de en büyük değere ulaşır. X=2 sağdan yaklaştıkça fonksiyon değerleri eksi sonsuza doğru yönelir (x=2 doğrusu dikey bir asimptottur), apsis artı sonsuza doğru yöneldikçe fonksiyon değerleri asimptotik olarak y=3'e yaklaşır. Bu örneğin grafiksel gösterimi Şekil 8'de gösterilmektedir.

Bir segment üzerinde sürekli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma algoritması.

Bir segment üzerindeki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmamızı sağlayan bir algoritma yazalım.

  1. Fonksiyonun tanım alanını buluyoruz ve tüm segmenti içerip içermediğini kontrol ediyoruz.
  2. Birinci türevin bulunmadığı ve segmentte yer alan tüm noktaları buluruz (genellikle bu tür noktalar, modül işareti altında argümanı olan fonksiyonlarda bulunur ve güç fonksiyonları kesirli-rasyonel bir üs ile). Eğer böyle bir nokta yoksa, bir sonraki noktaya geçin.
  3. Segment içerisine düşen tüm sabit noktaları belirliyoruz. Bunu yapmak için onu sıfıra eşitliyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Durağan nokta yoksa veya hiçbiri doğru parçasına girmiyorsa bir sonraki noktaya geçin.
  4. Fonksiyonun değerlerini seçilen sabit noktalarda (varsa), birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) ve ayrıca x=a ve x=b'de hesaplıyoruz.
  5. Fonksiyonun elde edilen değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçiyoruz - bunlar sırasıyla fonksiyonun gerekli en büyük ve en küçük değerleri olacak.

Bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulmaya yönelik bir örneği çözmek için algoritmayı analiz edelim.

Örnek.

Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini bulma

  • segmentte;
  • [-4;-1] segmentinde.

Çözüm.

Bir fonksiyonun etki alanı kümenin tamamıdır gerçek sayılar, sıfır hariç, yani . Her iki segment de tanım alanına girer.

Fonksiyonun türevini aşağıdakilere göre bulun:

Açıkçası, fonksiyonun türevi doğru parçalarının tüm noktalarında ve [-4;-1]'de mevcuttur.

Denklemden durağan noktaları belirliyoruz. Tek kişi gerçek kök x=2'dir. Bu durağan nokta ilk segmente girer.

İlk durumda fonksiyonun değerlerini parçanın uçlarında ve sabit noktada yani x=1, x=2 ve x=4 için hesaplıyoruz:

Bu nedenle fonksiyonun en büyük değeri x=1'de elde edilir ve en küçük değer – x=2'de.

İkinci durumda, fonksiyon değerlerini yalnızca [-4;-1] segmentinin uçlarında hesaplıyoruz (çünkü tek bir durağan nokta içermemektedir):

Yaşamın birçok alanında, örneğin ekonomi ve muhasebede sayıları kullanarak bir şeyi çözmeniz gerektiği gerçeğiyle karşı karşıya kalabilirsiniz, bazı göstergelerin minimum ve maksimum değerlerini ancak verilen parametreleri optimize ederek öğrenebilirsiniz. Ve bu en büyük ve en küçük değerleri bulmaktan başka bir şey değil verilen bölüm işlevler. Şimdi bir fonksiyonun en büyük değerinin nasıl bulunacağına bakalım.

En büyük değeri bulma: talimatlar

  1. Değeri hesaplamak için fonksiyonun hangi segmentine ihtiyacınız olduğunu öğrenin, bunu noktalarla belirtin. Bu aralık açık (fonksiyon parçaya eşit olduğunda), kapalı (fonksiyon parça üzerinde olduğunda) ve sonsuz (fonksiyon bitmediğinde) olabilir.
  2. Türev fonksiyonunu bulun.
  3. Fonksiyonun parçası üzerinde türevin sıfıra eşit olduğu noktaları bulun, işte bu kadar kritik noktalar. Daha sonra fonksiyonun bu noktalardaki değerlerini hesaplayın ve denklemi çözün. Elde edilen değerler arasında en büyüğünü bulun.
  4. Fonksiyon değerlerini ortaya çıkar bitiş noktaları, bunlardan büyük olanı belirleyin
  5. Verileri en büyük değerle karşılaştırın ve en büyüğünü seçin. Bu, fonksiyonun en büyük değeri olacaktır.

Bir fonksiyonun en büyük tam sayı değeri nasıl bulunur? Fonksiyonun çift mi yoksa tek mi olduğunu hesaplamanız ve ardından çözmeniz gerekir. somut örnek. Sayı kesirli olarak elde edilmişse dikkate almayın; fonksiyonun en büyük tam sayı değerinin sonucu yalnızca tam sayı olacaktır.

Bu makalede bulma becerisinin bir fonksiyonun incelenmesine nasıl uygulanacağından bahsedeceğim: onun en büyük veya en küçük değerini bulmak. Daha sonra Görev B15'teki birkaç sorunu çözeceğiz. Açık Banka için görevler.

Her zamanki gibi önce teoriyi hatırlayalım.

Bir fonksiyonun herhangi bir çalışmasının başlangıcında onu buluruz

Bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için fonksiyonun hangi aralıklarda arttığını, hangi aralıklarda azaldığını incelemeniz gerekir.

Bunu yapmak için fonksiyonun türevini bulmamız ve onun sabit işaretli aralıklarını, yani türevin işaretini koruduğu aralıkları incelememiz gerekir.

Bir fonksiyonun türevinin pozitif olduğu aralıklar artan fonksiyonun aralıklarıdır.

Bir fonksiyonun türevinin negatif olduğu aralıklar, azalan fonksiyonun aralıklarıdır.

1. B15 (No. 245184) görevini çözelim.

Bunu çözmek için aşağıdaki algoritmayı takip edeceğiz:

a) Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun

b) Fonksiyonun türevini bulalım.

c) Sıfıra eşitleyelim.

d) Fonksiyonun sabit işaretli aralıklarını bulalım.

e) Fonksiyonun en büyük değeri aldığı noktayı bulun.

f) Fonksiyonun bu noktadaki değerini bulun.

Bu görevin ayrıntılı çözümünü VİDEO EĞİTİMİ'nde açıklıyorum:

Tarayıcınız muhtemelen desteklenmiyor. Eğiticiyi kullanmak için " Birleşik Devlet Sınav Saati", indirmeyi deneyin
Firefox

2. B15 (No. 282862) görevini çözelim.

Fonksiyonun en büyük değerini bulun segmentte

Fonksiyonun parça üzerinde en büyük değeri maksimum noktada, x=2'de aldığı açıktır. Bu noktada fonksiyonun değerini bulalım:

Cevap: 5

3. B15 (No. 245180) görevini çözelim:

Fonksiyonun en büyük değerini bulun

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Çünkü orijinal fonksiyonun tanım alanına göre title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. Pay sıfıra eşit. Ait olup olmadığını kontrol edelim ODZ işlevleri. Bunun için title="4-2x-x^2>0 koşulunun geçerli olup olmadığını kontrol edelim."> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

bu, noktanın ODZ işlevine ait olduğu anlamına gelir

Noktanın sağındaki ve solundaki türevin işaretini inceleyelim:

Fonksiyonun en büyük değerini noktasında aldığını görüyoruz. Şimdi fonksiyonun değerini şurada bulalım:

Açıklama 1. Bu problemde fonksiyonun tanım bölgesini bulamadık: sadece kısıtlamaları düzelttik ve türevin sıfıra eşit olduğu noktanın fonksiyonun tanım bölgesine ait olup olmadığını kontrol ettik. Bunun bu görev için yeterli olduğu ortaya çıktı. Ancak bu her zaman böyle değildir. Göreve bağlıdır.

Not 2. Davranışı incelerken karmaşık fonksiyon bu kuralı kullanabilirsiniz:

  • Eğer harici fonksiyon Karmaşık bir fonksiyonun değeri artıyorsa, fonksiyon en büyük değerini, iç fonksiyonun en büyük değerini aldığı noktada alır. Bu, artan bir fonksiyonun tanımından kaynaklanmaktadır: bir fonksiyon I aralığında artarsa, daha yüksek değer bu aralıktaki argüman, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir.
  • Karmaşık bir fonksiyonun dış fonksiyonu azalıyorsa, fonksiyon en büyük değerini iç fonksiyonun en küçük değerini aldığı noktada alır. . Bu, azalan fonksiyonun tanımından kaynaklanmaktadır: eğer bu aralıktaki argümanın daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha küçük bir değerine karşılık geliyorsa, bir fonksiyon I aralığında azalır.

Örneğimizde dış fonksiyon tüm tanım alanı boyunca artar. Logaritmanın işaretinin altında bir ifade var - ikinci dereceden üç terimli Negatif bir öncü katsayı ile o noktada en büyük değeri alan , . Daha sonra bu x değerini fonksiyon denkleminde yerine koyarız. ve en büyük değerini bulun.

“Bir fonksiyonun çoklu değerleri” konusunu incelemek için metodolojik öneriler. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri.”

Matematiğin kendisinde ana araç

gerçeğe ulaşmak için - tümevarım ve analoji.

Verilenler: - fonksiyon. Haydi belirtelim
- fonksiyonun tanım alanı.

Bir fonksiyonun değerleri kümesi (etki alanı), bir fonksiyonun alabileceği tüm değerlerin kümesidir
.Geometrik olarak bu, bir fonksiyonun grafiğinin eksene izdüşümü anlamına gelir.
.

Bir nokta varsa öyle ki herkes için kümesinde bir eşitsizlik var
sonra setteki fonksiyonun görevini üstlendiğini söylüyorlar. en küçük değer

Herhangi bir küme için eşitsizliğin geçerli olduğu bir nokta varsa
sonra setteki fonksiyonun görevini üstlendiğini söylüyorlar. en yüksek değer .

Fonksiyon çağrılır aşağıda sınırlı eğer böyle bir sayı varsa sette
. Geometrik olarak bu, fonksiyonun grafiğinin düz çizgiden daha düşük olmadığı anlamına gelir.
.

Fonksiyon çağrılır yukarıda sınırlanmış eğer böyle bir sayı varsa sette herhangi bir küme için eşitsizlik doğrudur
. Geometrik olarak bu, fonksiyonun grafiğinin düz çizgiden daha yüksek olmadığı anlamına gelir

Fonksiyon çağrılır sınırlı Bu kümeye alttan ve üstten sınırlanmışsa küme üzerindedir. Bir fonksiyonun sınırlılığı, grafiğinin belirli bir yatay bant içinde olduğu anlamına gelir.

Aritmetik ortalama ve geometrik ortalamaya ilişkin Cauchy eşitsizliği
:

>,>0) Örnek:

Bir fonksiyonun bir aralıktaki en büyük ve en küçük değerleri

(bölüm, aralık, ışın)

Bir aralıkta sürekli olan fonksiyonların özellikleri.

1. Bir fonksiyon bir doğru parçası üzerinde sürekli ise hem maksimum hem de minimum değerlerine ulaşır.

2. Sürekli bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine hem bir doğru parçasının uçlarında hem de içinde ulaşabilir

3. Segment içinde en büyük (veya en küçük) değere ulaşıldıysa, bu yalnızca durağan veya kritik bir noktada elde edilir.

En büyük ve en küçük değerleri bulma algoritması segmentte sürekli fonksiyon

1. Türevi bulun
.

2. Segmentin içinde yer alan sabit ve kritik noktaları bulun .

3. Seçilen durağan ve kritik noktalarda ve segmentin uçlarında fonksiyonun değerlerini bulun;
Ve
.

4. Bulunan değerler arasında en küçüğünü seçin (bu
) ve en büyüğü (bu olacak
)

Bir aralıkta monoton olan sürekli fonksiyonların özellikleri:

Bir segmentte sürekli artan fonksiyon en büyük değerine şu anda ulaşır:
, en küçüğü – en
.

Bir segmentte sürekli azalma Fonksiyon en büyük değerine noktasında, minimum değerine ise noktasında ulaşır.

Fonksiyon değeri ise
belirli bir aralıkta negatif değilse bu fonksiyon ve fonksiyon
n bir doğal sayı olmak üzere, aynı noktada en büyük (en küçük) değeri alır.

En büyük ve en küçük değerleri bulma sürekli fonksiyon aralıkta
veya ışın üzerinde

(optimizasyon sorunları).

Sürekli bir fonksiyonun bir aralık veya ışın üzerinde tek bir uç noktası varsa ve bu uç nokta maksimum veya minimum ise, bu noktada fonksiyonun maksimum veya minimum değeri ( veya ) elde edilir.

Fonksiyonların monotonluk özelliğinin uygulanması.

1. Artan iki fonksiyondan oluşan karmaşık bir fonksiyon artmaktadır.

2.Eğer fonksiyon artarsa ​​ve fonksiyon
azalırsa fonksiyon
- azalıyor.

3. İki artan (azalan) fonksiyonun toplamı, artan (azalan) fonksiyon.

4. Denklemde ise.
sol taraf artan (veya azalan) bir fonksiyon ise denklemin en fazla bir kökü vardır.

5.Fonksiyon artıyorsa (azılıyorsa) ve fonksiyon azalıyorsa (artansa), denklem
en fazla bir çözümü vardır.

6. Denklem
en az bir kökü vardır ancak ve ancak şu durumda

birden fazla anlama aittir
işlevler .

Sınırlı fonksiyonların özelliğinin uygulanması.

1. Denklemin sol tarafı ise (eşitsizlik) (
bir sayıdan küçük veya ona eşit (
) ve sağ taraf bu sayıdan büyük veya ona eşitse (), o zaman sistem
çözümü denklemin (eşitsizliğin) çözümüdür.

Öz kontrol görevleri


Başvuru:


3. Denklemin geçerli olduğu tüm değerleri bulun
bir çözümü var.

Ev ödevi

1. Fonksiyonun en büyük değerini bulun:

, Eğer
.

2. Fonksiyonun en küçük değerini bulun:

.

3. Fonksiyonun en büyük tamsayı değerini bulun:

. karşılık gelenler en büyük. İdeal-...

  • Pratik dersler için metodolojik öneriler Konu: Giriş. Latin Dilinin Kısa Tarihi. Alfabe. Fonetik

    Metodik öneriler

    Büyük, üst, küçük, ön, en az, en büyük. 3) Çevir: A. Mm. palati ve... Anlam a) Streptocidum b) Barbamylum c) Corticotropinum d) Cholosasum e) Agovirin Fakülte: MTD Modülü: Latince dili metodik öneriler İçin ...

  • Metodik öneriler

    ... . En büyük Ve en küçük değerler işlevler En büyük Ve en az değerler 2 14. Terstürev işlevler Terstürev 2 15. Kavramı diferansiyel denklemler Türev kullanma örnekleri İçin ...

  • Krasnodar “Beden Eğitimi” disiplininde öğrencilerin ve öğrencilerin kendi kendine eğitimi için metodolojik öneriler

    Metodik öneriler

    ... En büyük keyfi hız tek hareket Ve en küçük... Mevcut birçok önerilerİle... Anlam Genel ve yerel eylem araçlarının rasyonel bir kombinasyonuna sahiptir. 4. metodik öneriler İçin bağımsız ders çalışıyor ... işlevler. Onlar onlar ...

  • Konuyu profil düzeyinde incelerken “Cebir ve matematiksel analiz, 10”, “Cebir ve matematiksel analiz, 11” (yazarlar: N. Ya. Vilenkin, O. S. Ivashev-Musatov, S. I. Shvartsburd) ders kitaplarının kullanımına ilişkin metodolojik öneriler

    Metodik öneriler

    ... , birçok değerler işlevler, sıfırlar işlevler, sabit işaret aralıkları işlevler, çift, tek, periyodiklik. Monoton işlevler, monotonluk aralıkları, ekstremum işlevler. En büyük Ve en az değerler işlevler ...

    • Böyle bir nesnenin incelenmesi matematiksel analiz bir fonksiyon olarak harika Anlam ve bilimin diğer alanlarında. Örneğin, ekonomik analiz davranışın sürekli değerlendirilmesi gerekir işlevler kârı, yani onun en büyük değerini belirlemek Anlam ve bunu başarmak için bir strateji geliştirin.

    Talimatlar

    Herhangi bir davranışın incelenmesi her zaman tanım alanının araştırılmasıyla başlamalıdır. Genellikle duruma göre özel görev en büyüğünü belirlemek gerekir Anlam işlevler ya bu alanın tamamı boyunca ya da belli bir aralığında sınırları açık veya kapalı olarak.

    Buna göre en büyüğü Anlam işlevler y(x0), burada tanım alanındaki herhangi bir nokta için y(x0) ≥ y(x) (x ≠ x0) eşitsizliği geçerlidir. Grafiksel olarak, argüman değerleri apsis ekseni boyunca ve fonksiyonun kendisi de ordinat ekseni boyunca yerleştirilirse bu nokta en yüksek olacaktır.

    En büyüğünü belirlemek için Anlam işlevler, üç adımlı algoritmayı izleyin. Türevi hesaplamanın yanı sıra tek taraflı ve ile çalışabilmeniz gerektiğini lütfen unutmayın. O halde, bir y(x) fonksiyonu verilsin ve onun en büyüğünü bulmanız gerekir. Anlam A ve B sınır değerleri ile belirli bir aralıkta.

    Bu aralığın tanımın kapsamında olup olmadığını öğrenin işlevler. Bunu yapmak için, olası tüm kısıtlamaları göz önünde bulundurarak bulmanız gerekir: ifadede bir kesirin varlığı, karekök vesaire. Tanım alanı, fonksiyonun anlamlı olduğu argüman değerleri kümesidir. olup olmadığını belirleyin verilen aralık onun alt kümesi. Cevabınız evet ise şu adrese gidin: sonraki aşama.

    Türevi bulun işlevler ve türevi sıfıra eşitleyerek elde edilen denklemi çözün. Bu şekilde sözde durağan noktaların değerlerini alacaksınız. Bunlardan en az birinin A, B aralığına ait olup olmadığını değerlendirin.

    Üçüncü aşamada bu noktaları göz önünde bulundurun ve değerlerini fonksiyonda yerine koyun. Aralık türüne bağlı olarak aşağıdaki ek adımları uygulayın. [A, B] formunda bir bölüm varsa, sınır noktaları aralığa dahil edilir; bu, parantezlerle gösterilir. Değerleri Hesapla işlevler x = A ve x = B için. açık aralık(A, B), sınır değerleri delinmiştir, yani. buna dahil değildir. x→A ve x→B için tek taraflı limitleri çözün. Sınırlarından biri kendisine ait olan, diğeri olmayan, [A, B) veya (A, B) biçiminde birleştirilmiş aralık. x'in delinen değere yönelmesi nedeniyle tek taraflı limiti bulun ve diğerini yerine koyun. fonksiyon. Sonsuz iki taraflı aralık (-∞, +∞) veya tek taraflı sonsuz aralıklar şu şekildedir: , (-∞, B). Gerçek limitler A ve B için, daha önce açıklanan ilkelere göre ilerleyin ve için. sonsuz olanlar için sırasıyla x→-∞ ve x→+∞ limitlerini arayın.

    Bu aşamada görev