Güven aralığı kavramını tanımlar. Güven aralığı

Güven aralığı

Güven aralığı- Örnek boyutu küçük olduğunda tercih edilen, istatistiksel parametrelerin aralık (nokta yerine) tahmini için matematiksel istatistikte kullanılan bir terim. Güven aralığı, belirli bir güvenilirliğe sahip bilinmeyen bir parametreyi kapsayan aralıktır.

Güven aralıkları yöntemi, İngiliz istatistikçi Ronald Fisher'ın fikirlerine dayanarak Amerikalı istatistikçi Jerzy Neumann tarafından geliştirildi.

Tanım

Parametrenin güven aralığı θ rastgele değişken dağılımı X güven seviyesi 100 ile P%, örnek tarafından oluşturulan ( X 1 ,…,X n), sınırları olan bir aralık olarak adlandırılır ( X 1 ,…,X n) ve ( X 1 ,…,X n), bunlar rastgele değişkenlerin gerçekleşmesidir L(X 1 ,…,X n) ve sen(X 1 ,…,X n), öyle ki

.

Güven aralığının sınır noktalarına denir güven sınırları.

Güven aralığının sezgiye dayalı bir yorumu şu şekilde olacaktır: P büyükse (örneğin 0,95 veya 0,99), bu durumda güven aralığı neredeyse kesin olarak gerçek değeri içerir θ .

Güven aralığı kavramının başka bir yorumu: parametre değerlerinin aralığı olarak düşünülebilir θ Deneysel verilerle uyumlu ve onlarla çelişmeyen.

Örnekler

  • Normal bir numunenin matematiksel beklentisi için güven aralığı;
  • Normal örnek varyansı için güven aralığı.

Bayes güven aralığı

Bayes istatistiklerinde, güven aralığının benzer ancak bazı temel ayrıntılarda farklı tanımı vardır. Burada, tahmin edilen parametrenin kendisi, belirli bir ön dağılıma sahip (en basit durumda tekdüze) rastgele bir değişken olarak kabul edilir ve örnek sabittir (klasik istatistikte her şey tam tersidir). Bayesian güven aralığı, parametre değerini sonsal olasılıkla kapsayan bir aralıktır:

.

Genel olarak klasik ve Bayes güven aralıkları farklıdır. İngiliz dili literatüründe Bayes güven aralığına genellikle terim denir. güvenilir aralık ve klasik olanı - güven aralığı.

Notlar

Kaynaklar

Wikimedia Vakfı.

  • 2010.
  • Çocuklar (film)

sömürgeci

    Güven aralığı- belirli bir olasılıkla (güvenle) tahmini dağılım parametresinin bilinmeyen gerçek değerini kapsayan, örnek verilerden hesaplanan bir aralık. Kaynak: GOST 20522 96: Topraklar. Sonuçların istatistiksel olarak işlenmesine yönelik yöntemler... Normatif ve teknik dokümantasyon açısından sözlük referans kitabı

    güven aralığı- popülasyonun skaler bir parametresi için bu, büyük olasılıkla bu parametreyi içeren bir segmenttir. Bu ifade daha fazla detaylandırılmadıkça anlamsızdır. Güven aralığının sınırları örneklemden tahmin edildiği için doğaldır... ... Sosyolojik İstatistik Sözlüğü

    GÜVEN ARALIĞI- nokta tahmininden farklı olan parametreleri tahmin etme yöntemi. Örnek x1 olsun, . . ., xn olasılık yoğunluğuna sahip bir dağılımdan f(x, α) ve a*=a*(x1, . ., xn) tahmin α, g(a*, α) olasılık yoğunluk tahmini. Arıyoruz... ... Jeolojik ansiklopedi

    GÜVEN ARALIĞI- (güven aralığı) Bir örneklem araştırması temelinde elde edilen evren için parametre değerinin güvenilirliğinin, örneğin kendisinden kaynaklanan belirli bir olasılık derecesine (örneğin %95) sahip olduğu aralık. Genişlik… … Ekonomik sözlük

    güven aralığı- – belirli bir güven olasılığı ile belirlenen miktarın gerçek değerinin bulunduğu aralıktır. Genel kimya: ders kitabı / A. V. Zholnin ... Kimyasal terimler

    Güven aralığı CI- k.l için hesaplanan karakteristik değerin güven aralığı, CI*veri aralığı, CI*güven aralığı aralığı. örnek boyunca ve belirli bir olasılıkla (örneğin, %95 için %95) dağılım parametresi (örneğin, bir özelliğin ortalama değeri) Genetik. Ansiklopedik Sözlük

    GÜVEN ARALIĞI- istatistiksel bir parametreyi tahmin ederken ortaya çıkan bir kavram. değer aralığına göre dağılım. D. ve. q parametresi için bu katsayıya karşılık gelir. Güven P, öyle bir aralığa (q1, q2) eşittir ki, eşitsizliğin herhangi bir olasılık dağılımı için... ... Fiziksel ansiklopedi

    güven aralığı- - Telekomünikasyon konuları, temel kavramlar EN güven aralığı... Teknik Çevirmen Kılavuzu

    güven aralığı- Pasifliovimo intervalas statusas T sritis Standartizacija ve metrologija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultato verė. atitikmenys: İngilizce. güven aralığı vok. Vertrauensbereich, Rusya.… … Metrologijos terminų žodynas'ın kullanımı

    güven aralığı- Pasikliovimo intervalas statusas T sritis chemija apibrėžtis Dydžio verčių intervalas, kuriame su pasirinktąja tikimybe yra matavimo rezultatų verė. atitikmenys: ingilizce. güven aralığı rusça güven alanı; güven aralığı... Chemijos terminų aiškinamasis žodynas

Bilinen bir dağılım değeri durumunda dağılımın ortalama değerini tahmin etmek için MS EXCEL'de bir güven aralığı oluşturalım.

Tabii ki seçim güven seviyesi tamamen çözülen probleme bağlıdır. Bu nedenle, bir hava yolcusunun bir uçağın güvenilirliğine olan güven derecesi, şüphesiz bir alıcının bir elektrik ampulünün güvenilirliğine olan güven derecesinden daha yüksek olmalıdır.

Problem formülasyonu

şunu varsayalım ki nüfus alınmış örnek boyut Öyle varsayılıyor standart sapma bu dağılım bilinmektedir. Buna dayanarak gerekli örnekler bilinmeyeni değerlendir dağılım ortalaması(μ, ) ve karşılık gelen denklemi oluşturun çift ​​taraflı güven aralığı.

Nokta tahmini

Bilindiği gibi istatistikler(hadi onu belirtelim X ortalama) ortalamanın tarafsız tahmini Bu nüfus ve N(μ;σ 2 /n) dağılımına sahiptir.

Not: İnşa etmeniz gerekiyorsa ne yapmalısınız? güven aralığı böyle bir dağılım söz konusu olduğunda değil normal? Bu durumda, yeterince büyük bir boyuta sahip olduğunu belirten kurtarmaya gelir örnekler dağıtımdan olmamak normal, istatistiklerin örnek dağılımı X avg irade yaklaşık olarak karşılık gelmek normal dağılım N(μ;σ 2 /n) parametreleriyle.

Bu yüzden, nokta tahmini ortalama dağıtım değerleri elimizde - bu örnek ortalama, yani X ortalama. Şimdi başlayalım güven aralığı.

Bir güven aralığı oluşturma

Genellikle dağılımı ve parametrelerini bilerek, rastgele değişkenin belirlediğimiz aralıktan değer alma olasılığını hesaplayabiliriz. Şimdi bunun tersini yapalım: Rastgele değişkenin belirli bir olasılıkla düşeceği aralığı bulalım. Örneğin, özelliklerden normal dağılım%95 olasılıkla bir rastgele değişkenin dağıldığı bilinmektedir. normal hukuk, yaklaşık +/- 2 aralığına düşecektir. ortalama değer(hakkında makaleye bakın). Bu aralık bizim için prototip görevi görecek güven aralığı.

Şimdi dağılımı bilip bilmediğimizi görelim , bu aralığı hesaplamak için? Soruyu cevaplamak için dağılımın şeklini ve parametrelerini belirtmemiz gerekiyor.

Dağıtım biçimini biliyoruz - bu normal dağılım(bundan bahsettiğimizi unutmayın örnekleme dağılımı istatistikler X ortalama).

μ parametresi bizim tarafımızdan bilinmiyor (sadece kullanılarak tahmin edilmesi gerekiyor) güven aralığı), ancak bununla ilgili bir tahminimiz var X ortalama, dayalı olarak hesaplanmıştır örnekler, hangisi kullanılabilir?

İkinci parametre - örnek ortalamanın standart sapması bilindiğini kabul edeceğizσ/√n'ye eşittir.

Çünkü μ'yu bilmiyoruz, o zaman +/- 2 aralığını oluşturacağız standart sapmalar gelen değil ortalama değer ve bilinen tahmininden X ortalama. Onlar. hesaplarken güven aralığı bunu varsaymayacağız X ortalama+/- 2 aralığına düşer standart sapmalarμ'den %95 olasılıkla aralığın +/- 2 olduğunu varsayacağız. standart sapmalar itibaren X ortalama%95 olasılıkla μ'yu kapsayacaktır – genel nüfusun ortalaması, nereden alındığı örnek. Bu iki ifade eşdeğerdir ancak ikinci ifade şunu oluşturmamıza olanak sağlar: güven aralığı.

Ek olarak aralığı açıklığa kavuşturalım: dağıtılan bir rastgele değişken normal hukuk, %95 olasılıkla +/- 1,960 aralığına düşer standart sapmalar,+/- 2 değil standart sapmalar. Bu formül kullanılarak hesaplanabilir =NORM.ST.GERİ((1+0,95)/2), santimetre. örnek dosya Sayfa Aralığı.

Şimdi bize formül oluşturmamıza hizmet edecek olasılıksal bir ifade formüle edebiliriz. güven aralığı:
"Olasılık nüfus ortalaması bulunduğu yer örnek ortalama 1.960 dahilinde" örnek ortalamanın standart sapmaları", %95'e eşit".

İfadede bahsedilen olasılık değerinin özel bir adı vardır ile ilişkili olan basit bir ifadeyle önem düzeyi α (alfa) güven seviyesi =1 -α . Bizim durumumuzda önem düzeyi α =1-0,95=0,05 .

Şimdi, bu olasılıksal ifadeye dayanarak, hesaplamak için bir ifade yazıyoruz. güven aralığı:

burada Zα/2 – standart normal dağılım(rastgele değişkenin bu değeri z, Ne P(z>=Zα/2 )=α/2).

Not: Üst α/2-kantil genişliği tanımlar güven aralığı V standart sapmalar örnek anlamı. Üst α/2-kantil standart normal dağılım her zaman 0'dan büyüktür ve bu çok uygundur.

Bizim durumumuzda α=0,05 ile, üst α/2-kantil 1.960'a eşittir. Diğer anlamlılık seviyeleri için α (%10; %1) üst α/2-kantil Zα/2 =NORM.ST.REV(1-α/2) formülü kullanılarak hesaplanabilir veya biliniyorsa güven seviyesi, =NORM.ST.OBR((1+güven düzeyi)/2).

Genellikle inşaat sırasında ortalamayı tahmin etmek için güven aralıkları sadece kullan üst α/2-yüzdelik dilim ve kullanmayın daha düşük α/2-yüzdelik dilim. Bu mümkün çünkü standart normal dağılım x eksenine göre simetrik olarak ( dağıtım yoğunluğu yaklaşık simetrik ortalama, yani 0). Bu nedenle hesaplamaya gerek yoktur daha düşük α/2-kantil(buna basitçe α denir /2-kantil), Çünkü eşit üst α/2-yüzdelik dilim eksi işaretiyle.

X değerinin dağılım şekline rağmen karşılık gelen rastgele değişkenin X ortalama dağıtılmış yaklaşık olarak İyi N(μ;σ 2 /n) (hakkındaki makaleye bakın). Bu nedenle genel olarak yukarıdaki ifade güven aralığı yalnızca bir yaklaşımdır. Eğer x değeri dağıtılırsa normal hukuk N(μ;σ 2 /n), o zaman ifade güven aralığı doğrudur.

MS EXCEL'de güven aralığı hesaplaması

Sorunu çözelim.
Bir elektronik bileşenin giriş sinyaline tepki süresi cihazın önemli bir özelliğidir. Bir mühendis ortalama yanıt süresi için %95 güven düzeyinde bir güven aralığı oluşturmak istiyor. Önceki deneyimlerden mühendis, yanıt süresinin standart sapmasının 8 ms olduğunu biliyor. Mühendisin tepki süresini değerlendirmek için 25 ölçüm yaptığı, ortalama değerin 78 ms olduğu biliniyor.

Çözüm: Bir mühendis, bir elektronik cihazın tepki süresini bilmek istiyor ancak tepki süresinin sabit bir değer değil, kendi dağılımına sahip rastgele bir değişken olduğunu anlıyor. Dolayısıyla umabileceği en iyi şey bu dağılımın parametrelerini ve şeklini belirlemektir.

Ne yazık ki, sorunun koşullarından dolayı yanıt süresi dağılımının şeklini bilmiyoruz (olması gerekmiyor) normal). Bu dağılım da bilinmiyor. Sadece o biliniyor standart sapmaσ=8. Bu nedenle olasılıkları hesaplayıp oluşturamasak da güven aralığı.

Ancak dağılımını bilmemize rağmen zaman ayrı yanıt göre bunu biliyoruz CPT, örnekleme dağılımı ortalama yanıt süresi yaklaşık olarak normal(koşulların olduğunu varsayacağız CPT yürütülüyor çünkü boyut örnekler oldukça büyük (n=25)) .

Dahası, ortalama bu dağılım şuna eşittir: ortalama değer tek bir yanıtın dağıtımı, yani μ. A standart sapma Bu dağılımın (σ/√n) değeri =8/ROOT(25) formülü kullanılarak hesaplanabilir.

Ayrıca mühendisin aldığı da biliniyor. nokta tahminiμ parametresi 78 ms'ye (X avg) eşittir. Bu nedenle artık olasılıkları hesaplayabiliriz çünkü dağıtım şeklini biliyoruz ( normal) ve parametreleri (X avg ve σ/√n).

Mühendis bilmek istiyor matematiksel beklentiμ tepki süresi dağılımları. Yukarıda belirtildiği gibi, bu μ şuna eşittir: ortalama yanıt süresinin örnek dağılımının matematiksel beklentisi. Eğer kullanırsak normal dağılım N(X ort; σ/√n), bu durumda istenen μ yaklaşık %95 olasılıkla +/-2*σ/√n aralığında olacaktır.

Önem düzeyi 1-0,95=0,05'e eşittir.

Son olarak sol ve sağ sınırı bulalım güven aralığı.
Sol kenarlık: =78-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*8/KÖK(25) = 74,864
Sağ kenarlık: =78+NORM.ST.TERS(1-0,05/2)*8/KÖK(25)=81,136

Sol kenarlık: =NORM.REV(0,05/2; 78; 8/KÖK(25))
Sağ kenarlık: =NORM.REV(1-0,05/2; 78; 8/KÖK(25))

Cevap: güven aralığı en %95 güven düzeyi ve σ=8msn eşittir 78+/-3,136 ms.

İÇİNDE Sigma sayfasındaki örnek dosya bilinen, hesaplama ve inşaat için bir form oluşturdu çift ​​taraflı güven aralığı keyfi için örnekler verilen σ ile ve önem düzeyi.

CONFIDENCE.NORM() işlevi

Eğer değerler örnekler aralıkta B20:B79 , A önem düzeyi 0,05'e eşit; daha sonra MS EXCEL formülü:
=ORTALAMA(B20:B79)-GÜVENİLİRLİK.NORM(0,05;σ; SAYIM(B20:B79))
sol kenarlığa geri dönecek güven aralığı.

Aynı limit aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:
=ORTALAMA(B20:B79)-NORM.ST.REV(1-0,05/2)*σ/KÖK(SAY(B20:B79))

Not: CONFIDENCE.NORM() işlevi MS EXCEL 2010'da ortaya çıktı. MS EXCEL'in önceki sürümlerinde TRUST() işlevi kullanılıyordu.

Önceki alt bölümlerde bilinmeyen bir parametrenin tahmin edilmesi konusunu ele almıştık. A bir numara. Buna “nokta” tahmini denir. Bazı görevlerde yalnızca parametreyi bulmanız gerekmez. A uygun sayısal değer, aynı zamanda doğruluğunu ve güvenilirliğini de değerlendirmektir. Bir parametreyi değiştirmenin hangi hatalara yol açabileceğini bilmeniz gerekir A nokta tahmini A ve bu hataların bilinen sınırları aşmamasını ne derece güvenle bekleyebiliriz?

Bu tür problemler özellikle az sayıda gözlemle ilgilidir; nokta tahmini ve içinde büyük ölçüde rastgeledir ve a'nın yaklaşık olarak a ile değiştirilmesi ciddi hatalara yol açabilir.

Tahminin doğruluğu ve güvenilirliği hakkında fikir vermek A,

Matematiksel istatistiklerde güven aralıkları ve güven olasılıkları adı verilen değerler kullanılır.

Parametre için izin ver A deneyimlerden elde edilen tarafsız tahmin A. Bu durumda olası hatayı tahmin etmek istiyoruz. Yeterince büyük bir p olasılığı atayalım (örneğin, p = 0,9, 0,95 veya 0,99), p olasılığına sahip bir olayın pratik olarak güvenilir kabul edilebilmesini sağlayalım ve bunun için bir s değeri bulalım.

Daha sonra değiştirme sırasında ortaya çıkan hatanın pratik olarak olası değerlerinin aralığı A Açık A, ± s olacaktır; Mutlak değerdeki büyük hatalar yalnızca a = 1 - p gibi düşük bir olasılıkla ortaya çıkacaktır. (14.3.1)’i şu şekilde yeniden yazalım:

Eşitlik (14.3.2), p olasılığı ile parametrenin bilinmeyen değerinin olduğu anlamına gelir A aralığın içine düşüyor

Bir durumu belirtmek gerekir. Daha önce, rastgele bir değişkenin belirli bir rastgele olmayan aralığa düşme olasılığını tekrar tekrar değerlendirmiştik. Burada durum farklı: büyüklük A rastgele değildir ancak /p aralığı rastgeledir. X eksenindeki konumu rastgeledir ve merkezi tarafından belirlenir A; Genel olarak, 2s aralığının uzunluğu da rastgeledir, çünkü s'nin değeri kural olarak deneysel verilerden hesaplanır. Dolayısıyla bu durumda p değerini noktaya “vurma” olasılığı olarak değil de yorumlamak daha doğru olacaktır. A/ p aralığında ve rastgele bir / p aralığının noktayı kapsama olasılığı olarak A(Şekil 14.3.1).

Pirinç. 14.3.1

Olasılık p genellikle denir güven olasılığı, ve aralık / p - güven aralığı. Aralık sınırları Eğer. ax =a- kum bir 2 = bir + ve çağrılırlar sınırlara güvenin.

Güven aralığı kavramına başka bir yorum verelim: parametre değerlerinin aralığı olarak düşünülebilir A, Deneysel verilerle uyumlu ve onlarla çelişmeyen. Gerçekten de, a = 1-p olasılığı olan bir olayı pratik olarak imkansız olarak kabul edersek, o zaman a parametresinin değerleri bir - bir> s'nin deneysel verilerle çeliştiği kabul edilmelidir ve |a - A bir na 2.

Parametre için izin ver A tarafsız bir tahmin var A. Miktarın dağılım yasasını bilseydik A güven aralığını bulma görevi çok basit olacaktır: s değerini bulmak yeterli olacaktır.

Zorluk, tahminlerin dağılım yasasının A miktarın dağıtım yasasına bağlıdır X ve dolayısıyla bilinmeyen parametrelerinde (özellikle parametrenin kendisinde) A).

Bu zorluğu aşmak için aşağıdaki kabaca yaklaşık tekniği kullanabilirsiniz: s ifadesindeki bilinmeyen parametreleri nokta tahminleriyle değiştirin. Nispeten fazla sayıda deneyle N(yaklaşık 20...30) bu teknik genellikle doğruluk açısından tatmin edici sonuçlar verir.

Örnek olarak matematiksel beklenti için güven aralığı problemini düşünün.

Üretilsin N X,özellikleri matematiksel beklenti olan T ve varyans D- bilinmiyor. Bu parametreler için aşağıdaki tahminler elde edilmiştir:

Matematiksel beklenti için p güven olasılığına karşılık gelen bir güven aralığı / p oluşturmak gerekir. T miktarlar X.

Bu sorunu çözerken miktarın olduğu gerçeğini kullanacağız. T toplamı temsil eder N bağımsız özdeş dağıtılmış rastgele değişkenler Xh ve merkezi limit teoremine göre yeterince büyük bir değer için N dağıtım kanunu normale yakındır. Uygulamada, nispeten az sayıda terimle (yaklaşık 10...20) bile, toplamın dağılım yasası yaklaşık olarak normal kabul edilebilir. Değerin olduğunu varsayacağız T normal kanuna göre dağıtılır. Bu yasanın özellikleri (matematiksel beklenti ve varyans) sırasıyla eşittir T Ve

(bkz. bölüm 13 alt bölüm 13.3). değeri olduğunu varsayalım. D bir Ep değeri biliyoruz ve bulacağız.

Bölüm 6'daki formül (6.3.5)'i kullanarak, (14.3.5)'in sol tarafındaki olasılığı normal dağılım fonksiyonuyla ifade ederiz.

tahminin standart sapması nerede T.

Denklemden.

Sp'nin değerini bulun:

burada arg Ф* (х), Ф*'ın ters fonksiyonudur (X), onlar. normal dağılım fonksiyonunun eşit olduğu argümanın böyle bir değeri X.

Dağılım D, miktarın ifade edildiği araç A 1P, tam olarak bilmiyoruz; yaklaşık değeri olarak tahmini kullanabilirsiniz D(14.3.4) ve yaklaşık olarak şunu belirtin:

Böylece, bir güven aralığı oluşturma sorunu yaklaşık olarak çözülmüştür ve bu şuna eşittir:

burada gp formül (14.3.7) ile belirlenir.

Sp hesaplanırken Ф* (l) fonksiyonunun tablolarında ters enterpolasyonu önlemek için, miktarın değerlerini veren özel bir tablonun (Tablo 14.3.1) derlenmesi uygundur.

r'ye bağlı olarak. (p) değeri, normal yasa için, ortaya çıkan alana girme olasılığının p'ye eşit olması için dağılım merkezinden sağa ve sola çizilmesi gereken standart sapmaların sayısını belirler.

7 p değeri kullanılarak güven aralığı şu şekilde ifade edilir:

Tablo 14.3.1

Örnek 1. Miktar üzerinde 20 deney yapıldı X; sonuçlar tabloda gösterilmektedir. 14.3.2.

Tablo 14.3.2

Miktarın matematiksel beklentisi için bir tahmin bulmak gerekir. X ve güven olasılığı p = 0,8'e karşılık gelen bir güven aralığı oluşturun.

Çözüm. Sahibiz:

Referans noktası olarak l: = 10'u seçerek, üçüncü formülü (14.2.14) kullanarak tarafsız tahmini buluruz D :

Tabloya göre 14.3.1 bulduk

Güven sınırları:

Güven aralığı:

Parametre değerleri T, Bu aralıkta yer alan değerler tabloda verilen deneysel verilerle uyumludur. 14.3.2.

Varyans için bir güven aralığı da benzer şekilde oluşturulabilir.

Üretilsin N rastgele bir değişken üzerinde bağımsız deneyler X hem A hem de dağılım için bilinmeyen parametrelerle D tarafsız bir tahmin elde edildi:

Varyans için yaklaşık olarak bir güven aralığı oluşturmak gerekir.

Formül (14.3.11)'den miktarın açık olduğu açıktır. D temsil etmek

miktar N formun rastgele değişkenleri. Bu değerler değil

bağımsızdır, çünkü bunlardan herhangi biri miktarı içerir T, herkese bağımlı. Ancak şunu söyleyebiliriz ki artan N toplamlarının dağılım yasası da normale yaklaşır. Neredeyse N= 20...30 zaten normal kabul edilebilir.

Bunun böyle olduğunu varsayalım ve bu yasanın özelliklerini bulalım: matematiksel beklenti ve dağılım. Değerlendirmeden bu yana D- tarafsız o zaman M[D] = D.

Fark hesaplaması D D nispeten karmaşık hesaplamalarla ilişkilidir, bu nedenle ifadesini türetmeden sunuyoruz:

burada q 4 büyüklüğün dördüncü merkezi momentidir X.

Bu ifadeyi kullanmak için \u003d 4 değerlerini değiştirmeniz gerekir ve D(en azından yakın olanlar). Yerine D onun değerlendirmesini kullanabilirsin D. Prensip olarak, dördüncü merkezi moment aynı zamanda bir tahminle de değiştirilebilir, örneğin şu formun değeri:

ancak böyle bir değiştirme son derece düşük doğruluk sağlayacaktır, çünkü genel olarak sınırlı sayıda deneyle yüksek dereceli momentler büyük hatalarla belirlenir. Ancak uygulamada miktar dağıtım kanununun türü sıklıkla görülür. Xönceden biliniyor: yalnızca parametreleri bilinmiyor. Daha sonra μ 4'ü ifade etmeyi deneyebilirsiniz. D.

En yaygın durumu ele alalım, değer X normal kanuna göre dağıtılır. Daha sonra dördüncü merkezi momenti dağılım cinsinden ifade edilir (bkz. Bölüm 6, alt bölüm 6.2);

ve formül (14.3.12) şunu verir: veya

(14.3.14)'teki bilinmeyenin değiştirilmesi D onun değerlendirmesi D, şunu alıyoruz: nereden

Moment μ 4 şu şekilde ifade edilebilir: D ayrıca diğer bazı durumlarda değerin dağılımı X normal değildir ancak görünümü bilinmektedir. Örneğin, düzgün yoğunluk yasası için (bkz. Bölüm 5) elimizde:

burada (a, P) yasanın belirtildiği aralıktır.

Buradan,

Formül (14.3.12)'yi kullanarak şunu elde ederiz: yaklaşık olarak nerede bulabiliriz

26 miktarı için dağıtım kanununun türünün bilinmediği durumlarda, a/) değerinin yaklaşık bir tahmini yapılırken, bu kanunun geçerli olduğuna inanmak için özel nedenler olmadığı sürece, yine de (14.3.16) formülünün kullanılması tavsiye edilir. normalden çok farklıdır (gözle görülür bir pozitif veya negatif basıklığa sahiptir).

Yaklaşık a/) değeri şu veya bu şekilde elde edilirse, matematiksel beklenti için oluşturduğumuz gibi varyans için de bir güven aralığı oluşturabiliriz:

burada verilen p olasılığına bağlı değer tabloya göre bulunur. 14.3.1.

Örnek 2. Bir rastgele değişkenin varyansı için yaklaşık %80 güven aralığını bulun Xörnek 1'deki koşullar altında, eğer değer biliniyorsa X normale yakın bir yasaya göre dağıtılıyor.

Çözüm. Değer tablodakiyle aynı kalır. 14.3.1:

Formüle göre (14.3.16)

Formül (14.3.18)'i kullanarak güven aralığını buluruz:

İlgili standart sapma değerleri aralığı: (0,21; 0,29).

14.4. Normal bir yasaya göre dağıtılan bir rastgele değişkenin parametreleri için güven aralıkları oluşturmak için kesin yöntemler

Önceki alt bölümde, matematiksel beklenti ve varyans için güven aralıkları oluşturmaya yönelik kabaca yaklaşık yöntemleri inceledik. Burada aynı sorunu çözmenin kesin yöntemleri hakkında bir fikir vereceğiz. Güven aralıklarını doğru bir şekilde bulmak için miktarın dağılım yasasının biçimini önceden bilmenin kesinlikle gerekli olduğunu vurguluyoruz. X, yaklaşık yöntemlerin uygulanması için bu gerekli değildir.

Güven aralıkları oluşturmak için doğru yöntemler fikri aşağıdakilere iniyor. Herhangi bir güven aralığı, ilgilendiğimiz tahmini de içeren belirli eşitsizliklerin gerçekleşme olasılığını ifade eden bir koşuldan bulunur. A. Değerleme dağılımı kanunu A genel durumda miktarın bilinmeyen parametrelerine bağlıdır X. Ancak bazen eşitsizlikleri rastgele bir değişkenden aktarmak mümkündür. A gözlemlenen değerlerin başka bir fonksiyonuna XpX2, ..., X s. bilinmeyen parametrelere bağlı olmayan, yalnızca deney sayısına ve miktarın dağılım yasasının türüne bağlı olan dağıtım yasası X. Bu tür rastgele değişkenler matematiksel istatistikte önemli bir rol oynar; miktarın normal dağılımı durumunda en ayrıntılı şekilde incelenmiştir. X.

Örneğin, değerin normal dağılımı ile kanıtlanmıştır. X rastgele değişken

sözde itaat eder Öğrenci dağıtım kanunuİle N- 1 serbestlik derecesi; bu yasanın yoğunluğu şu şekildedir

burada G(x) bilinen gama fonksiyonudur:

Ayrıca rastgele değişkenin olduğu da kanıtlanmıştır.

"%2 dağılımına" sahiptir N- Yoğunluğu formülle ifade edilen 1 serbestlik derecesi (bkz. Bölüm 7)

(14.4.2) ve (14.4.4) dağılımlarının türevleri üzerinde durmadan, parametreler için güven aralıkları oluşturulurken bunların nasıl uygulanabileceğini göstereceğiz. ty D.

Üretilsin N rastgele bir değişken üzerinde bağımsız deneyler X, bilinmeyen parametrelerle normal olarak dağıtılır İLE. Bu parametreler için tahminler elde edildi

Güven olasılığı p'ye karşılık gelen her iki parametre için güven aralıklarının oluşturulması gerekir.

Önce matematiksel beklenti için bir güven aralığı oluşturalım. Bu aralığın simetrik olarak alınması doğaldır. T; s p aralığın uzunluğunun yarısını göstersin. Koşulun sağlanması için s p değeri seçilmelidir.

Rastgele değişkenden eşitliğin (14.4.5) sol tarafına doğru ilerlemeye çalışalım T rastgele bir değişkene T,Öğrenci kanununa göre dağıtılır. Bunu yapmak için |m-w?| eşitsizliğinin her iki tarafını da çarpın.

pozitif bir değerle: veya (14.4.1) gösterimini kullanarak,

Koşuldan /p değerinin bulunabileceği bir sayı/p bulalım.

Formül (14.4.2)'den (1)'in çift fonksiyon olduğu açıktır, dolayısıyla (14.4.8) şunu verir:

Eşitlik (14.4.9), p'ye bağlı olarak /p değerini belirler. Eğer elinizde integral değerlerin yer aldığı bir tablo varsa

daha sonra /p değeri tabloda ters enterpolasyonla bulunabilir. Ancak önceden /p değerleri tablosu hazırlamak daha uygundur. Böyle bir tablo Ek'te verilmiştir (Tablo 5). Bu tablo p güven düzeyine ve serbestlik derecesi sayısına bağlı değerleri gösterir. N- 1. Tablodan / p'yi belirledikten sonra. 5 ve varsayıyorum

güven aralığının genişliğinin yarısını / p ve aralığın kendisini bulacağız

Örnek 1. Rastgele bir değişken üzerinde 5 bağımsız deney yapıldı X, bilinmeyen parametrelerle normal olarak dağıtılır T ve o. Deneylerin sonuçları tabloda verilmiştir. 14.4.1.

Tablo 14.4.1

Derecelendirmeyi bul T matematiksel beklenti için %90'lık bir güven aralığı / p oluşturun (yani güven olasılığına karşılık gelen aralık p = 0,9).

Çözüm. Sahibiz:

Başvurunun Tablo 5'ine göre P - 1 = 4 ve p = 0,9'u buluruz Neresi

Güven aralığı

Örnek 2. Alt bölüm 14.3'teki örnek 1'in koşulları için, değer varsayılarak X normal dağılıma göre tam güven aralığını bulun.

Çözüm. Bulduğumuz ekteki tablo 5'e göre P - 1 = 19ir =

0,8 / p = 1,328; buradan

Alt bölüm 14.3'teki örnek 1'in çözümüyle (e p = 0.072) karşılaştırıldığında, tutarsızlığın çok önemsiz olduğuna inanıyoruz. Doğruluğu ikinci ondalık basamağa kadar korursak, kesin ve yaklaşık yöntemlerle bulunan güven aralıkları çakışır:

Varyans için bir güven aralığı oluşturmaya devam edelim. Tarafsız varyans tahmincisini düşünün

ve rastgele değişkeni ifade edin D büyüklükte V(14.4.3), x 2 (14.4.4) dağılımına sahip:

Miktarın dağılım yasasını bilmek V, belirli bir p olasılığı ile düştüğü /(1) aralığını bulabilirsiniz.

Dağıtım kanunu kn_x(v) Büyüklük I 7, Şekil 2'de gösterilen forma sahiptir. 14.4.1.

Pirinç. 14.4.1

Soru ortaya çıkıyor: / p aralığı nasıl seçilir? Büyüklük dağılım yasası ise V Simetrik olsaydı (normal yasa veya Öğrenci dağılımı gibi), matematiksel beklentiye göre /p aralığını simetrik almak doğal olurdu. Bu durumda kanun k p_x (v) asimetrik. Değerin olasılığını sağlayacak şekilde /p aralığını seçmeyi kabul edelim. V sağ ve sol aralığın ötesinde (Şekil 14.4.1'deki gölgeli alanlar) aynı ve eşitti

Bu özellik ile bir /p aralığı oluşturmak için tabloyu kullanırız. 4 uygulama: sayıları içerir e)Öyle ki

değer için V, r serbestlik derecesi ile x 2 dağılımına sahip. Bizim durumumuzda r = n- 1. Haydi düzeltelim r = n- 1 ve tablonun ilgili satırında bulun. 4 iki anlam x 2 - biri olasılığa karşılık gelir diğeri - olasılık Bunları gösterelim

değerler saat 2'de Ve xl? Aralık var y 2, solunuzla ve evet~ sağ uç.

Şimdi /p aralığından, D sınırları olan dağılım için istenen güven aralığını /| bulalım ve D2, bu noktayı kapsıyor D p olasılığı ile:

Noktayı kapsayan bir / (, = (?> ü А) aralığı oluşturalım. D ancak ve ancak değer V/r aralığına düşer. aralığın olduğunu gösterelim.

bu koşulu karşılıyor. Aslında eşitsizlikler eşitsizliklere eşdeğerdir

ve bu eşitsizlikler p olasılığı ile sağlanır. Böylece varyansın güven aralığı bulunmuş ve formül (14.4.13) ile ifade edilmiştir.

Örnek 3. Değerin şu şekilde olduğu biliniyorsa, alt bölüm 14.3'teki örnek 2'deki koşullar altında varyans için güven aralığını bulun. X normal olarak dağılmıştır.

Çözüm. Sahibiz . Ekteki tablo 4'e göre

bulduğumuz yer r = n - 1 = 19

(14.4.13) formülünü kullanarak varyansın güven aralığını buluruz

Standart sapmaya karşılık gelen aralık (0,21; 0,32)'dir. Bu aralık, yaklaşık yöntem kullanılarak alt bölüm 14.3'ün 2. örneğinde elde edilen aralığı (0,21; 0,29) yalnızca biraz aşmaktadır.

  • Şekil 14.3.1'de a'ya göre simetrik bir güven aralığı ele alınmaktadır. Genel olarak daha sonra göreceğimiz gibi bu gerekli değildir.
Güven aralığı- belirli bir güven olasılığı γ ile daha büyük bir hacim numunesi alınırken bu aralıkta olacak istatistiksel bir miktarın sınırlayıcı değerleri. P(θ - ε) olarak gösterilir. Pratikte güven olasılığı γ, birliğe oldukça yakın değerlerden seçilir: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Hizmetin amacı. Bu hizmeti kullanarak şunları belirleyebilirsiniz:

  • genel ortalama için güven aralığı, varyans için güven aralığı;
  • standart sapma için güven aralığı, genel pay için güven aralığı;
Ortaya çıkan çözüm bir Word dosyasına kaydedilir (örneğe bakın). Aşağıda ilk verilerin nasıl doldurulacağına ilişkin bir video talimatı bulunmaktadır.

Örnek No.1. Kolektif bir çiftlikte toplam 1000 koyundan oluşan sürüden 100 koyuna seçici kontrol kırkımı uygulandı. Sonuç olarak koyun başına ortalama 4,2 kg yün kırkımı tespit edildi. Koyun başına ortalama yün kırkımını ve varyansın 2,5 olması durumunda kırkma değerinin yer aldığı sınırları belirlerken numunenin ortalama kare hatasını 0,99 olasılıkla belirleyin. Örnek tekrarlanmaz.
Örnek No. 2. Moskova Kuzey Gümrüğündeki bir parti ithal üründen, rastgele tekrarlanan numuneler yoluyla "A" ürününden 20 numune alındı. Test sonucunda numunedeki “A” ürününün ortalama nem içeriği belirlendi ve bunun %1 standart sapma ile %6'ya eşit olduğu ortaya çıktı.
İthal edilen ürünlerin tamamındaki ürünün ortalama nem içeriğinin sınırlarını 0,683 olasılıkla belirleyin.
Örnek No. 3. 36 öğrenciyle yapılan bir anket, akademik yıl boyunca okudukları ortalama ders kitabı sayısının 6'ya eşit olduğunu gösterdi. Bir öğrencinin dönem başına okuduğu ders kitabı sayısının, standart sapması 6 olan normal dağılım yasasına sahip olduğunu varsayarak, şunu bulun: : A) bu rastgele değişkenin matematiksel beklentisi için 0 .99 aralık tahmini güvenilirliği ile; B) Bu örnekten hesaplanan, bir öğrencinin dönem başına okuduğu ortalama ders kitabı sayısının mutlak değerdeki matematiksel beklentiden 2'den fazla sapmayacağını hangi olasılıkla söyleyebiliriz?

Güven aralıklarının sınıflandırılması

Değerlendirilen parametre türüne göre:

Örnek türüne göre:

  1. Sonsuz bir örnek için güven aralığı;
  2. Nihai numune için güven aralığı;
Örneğe yeniden örnekleme denir, seçilen nesne bir sonrakini seçmeden önce popülasyona döndürülürse. Numune tekrarlanmayan olarak adlandırılır, seçilen nesne popülasyona döndürülmezse. Uygulamada genellikle tekrarlanmayan örneklerle uğraşırız.

Rastgele örnekleme için ortalama örnekleme hatasının hesaplanması

Örnekten elde edilen göstergelerin değerleri ile genel popülasyonun karşılık gelen parametreleri arasındaki tutarsızlığa denir. temsil hatası.
Genel ve örnek popülasyonların ana parametrelerinin tanımları.
Ortalama örnekleme hatası formülleri
yeniden seçimseçimi tekrarla
ortalama içinpaylaşım içinortalama içinpaylaşım için
Bazı olasılıklarla garanti edilen örnekleme hata limiti (Δ) arasındaki ilişki Р(t), ve ortalama örnekleme hatası şu şekildedir: veya Δ = t·μ, burada T– Laplace integral fonksiyonu tablosuna göre P(t) olasılık düzeyine bağlı olarak belirlenen güven katsayısı.

Tamamen rastgele örnekleme yöntemi kullanarak örneklem boyutunu hesaplamaya yönelik formüller

Hedef– öğrencilere istatistiksel parametrelerin güven aralıklarını hesaplamaya yönelik algoritmaları öğretmek.

Verileri istatistiksel olarak işlerken, hesaplanan aritmetik ortalama, varyasyon katsayısı, korelasyon katsayısı, fark kriterleri ve diğer nokta istatistikleri, güven aralığı içinde göstergenin daha küçük ve daha büyük yönlerdeki olası dalgalanmalarını gösteren niceliksel güven sınırlarını almalıdır.

Örnek 3.1 . Maymunların kan serumundaki kalsiyumun dağılımı, daha önce belirlendiği gibi, aşağıdaki örnek göstergelerle karakterize edilir: = %11,94 mg; = %0,127 mg; N= 100. Genel ortalama için güven aralığının belirlenmesi gerekmektedir ( ) güven olasılığı ile P = 0,95.

Genel ortalama, belirli bir olasılıkla aşağıdaki aralıkta bulunur:

, Nerede – örnek aritmetik ortalama; T– Öğrenci testi; – aritmetik ortalamanın hatası.

"Öğrencinin t-testi değerleri" tablosunu kullanarak değeri buluruz 0,95 güven olasılığı ve serbestlik derecesi sayısı ile k= 100-1 = 99. 1,982'ye eşittir. Aritmetik ortalama ve istatistiksel hata değerleriyle birlikte bunu formüle koyarız:

veya 11.69
12,19

Böylece %95 olasılıkla bu normal dağılımın genel ortalamasının %11,69 ile %12,19 mg arasında olduğu ifade edilebilir.

Örnek 3.2 . Genel varyans için %95 güven aralığının sınırlarını belirleyin ( ) eğer biliniyorsa, maymunların kanındaki kalsiyum dağılımı
= 1,60, N = 100.

Sorunu çözmek için aşağıdaki formülü kullanabilirsiniz:

Nerede – dağılımda istatistiksel hata.

Örnekleme varyansı hatasını aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:
. 0,11'e eşittir. Anlam T- 0,95 güven olasılığına ve serbestlik derecesi sayısına sahip kriter k= 100–1 = 99 önceki örnekten bilinmektedir.

Formülü kullanalım ve şunu elde edelim:

veya 1,38
1,82

Daha doğrusu, genel varyansın güven aralığı şu şekilde oluşturulabilir: (ki-kare) - Pearson testi. Bu kritere ilişkin kritik noktalar özel bir tabloda verilmiştir. Kriteri kullanırken Bir güven aralığı oluşturmak için iki taraflı bir anlamlılık düzeyi kullanılır. Alt sınır için anlamlılık düzeyi şu formül kullanılarak hesaplanır:
, üst kısım için –
. Örneğin, güven düzeyi için = 0,99= 0,010,= 0,990. Buna göre kritik değerlerin dağılım tablosuna göre , hesaplanan güven seviyeleri ve serbestlik derecesi sayısıyla k= 100 – 1= 99, değerleri bulun
Ve
. Aldık
135,80'e eşittir ve
70.06'ya eşittir.

Genel varyansın güven sınırlarını bulmak için Aşağıdaki formülleri kullanalım: alt sınır için
, üst sınır için
. Bulunan değerleri sorunlu verilerle değiştirelim formüllere:
= 1,17;
= 2,26. Böylece güven olasılığı ile P= 0,99 veya %99 genel varyans, %1,17 ila 2,26 mg (dahil) aralığında olacaktır.

Örnek 3.3 . Asansöre alınan partideki 1000 buğday tohumundan 120 tanesinde ergot enfeksiyonu olduğu tespit edildi. Belirli bir buğday partisindeki enfekte tohumların genel oranının olası sınırlarının belirlenmesi gereklidir.

Aşağıdaki formülü kullanarak tüm olası değerleri için genel payın güven sınırlarını belirlemeniz önerilir:

,

Nerede N – gözlem sayısı; M– gruplardan birinin mutlak büyüklüğü; T– normalleştirilmiş sapma.

Enfekte olmuş tohumların örnek oranı
veya %12. Güven olasılığı ile R= %95 normalleştirilmiş sapma ( T-Öğrenci sınavı k =
)T = 1,960.

Mevcut verileri formülde değiştiririz:

Dolayısıyla güven aralığının sınırları eşittir = 0,122–0,041 = 0,081 veya %8,1; = 0,122 + 0,041 = 0,163 veya %16,3.

Böylece %95'lik bir güven olasılığı ile enfekte tohumların genel oranının %8,1 ile 16,3 arasında olduğu söylenebilir.

Örnek 3.4 . Maymunların kan serumundaki kalsiyum varyasyonunu (%mg) karakterize eden varyasyon katsayısı %10,6'ya eşitti. Örnek boyutu N= 100. Genel parametre için %95 güven aralığının sınırlarının belirlenmesi gerekmektedir. Özgeçmiş.

Genel varyasyon katsayısı için güven aralığının sınırları Özgeçmiş aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Ve
, Nerede k formülle hesaplanan ara değer
.

Bunu güven olasılığıyla bilmek R= %95 normalleştirilmiş sapma (Öğrencinin testi k =
)T = 1,960, önce değeri hesaplayalım İLE:

.

veya %9,3

veya %12,3

Dolayısıyla %95 güven düzeyine sahip genel değişim katsayısı %9,3 ila %12,3 aralığındadır. Tekrarlanan numunelerde varyasyon katsayısı 100 vakanın 95'inde %12,3'ü geçmeyecek ve %9,3'ün altında olmayacaktır.

Kendini kontrol etmeye yönelik sorular:

Bağımsız çözüm için problemler.

1. Kholmogory melez ineklerin emzirme döneminde sütteki ortalama yağ yüzdesi şu şekildedir: 3.4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. Genel ortalama için %95 güven seviyesinde (20 puan) güven aralıkları oluşturun.

2. 400 hibrit çavdar bitkisinde ilk çiçekler ekimden ortalama 70,5 gün sonra ortaya çıktı. Standart sapma 6,9 gündü. Anlamlılık düzeyinde genel ortalama ve varyans için ortalama ve güven aralıklarının hatasını belirleyin W= 0,05 ve W= 0,01 (25 puan).

3. 502 bahçe çileği örneğinin yaprak uzunluğunu incelerken aşağıdaki veriler elde edildi: = 7,86 cm; σ = 1,32cm, =± 0,06 cm Anlamlılık düzeyleri 0,01 olan aritmetik popülasyon ortalaması için güven aralıklarını belirleyin; 0,02; 0.05. (25 puan).

4. 150 yetişkin erkek üzerinde yapılan bir araştırmada ortalama boy 167 cm idi ve σ = 6 cm 0,99 ve 0,95 güven olasılığı ile genel ortalamanın ve genel varyansın sınırları nelerdir? (25 puan).

5. Maymunların kan serumundaki kalsiyumun dağılımı aşağıdaki seçici göstergelerle karakterize edilir: = %11,94 mg, σ = 1,27, N = 100. Bu dağılımın genel ortalaması için %95'lik bir güven aralığı oluşturun. Değişim katsayısını hesaplayın (25 puan).

6. 37 ve 180 günlük albino sıçanların kan plazmasındaki toplam nitrojen içeriği araştırıldı. Sonuçlar 100 cm3 plazma başına gram cinsinden ifade edilir. 37 günlükken 9 sıçanda: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0.87. 180 günlükken 8 sıçanda: 1,20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12. Fark için güven aralıklarını 0,95 (50 puan) güven düzeyinde ayarlayın.

7. Maymunların kan serumundaki kalsiyum dağılımının (%mg) genel varyansı için %95 güven aralığının sınırlarını belirleyin, eğer bu dağılım için numune büyüklüğü n = 100 ise, numune varyansının istatistiksel hatası S σ 2 = 1,60 (40 puan).

8. 40 buğday başakçığının uzunluk boyunca dağılımının genel varyansı için %95 güven aralığının sınırlarını belirleyin (σ 2 = 40,87 mm2). (25 puan).

9. Sigara içmenin obstrüktif akciğer hastalıklarına zemin hazırlayan ana faktör olduğu düşünülmektedir. Pasif içicilik böyle bir faktör olarak görülmemektedir. Bilim adamları pasif sigara içmenin zararsızlığından şüphe duydular ve sigara içmeyenlerin, pasif ve aktif sigara içenlerin hava yolu açıklığını incelediler. Solunum yolunun durumunu karakterize etmek için, dış solunum fonksiyonunun göstergelerinden birini aldık - ekspirasyon ortasındaki maksimum hacimsel akış hızı. Bu göstergedeki azalma, hava yolu tıkanıklığının bir işaretidir. Anket verileri tabloda gösterilmektedir.

İncelenen kişi sayısı

Maksimum ekspirasyon ortası akış hızı, l/s

Standart Sapma

Sigara içmeyenler

sigara içilmeyen bir alanda çalışmak

dumanlı odada çalışmak

Sigara içmek

az miktarda sigara içmek

ortalama sigara içen kişi sayısı

çok sayıda sigara içmek

Tablo verilerini kullanarak, her grup için genel ortalama ve genel varyans için %95 güven aralıklarını bulun. Gruplar arasındaki farklar nelerdir? Sonuçları grafiksel olarak sunun (25 puan).

10. Örnek varyansın istatistiksel hatası varsa, 64 çiftlikteki domuz yavrusu sayısındaki genel varyansın %95 ve %99 güven aralıklarının sınırlarını belirleyin. S σ 2 = 8,25 (30 puan).

11. Tavşanların ortalama ağırlığının 2,1 kg olduğu bilinmektedir. Genel ortalama ve varyans için %95 ve %99 güven aralıklarının sınırlarını belirleyin. N= 30, σ = 0,56 kg (25 puan).

12. Başağın tane içeriği 100 başak için ölçüldü ( X), kulak uzunluğu ( e) ve başaktaki tane kütlesi ( Z). Genel ortalama ve varyans için güven aralıklarını bulun. P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999 ise = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29,153, σ y 2 = 2,111, σ z 2 = 0,064. (25 puan).

13. Rastgele seçilen 100 kışlık buğday başağındaki başakçık sayısı sayıldı. Örnek popülasyon aşağıdaki göstergelerle karakterize edildi: = 15 başakçık ve σ = 2,28 adet. Ortalama sonucun elde edildiği doğruluğu belirleyin ( ) ve genel ortalama ve varyans için %95 ve %99 anlamlılık düzeylerinde (30 puan) bir güven aralığı oluşturun.

14. Fosil yumuşakça kabuklarındaki kaburga sayısı Ortambonitler kaligramma:

biliniyor ki N = 19, σ = 4,25. Anlamlılık düzeyinde genel ortalama ve genel varyans için güven aralığının sınırlarını belirleyin W = 0,01 (25 puan).

15. Ticari bir süt çiftliğinde süt verimini belirlemek için günlük 15 ineğin verimliliği belirlendi. Yılın verilerine göre her inek ortalama olarak günde şu miktarda süt verdi (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Genel varyans ve aritmetik ortalama için güven aralıkları oluşturun. İnek başına ortalama yıllık süt veriminin 10.000 litre olmasını bekleyebilir miyiz? (50 puan).

16. Tarım işletmesinin ortalama buğday verimini belirlemek amacıyla 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 ve 2 hektarlık deneme parsellerinde ekim yapılmıştır. Parsellerden elde edilen verimlilik (c/ha) 39.4; 38; 35.8; 40; 35; 42.7; 39.3; 41.6; 33; 42; sırasıyla 29. Genel varyans ve aritmetik ortalama için güven aralıkları oluşturun. Ortalama tarımsal verimin 42 c/ha olmasını bekleyebilir miyiz? (50 puan).