Kompleks türevler. Logaritmik türev.
Bir üstel fonksiyonun türevi
Farklılaştırma tekniğimizi geliştirmeye devam ediyoruz. Bu derste ele aldığımız materyali pekiştireceğiz, daha karmaşık türevlere bakacağız ve ayrıca özellikle logaritmik türev olmak üzere türev bulmaya yönelik yeni teknikler ve püf noktaları hakkında bilgi sahibi olacağız.
Sahip olan okuyuculara düşük seviye hazırlık, makaleye başvurmalısınız Türevi nasıl bulunur? Çözüm örnekleri Bu da becerilerinizi neredeyse sıfırdan geliştirmenize olanak tanır. Daha sonra sayfayı dikkatlice incelemeniz gerekiyor Karmaşık bir fonksiyonun türevi anla ve çöz Tüm verdiğim örnekler. Bu ders mantıksal olarak üçüncü derstir ve bu konuda uzmanlaştıktan sonra oldukça karmaşık işlevleri güvenle ayırt edeceksiniz. “Başka nerede?” pozisyonunu almak istenmez. Evet, bu kadar yeter! ”Çünkü tüm örnekler ve çözümler gerçeklerden alınmıştır. testler ve pratikte sıklıkla karşılaşılmaktadır.
Tekrarlarla başlayalım. sınıfta Karmaşık bir fonksiyonun türevi Ayrıntılı yorumlarla birlikte birkaç örneğe baktık. Diferansiyel hesabın ve diğer bölümlerin incelenmesi sırasında matematiksel analiz– çok sık farklılaştırma yapmak zorunda kalacaksınız ve örnekleri ayrıntılı bir şekilde açıklamak her zaman uygun olmayabilir (ve her zaman gerekli de olmayabilir). Bu nedenle sözlü olarak türev bulma alıştırması yapacağız. Bunun için en uygun "adaylar" en basit karmaşık fonksiyonların türevleridir, örneğin:
Farklılaşma kuralına göre karmaşık fonksiyon 
:
Gelecekte diğer matan konularını incelerken, çoğu zaman bu kadar ayrıntılı bir kayıt gerekli değildir; öğrencinin bu tür türevleri otomatik pilotta nasıl bulacağını bildiği varsayılır. Sabah saat 3'te bir olay olduğunu hayal edelim. telefon görüşmesi, Ve hoş ses"İki X'in tanjantının türevi nedir?" diye sordu. Bunu neredeyse anında ve kibar bir yanıt takip etmelidir: 
.
İlk örnek hemen amaçlanacak bağımsız karar.
Örnek 1
Aşağıdaki türevleri tek bir işlemle sözlü olarak bulun, örneğin: . Görevi tamamlamak için yalnızca kullanmanız gerekir temel fonksiyonların türevleri tablosu(henüz hatırlamadıysanız). Herhangi bir zorlukla karşılaşırsanız dersi tekrar okumanızı tavsiye ederim Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Cevaplar dersin sonunda
Karmaşık türevler
Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazıları için karmaşık görünebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman hemen hemen her şey diferansiyel hesap Bir çocuğun şakası gibi görünecek.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphelenilen durumlarda hatırlatırım faydalı numara: örneğin “x”in deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya taslakta) onun yerine koymaya çalışırız verilen değer"korkunç bir ifadeye" dönüştü.
1) Öncelikle toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekir.
2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:
4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:
5) Beşinci adımda fark şudur:
6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür: 
Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül 
kullanılacak ters sıra, en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru. Biz karar veriyoruz:
Hiçbir hata yok gibi görünüyor...
(1) Karekökün türevini alın.
(2) Kuralı kullanarak farkın türevini alırız 
(3) Üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.
(4) Kosinüsün türevini alın.
(5) Logaritmanın türevini alın.
(6) Ve son olarak en derin gömmenin türevini alıyoruz.
Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele alalım; analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.
Aşağıdaki örnek kendi başınıza çözmeniz içindir.
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Örneğin ikinin çarpımını vermesi alışılmadık bir durum değil, ancak üç fonksiyon. Türevi nasıl bulunur? üçlü ürünlerçarpanlar?
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Öncelikle üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmenin mümkün olup olmadığına bakalım. Örneğin çarpımda iki polinom olsaydı parantezleri açabilirdik. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.
Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın 
iki kere
İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını, "ve" ile de logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Gerçekten mi 
– bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu?! Karmaşık bir şey yok:
Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor 
parantez içine almak için:
Hala sapkın olabilir ve parantezlerin dışına bir şeyler çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda Cevabı bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.
Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir: 
Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.
Örnek 5
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüme bir örnektir; örnekte birinci yöntem kullanılarak çözülür.
Kesirlerle benzer örneklere bakalım.
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:
Veya bunun gibi:
Ancak önce bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. 
, payın tamamını alarak:
Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir. Payın ifadesini şuna indirgeyelim: ortak payda Ve hadi üç katlı kesirden kurtulalım:
Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, banal okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.
Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulma yöntemlerinde ustalaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için "korkunç" logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.
Örnek 8
Bir fonksiyonun türevini bulun
Burada karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak uzun bir yol kat edebilirsiniz:
Ancak ilk adım sizi anında umutsuzluğa sürükler - hoş olmayan bir türevi almak zorundasınız. kesirli güç, ve sonra da kesirden.
Bu yüzden önce"Gelişmiş" bir logaritmanın türevinin nasıl alınacağı, ilk olarak iyi bilinen okul özellikleri kullanılarak basitleştirilmiştir:
! Elinizde bir alıştırma defteriniz varsa, bu formülleri doğrudan oraya kopyalayın. Not defteriniz yoksa bunları bir kağıda kopyalayın, çünkü dersin geri kalan örnekleri bu formüller etrafında şekillenecektir.
Çözümün kendisi şöyle yazılabilir:
Fonksiyonu dönüştürelim:
Türevi bulma: 
Fonksiyonun önceden dönüştürülmesi çözümü büyük ölçüde basitleştirdi. Bu nedenle, türev için benzer bir logaritma önerildiğinde, her zaman onu "parçalamak" tavsiye edilir.
Şimdi kendi başınıza çözebileceğiniz birkaç basit örnek:
Örnek 9
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Örnek 10
Bir fonksiyonun türevini bulun
Tüm dönüşümler ve cevaplar dersin sonundadır.
Logaritmik türev
Logaritmanın türevi bu kadar tatlı müzikse, o zaman şu soru ortaya çıkıyor: Bazı durumlarda logaritmayı yapay olarak düzenlemek mümkün mü? Olabilmek! Ve hatta gerekli.
Örnek 11
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Yakın zamanda benzer örneklere baktık. Ne yapalım? Bölümün farklılaşma kuralını ve ardından çarpımın farklılaşma kuralını sırayla uygulayabilirsiniz. Bu yöntemin dezavantajı, hiç uğraşmak istemeyeceğiniz devasa bir üç katlı kesirle karşı karşıya kalmanızdır.
Ancak teoride ve pratikte logaritmik türev diye harika bir şey var. Logaritmalar her iki tarafa "asılarak" yapay olarak düzenlenebilir:
Şimdi sağ tarafın logaritmasını mümkün olduğunca “parçalamanız” gerekiyor (gözünüzün önündeki formüller?). Bu süreci çok detaylı bir şekilde anlatacağım:
Farklılaştırmayla başlayalım.
Her iki bölümü de ana başlık altında sonlandırıyoruz:
Sağ tarafın türevi oldukça basittir; bu konuda yorum yapmayacağım, çünkü bu metni okuyorsanız, bunu kendinizden emin bir şekilde yapabilmeniz gerekir.
Peki sol taraf?
Sol tarafta elimizde karmaşık fonksiyon. “Neden logaritmanın altında bir tane “Y” harfi var?” sorusunu öngörüyorum.
Gerçek şu ki, bu "tek harfli oyun" - KENDİSİ BİR FONKSİYONDUR(çok açık değilse örtülü olarak belirtilen bir fonksiyonun türevi makalesine bakın). Bu nedenle logaritma harici bir fonksiyondur ve “y” dahili fonksiyon. Ve karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı kullanıyoruz 
:
Sol tarafta sanki sihir varmış gibi sihirli değnek bir türevimiz var. Daha sonra orantı kuralına göre “y”yi sol taraftaki paydadan sağ tarafın üstüne aktarıyoruz:
Şimdi farklılaşma sırasında nasıl bir “oyuncu” işlevinden bahsettiğimizi hatırlayalım. Şimdi duruma bakalım: 
Son cevap: 
Örnek 12
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Örnek tasarım örneği bu türden dersin sonunda.
Logaritmik türevi kullanarak 4-7 numaralı örneklerden herhangi birini çözmek mümkündü, başka bir şey de oradaki fonksiyonların daha basit olması ve belki de logaritmik türevin kullanımının pek haklı olmamasıdır.
Bir üstel fonksiyonun türevi
Bu fonksiyonu henüz değerlendirmedik. Bir üstel fonksiyon fonksiyonu, bunun için bir fonksiyondur. hem derece hem de taban “x”e bağlıdır. Klasik örnek, size herhangi bir ders kitabında veya herhangi bir derste verilecektir:
Bir üstel fonksiyonun türevi nasıl bulunur?
Az önce tartışılan tekniğin (logaritmik türev) kullanılması gereklidir. Her iki tarafa da logaritma asıyoruz:
Kural olarak, sağ tarafta derece logaritmanın altından çıkarılır:
Sonuç olarak, sağ tarafta iki fonksiyonun çarpımı var ve bunlar şu şekilde farklılaştırılacak: standart formül 
.
Türevi buluyoruz; bunu yapmak için her iki parçayı da konturların altına alıyoruz:
Diğer eylemler basittir:
Nihayet: 
Herhangi bir dönüşüm tamamen açık değilse, lütfen Örnek #11'in açıklamalarını dikkatlice tekrar okuyun.
İÇİNDE pratik görevler Kuvvet-üstel fonksiyon her zaman derste tartışılan örnekten daha karmaşık olacaktır.
Örnek 13
Bir fonksiyonun türevini bulun
Logaritmik türevi kullanıyoruz. 
Sağ tarafta bir sabitimiz ve iki faktörün çarpımı var - “x” ve “logaritmanın logaritması x” (başka bir logaritma logaritmanın altına yerleştirilmiştir). Hatırladığımız gibi, türev alırken, yolunuza çıkmaması için sabiti hemen türev işaretinin dışına taşımak daha iyidir; ve elbette tanıdık kuralı uyguluyoruz 
:
Gördüğünüz gibi, logaritmik türevi kullanma algoritması herhangi bir özel hile veya püf noktası içermez ve bir üstel fonksiyonun türevini bulmak genellikle "eziyet" ile ilişkili değildir.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler verilmiştir.
Burada türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler veriyoruz. aşağıdaki işlevler:
;
;
;
;
.
Bir fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebiliyorsa aşağıdaki form:
,
daha sonra türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Aşağıdaki örneklerde bu formülü şu şekilde yazacağız:
.
Nerede .
Burada türev işaretinin altında bulunan indisler veya , türevin alındığı değişkenleri belirtir.
Genellikle türev tablolarında x değişkeninden fonksiyonların türevleri verilir.
Ancak x formal bir parametredir. X değişkeni başka herhangi bir değişkenle değiştirilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonu bir değişkenden ayırırken, türevler tablosunda x değişkenini u değişkenine değiştiririz.
Basit örnekler
Örnek 1
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm Haydi yazalım verilen fonksiyon
.
eşdeğer formda:
;
.
Türev tablosunda şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Cevap
Örnek 2
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulun
.
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Sabit 5'i türev işaretinden ve bulduğumuz türev tablosundan alıyoruz:
Örnek 3
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulun -1
Bir sabit çıkarıyoruz
;
Türevin işareti için ve türev tablosundan şunu buluruz:
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:
Daha karmaşık örnekler Daha fazla karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını birkaç kez uygularız. Bu durumda türevi sondan hesaplıyoruz. Yani, fonksiyonu bileşen parçalarına ayırırız ve en basit parçaların türevlerini kullanarak buluruz. türev tablosu. Biz de kullanıyoruz toplamların farklılaştırılması kuralları, ürünler ve kesirler. Daha sonra yerine koymalar yapıp karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.
Örnek 4
Örnek 3
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
En çok vurgulayalım basit kısım formülünü bulun ve türevini bulun. .
.
Burada notasyonu kullandık
.
Elde edilen sonuçları kullanarak orijinal fonksiyonun bir sonraki kısmının türevini buluyoruz. Toplamın türevini almak için kuralı uyguluyoruz:
.
Bir kez daha karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Örnek 5
Fonksiyonun türevini bulun
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Formülün en basit kısmını seçip türev tablosundan türevini bulalım. .
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.
Burada
.
Karar vermek fiziksel görevler veya matematikteki örnekler, türev ve onu hesaplama yöntemleri hakkında bilgi olmadan tamamen imkansızdır. Türev aşağıdakilerden biridir en önemli kavramlar matematiksel analiz. Bu temel konu Bugünün makalesini adamaya karar verdik. Türev nedir, fiziksel ve geometrik anlamı Bir fonksiyonun türevi nasıl hesaplanır? Tüm bu sorular tek bir soruda birleştirilebilir: Türev nasıl anlaşılır?
Türevin geometrik ve fiziksel anlamı
Bir fonksiyon olsun f(x) , belirli bir aralıkta belirtilir (a, b) . x ve x0 noktaları bu aralığa aittir. X değiştiğinde fonksiyonun kendisi de değişir. Argümanı değiştirme - değerlerindeki fark x-x0 . Bu fark şu şekilde yazılır: delta x ve argüman artışı olarak adlandırılır. Bir fonksiyonun değişmesi veya artması, bir fonksiyonun iki noktadaki değerleri arasındaki farktır. Türevin tanımı:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, fonksiyonun belirli bir noktadaki artışının, argümanın sıfıra yaklaştığı durumdaki artışına oranının limitidir.
Aksi takdirde şu şekilde yazılabilir:
Böyle bir sınır bulmanın amacı nedir? Ve işte şu:
Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, OX ekseni arasındaki açının belirli bir noktadaki fonksiyonun grafiğine olan teğetine eşittir.
Fiziksel anlam türev: yolun zamana göre türevi doğrusal hareketin hızına eşittir.
Aslında okul günlerinden beri herkes hızın belirli bir yol olduğunu biliyor x=f(t) ve zaman T . Ortalama hız belirli bir süre için:
Belirli bir andaki hareketin hızını bulmak için t0 limiti hesaplamanız gerekir:
Birinci kural: bir sabit belirleyin
Sabit türev işaretinden çıkarılabilir. Üstelik bunun yapılması gerekiyor. Matematikteki örnekleri çözerken bunu kural olarak alın - Bir ifadeyi basitleştirebiliyorsanız, onu basitleştirdiğinizden emin olun. .
Örnek. Türevini hesaplayalım:
İkinci kural: Fonksiyonların toplamının türevi
İki fonksiyonun toplamının türevi, bu fonksiyonların türevlerinin toplamına eşittir. Aynı durum fonksiyonların farkının türevi için de geçerlidir.
Bu teoremin kanıtını vermeyeceğiz, bunun yerine pratik bir örnek ele alacağız.
Fonksiyonun türevini bulun:
Üçüncü kural: Fonksiyonların çarpımının türevi
İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımının türevi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Örnek: Bir fonksiyonun türevini bulun:
Çözüm: 
Burada karmaşık fonksiyonların türevlerinin hesaplanmasından bahsetmek önemlidir. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, bu fonksiyonun ara argümana göre türevinin ve ara argümanın bağımsız değişkene göre türevinin çarpımına eşittir.
Yukarıdaki örnekte şu ifadeyle karşılaşıyoruz:
Bu durumda ara argüman 8x üzeri beşinci kuvvettir. Böyle bir ifadenin türevini hesaplamak için önce dış fonksiyonun ara argümana göre türevini hesaplarız ve ardından ara argümanın bağımsız değişkene göre türevini çarparız.
Kural dört: iki fonksiyonun bölümünün türevi
İki fonksiyonun bölümünün türevini belirlemek için formül:
Sıfırdan aptallar için türevler hakkında konuşmaya çalıştık. Bu konu göründüğü kadar basit değil, bu yüzden dikkatli olun: örneklerde sıklıkla tuzaklar bulunur, bu nedenle türevleri hesaplarken dikkatli olun.
Bu ve diğer konularla ilgili sorularınız için öğrenci hizmetleriyle iletişime geçebilirsiniz. İçin kısa vadeli Daha önce hiç türev hesaplama yapmamış olsanız bile, en zor testleri çözmenize ve problemleri çözmenize yardımcı olacağız.
Tanım.\(y = f(x)\) fonksiyonunun, içinde \(x_0\) noktasını içeren belirli bir aralıkta tanımlandığını varsayalım. Argümana bu aralığı terk etmeyecek şekilde \(\Delta x \) bir artış verelim. \(\Delta y \) fonksiyonunun karşılık gelen artışını bulalım (\(x_0 \) noktasından \(x_0 + \Delta x \) noktasına giderken) ve \(\frac(\Delta) ilişkisini oluşturalım y)(\Delta x) \). Bu oranın \(\Delta x \rightarrow 0\'da) bir sınırı varsa, belirtilen sınıra denir bir fonksiyonun türevi\(y=f(x) \) \(x_0 \) noktasındadır ve \(f"(x_0) \)'yi gösterir.
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$
Türevi belirtmek için sıklıkla y sembolü kullanılır." y" = f(x)'in şu şekilde olduğuna dikkat edin: yeni özellik, ancak doğal olarak yukarıdaki limitin mevcut olduğu tüm x noktalarında tanımlanan y = f(x) fonksiyonuyla ilişkilidir. Bu fonksiyon şu şekilde çağrılır: y = f(x) fonksiyonunun türevi.
Türevin geometrik anlamı aşağıdaki gibidir. y = f(x) fonksiyonunun grafiğine apsis x=a olan ve y eksenine paralel olmayan bir noktada bir teğet çizmek mümkünse f(a) teğetin eğimini ifade eder :
\(k = f"(a)\)
\(k = tg(a) \) olduğundan, \(f"(a) = tan(a) \) eşitliği doğrudur.
Şimdi türevin tanımını yaklaşık eşitlikler açısından yorumlayalım. \(y = f(x)\) fonksiyonunun belirli bir \(x\ noktasında) türevi olsun:
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Bu, x noktası yakınında yaklaşık eşitliğin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \approx f"(x) \), yani \(\Delta y \approx f"(x) \cdot\ olduğu anlamına gelir. Delta x\). Ortaya çıkan yaklaşık eşitliğin anlamlı anlamı şu şekildedir: Fonksiyonun artışı argümanın artışıyla “hemen hemen orantılıdır” ve orantı katsayısı da türevin değeridir. verilen nokta X. Örneğin, \(y = x^2\) fonksiyonu için yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) geçerlidir. Bir türevin tanımını dikkatlice analiz edersek, onu bulmak için bir algoritma içerdiğini görürüz.
Formüle edelim.
y = f(x) fonksiyonunun türevi nasıl bulunur?
1. \(x\) değerini sabitleyin, \(f(x)\)'i bulun
2. \(x\) argümanına bir artış \(\Delta x\) verin, şuraya gidin: yeni nokta\(x+ \Delta x \), bul \(f(x+ \Delta x) \)
3. Fonksiyonun artışını bulun: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) ilişkisini oluşturun
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$'ı hesaplayın
Bu limit fonksiyonun x noktasındaki türevidir.
Eğer bir y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi varsa, bu fonksiyona x noktasında türevlenebilir denir. y = f(x) fonksiyonunun türevini bulma prosedürüne denir farklılaşma fonksiyonlar y = f(x).
Şu soruyu tartışalım: Bir fonksiyonun bir noktadaki sürekliliği ve türevlenebilirliği birbiriyle nasıl ilişkilidir?
y = f(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Daha sonra fonksiyonun grafiğine M(x; f(x)) noktasında bir teğet çizilebilir ve hatırlayın, teğetin açısal katsayısı f "(x)'e eşittir. Böyle bir grafik "kırılamaz" M noktasında, yani fonksiyon x noktasında sürekli olmalıdır.
Bunlar “uygulamalı” argümanlardı. Daha kesin bir gerekçe sunalım. Eğer y = f(x) fonksiyonu x noktasında türevlenebilirse, o zaman yaklaşık eşitlik \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) sağlanır. Bu eşitlikte ise \(\Delta x \) sıfıra yönelirse \(\Delta y \) sıfıra yönelecektir ve bu, fonksiyonun bir noktadaki sürekliliğinin koşuludur.
Bu yüzden, Bir fonksiyon x noktasında türevlenebilirse o noktada süreklidir.
Tersi ifade doğru değildir. Örneğin: fonksiyon y = |x| her yerde süreklidir, özellikle x = 0 noktasında, ancak fonksiyonun grafiğine “birleşim noktasında” (0; 0) teğet mevcut değildir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet çizilemiyorsa o noktada türev mevcut değildir.
Başka bir örnek. \(y=\sqrt(x)\) fonksiyonu, x = 0 noktası da dahil olmak üzere tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir. Ve fonksiyonun grafiğine teğet, x = 0 noktası da dahil olmak üzere herhangi bir noktada mevcuttur. Ancak bu noktada teğet y eksenine denk gelir, yani apsis eksenine diktir, denklemi x = 0 şeklindedir. Eğim katsayısı böyle bir çizgi yok, bu da \(f"(0) \)'nin de mevcut olmadığı anlamına geliyor
Böylece bir fonksiyonun yeni bir özelliği olan türevlenebilirlik ile tanıştık. Bir fonksiyonun grafiğinden onun türevlenebilir olduğu sonucuna nasıl varılabilir?
Bunun cevabı aslında yukarıda verilmiştir. Bir noktada apsis eksenine dik olmayan bir fonksiyonun grafiğine teğet çizmek mümkünse, o zaman bu noktada fonksiyon türevlenebilirdir. Bir fonksiyonun grafiğine bir noktada teğet yoksa veya apsis eksenine dikse, bu noktada fonksiyon türevlenebilir değildir.
Farklılaşma kuralları
Türev bulma işlemine denir farklılaşma. Bu işlemi gerçekleştirirken çoğu zaman bölümler, toplamlar, fonksiyonların çarpımları ve ayrıca "fonksiyonların fonksiyonları" yani karmaşık fonksiyonlarla çalışmak zorunda kalırsınız. Türevin tanımından yola çıkarak bu işi kolaylaştıracak türev kurallarını türetebiliriz. Eğer C - sabit sayı ve f=f(x), g=g(x) bazı türevlenebilir fonksiyonlarsa, aşağıdakiler doğrudur farklılaşma kuralları:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$
Bazı fonksiyonların türevleri tablosu
$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arcctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünün bir kanıtı verilmiştir. Karmaşık bir fonksiyonun bir veya iki değişkene bağlı olduğu durumlar ayrıntılı olarak ele alınmaktadır. Duruma bir genelleme yapıldı herhangi bir sayı değişkenler.
Burada sonucu sunuyoruz aşağıdaki formüller karmaşık bir fonksiyonun türevi için.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Eğer öyleyse
.
Karmaşık bir fonksiyonun tek değişkenden türevi
X değişkenli bir fonksiyonun aşağıdaki biçimde karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilmesine izin verin:
,
bazı işlevlerin olduğu yer. Fonksiyon x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir.
Fonksiyon değişkenin değerinde türevlenebilir.
(1)
.
Daha sonra karmaşık (bileşik) fonksiyon x noktasında türevlenebilir ve türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
;
.
Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
Kanıt
;
.
Aşağıdaki gösterimi tanıtalım.
Burada ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var, ve değişkenlerinin bir fonksiyonu var.
;
.
Ancak hesaplamaları karıştırmamak için bu fonksiyonların argümanlarını atlayacağız.
.
ve fonksiyonları sırasıyla x ve , noktalarında türevlenebilir olduğundan, bu noktalarda bu fonksiyonların aşağıdaki limitlere sahip türevleri vardır:
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.
u değişkeninin sabit bir değeri için, bir fonksiyonudur.
.
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.
Açıkça görülüyor ki
.
Daha sonra
Fonksiyon bir noktada türevlenebilir bir fonksiyon olduğundan o noktada süreklidir. Bu yüzden
Şimdi türevini buluyoruz.
,
Formül kanıtlanmıştır.
.
Sonuçlar
Bir x değişkeninin bir fonksiyonu, karmaşık bir fonksiyonun karmaşık bir fonksiyonu olarak temsil edilebiliyorsa
daha sonra türevi formülle belirlenir
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
.
Bu formülü kanıtlamak için, karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanarak türevi sırayla hesaplıyoruz.
.
Burada bazı türevlenebilir fonksiyonlar vardır.
.
Karmaşık işlevi düşünün
Türevi Orijinal işlevi düşünün.
X değişkenine bağlı bir fonksiyonun, iki değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
,
Nerede
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
- noktasında türevi alınabilen iki değişkenli bir fonksiyon.
(2)
.
Formül (1) aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
Daha sonra karmaşık fonksiyon noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlanır ve aşağıdaki formülle belirlenen bir türevi vardır:
;
.
Burada
;
.
Fonksiyonlar ve fonksiyonları noktada türevlenebilir olduklarından bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdırlar, noktada süreklidirler ve bu noktada türevleri de vardır ve bunlar aşağıdaki limitlerdir:
;
.
Bu fonksiyonların bir noktada sürekliliği nedeniyle elimizde:
(3)
.
Burada
Fonksiyon bu noktada türevlenebilir olduğundan bu noktanın belirli bir komşuluğunda tanımlıdır, bu noktada süreklidir ve artışı aşağıdaki biçimde yazılabilir:
;
- argümanları değerlerle artırıldığında bir fonksiyonun arttırılması ve;
- fonksiyonun değişkenlere göre kısmi türevleri ve .
;
.
ve'nin sabit değerleri için ve, ve değişkenlerinin fonksiyonlarıdır.
;
.
Sıfırlama eğilimindedirler ve:
.
:
.
O zamandan beri ve o zaman
.
Daha sonra
Fonksiyon artışı:
(3)'ü yerine koyalım:
Karmaşık bir fonksiyonun çeşitli değişkenlerden türevi Yukarıdaki sonuç, karmaşık bir fonksiyonun değişken sayısının ikiden fazla olduğu duruma kolaylıkla genelleştirilebilir.Örneğin, eğer f ise
,
Nerede
üç değişkenli fonksiyon
, O
ve x değişkeninin bazı değerleri için türevlenebilir fonksiyonlar vardır;
(4)
.
- , , noktasında üç değişkenin türevlenebilir fonksiyonu.
;
;
,
O zaman fonksiyonun türevlenebilirliğinin tanımından şunu elde ederiz:
;
;
.
Çünkü süreklilik nedeniyle
.
O (4)'ü bölerek ve limite geçerek şunu elde ederiz: Ve son olarak şunu düşünelim
.
en
,
Nerede
genel durum
X değişkenli bir fonksiyonun, n değişkenli karmaşık bir fonksiyon olarak aşağıdaki biçimde temsil edilmesine izin verin:
,
,
... , .
Aşağıdaki işlevi göz önünde bulundurun:
.