Bu makalenin en başında trigonometrik fonksiyon kavramını inceledik. Temel amaçları trigonometrinin temellerini incelemek ve periyodik süreçleri incelemektir. Ve trigonometrik daireyi çizmemiz boşuna değildi, çünkü çoğu durumda trigonometrik fonksiyonlar bir üçgenin kenarlarının veya bir birim çemberdeki belirli bölümlerinin oranı olarak tanımlanır. Ayrıca trigonometrinin modern yaşamdaki yadsınamaz derecede büyük öneminden de bahsettim. Ancak bilim yerinde durmuyor, sonuç olarak trigonometrinin kapsamını önemli ölçüde genişletebilir ve hükümlerini gerçek ve bazen karmaşık sayılara aktarabiliriz.
Trigonometri formülleri Birkaç türü var. Sırasıyla bunlara bakalım.
Aynı açının trigonometrik fonksiyonlarının oranları
Trigonometrik fonksiyonların birbirleri aracılığıyla ifade edilmesi
(Kökün önündeki işaretin seçimi, köşenin dairenin hangi çeyreğinde bulunduğuna göre belirlenir?)
Açıları toplama ve çıkarma formülleri şunlardır:
İkili, üçlü ve yarım açı formülleri.
Hepsinin önceki formüllerden kaynaklandığını not ediyorum.
Trigonometrik ifadeleri dönüştürmek için formüller:
Burada şöyle bir kavramı ele almaya geldik: temel trigonometrik kimlikler.
Trigonometrik özdeşlik, trigonometrik ilişkilerden oluşan ve içerdiği açıların tüm değerleri için karşılanan bir eşitliktir.
En önemli trigonometrik özdeşliklere ve bunların kanıtlarına bakalım:
İlk özdeşlik teğetin tanımından kaynaklanır.
A köşesinde dar açısı x olan bir dik üçgen alın.
Kimlikleri kanıtlamak için Pisagor teoremini kullanmanız gerekir:
(BC) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
Şimdi eşitliğin her iki tarafını da (AB) 2'ye bölersek sin ve cos açısının tanımlarını hatırlayarak ikinci özdeşliği elde ederiz:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
günah x = (BC)/(AB)
çünkü x = (AC)/(AB)
günah 2 x + çünkü 2 x = 1
Üçüncü ve dördüncü özdeşlikleri kanıtlamak için önceki kanıtı kullanıyoruz.
Bunu yapmak için ikinci özdeşliğin her iki tarafını cos 2 x'e bölün:
günah 2 x/ cos 2 x + cos 2 x/ cos 2 x = 1/ cos 2 x
günah 2 x/ cos 2 x + 1 = 1/ cos 2 x
İlk özdeşliğe dayanarak tg x = sin x /cos x üçüncüyü elde ederiz:
1 + ten rengi 2 x = 1/cos 2 x
Şimdi ikinci özdeşliği sin 2 x'e bölelim:
günah 2 x/ günah 2 x + çünkü 2 x/ günah 2 x = 1/ günah 2 x
1+ çünkü 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
çünkü 2 x/ sin 2 x, 1/tg 2 x'ten başka bir şey değildir, dolayısıyla dördüncü özdeşliği elde ederiz:
1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x
Üçgenin iç açılarının toplamına ilişkin, üçgenin açılarının toplamının = 180 0 olduğunu söyleyen teoremi hatırlamanın zamanı geldi. Üçgenin B köşesinde değeri 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x olan bir açı olduğu ortaya çıktı.
Sin ve cos tanımlarını tekrar hatırlayalım ve beşinci ve altıncı özdeşlikleri elde edelim:
günah x = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = sin x
Şimdi aşağıdakileri yapalım:
çünkü x = (AC)/(AB)
sin(90 0 – x) = (AC)/(AB)
günah(90 0 – x) = çünkü x
Gördüğünüz gibi burada her şey basit.
Matematiksel özdeşliklerin çözümünde kullanılan başka özdeşlikler de vardır, bunları sadece arka plan bilgisi olarak vereceğim çünkü bunların hepsi yukarıda tartışılanlardan kaynaklanmaktadır.
günah 2x =2sin x*cos x
cos 2x =cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1
tg 2x = 2tgx/(1 - tg 2 x)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
sin3x =3sin x - 4sin 3 x
cos3х =4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx – tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x – 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)
“A Alın” video kursu matematikte Birleşik Devlet Sınavını 60-65 puanla başarıyla geçmek için gerekli tüm konuları içerir. Matematikte Profil Birleşik Devlet Sınavının 1-13 arasındaki tüm görevlerini tamamlayın. Ayrıca matematikte Temel Birleşik Devlet Sınavını geçmek için de uygundur. Birleşik Devlet Sınavını 90-100 puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. Sınıflar ve öğretmenler için Birleşik Devlet Sınavına hazırlık kursu. Matematikte Birleşik Devlet Sınavının 1. Bölümünü (ilk 12 problem) ve Problem 13'ü (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70 puandan fazla ve ne 100 puanlık bir öğrenci ne de beşeri bilimler öğrencisi onlarsız yapamaz.
Gerekli tüm teori. Birleşik Devlet Sınavının hızlı çözümleri, tuzakları ve sırları. FIPI Görev Bankası'nın 1. bölümünün tüm mevcut görevleri analiz edildi. Kurs, Birleşik Devlet Sınavı 2018'in gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs, her biri 2,5 saat olmak üzere 5 büyük konu içermektedir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilmektedir.
Yüzlerce Birleşik Devlet Sınavı görevi. Sözlü problemler ve olasılık teorisi. Sorunları çözmek için basit ve hatırlanması kolay algoritmalar. Geometri. Teori, referans materyali, her türlü Birleşik Devlet Sınavı görevinin analizi. Stereometri. Zor çözümler, faydalı kopyalar, mekansal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan probleme trigonometri 13. Sıkıştırmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların net açıklamaları. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Birleşik Devlet Sınavının 2. Kısmının karmaşık problemlerini çözmek için bir temel.
Trigonometrik kimlikler- bunlar, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve diğerlerinin bilinmesi koşuluyla bu işlevlerden herhangi birini bulmanızı sağlayan eşitliklerdir.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Bu kimlik, bir açının sinüsünün karesi ile bir açının kosinüsünün karesinin toplamının bire eşit olduğunu söyler; bu, pratikte, kosinüsü bilindiğinde bir açının sinüsünü hesaplamayı mümkün kılar ve bunun tersi de geçerlidir. .
Trigonometrik ifadeleri dönüştürürken, bu kimlik sıklıkla kullanılır; bu, bir açının kosinüs ve sinüsünün karelerinin toplamını bir ile değiştirmenize ve ayrıca değiştirme işlemini ters sırada gerçekleştirmenize olanak tanır.
Sinüs ve kosinüs kullanarak teğet ve kotanjantı bulma
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Bu kimlikler sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından oluşur. Sonuçta, eğer ona bakarsanız, tanım gereği y ordinatı bir sinüstür ve apsis x bir kosinüstür. O zaman teğet orana eşit olacaktır \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) ve oran \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- bir kotanjant olacaktır.
Ekleyelim ki, ancak içerdikleri trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu \alpha açıları için özdeşlikler geçerli olacaktır, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Örneğin: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) farklı olan \alpha açıları için geçerlidir \frac(\pi)(2)+\pi z, A ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- \pi z dışında bir \alpha açısı için z bir tamsayıdır.
Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Bu özdeşlik yalnızca farklı olan \alpha açıları için geçerlidir. \frac(\pi)(2) z. Aksi takdirde kotanjant veya tanjant belirlenmeyecektir.
Yukarıdaki noktalara dayanarak şunu elde ederiz: tg \alpha = \frac(y)(x), A ctg \alpha=\frac(x)(y). Şunu takip ediyor tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dolayısıyla anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantları karşılıklı olarak ters sayılardır.
Teğet ve kosinüs, kotanjant ve sinüs arasındaki ilişkiler
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- \alfa açısı ile 1'in tanjantının karesinin toplamı, bu açının kosinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik, dışındaki tüm \alpha için geçerlidir. \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- 1 ile \alfa açısının kotanjantının karesinin toplamı, verilen açının sinüsünün ters karesine eşittir. Bu kimlik \pi z'den farklı herhangi bir \alpha için geçerlidir.
Trigonometrik kimlikleri kullanan problemlerin çözümlerine örnekler
Örnek 1
\sin \alpha ve tg \alpha'yı bulun, eğer \cos \alpha=-\frac12 Ve \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Çözümü göster
Çözüm
\sin \alpha ve \cos \alpha fonksiyonları aşağıdaki formülle ilişkilidir \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Bu formülde yerine koyma \cos \alpha = -\frac12, şunu elde ederiz:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Bu denklemin 2 çözümü vardır:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte sinüs pozitiftir, yani \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Tan \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Örnek 2
\cos \alpha ve ctg \alpha if ve'yi bulun \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Çözümü göster
Çözüm
Formülde yerine koyma \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 verilen numara \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), alıyoruz \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Bu denklemin iki çözümü var \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
Koşullara göre \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . İkinci çeyrekte kosinüs negatiftir, yani \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Ctg \alpha'yı bulmak için formülü kullanırız ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Karşılık gelen değerleri biliyoruz.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Temel trigonometrik fonksiyonlar (sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant) arasındaki ilişkiler verilmiştir. trigonometrik formüller. Trigonometrik fonksiyonlar arasında oldukça fazla bağlantı olduğu için bu, trigonometrik formüllerin bolluğunu açıklamaktadır. Bazı formüller aynı açının trigonometrik fonksiyonlarını birbirine bağlar, diğerleri - çok açılı fonksiyonlar, diğerleri - dereceyi azaltmanıza izin verir, dördüncü - tüm fonksiyonları yarım açının tanjantı ile ifade eder, vb.
Bu yazıda trigonometri problemlerinin büyük çoğunluğunu çözmeye yeterli olan tüm temel trigonometrik formülleri sırayla listeleyeceğiz. Ezberleme ve kullanım kolaylığı açısından bunları amaçlarına göre gruplandırıp tablolara koyacağız.
Sayfada gezinme.
Temel trigonometrik kimlikler
Temel trigonometrik kimlikler Bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Bunlar sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımlarının yanı sıra birim çember kavramından kaynaklanır. Bir trigonometrik fonksiyonu diğerine göre ifade etmenize izin verirler.
Bu trigonometri formüllerinin ayrıntılı bir açıklaması, bunların türetilmesi ve uygulama örnekleri için makaleye bakın.
Azaltma formülleri
Azaltma formülleri sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın özelliklerinden kaynaklanır, yani trigonometrik fonksiyonların periyodiklik özelliğini, simetri özelliğini ve ayrıca belirli bir açıyla kayma özelliğini yansıtırlar. Bu trigonometrik formüller, rastgele açılarla çalışmaktan sıfır ila 90 derece arasındaki açılarla çalışmaya geçiş yapmanızı sağlar.
Bu formüllerin mantığı, bunları ezberlemek için anımsatıcı bir kural ve uygulama örnekleri makalede incelenebilir.
Toplama formülleri
Trigonometrik toplama formülleriİki açının toplamı veya farkının trigonometrik fonksiyonlarının bu açıların trigonometrik fonksiyonları cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu formüller aşağıdaki trigonometrik formüllerin türetilmesi için temel oluşturur.
İkili, üçlü vb. formüller. açı
İkili, üçlü vb. formüller. açı (bunlara çoklu açı formülleri de denir) ikili, üçlü vb. trigonometrik fonksiyonların nasıl olduğunu gösterir. açılar (), tek bir açının trigonometrik fonksiyonları cinsinden ifade edilir. Bunların türetilmesi toplama formüllerine dayanmaktadır.
Daha ayrıntılı bilgi ikili, üçlü vb. için makale formüllerinde toplanmıştır. açı
Yarım açı formülleri
Yarım açı formülleri yarım açının trigonometrik fonksiyonlarının tam açının kosinüsü cinsinden nasıl ifade edildiğini gösterin. Bu trigonometrik formüller çift açı formüllerinden kaynaklanmaktadır.
Sonuçları ve uygulama örnekleri makalede bulunabilir.
Derece azaltma formülleri
Dereceleri azaltmak için trigonometrik formüller trigonometrik fonksiyonların doğal kuvvetlerinden birinci dereceden sinüs ve kosinüslere, ancak çoklu açılara geçişi kolaylaştırmak için tasarlanmıştır. Başka bir deyişle trigonometrik fonksiyonların kuvvetlerini birinciye düşürmenize olanak tanırlar.
Trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller
Ana amaç trigonometrik fonksiyonların toplamı ve farkı için formüller Trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok yararlı olan fonksiyonların çarpımına gitmektir. Bu formüller aynı zamanda sinüs ve kosinüslerin toplamını ve farkını çarpanlara ayırmanıza olanak tanıdığından trigonometrik denklemlerin çözümünde de yaygın olarak kullanılır.
Sinüs, kosinüs ve sinüs-kosinüs çarpımı için formüller
Trigonometrik fonksiyonların çarpımından bir toplam veya farka geçiş, sinüs, kosinüs ve sinüs kosinüs çarpımı formülleri kullanılarak gerçekleştirilir.
Telif hakkı akıllı öğrencilere aittir
Her hakkı saklıdır.
Telif hakkı yasasıyla korunmaktadır. www.site'nin hiçbir kısmı, iç materyaller ve görünüm de dahil olmak üzere, telif hakkı sahibinin önceden yazılı izni olmadan hiçbir şekilde çoğaltılamaz veya kullanılamaz.