4 karmaşık bir fonksiyonun türevi. Bir fonksiyonun türevi

Eğer G(X) Ve F(sen) – argümanlarının sırasıyla farklı noktalarda türevlenebilir fonksiyonları X Ve sen= G(X), o zaman karmaşık fonksiyon da bu noktada türevlenebilirdir X ve formülle bulunur

Türev problemlerini çözerken yapılan tipik bir hata, basit fonksiyonları karmaşık fonksiyonlara ayırma kurallarını mekanik olarak aktarmaktır. Bu hatadan kaçınmayı öğrenelim.

Örnek 2. Bir fonksiyonun türevini bulun

Yanlış çözüm: parantez içindeki her terimin doğal logaritmasını hesaplayın ve türevlerin toplamını arayın:

Doğru çözüm: yine “elmanın” nerede olduğunu ve “kıymanın” nerede olduğunu belirliyoruz. Burada parantez içindeki ifadenin doğal logaritması bir “elma”dır, yani ara argüman üzerindeki bir fonksiyondur. sen, parantez içindeki ifade ise “kıyma”dır, yani ara argümandır sen bağımsız değişkene göre X.

Daha sonra (türev tablosundaki formül 14'ü kullanarak)

Gerçek hayattaki birçok problemde logaritmayla ifade biraz daha karmaşık olabilir, bu yüzden bir ders var.

Örnek 3. Bir fonksiyonun türevini bulun

Yanlış çözüm:

Doğru çözüm. Bir kez daha “elmanın” nerede olduğunu ve “kıymanın” nerede olduğunu belirliyoruz. Burada parantez içindeki ifadenin kosinüsü (türev tablosundaki formül 7) bir “elma”dır, sadece onu etkileyen mod 1’de hazırlanır ve parantez içindeki ifade (derecenin türevi 3 sayısıdır) türevler tablosunda) “kıyma” ise, sadece onu etkileyen mod 2'ye göre hazırlanır. Ve her zamanki gibi iki türevi çarpım işaretiyle birleştiriyoruz. Sonuç:

Karmaşık bir logaritmik fonksiyonun türevi testlerde sıklıkla yapılan bir görevdir, bu nedenle “Logaritmik bir fonksiyonun türevi” dersine katılmanızı önemle tavsiye ederiz.

İlk örnekler, bağımsız değişkene ilişkin ara argümanın basit bir fonksiyon olduğu karmaşık fonksiyonlarla ilgiliydi. Ancak pratik görevlerde, ara argümanın kendisinin karmaşık bir fonksiyon olduğu veya böyle bir fonksiyonu içerdiği karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak genellikle gereklidir. Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Tabloları ve türev kurallarını kullanarak bu tür fonksiyonların türevlerini bulun. Ara argümanın türevi bulunduğunda, formülde doğru yere basitçe yerleştirilir. Aşağıda bunun nasıl yapıldığına dair iki örnek verilmiştir.

Ayrıca şunları bilmekte fayda var. Karmaşık bir fonksiyon üç fonksiyondan oluşan bir zincir olarak temsil edilebiliyorsa

o zaman türevi bu fonksiyonların her birinin türevlerinin çarpımı olarak bulunmalıdır:

Ev ödevlerinizin çoğu, kılavuzlarınızı yeni pencerelerde açmanızı gerektirebilir. Güçleri ve kökleri olan eylemler Ve Kesirlerle işlemler .

Örnek 4. Bir fonksiyonun türevini bulun

Türevlerin sonuçta ortaya çıkan çarpımında bağımsız değişkene göre bir ara argüman olduğunu unutmadan, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz. X değişmez:

Çarpımın ikinci faktörünü hazırlıyoruz ve toplamın türevini alma kuralını uyguluyoruz:

İkinci terim köktür, yani

Böylece, bir toplam olan ara argümanın terimlerden biri olarak karmaşık bir fonksiyon içerdiğini bulduk: bir kuvvete yükseltmek karmaşık bir fonksiyondur ve bir kuvvete yükseltilen şey bağımsızlığa göre bir ara argümandır. değişken X.

Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı tekrar uyguluyoruz:

Birinci faktörün derecesini bir köke dönüştürüyoruz ve ikinci faktörün türevini alırken sabitin türevinin sıfıra eşit olduğunu unutmayın:

Artık problem ifadesinde gerekli olan karmaşık bir fonksiyonun türevini hesaplamak için gereken ara argümanın türevini bulabiliriz. sen:

Örnek 5. Bir fonksiyonun türevini bulun

İlk olarak, toplamın türevini almak için kuralı kullanırız:

İki karmaşık fonksiyonun türevlerinin toplamını elde ettik. İlkini bulalım:

Burada sinüsü bir kuvvete yükseltmek karmaşık bir fonksiyondur ve sinüsün kendisi de bağımsız değişken için bir ara argümandır. X. Bu nedenle karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını yol boyunca kullanacağız. çarpanı parantezlerden çıkarmak :

Şimdi fonksiyonun türevlerinin ikinci terimini buluyoruz sen:

Burada kosinüsün bir kuvvete yükseltilmesi karmaşık bir fonksiyondur F ve kosinüsün kendisi bağımsız değişkende bir ara argümandır X. Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için kuralı tekrar kullanalım:

Sonuç gerekli türevdir:

Bazı karmaşık fonksiyonların türevleri tablosu

Karmaşık bir fonksiyonun türevi kuralına dayanan karmaşık fonksiyonlar için, basit bir fonksiyonun türevinin formülü farklı bir biçim alır.

1. Karmaşık bir güç fonksiyonunun türevi; sen X
2. İfadenin kökünün türevi
3. Üstel bir fonksiyonun türevi
4. Üstel fonksiyonun özel durumu
5. Keyfi bir pozitif tabanlı logaritmik fonksiyonun türevi A
6. Karmaşık bir logaritmik fonksiyonun türevi; sen– argümanın türevlenebilir fonksiyonu X
7. Sinüs türevi
8. Kosinüsün türevi
9. Teğetin türevi
10. Kotanjantın Türevi
11. Arsinüsün türevi
12. Arkosinin türevi
13. Arktanjantın Türevi
14. Ark kotanjantının türevi

Tanımı takip ederseniz, bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, Δ fonksiyonunun artış oranının limitidir. sen argüman artışına Δ X:

Her şey açık görünüyor. Ancak fonksiyonun türevini hesaplamak için bu formülü kullanmayı deneyin. F(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X günah X. Her şeyi tanımı gereği yaparsanız, birkaç sayfalık hesaplamalardan sonra uykuya dalacaksınız. Bu nedenle daha basit ve etkili yollar var.

Başlangıç ​​olarak, tüm fonksiyon çeşitliliğinden, temel fonksiyonlar olarak adlandırılanları ayırt edebildiğimizi not ediyoruz. Bunlar, türevleri uzun süredir hesaplanan ve tablolaştırılan nispeten basit ifadelerdir. Bu tür fonksiyonların türevleriyle birlikte hatırlanması oldukça kolaydır.

Temel fonksiyonların türevleri

Temel işlevler aşağıda listelenenlerin tamamıdır. Bu fonksiyonların türevlerinin ezbere bilinmesi gerekir. Üstelik bunları ezberlemek hiç de zor değil; bu yüzden temel düzeydedirler.

Yani, temel fonksiyonların türevleri:

İsim	İşlev	Türev
Devamlı	F(X) = C, C ∈ R	0 (evet, sıfır!)
Rasyonel üslü kuvvet	F(X) = X N	N · X N − 1
Sinüs	F(X) = günah X	çünkü X
Kosinüs	F(X) = çünkü X	−günah X(eksi sinüs)
Teğet	F(X) = tg X	1/çünkü 2 X
Kotanjant	F(X) = ctg X	− 1/günah 2 X
Doğal logaritma	F(X) = günlük X	1/X
Keyfi logaritma	F(X) = günlük A X	1/(X içinde A)
Üstel fonksiyon	F(X) = e X	e X(hiçbirşey değişmedi)

Bir temel fonksiyon keyfi bir sabitle çarpılırsa, yeni fonksiyonun türevi de kolaylıkla hesaplanır:

(C · F)’ = C · F ’.

Genel olarak sabitler türevin işaretinden çıkarılabilir. Örneğin:

(2X 3)’ = 2 · ( X 3)’ = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Açıkçası, temel işlevler birbirine eklenebilir, çarpılabilir, bölünebilir ve çok daha fazlası yapılabilir. Artık özellikle temel olmayan, aynı zamanda belirli kurallara göre farklılaştırılmış yeni işlevler bu şekilde ortaya çıkacak. Bu kurallar aşağıda tartışılmaktadır.

Toplam ve farkın türevi

Fonksiyonlar verilsin F(X) Ve G(X), türevleri tarafımızca bilinmektedir. Örneğin yukarıda tartışılan temel işlevleri alabilirsiniz. Daha sonra bu fonksiyonların toplamının ve farkının türevini bulabilirsiniz:

1. (F + G)’ = F ’ + G ’
2. (F − G)’ = F ’ − G ’

Yani iki fonksiyonun toplamının (farkının) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir. Daha fazla şart olabilir. Örneğin, ( F + G + H)’ = F ’ + G ’ + H ’.

Açıkça söylemek gerekirse cebirde “çıkarma” kavramı yoktur. “Negatif unsur” diye bir kavram var. Bu nedenle fark F − G toplam olarak yeniden yazılabilir F+ (−1) G ve sonra yalnızca bir formül kalır - toplamın türevi.

F(X) = X 2 + günah x; G(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun toplamıdır, dolayısıyla:

F ’(X) = (X 2 + günah X)’ = (X 2)’ + (günah X)’ = 2X+ çünkü x;

İşlev için de benzer şekilde mantık yürütüyoruz G(X). Sadece zaten üç terim var (cebir açısından):

G ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Cevap:
F ’(X) = 2X+ çünkü x;
G ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Ürünün türevi

Matematik mantıksal bir bilimdir, pek çok kişi bir toplamın türevinin türevlerin toplamına eşit olması durumunda çarpımın türevinin alınacağına inanır. çarpmak">türevlerin çarpımına eşittir. Ama canınız cehenneme! Bir çarpımın türevi tamamen farklı bir formül kullanılarak hesaplanır. Yani:

(F · G) ’ = F ’ · G + F · G ’

Formül basit ama sıklıkla unutuluyor. Ve sadece okul çocukları değil, öğrenciler de. Sonuç yanlış çözülmüş problemlerdir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = X 3 çünkü x; G(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

İşlev F(X) iki temel fonksiyonun ürünüdür, dolayısıyla her şey basittir:

F ’(X) = (X 3 çünkü X)’ = (X 3) çünkü X + X 3 (çünkü X)’ = 3X 2 çünkü X + X 3 (− günah X) = X 2 (3cos X − X günah X)

İşlev G(X) ilk çarpan biraz daha karmaşıktır ancak genel şema değişmez. Açıkçası, fonksiyonun ilk faktörü G(X) bir polinomdur ve türevi toplamın türevidir. Sahibiz:

G ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) · ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X· (2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Cevap:
F ’(X) = X 2 (3cos X − X günah X);
G ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Lütfen son adımda türevin çarpanlara ayrıldığını unutmayın. Resmi olarak bunun yapılmasına gerek yoktur, ancak çoğu türev kendi başına hesaplanmaz, fonksiyonu incelemek için hesaplanır. Bu, türevin ayrıca sıfıra eşitleneceği, işaretlerinin belirleneceği vb. anlamına gelir. Böyle bir durumda, bir ifadenin çarpanlara ayrılması daha iyidir.

İki fonksiyon varsa F(X) Ve G(X), Ve G(X) ≠ 0 ilgilendiğimiz kümede yeni bir fonksiyon tanımlayabiliriz H(X) = F(X)/G(X). Böyle bir fonksiyonun türevini de bulabilirsiniz:

Zayıf değil, değil mi? Eksi nereden geldi? Neden G 2? Ve bunun gibi! Bu en karmaşık formüllerden biridir; şişe olmadan çözemezsiniz. Bu nedenle spesifik örneklerle incelemek daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun:

Her kesrin payı ve paydası temel fonksiyonları içerir, bu nedenle ihtiyacımız olan tek şey bölümün türevinin formülüdür:

Geleneğe göre, payı çarpanlara ayıralım - bu, cevabı büyük ölçüde basitleştirecektir:

Karmaşık bir fonksiyonun mutlaka yarım kilometre uzunluğunda bir formül olması gerekmez. Örneğin fonksiyonu almanız yeterli F(X) = günah X ve değişkeni değiştirin X diyelim ki X 2 + ln X. Bu işe yarayacak F(X) = günah ( X 2 + ln X) - bu karmaşık bir fonksiyondur. Onun da bir türevi var ama yukarıda tartışılan kuralları kullanarak onu bulmak mümkün olmayacak.

Ne yapmalıyım? Bu gibi durumlarda, karmaşık bir fonksiyonun türevi için bir değişkeni ve formülü değiştirmek yardımcı olur:

F ’(X) = F ’(T) · T', Eğer Xşununla değiştirilir: T(X).

Kural olarak, bu formülün anlaşılmasındaki durum, bölümün türevinden daha da üzücüdür. Bu nedenle, bunu belirli örneklerle ve her adımın ayrıntılı bir açıklamasıyla açıklamak daha iyidir.

Görev. Fonksiyonların türevlerini bulun: F(X) = e 2X + 3 ; G(X) = günah ( X 2 + ln X)

Fonksiyonda ise şunu unutmayın F(X) ifade 2 yerine X+3 kolay olacak X sonra temel bir fonksiyon elde ederiz F(X) = e X. Bu nedenle bir değişiklik yapıyoruz: 2 olsun X + 3 = T, F(X) = F(T) = e T. Aşağıdaki formülü kullanarak karmaşık bir fonksiyonun türevini ararız:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (e T)’ · T ’ = e T · T ’

Ve şimdi - dikkat! Ters değiştirme işlemini gerçekleştiriyoruz: T = 2X+ 3. Şunu elde ederiz:

F ’(X) = e T · T ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Şimdi fonksiyona bakalım G(X). Açıkçası değiştirilmesi gerekiyor X 2 + ln X = T. Sahibiz:

G ’(X) = G ’(T) · T' = (günah T)’ · T' = çünkü T · T ’

Ters değiştirme: T = X 2 + ln X. Daha sonra:

G ’(X) = çünkü ( X 2 + ln X) · ( X 2 + ln X)’ = çünkü ( X 2 + ln X) · (2 X + 1/X).

Bu kadar! Son ifadeden de anlaşılacağı üzere bütün sorun türev toplamının hesaplanmasına indirgenmiştir.

Cevap:
F ’(X) = 2 · e 2X + 3 ;
G ’(X) = (2X + 1/X) çünkü ( X 2 + ln X).

Derslerimde sıklıkla "türev" terimi yerine "asal" kelimesini kullanıyorum. Örneğin, toplamın vuruşu vuruşların toplamına eşittir. Bu daha açık mı? Tamam bu harika.

Dolayısıyla türevi hesaplamak, yukarıda tartışılan kurallara göre aynı vuruşlardan kurtulmak anlamına gelir. Son bir örnek olarak rasyonel üslü türev gücüne dönelim:

(X N)’ = N · X N − 1

Çok az kişi bunu rolde biliyor N kesirli bir sayı olabilir. Örneğin, kök X 0,5. Ya kökün altında süslü bir şey varsa? Sonuç yine karmaşık bir işlev olacaktır - bu tür yapıları testlerde ve sınavlarda vermeyi severler.

Görev. Fonksiyonun türevini bulun:

Öncelikle kökü rasyonel üssü olan bir kuvvet olarak yeniden yazalım:

F(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Şimdi bir değişiklik yapıyoruz: izin ver X 2 + 8X − 7 = T. Türevi aşağıdaki formülü kullanarak buluruz:

F ’(X) = F ’(T) · T ’ = (T 0,5)' · T' = 0,5 · T−0,5 · T ’.

Ters değiştirme işlemini yapalım: T = X 2 + 8X− 7. Elimizde:

F ’(X) = 0,5 · ( X 2 + 8X− 7) −0,5 · ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 · (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Son olarak köklere dönelim:

Karmaşık türdeki işlevlere "karmaşık işlev" terimini çağırmak tamamen doğru değildir. Örneğin, çok etkileyici görünüyor, ancak bu işlev, aksine, karmaşık değil.

Bu makalede karmaşık fonksiyon kavramını anlayacağız, onu temel fonksiyonların parçası olarak nasıl tanımlayacağımızı öğreneceğiz, türevini bulmak için bir formül vereceğiz ve tipik örneklerin çözümünü ayrıntılı olarak ele alacağız.

Örnekleri çözerken sürekli olarak türev tablosunu ve türev kurallarını kullanacağız, bu yüzden bunları gözünüzün önünde bulundurun.

Karmaşık fonksiyon argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan bir fonksiyondur.

Bizim açımızdan bu tanım en anlaşılır olanıdır. Geleneksel olarak f(g(x)) olarak gösterilebilir. Yani, g(x), f(g(x)) fonksiyonunun bir argümanı gibidir.

Örneğin, f arktanjant fonksiyon ve g(x) = lnx doğal logaritma fonksiyonu olsun, o zaman karmaşık fonksiyon f(g(x)) arktan(lnx) olur. Başka bir örnek: f, dördüncü kuvvete yükseltme fonksiyonudur ve tam bir rasyonel fonksiyondur (bkz. ), o zaman .

Buna karşılık g(x) de karmaşık bir fonksiyon olabilir. Örneğin, . Geleneksel olarak böyle bir ifade şu şekilde gösterilebilir: . Burada f sinüs fonksiyonudur, karekök fonksiyonudur, - kesirli rasyonel fonksiyon. Fonksiyonların iç içe geçme derecesinin herhangi bir sonlu doğal sayı olabileceğini varsaymak mantıklıdır.

Sıklıkla karmaşık bir işlevi duyabilirsiniz. fonksiyonların bileşimi.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma formülü.

Örnek.

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm.

Bu örnekte f kare alma fonksiyonudur ve g(x) = 2x+1 doğrusal fonksiyondur.

Karmaşık fonksiyon türevi formülünü kullanan ayrıntılı çözüm aşağıda verilmiştir:

Önce orijinal fonksiyonun formunu sadeleştirerek bu türevi bulalım.

Buradan,

Gördüğünüz gibi sonuçlar aynı.

Hangi fonksiyonun f, hangisinin g(x) olduğunu karıştırmamaya çalışın.

Dikkatinizi çekmek için bunu bir örnekle açıklayalım.

Örnek.

Karmaşık fonksiyonların türevlerini bulun ve .

Çözüm.

İlk durumda, f kare alma fonksiyonudur ve g(x) sinüs fonksiyonudur, yani
.

İkinci durumda f bir sinüs fonksiyonudur ve bir kuvvet fonksiyonudur. Bu nedenle, karmaşık bir fonksiyonun çarpımı formülüyle elimizde

Bir fonksiyonun türev formülü şu şekildedir:

Örnek.

Farklılaştırma işlevi .

Çözüm.

Bu örnekte karmaşık fonksiyon geleneksel olarak şu şekilde yazılabilir: burada sırasıyla sinüs fonksiyonu, üçüncü kuvvet fonksiyonu, e tabanı logaritma fonksiyonu, arktanjant fonksiyonu ve doğrusal fonksiyon bulunmaktadır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülüne göre

Şimdi bulduk

Elde edilen ara sonuçları bir araya getirelim:

Korkutucu bir şey yok, iç içe geçmiş bebekler gibi karmaşık işlevleri analiz edin.

Tek bir şey olmasa bile bu makalenin sonu olabilir...

Türev kurallarının ve türev tablosunun ne zaman uygulanacağını ve karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünün ne zaman uygulanacağını açıkça anlamanız önerilir..

ŞİMDİ ÇOK DİKKATLİ OLUN. Karmaşık fonksiyonlar ile karmaşık fonksiyonlar arasındaki farklardan bahsedeceğiz. Türev bulmadaki başarınız bu farkı ne kadar gördüğünüze bağlı olacaktır.

Basit örneklerle başlayalım. İşlev karmaşık olarak kabul edilebilir: g(x) = tgx, . Bu nedenle karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin formülü hemen uygulayabilirsiniz.

Ve işte fonksiyon Artık karmaşık olarak adlandırılamaz.

Bu fonksiyon 3tgx ve 1 olmak üzere üç fonksiyonun toplamıdır. - karmaşık bir fonksiyon olmasına rağmen: - bir kuvvet fonksiyonu (ikinci dereceden parabol) ve f bir teğet fonksiyondur. Bu nedenle öncelikle toplam farklılaşma formülünü uyguluyoruz:

Geriye karmaşık fonksiyonun türevini bulmak kalıyor:

Bu yüzden .

Ana fikri anladığınızı umuyoruz.

Daha geniş açıdan bakarsak, karmaşık tipteki fonksiyonların karmaşık fonksiyonların parçası olabileceği ve karmaşık fonksiyonların da karmaşık tipteki fonksiyonların bileşenleri olabileceği tartışılabilir.

Örnek olarak, fonksiyonu bileşen parçalarına ayıralım .

İlk önce, bu şu şekilde temsil edilebilecek karmaşık bir fonksiyondur; burada f, 3 tabanlı logaritma fonksiyonudur ve g(x) iki fonksiyonun toplamıdır Ve . Yani, .

ikinci olarak, h(x) fonksiyonunu ele alalım. ile bir ilişkiyi temsil eder. .

Bu iki fonksiyonun toplamıdır ve , Nerede - sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyon. - küp fonksiyonu, - kosinüs fonksiyonu, - doğrusal fonksiyon.

Bu iki fonksiyonun toplamıdır ve burada - karmaşık fonksiyon, - üstel fonksiyon, - kuvvet fonksiyonu.

Böylece, .

Üçüncü, karmaşık bir işlevin ürünü olan öğesine gidin ve tüm rasyonel fonksiyon

Kare alma fonksiyonu e tabanına göre logaritma fonksiyonudur.

Buradan, .

Özetleyelim:

Artık fonksiyonun yapısı belli oldu ve türevini alırken hangi formüllerin ve hangi sırayla uygulanacağı da netleşti.

Bir fonksiyonun türevini alma (türevini bulma) bölümünde benzer problemlerin çözümüne aşina olabilirsiniz.

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim, hemen ters fonksiyonu ele alalım. Üstel fonksiyonun tersi hangi fonksiyondur? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette, .

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Yanıtlar: Üstel ve doğal logaritma, türev perspektifinden bakıldığında benzersiz derecede basit fonksiyonlardır. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra türev alma kurallarını inceledikten sonra analiz edeceğiz.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Bu kadar. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayılar (sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (Doğrusal bir fonksiyon olduğundan türev her noktada aynıdır, hatırladınız mı?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: yeni bir fonksiyon tanıtalım ve onun artışını bulalım:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o halde fonksiyonumuzu yeni bir tabana indirgemeye çalışalım:

Bunu yapmak için basit bir kural kullanacağız: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

Olmuş?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Yanıtlar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani daha basit bir biçimde yazılamayan bir sayıdır. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Burada iki fonksiyonun bölümü olduğuna dikkat edin, dolayısıyla ilgili türev kuralını uyguluyoruz:

Bu örnekte iki fonksiyonun çarpımı:

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel ve logaritmik fonksiyonların türevleri Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç bulunmaz, ancak bunları bilmek gereksiz olmayacaktır.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için ters adımları tersten uygulamanız gerekir.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Başka bir deyişle, karmaşık bir fonksiyon, argümanı başka bir fonksiyon olan bir fonksiyondur: .

Örneğimiz için, .

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Karmaşık işlevlerin önemli bir özelliği: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk olarak gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Yanıtlar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

1. İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak ondan sonra küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
   Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.

Karmaşık türdeki işlevler her zaman karmaşık işlev tanımına uymaz. y = sin x - (2 - 3) · a r c t g x x 5 7 x 10 - 17 x 3 + x - 11 biçiminde bir fonksiyon varsa, o zaman y = sin 2 x'ten farklı olarak karmaşık kabul edilemez.

Bu makale karmaşık fonksiyon kavramını ve tanımlanmasını gösterecektir. Sonuç bölümünde çözüm örnekleriyle türevi bulmaya yönelik formüllerle çalışalım. Türev tablosunun ve türev kurallarının kullanılması türevi bulma süresini önemli ölçüde azaltır.

Temel tanımlar

Tanım 1

Karmaşık bir fonksiyon, argümanı aynı zamanda bir fonksiyon olan fonksiyondur.

Şu şekilde gösterilir: f (g (x)). g(x) fonksiyonunun f(g(x)) argümanı olarak kabul edildiğini biliyoruz.

Tanım 2

Eğer bir f fonksiyonu varsa ve bu bir kotanjant fonksiyon ise, o zaman g(x) = ln x doğal logaritma fonksiyonudur. Karmaşık f(g(x)) fonksiyonunun arctg(lnx) olarak yazılacağını bulduk. Veya g (x) = x 2 + 2 x - 3'ün tam bir rasyonel fonksiyon olarak kabul edildiği 4. kuvvete yükseltilmiş bir fonksiyon olan bir f fonksiyonu, f (g (x)) = (x 2 + 2 x - 3) 4 .

Açıkçası g(x) karmaşık olabilir. y = sin 2 x + 1 x 3 - 5 örneğinden g'nin değerinin kesrin küp köküne sahip olduğu açıktır. Bu ifade y = f (f 1 (f 2 (x))) olarak gösterilebilir. Buradan f'nin sinüs fonksiyonu ve f 1'in karekökün altında yer alan bir fonksiyon olduğunu, f 2 (x) = 2 x + 1 x 3 - 5'in kesirli bir rasyonel fonksiyon olduğunu anlıyoruz.

Tanım 3

Yuvalanma derecesi herhangi bir doğal sayı ile belirlenir ve şu şekilde yazılır: y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x)))))) .

Tanım 4

Fonksiyon bileşimi kavramı, problemin koşullarına göre iç içe geçmiş fonksiyonların sayısını ifade eder. Çözmek için, formun karmaşık bir fonksiyonunun türevini bulma formülünü kullanın.

(f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x)

Örnekler

örnek 1

y = (2 x + 1) 2 formundaki karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun.

Çözüm

Koşul, f'nin bir kare alma fonksiyonu olduğunu ve g(x) = 2 x + 1'in doğrusal bir fonksiyon olarak kabul edildiğini gösterir.

Türev formülünü karmaşık bir fonksiyona uygulayalım ve yazalım:

f " (g (x)) = ((g (x)) 2) " = 2 (g (x)) 2 - 1 = 2 g (x) = 2 (2 x + 1) ; g " (x) = (2 x + 1) " = (2 x) " + 1 " = 2 x " + 0 = 2 1 x 1 - 1 = 2 ⇒ (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 (2 x + 1) 2 = 8 x + 4

Fonksiyonun basitleştirilmiş orijinal formuyla türevini bulmak gerekir. Şunu elde ederiz:

y = (2 x + 1) 2 = 4 x 2 + 4 x + 1

Buradan şunu anlıyoruz

y " = (4 x 2 + 4 x + 1) " = (4 x 2) " + (4 x) " + 1 " = 4 (x 2) " + 4 (x) " + 0 = = 4 · 2 · x 2 - 1 + 4 · 1 · x 1 - 1 = 8 x + 4

Sonuçlar aynıydı.

Bu tür problemleri çözerken f ve g(x) formundaki fonksiyonun nerede bulunacağını anlamak önemlidir.

Örnek 2

y = sin 2 x ve y = sin x 2 formundaki karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmalısınız.

Çözüm

İlk fonksiyon gösterimi f'nin kare alma fonksiyonu ve g(x)'in sinüs fonksiyonu olduğunu söyler. O zaman bunu anlıyoruz

y " = (sin 2 x) " = 2 sin 2 - 1 x (sin x) " = 2 sin x çünkü x

İkinci girdi f'nin bir sinüs fonksiyonu olduğunu ve g(x) = x 2'nin bir kuvvet fonksiyonunu temsil ettiğini gösterir. Bundan, karmaşık bir fonksiyonun çarpımını şu şekilde yazdığımız sonucu çıkar:

y " = (sin x 2) " = cos (x 2) (x 2) " = cos (x 2) 2 x 2 - 1 = 2 x cos (x 2)

Y = f (f 1 (f 2 (f 3 (. . . (f n (x))))) türevinin formülü y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (. . . . (f n (x))))) şeklinde yazılacaktır. . ( f n (x))))) · f 1 " (f 2 (f 3 (. . (f n (x)))) · · f 2 " (f 3 (. . . (f n (x)) )) )) · · . . . fn "(x)

Örnek 3

y = sin (ln 3 a r c t g (2 x)) fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm

Bu örnek, fonksiyonların yazılmasının ve yerinin belirlenmesinin zorluğunu göstermektedir. O zaman y = f (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))))), burada f , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 (x) sinüs fonksiyonudur, yükseltme fonksiyonudur 3 dereceye kadar, logaritma ve e tabanına sahip fonksiyon, arktanjant ve doğrusal fonksiyon.

Karmaşık bir işlevi tanımlama formülünden şunu elde ederiz:

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x)

Bulmamız gerekeni alıyoruz

1. f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x))))) türevler tablosuna göre sinüsün türevi olarak, sonra f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 () x)))) ) = çünkü (ln 3 a r c t g (2 x)) .
2. f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) bir güç fonksiyonunun türevi olarak, o zaman f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) = 3 ln 3 - 1 a r c t g (2 x) = 3 ln 2 a r c t g (2 x) .
3. f 2 " (f 3 (f 4 (x))), logaritmik bir türev olarak, o zaman f 2 " (f 3 (f 4 (x))) = 1 a r c t g (2 x) .
4. f 3 " (f 4 (x)) arktanjantın türevi olarak, o zaman f 3 " (f 4 (x)) = 1 1 + (2 x) 2 = 1 1 + 4 x 2.
5. F 4 (x) = 2 x türevini bulurken, üssü 1'e eşit olan bir güç fonksiyonunun türevi formülünü kullanarak türevin işaretinden 2'yi çıkarın, ardından f 4 " (x) = (2 x) " = 2 x " = 2 · 1 · x 1 - 1 = 2 .

Ara sonuçları birleştiriyoruz ve bunu elde ediyoruz

y " = f " (f 1 (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 1 " (f 2 (f 3 (f 4 (x)))) f 2 " (f 3 (f 4) (x)) f 3 " (f 4 (x)) f 4 " (x) = = çünkü (ln 3 a r c t g (2 x)) 3 ln 2 a r c t g (2 x) 1 a r c t g (2 x) 1 1 + 4 x 2 2 = = 6 çünkü (ln 3 a r c t g (2 x)) ln 2 a r c t g (2 x) a r c t g (2 x) (1 + 4 x 2)

Bu tür fonksiyonların analizi iç içe geçmiş bebekleri anımsatıyor. Türev tablosu kullanılarak türev alma kuralları her zaman açıkça uygulanamaz. Genellikle karmaşık fonksiyonların türevlerini bulmak için bir formül kullanmanız gerekir.

Karmaşık görünüm ile karmaşık işlevler arasında bazı farklılıklar vardır. Bunu net bir şekilde ayırt edebilme yeteneği ile türevleri bulmak özellikle kolay olacaktır.

Örnek 4

Böyle bir örnek vermeyi düşünmek gerekir. y = t g 2 x + 3 t g x + 1 biçiminde bir fonksiyon varsa, g (x) = t g x, f (g) = g 2 + 3 g + 1 biçiminde karmaşık bir fonksiyon olarak düşünülebilir. . Açıkçası, karmaşık bir türev için formülü kullanmak gereklidir:

f " (g (x)) = (g 2 (x) + 3 g (x) + 1) " = (g 2 (x)) " + (3 g (x)) " + 1 " = = = 2 · g 2 - 1 (x) + 3 g " (x) + 0 = 2 g (x) + 3 1 g 1 - 1 (x) = = 2 g (x) + 3 = 2 t g x + 3 ; g " (x) = (t g x) " = 1 çünkü 2 x ⇒ y " = (f (g (x))) " = f " (g (x)) g " (x) = (2 t g x + 3 ) · 1 çünkü 2 x = 2 t g x + 3 çünkü 2 x

y = t g x 2 + 3 t g x + 1 formundaki bir fonksiyon, t g x 2, 3 t g x ve 1'in toplamına sahip olduğundan karmaşık kabul edilmez. Bununla birlikte, t g x 2 karmaşık bir fonksiyon olarak kabul edilirse, g(x) = x 2 ve f şeklinde bir teğet fonksiyon olan bir kuvvet fonksiyonu elde ederiz. Bunu yapmak için miktara göre farklılaştırın. Bunu anlıyoruz

y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + (3 t g x) " + 1 " = = (t g x 2) " + 3 (t g x) " + 0 = (t g x 2) " + 3 çünkü 2 x

Karmaşık bir fonksiyonun (t g x 2) türevini bulmaya geçelim ":

f " (g (x)) = (t g (g (x))) " = 1 çünkü 2 g (x) = 1 çünkü 2 (x 2) g " (x) = (x 2) " = 2 x 2 - 1 = 2 x ⇒ (t g x 2) " = f " (g (x)) g " (x) = 2 x çünkü 2 (x 2)

Şunu elde ederiz: y " = (t g x 2 + 3 t g x + 1) " = (t g x 2) " + 3 cos 2 x = 2 x cos 2 (x 2) + 3 cos 2 x

Karmaşık türdeki işlevler, karmaşık işlevlere dahil edilebilir ve karmaşık işlevlerin kendileri, karmaşık türdeki bir işlevin bileşenleri olabilir.

Örnek 5

Örneğin, y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) formundaki karmaşık bir fonksiyonu düşünün.

Bu fonksiyon y = f (g (x)) olarak temsil edilebilir; burada f değeri 3 tabanlı logaritmanın bir fonksiyonudur ve g (x), h (x) = formundaki iki fonksiyonun toplamı olarak kabul edilir. x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 ve k (x) = ln 2 x · (x 2 + 1) . Açıkçası, y = f (h (x) + k (x)).

h(x) fonksiyonunu düşünün. Bu, l (x) = x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7'nin m (x) = e x 2 + 3 3'e oranıdır.

Elimizde l (x) = x 2 + 3 çünkü 2 (2 x + 1) + 7 = n (x) + p (x), n (x) = x 2 + 7 ve p ( olmak üzere iki fonksiyonun toplamıdır. x) = 3 çünkü 3 (2 x + 1) , burada p (x) = 3 p 1 (p 2 (p 3 (x))), sayısal katsayısı 3 olan karmaşık bir fonksiyondur ve p 1 bir küp fonksiyonudur, kosinüs fonksiyonuyla p 2, doğrusal fonksiyonla p 3 (x) = 2 x + 1.

m (x) = e x 2 + 3 3 = q (x) + r (x)'in iki fonksiyonun toplamı olduğunu bulduk: q (x) = e x 2 ve r (x) = 3 3, burada q (x) = q 1 (q 2 (x)) karmaşık bir fonksiyondur, q 1 üstel bir fonksiyondur, q 2 (x) = x 2 bir kuvvet fonksiyonudur.

Bu şunu gösterir: h (x) = l (x) m (x) = n (x) + p (x) q (x) + r (x) = n (x) + 3 p 1 (p 2 ( p 3) (x)))) q 1 (q 2 (x)) + r (x)

k (x) = ln 2 x (x 2 + 1) = s (x) t (x) formundaki bir ifadeye geçildiğinde, fonksiyonun bir s (x) kompleksi formunda sunulduğu açıktır. = ln 2 x = s 1 ( s 2 (x)) rasyonel bir tam sayı olan t (x) = x 2 + 1, burada s 1 bir kare alma fonksiyonudur ve s 2 (x) = ln x e tabanlı logaritmiktir .

İfadenin k (x) = s (x) · t (x) = s 1 (s 2 (x)) · t (x) formunu alacağı sonucu çıkar.

O zaman bunu anlıyoruz

y = log 3 x 2 + 3 cos 3 (2 x + 1) + 7 e x 2 + 3 3 + ln 2 x (x 2 + 1) = = f n (x) + 3 p 1 (p 2 (p 3 ( x)))) q 1 (q 2 (x)) = r (x) + s 1 (s 2 (x)) t (x)

Fonksiyonun yapılarına dayanarak, ifadeyi farklılaştırırken basitleştirmek için nasıl ve hangi formüllerin kullanılması gerektiği ortaya çıktı. Bu tür problemlere aşina olmak ve çözümlerinin konsepti için bir fonksiyonun türevini alma, yani türevini bulma noktasına dönmek gerekir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.