Bir fonksiyonun türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)
Tepelik bir alandan geçen düz bir yol düşünelim. Yani yukarı aşağı gidiyor ama sağa sola dönmüyor. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:
Eksen belli bir seviyede sıfır rakımdır; yaşamda deniz seviyesini öyle kullanırız.
Böyle bir yolda ilerlerken aynı zamanda yukarı veya aşağı da hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket), fonksiyonun değeri de değişir (ordinat ekseni boyunca hareket). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim mi? Bu nasıl bir değer olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafeye doğru ilerlerken yüksekliğin ne kadar değişeceği. Sonuçta, farklı alanlar yollarda (x ekseni boyunca) bir kilometre ilerleyerek yükselecek veya alçalacağız farklı miktarlar deniz seviyesine göre metre (koordinat ekseni boyunca).
İlerlemeyi gösterelim (“delta x” okuyun).
Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani - bu nicelikteki bir değişikliktir - bir değişikliktir; peki o nedir? Doğru, büyüklükte bir değişiklik.
Önemli: Bir ifade tek bir bütündür, tek bir değişkendir. “Delta”yı asla “x”ten veya başka bir harften ayırmayın!
Yani örneğin .
Böylece yatay olarak ileriye doğru ilerledik. Yolun çizgisini fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani ilerledikçe daha da yükseliriz. Değerin hesaplanması kolaydır: Başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra kendimizi yüksekte bulursak, o zaman. Eğer bitiş noktası
ilkinden daha düşük olduğu ortaya çıktı, negatif olacak - bu, yükseldiğimiz değil alçaldığımız anlamına geliyor.
Tekrar "diklik" konusuna dönelim: Bu, bir birim mesafe ileri gidildiğinde yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:
Şimdi bir tepenin zirvesine bakalım. Bölümün başlangıcını zirveden yarım kilometre önce ve sonunu yarım kilometre sonra alırsanız yüksekliğin hemen hemen aynı olduğunu görürsünüz.
Yani bizim mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Kilometrelerce uzakta çok şey değişebilir. Daha yeterli ve daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. doğru değerlendirme diklik. Örneğin bir metre hareket ettikçe yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta yolun ortasında bir direk varsa onu kolayca geçebiliriz. O halde hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha fazladır!
İÇİNDE gerçek hayat Mesafeleri en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle kavram icat edildi sonsuz küçük yani mutlak değer isimlendirebileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin şöyle diyorsunuz: trilyonuncu! Ne kadar az? Ve bu sayıyı -'ye bölerseniz daha da az olacaktır. Ve benzeri. Bir niceliğin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra doğru gider” şeklinde okuruz). Anlamak çok önemli bu sayının sıfıra eşit olmadığını! Ama buna çok yakın. Bu, ona bölebileceğiniz anlamına gelir.
Sonsuz küçük kavramının karşısındaki kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan modülo daha büyüktür. Mümkün olan en büyük sayıyı bulursanız, bunu ikiyle çarpın, daha da büyük bir sayı elde edeceksiniz. Ve hala sonsuzluk Dahası ne olacak? Aslında sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tam tersi: at.
Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:
Sonsuz küçük bir yer değiştirmeyle yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size sonsuz küçüklüğün şu anlama gelmediğini hatırlatmama izin verin: sıfıra eşit. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz oldukça fazla sonuç elde edebilirsiniz. normal numara, Örneğin, . Yani küçük bir değer diğerinden tam olarak kat daha büyük olabilir.
Bütün bunlar ne için? Yol, diklik... Araba rallisine gitmiyoruz ama matematik öğretiyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, yalnızca farklı adlandırılır.
Türev kavramı
Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.
Kademeli olarak matematikte değişim diyorlar. Bağımsız değişkenin () eksen boyunca hareket ettikçe ne ölçüde değiştiğine denir argüman artışı Eksen boyunca bir mesafe kadar ileriye doğru hareket edildiğinde fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve belirlenir.
Yani bir fonksiyonun türevi ne zamana oranıdır. Türevi fonksiyonla aynı harfle, yalnızca sağ üstte bir asal sayıyla veya basitçe belirtiriz. Şimdi bu gösterimleri kullanarak türev formülünü yazalım:
Yol benzetmesinde olduğu gibi burada fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatif olur.
Türev sıfıra eşit olabilir mi? Kesinlikle. Örneğin düz yatay bir yolda gidiyorsak diklik sıfırdır. Ve bu doğru, yükseklik hiç değişmiyor. Türevde de durum aynıdır: Sabit bir fonksiyonun (sabit) türevi sıfıra eşittir:
çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfıra eşittir.
Tepe örneğini hatırlayalım. Segmentin uçlarını birlikte düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı farklı taraflar uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani bölüm eksene paralel olacak şekilde üstten:
Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün işaretidir. Segmentimizi kendine paralel olarak yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacak.
Sonunda tepeye sonsuz derecede yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğiliminde değildir ancak eşittir). Yani türev
Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede durduğumuzda, sola veya sağa doğru küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilecek kadar değiştirir.
Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama da var: Tepe noktasının solunda fonksiyon artar ve sağında azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, bir fonksiyon arttığında türevi pozitif, azaldığında ise negatif olur. Ancak atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle negatif ile negatif arasında pozitif değerler mutlaka bulunması gerekir. Tepe noktasında fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.
Aynı durum çukur (soldaki fonksiyonun azaldığı, sağdaki fonksiyonun arttığı alan) için de geçerlidir:
Artışlar hakkında biraz daha.
Bu yüzden argümanı büyüklük olarak değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? Şimdi bu (tartışma) ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi oradan dans edeceğiz.
Koordinatı olan bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman nedir? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse fonksiyon da oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:
Artışları bulma alıştırması yapın:
- Bağımsız değişkenin artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
- Aynı şey bir noktada fonksiyon için de geçerlidir.
Çözümler:
İÇİNDE farklı noktalar aynı argüman artışıyla, işlev artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin farklı olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun dikliği farklı noktalarda farklıdır). Bu nedenle bir türev yazarken hangi noktada olduğunu belirtmeliyiz:
Güç fonksiyonu.
Güç fonksiyonu, argümanın bir dereceye kadar (mantıklı, değil mi?) geçerli olduğu bir fonksiyondur.
Üstelik - herhangi bir ölçüde: .
En basit durum- bu durumda üs:
Bir noktadaki türevini bulalım. Türevin tanımını hatırlayalım:
Yani argüman 'dan 'a değişir. Fonksiyonun artışı nedir?
Artış şudur. Ancak herhangi bir noktadaki bir fonksiyon argümanına eşittir. Bu yüzden:
Türev şuna eşittir:
Türevi şuna eşittir:
b) Şimdi düşünün ikinci dereceden fonksiyon (): .
Şimdi şunu hatırlayalım. Bu, artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir, çünkü bu son derece küçüktür ve bu nedenle diğer terimin arka planına göre önemsizdir:
Böylece başka bir kural bulduk:
c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .
Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı formülünü kullanarak ilk parantezi açın veya küp farkı formülünü kullanarak ifadenin tamamını çarpanlara ayırın. Önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanarak bunu kendiniz yapmaya çalışın.
Böylece aşağıdakileri elde ettim:
Ve şunu bir kez daha hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:
Şunu alıyoruz: .
d) Büyük kuvvetler için de benzer kurallar elde edilebilir:
e) Bu kuralın, tamsayı bile olmayan, isteğe bağlı bir üssü olan bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:
| (2) |
Kural şu şekilde formüle edilebilir: "Derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve ardından azaltılır."
Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:
- (iki şekilde: formülle ve türev tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını hesaplayarak);
- . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Bu nasıl?” gibi sorularınız varsa. Derece nerede?”, “” konusunu hatırlayın!
Evet, evet, kök de bir derecedir, yalnızca kesirlidir: .
Yani bizim karekök- bu sadece göstergeli bir derecedir:
.
Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:Bu noktada yine belirsizleşirse “” konusunu tekrarlayın!!! (derece hakkında negatif gösterge)
- . Şimdi üs:
Ve şimdi tanım üzerinden (henüz unuttunuz mu?):
;
.
Şimdi her zamanki gibi aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
. - . Önceki vakaların kombinasyonu: .
Trigonometrik fonksiyonlar.
Burada yüksek matematikten bir olguyu kullanacağız:
İfade ile.
Kanıtı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için Birleşik Devlet Sınavını iyi bir şekilde geçmeniz gerekir). Şimdi bunu grafiksel olarak göstereceğim:
Fonksiyon mevcut olmadığında grafikteki noktanın kesildiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakın demektir.
Ek olarak, bir hesap makinesi kullanarak bu kuralı kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, utanmayın, bir hesap makinesi alın, henüz Birleşik Devlet Sınavında değiliz.
O halde deneyelim: ;
Hesap makinenizi Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!
vesaire. Ne kadar az olursa o kadar çok olduğunu görüyoruz. daha yakın değer ile ilişki
a) Fonksiyonu düşünün. Her zamanki gibi, artışını bulalım:
Sinüs farkını çarpıma dönüştürelim. Bunu yapmak için şu formülü kullanıyoruz (“” konusunu hatırlayın): .
Şimdi türev:
Bir değişiklik yapalım: . O halde sonsuz küçük için aynı zamanda sonsuz küçüktür: . için ifade şu şekli alır:
Şimdi de bunu şu ifadeyle hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda sonsuz küçük bir miktar (yani, at) ihmal edilebilirse ne olur?
Yani anlıyoruz sonraki kural:sinüsün türevi kosinüse eşittir:
Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte tek bir listedeler:
Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.
Pratik:
- Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
- Fonksiyonun türevini bulun.
Çözümler:
- İlk önce türevi bulalım genel görünüm ve ardından değerini değiştirin:
;
. - Burada buna benzer bir şeyimiz var güç fonksiyonu. Onu kendine getirmeye çalışalım
normal görünüm:
.
Harika, artık formülü kullanabilirsiniz:
.
. - . Eeeeee.....Bu nedir????
Tamam haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı henüz bilmiyoruz. Burada çeşitli fonksiyon türlerinin bir kombinasyonu var. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:
Üs ve doğal logaritma.
Matematikte herhangi bir değer için türevi aynı zamanda fonksiyonun kendi değerine eşit olan bir fonksiyon vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur
Bu fonksiyonun temeli bir sabittir; sonsuzdur ondalık yani irrasyonel bir sayı (gibi). Buna “Euler numarası” denir, bu yüzden bir harfle gösterilir.
Yani kural:
Hatırlanması çok kolay.
Neyse çok uzağa gitmeyelim hemen bakalım ters fonksiyon. Hangi fonksiyonun tersi üstel fonksiyon? Logaritma:
Bizim durumumuzda taban sayıdır:
Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.
Neye eşittir? Elbette.
Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:
Örnekler:
- Fonksiyonun türevini bulun.
- Fonksiyonun türevi nedir?
Cevaplar: Katılımcı ve doğal logaritma- fonksiyonlar türev açısından benzersiz derecede basittir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra analiz edeceğiz. hadi kuralları gözden geçirelim farklılaşma.
Farklılaşma kuralları
Neyin kuralları? Tekrar yeni dönem, Tekrar?!...
Farklılaşma türevi bulma işlemidir.
Hepsi bu. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçilerin diferansiyeli, bir fonksiyonun aynı artışıdır. Bu terim Latince diferansiyel - farklılık kelimesinden gelir. Burada.
Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:
Toplamda 5 kural bulunmaktadır.
Sabit türev işaretinden çıkarılır.
Eğer - bazı sabit sayı(sabit), o halde.
Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .
Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.
Örnekler.
Fonksiyonların türevlerini bulun:
- bir noktada;
- bir noktada;
- bir noktada;
- noktada.
Çözümler:
- (türev her noktada aynıdır, çünkü bu doğrusal fonksiyon, Unutma?);
Ürünün türevi
Burada her şey benzer: hadi girelim yeni özellik ve artışını bulun:
Türev:
Örnekler:
- Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
- Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.
Çözümler:
Üstel bir fonksiyonun türevi
Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).
Peki, bazı sayılar nerede?
Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o yüzden fonksiyonumuzu yeni bir temele taşımaya çalışalım:
Bunun için kullanacağız basit kural: . Daha sonra:
İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.
İşe yaradı mı?
İşte, kendinizi kontrol edin:
Formülün üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.
Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:
Cevaplar:
Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani artık yazılamayan bir sayıdır. basit biçimde. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.
Logaritmik bir fonksiyonun türevi
Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:
Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:
Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:
Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:
Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:
Üstel türevleri ve logaritmik fonksiyonlar Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç görünmezler, ancak onları bilmekten zarar gelmez.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi.
"Karmaşık fonksiyon" nedir? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.
Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için yapmanız gerekenler ters eylemler V ters sıra.
Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu bir örnek karmaşık fonksiyon: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştiririz ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştiririz.
Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli Özellik Karmaşık işlevler: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.
Başka bir deyişle, karmaşık bir işlev, argümanı başka bir işlev olan bir işlevdir: .
İlk örnek için, .
İkinci örnek: (aynı şey). .
En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk olarak gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).
Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:
Cevaplar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda
- İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak o zaman küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
Ve asıl işlev bunların bileşimidir: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: . - Dahili: ; harici: .
Muayene: .
Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.
Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersine çevrilir: önce türevi ararız harici fonksiyon, ardından sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarpın. Orijinal örnekle ilgili olarak şöyle görünür:
Başka bir örnek:
O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:
Basit görünüyor, değil mi?
Örneklerle kontrol edelim:
Çözümler:
1) Dahili: ;
Harici: ;
2) Dahili: ;
(şimdiye kadar kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)
3) Dahili: ;
Harici: ;
Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.
Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.
Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:
Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, karşılık gelen işlev o kadar "harici" olacaktır. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:
Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.
1. Radikal ifade. .
2. Kök. .
3. Sinüs. .
4. Kare. .
5. Hepsini bir araya getirmek:
TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA
Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:
Temel türevler:
Farklılaşma kuralları:
Sabit türev işaretinden çıkarılır:
Toplamın türevi:
Ürünün türevi:
Bölümün türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevi:
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:
- “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
- “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
- Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.
Ön topçu hazırlığından sonra, 3-4-5 işlevin iç içe geçtiği örnekler daha az korkutucu olacaktır. Belki aşağıdaki iki örnek bazılarına karmaşık gelebilir, ancak eğer bunları anlarsanız (birisi acı çekecektir), o zaman hemen hemen her şey diferansiyel hesap Bir çocuğun şakası gibi görünecek.
Örnek 2
Bir fonksiyonun türevini bulun
Daha önce belirtildiği gibi, karmaşık bir fonksiyonun türevini bulurken her şeyden önce gereklidir Sağ Yatırımlarınızı ANLAYIN. Şüphelenilen durumlarda hatırlatırım faydalı numara: örneğin "x"in deneysel değerini alırız ve (zihinsel olarak veya taslakta) yerine koymaya çalışırız verilen değer"korkunç bir ifadeye" dönüştü.
1) Öncelikle toplamın en derin gömülü olduğu anlamına gelen ifadeyi hesaplamamız gerekir.
2) O zaman logaritmayı hesaplamanız gerekir:
4) Daha sonra kosinüsün küpünü alın:
5) Beşinci adımda fark:
6) Ve son olarak en dıştaki fonksiyon kareköktür: 
Karmaşık bir fonksiyonun türevini almak için formül 
en dıştaki fonksiyondan en içteki fonksiyona doğru ters sırada uygulanır. Biz karar veriyoruz:
Hatasız görünüyor:
1) Karekökün türevini alın.
2) Kuralı kullanarak farkın türevini alın 
3) Bir üçlünün türevi sıfırdır. İkinci terimde derecenin (küp) türevini alıyoruz.
4) Kosinüsün türevini alın.
6) Ve son olarak en derine yerleştirmenin türevini alıyoruz.
Çok zor görünebilir ama bu en acımasız örnek değil. Örneğin Kuznetsov'un koleksiyonunu ele alalım; analiz edilen türevin tüm güzelliğini ve sadeliğini takdir edeceksiniz. Bir öğrencinin karmaşık bir fonksiyonun türevini nasıl bulacağını anlayıp anlamadığını kontrol etmek için sınavda benzer bir şey vermeyi sevdiklerini fark ettim.
Aşağıdaki örnek içindir bağımsız karar.
Örnek 3
Bir fonksiyonun türevini bulun
İpucu: Öncelikle doğrusallık kurallarını ve ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz
Dersin sonunda tam çözüm ve cevap.
Daha küçük ve daha güzel bir şeye geçmenin zamanı geldi.
Bir örnekte ikinin çarpımının gösterilmesi alışılmadık bir durum değildir, ancak üç fonksiyon. Türevi nasıl bulunur? üçlü ürünlerçarpanlar?
Örnek 4
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Öncelikle üç fonksiyonun çarpımını iki fonksiyonun çarpımına çevirmenin mümkün olup olmadığına bakalım. Örneğin çarpımda iki polinom varsa parantezleri açabiliriz. Ancak söz konusu örnekte tüm işlevler farklıdır: derece, üs ve logaritma.
Bu gibi durumlarda gerekli sıraylaürün farklılaştırma kuralını uygulayın 
iki kere
İşin püf noktası, "y" ile iki fonksiyonun çarpımını, "ve" ile de logaritmayı belirtmemizdir: . Bu neden yapılabilir? Gerçekten mi 
- bu iki faktörün bir ürünü değil ve kural işe yaramıyor mu? Karmaşık bir şey yok:
Şimdi kuralı ikinci kez uygulamaya devam ediyor parantez içine almak için:
Hala sapkın olabilir ve parantezlerin dışına bir şeyler çıkarabilirsiniz, ancak bu durumda Cevabı bu formda bırakmak daha iyidir - kontrol edilmesi daha kolay olacaktır.
Ele alınan örnek ikinci şekilde çözülebilir:
Her iki çözüm de kesinlikle eşdeğerdir.
Örnek 5
Bir fonksiyonun türevini bulun
Bu, bağımsız bir çözüme bir örnektir; örnekte birinci yöntem kullanılarak çözülür.
Kesirlerle benzer örneklere bakalım.
Örnek 6
Bir fonksiyonun türevini bulun 
Buraya gidebileceğiniz birkaç yol var:
Veya bunun gibi:
Ancak öncelikle bölümün türev alma kuralını kullanırsak çözüm daha kısa bir şekilde yazılacaktır. 
, payın tamamını alarak:
Prensip olarak örnek çözülmüştür ve olduğu gibi bırakılırsa hata olmayacaktır. Ancak zamanınız varsa, cevabın basitleştirilip basitleştirilemeyeceğini görmek için her zaman taslağı kontrol etmeniz önerilir.
Payın ifadesini şuna indirgeyelim: ortak payda ve üç katlı kesirden kurtulun:
Ek basitleştirmelerin dezavantajı, türevi bulurken değil, sıradan okul dönüşümleri sırasında hata yapma riskinin olmasıdır. Öte yandan öğretmenler sıklıkla ödevi reddediyor ve türevi “akla getirmesini” istiyorlar.
Kendi başınıza çözebileceğiniz daha basit bir örnek:
Örnek 7
Bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulma yöntemlerinde uzmanlaşmaya devam ediyoruz ve şimdi türev için "korkunç" bir logaritmanın önerildiği tipik bir durumu ele alacağız.
Ve formülasyonu aşağıdaki gibi olan karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin teorem:
1) $u=\varphi (x)$ fonksiyonunun bir noktada $x_0$ türevi $u_(x)"=\varphi"(x_0)$ olsun, 2) $y=f(u)$ fonksiyonu olsun var karşılık gelen nokta$u_0=\varphi (x_0)$ türev $y_(u)"=f"(u)$. O zaman bahsedilen noktadaki $y=f\left(\varphi (x) \right)$ karmaşık fonksiyonunun da bir türevi olacaktır, ürüne eşit$f(u)$ ve $\varphi (x)$ fonksiyonlarının türevleri:
$$ \left(f(\varphi (x))\right)"=f_(u)"\left(\varphi (x_0) \right)\cdot \varphi"(x_0) $$
veya daha kısa gösterimle: $y_(x)"=y_(u)"\cdot u_(x)"$.
Bu bölümdeki örneklerde, tüm işlevler $y=f(x)$ biçimindedir (yani, yalnızca $x$ değişkenli işlevleri dikkate alıyoruz). Buna göre, tüm örneklerde $y"$ türevi $x$ değişkenine göre alınır. Türevin $x$ değişkenine göre alındığını vurgulamak için genellikle $y yerine $y"_x$ yazılır. "$.
Örnek No. 1, No. 2 ve No. 3'ün özeti detaylı süreç Karmaşık fonksiyonların türevini bulma. 4 No'lu Örnek, türev tablosunun daha kapsamlı anlaşılmasına yöneliktir ve ona aşina olmanız mantıklıdır.
1-3 numaralı örneklerdeki materyali inceledikten sonra, 5, 6 ve 7 numaralı örnekleri bağımsız olarak çözmeye geçmeniz tavsiye edilir. 5, 6 ve 7 numaralı örnekler şunları içerir: kısa çözüm böylece okuyucu sonucunun doğruluğunu kontrol edebilir.
Örnek No.1
$y=e^(\cos x)$ fonksiyonunun türevini bulun.
$y"$ karmaşık fonksiyonunun türevini bulmamız gerekiyor. $y=e^(\cos x)$ olduğundan, $y"=\left(e^(\cos x)\right)"$ olur. $ \left(e^(\cos x)\right)"$ türevini bulun, türevler tablosundaki 6 numaralı formülü kullanırız. 6 numaralı formülü kullanabilmek için bizim durumumuzda $u=\cos x$ değerini hesaba katmamız gerekiyor. Diğer çözüm, 6 numaralı formülde $u$ yerine $\cos x$ ifadesini basitçe değiştirmekten ibarettir:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)" \tag (1.1)$$
Şimdi $(\cos x)"$ ifadesinin değerini bulmamız gerekiyor. Tekrar türevler tablosuna dönüyoruz, oradan 10 numaralı formülü seçiyoruz. 10 numaralı formülü $u=x$ yerine koyarsak, şunu elde ederiz: : $(\cos x)"=-\ sin x\cdot x"$ Şimdi eşitliğe (1.1) devam ederek onu bulunan sonuçla tamamlıyoruz:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x") \tag (1.2) $$
$x"=1$ olduğundan eşitliği (1.2) sürdürürüz:
$$ y"=\left(e^(\cos x) \right)"=e^(\cos x)\cdot (\cos x)"= e^(\cos x)\cdot (-\sin x \cdot x")=e^(\cos x)\cdot (-\sin x\cdot 1)=-\sin x\cdot e^(\cos x) \tag (1.3) $$
Yani, eşitlik (1.3)'ten şunu elde ederiz: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$. Doğal olarak, açıklamalar ve ara eşitlikler genellikle atlanır, türevin bulgusu tek satıra yazılır, eşitlikte olduğu gibi ( 1.3). Yani karmaşık fonksiyonun türevi bulundu, geriye sadece cevabı yazmak kalıyor.
Cevap: $y"=-\sin x\cdot e^(\cos x)$.
Örnek No.2
$y=9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x)$ fonksiyonunun türevini bulun.
$y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ türevini hesaplamamız gerekiyor. Başlangıç olarak, sabitin (yani 9 sayısının) türev işaretinden çıkarılabileceğine dikkat edelim:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)" \tag (2.1) $$
Şimdi $\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"$ ifadesine dönelim. gerekli formül türev tablosundan daha kolay oldu, söz konusu ifadeyi şu şekilde sunacağım: $\left(\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(12)\right)"$. Artık 2 numaralı formülü kullanmanın gerekli olduğu açıktır, yani $\left(u^\alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$ Yerine koy. =\arctg(4)'ü \cdot \ln x)$ ve $\alpha=12$ formülüne dönüştürün:
Elde edilen sonuçla eşitliği (2.1) tamamladığımızda:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"= 108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))" \tag (2.2) $$
Bu durumda, çözücü ilk adımda formül yerine $(\arctg \; u)"=\frac(1)(1+u^2)\cdot u"$ formülünü seçtiğinde genellikle hata yapılır. $\left(u^\ alpha \right)"=\alpha\cdot u^(\alpha-1)\cdot u"$. Önemli olan, dış fonksiyonun türevinin önce gelmesi gerektiğidir. Hangi fonksiyonun $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ ifadesinin dışında olacağını anlamak için, $\arctg^(12)(4\cdot 5^) ifadesinin değerini hesapladığınızı hayal edin. x)$, $x$ değerinde. Önce $5^x$ değerini hesaplayacaksınız, ardından sonucu 4 ile çarparak $4\cdot 5^x$ elde edeceksiniz. Şimdi bu sonuçtan arktanjantı alıyoruz ve $\arctg(4\cdot 5^x)$ elde ediyoruz. Daha sonra ortaya çıkan sayıyı on ikinci kuvvete yükselterek $\arctg^(12)(4\cdot 5^x)$ elde ederiz. Son eylem, - yani 12'nin üssüne yükseltmek harici bir fonksiyon olacaktır. Ve bundan yola çıkarak eşitlik (2.2) ile yapılan türevi bulmaya başlamalıyız.
Şimdi $(\arctg(4\cdot \ln x))"$ bulmamız gerekiyor. Türevler tablosunun 19 numaralı formülünü kullanırız ve bunun yerine $u=4\cdot \ln x$ koyarız:
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
$(4\cdot \ln x)^2=4^2\cdot (\ln x)^2=16\cdot \ln^2 x$'yi hesaba katarak elde edilen ifadeyi biraz basitleştirelim.
$$ (\arctg(4\cdot \ln x))"=\frac(1)(1+(4\cdot \ln x)^2)\cdot (4\cdot \ln x)"=\frac( 1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" $$
Eşitlik (2.2) artık şu şekilde olacaktır:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" \etiket (2.3) $$
Geriye $(4\cdot \ln x)"$ bulmak kalıyor. Türev işaretinden sabiti (yani 4) çıkaralım: $(4\cdot \ln x)"=4\cdot (\ln x)" $. $(\ln x)"$'ı bulmak için 8 numaralı formülü kullanırız ve yerine $u=x$ koyarız: $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x "$. $x"=1$ olduğundan, $(\ln x)"=\frac(1)(x)\cdot x"=\frac(1)(x)\cdot 1=\frac(1)(x ) $ Elde edilen sonucu formül (2.3)'te yerine koyarsak şunu elde ederiz:
$$ y"=\left(9\cdot \arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=9\cdot\left(\arctg^(12)(4\cdot \ln x) \right)"=\\ =108\cdot\left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot (\arctg(4\cdot \ln x))"=108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot (4\cdot \ln x)" =\\ =108\cdot \left(\arctg(4\cdot \ln x) \right)^(11)\cdot \frac(1)(1+16\cdot \ln^2 x)\cdot 4\ cdot \frac(1)(x)=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x)).
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin çoğunlukla son eşitlikte yazıldığı gibi tek satırda bulunduğunu hatırlatmama izin verin. Bu nedenle standart hesaplamaları hazırlarken veya testlerÇözümü bu kadar detaylı anlatmaya gerek yok.
Cevap: $y"=432\cdot \frac(\arctg^(11)(4\cdot \ln x))(x\cdot (1+16\cdot \ln^2 x))$.
Örnek No.3
$y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))$ fonksiyonunun $y"$ değerini bulun.
Öncelikle, radikali (kök) bir kuvvet olarak ifade ederek $y$ fonksiyonunu biraz dönüştürelim: $y=\sqrt(\sin^3(5\cdot9^x))=\left(\sin(5\cdot 9) ^x) \right)^(\frac(3)(7))$. Şimdi türevi bulmaya başlayalım. $y=\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))$ olduğundan, o zaman:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)" \tag (3.1) $$
Türev tablosundaki 2 numaralı formülü $u=\sin(5\cdot 9^x)$ ve $\alpha=\frac(3)(7)$ yerine koyalım:
$$ \left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"= \frac(3)(7)\cdot \left( \sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7)-1) (\sin(5\cdot 9^x))"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" $$
Elde edilen sonucu kullanarak eşitliğe (3.1) devam edelim:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))" \tag (3.2) $$
Şimdi $(\sin(5\cdot 9^x))"$ bulmamız gerekiyor. Bunun için türevler tablosundaki 9 numaralı formülü kullanıyoruz ve bunun yerine $u=5\cdot 9^x$ koyuyoruz:
$$ (\sin(5\cdot 9^x))"=\cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9^x)" $$
Elde edilen sonuçla eşitliği (3.2) tamamladığımızda:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)" \tag (3.3) $$
Geriye $(5\cdot 9^x)"$'ı bulmak kalır. Öncelikle, sabiti ($5$ sayısını) türev işaretinin dışına alalım, yani $(5\cdot 9^x)"=5\cdot (9) ^x) "$. $(9^x)"$ türevini bulmak için, türevler tablosunun 5 numaralı formülünü uygulayın ve bunun yerine $a=9$ ve $u=x$ koyun: $(9^x) )"=9^x\cdot \ ln9\cdot x"$. $x"=1$ olduğundan, $(9^x)"=9^x\cdot \ln9\cdot x"=9^x\cdot \ln9$ olur. Şimdi eşitliğe (3.3) devam edebiliriz:
$$ y"=\left(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(3)(7))\right)"=\frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) (\sin(5\cdot 9^x))"=\\ =\frac(3) (7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9^x)\cdot(5\cdot 9) ^x)"= \frac(3)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7)) \cos(5\cdot 9) ^x)\cdot 5\cdot 9^x\cdot \ln9=\\ =\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right) ^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x. $$
$\ şeklinde $\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))$ yazarak tekrar kuvvetlerden radikallere (yani köklere) dönebiliriz. frac(1)(\left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(\frac(4)(7)))=\frac(1)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$. Daha sonra türev şu şekilde yazılacaktır:
$$ y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \left(\sin(5\cdot 9^x)\right)^(-\frac(4)(7))\cdot \cos(5\cdot 9^x)\cdot 9^x= \frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x) (\sqrt(\sin^4(5\cdot 9^x))).
Cevap: $y"=\frac(15\cdot \ln 9)(7)\cdot \frac(\cos (5\cdot 9^x)\cdot 9^x)(\sqrt(\sin^4(5\ cdot 9^x)))$.
Örnek No. 4
Türev tablosunun 3 ve 4 numaralı formüllerinin özel durum bu tablonun 2 numaralı formülleri.
Türev tablosunun 2 numaralı formülü $u^\alpha$ fonksiyonunun türevini içerir. $\alpha=-1$ formül No. 2'yi yerine koyarsak şunu elde ederiz:
$$(u^(-1)")"=-1\cdot u^(-1-1)\cdot u"=-u^(-2)\cdot u"\tag (4.1)$$
$u^(-1)=\frac(1)(u)$ ve $u^(-2)=\frac(1)(u^2)$ olduğundan eşitlik (4.1) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir: $ \left(\frac(1)(u) \right)"=-\frac(1)(u^2)\cdot u"$. Bu, türevler tablosunun 3 numaralı formülüdür.
Türev tablosunun 2 numaralı formülüne tekrar dönelim. Bunun içine $\alpha=\frac(1)(2)$ koyalım:
$$\left(u^(\frac(1)(2))\right)"=\frac(1)(2)\cdot u^(\frac(1)(2)-1)\cdot u" =\frac(1)(2)u^(-\frac(1)(2))\cdot u"\tag (4.2) $$
$u^(\frac(1)(2))=\sqrt(u)$ ve $u^(-\frac(1)(2))=\frac(1)(u^(\frac( 1) olduğundan )(2))))=\frac(1)(\sqrt(u))$ ise eşitlik (4.2) aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:
$$ (\sqrt(u))"=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(u))\cdot u"=\frac(1)(2\sqrt(u) )\cdot u" $$
Ortaya çıkan $(\sqrt(u))"=\frac(1)(2\sqrt(u))\cdot u"$ eşitliği, türevler tablosunun 4 numaralı formülüdür. Gördüğünüz gibi türev tablosunun 3 ve 4 numaralı formülleri, 2 numaralı formülden karşılık gelen $\alpha$ değeri değiştirilerek elde ediliyor.
Bu yazımızda karmaşık fonksiyon gibi önemli bir matematik kavramından bahsedeceğiz ve karmaşık bir fonksiyonun türevinin nasıl bulunacağını öğreneceğiz.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmayı öğrenmeden önce, karmaşık fonksiyon kavramını, ne olduğunu, “neyle yenildiğini” ve “doğru şekilde nasıl pişirileceğini” anlayalım.
düşünelim keyfi işlevörneğin şu şekilde:
Fonksiyon denkleminin sağ ve sol tarafındaki argümanın aynı sayı veya ifade olduğuna dikkat edin.
Bir değişken yerine örneğin şu ifadeyi koyabiliriz: . Ve sonra fonksiyonu alıyoruz
İfadeye ara argüman, fonksiyona ise dış fonksiyon diyelim. Bu katı değil matematiksel kavramlar ancak karmaşık fonksiyon kavramının anlamını anlamaya yardımcı olurlar.
Karmaşık fonksiyon kavramının kesin tanımı şu şekildedir:
Bir fonksiyon bir küme üzerinde tanımlansın ve bu fonksiyonun değerlerinin kümesi olsun. Küme (veya onun alt kümesi) fonksiyonun tanım bölgesi olsun. Her birine bir sayı atayalım. Böylece fonksiyon set üzerinde tanımlanacaktır. Buna fonksiyon bileşimi veya karmaşık fonksiyon denir.
Bu tanımda terminolojimizi kullanırsak, harici bir fonksiyon ara argümandır.
Karmaşık bir fonksiyonun türevi aşağıdaki kurala göre bulunur:
Daha açık hale getirmek için bu kuralı şu şekilde yazmak istiyorum:
Bu ifadede kullanılması bir ara fonksiyonu ifade etmektedir.
Bu yüzden. Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulmak için ihtiyacınız olan şey
1. Hangi fonksiyonun dışsal olduğunu belirleyin ve türev tablosundan karşılık gelen türevi bulun.
2. Bir ara argüman tanımlayın.
Bu prosedürde en büyük zorluk dış fonksiyonun bulunmasıdır. Bunun için basit bir algoritma kullanılır:
A. Fonksiyonun denklemini yazınız.
B. Bir x değeri için bir fonksiyonun değerini hesaplamanız gerektiğini düşünün. Bunu yapmak için, x'in bu değerini fonksiyonun denkleminde yerine koyarsınız ve şunu üretirsiniz: aritmetik işlemler. Yaptığınız son eylem harici işlevdir.
Örneğin, fonksiyonda
Son işlem üs alma işlemidir.
Bu fonksiyonun türevini bulalım. Bunu yapmak için bir ara argüman yazıyoruz
Karmaşık bir fonksiyonun türevi formülünü kullanarak türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler verilmiştir.
Burada türevlerin hesaplanmasına ilişkin örnekler veriyoruz. aşağıdaki işlevler:
;
;
;
;
.
Bir fonksiyon karmaşık bir fonksiyon olarak temsil edilebiliyorsa aşağıdaki form:
,
daha sonra türevi aşağıdaki formülle belirlenir:
.
Aşağıdaki örneklerde bu formülü şu şekilde yazacağız:
.
Nerede .
Burada türev işaretinin altında bulunan indisler veya , türevin alındığı değişkenleri belirtir.
Genellikle türev tablolarında x değişkeninden fonksiyonların türevleri verilir.
Ancak x formal bir parametredir. X değişkeni başka herhangi bir değişkenle değiştirilebilir. Bu nedenle, bir fonksiyonu bir değişkenden ayırırken, türevler tablosunda x değişkenini u değişkenine değiştiririz.
Basit örnekler
Örnek 1
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Çözüm Haydi yazalım verilen fonksiyon
.
eşdeğer formda:
;
.
Türev tablosunda şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Cevap
Örnek 2
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulun
.
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Sabit 5'i türev işaretinden ve bulduğumuz türev tablosundan alıyoruz:
Örnek 3
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Türevi bulun -1
Bir sabit çıkarıyoruz
;
Türevin işareti için ve türev tablosundan şunu buluruz:
.
Türev tablosundan şunları buluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Karmaşık bir fonksiyonun türevi için formülü uyguluyoruz:
Daha karmaşık örnekler Daha fazla karmaşık örnekler karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını birkaç kez uygularız. Bu durumda türevi sondan hesaplıyoruz. Yani, fonksiyonu bileşen parçalarına ayırırız ve en basit parçaların türevlerini kullanarak buluruz. türev tablosu . Biz de kullanıyoruz toplamların farklılaştırılmasına ilişkin kurallar
, ürünler ve kesirler. Daha sonra yerine koymalar yapıp karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülünü uyguluyoruz.
Örnek 3
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Örnek 4 En çok vurgulayalım basit kısım
.
formülünü bulun ve türevini bulun. .
.
Burada notasyonu kullandık
.
Elde edilen sonuçları kullanarak orijinal fonksiyonun bir sonraki kısmının türevini buluyoruz. Toplamın türevini almak için kuralı uyguluyoruz:
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevinin formülüne göre elimizde:
Burada .
Bir kez daha karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
Örnek 5
.
Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulun
Fonksiyonun türevini bulun
Formülün en basit kısmını seçip türev tablosundan türevini bulalım. .
.
Karmaşık fonksiyonların türev alma kuralını uyguluyoruz.
.